Metody całkowania numerycznego
Transcript of Metody całkowania numerycznego
![Page 1: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/1.jpg)
Całkowanie numeryczne
Paweł ŻakLaboratoria z przedmiotu:
Wybrane zagadnienia z matematyki
![Page 2: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/2.jpg)
Całkowanie
Matematycznie, przez całkowanie rozumiemy operację odwrotnądo różniczkowania.
Całka
Całka nieoznaczona Całka oznaczona
∫ dxxf )( ∫b
a
dxxf )(
![Page 3: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/3.jpg)
Całkowanie – po co ktoś to wymyślił ?
Całkowanie wbrew pozorom nie jest po to tylko by było co robićna zajęciach z matematyki wyższej.
Operacja znajdowania całki oznaczonej może być wykorzystanado rozwiązywania wielu problemów pojawiających się podczasopisu zagadnień fizycznych.
Całka oznaczona zdefiniowana wg. Riemmana, jest nieskończoną sumą nieskończenie małych.
![Page 4: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/4.jpg)
Całkowanie – po co ktoś to wymyślił ?
Całkowanie wbrew pozorom nie jest po to tylko by było co robićna zajęciach z matematyki wyższej.
Operacja znajdowania całki oznaczonej może być wykorzystanado rozwiązywania wielu problemów pojawiających się podczasopisu zagadnień fizycznych.
Całka oznaczona zdefiniowana wg. Riemmana, jest nieskończoną sumą nieskończenie małych.
? ??? ?
? ?
?
??
![Page 5: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/5.jpg)
Całkowanie – po co ktoś to wymyślił ?
Całkowanie wbrew pozorom nie jest po to tylko by było co robićna zajęciach z matematyki wyższej.
Operacja znajdowania całki oznaczonej może być wykorzystanado rozwiązywania wielu problemów pojawiających się podczasopisu zagadnień fizycznych.
Całka oznaczona zdefiniowana wg. Riemmana, jest nieskończoną sumą nieskończenie małych.
Co to oznacza spróbuję wyjaśnić na następnym slajdzie.
? ??? ?
? ?
?
??
![Page 6: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/6.jpg)
Całkowanie – o co w tym chodzi?
Sens całkowania ukrywa się w samej jego nazwie: całkowanieczyli budowanie całości – sumowanie.
Całka ma bardzo prostą interpretację geometryczną:jest to pole zawarte pomiędzyosią OX, a wykresem funkcji.
Wyobraźmy sobie, że możemydowolnie drobno podzielićodcinek [a,b] na podprzedziały.Wówczas suma iloczynów długości przedziału i wartościfunkcji podcałkowej w tymprzedziale będzie całką, jeżeli dalsze zagęszczanie podziału nie będzie już wpływało na wartość sumy.
![Page 7: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/7.jpg)
Całkowanie – o co w tym chodzi?
W przypadku, gdy znamy analityczne rozwiązanie całki nieoznaczonej:
Możemy je wykorzystać do obliczania wartości całki oznaczonej, według wzoru:
∫ += CxFdxxf )()(
∫ −=b
a
aFbFdxxf )()()(
![Page 8: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/8.jpg)
Całkowanie – Ach, Ci matematycy
Zawsze to samo:
Najpierw wymyślają skomplikowane operacje, a później orientują się, że w większości przypadków po prostu nie da się tego policzyć….
Wtedy starają się sprowadzić problem do dodawania i mnożenia. Takie podejście nazywa się Analizą Numeryczną.
![Page 9: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/9.jpg)
Całkowanie – Ach, Ci matematycy
Zawsze to samo:
Najpierw wymyślają skomplikowane operacje, a później orientują się, że w większości przypadków po prostu nie da się tego policzyć….
Wtedy starają się sprowadzić problem do dodawania i mnożenia. Takie podejście nazywa się Analizą Numeryczną.
W przypadku problemu poszukiwania całki oznaczonej opracowująMetody Całkowania Numerycznego.
![Page 10: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/10.jpg)
Do czego możemy używać całkowania
Całkowanie może być narzędziem służącym do analizy procesów fizycznych:
- praca zdefiniowana jest całką;- mając dystrybucję pewnego parametru możemy znaleźć jego ilość w ośrodku (ziarna, cząstki, gęstość materii, itp. … );- poszukiwanie środków ciężkości figur;- pomiar długości toru ruchu;- ….- obliczanie ciepła wydzielonego podczas przemiany;- rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych;- wiele innych ….
![Page 11: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/11.jpg)
Przykład 1
Po zastosowaniu odpowiedniego odczynnika możliwe było kolorowe wytrawienie próbek materiału. Analiza statystyczna ujawniła wartości średniego promienia ziarna oraz odchylenia standardowego.
Te parametry prowadzą do oszacowania rozkładu wielkości ziaren, N(d).
Całka : jest liczbą ziaren o średnicy z przedziału
[dmin, dmax].
∫max
min
)(d
d
ddN δ
![Page 12: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/12.jpg)
Przykład 2
Mikrokalorymetr zapisuje serie danych, między innymi: ilość ciepła wydzieloną, w kolejnych krokach czasowych procesu.
![Page 13: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/13.jpg)
Przykład 2
Dane te umieszczone w kartezjańskim układzie współrzędnych mogą zostać opisane przez funkcję.
![Page 14: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/14.jpg)
Przykład 2
Linia bazowa – hipotetyczna krzywa opisująca przebieg procesu w sytuacji w której nie następowałyby przemiany fazowe.
Ilość ciepła wydzielonego podczas przemiany może zostać wyznaczona przy pomocy różnicy całek:całki pod krzywą opisującą ilość wygenerowanego ciepła oraz całki pod linią bazową. Obie te całki brane są w przedziale o krańcach wyznaczonych przez punkty przecięcia funkcji podcałkowych.
( ) ( )( )∫ −b
a
dxxfxf 21
( )xf1
( )xf2
ab
![Page 15: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/15.jpg)
Przykład 3
Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne z warunkiem początkowym:
Znaleźć wartość funkcji w punkcie x = 3.
( )
=+−=
1)0(123' 2
yxxxy
)(xy
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +−+=+=3
0
23
0
1231'03 dxxxdxxyyy
![Page 16: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/16.jpg)
Jak całkować dokładnie w programie MAXIMA ?
Rozwiązanie dla przykładu 3
![Page 17: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/17.jpg)
Przykład 4
![Page 18: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/18.jpg)
Metody całkowania numerycznego
Metoda prostokątów
Metoda trapezów
Metoda parabol
Metoda Monte Carlo
![Page 19: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/19.jpg)
Metoda prostokątówMetoda prostokątów polega na przybliżeniu obszaru ograniczonego wykresem funkcji przez prostokąty o podstawie równej długości kroku całkowania i wysokości równej wartości funkcji w przedziale określonym przez krok całkowania.
Wartość funkcji może być brana z punktów brzegowych lub z wnętrza przedziału.
![Page 20: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/20.jpg)
Metoda prostokątów
Formuła obliczeniowa:
( ) ( )∑∫=
∆=N
iii
b
a
xxfdxxf1
![Page 21: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/21.jpg)
Metoda prostokątówMetoda prostokątów dla przykładu 4 będzie wyglądała następująco:
![Page 22: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/22.jpg)
Metoda prostokątów
Zmiana parametru a i dx w poprzednim przykładzie pokazuje, że dokładność metody zależy od:
- wyboru punktu, w którym liczymy wartość funkcji,
- długości kroku całkowania
oraz, że odpowiednio zmniejszając krok całkowania zbliżamy się do rozwiązania dokładnego.
![Page 23: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/23.jpg)
Metoda trapezów
Metoda trapezów polega na przybliżeniu obszaru ograniczonego wykresem funkcji przez trapezy prostokątne o wysokości równej długości kroku całkowania i podstawach o długościach odpowiadających wartościom funkcji w punktach węzłowych na brzegu przedziału.
![Page 24: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/24.jpg)
Metoda trapezów
Formuła obliczeniowa:
( ) ( ) ( )( )∑∫=
∆++∆=N
iiiii
b
a
xxfxfxdxxf12
1
![Page 25: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/25.jpg)
Metoda trapezów
Metoda trapezów zastosowana do przykładu 4 da rozwiązanie dokładne. Tak samo ta metoda zachowa się dla każdego przypadku całkowania funkcji liniowej.
![Page 26: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/26.jpg)
Metoda trapezów
W przypadku całkowania funkcji innych niż liniowa, dokładność metody trapezów zależy od długości kroku całkowania.
sprawdzenie
![Page 27: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/27.jpg)
Metoda parabol (metoda Simpsona)
Metoda parabol polega na przybliżeniu pola pod krzywą polami figur płaskich budowanych w następujący sposób:podobnie jak dla trapezów podstawą jest podprzedział całkowania, bokami są wartości funkcji całkowanej w punktach brzegowych,czwarty bok jest opisany parabolą rozpiętą na wartościach funkcji całkowanej w punkcie środka przedziału całkowania oraz punktów brzegowych.
f(x)
P(x)
P1 P2
![Page 28: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/28.jpg)
Metoda parabol (metoda Simpsona)
Formuła obliczeniowa:
( ) ( ) ( ) ( )( )∑∫=
∆++∆++∆=N
iiiiiii
b
a
xxfxxfxfxdxxf1
214
61
![Page 29: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/29.jpg)
Metoda parabol (metoda Simpsona)
Metoda parabol jest dokładna dla wielomianów stopnia mniejszego lub równego 2.
![Page 30: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/30.jpg)
Metoda parabol (metoda Simpsona)
W przypadku pozostałych funkcji podcałkowych jej dokładność zależy od długości kroku całkowania.
![Page 31: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/31.jpg)
Całkowanie dla danych doświadczalnych
W przypadku danych pochodzących z eksperymentu mamy do czynienia z kilkoma ciągami danych:
{ }{ }{ }
Nii
Nii
Nii
g
f
x
,...,2,1
,...,2,1
,..,2,1
=
=
=najczęściej czas
pierwszy mierzony parametr w momencieodpowiadającym i-tej wartości zmiennej x
drugi mierzony parametr w momencieodpowiadającym i-tej wartości zmiennej x
pozostałe mierzone parametry
![Page 32: Metody całkowania numerycznego](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062413/587609121a28abd8418b4931/html5/thumbnails/32.jpg)
Całkowanie dla danych doświadczalnych
Zgromadzone w ten sposób dane mogą być bezpośrednio wykorzystane do wyznaczania przybliżonej wartości całki. Zakładamy wówczas, że:
i stosujemy podane poprzednio wzory.
( )( )ii
ii
xggxff
==