Método de Newton Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero [email protected] Aula de...
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Método de Newton
Cálculo Numérico
Prof. Wellington D. Previero
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero
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Método de NewtonMétodo de NewtonDado o ponto (x0, f(x0)) traçamos a reta L0(x) tangente a curva nesse ponto.
x0
y = L0(x)
Obtenha a equação da reta y=L0(x)
))((')(
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000
00
xxxfxfy
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2
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Método de NewtonMétodo de NewtonA aproximação x1 da raiz da equação f(x) = 0 é o ponto onde a reta L0(x) intersepta o eixo x.
x0
y = L0(x)
Obtenha o ponto x1x1
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Método de NewtonMétodo de Newton.
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)(
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)(
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0)(?
0
001
0
00
0
00
000000
01
xf
xfxx
xf
xfxx
xf
xfxx
xfxxxfxxxfxf
xLx
4
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Método de NewtonMétodo de NewtonDeterminamos a reta L1(x) tangente ao gráfico de f(x) no ponto (x1, f(x1))
))((')()( 1111 xxxfxfxL
x1
y = L1(x)
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Método de NewtonMétodo de NewtonDe forma análoga, a aproximação x2 é o ponto onde a reta
L1(x) intersepta o eixo x.
x1x2
y = L1(x)
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Método de NewtonMétodo de Newton.
)('
)(
)('
)(
)('
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0)(?
1
112
1
11
1
11111
12
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xf
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xf
xfxxxxxfxf
xLx
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Método de NewtonMétodo de NewtonAssim temos:
)('
)(1
n
nnn xf
xfxx
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Método de NewtonMétodo de NewtonExercício: Seja f(x)=x2+x-6. Determine uma aproximação para a raiz de f considerando x0=1,5. Considere o critério de parada | f(xk) | < 10-4.
n= 0, x[1] = 2.062500, |f(x[1])| = 0.316406
n= 1, x[2] = 2.000762, |f(x[2])| = 0.003812
n= 2, x[3] = 2.000000, |f(x[3])| = 0.000001
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Método de NewtonMétodo de Newton
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Método de NewtonMétodo de Newton
Observe que se considerarmos
)('
)()(
xf
xfxxg
temos que
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)()(
xf
xf
xf
xxf
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Método de NewtonMétodo de Newton
Logo, a função
)('
)()(
xf
xfxxg
é uma função iteração do Método de Ponto Fixo.
Assim, a convergência do Método de Newton estará garantida desde que satisfaça o critério de convergência do Método do Ponto Fixo.
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Método de NewtonMétodo de NewtonObservações
a) Rápida convergência;
b) Necessidade do cálculo de f ’(x);
c) Cálculo do valor numérico de xk em f ’(x) e f(x) em cada iteração.
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