METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik...
Transcript of METODE NUMERIKmaulana.lecture.ub.ac.id/.../05/11-Diferensiasi-Numerik.pdf2014/05/11 · pada titik...
METODE NUMERIKDIFERENSIASI NUMERIK
http://maulana.lecture.ub.ac.id
Apersepsi
2Diferensiasi Numerik
Pendekatan Konsep Diferensiasi
3Diferensiasi Numerik
Jenis-Jenis Metode Diferensiasi
Metode Euler Metode Runge-Kutta Metode Taylor Metode Adam Metode Milne Metode Adam-Moulton Metode modifikasi Euler
4Diferensiasi Numerik
Metode Euler
Menghitung persamaan differensial melalui taksiran langsung dari slope xi diberi turunan pertama.
hyxfyy iiii ,1
5Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
Selesaikan persamaan differensial pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!
yxdxdy
6Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.) Untuk x = 0 y = 1 Untuk x = 0,25
yi+1 = yi + f(xi, yi).h= 1 + f(0,1).0,25== 1
Untuk x = 0,5yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1 + f(0,25;1).0,25= = 1,0625
25,0101
25,0125,01
7Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.) Untuk x = 0,75
yi+1 = yi + f(xi, yi).h= 1,0625 + f(0,5;1,0625).0,25= = 1,1914
Untuk x = 1yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1,1914 + f(0,75;1,1914).0,25= = 1,3961
25,00625,15,00625,1
25,01914,175,01914,1
8Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)x y0 1
0,25 10,5 1,06250,75 1,1914
1 1,3961
9Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
Nilai eksakdxyxdyyx
dxdy
Cxy
dxxdyy
dxxdyy
dxxy
dy
2
21
21
212
0
0
0.
10Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
Pada saat x = 0; y = 1
Persamaan
202112 2 CC
2212 2 xy
11Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,25
0315,1015625,1
0325,22
225,0212 2
yy
y
y
12Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,5
1289,10625,1
25,0212 2
yy
y
13Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 0,75
3010,1140625,1
275,0212 2
yy
y
14Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
Untuk x = 1
5625,125,1
21212 2
yy
y
15Diferensiasi Numerik
Metode Euler (Ex.)
x yEuler ysebenarnya t
0 1 1 0 %0,25 1 1,0315 3,0538 %0,5 1,0625 1,1289 5,8818 %0,75 1,1914 1,3010 8,4243 %
1 1,3961 1,5625 10,6496 %
%100
sebenarnya
sebenarnyaEulert y
yy
16Diferensiasi Numerik
Metode Heun
Untuk memperbaiki Metode Euler, digunakan Metode Heun dengan cara perbaikan dari perkiraan nilai slopenya.
Perbaikan perkiraan slope tersebut, ditempuh melalui nilai turunan dari slope-nya pada titik awal. Kemudian mencari turunan slope-nya pada titik akhir dan nilai tersebut dirata-ratakan.
17Diferensiasi Numerik
Metode Heun
Langkah-langkah Metode Heun:1. Mencari slope awal = f(xi, yi) 2. Slope awal pada no.1 digunakan untuk
ekstrapolasi nilai , dengan rumuso
1iy
hyxfyy iii
o
i ,1
18Diferensiasi Numerik
Metode Heun3. Persamaan prediktor ( ) digunakan untuk
mencari slope akhir (sebut dengan ), dengan rumus
4. Mencari slope rata-rata (sebut dengan )
o
1iy |
1iy
o
iii yxfy 11
|
1 ;
y
2
,, 11
o
iiii yxfyxfy
19Diferensiasi Numerik
Metode Heun5. Slope rata-rata ini yang sebenarnya digunakan
untuk mengekstrapolasikan yi ke yi+1
yi+1 = yi + (slope rata-rata).h
h
yxfyxfyy
o
iiii
ii
2
,, 11
1
20Diferensiasi Numerik
Metode Heun (Ex.)
Selesaikan persamaan differensial pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan sebenarnya!
yxdxdy
21Diferensiasi Numerik
Metode Heun (Ex.)
22
Metode Heun (Ex.)
23
Metode Heun (Ex.)
24
Metode Heun (Ex.)
25
Metode Heun (Ex.)
x yHeun ysebenarnya t
0 1 1 0 %
0,25 1,0313 1,0315 0,01939 %
0,5 1,1284 1,1289 0,0443 %
0,75 1,3001 1,3010 0,06918 %
1 1,5608 1,5625 0,1088 %26Diferensiasi Numerik