UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA METODOS MATEMTICOS PARA ENGENHARIA MECNICA

TURMA 02110 - MANH

Soluo Analtica e Numrica da Equao da Onda Bidimensional Pelo Mtodo de Elementos Finitos

Belm

2014

2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA METODOS MATEMTICOS PARA ENGENHARIA MECNICA

TURMA 02110 - MANH

Soluo Analtica e Numrica da Equao da Onda Bidimensional Pelo Mtodo de Elementos Finitos

Graduandos:

Humberto Vincius Muos Aguirre 11188003801

Mailthon Ritter Gil 11021003901

Marco Antnio Beltro Pamplona Jr. 10021000101

Este trabalho foi apresentado como pr-requisito da disciplina Mtodos de Matemtica Aplicada ministrada pelo Prof. Dr. Jerson Vaz.

Belm 2014

3

SUMRIO

1. Introduo................................................................................................ 4

2. OBJETIVOS ............................................................................................. 4

2.1 Calculo Analtico da Eq. Diferencial Parcial de Segunda

Ordem 4

3. Anexo I: Soluo Analtica .................................................................. 7

3.1 Equao da onda ................................................................................... 7

4. Anexo II: Soluo Analtica e Soluo Numrica Pelo Mtodo

das Diferenas Finitas .............................................................................................. 13

4.1 Equao Da Onda ................................................................................ 13

5. Anexo III: Rotina Computacional da Soluo Analtica ............ 16

6. RESULTADOS E DISCUSSES........................................................ 16

7. CONCLUSO ........................................................................................ 17

8. REFERENCIAS BIBLIOGRFICA ..................................................... 18

4

1. Introduo

O mtodo dos elementos finitos (MEF ou FEM em ingls) uma forma

de resoluo numrica de um sistema de equaes diferenciais parciais.

O mtodo das diferenas finitas um mtodo de resoluo

de equaes diferenciais que se baseia na aproximao de derivadas por

diferenas finitas. A frmula de aproximao obtm-se da srie de Taylor da

funo derivada

2. OBJETIVOS

Este trabalho visa soluo analtica e numrica, pelo mtodo das

diferenas finitas, da equao da onda bidimensional aplicada em um plano

definido. O principal objetivo comparar os mtodos de soluo pela sua

facilidade de soluo e implementao computacional, visto que, as solues

obtidas no clculo manual foram implementadas no Software MatLab 7.12.0

(R2011a).

2.1 Calculo Analtico da Eq. Diferencial Parcial de Segunda

Ordem

A equao apresentada foi do tipo Diferencial parcial da forma:

y

x

0.0

L

L

5

Para o problema dado, foram estipuladas as seguintes condies de

contorno:

E as seguintes condies iniciais:

A soluo e os passos de obteno da mesma esto explicitados

na forma analtica e na forma numrica, presentes no Anexo 1 e Anexo II,

respectivamente.

As equaes encontradas foram implementadas no MatLab, os

resultados obtidos podem ser sintetizados na Fig. 1. Onde temos o

resultado da plotagem 3d para os instantes T0 = 0s, T = 5s e T = 15s, T =

30s, T = 45s e T = 60s.

6

Figura 01: Plotagem da superfcie 3d nos instantes (A) T0 = 0s, (B) T = 5s, (C) T = 15s, (D) T =

30s, (E) T = 45s e (F) T = 60s.

A B

C D

E

E F

7

3. Anexo I: Soluo Analtica

3.1 Equao da onda

O modelo da corda elstica vibrante dado pela equao da

onda unidimensional

2

2= 2.

2

2, =

,

Em que T a tenso na corda e a massa por unidade de

comprimento. U (x, t) a deflexo na corda. Portanto, supomos

uma corda de comprimento L e fixa nas extremidades x= 0 e x= L.

Ento temos duas condies de contorno.

{ = (0, ) = 0

= ( , ) = 0 ( )

Alm disso, temos as seguintes condies iniciais:

( , 0) = ()

(, 0) = () ( 0 )

-Soluo:

Classificao da E.D.P.

E.D.P. de 2 ordem, 1 grau, linear, homognea, transiente,

unidimensional, hiperblica.

-Aplicando o mtodo de separao de variveis:

( , ) = (). (), . . .

2. ( ). ( ) =

22. 2. (). ()

2

8

. 2.

2=

2. . 2.

2 :

2.

2. 2=

2.

2 = 2

Montando o sistema:

{2

2. = 2. 2. (1)

{2

2= 2 (2)

Soluo da equao 1:

{2

2. = 2. 2. , fazendo = e

2

2= 2 , temos

ento:

2. = 22. : 2. +22. =

: . ( 2 + 2 . 2) = 0

:: 2 = 22

Resolvendo : = 2. 2 = , ento:

() = 1. + 2.

-Aplicando a identidade de Euler:

= cos() . ()

() = 1. cos() + () + 2. cos() ()

9

() = (1 + 2). cos() + (1 2) ()

() = 1. cos() + 2. ()

-Soluo da equao (2):

{2

2= 2 , fazendo = e

2

2= 2, temos

ento:

2. = 2. : 2. + 2. = 0

(2 + 2) = 0 : 2 = 2 , resolvendo = 2 =

1,2 =

() = 3. + 4.

-Aplicando a identidade de Euler:

= cos() ()

() = 3. cos() + () + 4 cos() ()

() = (3 + 4). cos() + ( 3 4) ()

() = 3. cos() + 4(), :

( , ) = (). (), :

( , ) = 3. cos() + 4. () 1. cos() + 2. ()

Aplicando as Condies de Contorno

1a Condio de Contorno, sendo: (0, ) = 0

10

Logo,

(0, ) = 0 = (0) () = (0) = 0 , fica ento,

(0, ) = 0 = 3 cos(0) + 4 (0)

(0, ) = 0 = 3 1 + 4 0

(, ) = =

2a Condio de Contorno, sendo: (, ) = 0

Logo,

(, ) = 0 = () (), fica ento,

() = 4 () = 0

() = 0

() = 0

=

=

=

Ento, a deflexo da soluo fica:

(, ) = 4 () [ 1 cos() + C2 x sen ()]

+

=1

11

(, ) = () [ 1

+

=1

4 ] cos()x + [ C2 C4 ] x sen ()

(, ) = () () + ()

+

=

3a Condio de Contorno, sendo: (, 0) = (), fica ento:

() = () cos()x + B x sen ()

+

=1

() = () cos(0)x + B x sen (0)

+

=1

() = () x(1) + B x (0)

+

=1

(, ) = () = ()

+

=

Semi - Srie de Fourier

=

() (

)

4a Condio de Contorno, sendo:

(, 0) = ()

Para, (0 ).

Logo,

12

(, 0) = ()

= () [ () x sen ()

+

=1

+ B x ()x cos()]

(, ) = () = () ()

+

=

Semi Serie de Fourier

= 2

() (

)

0

=

() (

)

Portanto a soluo geral da Equao Onda Unidimensional

:

(, ) = (

) { (

) + (

)}

+

=

Sendo que para:

=

() (

)

13

=

() (

)

4. Anexo II: Soluo Analtica e Soluo Numrica Pelo

Mtodo das Diferenas Finitas

4.1 Equao Da Onda

[

] = [

+

]

Onde,

U = uma funo da posio e do tempo que descreve o

comportamento da onda.

C = a velocidade de propagao da onda.

T = varivel temporal.

Para solucionar esta equao, vamos utilizar o mtodo das

diferenas finitas.

Vale lembrar que este mtodo utilizado na discretizao das

equaes diferenais parciais (EDP), a partir da substituio das

derivadas por relao de diferenas. Portanto trata-se de um

mtodo bastante aproveitado tanto para solues de Equaes

diferenciais de 1a e 2a ordem.

Tendo ento uma malha bidimensional:

14

No caso temos uma malha tridimensional devido ao tempo ser uma

dimenso, sendo assim ainda temos um coeficiente k que vem a

ser meu (U) graficamente falando.

Expandindo por srie de Taylor e aplicando as derivadas obtemos

que:

2

2=

[ 1 2 + + 1]

2

2

2=

[ 1 2 + + 1]

2

2

2=

[ 1 2 + + 1]

2

Aplicando o Mtodo das Diferenas Finitas para a Equao da

Onda:

[

] = [

+

]

2

2=

[ 1, , 2, , + + 1, , ]

2

2

2=

[, 1, 2, , + , + 1, ]

2

2

2=

[, , 1 2, , + , , + 1 ]

2

[1

2] [

[, , 1 2, , + , , + 1 ]

2]

= [[ 1, , 2, , + + 1, , ]

2]

+ [[, 1, 2, , + , + 1, ]

2]

Fazendo: 2 = 2, e isolando , , + 1, temos:

15

= [(

)

1

2] < 0,5. .

, , + 1 = (2 4), , +

[ 1, , + + 1, , + , 1, + ,

+ 1, ] , , 1

Sendo est a equao resolvida pelo programa.

No entanto, precisamos de condies iniciais.

Para isso, a condio que satisfaz o problema uma curva

Gaussiana do tipo:

= 0.1 (2 + 2

22)

Onde:

U = uma funo da posio e do tempo que descreve o

comportamento da onda.

X = a variao x da malha.

Y = a variao y da malha.

u = Desvio Padro

16

5. Anexo III: Rotina Computacional da Soluo

Analtica

Vede Arquivo MatLab executvel.

6. RESULTADOS E DISCUSSES

A acelerao do meio (gua) tem que ser balanceada pelos

processos difusivos. Ento, utilizando a equao da onda para

representar o processo, a condio final deve ser de elevao

constante (nula). Pois um processo totalmente dissipativo.

Os resultados so obtidos atravs de vrios grficos em 2d,

com o auxlio do programa MatLab, que realiza uma simulao

atravs dos mesmos.

Resultados tirados dos grficos.

1. .

= 0,3 [

]

.

= 60 []

2. .

=1

= 0,0166666 0,0167 []

3. .

17

=

=

=

0,3

0,0167

= 17, 967 []

4. .

= 2

=2

60

= 0,10472 [

]

5. .

= 2

= 2

17,967

= 0,3497[

]

0,35 [

]

7. CONCLUSO

Quanto ao problema fsico, tivemos certa dificuldade em

programar no MatLab a equao da onda, certa dificuldade na

anlise, erros operacionais humanos, tanto interpretao,

programao. No entanto, obtivemos dados, do tipo: perodo,

18

frequncia, comprimento de onda, frequncia angular, nmero de

onda.

Concluindo, o programa rodou de acordo com o esperado,

apresentando grficos satisfatrios, bem como a soluo do

mtodo das diferenas finitas que foi eficaz para a resoluo do

problema.

8. REFERENCIAS BIBLIOGRFICA

Zill, D.G.: Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagem,

Pioneira Thonson Learning, So Paulo, 2003.

Oliveira, E.C., Tygel, M.: Mtodos Matemticos para Engenharia,

SBMAC, So Carlos, 2011.

Conte, S.D., Boor, C.: Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic

Approach, McGraw-Hill, 2009.

Anlise Numrica; Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas; 2008.

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_elementos_finitos#me

diaviewer/Ficheiro:Airflow-Obstructed-Duct.png

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_elementos_finitos

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_das_diferen%C3%A7as_fin

itas