MIDAS Technical Leader 비선형 정적해석 방법의 개요...

MIDAS Technical Leader’s Group

비선형 정적해석 방법의 개요

단국대학교 이상현 교수

1

1. 일반사항

비탄성 지진해석의 목적은 예상되는 지진에 대한 건물의 거동을

예측하는 것이다. 이는 내진평가와 설계를 위한 기술로

성능기반공학(Performance-Baced Engineering, PBE)(ATC, 1996;

BSSC, 2000)이 부상함에 따라 점점 중요도가 높아지고 있다.

PBE는 안전과 위험에 관한 판단을 위해 성능을 예측한다. 이를

위해 구조부재와 비구조부재에서 예상되는 손상의 정도를 통해

성능등급을 규정한다. 구조물의 손상은 비탄성 거동을 수반하기

때문에 선형탄성해석을 사용하는 전통적인 설계에서는 간접적으로

성능을 예측할 수 밖에 없다. 이와 반대로 비탄성해석의 경우

비탄성 변형의 크기를 직접적으로 평가할 수 있다.

비탄성 해석의 과정은 <그림 1>과 같이 구조물 모델을 만들고 예상

지진하중을 가한다는 점에서 기존의 선형해석과 유사하다. 해석의

결과는 구조해석 모델을 통해 산정되는 요구성능 파라미터(demand

parameter)로서 이 값과 허용기준(acceptance criteria)과의 비교를

통해 성능을 결정하게 된다. 요구성능 파라미터는 보통 대표변위,

예를 들어 지붕이나 다른 기준점의 층간변위, 층 하중, 부재의

변형과 부재 하중 등이 사용된다.

<그림 1> 비선형 해석절차의 개략적 설명(FEMA 440)

1.1 구조물의 모델링

비탄성 해석을 위한 상세한 구조 모델은 <그림 2>와 같이 선형 탄성

유한요소 모델과 유사하다. 주된 차이점은 전체 부재 혹은 일부 부재

의 특성(property)에 초기탄성 특성 이외에도 항복 이후의 강도와 변

형 특성이 포함된다는 것이다. 이러한 값은 <그림 3>과 같이 개별부

재에 대한 실험 결과나 이론적 해석 결과의 근사화를 통해 얻어진다.

이러한 정보는 ATC-40과 FEMA356에 도표화 되어 있다.

<그림 2> 상세 3차원 비탄성 구조 모델

(a) 실험을 통한 하중-변형 거동 이력

(b) 거동이력의 backbone curve

(c) 해석 모델에 대한 이상화된 특성

<그림 3> 이상화된 하중-변형 관계를 생성하기 위해 실험에 의한

비탄성 부재의 강도와 강성을 사용하는 방법

해석모델은 불가피하게 근사화에 따른 불확실성을 포함하게 된다. 대

부분의 비탄성 해석에서는 구조물의 예상되는 특성(Property)을 최대

한 정확히 예측하여 사용하는 것이 바람직하다. 이렇게 할 경우 해석

결과는 최소한의 오차를 가지는 요구성능 변수(Demand capacity

parameter)의 중심값에 해당된다. 이후 모든 불확실성과 문제점을 고

려하여 결과를 판단하여야 한다.

1.2 지진의 특성화

지진이 발생하는 경우, 그 크기와 위상 및 주파수 구성은 진앙지의 특

성(규모와 파괴 메카니즘, 대지에 대한 단층면의 방향 등)에 따라 결

정된다. 또한 진동의 특성은 지진파가 진앙지에서 암반을 통해 대지로

2


비선형 정적 해석 방법의 개요

전달되는 동안 국지적 부지효과 때문에 발생하는 감쇠에 영향을 받는

다. 중요한 부지 특성으로는 잠재적 3차원 분지구조와 상대적으로 얕

은 퇴적물의 동적특성, 표면형상 등이다. <그림 4>에 계략적으로 나타

낸 진앙과 감쇠, 부지효과는 지반의 진동 특성에 영향을 미친다.

지반운동 기록은 특정 감쇠에 대한 단자유도 구조물의 진동수(일반적

으로는 주기)와 그에 해당하는 전체 응답이력 중 최대값의 관계를 나

타내는 탄성응답스펙트럼을 정의하는데 사용된다. 응답 스펙트럼의 세

로좌표는 지진 요구성능을 나타낸다. 이때의 세로좌표 aS 는 실제 가

속도가 아닌 의사가속도를 나타낸다.

의사가속도는 다음과 같이 유도한다.

2

2

,

V kx

k km x

m m

m x

mA

는 <식.1>

<그림 4> 지진 지반운동에 영향을 미치는 인자와 지반운동을

그림으로 특성화하는 방법(FEMA 440)

1.3 비선형 정적해석 절차

비선형 정적해석은 주로 두 가지 선택사항이 사용된다. 등가 선형

화 기법은 단자유도 모델의 최대 합계변위(탄성+비탄성)가 원래보다

더 긴 주기와 감쇠를 가지는 모델의 탄성 응답을 평가할 수 있다는

가정을 기반으로 한다. 이러한 절차는 유효 주기와 감쇠를 평가하기

위한 연성평가에 사용한다. FEMA 356의 계수법은 기본적으로 변위

수정 절차이다. 변위 수정 절차는 모델의 합계 최대 변위를 초기 선

형 특성과 감쇠를 가정한 모델의 탄성 응답에 여러 계수를 곱해 평

가한다. 계수는 일반적으로 여러 주기와 강도를 가지는 모델의 비선

형 응답이력 해석을 통해 경험적으로 구한다.

ATC-40에는 성능-스펙트럼 기법으로 알려진 등가 선형화 기법에

대해 설명한다. 이 둘에 대한 다양한 절차가 있지만 기본적으로는

변위를 수정하거나 등가로 선형화하는 것과 관련있다. 두 절차 모두

구조물의 횡력-변형 특성을 평가하기 위해 비선형 정적해석

(pushover 해석)을 사용하고, 구조물의 전체 변형(탄성 및 비탄성)

의 요구 성능은 pushover 해석을 통해 결정한 하중-변위 특성을 갖

는 등가 단자유도 시스템의 응답을 통해 계산한다. 하지만 두 절차

는 최대 변형 요구성능(탄성 및 비탄성)을 평가하는데 사용하는 기

법이 다르다.

(1) 계수법(FEMA 356)

계수법은 FEMA 356의 주요 비선형 정적해석 기법이다. 이는 목표

변위로 불리는 최대 전체변위(탄성 및 비탄성) 평가를 위해 등가 단

자유도 시스템의 선형 탄성응답에 0C 부터 3C 까지의 계수를 곱하는

방법이다. <그림 5>와 같이 계수법은 밑면 전단력과 지붕 변위 관

계를 나타내는 이상화된 힘-변형 곡선(pushover curve)에서 시작한

다. 유효주기 eT 는 탄성에서 비탄성 거동으로 이행할 때 발생하는

강성의 일부손실을 고려하는 그래프를 사용해 초기 주기 iT 로부터

구한다. 유효주기는 등가 단자유도 시스템의 선형 강성을 나타낸다.

지진 지반 운동을 최대 가속도 aS 와 주기 T 를 사용해 탄성 응답스

펙트럼으로 나타내는 경우, 시스템의 최대 가속도 응답으로 유효 주

기를 확인한다. 감쇠는 탄성범위의 일반적인 구조물 수준인 5% 로

가정한다.

최대 탄성 스펙트럼 변위는 <식. 2>와 같이 스펙트럼 가속도와 직

접적인 연관이 있다.

2

24

eff

d a

TS S

<식.2>

0C 는 스펙트럼 변위를 지붕에서의 변위로 간단히 변환하는 형상계

수(보통 첫 번째 모드참여계수)이다. 다른 계수들은 각각의 비탄성

효과를 고려하기 위해 사용한다.

1C 은 이선형 비탄성 모델의 예상 변위(탄성+비탄성)와 선형 모델

변위의 비이다. 이 비는 응답 스펙트럼에 비례하는 강도와 단자유도

시스템의 주기 eT 에 따라 달라진다. 2C 는 강성과 강도의 저하에

의한 하중-변형 관계의 pinching 효과를 고려하기 위한 계수이다.

마지막으로 3C 는 2차 기하학적 비선형( P ) 효과를 보정하기 위

해 사용한다. 계수들은 단자유도 시스템의 비선형 응답 해석의 통계

적 연구를 통해 경험적으로 구하고 공학적 판단으로 보정한다.

<그림 5> 계수법(FEMA 356)을 이용한 목표 변위 평가 순서

(2) 성능스펙트럼법(Performance spectrum method)

등가 선형화 기법의 기본 가정은 비선형 단자유도 시스템의 최대 비

탄성 변형을 선형 탄성 단자유도 시스템(비선형 시스템의 초기 값보

다 큰 주기와 감쇠비를 갖는)의 최대 변형을 근사화해서 구할 수 있

다는 것이다. ATC-40의 성능-스펙트럼 법은 구조물에 대한 힘-변

형 관계를 정립하는 것으로 시작한다. 이 단계는 <그림 6>과 같이

가속도-변위 응답스펙트럼(Acceleration-Displacement Response

Spectrum, ADRS)으로 결과를 표현하는 것만 제외하면 사실상

FEMA 356의 계수법과 같다. 이 형식은 시스템의 동적 특성을 사용

해 밑면 전단력-지붕 변위 관계를 변환한 것이고 이를 구조물의 성

능곡선이라고 한다. 지진 지반 운동 역시 ADRS 형식으로 변환된다.

이렇게 변환하면 성능 곡선과 지진 요구성능을 같은 그래프에 표현

3



할 수 있다. 이 형식에서 주기는 기울기로 표현한다.

성능-스펙트럼법에서는 시스템의 등가 감쇠는 성능곡선으로 둘러싸

인 면적에 비례한다. 등가 주기 eqT 는 등가 감쇠로 줄어든 지진 요

구성능 곡선과 성능 곡선의 교차점에 해당하는 주기로 가정한다. 등

가 주기와 감쇠는 모두 변위에 대한 함수이기 때문에 최대 비탄성

변위(성능점)를 결정하기 위해서는 반복 계산이 필요하다.

/ 2

1

4

D

So

pi pi

So

D

So

E

E

a d

E

E

E

= 감쇠로 소산되는 에너지

= 이력 루프 면적

= 평행사변형 면적

= 최대 변형 에너지

= 빗금친 삼각형 면적

=

= 전체 이력 루프 면적과 관련된

등가 점성감쇠

=

<그림 6> 능력 스펙트럼법

2. 구조요소의 모델링

부재별 비선형 거동 특성의 모델링, 즉 소성힌지의 특성은 각 구조

시스템 및 부재의 조건에 따라 제시된 표를 따른다. 비선형 거동특

성은 <그림7>과 같이 보통 4개의 직선으로 모델링되며 부재에 따라

변형량의 절대치가 규정된 경우(그림 7(a))와 각 지점의 위치를 항

복하중 혹은 항복변위의 비율로 나타내는 경우(그림 7(b))가 있다.

소성힌지 모델링은 <표 1>~<표 3>과 같이 FEMA 356에서 제안하

고 있는 모델링 파라미터를 따른다.

(a) 변형량

(b) 변형비

<그림 7> 소성힌지 특성 모델

<표 1> 철근콘크리트 보의 모델링 파라미터 및 허용기준

모델링

파라미터 허용기준

소성

회전각

잔류

강도비 1차부재 2차부재

a b c IO LS CP LS CP

1) 휨에 의해 지배되는 경우

주근의

배근상태

작용

전단력의

크기

0 이하 0.25 이하 0.02 0.03 0.2 0.005 0.005 0.015 0.015 0.02

0.5 이상 0.01 0.015 0.2 0.0015 0.005 0.01 0.01 0.015

0.5 이상 0.25 이하 0.01 0.015 0.2 0.005 0.01 0.01 0.01 0.015

0.5 이상 0.005 0.01 0.2 0.0015 0.005 0.005 0.005 0.01

2) 전단에 의해 지배되는 경우

스터럽 간격이

d/2 이하인 경우 0.003 0.02 0.2 0.0015 0.002 0.003 0.01 0.02

스터럽 간격이

d/2 초과인 경우 0.003 0.01 0.2 0.0015 0.002 0.003 0.005 0.01

3) 정착 혹은 철근이음의 파괴가 예상되는 경우

스터럽 간격이

d/2 이하인 경우 0.003 0.02 0.0 0.0015 0.002 0.003 0.01 0.02

스터럽 간격이

d/2 초과인 경우 0.003 0.01 0.0 0.0015 0.002 0.003 0.005 0.01

4) 보-기둥접합부의 정착파괴가 예상되는 경우

0.015 0.03 0.2 0.01 0.01 0.015 0.02 0.03

사이 값은 선형보간한다.

1) ~ 4)중 복수의 상황에 해당하는 경우 가장 불리한 값을 사용한다.

횡보강근의 내진상세 판단은 KBC2009 0520 내진설계시 특별고려사항의

규정에 따른다.

주근의 배근상태는 ( ') / bd 로 평가한다.

작용전단력의 크기는 /( )ck wV f b d 로 평가한다.

4



<표 2> 철근콘크리트 기둥의 모델링 파라미터 및 허용기준

모델링


소성

회전각

잔류

강도비 1차부재 2차부재



축력비

작용전단

력의

크기

0.1 이

하

0.25 이하 0.006 0.015 0.2 0.005 0.005 0.006 0.01 0.015

0.5 이상 0.005 0.012 0.2 0.005 0.005 0.005 0.008 0.012

0.4 이

상

0.25 이하 0.003 0.01 0.2 0.002 0.002 0.003 0.006 0.01

0.5 이상 0.002 0.008 0.2 0.002 0.002 0.002 0.005 0.008

2) 전단에 의해 지배되는 경우

모든 경우 - - - - - - 0.003 0.004

3) 정착 혹은 철근이음의 파괴가 예상되는 경우

후프 간격이 d/2

이하인 경우 0.01 0.02 0.4 0.005 0.005 0.01 0.01 0.02

후프 간격이 d/2

초과인 경우 0 0.01 0.2 0 0 0 0.005 0.01

4) 축력이 0.7 0P 를 초과하는경우

모든 경우 0 0 0 0 0 0 0 0


1) ~ 4)중 복수의 상황에 해당하는 경우 가장 불리한 값을 사용한다.

횡보강근의 내진상세 판단은 KBC2009 0520 내진설계시 특별고려사항의 규

정에 따른다.

축력비는 / g ckP A f 로 평가한다.

작용 전단력의 크기는 /( )ck wV f b d 로 평가한다.

<표 3> 철근콘크리트 전단벽의 모델링 파라미터 및 허용기준

모델링


소성

회전각

잔류

강도

비

1차부재 2차부재



경계

요소

의 유

무

배근상

태와 축

력비

작용전

단력의

크기

있음

0.1

이하

0.25

이하 0.015 0.020 0.75 0.005 0.010 0.015 0.015 0.020

0.5

이상 0.01 0.015 0.4 0.004 0.008 0.01 0.01 0.015

0.25

이상

0.25

이하 0.009 0.012 0.6 0.003 0.006 0.009 0.009 0.012

0.5

이상 0.005 0.01 0.3 0.0015 0.003 0.005 0.005 0.01

없음

0.1

이하

0.25

이하 0.008 0.015 0.6 0.002 0.004 0.008 0.008 0.015

0.5

이상 0.006 0.01 0.3 0.002 0.004 0.006 0.006 0.01

0.25

이상

0.25

이하 0.003 0.005 0.25 0.001 0.002 0.003 0.003 0.005

0.5

이상 0.002 0.004 0.2 0.001 0.001 0.002 0.002 0.004

2) 전단에 의해 지배되는 경우*

0.75 2.0 0.40 0.40 0.60 0.75 0.75 1.5


배근상태와 축력비는 ( ')s s y

w w ck

A A f P

t l f

로 평가한다.

작용 전단력의 크기는 /( )ck w wV f t l 로 평가한다.

* 전단에 의해 지배되는 경우 모델링 파라미터와 허용기준은 전체 횡변형각

(%)을 기준으로 한 값이다

3. 소성힌지 모델링 설정

2장에서 전술한 소성힌지 모델링 설정을 위한 부재의 강도 및 변형

능력, 즉 capacity는 부재력 및 연성요구도, 즉 demand의 함수이다.

모멘트힌지는 변형지배로 설정하기 때문에 이때 가장 중요한 부분은

부재의 변형능력 즉, 연성도의 결정이며, 축력힌지와 전단힌지는 하

중지배이기 때문에 부재별 항복강도의 결정이다. 연성도는 부재별

모델링 파라미터 및 허용기준(FEMA 356)에서 결정한다. 수직부재인

기둥과 벽체의 경우 축력비와 작용전단력의 크기에 의해 연성도가

결정되는데, 실제로 횡력이 증가할 경우 개별 부재가 받고 있는 부

재력은 수시로 변화하기 때문에 초기 하중조건만을 사용하여 소성힌

지를 모델링 할 수 없다. 이에 대한 해결방안을 위해 pushover해석

을 예비 pushover 해석과 실시 pushover 해석으로 나누어 진행한다.

예비 pushover 해석 시에는 부재별 소성힌지를 모델링 할 때 부재

의 변형능력만을 매우 큰 값으로 지정하고 나머지 입력 정보는

5



Default로 하여 자동 해석을 수행한다. 이 때 산정된 성능점에서의

개별 부재의 부재력을 추출하여 항복강도 및 변형능력 산정에 사용

한다. 이렇게 산정된 부재별 항복강도 및 변형능력을 사용하여 소성

힌지를 모델링하고 정확한 pushover 해석을 수행한다. 이 과정을

반복하여 수행하면 성능점이 어느 정도 수렴하게 되며, 이때의 성능

점을 건축물의 성능수준으로 평가한다.

해석 과정이 매우 복잡하고 번거롭기 때문에 <표 4>,<표 5>와 같

이 엑셀 프로그램을 사용하여 항복강도 및 변형 능력을 구하고 이

를 이용하여 부재별 소성힌지를 모델링하여 <그림 8>과 같이

midas Gen 프로그램의 MGT Commend Shell 기능을 이용해 입력

하여 해석을 수행할 수 있다.

<표 4> 소성힌지 모델링을 위한 엑셀시트

<표 5> 엑셀시트를 사용하여 구한 부재별 소성힌지 모델링

6



<그림 8> MGT Commend Shell 기능을 통한 부재별 소성힌지 입력

여러 영향요소의 평가를 고려하여, 각 부재별 소성힌지는 <그림

9>~<그림 11>과 같이 모델링 한다. 보의 모멘트강도와 전단강도는

외력과 무관하기 때문에 성능점에서의 부재력에 관계 없이 바로 계

산하여 입력하면 된다. 보의 전단힌지는 하중지배 거동이기 때문에

항복과 동시에 파괴되는 것으로 모델링한다.

보의 모멘트힌지의 경우에는 주근배근상태와 작용전단력의 크기 비

를 고려하여 모델링 파라미터에서 소성회전각(a, b)를 구하고,

pushover 해석 시에는 항복회전각( y )과의 비를 사용한다.

기둥의 모멘트강도는 midas Gen 프로그램 상에서 부재의 항복모

멘트 산정 시에 축력의 영향을 고려하기 때문에, PMM 으로 설정하

여 모델링하며, 예비 pushover 해석을 통한 성능점에서의 작용모멘

트로 항복회전각을 구하여 모델링한다. 기둥의 전단강도는 FEMA

356식을 통해 구하며, 이때의 작용 축력도 예비 pushover 해석을

통한 성능점에서의 축력을 사용하고, 연성도( )는 모델링 파라미터

의 소성회전각( a )/항복회전각( y )으로 결정하여 계산한다. 축력힌

지는 압축과 인장으로 구분하여 축력을 산정하고, 압축파괴시에는

전단힌지와 마찬가지로 항복과 동시에 파괴되는 것으로 모델링 하

며, 인장파괴시에는 연성을 갖도록 모델링한다.

전단벽체의 모멘트힌지는 기둥과 동일한 방법으로 모델링 한다. 단,

면외방향과 면내방향을 동시에 고려할 경우에는 소성힌지 설정시

plate로 설정해 주어야 하며, membrane 요소로 모델링 할 경우에

는 면내 방향만을 고려해 주기 때문에 방향별로 벽체를 구분하여

설정해 주어야 한다.

7



(a) 전단힌지 모델링 (b) 보의 모멘트힌지 모델링

<그림 9> 보의 소성힌지 모델링

(a) 축력힌지 (b) 전단힌지 모델링 (c) 모멘트힌지 모델링

<그림 10> 기둥의 소성힌지 모델링

(a) 축력힌지 (b) 전단힌지 모델링 (c) 모멘트힌지 모델링

<그림 11> 전단벽의 소성힌지 모델링

MIDAS Technical Leader 비선형 정적해석 방법의 개요...

Documents

Transcript of MIDAS Technical Leader 비선형 정적해석 방법의 개요...