Metode Numerik

METODE NUMERIK

Mengapa Metode Numerik

Seringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat diselesaikan oleh program aplikasi.

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Geofisika, Sipil, Mesin, Elektro, dan sebagainya.

Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

Ilustrasi Persoalan Matematik

Metode Analitik

metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).

Metode analitik metode sebenarnya dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) solusi yang memiliki galat/error = 0.

Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas

Metode Numerik

Metode numerik = teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan / aritmatika biasa.

Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya / solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan.

Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat / error.

Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik

Prinsip Metode Numerik

Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma – algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambah angrafis dan teknik perhitungan yang mudah.

Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhtungan.

Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan).

Tahap Pemecahan Persoalan

PemodelanPenyederhanaan modelFormulasi NumerikPemrogramanOperasional (uji coba)Evaluasi

Sumber kesalahan

Kesalahan pemodelancontoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel

Kesalahan bawaancontoh: kekeliruan dlm menyalin data

salah membaca skalaKetidak tepatan dataKesalahan pemotongan (truncation error)Kesalahan pembulatan (round-off error)

Pengantar

Setiap Manusia ↓ Kesalahan Kesalahan ↑ ↑ Biaya

↑ ↑ Korban, dll Kesempurnaan tujuan yang terpuji

Masalah? (sangat jarang terjadi) Contoh Kasus:

Aproksimasi “best” Hk. Newtons IIKecepatan benda jatuh = v2g.h BAGAIMANA KALAU ADAAngin? Perubahan tekanan Udara? Dimensi Benda?

Deviasi (Penyimpangan)

Pendekatan dan Kesalahan

Angka Signifikan (Penting)Akurasi dan PresisiDefinisi KesalahanKesalahan PembulatanKesalahan PemotonganKesalahan Numerik Total(Kekeliruan, Kesalahan Formulasi, dan Ketidakpastian Data)

Angka Signifikan (AS) Komputasi thd suatu bilangan Bilangan hrs meyakinkan ? Konsep angka signifikan keandalan sebuah nilai numerik Banyak angka signifikan banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan

meyakinkan Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why? Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiah

How?0,000123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)0,00123 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)12.300 Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu

berarti atau tidak…!1,23 x 104 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)1,2300 x 104 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Dua arti penting angka signifikan“AS akan memberikan

kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita

mengenai hasil pendekatan dalam metode

numerik”

“AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk

besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa

dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas”

(kesalahan pembulatan/round-off-error)

Angka Signifikan (AS)

Akurasi dan Presisi

Presisi Jumlah angka signifikan yg

menyatakan suatu besaran Penyebaran dlm bacaan

berulang dari sebuah alatyg mengukur suatu perilaku fisik tertentu

Akurasi Dekatnya sebuah angka

pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakan

Inakurasi (Tdk akurat) Simpangan sistematis dari

kebenaran

Kesalahan “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari

ramalan yang dilakukan”

Definisi Kesalahan

Kesalahan Numerik Adanya aproksimasiMeliputi: Kesalahan pemotongan (truncation error) saat aproksimasi

digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak. Kesalahan pembulatan (round-off error) ketika angka2

aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

Sehingga, bisa dihubungkan:Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan

Bisa dikatakan: “Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi”

Et = Harga sebenarnya – aproksimasi; Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan “sebenarnya”

Definisi Kesalahan

Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:

εa = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%

Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan thd sebuah harga aproksimasi.

Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num “menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan

mengenai harga yang sebenarnya”

Kesalahan / Galat

Deret Taylor & Analisa GalatPersamaan Non LinierPersamaan LinierInterpolasi & RegresiIntegrasi NumerikTurunan NumerikPersamaan Differensial

Materi:

Outline Materi

Persamaan nirlanjar Sistem persamaan lanjarSelesaikan sistem persamaan lanjar x1a11x1 + a12x2 = c1a21x1 + a22x2 = c2untuk harga-harga x1 dan x2.

Selesaikan f(x) = 0 untuk x.

Turunan numerikDiberikan titik (xi, yi) dan titik(xi+1, yi+1). Tentukan f '(xi).

Diberikan titik-titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn). Tentukan polinompn(x) yang melalui semua titiktersebut

Interpolasi polinom

Integrasi numerik

Diberikan dy/dx = f(x,y) dandengan nilai awal y0 = y(x0) Tentukan nilai y(xt) untuk xt

R

Solusi persamaan diferensial biasa dengan nilai awal

Penyelesaian:1. Secara analitis (untuk pers. sederhana)2. Secara numerik (untuk pers. sulit)

UMUM

Metode Numerik: teknik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmetic).

Persamaan Matematis

Permasalahan di Bidang IPTEK

Pengantar

Teknik dimana masalah matematika diformulasikan secara numerik/aritmatika

Cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analitis dengan memasukkan unsur simulasi (komp)

Terdapat kesalahan (error) terhadap nilai eksak

UMUM

Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak.

METODE NUMERIK

Hasil:pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak)

Dalam proses perhitungannya (algoritma)dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang KOMPUTER

UMUM

Metode numerik banyak digunakan di berbagai bidang, seperti bidang teknik (sipil, elektro, kimia, dsb), kedokteran, ekonomi, sosial, dan bidang ilmu lainnya.

Berbagai masalah yang ada di berbagai displin ilmu dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena yang berpengaruh. Misalnya gerak air dan polutan di saluran, sungai dan laut,aliran udara, perambatan panas, dsb dapat digambarkan dalam bentuk matematik.

Untuk itu diperlukan METODE NUMERIK untuk menyelesaikan persamaan permasalahan di atas.

Peranan Komputer dalam MetNum

Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik. Hal ini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik

adalah berupa operasi aritmetika. Sayangnya, jumlah operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak dan

berulang, sehingga perhitungan secara manual sering menjemukan. Manusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapat membuat

kesalahan dalam melakukannya. Komputer berperanan mempercepat proses perhitungan tanpa

membuat kesalahan.

Peranan Komputer dalam MetNum (1)

Penggunaan komputer dalam metnum untuk memprogram. metnum diformulasikan menjadi program komputer Mempercepat perhitungan numerik Dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi

akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya

dengan mengubah- ubah nilai parameter.

Peranan Komputer dalam MetNum (2)

c/ solusi sistem persamaan lanjar yang besar menjadi lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan dengan komputer.

Perkembangan metnum:

– penemuan metode baru– modifikasi metode yang sudah ada agar lebih mangkus– analisis teoritis dan praktis algoritma untuk proses

perhitungan baku– pengkajian galat,– penghilangan jebakan yang ada pada metode

Mengapa Harus Belajar MetNum?

Para ahli ilmu, dalam pekerjaannya sering berhadapan dengan persamaan matematik.

Persoalan diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika.

Persamaan muncul sangat kompleks & >=1 Media komputer cara penyelesaian persoalan matematika dengan cepat

dan akurat.

Mengapa Harus Belajar MetNum?

Alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Mampu menangani sistem persamaan besar, kenirlanjaran, dan

geometri yang rumit bid rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitik.

Menyederhanakan matematika sulit menjadi operasi matematika yang mendasar.

Tahap” Memecahkan Persoalan Secara Numerik

1. PemodelanPersoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika

2. Penyederhanaan model

– Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter.

– Semakin kompleks model matematikanya– Semakin rumit penyelesaiannya. – Penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga

solusinya akan lebih mudah diperoleh.

Tahap” Memecahkan Persoalan Secara Numerik (1)

3. Formulasi numerik

– menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama -sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya).

Pemilihan metode didasari pada pertimbangan:- apakah metode tersebut teliti?- apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?- apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil?

– menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

Tahap” Memecahkan Persoalan Secara Numerik (2)

4. Pemrogramanmenerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.

5. Operasionaldata uji coba sebelum data yang sesungguhnya.

6. Evaluasi- Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi.

- Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

Peran Ahli Informatika dalam MetNum

Orang Informatika berperan pada tahap 3, 4, 5 Agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya orang

Informatika juga ikut dilibatkan dalam memodelkan, namun perannya hanyalah sebagai pendengar.

Tahap 6 memerlukan kerjasam informatikawan dengan pakar bidang bersangkutan.

Bersama-sama dengan pakar, informatikawan mendiskusikan hasil numerik yang diperoleh, apakah hasil tersebut sudah dapat diterima, apakah perlu dilakukan perubahan parameter, dsb.

Perbedaan MetNum vs Analisis Numerik

Metode numerik algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik

Analisis numerik terapan matematika untuk menganalisis metode analisis galat dan kecepatan konvergensi sebuah metode.

Teorema” matematika banyak dipakai dalam menganalisis suatu metode.

KESALAHAN (ERROR)

Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.

Terdapat tiga macam kesalahan:1. Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data.

Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

2. Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak.contoh, nilai:8632574 dapat dibulatkan menjadi 86330003,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

KESALAHAN (ERROR)

3. Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga.Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga yaitu:

..........!4!3!2

1432

xxxxe x

Nilai eksak dari diperoleh apabila semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Namun dalam prakteknya,sulit untuk menghitung semua suku sampai tak terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanya memperhitungkan beberapa suku pertama disebut dengan kesalahan pemotongan.

xe

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat dirumuskan sebagai berikut:

p = p* + Ee

dengan:p : nilai eksakp* : nilai perkiraanEe : kesalahan terhadap nilai eksak

Sehingga dapat dicari besarnya kesalahan adalah sebagai perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan, yaitu:

Ee = p – p*

Kesalahan Absolut

Pada kesalahan absolut,tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan


Kesalahan relatif: besarnya tingkat kesalahan ditentukan dengan cara membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.

pEe

e

Kesalahan Relatif terhadap nilai eksak

Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen.

%100p

Eee


%100

pEa

a

Dalam metode numerik, besarnya kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak,sehingga kesalahan mempunyai bentuk sebagai berikut:

dengan:Ea : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaikp* : nilai perkiraan terbaikIndeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan (approximate value).


Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya.Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang.

%1001*

*1

*

n

nn

a ppp

dengan: : nilai perkiraan pada iterasi ke n : nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1

np*1

*np

SOAL

1. Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak)berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif.

2. Hitung kesalahan yang terjadi pada nilai ex dengan nilai x = 0,5 apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. Nilai eksak dari e0,5 = 1,648721271

DERET TAYLOR(Persamaan Deret Taylor)

Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.Bentuk umum deret Taylor:

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .

n

n

in

iiiii Rnxxfxxfxxfxxfxfxf

!

)(.....!3

)('''!2

)(''!1

)(')()(32

1

f(x)Order 2

Order 1

xi xi+1

f(xi ) : fungsi di titik xi

f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1

f’, f’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi

∆x : jarak antara xi dan xi+1

Rn : kesalahan pemotongan

! : operator faktorial

Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)

)()( 1 ii xfxf Perkiraan order nol

!1)(')()( 1

xxfxfxf iii

Perkiraan order satu

!2)(''

!1)(')()(

2

1xxfxxfxfxf iiii

Perkiraan order dua


ContohDiketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi = 0.

Solusi:1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

5,85,8)0(20)0(12)0(2)0()5,0()( 231 ffxf i

5,1105,8

)5,0)(20)0(24)0(6(5,8

!105,0)0(')0(

!1)(')()5,0()(

2

1

ff

xxfxffxf iii


DERET TAYLOR(Kesalahan Pemotongan)

Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi yang benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasilnya tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Sehingga terdapat kesalahan (error) yang disebut dengan kesalahan pemotongan (truncation error, Rn), yang ditulis:

.....!)2(

)(!)1(

)()(2

21

11

nxxf

nxxfxOR

n

in

n

inn

n

O(∆xn+1) berarti kesalahan pemotongan mempunyai order ∆xn+1 atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat n+1.Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:1. Interval ∆x adalah kecil.2. Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor

DIFERENSIAL NUMERIK(Diferensial Turunan Pertama)

Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret.Untuk menghitung diferensial turunan pertama dapat diturunkan berdasar deret Taylor, yang dapat dituliskan dalam bentuk:

)(!1

)(')()( 21 xOxxfxfxf iii

)()()(

)(' 1 xOx

xfxfxf

xf ii

i

Turunan pertama dari f terhadap titik xi didekati oleh kemiringan garis yang melalui titik B(xi,f(xi)) dan titik C(xi+1,f(xi+1)).Bentuk diferensial di atas disebut diferensial maju order satu.

A B

C

i-1 i i+1

majuterpusat

mundur

Garis singgung di titik i

x

y


Jika data yang digunakan adalah titik xi dan xi-1 maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi:

Atau.....

!3)('''

!2)(''

!1)(')()(

32

1

xxfxxfxxfxfxf iiiii

)(!1

)(')()( 21 xOxxfxfxf iii

)()()(

)(' 1 xOx

xfxfxf

xf ii

i

A B

C

i-1 i i+1

majuterpusat

mundurGaris singgung di tit

ik i

x

y


A B

C

i-1 i i+1

majuterpusat


ik i

x

y

Jika data yang digunakan adalah titik xi-1 dan xi+1 maka disebut diferensial terpusat. Apabila pers. deretTaylor dikurangi pers. Deret Taylor (untuk diferensial mundur) didapat :

atau

atau

.....!3

)('''2!1

)('2)()(3

11

xxfxxfxfxf iiii

6)('''

2)()(

)('2

11 xxfx

xfxfxf

xf

iii

i

)(' ixf

)(2

)()()(' 211 xO

xxfxf

xfxf ii

i


A B

C

i-1 i i+1

majuterpusat


ik i

x

y

Metode Numerik

Documents

Transcript of Metode Numerik