Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17....
Transcript of Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17....
![Page 2: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/2.jpg)
• Grafické násobení pomocí průsečíků přímek
• Algoritmus gelosia a Napierovy kostky
• Objev logaritmů, přirozený a dekadicky log
• Logaritmické tabulky a logaritmická pravítka
![Page 3: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/3.jpg)
S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17.
století stoupá potřeba rozsáhlých numerických
výpočtů, ve kterých převládá násobení (a dělení)
Zatímco kupec, či bankéř potřebuje především
sčítat (a odčítat), přírodovědec či technik určuje
výsledky svých výpočtů hlavně násobením
Minule jsme si ukázali velkou násobilku pomocí
prstů, ale to řeší jen násobení čísel do 20. Jakým
způsobem se ve středověku násobila víceciferná
čísla?
![Page 4: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/4.jpg)
Násobení můžeme znázornit graficky pomocí
přímek a jejich průsečíků.
Příklad: 143 x 252 … nejprve znázorníme 143
![Page 5: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/5.jpg)
Příklad: 143 x 252 … nejprve znázorníme 143,
potom 252 tak, aby se všechny přímky prvního
čísla protínaly se všemi patřícími druhému číslu
![Page 6: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/6.jpg)
Spočítáme počty průsečíků pro jednotlivé řády:
jednotky … 6, desítky … 15 + 8 = 23, stovky …
6 + 20 + 2 = 28, tisíce … 8 + 5 = 13, dt … 2.
20
15
8
8
![Page 7: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/7.jpg)
Nakonec uplatníme přenosy do vyššího řádu
Výsledek: 153 x 252 = 36 036
20
15
8
8
![Page 8: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/8.jpg)
Postup si ukážeme na příkladě: 362 x 1574
Připravíme si tabulku se třemi řádky a čtyřmi
sloupci. Políčka tabulky rozdělíme úhlopříčkou.
Do políček napíšeme součiny cifer (násobilky) tak,
že řád desítek je vlevo nahoře a jednotky vpravo
dole.
![Page 9: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/9.jpg)
V jednotlivých „žaluziích“
tj. úhlopříčných řadách
získáme pomocí sčítání
jednotlivé cifry výsledku
Část přenosů do vyššího
řádu vyřeší tabulka, ale
některé přenosy musíme dořešit „ručně“
Závěr: 362 x 1574 = 569 788
![Page 10: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/10.jpg)
John Napier, 1550 – 1617, skotský matematik,
fyzik a astronom
![Page 11: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/11.jpg)
Napier se snažil vyřešit problém s násobením
velkých čísel, tj. co nejvíc ho usnadnit a zrychlit
Podařilo se mu to dvěma různými způsoby, a to
jednak vytvořením pomůcky (Napierových kostí)
pro zautomatizování násobení užitím algoritmu
gelosia, jednak objevem logaritmů
Nejprve si ukážeme násobení pomocí
Napierových kostek tak, jak je najdete na webu
http://www.musilek.eu/ v sekci matematika
![Page 12: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/12.jpg)
Násobíme
7465 x 813
59720
7465
22395
**********
6068045
![Page 13: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/15.jpg)
1614 John Napier … Mirifici logaritmorum
1617 Henry Briggs … tabulky dek. logaritmů
1620 Joost Bürgi … publikoval práci z 1611
nezávisle na Napierovi
1621 William Oughtred …
… logaritmické pravítko
(kruhového tvaru)
1624 Henry Briggs … dokonalejší tabulky
![Page 16: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/16.jpg)
1614 vydal knihu
Mirifici logaritmorum canonis deskriptio
(Popsání podivuhodného zákona logaritmů)
Kniha obsahovala nejen pravidla pro počítání
s logaritmy, ale také tabulky logaritmů o základu
přibližně rovném převrácené hodnotě čísla e
Studoval na univerzitě St. Andrews
Popularizoval užívání desetinné čárky
![Page 17: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/17.jpg)
1561 - 1630
1616 Konzultoval s Napierem v Edinburgu
myšlenku zobecnění a praktckého použití
logaritmů a přesvědčil ho k použití základu 10
1617 publikoval osmimístné tabulky logaritmů
čísel od 1 do 1 000
1624 čtrnáctimístné tabulky logaritmů čísel
od 1 do 20 000 a od 90 000 do 100 000
Později zpracoval také tabulky logaritmů
goniometrických funkcí sinus a tangens pro
úhly s přesností 0,01° (také čtrnáctimístné)
![Page 18: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/18.jpg)
1552 – 1632, švýcarský hodinář, konstruktér
astronomických přístrojů a matematik
1601 – 1631 v Praze na dvoře císaře Rudolfa II.
Na svých tabulkách pracoval celkem osm let;
jejich základem je přibližné číslo e
1611 dokončil práci na tabulkách, ale
nepublikoval
1620 publikoval, bohužel později než Napier
Práce Bürgiho zůstala téměř nepovšimnuta,
zřejmě také v souvislosti s úpadkem vědy u nás
po bělohorské bitvě
![Page 19: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/23.jpg)
1575-1660, anglický
matematik
1621 sestrojil v roce
soustavu otočných
soustředných kruhůa mezikruží, na jejichžokraje nanesl
logaritmické stupnice
svůj výtvor nazval
Circles of Proportion
tak zkonstruoval
prvním logaritmické
pravítko (kruhového
tvaru).
![Page 24: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/24.jpg)
Výpočetní
pomůcka
založená
na kruhových
logaritmických
stupnicích
![Page 25: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/25.jpg)
Úloha:
Jaký je objem cisterny tvaru válce s vnitřním
průměrem d = 2,35 m a délkou v = 6,5 m?
Nejprve vypočítáme d2
= 2,35 . 2,35
![Page 26: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/26.jpg)
Pečlivě nastavíme rysku jezdce na 1. činitel (2,35),
na pevné stupnici a pak posuneme pohyblivou
stupnici tak, aby číslo „1“ bylo pod ryskou jezdce.
Posuneme jezdce na 2. činitel a čteme součin.
![Page 27: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/27.jpg)
Nyní už víme, že 2,35 . 2,35 = 5,52 výsledek
nejprve vydělíme 4mi a pak vynásobíme π.
To spočívám v nastavení čísla 4 pod jezdce
a následně přesun jezdce na číslo π na pohyblivé
stupnici. Na pevné stupnici čteme plochu kruhu.
![Page 28: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/28.jpg)
Na pevné stupnici na obr. vpravo čteme plochu
podstavy válce S = 4,34 m2.
![Page 29: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/29.jpg)
Nakonec budeme násobit výškou válce v = 6,5 m.
Při nastavení „1“ pod rysku jezdce bychom však
dostali výsledek mimo pevnou stupnici. Proto
musíme pod rysku nastavit číslo „10“ pohyblivé
stupnice. Při čtení výsledku musíme „10“ použít.
![Page 30: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/30.jpg)
Jezdec přesuneme na číslo 6,5 na pohyblivé
stupnici a na pevné stupnici čteme 2,82; což však
vzhledem k použití „10“ znamená, že objem
cisterny V = 28,2 m3.
![Page 31: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/31.jpg)
Odmocňování je možné díky propojení horních
pevných stupnic s dolní.
Úloha:
Jakou délku hrany má mít krychle, aby její objem
byl 15 m3?
![Page 32: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/32.jpg)
Objem je 15 m3,
takže nad horní
jemné stupnici
(od 1 do 1000)
nastavíme rysku
jezdce na 15.
Dole na základní
stupnici čteme
třetí odmocninu:
a = 2,47 m.
![Page 33: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/33.jpg)
Funkce sinus a tangens jsou na logaritmickém
pravítku dostupné po vysunutí a otočení střední
posuvné části. Na obrázku jsou vidět tři nové
stupnice s úhly ve stupních (horní S pro sinus,
dolní T pro tangens a prostřední S+T pro sin a tg
malých úhlů).
Úloha: Pozorovatel vidí patu věže ve výši svých
očí a její vrchol ze vzdálenosti 50 m pod úhlem
27° 25‘. Jak vysoká je věž?
![Page 34: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/34.jpg)
Jezdec nastavíme
nad číslo 5 pevné
stupnice, protože
odpovídá 50 m
vzdálenosti od
paty věže.
Posuvnou stupnici
T posuneme pod
rysku číslem 45,
protože tg 45° = 1,
pak přesuneme
jezdec tak, aby …
![Page 35: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/35.jpg)
Pak přesuneme
jezdec tak, aby
ryska ukazovala
úhel 27° 45‘ na
posuvné stupnici T
a na dolní pevné
stupnici čteme
výsledek:
Výška pozorované
věže v = 26,3 m.
![Page 36: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/36.jpg)
Numerické výpočty pomocí logaritmických
tabulek i pomocí logaritmického pravítka
procvičíme v rámci cvičení za týden.
Tento týden procvičíme násobení pomocí
Napierových kostek, násobení na prstech
a ukážeme si pár typů na počítání zpaměti.
![Page 37: Michal Musílek, 2009 · 2009. 9. 23. · S rozvojem přírodních věd na přelomu 16. a 17. století stoupá potřeba rozsáhlých numerických výpočtů, ve kterých převládá](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060816/6094f304f79f987b85198102/html5/thumbnails/37.jpg)