Metody przybli onego rozwiązywania równa różniczkowych ... · Gliwice 2006 Rozwiązywanie...
Transcript of Metody przybli onego rozwiązywania równa różniczkowych ... · Gliwice 2006 Rozwiązywanie...
Gliwice 2006
Metody przybliżonegorozwiązywania równań
różniczkowych zwyczajnych
Gliwice 2006
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych
za pomocą szeregów
Metoda współczynników nieoznaczonych
Metoda kolejnego różniczkowania (metoda jednego punktu)
Metoda kolejnych przybliżeń Picarda
metody dyskretne
Metoda łamanych Eulera
Ulepszenia metody Eulera
Wzory Rungego - Kutty
Metody wielokrokowe
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Dyskretne metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Gliwice 2006
Rozpatrujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego wrazz warunkiem początkowym
Zakładamy, że:
( ) ( )0 0' , ,y F x y y x y= =
Funkcja F(x,y) jest ciągła i ograniczona w pewnym obszarze płaskim Ω.
Funkcja F(x,y) spełnia w tym obszarze warunek Lipschitzawzględem zmiennej y, tzn. że istnieje taka liczba K, że dla wszystkich par punktów
należących do obszaru Ω spełniona jest nierówność:
1 1 1 2 2 2( , ), ( , )P x y P x y
( ) ( ) ( )1 2 1 2, ,F x y F x y K y y− < −
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Metoda Eulera(metoda łamanych)
Gliwice 2006
Polega na przybliżonym rozwiązaniu równania:
Funkcję F(x, y) traktujemy na odcinku [xi, xi + 1] jako stałą i równą wartości F w punkcie (xi, yi):
( ) [ ]1
1 1 , ( ) di
i
x
i i ix
y x y y F x y x x+
+ += = + ∫
[ ] ( )1
1, ( ) d , ,i
i
x
i i i i i ix
F x y x x h F x y h x x+
+= = −∫
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Ostatecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny w postaci:
dla i = 0, 1, …, n
1 0 0( , ), ( )i i i i iy y h F x y y x y+ = + =
Pochodna y’ została zastąpiona ilorazem różnicowym
1( )i i
i
y yh
+ −
czyli krzywą całkową na odcinku [xi,xi + 1] aproksymuje się odcinkiem stycznej do niej przechodzącej przez punkt (xi, yi).Zwykle przyjmuje się, że
ih const h= =
Rozwiązywanie równań różniczkowych
y
xx0 x1 x3 x5x2 x4
y0
Gliwice 2006
Interpretacja geometryczna metody łamanych Eulera
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Ulepszenia metody łamanych( pierwsze ulepszenie )
Gliwice 2006
Pierwsze ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:
Styczna do łuku A (xi, yi), B (xi + 1, yi + 1) w punkcie o odciętej
x∗ = (xi + xi+ 1)/2 jest równoległa do cięciwy AB .
Rozwiązywanie równań różniczkowych
y
xx0 x1x*
A
B
Gliwice 2006
Interpretacja geometryczna pierwszego ulepszenia metody łamanych Eulera
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:
( )
( )
( )
*1
*
* * *
*1
12
1 ,2
,
i i
i i i
i i
x x x
y y h F x y
m F x y
y y h m
+
+
= +
= +
=
= +
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Ulepszenia metody łamanych( drugie ulepszenie )
Gliwice 2006
Drugie ulepszenie metody łamanych polega na przyjęciu następującego założenia:
Współczynnik kierunkowy siecznej AB jest średnią arytmetyczną współczynników kierunkowych stycznych w punktach A i B.
Metoda ta nazywana jest też metodą Eulera – Cauchy’ego.
Rozwiązywanie równań różniczkowych
y
xx0 x*
A
B
Gliwice 2006
Interpretacja geometryczna drugiego ulepszenia metody łamanych Eulera
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Dla rozpatrywanego przypadku stosujemy następujące wzory:
( )
( )( )
*1
*
* * *
*1
,
,
1 ,2
i i
i i i
i i i i
x x x h
y y h F x y
m F x y
y y h F x y m
+
+
= = +
= +
=
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006
Za pomocą metody Eulera oraz jej ulepszeń rozwiązać równanie
PRZYKŁAD:PRZYKŁAD:
Rozwiązywanie równań różniczkowych
z warunkiem początkowym
'y x y= +
0 00, 1 ,x y= = przyjmując h = 0.1
Rozwiązanie dla prostej metody Eulera:
Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego:
1 0 0( , ), ( ) , 0, 1, ,i i i i iy y h F x y y x y i n+ = + = = …
z którego wynika:
1 0 00.1 ( ), 0, 1i i i iy y x y x y+ = + ⋅ + = =
Gliwice 2006
Obliczamy:
Rozwiązywanie równań różniczkowych
1 0 1 0 0 00.1 ( ) 1.1x x h y y h x y= + = = + + =
2 1 2 1 1 10.2 ( ) 1.22x x h y y h x y= + = = + + =
3 2 3 2 2 20.3 ( ) 1.362x x h y y h x y= + = = + + =itd.
x0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
= y1
1.1
1.22
1.362
1.528
1.721
1.943
2.197
2.487
2.816
3.187
3.606
4.077
4.605
5.195
5.854
=
0 1 21
3.69
6.39
9.08
11.78
yi
g s( )
xi s,
Gliwice 2006
Dla warunku początkowego:
Rozwiązywanie równań różniczkowych
obliczamy
pierwszy krok
0 00, 1x y= =
Rozwiązanie dla pierwszego ulepszenia metody Eulera:
* *0 1 0 0 0
* * * *0
1
1
0.11 1( ) 0.05 ( ) 1.052 2
1.1 1.11
x x x y y h x y
m x y y hm
x
y
=
= + = = + + =
= + = = + =
Gliwice 2006
Rozwiązywanie równań różniczkowych
drugi krok
2
2
* *1 2 1 1 1
* * * *1
0.21 1( ) 0.15 ( ) 1.17052 2
1.3205 1.24205
x x x y
x
y
y h x y
m x y y hm
=
= + = = + + =
= + = = + = itd.
0 0.5 1 1.5 21
3.69
6.39
9.08
11.78
y1i
g s( )
x1i s,
x0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
= y11
1.11
1.242
1.398
1.582
1.795
2.041
2.323
2.646
3.012
3.428
3.898
4.428
5.024
5.693
6.443
=
Gliwice 2006
Dla warunku początkowego:
Rozwiązywanie równań różniczkowych
obliczamy
pierwszy krok
0 00, 1x y= =
Rozwiązanie dla drugiego ulepszenia metody Eulera:
* *0 0 0 0
* * * *0 0
1
01
0.1 ( ) 1.111.2 ( ) 1.112
x x h y y h x y
m
x
x y y h x y my
= = + = = + + =
= + = = + + + =
Gliwice 2006
Rozwiązywanie równań różniczkowych
drugi krok
itd.
* *1 1 1 1
* *
2
2* *
1 1 1
0.2 ( ) 1.23111.431 ( ) 1.242052
x x h y y h x y
m x y y h x
x
y y m
= = + = = + + =
= + = = + + + =
Gliwice 2006
Wnioski:
Metoda łamanych (Eulera) jest najprostszą metodąz grupy algorytmów dyskretnych.
Zmniejszenie kroku h istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego. Niestety literatura nie podaje reguł doboru optymalnego kroku całkowania - najczęściej stosuje się „metodę prób”.
Korzystanie z ulepszeń metody łamanych daje wyniki nieporównywalnie lepsze.
Rozwiązywanie równań różniczkowych
Gliwice 2006