Métodos Numéricos II - fcfm.buap.mx · abscisas de los nodos de interpolación de Lagrange, en...
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Métodos Numéricos II
NODOS DE TCHEBYCHEV Edgar Moyotl-Hernández
FCFM-BUAP
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FENÓMENO DE RUNGE
En general, el polinomio de interpolación se podría ver afectado por el conjunto depuntos {(𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)} y por la función 𝒇 𝒙 [3].
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 2
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FENÓMENO DE RUNGE
Fenomeno de Runge:
Con 𝒇 𝒙 =𝟏
𝟏 + 𝟐𝟓 𝒙𝟐, el polinomio interpolante presenta problemas de convergencia
si tomamos nodos igualmente espaciados en [-1, 1], es decir, si 𝒙𝒊 = −𝟏 + 𝒊𝒉 con𝒉 = 2/𝑛.
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 3
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FENÓMENO DE RUNGE
Las figuras muestran que la interpolación se ve afectado hacia los extremos delintervalo no así en el centro; esto parece ser una tendencia general [3].
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 4
Interpolación de Lagrange con 11 puntos,
en el rango de -1 x 1.
Interpolación de Lagrange con 16 puntos,
en el rango de -1 x 1.
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ELECCIÓN DE LOS NODOS
Regresando a la fórmula del error de Lagrange,
𝒇 𝒙 − 𝒑 𝒙 =𝒇 (𝑛+1) 𝜀
𝒏+𝟏 !𝑥 − 𝒙𝟎 𝑥 − 𝒙𝟏 …(𝑥 − 𝒙𝒏)
Es natural considerar cuál es la mejor elección de los puntos 𝒙𝟎, 𝒙𝟏, …, 𝒙𝒏, si esto esposible, para minimizar el error de interpolación,
𝒆 𝒙 =𝒇 (𝑛+1) 𝜀
𝒏+𝟏 !𝑥 − 𝒙𝟎 𝑥 − 𝒙𝟏 …(𝑥 − 𝒙𝒏)
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 5
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ELECCIÓN DE LOS NODOS
Este problema se conoce como el problema de mínimax. Si se considera que elintervalo 𝒙𝟎, 𝒙𝒏 = −𝟏,+𝟏 , entonces el problema se puede formular como eldeterminar los puntos 𝒙𝟎, 𝒙𝟏, …, 𝒙𝒏 que minimicen la expresión,
𝒎𝒂𝒙𝑥∈ −𝟏,+𝟏 | 𝑥 − 𝒙𝟎 𝑥 − 𝒙𝟏 …(𝑥 − 𝒙𝒏)|
La solución al problema está ligada a los ceros de los polinomios de Tchebychev [4].
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 6
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NODOS DE TCHEBYCHEV
Las raíces de un polinomio de Tchebychev de orden 𝒏 están en el intervalo [−𝟏, +𝟏],y son
𝑢𝑖 = cos(2𝑖+1)π
2𝑛, 𝑖 = 0, 1, … , 𝒏 − 𝟏 [6]
Si el rango d interpolación es [−𝟏,+𝟏], las 𝒏 raíces 𝑢𝑖 , se pueden utilizar como lasabscisas de los nodos de interpolación de Lagrange, en vez de utilizar puntos conigual separación [1]. A diferencia de lo que podría suceder con nodos igualmenteespaciados, con estos nodos el polinomio interpolante ajusta bien si𝒇 ∈ 𝐶(1) −1,+1 [3].
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 7
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NODOS DE TCHEBYCHEV
La interpolación polinomial de Tchebychev se puede aplicar en cualquier intervalodistinto de [−𝟏,+𝟏], si se transforma al rango de interés [𝒂, 𝒃] mediante un cambio devariable. Si 𝒛𝜖[−𝟏,+𝟏] y 𝒙𝜖[𝒂, 𝒃] entonces la transformación estará dada por lafunción
𝒙 =(𝑧+1)(𝑏−𝑎)
2+ 𝑎 [4]
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 8
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NODOS DE TCHEBYCHEV
Por lo tanto, al sustituir los puntos de Tchebychev 𝑢𝑖 en [−𝟏,+𝟏] dados por la ecuación
𝑢𝑖 = cos(2𝑖 + 1)π
2𝑛
en la función anterior, los nodos de Tchebychev 𝒙𝒊 en [𝒂, 𝒃] son
𝒙𝒊 =(𝑢𝑖+1)(𝑏−𝑎)
2+ 𝑎, 𝑖 = 0, 1, … , 𝒏 − 𝟏 [2]
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 9
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NODOS DE TCHEBYCHEV
EJEMPLO: De la función 𝒇 𝒙 =𝟏
𝟏 + 𝟐𝟓 𝒙𝟐, obtener diez puntos de Tchebychev en
[−𝟏, +𝟏].
SOLUCIÓN: Al sustituir 𝒂 = −𝟏, 𝒃 = 𝟏 y 𝒏 = 𝟏𝟎 en la ecuación anterior, se encuentranlos nodos de Tchebychev.
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 10
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NODOS DE TCHEBYCHEV
Al utilizar puntos de Tchebychev en la interpolación de Lagrange, el error sedistribuye de manera más uniforme que con los puntos de igual separación [2].
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 11
Interpolación de Lagrange con 10 nodos
de Tchebychev en el intervalo [-1, 1].Interpolación de Lagrange con 15 nodos
de Tchebychev en el intervalo [-1, 1].
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NODOS DE TCHEBYCHEV
En las figuras siguientes, la línea continua representa la función por interpolar; lalínea punteada, el polinomio con puntos igualmente espaciados, y la línea punteadadoble, el polinomio basado en los ceros del polinomio de Tchebychev.
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 12
Interpolación de Lagrange con 10 nodos. Interpolación de Lagrange con 15 nodos.
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NODOS DE TCHEBYCHEV
Se puede observar que las oscilaciones dadas por el polinomio, con puntosigualmente espaciados, aumentan al aumentar el número de puntos, ya que laconvergencia es puntual; mientras que en el polinomio basado en los puntos deTchebychev, estas oscilaciones decrecen al aumentar el número de puntos [4].
TAREA 2. Describir la ecuación que permite calcular el error de una interpolaciónque utiliza raíces de Tchebychev.
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 13
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BIBLIOGRAFÍA
1. Nakamura S., Métodos numéricos aplicados con software, Prentice Hall, México(1992).
2. Burden R. L. & Faires J. D., Análisis numérico, Séptima Edición (2002).
3. Mora W., Introducción a los métodos numéricos, Revista digital matemática, CostaRica (2016).
4. Gutierrez J. A., Olmos M. A. & Casillas J. M., Análisis Numérico, McGrawHill(2010).
MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM-BUAP, 2018 14