Metode Simplex
-
Upload
tiara-nursyahdini -
Category
Documents
-
view
49 -
download
4
description
Transcript of Metode Simplex
![Page 1: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/1.jpg)
IKG3M3 / Optimasi dan Kontrol
Dede Tarwidi
KK Pemodelan dan Simulasi
METODE SIMPLEKS 1
![Page 2: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/2.jpg)
Merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrim pada daerah feasible menuju ke titik ekstrim optimum.
2 1/22/2015
Metode Simpleks
![Page 3: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/3.jpg)
Bentuk standar pemrograman linear:
maks z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
terhadap kendala
dengan xi ≥ 0 dan bi ≥ 0, i=1,2,…,n.
3 1/22/2015
Metode Simpleks (Memaksimumkan)
IKG3M3 OPTIMASI DAN KONTROL
![Page 4: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/4.jpg)
Nilai kanan fungsi tujuan harus nol
Nilai kanan fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, kalikan dengan -1.
Fungsi kendala dengan tanda “ ” diubah ke bentuk “ = ” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Penambahan variabel ini menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau tersisa pada sumber daya tersebut.
4 1/22/2015
Beberapa ketentuan dalam metode Simpleks
![Page 5: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/5.jpg)
Setelah ditambahkan variabel slack maka persamaan kendala menjadi
dengan si ≥ 0, i=1,2,…,n.
5 1/22/2015
Metode Simpleks
IKG3M3 OPTIMASI DAN KONTROL
![Page 6: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/6.jpg)
Basic solution dari pemrograman linear adalah solusi berbentuk (x1,x2,…,xn,s1,s2,…,sm) dimana terdapat paling banyak m variabel tidak nol.
Basic variable adalah variabel tidak nol dari basic solution.
Basic feasible solution adalah basic solution dengan semua variabel tidak negatif.
6 1/22/2015
Metode Simpleks
![Page 7: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/7.jpg)
Tabel yang terdiri dari matriks yang diperluas dari persamaan kendala dengan fungsi tujuan berbentuk
7 1/22/2015
Tabel Simpleks
Kode dan nama MK
![Page 8: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/8.jpg)
8 1/22/2015
Bentuk Tabel Simpleks
![Page 9: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/9.jpg)
maks z = 4x1 + 6x2
terhadap kendala
9 1/22/2015
Contoh 1 (Maks)
Kode dan nama MK
![Page 10: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/10.jpg)
Tabel Simpleks untuk masalah tesebut adalah
Basic variable: s1, s2, dan s3
Nonbasic variable: x1, dan x2
10 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 11: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/11.jpg)
Sehingga diperoleh solusi untuk saat ini adalah
x1 = 0, x2 = 0, s1 = 11, s2 = 27, s3 = 90.
Jadi, basic feasible solution ditulis
(x1,x2,s1,s2,s3) = (0,0,11,27,90)
11 1/22/2015
Contoh (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 12: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/12.jpg)
Jika baris terakhir dari tabel Simpleks masih mengandung entri negatif maka solusi belum optimal.
Solusi optimal diperoleh jika semua entri dalam baris terakhir sudah positif semua.
12 1/22/2015
Catatan Metode Simpleks
Kode dan nama MK
![Page 13: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/13.jpg)
Entering variable adalah entri terkecil (paling negatif) dalam baris terakhir dari tabel Simpleks.
Departing variable adalah rasio tak-negatif terkecil dari bi/aij dalam kolom yang ditentukan entering variable.
Tentukan nilai pivot yaitu entri dari perpotongan kolom entering variable dan baris departing variable.
Lakukan eliminasi Gauss-Jordan pada kolom yang mengandung pivot.
13 1/22/2015
Pivoting
Kode dan nama MK
![Page 14: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/14.jpg)
Entering dan departing variable dari contoh 1 adalah
14 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 15: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/15.jpg)
X2 adalah entering variable karena -6 adalah entri terkecil dari baris terakhir.
Mencari departing variable:
11/1 = 11, 27/1 = 27, 90/5 = 18,
rasio tak-negatif terkecil adalah 11, maka departing variable adalah s1.
Pivot adalah entri dari baris pertama kolom kedua.
15 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 16: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/16.jpg)
Selanjutnya lakukan eliminasi Gauss-Jordan:
16 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 17: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/17.jpg)
Setelah pivoting tabel Simpleks menjadi
(x1,x2,s1,s2,s3) = (0,11,0,16,35) dengan nilai z = 4(0) + 6(11) = 66 (belum optimal)
17 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 18: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/18.jpg)
Selanjutnya tentukan entering dan departing variable yang baru, yaitu entering variable x1 dan departing variable s3. Kemudian lakukan Eliminasi Gauss-Jordan lagi.
18 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 19: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/19.jpg)
Tabel Simpleks yang baru adalah
Lakukan eliminasi Gauss-Jordan sekali lagi maka diperoleh Simpleks tabel sebagai berikut.
19 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
![Page 20: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/20.jpg)
Tabel Simpleks :
Diperoleh solusi optimal
(x1,x2,s1,s2,s3) = (15,12,14,0,0) dengan z = 4(15) + 6(12) = 132.
20 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 21: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/21.jpg)
1.Tambahkan variabel slack pada kendala untuk memperoleh persamaan kendala.
2.Bentuk tabel Simpleks awal.
3.Tentukan entering column dan departing row.
4.Lakukan Eliminasi Gauss-Jordan (OBE).
5. Jika entri pada baris terakhir semuanya positif atau nol maka SELESAI. Jika tidak, kembali ke 3.
6.Nilai maksimum diperoleh dari entri baris dan kolom terakhir.
21 1/22/2015
Rangkuman Metode Simpleks (Maks)
![Page 22: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/22.jpg)
maks z = 2x1 – x2 + 2x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0.
22 1/22/2015
Contoh 2 (Maks)
![Page 23: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/23.jpg)
23 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 24: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/24.jpg)
Solusi optimal :
(x1,x2,x3,s1,s2,s3) = (5,0,5/2,0,20,0)
Nilai maksimum z = 2(5) – (0) + 2(5/2) = 15.
24 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 25: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/25.jpg)
25 1/22/2015
Contoh 3
maks z = 3x1 + 2x2 + x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0.
![Page 26: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/26.jpg)
26 1/22/2015
Contoh 3 (Jawab)
s1 lebih tepat disebut artificial variable dibandingkan dengan slack variable
![Page 27: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/27.jpg)
Solusi optimal :
(x1,x2,x3,s1,s2,s3) = (3,18,0,0,0,1)
Nilai maksimum z = 3(3) + 2(18) + (0) = 45.
27 1/22/2015
Contoh 3 (Jawab)
![Page 28: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/28.jpg)
1.Selesaikan masalah memaksimumkan berikut:
28 1/22/2015
Latihan (Maks)
![Page 29: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/29.jpg)
2.Selesaikan masalah memaksimumkan berikut :
29 1/22/2015
Latihan (Maks)
![Page 30: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/30.jpg)
Masalah meminimumkan dalam bentuk standar adalah sbb:
min w = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
terhadap kendala
30 1/22/2015
Metode Simpleks (Meminimumkan)
![Page 31: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/31.jpg)
Langkah 1: bentuk matriks yg diperluas dari persamaan kendala, kemudian pada baris terakhir tambahkan koefisien fungsi tujuan.
31 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (min)
![Page 32: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/32.jpg)
Langkah 2: Transposkan matriks tersebut.
32 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (Min)
![Page 33: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/33.jpg)
Langkah 3: Dari matriks hasil transpos kita peroleh dual problem sbb:
maks z = b1y1 + b2y2 + … + bmym
terhadap kendala
dengan yi ≥ 0.
33 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (Min)
![Page 34: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/34.jpg)
Langkah 4: Lakukan metode Simpleks untuk dual problem seperti pada masalah memaksimumkan. Nilai maksimum dari z akan menjadi nilai minimum dari w. Selanjutnya, nilai-nilai untuk variabel-variabel x1, x2, …, xn pada baris terakhir dari tabel Simpleks terakhir pada kolom-kolom yang berkaitan dengan slack variable.
34 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (Min)
![Page 35: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/35.jpg)
1. min w = 3x1 + 2x2
terhadap kendala
dengan x1, x2 ≥ 0
35 1/22/2015
Contoh 1 (Min)
![Page 36: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/36.jpg)
Matriks yang diperluas:
Transpos dari matriks di atas adalah
36 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 37: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/37.jpg)
Dual problem:
maks z = 6y1 + 4y2
terhadap kendala
dengan y1, y2 ≥ 0.
37 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 38: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/38.jpg)
Lakukan metode Simpleks pada dual problem.
38 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 39: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/39.jpg)
Dari tabel Simpleks diperoleh nilai maksimum z = 10 (untuk dual problem). Sehingga untuk masalah meminimumkan kita peroleh nilai minimum
w = 10 = 3(2) + 2(2)
terjadi pada saat x1 = 2 dan x2 = 2.
39 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 40: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/40.jpg)
min w = 2x1 + 10x2 + 8x3
terhadap kendala
dengan
40 1/22/2015
Contoh 2 (min)
![Page 41: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/41.jpg)
Matriks yang diperluas dan transposnya adalah
41 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 42: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/42.jpg)
Dual problem:
maks z = 6y1 + 8y2 + 4y3
terhadap kendala
42 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 43: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/43.jpg)
Selesaikan dual problem:
43 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 44: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/44.jpg)
Diperoleh nilai minimum w = 36 terjadi pada saat x1 = 2, x2 = 0, x3 = 4.
44 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 45: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/45.jpg)
1.Cari nilai minimum untuk masalah berikut.
45 1/22/2015
Latihan (Min)
![Page 46: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/46.jpg)
2.Untuk soal berikut:
a. Selesaikan masalah
masalah meminimumkan
dengan metode grafik.
b. Buat dual problem
c. Selesaikan dual problem
menggunakan metode grafik.
46 1/22/2015
Latihan (Min)
![Page 47: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/47.jpg)
Contoh masalah pemrograman linear yang melibatkan kendala campuran adalah sbb:
maks z = x1 + x2 + 2x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0.
47 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
![Page 48: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/48.jpg)
Untuk pertidaksamaan pertama pada kendala kita tambahkan slack variable, menjadi
Sedangkan untuk pertidaksamaan kedua dan ketiga kita kurangkan dengan surplus variable, menjadi
48 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
![Page 49: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/49.jpg)
Sehingga kita peroleh tabel Simpleks sbb.
Solusi:
Metode Simpleks belum bisa dimulai sampai
ditemukan feasible solution. 49 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
tidak feasible
![Page 50: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/50.jpg)
Untuk mencari solusi feasible pada awal tabel Simpleks kita gunakan “trial and error”.
Solusi:
50 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
tidak feasible
![Page 51: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/51.jpg)
Akhirnya, kita temukan solusi feasible:
Oleh karena itu, dari sini kita bisa mulai metode Simpleks seperti biasa.
51 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
![Page 52: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/52.jpg)
Setelah sekali pivoting kita peroleh
Sehingga nilai maksimum kita peroleh z = 64 terjadi saat x1 = 0, x2 = 36, x3 = 14.
52 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
Baris terakhir sudah tidak ada yg negatif.
![Page 53: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/53.jpg)
maks z = 3x1 + 2x2 + 4x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0
53 1/22/2015
Contoh 1
![Page 54: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/54.jpg)
tabel Simpleks awal
Solusi awal tidak feasible, lakukan “trial and error” misal: departing s3 dan entering x2.
54 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 55: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/55.jpg)
Kita temukan feasible solution:
(x1,x2,x3,s1,s2,s3) = (0,4,0,10,8,0).
Dari sini kita mulai metode Simpleks.
55 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 56: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/56.jpg)
56 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
![Page 57: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/57.jpg)
Nilai maksimum z = 17 terjadi saat
x1 = 0, x2 = 13/2, x3 = 1.
57 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Baris terakhir sudah tidak ada yg negatif.
![Page 58: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/58.jpg)
min w = 4x1 + 2x2 + x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0
58 1/22/2015
Contoh 2
![Page 59: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/59.jpg)
Pertama kita ubah fungsi tujuan dengan cara mengalikan dengan -1, diperoleh
z = -4x1 – 2x2 – x3 (revisi fungsi tujuan)
Memaksimumkan revisi fungsi tujuan ekivalen dengan meminimumkan fungsi tujuan yg awal.
Selanjutnya kita selesaikan masalah memaksimumkan seperti biasa.
59 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 60: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/60.jpg)
Lakukan “trial and error” untuk menemukan feasible solution. Coba departing s2 dan entering x2.
Setelah pivoting kita peroleh tabel Simpleks sbb:
60 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 61: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/61.jpg)
Kalikan persamaan ketiga dengan (-1), diperoleh feasible solution.
61 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 62: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/62.jpg)
Lakukan metode Simpleks seperti biasa.
62 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 63: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/63.jpg)
Akhirnya kita temukan nilai maksimum untuk revisi fungsi tujuan yaitu z = -2, sehingga nilai minimum untuk fungsi tujuan asal adalah
w = 2.
terjadi pada saat x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 2.
63 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
![Page 64: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/64.jpg)
1.
64 1/22/2015
Latihan
![Page 65: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/65.jpg)
2.
65 1/22/2015
Latihan
![Page 66: Metode Simplex](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081721/56d6bf591a28ab301695e0f9/html5/thumbnails/66.jpg)
THANK YOU
66 1/22/2015