Metoda supstitucijeMetoda supstitucije

1. dio1. dio

(izražavamo x iz prve jednadžbe)(izražavamo x iz prve jednadžbe)

Na latinskom, riječ substituere znači zamjena.Kao što ćemo vidjeti, prilikom primjene metode supstitucije vršit ćemo nekoliko zamjena.

Krenut ćemo s jednostavnijim primjerima u kojima ćemo izražavati x iz prve jednadžbe te uvrštavati u drugu, a tek kad to dobro savladamo, objasnit ćemo i ostale varijante, od jednostavnijih prema složenijima.

Toplo preporučam svakome tko ne zna ovo gradivo, da pažljivo redom proučava primjere, nakon njih samostalno rješava zadatke vezane uz prethodne primjere, a tek tada krene na daljnje primjere (na novi tip zadatka). Ukoliko neki korak ne savladate kako treba (odnosno, ukoliko ostane nekih nejasnoća), teško da će se one kasnije razjasniti - najbolje je razjasniti ih na samom početku. Ukoliko je potrebno, i same primjere možete paralelno s izvođenjem prezentacije rješavati na papiru.Prezentacija nudi i dodatna pojašnjenja za one kojima su ona potrebna, a svi kojima nisu potrebna, lako ih mogu preskočiti. U tu svrhu koristite ponuđene linkove.

Sretno!

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

a) x + 2y = 103x - y = 2

x = 10 - 2y

3·( 10 - 2y )- y =

30- 6y - y =

2

2

- 6y - y = 2 - 30

- 7y = - 28 : (-7)

y = 4

x = 10 - 2 · 4

x = 10 - 8

x = 2

Rj. ( 2, 4 )

Ukoliko želite ovaj postupak proći još jednom, kliknite ovdje.

Ukoliko nešto nije jasno, tj. želite još detaljnije objašnjenja,kliknite ovdje.

Ukoliko je sve jasno i želite nastavite dalje, kliknite bilo gdje izvan gornja dva linka.

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

a) x + 2y = 103x - y = 2

x = 10 - 2y

3·( 10 - 2y )- y =

30- 6y - y =

2

2

- 6y - y = 2 - 30

- 7y = - 28 : (-7)

y = 4

x = 10 - 2 · 4

x = 10 - 8

x = 2

Rj. ( 2, 4 )

Provjera:

2 + 2 · 4= 2 + 8= 10

Dobili smo predviđeni rezultat.Otuda zaključujemo da uređeni par (2,4)zadovoljava prvu jednadžbu.

A drugu? ...

Uvrstimo dobivene vrijednosti od x i yu izraz na lijevoj strani prve jednadžbe,te provjerimo hoće li rezultat biti jednak desnoj strani iste jednadžbe...

Izračunajmo ovo...

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

a) x + 2y = 103x - y = 2

x = 10 - 2y

3·( 10 - 2y )- y =

30- 6y - y =

2

2

- 6y - y = 2 - 30

- 7y = - 28 : (-7)

y = 4

x = 10 - 2 · 4

x = 10 - 8

x = 2

Rj. ( 2, 4 )

3 · 2 - 4 = 6 - 4 = 2

I tu smo dobili predviđeni rezultat.Dakle, uređeni par (2,4)zadovoljava i drugu jednadžbu.Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,pa je on rješenje zadanog sustava.

Provjera:

2 + 2 · 4= 2 + 8= 10

Izračunajmo ovo...

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

b) x + y = -1-5x - 4y = -8

x = -1 - y

-5 ·( -1 - y )- 4y =

5 + 5y- 4y =

-8

-8

5y - 4y = -8 - 5

y = - 13

x = -1 - (-13)

x = -1 + 13

x = 12

Rj. ( 12, -13 )

Ukoliko ti nije jasno otkudova dva minusa,klikni ovdje.Ako ti je sve jasno, kliknibilo gdje izvan tog linkaza nastavak.

Riješimo se ove zagrade...

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

b) x + y = -1-5x - 4y = -8

x = -1 - y

-5 ·( -1 - y )- 4y =

5 + 5y- 4y =

-8

-8

5y - 4y = -8 - 5

y = - 13

x = -1 - (-13)

x = -1 + 13

x = 12

Rj. ( 12, -13 )

Provjera:

12+(-13)= 12- 13=-1

Dobili smo predviđeni rezultat.Otuda zaključujemo da uređeni par (12,-13)zadovoljava prvu jednadžbu.

A drugu? ...

Uvrstimo dobivene vrijednosti od x i yu izraz na lijevoj strani prve jednadžbe,te provjerimo hoće li rezultat biti jednak desnoj strani iste jednadžbe...

Izračunajmo ovo...

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

b) x + y = -1-5x - 4y = -8

x = -1 - y

-5 ·( -1 - y )- 4y =

5 + 5y- 4y =

-8

-8

5y - 4y = -8 - 5

y = - 13

x = -1 - (-13)

x = -1 + 13

x = 12

Rj. ( 12, -13 )

-5 · 12 - 4 · (-13) = -60 + 52= -8I tu smo dobili predviđeni rezultat.Dakle, uređeni par (12,-13) zadovoljava i drugu jednadžbu. Stoga on zadovoljava obje jednadžbe,pa je on rješenje zadanog sustava.

Izračunajmo ovo...

Provjera:

12+(-13)= 12- 13=-1

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

c) x - y = 3-x - 2y = 15

x = 3+ y

- ( 3 + y )- 2y =

-3 - y - 2y =

15

15

-y - 2y = 15+ 3

-3y = 18

x = 3 +(-6)

x = 3 - 6

x = -3

Rj. ( -3, -6 ): (-3)

y = -6

Kako se rješavamo zagrade kad je minus ispred nje?

Minus nam kaže da svim pribrojnicima iz zagrade promijenimo predznake.Provjeru napravi sam...

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

d) x - y = 02x + 3y = -25

x = y

2 y + 3y = -25

5y = -25

x = -5

Rj. ( -5, -5 ): 5

y = -5

Napomena:Nulu nema potrebe pisati ako se nešto seli na njenu stranu.Naime, vrijedi 0+y=y, pa je prirodno pisati ono što je jednostavnije, dakle samo y.

Provjeru napravi sam...

2y + 3y= -25

·

Primjer 1.: Riješimo metodom supstitucije:

e) x + y = 6x - 2y = -3

x = 6 - y

6 - y - 2y = -3

-y - 2y = -3 - 6

-3y = -9

x = 6 - 3

x = 3

Rj. ( 3, 3 ): (-3)

y = 3

Napomena:Zagradu ne moramo pisati ako ispred nje nema niti množenja niti minusa.Naime, ako bismo je i napisali, kad bismo je se išli riješiti, budući da ispred nje ništa ne piše, to je kao da piše plus, a plus nam kaže da sve iz zagrade samo prepišemo. Time bismo došli na isto kao da je nismo ni zapisali.

Provjeru napravi sam...

Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke.Ako ti nešto ne bude jasno ili ako ćeš imati puno grešaka,vrati se ponovo na pregled prezentacije da razjasniš nejasnoće!Na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja (iako i sam za svaki sustav možeš provjeravati jesi li dobro riješio, na način prikazan u a i b primjeru). Sretno! Sretno!

1.) Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije:

a) x + y = -8-2x -6y = 20

b) x - 5y = 34-x - 2y = 15

c) x + y = -5-4x + 6y = 0

d) x - y = -13x - 2y = -8

e) x + 3y = -4x + 2y = -4

f) x + 3y = -12x - 2y = 8

g) x - 2y = 11-2x + y = -28

h) x + y = -36-x + 2y = 0

i) x + y = -25x - y = -4

j) x - 3y = 8-2x + 3y = -13

Rješenja:a) (-7,-1)b) (-1,-7)c) (-3,-2)d) (-6,-5)e) (-4,0)f) (0,-4)g) (15,2)h) (-24,-12)i) (-1,-1)j) (5,-1)

Nadam se da si uspješno riješio zadatke.

Time smo svladali osnove metode supstitucije, ali ne sve!

U sljedećim prezentacijama susrest ćemo zadatke u kojima ćemo postupati malo drugačije nego u ovoj, ili pak isto kao u ovoj ali uz neke dodatne radnje. To ovisi o zadanom sustavu...

Autorica prezentacije:Autorica prezentacije:

Antonija Antonija HorvatekHorvatek

svibanj 2011.svibanj 2011.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija Horvatekahorvatek@yahoo.comhttp://public.carnet.hr/~ahorvate