MILIEUX FERROMAGNETIQUES - PrépaBellevue
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MILIEUX FERROMAGNETIQUES
Matière charges liées
déplacements d’ordre de grandeur = dimension de l’atome
(0,1 nm)
Interaction avec ( B,E
) contribution aux propriétés électriques et
magnétiques de l’espace à travers les phénomènes de polarisation et
d’aimantation du milieu
Moyenne spatiale et temporelle accès au champ électromagnétique de
l’espace.
Limitation du programme étude des matériaux réagissant très fortement à
l’application d’un champ magnétique extérieur = matériaux ferromagnétiques,
qui constituent, entre autres, les aimants permanents
I . AIMANTATION D’UN MILIEU MATERIEL :
1) Aimant permanent :
Cours d’électromagnétisme
examen des cartes de champ de différents aimants
pôles de l’aimant : le champ sort de l’aimant par le pôle nord et rentre dans
l’aimant par le pôle sud
analogie de la carte de champ magnétique d’un aimant droit, à grande
distance, avec celle d’un dipôle électrostatique et avec celle d’une spire :
définition du moment dipolaire (en A.m2) de l’aimant, assimilé à une
petite spire de rayon R, parcourue par un courant i :
« Petite » car on examine les effets de la spire ou de l’aimant à une distance
r>>R
Lignes de champ
magnétique aimant Lignes de champ
magnétique spire
Lignes de champ
électrique dipôle
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créé par le dipôle dans son environnement en un point M tel que r>>R :
indépendant de φ : symétrie de révolution
des lignes de champ autour de l’axe du dipôle.
Ordres de grandeur :
système Spin
électron
Terre Spire circulaire
R= 5cm, i = 1A
Aimant
usuel
(A.m2) 10
-24 10
23 10-3
10
B(T) 10-5
(à 10-8
m) 10
-5 mT 0,1 à 1
2) Actions subies par un dipôle dans un champ magnétique extérieur :
Interaction aimant / :
Moment :
Positions d’équilibre de l’aimant :
θ = 0 : aligné avec , de même sens
θ = π : aligné avec , de sens opposé
Ces deux positions se distinguent par leur stabilité.
Un champ extérieur a donc tendance à aligner le dipôle dans le même sens
que lui (application : la boussole)
Energie potentielle d’interaction :
stabilité évoquée plus haut : Ep minimale pour θ=0 (équilibre stable),
maximale pour θ=π (équilibre instable)
Force :
Sens de rotation de
l’aimant
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puisque constant (dipôle rigide). un champ uniforme n’a aucun effet vis-à-vis de la translation d’un
aimant
un champ non uniforme a tendance à attirer le dipôle vers les zones de
champ intense
Application : dessiner en justifiant la force s’exerçant sur l’aimant dans le
dessin ci-dessous :
Solution :
avec F>0 car B(x) croissante.
x
x
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II. EQUATIONS DE MAXWELL DANS LES MILIEUX
MAGNETIQUES DANS L’ARQS :
1) Aimantation d’un milieu magnétique :
Vecteur aimantation = moment dipolaire magnétique par unité de volume
du matériau
Si le volume dτ porte le moment dipolaire δ alors :
Déterminer l’unité de .
Solution :
L’unité de est l’A.m-1
.
Ampère a suggéré, pour expliquer les propriétés magnétiques de la matière,
l’existence de petites boucles de courant au sein du matériau.
Inexact : on sait aujourd’hui que le magnétisme est une conséquence des
moments magnétiques quantiques de spin.
Mais modèle des courants volumiques équivalents utile pour une description
classique des propriétés magnétiques des matériaux
On admet que le phénomène d’aimantation peut être décrit par la densité
volumique de courant équivalente :
Exercice :
Montrer que la dimension de est bien compatible avec celle d’une
distribution volumique de courant.
Solution :
OK
2) Equation de Maxwell Ampère :
Montrer que la généralisation de l’équation de Maxwell Ampère correspond à
la prise en compte de tous les courants existant dans le matériau, courant de
charges libres ou liées, conduit à l’expression suivante :
Avec excitation magnétique :
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Quelle est la dimension de ?
Solution :
On définit un nouveau vecteur noté excitation magnétique :
de même dimension que = celle d’une densité surfacique de courant
(A.m-1
)
L’équation de Maxwell Ampère prend alors une forme très simple :
3) Forme intégrée des équations de Maxwell utiles pour l’étude des
matériaux magnétiques :
Maxwell Gauss : div
inchangée, mais ne sert pas car le matériau
magnétique est électriquement neutre
Maxwell Thomson : div inchangée conservation du flux de comme dans un matériau non magnétique
Maxwell Faraday :
inchangée loi de Faraday
toujours applicable
Maxwell Ampère et théorème d’Ampère :
Le théorème d’Ampère s’applique donc à :
La circulation le long d’un contour fermé orienté de l’excitation magnétique
est égale au courant libre orienté qui traverse le contour .
Remarques :
Les courants libres apparaissent comme la source de l’excitation
magnétique .
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sources de = courants électriques libres +
aimantation
III. MATERIAUX FERROMAGNETIQUES :
1) Qu’est ce que le ferromagnétisme ?
Propriétés magnétiques = conséquences de l’existence d’électrons
célibataires dans les molécules constituant le milieu, et de leurs spins
quantiques associés
Certains matériaux possédant des électrons célibataires sont le siège
d’interaction très fortes entre moments dipolaires voisins à l’échelle
mésoscopique, existence de zones aimantées (domaines de Weiss de taille
caractéristique entre 0,1 mm et 1 mm) séparées par des parois (parois de
Bloch)
Rôle des parois : transition dans l’orientation du moment magnétique de
chaque grain
Ces matériaux sont dits ferromagnétiques.
Corps simples ferromagnétiques = fer, cobalt, nickel
Certains oxydes de ces métaux et certains alliages (à base ou non de ces
métaux) possèdent aussi des propriétés ferromagnétiques (ex magnétite :
Fe3 O4)
Les propriétés ferromagnétiques disparaissent au-delà d’une température
appelée température de Curie Tc :
matériau Fe Co Ni
Tc (K) 1043 1388 627
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Echelle macroscopique : même au dessous de la température de
Curie, le matériau peut ne présenter aucune aimantation (moment
dipolaire de chacun des domaines orienté au hasard) matériau alors
désaimanté (voir figure ci-dessus)
2) Action du champ magnétique sur un milieu ferromagnétique :
Matériau ferromagnétique soumis à une excitation magnétique extérieure
acquiert une aimantation très élevée, rémanente (si on enlève l’excitation,
l’aimantation est conservée)
L’énergie apportée par l’excitation extérieure aide à l’alignement des dipôles
de chaque grain de matière (domaine de Weiss), au mouvement puis à la
disparition des parois les séparant (parois de Bloch). On obtient un seul bloc :
on a atteint l’aimantation maximale possible ou aimantation à saturation.
Opération non réversible quand H élevé : la reconstruction des grains
nécessite une énergie que l’agitation thermique est insuffisante à fournir le
matériau reste aimanté quand l’excitation cesse (aimantation rémanente)
opération d’aimantation menée à son terme non réversible
courbe de réponse du système = cycle, appelé cycle d’hystérésis
3) Cycle d’hystérésis d’un matériau ferromagnétique :
Montage (à connaître) pour le tracé du cycle étudié ultérieurement dans la
leçon sur le transformateur.
Milieu ferromagnétique milieu linéaire : la courbe de réponse à une
excitation , soit )H(M
n’est ni une droite, ni une ellipse, mais forme un
cycle appelé cycle d’hystérésis du matériau
H).H(M m
m = susceptibilité magnétique du matériau, fonction de l’excitation H
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Sa valeur maximale est plusieurs milliards de fois supérieure à celle d’un
matériau non ferromagnétique : le matériau ferromagnétique réagit avec une
grande intensité à l’application d’une excitation magnétique.
Quand on place un matériau
ferromagnétique au cœur d’une
bobine (dite alors à noyau de fer), on
lit sur la figure ci contre que le
champ résultant sera beaucoup plus
intense que celui de la bobine seule
Expliquer cette lecture.
Solution : lignes de champ plus resserrées sur le schéma de droite champ
plus intense
Analyse des courbes et composées
Cycle d’hystérésis Courbe de première
aimantation
Bsat
Msat
- Msat
- Bsat
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De la courbe de première aimantation : cas où le matériau est
désaimanté ( ou = 0 pour = ), et augmente
M augmente saturation à la valeur Msat (matériau complètement
aimanté)
B augmente saturation à la valeur Bsat proche de 1 T, car :
si atteint
= droite de pente µ0 = 4π.10-7
très faible… donc quasi nulle
Du cycle d’hystérésis : si à partir de cette valeur de M = Msat , on
diminue H, la courbe décrite ne reprend pas la courbe de première
aimantation, mais décrit un cycle
*Pour H =0 (plus d’excitation), le matériau reste aimanté, avec M = Mr
(aimantation rémanente) et B = Br (champ magnétique rémanent)
fabrication d’aimants permanents
* Pour obtenir une aimantation ou un champ magnétique nul : il faut
appliquer une excitation égale à –Hc, Hc = excitation coercitive
* Matériaux ferromagnétiques utilisés pour canaliser les lignes de champ à
l’intérieur d’un bobinage
Exemple : Tore d’un transformateur où le matériau ferromagnétique permet le
meilleur couplage entre les bobinages primaire et secondaire
4) Milieux magnétiques doux et durs :
Suivant l’allure de leur cycle d’hystérésis :
Classement des matériaux ferromagnétiques en deux catégories :
ferromagnétiques doux / durs
Ferromagnétiques doux : cycle d’hystérésis étroit, Hc faible, se désaimantent
spontanément quand l’excitation cesse
Ferromagnétiques durs : cycle très large, valeur élevée de Hc, restent aimantés
en l’absence d’excitation
Aire du cycle d’hystérésis caractéristique de l’énergie dissipée par unité
de volume du matériau quand il est soumis à une excitation alternative
cycles étroits bien adaptés pour une utilisation avec une excitation
alternative (moteurs électriques, transformateur) quand on désire un bon
rendement
Aire du cycle pour un aimant permanent = énergie stockée par unité de
volume sous forme magnétique
plus l’aire sera grande, plus l’aimant est puissant
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Matériau
Doux
Dur
Hc limites
<100 A.m-1
>104 A.m
-1
utilisation
Noyaux de bobines, de
transformateur, tôles de
moteurs, électroaimants
Aimants permanents de très
forte puissance
cycle
Etroit
Large
Exemples
Permalloy
Ferrite doux
(céramiques)
Neodyme
Fer Bore
Alnico
Composi-
tion
Alliage
Fe (15 %)
Ni (80 %)
Oxydes
MgOFe2O3
ZnOFe2O3
Alliage
Fe, Ne, B
Alliage
Fe, Al, Ni, Co
Hc (A.m-1)
0,16 10 1,5.106
105
Br (T) 1,2 0,4 1,3 1,25
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5) Modélisation linéaire des milieux ferromagnétiques doux :
Zone centrale du cycle (matériau non saturé)
Cycle très étroit peut être confondu avec la courbe de première
aimantation, donc assimilable à une droite
réponse du matériau linéaire :
HM m
. ( constante)
µ =µ0 (1+χm)=µ0 µr (coefficient de proportionnalité) = perméabilité du
matériau (même dimension que µ0)
Déterminer cette dimension.
Solution :
µ= µ0 µr avec µr sans dimension la perméabilité relative du matériau
Ordre de grandeur pour le Permalloy : µr = 105
On retient :
Pour un matériau ferromagnétique doux non saturé, la relation liant la réponse
du matériau à l’excitation est linéaire : avec µ0
=4π.10-7
H.m-1
perméabilité du vide, µ perméabilité du matériau et µr
perméabilité relative du matériau.
Equation de Maxwell Ampère:
Zone où on assimile le cycle à
la droite qui passe par O
(linéarisation), de pente µ.
B(T)
H
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théorème d’Ampère applicable dans un milieu ferromagnétique doux de la
même façon que dans le vide, en remplaçant µ0 par µ0µr
IV CIRCUITS MAGNETIQUES
1) Bobine à noyau de fer doux modélisé linéairement :
N = nombre de spires parcourue par le
courant I, bobinées sur la longueur d, R
le rayon des spires
Fil de cuivre de la bobine enroulé autour
d’un noyau de fer doux le calcul du
champ par le théorème d’Ampère se
fait de la façon suivante :
Effets de bords négligés (bobine de longueur d>>R rayon d’une spire)
hors de la bobine (tracé lignes de champ très évasées prouvant
que le champ extérieur est << champ interne)
Déterminer le champ interne à la bobine, son inductance propre, l’énergie
stockée et la densité d’énergie correspondante. Comparer à la bobine sans
noyau de fer.
Solution :
Etude des symétries identique à celle réalisée dans le cas d’une bobine
dans le vide
Théorème d’Ampère sur le contour de longueur l orienté :
en un point M intérieur au fer B uniforme :
Inductance propre de la bobine :
z
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Inductance de la bobine multipliée par µr>>1
énergie stockée par la bobine plus importante :
Densité d’énergie électromagnétique associée :
Energie magnétique stockée dans le milieu ferromagnétique doux, non
saturé :
2) Forme des lignes de champ dans un circuit magnétique :
Analogie entre circuit électrique et magnétique :
Circuit électrique : la force électromotrice fait circuler un courant I,
flux du vecteur densité de courant électrique Circuit magnétique : le courant = force magnétomotrice qui fait
circuler un flux magnétique, flux du champ magnétique à travers la
section du circuit ferromagnétique
Le matériau ferromagnétique canalise les lignes de champ, donc
empêche les fuites des lignes de champ hors du matériau :
Calcul du flux de à travers une
section d’un tube de champ confiné
dans le matériau ferromagnétique,
de longueur lfer :
Lignes de champ confinéesdans le tore
Lignes de champ fuyant le tore
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Idem à travers une section d’un tube de champ qui fuit hors du matériau
ferromagnétique, de longueur l assimilée à la longueur de la partie du tube se
trouvant dans l’air lair :
Dans un modèle simplifié, on peut admettre que les lignes de champ sont
parfaitement canalisées par le matériau ferromagnétique
Analyse avec les lois de passage :
BN1=BN2 et Ht1=Ht2 en l’absence de courants libres surfaciques
pour l’interface air (milieu 1)/fer (milieu 2) :
Les lignes de champ se rapprochent de la surface dans le matériau.
air
fer
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Circuit magnétique torique fermé (sans entrefer):
Modèle simplifié lignes de champ
parfaitement confinées dans le tore
Circuit électrique alimenté avec une tension
sinusoïdale
u(t)=U cos(ωt)
En négligeant les pertes par effet Joule dans
le fil de cuivre :
sinusoïdal
Mais :
Non linéarité du matériau forme non
sinusoïdale pour le courant I
I lié à H par le théorème d’Ampère
appliqué sur un contour circulaire de
longueur moyenne l :
Hl=NI.
B connu on en déduit H avec le cycle
d’hystérésis, donc I à un coefficient
multiplicatif près
I(t) non sinusoïdal : matériau non linéaire
Exemple de circuit avec entrefer : Electroaimant
Electroaimant = circuit magnétique alimenté par une bobine enroulée autour
d’un matériau ferromagnétique
Circuit magnétique interrompu par une ou plusieurs zones = entrefer
But de l’électroaimant :
soit maintenir un champ magnétique élevé dans l’entrefer (cas de gauche
de la figure ci dessous)
soit réaliser le levage d’une pièce ferromagnétique (cas de droite)
u(t)
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S = section du circuit magnétique
l =longueur moyenne du circuit magnétique
Constatation expérimentale : tant que e << largeur caractéristique du circuit
magnétique ( , les lignes de champ sortent du circuit magnétique
orthogonalement à l’interface avec l’entrefer
Si l’entrefer devient plus grand évasement des lignes de champ, l’air
canalisant moins bien le champ que le fer
Dans le cas où on peut supposer les lignes de champ parfaitement canalisées
dans l’entrefer : section S du tube de champ = constante
En utilisant la conservation du flux de et le théorème d’Ampère, calculer le
champ dans le fer et l’entrefer.
Solution :
Conservation du flux de
v
i
N
i
N
v
entrefer
v e
i
N
i
N
v
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Théorème d’Ampère sur un contour moyen de longueur l + e (l dans
le fer et e dans l’entrefer :
Hypothèse : matériau ferromagnétique doux modélisé par une relation linéaire
Comme µr 105>>1 :
3) Etude des pertes énergétiques (Joule, Hystérésis, Courants de
Foucault):
Exemple d’une bobine :
N spires enroulées autour d’un circuit
magnétique de section S
alimentée par une tension alternative
u(t) = U cos(ωt).
Energie électrique non utilisée intégralement
convertie en pertes que nous cherchons à spécifier
En utilisant la loi des mailles et le théorème
d’Ampère, établir un bilan énergétique montrant les deux types de pertes :
Pertes cuivre :
Pertes par hystérésis :
ou dA est l’aire
élémentaire sous le cycle B(H)
Solution :
Loi des mailles : u(t) = Ri-e =
Théorème d’Ampère sur le contour de longueur l : Hl = Ni
Pendant l’intervalle de temps dt, le générateur fournit l’énergie (terme
d’échange avec le système) :
e
S
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Où V = Sl volume de matériau ferromagnétique
H dB =aire élémentaire sous le cycle d’hystérésis
Partie des pertes correspondante = pertes
par hystérésis correspondant au
mouvement et à la modification non
réversible des parois de Bloch
Pertes Pertes
cuivre par hystérésis
Pertes cuivre = pertes par effet Joule dans le fil de cuivre
Sur un cycle :
Pertes par hystérésis proportionnelles à l’aire du cycle
A haute fréquence (cycle décrit un grand nombre de fois par seconde), un
matériau ferromagnétique dur consomme beaucoup d’énergie dans ces pertes
par hystérésis rendement du système diminué
On préfère pour améliorer le rendement des machines, utiliser des tôles en
matériau ferromagnétique doux, à cycle étroit (Permalloy ou ferrites doux)
Puissance moyenne associé :
Autre source de pertes = existence des courants de Foucault dans le matériau
ferromagnétique, minimisés en feuilletant le matériau
B
H
H
dB
dA
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Circuit magnétique de transformateur triphasé à 3 colonnes
Solution insuffisante à haute fréquence (puissance moyenne associée à ces
courants proportionnelle au carré de la fréquence)
Utilisation de matériaux ferromagnétiques très peu conducteurs (ferrites
céramiques) qui allient un cycle d’hystérésis étroit et une faible conductivité
électrique
Pertes par hystérésis +Pertes par par courant de Foucault = pertes fer
Ordre de grandeur des pertes fer:
1W/kg à 50 Hz pour des tôles d’acier de 0,35 mm d’épaisseur
50 mW/kg pour une ferrite MnZn
IV. TRANSFORMATEUR :
1) Tracé expérimental du cycle d’hystérésis (montage à connaître
absolument) :
Transformateur = ensemble de deux bobines (appelées primaire, nombre de
spires N1 et secondaire nombre de spires N2) enroulées autour d’un matériau
ferromagnétique
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Transformateur utilisé en TP
On réalise à partir de cette structure le montage suivant :
Les points désignent les bornes par où rentre un courant orientant
positivement le contour d’Ampère de façon unique par la règle du tire
bouchon.
R>>R0
VY1 = R0.i1 = R0.1N
Hl= H.
N
lR
1
0 image électrique de H
ω>>ωc
jRC
1H
VY2= B.RC
SN.N.
RC
1dt.
dt
dN
RC
1dt).t(e
RC
1 2c2
c22
image électrique de B
mode X-Y représentation de B en fonction de H = allure du cycle
d’hystérésis
N2
spires
R0
GBF
i1
e1
N1
spires
R
Ce2
Y1
Y2..
Matériau
ferromagnétique
Bobine du
primaire
Bobine du
secondaire
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2) Nécessité de la conversion d’énergie électrique et rôle du
transformateur :
ordres de grandeur des courants et tensions efficaces très différents le long de
la chaîne de transport de l’électricité nécessité d’une conversion avec un
bon rendement
Energie transportée sous haute tension :
Puissance fixée consommée par l’utilisateur Pmoy = Ueff Ieff cosφ
Energie perdue par effet Joule dans la ligne d’alimentation :
plus Ueff est élevée à Pmoy et cosφ fixés, plus le rendement de la ligne est
élevé
Transformateur utilisé à chaque fois que l’on désire modifier la tension
efficace ou le courant efficace dans la ligne
d’alimentation.
Transformateur de poteau 20kV/380V Transfo triphasé 450 MVA, 380 kV
Centrale nucléaire :Ieff = 106 AUeff = 1 à 20 kV
P = 900 MW
Transformateursabaisseurs de
tension
Ligne THT
Ueff = 225 à 400 kV
Ligne MT
Ueff = 32 à 60 kV
Transformateurélévateur de
tension
Ligne BT
Ueff = 220 V
UsagerP varie du Wau kW
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Transformateur triphasé 250 MVA,
735 kV d ’Hydro-Quebec
Transformateur d’interconnexion
de réseau
3) Définitions et relations de base :
Le transformateur réalise une conversion d’énergie électromagnétique statique
(sans mouvement) uniquement en courant alternatif.
Constitution : deux enroulements (primaire et secondaire) de résistances
respectives R1 et R2 couplés par le matériau ferromagnétique, de forme
torique de section S
Phénomène d’induction :
N2
spires
v1 e1
N1
spires
e2 v2
i1 i2
Contourd’Ampère
CA
R1R2..
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Théorème d’Ampère : Hl = N1i1+N2i2. (l est la longueur du contour
d’Ampère)
Les points désignent les bornes par où rentre un courant orientant
positivement le contour d’Ampère de façon unique par la règle du tire
bouchon.
Lois des mailles : v1 = R1.i1-e1 v2=R2.i2-e2
Lois de l’induction : dt
de 11
et
dt
de 2
2
φ1 est le flux du champ total à travers les N1 spires du primaire
φ2 est le flux du champ total à travers les N2 spires du secondaire
v1 = R1.i1-e1= R1.i1+dt
d 1 v2=R2.i2-e2= R2.i2+dt
d 2
4) Transformateur parfait :
Trois hypothèses définissent le modèle :
fuites des lignes de champ hors du tore magnétique négligées :
flux du champ magnétique à travers une section constant, appelé φc (flux
commun à toutes les sections)
dt
dN
dt
de c
11
1
et dt
dN
dt
de c
22
2
φc=B.S= Sl
iNiNHS rr
221100
dt
di
l
SNN
dt
di
l
SNe 221r01
21r0
1
=-(L1
dt
diM
dt
di 21 )
dt
di
l
SN
dt
di
l
SNNe 2
22r0121r0
2
=- (Mdt
diL
dt
di 22
1 )
les f.e.m induites aux bornes des enroulements prennent en compte
l’inductance propre des bobinages, ainsi que le phénomène d’inductance
mutuelle.
pertes par effet Joule dans les enroulements négligées :
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R1 = R2 = 0
v1 = -e1= dt
d 1
dt
dN c
1
et v2= -e2= dt
d 2
dt
dN c
2
par quotient :
111
22 mvv
N
Nv (m=N2/N1 rapport de transformation)
r (matériau magnétique parfait)
r0
B
l = N1i1+N2i2=N1im 0 (im = courant magnétisant)
22
1
21 mii
N
Ni
En combinant les deux équations :
v1i1+v2i2=0 ou P1+ P2 = 0
Un transformateur parfait a un rendement égal à 1.
Schéma du transformateur idéal :
5) Applications :
a) Transformateur d’isolement :
Dans un transformateur d’isolement, N1 = N2 m = 1 et v2=v1
Utilisations :
Création d’une masse flottante permettant la mesure d’une différence de
potentiels entre deux points quelconques d’un circuit
Ex : si on veut visualiser à la fois la tension aux bornes de R1 et R2 à
l’oscilloscope, R2 est court-circuitée par la ligne de terre
Solution : TI intercalé entre le GBF et le circuit
m
i1
v1
i2
v2 Z
..
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Protection électrique des personnes dans le cas d’un contact direct
phase/terre (salles opération, prise de rasoir des hôtels)
Protection assurée en cas de contact
avec un point du circuit (phase par
exemple) ou si existe un défaut d’isolation
de carcasse métallique au secondaire car
pas de liaison avec la terre
Protection non assurée en cas de
contact avec deux points du circuit
secondaire car le disjoncteur vérifie les
fuites de courant au primaire
b) Transfert d’impédance du secondaire au primaire :
On branche le secondaire d’un transformateur sur une impédance Z :
Montrer l’équivalence entre les deux schémas suivants :
1eq2
1221 iZ
m
iZ
m
iZ
m
vv
Impédance vue du primaire du transformateur = celle du secondaire /m2
Utilisation : adaptation d’impédance
c) Transfert d’une source du primaire au secondaire :
R1
R2 GBF
CH1
CH2
R1
R2 GBF
CH2
CH1
Masse du GBF
(terre)
Masse du
GBF (terre)
Masse de
l’oscilloscope
Masse de
l’oscilloscope
i1
v1 Z/m2
Masse de
l’alimentation
(terre)
Protégé
Protégé Non protégé
m
i1
v1
i2
v2 Z
. .
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Montrer l’équivalence entre les deux schémas suivants :
v2= mv1 = m(Eg – Zg i1) = m(Eg +m Zg i2)= mEg +m2 Zg i2
Source transférée au secondaire : f.e.m. multipliée par m, impédance
multipliée par m2
6) Pour aller plus loin : modelisation plus complète : le
transformateur reel
a) Prise en compte des inductances de fuite et résistances des
enroulements :
Certaines lignes de champ s’échappent hors du matériau ferromagnétique
fuites
1 = N1 c+ fuites
= N1 c+Lf1 i1 (Lf1 inductance de fuite du primaire)
dt
diL
dt
dN
dt
de 1
1fc
11
1
v1 = R1.i1-e1= R1.i1dt
diL
dt
dN 1
1fc
1
= R1.i1+dt
diL 1
1f +u1
u1 correspond au modèle du transformateur parfait
idem pour le secondaire, d’où le schéma équivalent :
m
i1
v1
i2
v2
Zg
Eg
.. i2
v2
m2Zg
mEg
m
i1
v1
i2
v2u1 u2
R2Lf1 Lf2R1 ..
Cours n_p_ : EM dans la matière page 27/28
b) Prise en compte des « défauts » du circuit magnétique : courant
magnétisant et pertes fer :
Courant magnétisant :
i2 = -2
1
N
N(i1-im) avec B= m
1r0i
l
N et m1m
21r0
B iLil
SN
e1 = dt
diL
dt
d m1
B
Pertes fer : Rfer permet de les modéliser
Attention : dipôle obtenu non linéaire, les pertes fer dépendant de la fréquence
(donc Rfer aussi)
D’où le schéma équivalent :
b) Calcul du rendement :
Par un bilan de puissance :
P1 = P2 + PJoule, enroulement + PCourants de Foucault + Phystérésis
= Putile + Pcuivre + Pfer
pertes cuivre = pertes par effet Joule dans les enroulements
mesure : secondaire en cours circuit, et i1 = i1nominal ; il suffit d’une tension
très faible pour fournir ce courant, on néglige donc alors les pertes fer, et P2
= 0.
Pcuivre= P1, court circuit
pertes fer = pertes par hystérésis et courant de Foucault dans le matériau
mesure : secondaire à vide, car ainsi, les courants sont très faibles les
pertes cuivre négligeables. On maintient v1 = v1, nominal.
On a toujours P2 = 0.
m
i1
v1
i2
v2u1u2
R2Lf1 Lf2R1
L1
Rfer
..
Cours n_p_ : EM dans la matière page 28/28
Pfer = P1, vide
Rendement : cuivrefer2
2
PPP
P
< 1 pour un transformateur réel !