MIKE KOIVISTO JOHDATUS WLAN-PAIKANNUSMALLEIHINmath.tut.fi/posgroup/kandi-mike-koivisto.pdf1 1....

MIKE KOIVISTOJOHDATUS WLAN-PAIKANNUSMALLEIHINKandidaatintyö

Tarkastaja: Simo Ali-LöyttyPalautettu: 5.9.2013

II

TIIVISTELMÄTAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTOTeknis-luonnontieteellinen koulutusohjelmaMIKE KOIVISTO: Johdatus WLAN-paikannusmalleihinKandidaatintyö, 25 sivua, 2 liitesivuaSyyskuu 2013Pääaine: MatematiikkaTarkastaja: Simo Ali-LöyttyAvainsanat: WLAN-paikannus, kuuluvuusalue, path loss, fingerprint-menetelmä, MC-integrointi

Langattomaan lähiverkkoon perustuva WLAN-paikannus on tavallisesti sisätilois-sa, mutta tiheästi asutuilla alueilla kuten kaupungeissa myös ulkotilassa tapahtuvaakäyttäjän sijainnin määrittämistä. Paikantamiseen tarvittava informaatio saadaankäyttäjän päätelaitteen ja WLAN-tukiaseman välisestä vuorovaikutuksesta. Tässävuorovaikutuksessa päätelaite havaitsee tukiasemien lähettämät radiosignaalit tie-tyllä voimakkuudella. Käyttäjän sijaintia voidaan arvioida signaalien voimakkuus-tietoihin ja havaittuihin tukiasemiin pohjautuvalla informaatiolla. Tähän arvioimi-seen käytetään erilaisia matemaattisia malleja, joiden paikannustarkkuudet, paikan-nukseen käytetyt ajat ja resurssien tarpeet vaihtelevat.

Tässä työssä on tarkoitus esitellä sisätiloissa tapahtuvan paikannuksen matemaatti-sia malleja ja niiden ratkaisuja. Työssä keskitytään pääasiassa malleissa käytettyynmatematiikkaan ja siihen, miten mallit voidaan ratkaista matemaattisia menetelmiäkäyttäen. Lisäksi työssä esitellään lyhyesti paikannuksessa yleisesti käytettyjä ap-proksimatiivisia menetelmiä. Malleja ja niiden ratkaisuja visualisoidaan MATLAB-ohjelmistolla luoduilla kuvilla ja lopuksi malleja vertaillaan keskenään sanallisin janumeerisin menetelmin.

III

ALKUSANATTämä tekniikan kandidaatintyö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matema-tiikan laitokselle.

Kiitän kandidaatintyön ohjaajaa ja tarkastajaa TkT Simo Ali-Löyttyä mielenkiin-toisesta kandidaatintyön aiheesta sekä avusta ja neuvoista työn tekemisessä. Lisäksihaluan kiittää DI Henri Nurmista avusta ja opastuksesta ohjelmistojen käytössä.

IV

SISÄLLYS1. Johdanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. WLAN-paikannusmallien teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Yksinkertainen malli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Fingerprint-menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Ellipseistä muodostettu kuuluvuusaluemalli . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Path loss -malli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Menetelmät path loss -mallin ratkaisemiseksi . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1 Analyyttiset menetelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Grid-menetelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 MCMC-menetelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.1 Monte Carlo -integrointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Mallien testaaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175. Yhteenveto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Lähteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A. Teorialiite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

V

TERMIT JA SYMBOLIT

x ∈ S x on joukon S alkioN luonnollisten lukujen joukkoR reaalilukujen joukkof : B → C funktio määrittelyjoukosta B arvojoukkoon CA matriisiAT matriisin A transpoosiA−1 matriisin A inverssiA ∈ Rn×n n× n reaaliarvoinen matriisirank(A) matriisin A astex ∈ Rn n-ulotteinen reaaliarvoinen vektorixi indeksoitu vektori, tukiaseman i koordinaattivektori1 ∈ Rn n-ulotteinen ykkösvektori [1,1, . . . , 1]T

‖x‖ vektorin x euklidinen normix x:n estimaattix ∼ N(µ,Σ) satunnaismuuttuja, joka on normaalijakautunut

parametrein µ ja Σx ∼ U(a,b) satunnaismuuttuja, joka on tasajakautunut välille (a,b)argmin

xf(x) muuttujan x arvo, joka minimoi funktion f(x)

loga(x) muuttujan x a-kantainen logaritmiln(x) muuttujan x luonnollinen logaritmi∫

integraaliE[w(x)] satunnaismuuttuja-arvoisen funktion odotusarvop(x) satunnaismuuttujan x tiheysfunktiop(x|y) satunnaismuuttujan x ehdollinen tiheysfunktio ehdolla y

WLAN langaton lähiverkko (wireless local area network)UE käyttäjän päätelaite (user equipment)AP WLAN-tukiasema (access point)FP sormenjälki, fingerprint-menetelmäRSS WLAN-tukiaseman lähettämän signaalin voimakkuus

(radio signal strenght)RM tukiaseman signaalin voimakkuuskartta (radio map)

1

1. JOHDANTO

Teknologian nopea kehittyminen, erityisesti helposti liikuteltavien laitteiden eli mo-biililaitteiden osa-alueella, on vaikuttanut suuresti käyttäjien paikannukseen. Mobii-lilaitteen avulla tehtävän paikannuksen tulee olla nopeaa ja mahdollisimman vähänlaitteen resursseja kuluttavaa. Ulkotiloissa tapahtuva, satelliittien avulla suoritetta-va paikannus on viety viimeisten vuosien aikana lähes äärimmilleen, mutta vastalangattomien verkkojen yleistyessä on alettu pohtimaan sisätiloissa tapahtuvan pai-kannuksen mahdollisuuksia.

Ihminen viettää suuren osan päivästään sisätiloissa esimerkiksi työpaikalla ja kau-poissa. Mobiililaitteen kyky vastaanottaa satelliiteista tulevaa signaalia sisätiloissaon kuitenkin epävarmaa ja siksi sisätiloissa tapahtuva paikannus on suoritettavakäyttämällä muuta satavilla olevaa tietoa. Tämä ongelma on ratkaistu kehittämäl-lä menetelmiä ja malleja, jotka käyttävät sisätiloissa WLAN-tukiasemien signaa-leja käyttäjän paikantamiseen. Tätä mallien kokonaisuutta kutsutaan sisätila- taiWLAN-paikannukseksi.

Tämän kandidaatintyön alussa, kappaleessa 2, esitellään neljä erilaista, kaksiulot-teista matemaattista paikannusmallia käyttäjän sijainnin määrittämiseen. Nämämallit ovat yksinkertainen malli, fingerprint-menetelmään pohjautuva malli, kuu-luvuusaluemalli sekä path loss -malli. Kappaleessa kerrottaan malleissa käytetystämatematiikasta ja mallien ratkaisumenetelmistä.

Kappaleessa 3 kerrotaan tarkemmin path loss -mallin erilaisista approksimatiivisis-ta ratkaisumenetelmistä, sekä kappaleen lopussa esitellään Markovin ketjuun poh-jautuva, numeerinen Monte Carlo -integrointimenetelmä. Ennen yhteenvetoa, kap-paleessa 4, visualisoidaan MATLAB-ohjelmistolla luoduin kuvin aiemmin esiteltyjäpaikannusmalleja. Lisäksi samassa kappaleessa mallien ratkaisuja arvioidaan sanal-lisin ja numeerisin menetelmin.

2

2. WLAN-PAIKANNUSMALLIEN TEORIA

Langattomaan lähiverkkoon eli WLAN:in perustuva paikannus on käyttäjän pää-telaitteen (UE, user equipment) ja WLAN-tukiaseman (AP, access point) välistävuorovaikutusta. WLAN:n avulla käyttäjä voidaan paikantaa joko sisätiloissa tai ti-heästi asutuilla alueilla, kuten kaupungeissa, myös ulkona. Tässä työssä keskitytäänsisätiloissa tapahtuvaan WLAN-paikannukseen. UE:lla tarkoitetaan tässä työssä pie-nehköä, helposti liikuteltavaa laitetta, jolla pystytään olemaan yhteydessä langatto-maan lähiverkkoon.

2.1 Yksinkertainen malli

Yksinkertaisessa paikannusmallissa oletetaan, että käyttäjä tietää jokaisen kuule-mansa tukiaseman koordinaatit. Näin ollen jokaiselle AP:lle voidaan kirjoittaa kak-siulotteinen, vektorimuotoinen sijainti

APi = xi = xi

yi

, (2.1)

missä alaindeksi i ∈ N kuvaa käyttäjän vastaanottimen kuulemaa AP:n indeksiä.Oletetaan, että käyttäjä vastaanottaa signaalia n:stä AP:sta ja niiden sijainnit ovatmuotoa xi, missä i = 1, . . . , n. Yksi tapa ratkaista käyttäjän kaksiulotteisen sijainnin

x = x

y

arvio eli estimaatti x on pienimmän neliösumman menetelmä, mikä

minimoi käyttäjän sijainnin ja tukiasemien välisten etäisyyksien virheen [1, s. 72].

Lause 2.1.1. (Pienimmän neliösumman menetelmä) Olkoon x ∈ Rn tunte-maton vektori ja y ∈ Rm tunnettu vektori, sekä A ∈ Rm×n tunnettu matriisi ja joillepätee m ≥ n. Tällöin on olemassa ratkaisu ongelmalle

argminx‖y− Ax‖2.

Ongelman ratkaisu on yksikäsitteinen jos ja vain jos rank(A) = n. Tällöin ATA onpositiivisesti definiitti ja kääntyvä [1, s. 40], jolloin

argminx‖y− Ax‖2 = (ATA)−1AT y

2. WLAN-paikannusmallien teoria 3

Todistus. Merkitään minimoitavaa yhtälöä S(x) ja muotoillaan yhtälö muotoon

S(x) = ‖y− Ax‖2 = (y− Ax)T (y− Ax)

Ratkaistaan derivaatan nollakohta

0 = dS

dx= d

dx((y− Ax)T (y− Ax)

)[18, s. 5-7]= d

dx(yT y− yTAx− xTAT y + xTATAx)

x=x= −yTA− yTA+ xT (ATA+ ATA)= −2yTA+ 2xTATA

⇔ x = (ATA)−1AT y

Todetaan, että ratkaisu on globaali minimi ratkaisemalla funktion S(x) Hessen mat-riisi eli toisen kertaluvun derivaattamatriisi H.

H = d2S

dx2 = d

dx(−2yTA+ 2xTATA

)= 2ATA

Oletuksen mukaan ATA on positiivisesti definiitti [1, s. 74], jolloin kyseinen ää-riarvo x on globaali minimi [4, s. 99]. Matriisin symmetrisyyden ja definiittisyydenmääritelmät on esitetty liitteessä A.

Aiemmin esitetyssä kaksiulotteisessa minimointiongelmassa pyritään siis käyttäjänja kuultujen AP:n välisten etäisyyksien neliöiden summan minimointiin, mikä voi-daan kirjoittaa lauseen 2.1.1 avulla muotoon

x =argminx

(‖x1 − x‖2 + ‖x2 − x‖2 + · · ·+ ‖xn − x‖2

)=argmin

x

n∑i=1‖xi − x‖2

=argminx‖A− 1xT‖2

(2.2)

Yhtälössä (2.2) esiintyvä matriisi

A = [AP T1 , AP

T2 , · · · , AP T

n ]T = [xT1 ,xT

2 , · · · ,xTn ]T ∈ Rn×2 (2.3)

on muodostettu vaakariveittäin kuultujen AP:n koordinaattien mukaan siten, et-tä matriisin ensimmäisellä vaakarivillä on ensimmäisen kuullun AP:n koordinaatit.Merkintä 1 tarkoittaa n-ulotteista pystyvektoria, jonka kaikki alkiot ovat ykkösiä.


AP1

AP2

AP3

AP4

x1 − x

x2 − x

x4 − x

Kuva 2.1: Havainnollistava esimerkki pienimmän neliösumman menetelmästä tukiasemien ja käyt-täjän välisen etäisyyden minimoimisessa kolmen kuullun AP:n tapauksessa

Minimointiongelman ratkaisuksi saadaan tällöin tuloksen (2.1.1) mukaan

x =((1T 1)−11TA

)T

[1, s. 39]= AT 1(1T 1)−1

(1T 1)−1= 1n= 1

n

x1 x2 · · · xn

y1 y2 · · · yn

[1, 1, · · · , 1]T

= 1

n(x1 + x2 + · · ·+ xn)

1n(y1 + y2 + · · ·+ yn)

.(2.4)

Käyttäjän paikkaestimaatti eli kaksiulotteisen minimoitiongelman ratkaisu x on siiskuultujen AP:n x- ja y-koordinaattien keskiarvo.

Yksinkertaisen mallin suurin heikkous on, että todellisuudessa tukiasemien tarkatsijainnit eivät ole tiedossa vaan niiden sijainnit estimoidaan ennalta kerätystä ope-tusdatasta.

2.2 Fingerprint-menetelmä

Fingerprint-menetelmä (FP-menetelmä) on paikannusmenetelmä, joka koostuu kah-desta erillisestä vaiheesta. Ensimmäinen vaihe on opetusdatan keräämisvaihe, mikäsuoritetaan paikannuskohteessa mahdollisimman monessa eri sijainnissa siten, ettäopetusdatapisteet kattavat koko tilan. Opetusdata sisältää tiedot käyttäjän sijain-neista ja niissä tehdyistä WLAN-skannauksista. Sijaintitieto, esitetty kuvassa 2.2,


kertoo käyttäjän sijainnin kaksiulotteisena koordinaattina ja WLAN-skannaustenavulla saadaan sijainnista selville muun muassa kuuluvien tukiasemien BSSID:t (tu-kiaseman tunniste) sekä tukiasemien RSS-arvot (tukiaseman lähettämän signaalinvoimakkuus).

Kuva 2.2: Skannausinformaatio, josta käyilmi senhetkinen sijainti, kuultujen tukiase-mien ID:t sekä kyseisten tukiasemien RSS-arvot kyseisessä sijainnissa

Radiomap

FPs

AP position estimate

Kuva 2.3: Esimerkki yhdelle tukiasemallemuodostetusta RM:sta

Opetusdatan keräämisen jälkeen data lajitellaan siten, että kutakin tukiasemaa koh-ti on tietty määrä sijainteja, joissa kyseinen tukiasema on kuultu (kuvat 2.4 ja 2.5).Edellä mainittuihin kaksiulotteisiin koordinaattitietoihin voidaan lisätä tieto sijain-nissa kuullusta AP:n signaalin voimakkuudesta. Opetusdatapisteitä kutsutaan myössormenjäljiksi (fingerprint), sillä jokaisesta skannatusta sijainnista saadaan erilai-nen opetusdatainformaatio. Kyseisen opetusdatan perusteella voidaan luoda paikanfunktiona koko tilan kattava, signaalien voimakkuuksista muodostuva RM (RadioMap) tai kuuluvuusaluemalli paikannusmenetelmästä riippuen [9, s. 2].

Kuva 2.4: Eri sijainneissa suoritetut esi-merkkiskannaukset opetusdatatietokannanluomista varten

Kuva 2.5: opetusdatan sijaintitietojen luo-kittelu kahdelle tukiasemalle AP1 (merk.rastilla) ja AP2 (merk. ympyrällä)

Toinen FP-menetelmän vaihe on paikannusvaihe, jossa UE:n vastaanottamia sig-naaleja verrataan datan keräämisvaiheessa muodostettun RM:n arvoihin tai kuulu-


vuusaluemalliin tilanteesta riippuen. Arvio käyttäjän senhetkisestä sijainnista saa-daan ratkaistua erilaisia algoritmeja käyttämällä [9, s. 3].

2.3 Ellipseistä muodostettu kuuluvuusaluemalli

Paikannuksessa voidaan käyttää hyödyksi kuultujen AP:n elliptisiä kuuluvuusaluei-ta. AP:n kuuluvuusalue on muodostettu opetusdatan perusteella niistä pisteistä,joissa AP on kuultu. Ellipsi määritellään tavallisesti analyyttisessä geometriassamääritelmän 2.3.1 mukaisessa algebrallisessa esitysmuodossa

Määritelmä 2.3.1. Ellipsi on niiden pisteiden (x, y) joukko, jotka toteuttavat yh-tälön

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0,

missä b2 − 4ac < 0 [11]. 4

Lause 2.3.1. Ellipsin yhtälö voidaan ryhmitellä määritelmän 2.3.1 mukaisesti muo-toon

(x− µ)TA−1(x− µ) = 1,

missä µ ∈ R2 on ellipsin keskipiste, x = x

y

ja A ∈ R2×2 on symmetrinen ja

positiivisesti definiitti matriisi.

Todistus. Tutkitaan tapauksia, joissa määritelmän 2.3.1 mukaisella yhtälöllä onuseita ratkaisuja. Tällöin ellipsin yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0⇔ xTA1x + bT x + f = 0,

missä

x = x

y

, b = d

e

ja A1 = a 1

2b12b c

.Matriisi A1 on symmetrinen matriisi liitteessä A esitetyn symmetrisyyden määritel-män nojalla.

Määritelmän 2.3.1 ehdosta b2 − 4ac < 0 seuraa, että vakioiden a ja c tulee ollasamanmerkkiset (yleisyyttä rajoittamatta sovitaan, että ne ovat positiivisia), sillä

b2 − 4ac < 0⇔ 14b

2 < ac⇔ 0 ≤ 14b

2 < ac.


Samasta ehdosta seuraa, että matriisi A1 on kääntyvä, sillä

det (A1) = ac− 14b

2 = −14(b2 − 4ac) > 0.

Matriisi A1 on lisäksi positiivisesti definiitti jos ja vain jos sen reaaliset ominaisarvotovat positiivisia. Matriisin ominaisarvot ovat ominaisarvoyhtälön det (λI − A1) =λ2− tr(A1)λ+ det (A1) ratkaisut, jotka voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön rat-kaisukaavan avulla. Yhtälössä oleva merkintä tr(A1) tarkoittaa matriisin A1 jälkeäeli diagonaalialkioiden summaa. Matriisin ominaisarvot

λ =a+ c±

√(a+ c)2 + (b2 − 4ac)

2 .

Ominaisarvot ovat reaalisia, koska diskriminantti D = (a + c)2 + (b2 − 4ac) =(a − c)2 + b2 ≥ 0. Matriisin ominaisarvot ovat lisäksi positiivisia, koska D ≥ 0 janeliöjuurifunktio on aidosti kasvava, eli voidaan kirjoittaa

0 ≤√

(a+ c)2 + (b2 − 4ac) <√

(a+ c)2 = a+ c,

jolloin koko ominaisarvojen ratkaisun osoittaja a + c ±√

(a+ c)2 + (b2 − 4ac) > 0.Tämän nojalla matriisi A1 on positiivisesti definiitti.

Edelleen yhtälö xTA1x + bT x + f = 0 voidaan kirjoittaa muotoon

(x + 1

2A−11 b

)T

A1

(x + 1

2A−11 b

)= 1

4bTA−11 b− f.

Tällä yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja jos 14bTA−1

1 b − f < 0, yhtälöllä on yksiratkaisu −1

2A−11 b jos 1

4bTA−11 b− f = 0 ja useita ratkaisuja, kun

14bTA−1

1 b− f = cd2 − bde+ ae2

4ac− b2 − f > 0,

josta saadaan ehto cd2−bde+ae2−4acf+fb2 > 0. Merkitään vakiotermiä selvyydenvuoksi k = 1

4bTA−11 b− f . Tarkastellaan vain mielekästä tilannetta, jolloin yhtälöllä

on useita ratkaisuja eli k > 0. Nyt voidaan kirjoittaa

(x + 1

2A−11 b

)T

A1

(x + 1

2A−11 b

)= k

⇔(

x + 12A−11 b

)T (1kA1

)(x + 1

2A−11 b

)= 1

⇔(x− µ)TA−1(x− µ) = 1,


missäµ = −1

2A−11 b ja A =

(14bTA−1

1 b− f)A−1

1 .

Matriisi A, jota kutsutaan myös ellipsin kovarianssimatriisiksi, on positiivisesti de-finiitti, koska A1 on positiivisesti definiitti ja vakio k = 1

4bTA−11 b − f > 0. Kaikki

lauseen 2.3.1 muotoa olevat yhtälöt voidaan kirjoittaa määritelmän 2.3.1 muotoon,missä matriisin A−1 determinantin positiivisuudesta seuraa ehto b2 − 4ac < 0.

Lauseessa 2.3.1 esitetty ellipsin kovarianssimatriisi voidaan sen symmetrisyyden jadefiniittisyyden ansiosta kirjoittaa similaarimuunnoksen [1, s. 69] avulla muotoon

A =[

u v] a2 0

0 b2

uT

vT

, (2.5)

missä u ∈ R2 ja v ∈ R2 ovat ellipsin isoakselin ja sitä kohtisuorassa olevan akselinsuuntaiset yksikkövektorit [1, s. 10]. Iso- ja pikkuakselin pituudet ovat a ja b japituuksien neliöt a2 ja b2 ovat ellipsin kovarianssimatriisin ominaisarvot ja u ja vniitä vastaavat ominaisvektorit (kuva 2.6) [1, s. 63].

Kuva 2.6: Ellipsin kovarianssimatriisin pa-rametrien geometrinen tulkinta

Kuva 2.7: Ellipsin muodostaminen kartio-leikkausmenetelmällä [20]

Kahden ellipsin leikkauspisteet voidaan määrittää kartioleikkausmenetelmällä (kuva2.7) käyttäen Hillin algoritmia [10, s. 12]. Ellipsin määritelmän 2.3.1 mukaan ellipsinyhtälö voidaan kirjoittaa karakteristisessa muodossa

[x y 1

]Q[x y 1

]T=

0, missä

Q =

a b/2 d/2b/2 c e/2d/2 e/2 f

(2.6)

on ellipsin karakteristinen matriisi. Tavallisten funktioiden leikkauspisteitä ratkais-taessa yhtälöt merkitään yhtäsuuriksi. Vastaavalla tavalla kahden ellipsin leikkauk-selle voidaan kirjoittaa mielivaltaisen vakion λ ∈ R avulla

0 = xTQ1x− λxTQ2x= xT (Q1 − λQ2)x,

(2.7)


missä x =[x y 1

]T[10, s. 12].

Kuva 2.8: Opetusdatan perusteella muodostetut kuuluvuusalue-ellipsit ja ellipsien leikkaussuora

Yhtälön (2.7) matriisi Q1 − λQ2 voidaan ajatella olevan toisen kartioleikkauksenmatriisi. Tämän kartioleikkauksen ei kuitenkaan tarvitse olla ellipsi. Kun mielival-tainen vakio λ valitaan siten, että det(Q1−λQ2) = 0 [1, s. 63] eli matriisi Q1−λQ2

on singulaarinen, voidaan saadun vakion λ avulla määrittää leikkauspisteiden mää-rästä riippuen suorat (kuva 2.8), joilla ellipsien leikkauspisteiden on sijaittava. De-generoituneen kartioleikkauksen determinantin yhtälö det(Q1 − λQ2) = 0 sieveneekolmannen asteen yhtälön juurien ratkaisemiseksi [10, s. 12-13].

Leikkauspisteiden ratkaisemisen jälkeen on helppo rajoittaa käyttäjän sijainti leik-kaavien ellipsien leikkausalueelle tilanteessa, jossa käyttäjä kuulee kyseiset kaksiAP:a. Kun ellipsien keskipisteet ja kovarianssimatriisit ovat tiedossa voidaan käyt-täjän todennäköisin paikka ratkaista kaavalla

x =(

n∑i=1

(A−1i )

)−1 ( n∑i=1

(A−1i µi)

), (2.8)

missä Ai on tukiaseman, jonka indeksi on i, elliptisen kuuluvuusalueen kovarians-simatriisi ja µi on tukiaseman i muodostaman kuuluvuusalue-ellipsin keskipiste [9,s. 35], [12].

Kuuluvuusaluemalli ei ole yksinään kovinkaan tarkka käyttäjän sijainnin määrit-tämiseen ja siksi kuuluvuusaluetta käytetäänkin joissain malleissa yhtenä osatekijä-nä käyttäjän sijainnin ratkaisemiseksi. Laskennallisessa mielessä kuuluvuusaluemal-lin ratkaiseminen on melko kevyt laskennallinen prosessi ja laskenta-ajat pysyvätlyhyinä [2, s. 7], [12].

2.4 Path loss -malli

Path loss -malli on malli, jossa käytetään hyväksi tukiaseman signaalin voimak-kuutta opetusdatapisteissä. Jokaisessa opetusdatapisteessä AP on kuultu tietyllä


voimakkuudella y. Signaalin voimakkuuden ja opetusdatapisteiden sijaintien perus-teella voidaan luoda signaalin vaimenemismalli, joka kuvaa AP:n signaalin voimak-kuutta tilan eri pisteissä. Mallin ongelmana on, että signaali vaimenee edetessääntilasta riippuvalla tavalla, sillä seinät ja muut esteet aiheuttavat signaalin heijastu-mista ja suurempaa vaimenemista.

Path loss -mallin yksinkertainen tilastollinen vaimenemismalli kirjoitetaan yleisessätapauksessa muotoon [14, s. 28]

yi = A− 10n log10(‖m− xi‖) + v, (2.9)

missä yi on pisteessä xi kuultu signaalin voimakkuus, A signaalin voimakkuus 1 metäisyydellä tukiasemasta, n tilasta riippuva vakio, m on AP:n sijainti ja v ∼ N(0,σ2)mittauksissa oleva normaalisti jakautunut virhe [15], [7]. Tilaa kuvaava vakio n saatavallisesti arvoja 2-4, missä 2 on vapaan tilan aiheuttama vaimeneminen ja 4 onpaljon seiniä ja esteitä sisältävän tilan kerroin [13, s. 10].

Määritelmä 2.4.1. Olkoon x : Ω→ Rp vektoriarvoinen satunnaismuuttuja, µ ∈ Rp

ja Σ symmetrinen positiivisesti definiitti p× p-matriisi. Tällöin satunnaismuuttujax noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja Σ, jota merkitsemme symbolillax ∼ Np(µ,Σ), jos sen tiehysfunktio on

fx(x) = 1(2π) p

2

√det(Σ)

exp(−(x− µ)T Σ−1(x− µ)

2

), (2.10)

missä −∞ < x < ∞, odotusarvo µ = E(x) ja kovarianssimatriisi Σ = V (x). [15,s. 14] 4

Yhtälön (2.9) tuntemattomat parametrit A, n ja m voidaan ratkaista Gauss-Newto-nin menetelmällä [14, s. 13]. Minimoitavana on nyt virhe v, jolloin epälineaarinenfunktio voidaan esittää pienimmän neliösumman menetelmän avulla

argminA,n,m

n∑i=1‖A− 10n log10(‖m− xi‖)− yi‖2 (2.11)

Parametrien estimointi perustuu ennalta kerättyyn opetusdataan, jolloin ainoat tun-temattomat parametrit ovat A, n ja m. Gauss-Newtonin menetelmä käyttää es-timoinnissa hyväkseen yhtälön Jacobin matriisia eli ensimmäisen kertaluvun deri-vaattamatriisia. Menetelmän etuna on, että tavallisesti haastavaa toisen kertaluvunderivaattaa ei tarvita. Jacobin matriisin määritelmä on esitetty liitteessä A.


Jos mittausmallin funktio Fi(A,n,m) = A − 10n log10(‖m − xi‖), niin parametrienA,n,m suhteen Jacobin matriisi saa muodon

J(A,n,m) = ∂F

∂(A,n,m)

=

1 −10 log10(‖m− x1‖) − 10

ln(10)n(m−x1)T

‖m−x1‖2

1 −10 log10(‖m− x2‖) − 10ln(10)n

(m−x2)T

‖m−x2‖2

... ... ...1 −10 log10(‖m− xn‖) − 10

ln(10)n(m−xn)T

‖m−xn‖2

,(2.12)

mitä Gauss-Newtonin menetelmässä käytetään parametrien optimiarvoja ratkais-taessa. Lisäksi menetelmä tarvitsee ratkaistaville parametreille alkuarvaukset, jois-ta algoritmi lähtee liikkeelle. Path loss -mallin parametrien ratkaisemisessa käytettyGauss-Newtonin menetelmä, joka tunnetaan myös nimellä iteratiivinen pienimmänneliösumman menetelmä, on esitelty alla (algoritmi 2.4.1) [16, s. 27].

Gauss-Newtonin menetelmä on käyttökelpoinen jos minimoitava funktio on hyvän-laatuinen ja valittu alkuarvaus on riittävän lähellä minimiä. Menetelmä perustuuajatukseen, jossa lähdetään alkuarvauksesta x0 ja lasketaan tästä lähtien askeleitax1,x2, jne. niin kauan, kunnes ratkaisu ei enää muutu [16, s. 26].

Algoritmi 2.4.1 Gauss-Newtonin menetelmä (Iterative Least Squares)

1. Valitaan alkuarvaus x0 = [A0,n0,m0] ja lopetustoleranssi δ sekä asetetaan k = 0.

2. Lasketaan Jacobin matriisi Jk = F ′(xk).

3. Askel: xk+1 = xk + ∆xk, jossa ∆xk = −(JTk Jk)−1JT

k (F (xk)− y).

4. Jos lopetusehto ‖∆xk‖ < δ ei toteudu, kasvatetaan k:ta ja jatketaan kohdasta 2.

Ratkaistujen parametrien avulla voidaan AP:n kuuluvuusalue mallintaa. Malli ku-vaa, kuinka AP:n signaali vaimenee tilassa ja mikä signaalin voimakkuus on milläkinetäisyydellä tukiasemasta (kuva 2.9). Menetelmän avulla ei kuitenkaan saada tark-kaa arviota AP:n signaalin voimakkuudesta jokaisessa pisteessä, sillä erilaiset seinätvaimentavat signaalia eri tavalla.


Kuva 2.9: Esimerkki path loss -mallista, jonka parametrit A,n,m on estimoitu Gauss-Newtoninmenetelmällä. Mitä vaaleampi värikartan väri on, sitä paremmin tukiasema kuuluu alueella

13

3. MENETELMÄT PATH LOSS -MALLINRATKAISEMISEKSI

3.1 Analyyttiset menetelmät

Path loss -mallin avulla tapahtuva WLAN-paikannus voidaan suorittaa analyytti-sesti käyttämällä kyseistä mallia joko yksin tai muiden mallien kanssa samaan ai-kaan. Eräs käytetty mallien yhdistelmä on path loss -mallin ja kuuluvuusalemallinyhdistelmä, jolloin käyttäjän sijainti voidaan rajata tietylle alueelle ja sen jälkeenpaikantaa path loss -mallin avulla [2, s. 7-8].

Mallit voidaan ajatella myös todennäköisyyslaskennan näkökulmasta. Paikannet-tavan tilan voidaan ajatella noudattavan määritelmässä 2.4.1 esitettyä normaali-jakaumaa ja mittausvirheet voidaan olettaa esimerkiksi nollakeskisesti normaalija-kautuneiksi tietyllä varianssilla. Näin ollen malleista tulee ehdollisia todennäköisyys-jakaumia, joiden avulla voidaan käyttäjän sijainti ratkaista kuultujen tukiasemiensignaalien avulla suurimman todennäköisyyden mukaan.

Sisätilapaikannuksessa yleisesti kätössä oleva tilastollisiin menetelmiin ja todennä-köisyyksiin perustuva menetelmä on Bayesiläinen tilastotiede, jonka käytetyin kaa-va, Bayesin kaava voidaan kirjoittaa jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktio-den avulla muodossa

p(x|y) = p(y|x)p(x)p(y) , (3.1)

missä p(y|x) on niin sanottu uskottavuusfunktio, p(x) on x:n priorijakauma ja p(y)on tavallisesti normeeraustekijä, joka ei vaikuta muuttujan x tilastolliseen päätte-lyyn. Merkintää p(x|y) sanotaan myös muuttujan x posteriorijakaumaksi [9, s. 14-15].

Bayesin kaava voidaan kirjoittaa myös muotoon

p(x|y) ∝ p(y|x)p(x), (3.2)

missä muuttuja x voidaan ajatella paikkana ja muuttuja y signaalin voimakkuu-tena. Path loss mallin ratkaisemiseksi ei ole analyyttistä menetelmää, joten mallin

3. Menetelmät path loss -mallin ratkaisemiseksi 14

ratkaisemiseksi tarvitaan approksimatiivisia menetelmiä, joista kaksi yleisintä me-netelmää on esitelty seuraavassa.

3.2 Grid-menetelmät

Paikannettavaa tilaa voidaan ajatella verkkona, joka koostuu pienistä osista eli gri-dipisteistä. Tila voidaan jakaa tilanteesta riippuen tietyn kokoisiin, tavallisesti neliönmuotoisiin soluihin, joiden keskipisteille voidaan määritellä tietty signaalin voimak-kuus tietystä tukiasemasta opetusdatan ja path loss -mallin perusteella.

Kuva 3.1: Grid-verkko, jossa jokaiselle tilan pisteelle on määiritetty tietty signaalin voimakkuusyhdestä tukiasemasta

Paikannusvaiheessa kun käyttäjä kuulee tietyt tukiasemat tietyllä voimakkuudel-la, voidaan saatuja arvoja verrata muodostetun grid-verkon solujen arvoihin ja näinlöytää käyttäjän sijainti. RM-pohjainen paikannusmenetelmä perustuu osittain grid-menetelmään, jossa opetusvaiheessa kuullut tukiasemien voimakkuudet interpoloi-daan yli paikannettavan tilan. Näin jokaista tilan pistettä vastaa tietty signaalinvoimakkuus kustakin tukiasemasta.

Grid-menetelmä [2, s. 4] on paikannusmenetelmistä yksi laskennallisesti vaativim-mista menetelmistä. Paikannustarkkuus kyseisellä menetelmällä on kuitenkin hyväjos grid-verkko on riittävän tiheä, mutta liian tiheä verkko aiheuttaa estimaattienarvojen heikkenemisen [14, s. 8].

3.3 MCMC-menetelmät

Markov chain Monte Carlo -menetelmät (MCMC) ovat joukko todennäköisyysjakau-mia näytteistäviä algoritmeja, joiden toiminta perustuu Monte Carlo -menetelmän


(MC) satunnaislukuperiaatteeseen. Algoritmien taustalla on Markovin ketju eli sto-kastinen prosessi, jossa uuteen tilaan vaikuttaa tieto edellisestä tilasta. Näytteidenlukumäärää kasvattamalla Markovin ketju lähestyy haluttua näytteistettävää to-dennäköisyysjakaumaa.

MCMC-menetelmiä käytetään tavallisesti vaikeiden moniulotteisten integraalien las-kemisessa, joita juuri Bayesiläisessä tilastotieteessä nousee esiin, sekä pinta-alanlaskemisen työkaluna. Sisätilapaikannuksessa käytetyssä, tunnetuimmassa MCMC-menetelmässä, Metropolis-Hastings -algoritmissa [2, s. 5] pystytään generoimaantasaisesti painotettuja satunnaislukuja teoriassa lähes jokaisesta todennäköisyysja-kaumasta. Ketjun alkutila on jokin määrätty piste eikä kohdejakauman mukaisestijakautunut satunnaismuuttuja, jolloin ketjun alkuosassa on muusta ketjusta selväs-ti poikkeavia arvoja. Poikkeavista alkuosan arvoista käytetään nimitystä burn-in.Tämä burn-in -jakso tuleekin poistaa lopullisesta kohdejakaumasta näytehistoriantutkimisen avulla [17, s. 10].

Lopullinen algoritmilla saatu kohdejakauma kuvaa käyttäjän sijainnin todennäköi-syyttä vastaanotettujen signaalien ehdoilla. Metropolis-Hastings-algoritmi on las-kennallisesti joustavampi ja kevyempi menetelmä kuin grid-menetelmä. [2, s. 7]

3.3.1 Monte Carlo -integrointi

Monte Carlo -integrointi on numeerisen integroimisen menetelmä, joka pohjautuuMCMC-menetelmään. Integrointi perustuu todennäköisyysjakaumasta satunnaises-ti valittuihin pisteisiin, joissa halutun integroitavan funktion arvo lasketaan [8, s. 11].

Olkoon h(x) haluttu integroitava funktio välillä (a,b), jolloin integraalin arvo I onfunktion alle jäävän alueen pinta-ala välillä (a,b) [3, s. 16]

I =∫ b

ah(x)dx =

∫ b

aw(x)p(x)dx, (3.3)

missäw(x) = h(x)(b− a) ja p(x) = 1

b− amissä edelleen p(x) on välin (a,b) tasajakautunut satunnaismuuttuja. Nyt pinta-alan arvo voidaan kirjoittaa funktion arvon odotusarvona [7, s. 6], kun muuttujinaon käytetty satunnaismuuttujia X.

I = Ep[w(X)], (3.4)


missäX ∼ U(a,b). (3.5)

Näytteistetään integroitava väli (a,b) S määrällä näytteitä, missä S on suuri luku.Tällöin jokaiselle toisistaan riippumattomalle satunnaismuuttujalle Xi voidaan kir-joittaa

X1:S ∼ U(a,b) (3.6)

Suurten lukujen lain nojalla riippumattomista satunnnaismuuttujista muodostetunjonon keskiarvo suppenee kohti satunnaismuuttujien odotusarvoa [5, s. 52] .

I = 1S

S∑s=1

w(Xs) ≈ I = Ep[w(X)] (3.7)

Monte Carlo -integrointimenetelmä ei ole täysin tarkka, mutta näytteiden luku-määrää kasvattamalla voidaan integraalin arvoa parantaa. Menetelmän aiheuttamavirhe se voidaan laskea tutulla keskivirheen kaavalla

se = s√S

s2 = 1S − 1

S∑s=1

(h(xs)− I)2,(3.8)

missä S on näytteiden lukumäärä ja s keskihajonta [7, s. 2], [8, s. 12].

17

4. MALLIEN TESTAAMINEN

WLAN-mallien havainnollistamiseksi ja testaamiseksi suoritettiin muutamia mit-tauksia todellisissa olosuhteissa. Mittaukset suoritettiin TTY:lla sijaitsevan tietota-lon pääkerroksessa, tablet-mallisella tietokoneella, johon oli asennettuna WLAN-skannaukseen tarkoitettu ohjelma. Ohjelma tallensi jokaisessa skannauspisteessätiedot senhetkisestä sijainnista ja jokaisesta sijainnissa kuullusta AP:sta. Jokais-ta kuultua AP:a kohti oli myös tieto siitä, millä voimakkuudella kyseinen tukiasemaoli kuultu.

Opetusdatan keräämisen lisäksi mitattiin yksi testipiste, jota yritettiin esiteltyjenmallien pohjalta paikantaa. Testipisteestä mitattiin sen tarkka sijainti ja siinä kuu-luvien tukiasemien signaalien voimakkuudet. Ensimmäisessä kahdessa mallissa (yk-sinkertainen malli ja kuuluvuusaluemalli) ei käytetty signaalien voimakkuustietojatestisijainnin paikantamisessa. Kahdessa jälkimmäisessä mallissa (path loss -mallija radiomap pohjainen paikannusmalli) käytettiin tietoa testisijainnissa kuulluistasignaalien voimakkuuksista. Testaamisessa keskityttiin vain kaksiulotteiseen paikan-nukseen ja mallien selkeyttämiseksi otettiin malleissa huomioon todellisuudesta poi-keten vain kaksi kuultua tukiasemaa.

Kuva 4.1: Tietotalon pääkerroksessa suori-tetut WLAN-skannaussijainnit

Kuva 4.2: Kahdelle tukiasemalle luokitellutsijainnit, joissa tukiasema on kuultu

4. Mallien testaaminen 18

Kerätty opetusdata lajiteltiin luvussa 2.2 kerrotulla ja kuvassa 4.2 esitetyllä tavallasiten, että molempia tukiasemia vastasi tietty määrä skannattuja opetusdatapistei-tä.

Kuva 4.3: Kuuluvuusalue-ellipsit tukiase-mille AP1 ja AP2

Kuva 4.4: Paikannettu käyttäjän sijain-ti yksinkertaisella mallilla (risti) ja kuulu-vuusaluemallilla (tähti)

Yksinkertaisessa mallissa tarvittiin tieto tukiasemien sijainneista, joten niiden sijain-nit piti ennen paikantamista estimoida opetusdatan pohjalta. Tukiasemien sijainnitoletettiin olevan kuuluvuusalueiden keskipisteissä ja tätä oletusta tuki myös sig-naalien voimakkuuksien tarkastelu. Signaalit olivat voimakkaampia juurikin kuu-luvuusalueiden keskipisteen läheisyydessä. Yksinkertaisen paikannusmallin avullakäyttäjän sijainniksi saatiin kuvassa 4.4 esitetty ristillä merkitty piste.

Kuuluvuusalue-ellipseihin perustuvassa mallissa ei tarvittu tietoa tukiasemien si-jainneista, vaan kuuluvuusalue-ellipsit muodostettiin opetusdatapisteiden perusteel-la. Ellipsit muodostettiin siten, että kunkin tukiaseman kuuluvuussijainnit sopivatkunkin tukiaseman kuulu-vuusalue-ellipsin sisälle (kuva 4.3). Kuuluvuusaluemal-lin käyttäjän paikkaestimaatti saatiin laskettua esiteltyä kaavaa (2.8) käyttämällä,kun kuuluvuusalue-ellipsien keskipisteet ja kovarianssimatriisit olivat tiedossa. Mal-lin avulla paikannettu käyttäjän sijainti on esitetty kuvassa 4.4 tähdellä merkityssäpisteessä.

Kahden seuraavan mallin avulla tapahtuvassa paikannuksessa tarvittiin tietoa pai-kannettavasta sijainnista kuulluista tukiasemien signaalien voimakkuuksista. Tämämittaus tehtiin siis opetusdatan keräämisvaiheessa. Tukiasema AP1 kuultiin pai-kannettavassa sijainnissa voimakkuudella −77dB ja tukiasema AP2 voimakkuudel-la −76dB.

Path loss-mallin parametrit estimoitiin molemmille tukiasemille erikseen käyttä-mällä apuna Gauss-Newtonin algoritmia. Näitä parametreja käytettiin mallin pa-


Kuva 4.5: AP1:lle muodostettu radiomap,missä vaaleampi väri tarkoittaa tukiasemanheikompaa kuuluvuutta

Kuva 4.6: AP2:lle muodostettu radiomap,missä vaaleampi väri tarkoittaa tukiasemanheikompaa kuuluvuutta

rametreina testisijainnin paikantamisessa. Kun käytössä oli lisäksi tieto signaalienvoimakkuuksista, ainoa tuntematon parametri path loss -mallissa oli käyttäjän si-jainti. Tämä saatiin ratkaistua pienimmän neliösumman menetelmällä. Path loss-mallin avulla arvioitu käyttäjän sijainti on esitetty kuvassa 4.7.

Toinen esitellyistä signaalien voimakkuustietoja hyväksi käyttävistä malleista onluvussa 2.2 esitelty radiomap-menetelmä. Opetusdatapisteissä kerättyä signaalienvoimakkuustietoa käytettiin hyväksi RM:n muodostamiseen. Kyseiset kuuluvuus-kartat on esitetty kuvissa 4.5 ja 4.6. Kun molemmista RM:sta haettiin testipisteessäkuultuja signaalin voimakkuuksia vastaavia arvoja saatiin testisijainnin paikkaesti-maatiksi kuvassa 4.7 esitetty piste. Samassa kuvassa on esitetty myös testipisteenoikea, tarkka sijainti.

Kuva 4.7: Testisijainnin paikkaestimaatit yksinkertaiselle mallille, kuuluvuusaluemallille, pathloss -mallille ja radiomapin avulla tehdylle paikannukselle. Lisäksi kuvassa on esitetty testisijainnintarkka paikka


Kaikkiin malleihin vaikutti opetusdatapisteiden vähäinen määrä kumpaakin tukia-semaa kohti, sekä vain kahden tukiaseman käyttäminen paikannuksessa. Todellisuu-dessa useamman tukiaseman käyttäminen vaikuttaa paikannustarkkuutteen merkit-tävästi, sillä käyttäjän mahdollinen sijainti voidaan rajata pienemmälle alueelle.

Yksinkertainen Kuuluvuusalue RM Path lossTarkkuus + ++ +++ ++

Laskenta-aika +++ +++ ++ +Resurssien kulutus +++ +++ + ++

Taulukko 4.1: Taulukossa on esitetty mallien laskennallisia ominaisuuksia kvalitatiivisessa muo-dossa. Plus-merkkien määrä kuvaa mallin hyvyyttä eri osa-alueilla [19].

Yllä olevaan taulukkoon (taulukko 4.1) on listattu kolme tärkeintä mallien arvioimi-sessa käytettyä kriteeriä. Nämä kriteerit ovat paikannustuloksen tarkkuus, paikan-nukseen kulunut aika sekä kuinka paljon paikannusmalli kuluttaa laitteen resursse-ja. Kuten taulukosta 4.1 nähdään, yksinkertainen malli ja kuuluvuusaluemalli ovatlaskenta-ajoiltaan erittäin nopeita ja ne kuluttavat laitteen resursseja vähän, mut-ta paikannustarkkuus ei ole yhtä hyvä kuin RM-pohjaisessa mallissa tai path loss-mallissa [2], [19].

Mallien todellisten tarkkuuksien selvittämiseksi suoritettiin tietotalon pääkerrok-sessa lisäksi testireitti, jossa otettiin huomioon kaikki testireitin sijainneissa kuulluttukiasemat. Käytetty testireitti on esitetty kuvassa 4.8. Käytävällä sijaitseva testi-reitti koostui 13:sta pisteestä, joissa WLAN-skannaus suoritettiin. Tämän jälkeenkäyttäjän sijainnit yritettiin estimoida käyttäen kutakin mallia. Mallien paikannus-tarkkuudet testireitille on esitetty taulukossa 4.2.

Yksinkertainen Kuuluvuusalue Path loss RadiomapVirheen keskiarvo 11.47m 7.80m 6.24m 5.27m

95% virhe 24.51m 16.85m 12.37m 10.32m

Taulukko 4.2: Testireitin perusteella lasketut virheiden keskiarvot sekä 95% virheet jokaisellemallille


Kuva 4.8: Tietotalon pääkerroksessa suoritettu testireitti ja opetusdatapisteet

22

5. YHTEENVETO

Tässä työssä esiteltiin neljä erilaista WLAN-paikannusmallia sisätiloissa tapahtu-vaan käyttäjän sijainnin paikantamiseen. Ensimmäisenä esitelty yksinkertainen pai-kannusmalli perustuu ennalta tiedettyihin tukiasemien sijainteihin. Mallin hyvinäpuolina voidaan pitää sen nopeasti saavutettavaa ja vähän resursseja vaativaa rat-kaisua. Huonompia puolia mallin käytössä on, että tukiasemien sijiannit pitää ennenpaikannusta selvittää ja paikannustarkkuus ei ole erityisen hyvä.

Toisena esiteltiin kuuluvuusaluemalli, joka perustuu opetusdatan pohjalta muodos-tettuihin tukiasemien kuuluvuusalue-ellipseihin. Mallin ratkaisu eli käyttäjän ar-vioitu sijainti saadaan mallin avulla nopeasti ja menetelmä on laskennallisesti ke-vyt. Lisäksi paikannustarkkuus useamman tukiaseman tapauksessa on melko hy-vä verrattuna yksinkertaiseen malliin. Testivaiheessa lasketun kuuluvuusaluemallinpaikkaestimaatin huonouteen vaikutti vain kahden tukiaseman käyttäminen ja tulosparanikin testireitin tapauksessa, kun käytössä oli useampi tukiasema.

Lisäksi työssä esiteltiin fingerprint-menetelmän yhteydessä RM:n pohjautuva pai-kannusmalli, joka perustui kuultujen signaalien voimakkuuksien määrittämiseen ko-ko paikannettavalle kerrokselle. Menetelmän hyviä puolia on mallin tarkkuus ja malliottaa esitellyistä malleista parhaiten huomioon paikannettavan tilan esteet. Mallinratkaisu voi kuitenkin olla hidas saavuttaa jos RM on liian tiheä, jolloin laskenta-ajat ja resurssien tarve kasvavat. Testaamisvaiheessa RM-menetelmään pohjautuvamalli pärjäsi parhaiten.

Viimeisenä esittelyssä oli path loss -malli, joka pohjautuu tukiasemien signaalienvaimenemiseen ja tilastolliseen vaimenemisyhtälöön. Menetelmän hyviä puolia ovatmallin tarkkuus ratkaisumenetelmästä riippuen sekä mallin laskennallinen nopeusetenkin Gauss-Newtonin algoritmia käytettäessä. Voidaan myös todeta, että signaa-lien voimakkuustieto lisää paikannustarkkuutta todellisissa olosuhteissa.

Vaikka WLAN-paikannusta on alettu kehittää WLAN-yhteyksien kehittyessä ja li-sääntyessä, on sisätilapaikannuksessa vielä paljon kehitettävää. Kuten tämäkin työosoitti, etenkin mallien ja algoritmien paikannustarkkuuksissa on vielä parannetta-

5. Yhteenveto 23

vaa. Työn kannustavien tulosten perusteella herääkin kysymyksiä siitä, että kuinkapaljon esimerkiksi tilan pohjapiirrustusta voidaan käyttää paikannuksen apuna jamiten erilaisia antureita, kuten kiihtyvyysantureita ja barometrejä, voidaan käyttääkäyttäjän sijainnin määrittelemisessä.

24

LÄHTEET

[1] Kaarakka, T. ja Orelma, H. Matriisilaskentaa insinöörien tarpeisiin. (Matema-tiikka 2 opintomoniste) [verkkodokumentti], 2012. [viitattu 18.7.2013]. Saata-vissa: https://moodle2.tut.fi/pluginfile.php/102677/mod_resource/content/2/IMAD2u2011.pdf

[2] Nurminen, H., Talvitie, J., Ali-Löytty, S., Müller, P., Lohan, E-S., Piché, R. ja Renfors, M. Statistical Path Loss Parameter Es-timation and Positioning Using RSS Measurements in Indoor Wire-less Networks. [verkkodokumentti], 2012. [viitattu 17.7.2013]. Saatavissa:http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6409754

[3] Kauhanen, J. Insinöörimatematiikka 3u, opintomoniste.[verkkodokumentti], 2012. [viitattu 18.7.2013]. Saatavissa:http://www.math.tut.fi/∼kauhanej/monisteet/IMA3u-2012-2013.pdf

[4] Kauhanen, J. Insinöörimatematiikka 1u, opintomoniste.[verkkodokumentti], 2012. [viitattu 18.7.2013]. Saatavissa:http://www.math.tut.fi/∼kauhanej/monisteet/IMA1u-2012-2013.pdf

[5] Pohjavirta, A. ja Ruohonen, K. Laaja tilastomatematiikka opinto-moniste. [verkkodokumentti], 2005. [viitattu 17.7.2013]. Saatavissa:http://math.tut.fi/∼ruohonen/LTM.pdf

[6] Wolfram MathWorld. Positive Definite Matrix. [verk-kodokumentti], 2013. [viitattu 18.7.2013]. Saatavissa:http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html

[7] Ruohonen, K., Tilastomatematiikka. [verkkodokumentti], 2011. [viitattu18.7.2013]. Saatavissa: http://math.tut.fi/∼ruohonen/TM.pdf

[8] Weinzierl, S. Introduction to Monte Carlo methods. [verkkodokumentti], 2000.[viitattu 18.7.2013]. Saatavissa: http://arxiv.org/pdf/hep-ph/0006269v1.pdf

[9] Koski, L. Positioning with Bayesian coverage area estimates and locationfingerprints. Pro gradu -työ. Tampere 2010. Tampereen yliopisto. [viitattu18.7.2013]. Saatavissa: http://math.tut.fi/posgroup/koski_mscth.pdf

[10] Martikainen, S. Ellipsien leikkauspisteiden numeerinen ratkaiseminen. Kandi-daatintyö. Tampere 2011. Tampereen teknillinen yliopisto. [viitattu 15.7.2013].Saatavissa: http://math.tut.fi/posgroup/kandi-simo-martikainen.pdf

LÄHTEET 25

[11] Hosaka, M. Modeling of Curves and Surfaces in CAD/CAM. Springer-Verlag,1992

[12] Koski, L., Perälä, T. ja Piché, R. Indoor positioning using WLAN covera-ge area estimates. [verkkodokumentti], 2010. [viitattu 17.7.2013]. Saatavissa:http://math.tut.fi/posgroup/IPIN2010_slides_final.pdf

[13] Fadjukoff, T. Karttarajoitteiden käyttäminen sisätilapaikannuksessa. Diplomi-työ. Tampere 2012. Tampereen teknillinen yliopisto. [viitattu 17.7.2013]. Saa-tavissa: http://URN.fi/URN:NBN:fi:tty-201302131050

[14] Nurminen, H. Positionin estimation using RSS measurements with unknownmeasurement model parameters. Diplomityö. Tampere 2012. Tampereen teknilli-nen yliopisto. [viitattu 17.7.2013]. Saatavissa: http://URN.fi/URN:NBN:fi:tty-201212121369

[15] Kaleva, O. Tilastolliset monimuuttujamenetelmät. [opintomoniste], 2011. [vii-tattu 22.7.2013]

[16] Ali-Löytty, S., Collin, J. ja Sirola, N. MAT-45800 Paikannuksen ma-tematiikka. [verkkodokumentti], 2010. [viitattu 25.7.2013]. Saatavissa:http://math.tut.fi/posgroup/paikannuksen_matematiikka_2010b.pdf

[17] Nurminen, H. Kuuluvuusalueen estimointi Metropolisin ja Hastingsin algorit-milla. Kandidaatintyö. Tampere 2011. Tampereen teknillinen yliopisto. [viitattu25.7.2013]. Saatavissa: http://math.tut.fi/posgroup/kandi-henri-nurminen.pdf

[18] Barnes, R. J. Matrix differentiation [viitattu 9.8.2013] Saatavissa:http://www.atmos.washington.edu/∼dennis/MatrixCalculus.pdf

[19] Müller P., Raitoharju, M., Ali-Löytty, S., Wirola, L., Nurminen, H. ja Piché,R. Survey on Parametric Fingerprinting Methods. 2013

[20] Elliptinen kartioleikkauskuva. [viitattu 15.7.2013]. Saatavissa:http://www.diracdelta.co.uk/science/source/c/o/conic%20section/source.html#.UeOchBbNCxI

26

A. TEORIALIITE

Määritelmä A.1 Matriisi A ∈ Rn×n on symmetrinen jos

A = AT .

Jos A = (aij) niin tällöin (aij) = (aji) jokaiselle indeksille i ja j[1, s. 37]. 4

Määritelmä A.2 Symmetrinen matriisi A ∈ Rn×n on positiivisesti definiitti jos

xTAx > 0

kaikilla x ∈ Rn, kun x 6= 0 [6]. 4

Määritelmä A.3 Vektorimuuttujan vektoriarvoisen funktion F : Rn → Rm, missäF = (F1, F2, . . . , Fm) ja Fi = Fi(x) = Fi(x1, x2, . . . , xn), Jacobin matriisi on

J(x) = ∂F

∂x=

∂F1∂x1

∂F1∂x2

· · · ∂F1∂xn

∂F2∂x1

∂F2∂x2

· · · ∂F2∂xn... ... . . . ...

∂Fm

∂x1∂Fm

∂x2· · · ∂Fm

∂xn

4

Määritelmä A.4 Olkoon x ∈ Rn:n vektori, jonka pituus eli euklidinen normi

‖x‖ =√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n =√〈x,x〉.

4

Määritelmä A.5 Olkoon A ∈ Rn×n neliömatriisi. Matriisilla on käänteismatriisieli inverssi A−1 jos

AA−1 = I = A−1A,

A. Teorialiite 27

missä I on yksikkö- eli identiteettimatriisi. 4

Lause A.6 Olkoon A ∈ R2×2 singulaarinen eli kääntyvä neliömatriisi, jolloin det(A) 6=0. Merkitään

A = a b

c d

.Tällöin sillä on käänteismatriisi A−1

A−1 = 1det (A)

d −b−c a

= 1(ad− cb)

d −b−c a

.

Todistus. Oletuksen mukaan neliömatriisi on singulaarinen eli kääntyvä, jolloin mat-riisin determinantti det (A) 6= 0. Määritelmän A.5 vasemman puolen mukaan

AA−1 = a b

c d

1(ad− cb)

d −b−c a

= 1

(ad− cb)

ad− cb −ab+ ab

cd− cd −cd+ ad

= 1

(ad− cb)

ad− cb 00 ad− cb

= 1 0

0 1

= I

Määritelmän A.5 oikea puoli voidaan todistaa vastaavalla tavalla.

MIKE KOIVISTO JOHDATUS WLAN-PAIKANNUSMALLEIHINmath.tut.fi/posgroup/kandi-mike-koivisto.pdf1 1....

Documents

Transcript of MIKE KOIVISTO JOHDATUS WLAN-PAIKANNUSMALLEIHINmath.tut.fi/posgroup/kandi-mike-koivisto.pdf1 1....