Método de romberg
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Método de Romberg CLASE 14 23-JULIO-2014
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Método de romberg
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Método de RombergCLASE 14
23-JULIO-2014
Método de Romberg
Al utilizar la regla del trapecio de segmentos múltiples y la regla
de Simpson de segmentos múltiples, se pudo observar que a
medida que aumentaba el numero de segmentos, , el error
disminuía; pero para valores muy grandes de , el error por
redondeo empezaba a crecer y el esfuerzo computacional se
volvía grande.
Método de Romberg
El método de integración de Romberg esta diseñado para evitar
estos inconvenientes y esta basado en la regla del trapecio, pero
solo se puede usar en casos en los que se conoce la función .
La formula de Romberg es la siguiente:
Método de Romberg
Donde:
son las integrales mas y menos exactas,
respectivamente e es la integral mejorada.
indica el nivel de integración
evaluaciones de la regla del trapecio.
Método de Romberg
Donde:
Método de Romberg
Precauciones que se deben tener en cuenta al usar este método:
El paso no debe ser muy pequeño para que no se incremente el error
por redondeo.
Este método se utiliza en el caso en que se requiera mayor precisión en
el calculo de la integral.
El nivel corresponde a la estimación de la regla del trapecio original.
El nivel corresponde a una aproximación con un orden de error .
El nivel corresponde a una aproximación con un orden de error y así
sucesivamente.
Método de Romberg
Ejemplo
Utilice la integración de Romberg para evaluar
Método de Romberg
Solución
Se trabajara inicialmente con la regla del Trapecio,
para generar los datos del nivel , calculando la
integral con distintos números de segmentos, los
cuales deben irse duplicando hasta que la variación
de las integrales sea mínima.
Método de Romberg
Solución
Se comienzan los cálculos con los valores mostrados
en la Tabla 1, los cuales se obtuvieron para los
diferentes tamaños de paso indicados.
Tabla 1 Valores iniciales para el calculo de la integral con la formula de Romberg
1
Método de Romberg
Solución
La cual se completa para los niveles aplicando la
formula de Romberg, de este modo se tiene:
Para y haciendo variar desde hasta 5
Método de Romberg
Método de Romberg
Método de Romberg
Solución
Se procede de igual manera para , y haciendo variar
desde 1 hasta 4, y luego con , tal como se muestra en
la figura 1.
Método de Romberg
Figura 1 Resumen de valores calculados con la formula de Romberg
Método de Romberg
Solución
Para y después de siete iteraciones el valor de la
integral es
Método de Romberg en Matlab
Código de Matlab dado a continuación también se
puede utilizar para ejecutar el método de integración
de Romberg.
Método de Romberg en Matlab
Método de Romberg en Matlab
Ejecutamos la función anterior, para comprobar el
ejercicio en Excel.
Método de Romberg en Matlab
Ejecutamos la función anterior, para comprobar el
ejercicio en Excel.
Método de Romberg en Matlab
