Min Cuadrados Parabola de 2 y 3 Grado
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METODOS DE ESTIMACION DE POBLACION
METODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Este método es utilizado para calcular la población futura de ciudades ya estabilizadas y
cuyos censos hayan sido realizados en intervalos iguales de tiempo, se lo realiza con la
ayuda de un sistema de ecuaciones:
El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados
en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La
recta resultante presenta dos características importantes:
1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de
ajuste.
2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría
una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Y ー - Y)² → 0 (mínima).
Este método es utilizado para calcular la población futura de ciudades ya estabilizadas y cuyos censos hayan sido realizados en intervalos iguales de tiempo.
Se disponen de dos crecimientos:
Crecimiento aritmético
la población varía linealmente,Se hace uso de las siguientes ecuaciones:
Crecimiento geométrico
la población varía exponencialmente, Se hace uso de las siguientes ecuaciones:
PROCESO DE CÁLCULO:
Cuadro de mínimos cuadrados
AÑO POBLACIÓN x x^2 XY log Y xlogY2000 78,044 1 1 78044 4.89233952 4.892339522001 78,349 2 4 156698 4.89403346 9.788066922002 78,551 3 9 235653 4.89515172 14.68545522003 78,670 4 16 314680 4.89580915 19.58323662004 78,724 5 25 393620 4.89610715 24.48053582005 78,731 6 36 472386 4.89614577 29.37687462006 78,675 7 49 550725 4.89583675 34.27085732007 78,548 8 64 628384 4.89513513 39.16108112008 78,372 9 81 705348 4.89416093 44.04744842009 78,171 10 100 781710 4.89304567 48.93045672010 77,966 11 121 857626 4.89190525 53.8109578
Σ 862,801 66 506 5174874 53.8396705 323.02731
PARA UN CRECIMIENTO ARITMÉTICO:
reemplazando valores en las ecuaciones respectivas:
a+b( 6611 )−86280111=0
a (6611 )+b (50611 )−517487811=0
resolviendo el sistema:
a=78541.6
b=-17.525
Y=78541.6−17.525 X Ecuación de crecimiento aritmético
GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA POBLACIÓN SEGÚN UN CRECIMIENTO ARITMÉTICO
0 5 10 15 20 25 30 3577700
77800
77900
78000
78100
78200
78300
78400
78500
78600
Series2
PARA UN CRECIMIENTO GEOMETRICO:
Reemplazando valores en las ecuaciones respectivas:
A+B( 6611 )−53.8411 =0
A( 6611 )+( 50611 )−323.0311=0
Al resolver el sistema:
A=4.872
B=0.003
Calculamos los valores de a y b
a=74473,197
b=0.007
Entonces la ecuación de la curva exponencial para un crecimiento geométrico es:
Y=74473.19×e0.007X
GRÁFICA DE VARIACIÓN DE LA POBLACIÓN SEGÚN UN CRECIMIENTO GEOMÉTRICO
0 5 10 15 20 25 30 350
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
Series2
CONCLUSIÓN:
COMO SE PEDE OBSERVAR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS TRATA DE DISMINIUR LO MAS POSIBLE LAS DESVIACIONES VERTICALES, LO CUAL HACE QUE LA CURVA HALLADA PASE POR LA MAYOR CANTIDAD DE PUNTOS DE LOS DATOS CENSALES DISPONIBLES, EN CONCLUSIÓN UNA CURVA ÓPTIMA.
ESTE MÉTODO SI SERÍA APLICABLE AL DISTRITO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO DEBIDO A QUE SE DISPONÍA DE SUFICIENTES DATOS CENSALES PARA ENCONTRAR UNA CURVA ÓPTIMA Y COMO SE VE EN LAS GRÁFICAS, PRESENTA UN CRECIMIENTO REGULARMENTE ACELERADO, COMO ES EL CASO DE ESTE DISTRITO.
MÉTODO DE LA PARÁBOLA DE SEGUNDO GRADO:
Este método se usa generalmente en poblaciones que se encuentran en el periodo de asentamiento o inicio (solo se escogerán 3 datos censales).
P= AT^2 + BT + C (forma general de una ecuación de segundo grado)
Donde P representa la población en un determinado tiempo, y T representa el tiempo en el cual se calculará dicha población, además se requerirá calcular los valores constantes A, B Y C para formar la función parabólica.
PROCESO DE CÁLCULO:
ESCOGEMOS LOS ÚLTIMOS TRES DATOS CENSALES POR SER MÁS RECIENTES
AÑO POBLACIÓN T (AÑOS ) T^22008 78372 0 02009 78171 1 12010 77966 2 4
SIST. DE ECUACIONES
78372= A(0)+B(0)+C
78171=A(1)+B(1)+78372
77966=A(4)+B(2)+78372
RESULTADOS
A=-2
B=-199
C=78372
ENTONCES LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE SEGUNDO GRADO SERÁ
P(T)=-2*T^2 - 199*T + 78372
GRÁFICA DE LA PARÁBOLA DE SEGUNDO GRADO
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1075000
75500
76000
76500
77000
77500
78000
78500
79000
Series2
CONCLUSIÓN:
ESTE MÉTODO SOLO REQUIERE DE 3 DATOS CENSALES, Y DARÍA BUENOS RESULTADOS PARA POBLACIONES QUE RECIÉN ESTÉN ASENTANDOSE, DEL CUAL NO SE CONOCE MUCHOS DATOS, PARA EL DISTRITO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO NO SERÍA APLICABLE DEBIDO A QUE ACTUALMENTE SE DISPONEN DE BASTANTES DATOS CENSALES Y POR OTRA PARTE NO ES UN DISTRITO QUE RECIEN SE ESTÁ ASENTANDO SINO POR EL CONTRARIO, YA PASARON VARIOS AÑOS DESDE SUS INICIOS.
MÉTODO DE LA PARÁBOLA CÚBICA:
Este método al igual que el método de la parábola de segundo grado se usa para calcular poblaciones a corto plazo de lugares en reciente apogeo.
P= AT^3 + BT^2 + CT + D ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CÚBICA
Donde P es la población a calcular en un tiempo determinado T.
Se tendrá que calcular las constantes A, B , C Y D
PROCESO DE CÁLCULO:
AÑO POBLACIÓN T (AÑOS ) T^3 T^22007 78548 0 0 02008 78372 1 1 12009 78171 2 4 82010 77966 3 9 27
SISTEMA DE ECUACIONES:
78548=A(0)+B(0)+C(0)+D
78372=A(1)+B(1)+C(1)+D
78171=A(8)+ B(4)+C(2)+D
77966=A(27)+B(9)+C(3)+D
RESULTADOS
A=3.5
B=-23
C=-156.5
D=78548
ENTONCES LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CÚBICA SERÁ:
P(T)= 3.5*T^3 - 23*T^2 – 156.5*T + 78548
GRÁFICA DE LA PARÁBOLA CÚBICA
0 2 4 6 8 10 12 1476000
76500
77000
77500
78000
78500
79000
79500
80000
80500
81000
Series2
CONCLUSIÓN
LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CÚBICA PRESEANTA UN DECRECIMIENTO HASTA ANTES DE LOS PRIMEROS 10 AÑOS DE AHÍ EN ADELANTE CRECE DE UN MODO ACELERADO, LO CUAL INDICA UN AUMENTO DE POBLACIÓN, EN CONSECUENCIA ESTE MÉTODO NO ES APROPIADO PARA EL CASO DE JOSE LUIS BUSTAMANTE Y RIVERO, QUE YA ES UN DITRITO ASENTADO.