Ing. Fernando

Montesinos Andreses

CICLO 2013-I Módulo: I Unidad: 01 Semana: 01

MÉTODOS NUMÉRICOS Y

PROGRAMACIÓN DIGITAL

TEORÍA ELEMENTAL DE ERRORES

ORIENTACIONES

Para llegar a donde deseas necesitas una

meta, que tu meta sea pasar este curso con

un buen resultado, es decir que puedas

lograr aprender a aprender. Para llegar a

ello debes tener un plan, el cual debe

incluir los puntos siguientes:·

• Prepararse para la clase.

• Asistir a clase.

• Solicitar ayuda especial cuando la

necesites·

CONTENIDOS TEMÁTICOS

TEORÍA ELEMENTAL DE ERRORES

• Error Absoluto.

• Error Relativo. Cifras Significativas exactas.

• Cifras Decimales Exactas.

• Notación decimal y redondeo de números.

• Relación entre el número de cifras justas y el erro del

número.

• Errores al realizar operaciones básicas.

TEORIA DE ERRORES

Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya

indirectamente, la medida que se obtiene no

es necesariamente el valor exacto de tal medida,

ya que el resultado obtenido estará afectado por

errores debidos a multitud de factores

Entonces el error es definido la diferencia entre

un valor que se obtiene de una medición y un

valor considerado verdadero.

El error de las medidas es la incertidumbre que

tienen estas medidas y deben darse siempre

junto con el valor de la medida

Los fabricantes de instrumento de medición,

garantizan que los valores reales de las

magnitudes medidas, en condiciones

experimentales determinados, están

comprendidos dentro de ciertos limites

referidos al resultado de la medición

TEORÍA DE ERRORES

ERRORES ABSOLUTOS

ERROR ABSOLUTO (∆):

Es la diferencia entre la magnitud leída

en el instrumento (VL) y la magnitud

verdadera medida (VR).

∆ = VL - VR

ERRORES RELATIVOS

ERROR RELATIVO (Ƹr):

Es la relación entre el error absoluto (∆) y el

valor de la magnitud verdadera (VR)

Ƹr = ∆ / VR Ƹr% = (∆ /VR ) x 100

Ejemplo Aplicativo: Tenemos un instrumento de clase

0.5, cuyo rango máximo es de 500 voltios, debe medir

una tensión de 350 voltios. Determinar el Error

Absoluto y el Error Relativo.

Sabemos que B = ( ∆ / Vmax. Escala) x 100

Reemplazando los datos 0.5 = (∆ /500)x 100

Por lo tanto obtendremos ∆ = 2.5 voltios

Luego

Ƹr = ∆ / VR entonces Ƹr = (2.5 v./ 350 v.) = 0.0071

y expresado en porcentaje seria

Ƹr = (2.5 v./ 350 v.) x 100 Ƹr = 0.71%

ERRORES DE MEDICION

Errores Sistemáticos: Invariablemente, tienen la

misma magnitud y signo, bajo las mismas

condiciones.

Por ejemplo, los errores de calibración de escalas, en

general, por otras causas medibles con precisión. La

detección y corrección de estos errores se efectúa

por comparación o contraste con instrumentos

patrones.

Errores Aleatorios: Es un hecho conocido que al

repetir una medición utilizando el mismo proceso de

medición (el mismo instrumento, operador,

excitación, método, etc.) no se logra el mismo

resultado.

En este caso, los errores sistemáticos se mantienen

constantes, y las diferencias obtenidas se deben a

efectos fortuitos, denominados errores aleatorios

(mal llamados accidentales).

Errores Teóricos: De conocimiento o

imperfecciones en el método de medida

Errores Instrumentales: Propios de la construcción

del instrumento o ajuste de los mismos

Errores Ambientales: Variación de la Temperatura,

presión, humedad atmosférica, etc.

Errores Personales: Pueden deberse a limitaciones

físicas del observador, estado anímico, fenómeno de

paralaje

Errores Residuales: Se presenta sorpresivamente y a

veces se desconoce la causa y magnitud.

ERRORES DE MEDICION

OTRO TIPO DE ERRORES

Error de forma: Es un error que depende de la

deformación de la onda sinusoidal y aparece en

aquellos instrumentos en los cuales el momento

motor depende del valor medio de la corriente

alterna y en los que tienen núcleos ferromagnéticos.

OTRO TIPO DE ERRORES

Error de Posición ó Error de

Paralaje: Este error es importante

el primero es la indebida posición

del instrumento y el otro error es

en instrumentos de los cuales el

eje es horizontal o vertical y la

vista debe mirar de forma

perpendicular al instrumento de

medición.

Error de Conexión: Cuando no se tiene

cuidado en las conexiones de los instrumentos.

Error por Influencia: Se debe principalmente a

la influencia del medio ambiente, campo

eléctrico y campo magnético.

13

ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS

• Clasificación:

• Errores sistemáticos defectos intrínsecos

• Errores accidentales causas fortuitas, tratamiento estadístico

Valor verdadero

Valor verdadero

Las distintas medidas de una magnitud afectadas sólo por errores

accidentales se distribuyen en torno al “valor verdadero” de una forma

estadísticamente predecible. Cuando los errores en las medidas son accidentales, la mejor

aproximación al valor verdadero es la media aritmética de los valores

obtenidos.

14

-2 0 2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA o NORMAL

Medidas

Número

de veces

que se

presenta

una

medida

Media

N

iiN x

Nxxx

Nx

121

1)...(

1

Media aritmética de N medidas

N

ii xx

N 1

2)(1

Error estándar

La mayoría de las medidas se

concentran alrededor de la media, las

medidas más alejadas y extremas son

menos frecuentes

Uso de diferencias al

cuadrado en los estimadores

estadísticos para evitar

cancelaciones

Cuando las medidas están

afectadas sólo por errores

aleatorios

%68

22 %95

15

RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del aparato

SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escala que recorre el

indicador del aparato cuando la magnitud a medir varía en una unidad.

Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada;

0.01 A en cierto amperímetro

Ejemplos.: 1 mm –1 en la regla milimetrada.

100 A–1 en el amperímetro.

Umbral de sensibilidad:

variación mínima de la magnitud que no es apreciada por el aparato

(evidentemente es menor que la resolución)

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo resultado

siempre que se mide la misma magnitud física en las mismas

condiciones experimentales y distintas condiciones ambientales del

aparato (temperatura, humedad ambiente, tensión de alimentación, ...).

16

PRECISIÓN: Es la característica que nos indica globalmente el error

debido al umbral de sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.

Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento del fondo de

escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro de precisión 2% del F.E.

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

De todas estas características, la precisión es la que más completamente

indica el error de la medida debido intrínsicamente al aparato, es decir, que

no se puede rebajar salvo que midamos con un aparato más preciso

Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato, pero que pueden

corregirse mediante calibrado, es decir, ajustándolos para que den medidas

correctas o corrigiendo sus escalas tras una confrontación con un patrón o un

aparato más preciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otra

cualidad.

EXACTITUD: Es la cualidad que indica que un aparato es preciso y

está bien calibrado. Sólo un aparato exacto permite medidas exactas,

pero la exactitud está siempre limitada por la precisión del aparato.

17

El error más típico que afecta a la

exactitud de los aparatos es el “error

de cero”. Causado por un defecto de

ajuste del aparato, este da una

lectura distinta de cero cuando lo

que mide vale cero. Es fácilmente

corregible reajustando el aparato o

corrigiendo numéricamente las

lecturas en la cantidad en que

difieren el cero real y el de la escala.

7 mV

ERROR DE CERO

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

Escala 2 V

18

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

• El número de cifras significativas de una medida es el número de

dígitos fiables que dicha medida contiene.

• Ejemplo “dudoso”: tiempo que tarda la luz en recorrer UN MILLÓN de

kilómetros...

sc

xt 3333333333.3

103

10

5

6

? Criterios

• Los ceros a la izquierda no son significativos, indican la colocación del

punto decimal; así, 0.000345 tiene TRES cifras significativas.

• Los ceros a la derecha y después del punto decimal si son

significativos; como ejemplo, 3.4120 tiene CINCO cifras significativas.

• En números enteros terminados en ceros, éstos pueden ser

significativos o no. Debe distinguirse si sólo sirven para localizar el

punto decimal o forman parte de la medida. 3·102 kg UNA cifra significativa

3.0·102 kg DOS cifras significativas 3.00·102 kg TRES cifras significativas

El resultado de un cálculo no puede ser más exacto que la cantidad menos

exacta que interviene en el mismo.

19

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

Las medidas directas son las realizadas midiendo una magnitud física por

medio de un instrumento y un procedimiento de medida.

Las medidas indirectas son las que se obtienen a través de la medida

directa de otra u otras magnitudes relacionadas con ella mediante una

fórmula conocida.

Error en una medida directa:

En cada medida directa x se comete el error Dx que impone la resolución del aparato.

Por ejemplo: midiendo una longitud de 22 mm con una regla

milimetrada, cometemos un error de 1 mm. Esto debe expresarse

como (221) mm.

Este es el error absoluto de cada medida. La medida se expresa como x Dx

Criterio general para expresar el error absoluto: Ya que el error representa la incertidumbre en el conocimiento de la

medida, en general debe expresarse con UNA sola cifra significativa.

No obstante, cuando expresamos el error absoluto de una serie de medidas resultado de

ciertos cálculos, véase más adelante, se admite expresar el error absoluto con DOS cifras

significativas si la primera de ellas es 1.

20

s 104 3

s 105 3D RMSx

Medida resultante de un conjunto de medidas directas

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

Valor aceptado: media aritmética

N

iiN x

Nxxx

Nx

121

1)...(

1

Error absoluto de la serie: la mayor de las dos cantidades siguientes:

* El error estándar de los datos

N

ii xx

N 1

2)(1

* El valor cuadrático medio de los errores (RMS) 222

21 ...

1NRMS xxx

Nx DDDD

x1 Dx

1

x2 Dx

2

x3 Dx

3

… …

xN

Dx

N

(Ti-T)2

4,00E-04

4,93E-32

4,00E-04

1,00E-04

4,93E-32

1,00E-04

DTi2

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

Ti (s)

1,92

1,94

1,96

1,95

1,94

1,93

DTi

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

Ejemplo:

medida del

periodo de un

péndulo simple

s 94.1T s 005.0940.1 T

El error absoluto del conjunto será la mayor de las dos cantidades ),( RMSxMAXx DD

21

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

• La medida indirecta de una magnitud x se determina a través de la

medida de otras con las que mantiene una relación funcional ),...,( 21 Nxxxxx

Ley de propagación del error de Gauss

22

22

2

11

...

D

D

D

D N

N

xx

xx

x

xx

x

xx

La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del error absoluto

de la magnitud medida en forma indirecta a partir de los errores absolutos

Dx1, Dx2,… Ejemplo: cálculo de la energía cinética de un cuerpo de masa M = (2.140.04) kg

que se mueve con una velocidad constante v = (4.50.1) m/s.

J 6675.212

1 2 MvEc

22

D

D

D v

v

EcM

M

EcEc 2

22

2vMvM

vD

D J 088.11.05.414.204.0

2

5.4 2

22

(Sin ajustar decimales)

Expresamos el error con 2 cifras significativas al ser la primera un 1 J 1.1D cE

Ajustamos el resultado al mismo orden decimal que el error: J 1.17.21 cE

22

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

Valor máximo del error en medidas indirectas

• Si supusiéramos que de todas las variables que intervienen en la

magnitud x sólo una de ellas, xi, influye en el error Dx por haber sido

todas las demás medidas sin error alguno, la ley de propagación del

error nos daría:

ii

ii

xx

xx

x

xx D

D

D

2

Pero realmente no hay ninguna variable que sea medida sin error, por lo

que podemos considerar que el error máximo en la medida indirecta será

la suma de una serie de términos de error individual de la forma

expresada en la ecuación anterior:

NN

xx

xx

x

xx

x

xx D

D

D

D ...2

21

1

Salvo que se indique expresamente lo contrario, debe preferirse expresar los

resultados de las medidas acompañados de su error máximo, dado por la ecuación

inmediata anterior en lugar del error medio dado por la fórmula de Gauss.

El anterior ejemplo de la energía cinética, si se usa el error máximo, da como resultado J 5.17.21 cE

(compruébese)

23

• La función consta exclusivamente de productos y/o

cocientes nN

ba xxxx ...21

Derivadas parciales 11 x

xa

x

x

22 x

xb

x

x

NN x

xn

x

x

Error máximo (expresado como error relativo, es decir, como cociente

entre el error y la magnitud)

N

N

x

xn

x

xb

x

xa

x

x D

D

D

D...

2

2

1

1

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

Caso particular que se presenta con frecuencia:

Ejemplo: error cometido en el cálculo de una fuerza centrípeta R

vMF

2

R

R

v

v

M

M

F

F D

D

D

D2

24

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

Cálculo del error en la media empleando la ley de propagación de Gauss

Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas de una

magnitud, cada una afectada de un error individual Dx1,

Dx2,...DxN), como medidas directas a partir de las cuales se

obtendrá la media como medida indirecta, siendo la

relación funcional entre ellas

N

iix

Nx

1

1

Valor medio del error:

22

2

2

1 Δ1

Δ1

Δ1

Δ

Nx

N...x

Nx

Nx 22

22

1 ΔΔΔ1

Nx...xxN

N

x

N

x...xx

N

RMSN ΔΔΔΔ122

22

1

Valor máximo del error:

NN

xx

xx

x

xx

x

xx D

D

D

D ...2

21

1 Nxxx

NDDD ...

121

N

x

x

x i

i

D

Obsérvese que

22

22

2

11

...

D

D

D

D N

N

xx

xx

x

xx

x

xx

Aproximaciones • Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos

provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales

se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y,

ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

• Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es

resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos

cálculos aritméticos.

• Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones

del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición

consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo

que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

Aproximaciones

Aproximación numérica

• Se entiende por aproximación numérica X*

una cifra que representa a un número cuyo

valor exacto es X. En la medida en que la

cifra X* se acerca más al valor exacto X,

será una mejor aproximación de ese

número

• Ejemplos:

– 3.1416 es una aproximación numérica de ,

– 2.7183 es una aproximación numérica de e,

– 1.4142 es una aproximación numérica de 2, y

– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

Cifras significativas • Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por

ejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, o un odómetro para medir el kilometraje recorrido.

• El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro.

• Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas.

• El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales como , e ó 2.

• Alternativamente al número de cifras significativas, está el número n de dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras y computadoras.

Exactitud y precisión.

• La precisión se refiere al número de cifras significativas que

representa una cantidad.

• La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una

medida al valor numérico que se supone representa.

• Ejemplo: es un número irracional, constituido por un número

infinito de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan

buena de , que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al

considerar las siguientes aproximaciones de :

= 3.15 es impreciso e inexacto.

= 3.14 es exacto pero impreciso.

= 3.151692 es preciso pero inexacto.

= 3.141593 es exacto y preciso.

• Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente

exactas y precisas. El término error se usa tanto para representar la

inexactitud como para medir la imprecisión en las predicciones.

Convergencia y estabilidad • Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que,

al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones

obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor

buscado.

• En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número

de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene

una mayor rapidez de convergencia.

• Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de

convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre

convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más

del resultado deseado.

• En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama

de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja

que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.

• Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, pero que son

muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta

convergencia.

Selección de alternativas

• El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues

se requiere elegir entre:

– Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema

– Varias herramientas tecnológicas

• Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una

persona y otra, que depende de:

– El nivel de participación en el modelado matemático del problema

– Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo

– La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

Selección de alternativas

• Tipo de problema a resolver:

– Raíces de ecuaciones

– Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas

– Interpolación, diferenciación e integración

– Ecuaciones diferenciales ordinarias

– Ecuaciones diferenciales parciales

– Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)

• Equipo:

– Supercomputadora

– Computadora personal

– Calculadora graficadora

– Calculadora científica de bolsillo

– Regla de calculo

Las herramientas de cómputo son

máquinas “tontas” que sólo hacen lo

que se le ordena; sin embargo, los

tediosos cálculos numéricos los hacen

muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.

Tipo de problema

Modelo matemático

Método numérico

Equipo

• Computadora

• Calculadora

Selección de alternativas

• “Software” – Desarrollo de programas:

• lenguaje “C”

• “Basic”

• “Fortran”

• Otro.

– Utilización de software matemático:

• “Maple”,

• “MatLab”,

• “MathCad”,

• “Mathematica”.

– El manejo de hojas de cálculo en PC:

• Excel

• Lotus

– Manejo expedito de una calculadora graficadora

Es altamente recomendable

que el ingeniero sepa programar

en por lo menos un lenguaje, sepa

utilizar algún software matemático,

y manejar muy eficientemente una

hoja de cálculo y una calculadora

graficadora

Software

• Desarrollo de programas

• Software matemático

• Hoja de cálculo

• Calculadora graficadora

Selección de alternativas

• Método numérico: no existe el mejor, pero si los

favoritos

– Amplitud de aplicación

– Amigabilidad

– Estabilidad

– Rapidez de convergencia

– Número de valores iniciales requeridos

• Se ha de tomar en cuenta, además

– Complejidad del modelo

– Turbulencia de los datos

– Ingenio y creatividad

GRACIAS