UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS COMPUTACIONALES

DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS

LIC. EN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

PROFESORA JACQUELINE DE CHING

PROYECTO N.3

MONOGRAFIA: METODO DE EULER

INTEGRANTES

AGRAZAL, CELSO ARAUZ, ANGEL BERNAL, JOY

BONILLA, NASHLA MARCIAGA, FERNANDO MIRANDA, ESTEPHANIE

MITCHELL, NICOLE RODRIGUEZ, RODRIGO ROSALES, FERNANDO

VIVAR, LUIS

GRUPO I-IL-122

6 DE DICIEMBRE DE 2011

2 Método de Euler|| 2011

Índice de Contenido

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3

LEONHARD EULER ............................................................................................... 4

EL MÉTODO DE EULER ........................................................................................ 5

PROCEDIMIENTO .................................................................................................. 7

USO EL MÉTODO DE EULER ............................................................................... 9

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE EULER................................. 11

EL FALLO EN EL MÉTODO DE EULER.............................................................. 13

EJEMPLOS DEL MÉTODO DE EULER ............................................................... 14

CONCLUSIÓN ...................................................................................................... 17

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................... 18

3 Método de Euler|| 2011

Introducción

En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos

métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin

diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación.

Pero entre tantos métodos no nos podíamos olvidar de las ecuaciones

diferenciales. En este trabajo conoceremos el método de Euler para resolución de

este tipo de ecuaciones, en donde presentaremos la vida de su desarrollador,

ejemplos explicativos, los procedimientos a realizar en este método, entre otros

puntos importantes.

4 Método de Euler|| 2011

Leonhard Euler

Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado

matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18

de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal

matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del

mundo real a través del análisis matemático, en lo que

se conoce como matemática aplicada, y en la

descripción de numerosas aplicaciones de los números

de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de

Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las

fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo

diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de

Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil

la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler

ya empleaba las series de Fourier antes de que el

mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de

Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para

resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de

Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para

resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este

método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y

hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de

ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante

de Euler-Mascheroni.

5 Método de Euler|| 2011

El Método de Euler

Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones

diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, cuyo procedimiento

consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando

la siguiente imagen con la derivada, este es el más simple de los métodos

numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

Podemos dar una descripción informal del método de la siguiente manera:

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que

comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se

puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite

calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la

curva, siempre que el punto se conozca.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de

comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación

diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo

tanto la recta tangente a la curva.

6 Método de Euler|| 2011

Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo

punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el

mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de

la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos

formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos

al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre

ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar

sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos

es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables,

como se discute más abajo).

7 Método de Euler|| 2011

Procedimiento

A continuación los pasos para el desarrollo del método de Euler:

Se multiplican los intervalos que van de “X0” a “Xf” en “n” cantidad de sub-

intervalos con ancho “h”; es decir:

Con esto se obtiene un conjunto discreto de “n+1” puntos: X0, X1, X2… Xn del

intervalo que nos interesa [X0, Xf]. Para cualquiera de estos puntos se

cumple que:

Ya con la condición inicial , que representa el punto

y por donde pasa la curva obtenemos la solución de la ecuación del

planteamiento inicial, la cual se denotará como:

Con el punto “P0” se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese

punto; por lo tanto:

8 Método de Euler|| 2011

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por “P0” y de

pendiente “F(x0,y0)”. Esta recta aproxima “F(x)” en una vecinidad de “x0”.

Se toma la recta como reemplazo de F(x) y se localiza en ella el valor de y

correspondiente a x1.

Entonces, se puede deducir según esta información para la gráfica A que:

9 Método de Euler|| 2011

Uso el Método de Euler

Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable

independiente:

El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para

extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso

O bien,

yi+1=yi + φ h (ecuación 1)

De esta manera, la formula (1), se aplica

paso a paso para encontrar un valor en el

futuro y así trazar la trayectoria de la

solución. La figura 1, muestra el

procedimiento aplicado con la ecuación

(1).

.

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una

aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera

derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi.

φ = (x, y)

10 Método de Euler|| 2011

(xi , yi), es la ecuación diferencial evaluada en x i y yi. Sustituyendo esta

estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:

yi+1 = yi + (xi , yi)h (ecuación 2)

La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se

predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera

derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma

lineal sobre el tamaño de paso h.

11 Método de Euler|| 2011

Ventajas y desventajas del Método de Euler

Ventajas

Uno de los aspecto resaltante del método es que a medida que

dividimos el tamaño del paso h, los errores también se

disminuyen en aproximadamente la mitad. Es un método sencillo

de implementar pero de orden bajo por lo que dependiendo del

grado de precisión que se desees, el h puede ser muy pequeño.

Una forma de mejorar el método de Euler (Euler mejorado) es

utilizar una mejor aproximación a la integral- podríamos

considerar por ejemplo una aproximación por trapecio de modo

que:

Noten que el último término hace referencia al valor que

queremos aproximar en esta iteración ( ), sin embargo

podemos usar un paso del método de Euler para aproximar la

solución, obteniendo finalmente:

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Desventajas

El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente

instantánea, es decir, la función f(x,y) x.

Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del

x es la misma para todo el intervalo.

Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto

inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta

aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar

el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el

método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo

de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f(x,y) del

lado derecho del inter x, para después calcular el promedio de ambas

y que actualizaría y.

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El fallo en el Método de Euler

El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente

instantánea, es decir, la función f(x,y) cambia rápidamente dentro de la x. Ese

método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del intervalo x es la misma para todo el intervalo.

Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original

de Euler para evaluar la f(x,y) del lado derecho del intervalo x, para después

calcular el promedio de ambas pendientes y utilizarlo para calcular el valor de y que actualizaría y.

En la solución numérica de ecuaciones EDO, utilizando el método de Euler se obtuvieron los siguientes errores

1. Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2. Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.

14 Método de Euler|| 2011

Ejemplos del método de Euler

Ejemplo #1: Dada la ecuación diferencial y’ = y, el punto inicial y(0) =1, utilice el

Método de Euler para aproximar y3 con tamaño de paso h = 1.

El método de Euler es: Yn+1= yn + h (f(tn,yn)) así que primero tenemos que calcular

f(t0,y0), esta ecuación diferencial depende solo de y, por lo que solo introduciremos

valores de y.

f(y0) = 1

Al hacer el paso anterior, encontramos la pendiente de la recta que es tangente a

la curva solución en el punto (0,1). Recuerde que la pendiente se define como el

cambio de y dividido por el cambio de t o

El siguiente paso consisten en multiplicar el valor anterior por el tamaño del paso

h.

h * f(y0) = 1*1 = 1

Dado que el tamaño del paso es el cambio en t, cuando se multiplica el tamaño del

paso y la pendiente de la tangente, se obtiene un cambio en el valor y. Este valor

se añade al valor inicial, y para obtener el siguiente valor a ser utilizado para los

cálculos.

Y0+ h * f(y0) = y1 = 1 +1*1 = 2

Entonces debemos repetir los pasos anteriores para encontrar y2 y y3

Y1+ h * f(y1) = y2 = 2 +1*2 = 4

Y2+ h * f(y2) = y3 = 4 +1*4 = 8

15 Método de Euler|| 2011

Debido a la naturaleza de este algoritmo, puede ser útil para organizar los cálculos

en forma de grafico para evitar errores

yn tn y'(t) h dy yn + 1

1 0 1 1 1 2

2 1 2 1 2 4

4 2 4 1 4 8

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Ejemplo #2: Calcular una iteración con el método de Euler para el sistema,

y’ = (1+z)z + y, x0=0, y0=1

z’ = (1+x)y +z, z0=1

Solución: La iteración general se escribe,

Xn+1 = xn + h

yn+1 = yn + h(( xn + 1)zn + yn)

zn+1 = zn + h((1+xn)yn + zn)

para n=0 se tiene que x0 = 0, y0=z0=1

x1 = 0 + h = h

y1 = y0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h

z1 = z0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h

Ejemplo #3: Use el método de Euler 0.1 construya una tabla con valores

aproximados al problema de valor inicial

y’=x+y y(0) = 1

Solución:

Tenemos que h = 0.1 , x0 = 0, y0 = 1 y F(x,y) = x+y luego

Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1+0.1(0+1) = 1.1

Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.1 + 0.1(0.1+1.1) = 1.22

Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.22+0.1(0.2+1.22) = 1.362

Esto significa que si y(x) es la solución exacta entonces y(0.3) = 1.362

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Conclusión

Hemos encontrado diversos puntos en este trabajo, hemos aprendido otro método,

ingresando cada vez más en el mundo de la programación y en nuestro camino

como Ingenieros en Sistemas.

El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard Euler, con

el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incrementando

cada la variable independiente h.

Aunque encontramos diversos errores en este método (por ejemplo errores de

precisión), que llevaron a la creación de una modificación de este método, pero

aun así para nosotros los Ingenieros en Sistemas resulta de gran utilidad a la hora

de resolver sistemas matemáticos como este.

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Bibliografía

1. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler

2. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-

Geo/edo-cap1-geo/node14.html

3. http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdf

4. http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler.htm

5. http://euler.us.es/~renato/clases/edo/files/tra-euler.pdf

6. Libro Métodos Numéricos para Ingenieros, Steven C. Chapra, Quinta

Edición

7. Libro de Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis

Gill, Sexta Edicion