INSTITUTO CIENCIASESTUDIOS SUPERIORES DE TAMAULIPAS, A.C.

MATERIA: ALGEBRA

DOCENTE: ING. ROSA ELENA BOLAÑOS PEREZ

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E INVESTIGACIÓN

MAESTRÍA EN INGENIERÍA PETROLERA

EQUIPO 5 INTEGRANTES:

OSCAR IVÁN HINOJOSA MEDINA

CARLOS ISRAEL DE DIOS FRÍAS

FAUSTO ANDRÉS MENDOZA LÓPEZ

ALEJANDRO ISAAC ROCHA MONTES

DE OCA

ALEJANDRO CASTILLO REYNOSO

LUIS ADOLFO CLEMENTE MORALES

MÉTODOS GAUSS- JORDÁNDE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCIÓNLa solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la Ingeniería existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales sistemas.

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordán, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordán, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordán continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal

ANTECEDENTES

El método de eliminación de Gauss aparece en el capítulo ocho del

importante texto matemático chino Jiuzhang suanshu o Los nueve capítulos

sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, con

dos a cinco ecuaciones. La primera referencia al libro por este título data

desde 179 dC, pero algunas de sus partes fueron escritas tan temprano

como aproximadamente alrededor de 150 a. C.1 2 Fue comentado por Liu

Hui en el siglo tercero.

ALGORITMO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-

JORDÁNUna variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación

de Gauss-Jordán, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordán), se trata de una

serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema

de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza

para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la

reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las

ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este

proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.

Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas.

ALGORITMO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-

JORDÁNEl objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones.

Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

Intercambiar de posición dos ecuaciones

Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

EJEMPLO RESUELTO Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente

estas ecuaciones

eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z

Despejando, podemos ver las soluciones:

NOTA¨ Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una ecuación como la siguiente:

0x+0y+0z=1, es decir, 0=1 que no tiene solución.

EJERCICIO PROPUESTO

2X + Y – 3Z = 5

3X – 2Y + 2Z = 6

5X – 3Y – Z = 16

REFERENCIAS Calinger (1999), pp. 234–236

2. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press.