Curso: Anlisis Estructural Tema: Mtodo DVI

Profesor: Pedro Morales L.

Mtodo de Deformaciones Angulares (Slope Deflection) Introduccin El mtodo que se ver a continuacin, se enmarca dentro de los mtodos clsicos de solucin de una estructura hiperesttica plana, en la cual la principal deformacin de la estructura es por flexin. Hiptesis o condiciones Se exige que los elementos que forman la estructura sean: Rectos. Inercia constante entre tramos. Deformaciones pequeas (giros y desplazamientos). Mdulo de elasticidad constante entre tramos.

Metodologa El mtodo de deformaciones angulares se basa en expresar los momentos de extremo de los miembros de estructuras hiperestticas en funcin de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos pueden girar o reflectarse, los ngulos entre los elementos quw convergen al nudo se mantienen constantes. Se enfatiza que este mtodo slo considera el efecto de la flexin sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial. Las etapas del mtodo son las siguientes: 1. Identificar los grados de libertad de la estructura, que se definen como los giros ( i ) desplazamientos ( i ) a nivel de nudos que puedan producirse. 2. Una vez definidos los grados de libertad, que sern las variables incgnitas del problema, se plantean los momentos de extremo para cada elemento de la estructura, usando la siguiente frmula general: o

M AB = M BA = Donde:

2 EI AB L AB 2 EI AB L AB

3 2 A + B L AB 3 2 B + A L AB

E +MA E + MB

A : Giro incgnita en extremo A, en sentido antihorario

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B : Giro incgnita en extremo B, en sentido antihorario : Desplazamiento relativo entre los nudos A y B. Ser positivo si la cuerda AB gira en sentido

antihorario, de lo contario ser negativo.E M A : Momento de empotramiento perfecto en extremo A debido a cargas de tramo (se determina

mediante tablas)E M B : Momento de empotramiento perfecto en extremo B debido a cargas de tramo (se determina

mediante tablas) 3. Una vez que se han planteado los momentos de extremo para cada elemento de la estructura, se plantean las ecuaciones de: Equilibrio rotacional en cada nudo de la estructura. Condiciones de borde, en caso de extremos rotulados. Equilibrio horizontal o vertical, en el caso que la estructura tenga desplazamientos laterales. Esto genera un sistema lineal de ecuaciones. Resolviendo se obtienen los valores de los giros y desplazamientos de los nudos. 4. Finalmente, se evalan los momentos de extremo, lo cual permite calcular las reacciones de la estructura.

Ejemplo 1 Para la viga que se indica, determinar las reacciones mediante mtodo DVI. Considerar EI = cte.

Solucin: 1. La viga continua posee cuatro grados de libertad: A , B , C y D . No hay desplazamientos laterales de nudos. 2. Momentos de extremoM AB =2 2 EI (2 A + B ) + 200 5 5 12

Curso: Anlisis Estructural Tema: Mtodo DVIM BA =2 2 EI (2 B + A ) 200 5 5 12

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M BC =

2 EI (2 B + C ) 4

M CB =M CD = M DC =

2 EI (2 C + B ) 42 2 EI (2 C + D ) + 300 4 + 400 4 4 12 8 2 2 EI (2 D + C ) 300 4 400 4 4 12 8

3. Equilibrio rotacional en cada nudo de la estructura Nudo B: M BA + M BC = 0 2 2 EI (2 B + A ) 200 5 + 2 EI (2 B + C ) = 0 5 12 4

4 A + 18 B + 5 C = Nudo C: M CB + M CD = 0

12500 3EI

(1)

2 2 EI (2 C + B ) + 2 EI (2 C + D ) + 300 4 + 400 4 = 0 4 4 12 8

B + 4 C + D =

1200 EI

(2)

Condicin de borde en A: M AB = 0

2 2 EI (2 A + B ) + 200 5 = 0 5 12

2 A + B =

3125 3EI

(3)

Condicin de borde en D: M DC = 0

2 2 EI (2 D + C ) 300 4 400 4 = 0 4 12 8

C + 2 D =

1200 EI

(4) 823.54 605.41 , B = , EI EI

5. Resolviendo simultneamente (1), (2), (3) y (4) se tiene: A =

C =

687.26 943.63 y D = EI EI

6. Evaluando los momentos:

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M AB = 0 , M BA = 261.76 kg m , M BC = 261.78 kg m , M CB = 384.56 kg m ,M CD = 384.56 kg m , M DC = 0

6. Clculo de reacciones: En viga AB:

M B = 0 5R A +V

200 5 2 261.8 = 0 R A = 447.6 [kg ] ( ) 2

F En viga BC: M FEn viga CD:

= 0 R A + RB _ i 200 5 = 0 RB _ i = 552.4 [kg ] ( ) = 0 4 RB _ d + 261.8 384.6 = 0 RB _ d = 30.7 [kg ] ( ) = 0 RB _ d + RC _ i = 0 RC _ i = 30.7 [kg ] ( ) 300 4 2 400 2 = 0 RD = 703.9 [kg ] ( ) 2

C

V

M C = 0 384.6 + 4RD FV

= 0 RC _ d + RD 300 4 400 = 0 RC _ d = 896.1 [kg ] ( )

Finalmente: R A = 447.1 [kg ] ( ) ; RB = 521.7 [kg ] ( ); RC = 926.8 [kg ] ( ); RD = 703.9 [kg ] ( )