Metoda PERT - staff.uz.zgora.plstaff.uz.zgora.pl/mpatan/materialy/badoper/wyklady/druk_5d.pdf ·...
Transcript of Metoda PERT - staff.uz.zgora.plstaff.uz.zgora.pl/mpatan/materialy/badoper/wyklady/druk_5d.pdf ·...
METODA PERT
Maciej Patan
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 1
WPROWADZENIE
➣ PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique)
➣ Metoda nalezy do sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej
➣ Parametry opisujace poszczególne czynnosci maja charakter stochastyczny
➣ Załozenia metody CPM (zbyt odwazne):
• najwczesniejszy mozliwy termin rozpoczecia czynnosci
• najpózniejszy dopuszczalny termin rozpoczecia czynnosci
• parametry sa obliczane na podstawie znajomosci czasu trwania danej czynnosci
➣ W metodzie PERT czas trwania kazdej czynnosci jest szacowany
➣ Obliczanie oczekiwanego czasu trwania czynnosci dokonuje sie na podstawie trzechocen czasu: optymistycznej, najbardziej prawdopodobnej i pesymistycznej
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 2
ZAŁOZENIA
Niech :
• tc - czas optymistyczny
• tm - czas najbardziej prawdopodobny
• tp - czas pesymistyczny
wtedy wartosc oczekiwana t0
t0 =tc + 4tm + tp
6
jest to wartosc oczekiwana rozkładu beta
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 3
Realizacja metody PERT
1. Definiowanie wszystkich czynnosci projektu
2. Ustalenie nastepstwa czasowego czynnosci
3. Oszacowanie czasu trwania kazdej czynnosci
4. Wyznaczenie sciazki krytycznej oraz kryteriów jakosciowych i ilosciowych
5. Tworzenie harmonogramu
6. Przeszacowania i poprawki zgodne ze stanem rzeczywistym
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 4
Przykład. 1.
Dla wykonania przedsiewziecia P opracowano dwa wariantytechniczne A i B. Nalezy na podstawie analizy sieciowej doko-nac wyboru wariantu gwarantujacego wieksza szanse dotrzyma-nia terminu dyrektywnego td = 48 dni. Charakterystyki czynnoscidla obu wariantów podano w ponizszych tabelach
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 5
Wariant A(i, j) tc tm tp t0
(1, 2) 13 14 15 14
(1, 3) 5 10 15 10
(1, 4) 7 10 19 11
(2, 3) 2 2 2 2
(2, 5) 10 10 10 10
(3, 6) 20 21 22 21
(3, 7) 4 16 16 14
(4, 7) 5 20 23 18
(5, 8) 5 8 11 8
(6, 8) 12 12 12 12
(7, 8) 18 18 30 20
Wariant B(i, j) tc tm tp t0
(1, 2) 17 20 20 19, 5
(1, 3) 14 14 14 14
(1, 4) 1 5 15 6
(2, 5) 2 10 12 9
(3, 6) 17 18 25 19
(3, 7) 15 15 15 15
(4, 7) 2 5 14 6
(5, 8) 18 20 28 21
(6, 8) 14 15 22 16
(7, 8) 18 21 24 21
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 6
Siec czynnosci dla wariantu A
100
21414
31616
41112
52442
63738
73030
85050
14(0)
10(6)
11(1)
10(18)
2(0)
21(1)
14(0)
18(1)
8(18)
12(1)
20(0)
• sciezka krytyczna: 1− 2− 3− 7− 8
• szacowany czas trwania przedsiewziecia: 50 dni
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 7
Siec czynnosci dla wariantu B
100
219.5
20
31414
4623
5 28.5
29
63334
72929
85050
19.5(0.5)
14(0)
6(17)
9(0.5)
19(1)
15(0)
6(17)
21(0.5)
16(1)
21(0)
• sciezka krytyczna: 1− 3− 7− 8
• szacowany czas trwania przedsiewziecia: 50 dni
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 8
Wnioski
• Dla obu wariantów oczekiwany czas trwania czynnosci wynosi 50 dni, a wzałozeniu termin dyrektywny wynosi td = 48dni
• Parametry opisujace przedsiewziecie maja charakter probabilistyczny i czastrwania czynnosci miesci sie w granicach [tp, tc]
• Problem :
Jak okreslic, który z wariantów ma wieksze szanse dotrzy-mania terminu dyrektywnego?
• Rozwiazanie :
Wprowadzamy pojecie wariancji – okreslenie niepewnosci zwiazanej z danaczynnoscia
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 9
• Interpretacja wariancji
Im wieksza jest rozpietosc ocen miedzy czasem optymistycznym ipesymistycznym, tym wieksza jest niepewnosc zwiazana z dana czynnoscia
• Definicja wariancji
σ2 =(tp − tc6
)2Im wieksza wartosc wariancji, tym wieksza niepewnosc z czasem trwaniadanej czynnosci
Przykład 2.Obliczyc niepewnosci wykonania przedsiewziecia P z przykładu 1
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 10
Wariant A
(i, j) tc tm tp t0 σ2
∗(1, 2) 13 14 15 14 1919
(1, 3) 5 10 15 10 259
(1, 4) 7 10 19 11 4
∗(2, 3) 2 2 2 2 00
(2, 5) 10 10 10 10 0
(3, 6) 20 21 22 21 19
∗(3, 7) 4 16 16 14 44
(4, 7) 5 20 23 18 9
(5, 8) 5 8 11 8 1
(6, 8) 12 12 12 12 0
∗(7, 8) 18 18 30 20 44
sciezka krytyczna:
1− 2− 3− 7− 8
wariancja całkowita:
σ2 = 19 + 0 + 4 + 4 = 819
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 11
Wariant B
(i, j) tc tm tp t0 σ2
(1, 2) 17 20 20 19, 5 14
∗(1, 3) 14 14 14 14 00
(1, 4) 1 5 15 6 499
(2, 5) 2 10 12 9 259
(3, 6) 17 18 25 19 4936
∗(3, 7) 15 15 15 15 00
(4, 7) 2 5 14 6 4
(5, 8) 18 20 28 21 259
(6, 8) 14 15 22 16 169
∗(7, 8) 18 21 24 21 11
sciezka krytyczna:
1− 3− 7− 8
wariancja całkowita:
σ2 = 0 + 0 + 1 = 1
Nalezy wybrac wariant A, bo stopien niepewnosci jest wiekszy i jest szansa nadotrzymanie terminu dyrektywnego td = 48dni
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 12
• Wybierajac wariant A przedsiewziecie moze zostac zrealizowane wprzedziale
4189− 5819
dnia
• Wybierajac wariant B przedsiewziecie moze zostac zrealizowane wprzedziale
49− 51 dnia
• Nasuwaja sie kolejne pytania
� Jakie jest prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 48 dni?
� Jakie jest prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 50 dni?
� Jakiemu przedziałowi czasu realizacji przedsiewziecia odpowiada daneprawdopodobienstwo np. 0, 95?
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 13
ROZWIAZANIE
Dystrybuanta rozkładu normalnego jest bardzo pomocna przy okreslaniu praw-dopodobienstwa realizacji przedsiewziecia
Definicja dystrybuanty rozkładu normalnego
Φ(x) =1√2π
∫ x−∞e−x22 dx
Interpretacja geometryczna
xx
F( )x
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 14
• Obszar zakreslony - prawdopodobienstwo zakonczenia przedsiewziecia wterminie do td
P (td ¬ tr) = Φ(x)
• Obliczanie prawdopodobienstwa z definicji – bardzo uciazliwe iczasochłonne
• Praktyczne okreslanie prawdopodobienstwa – tablice rozkładu normalnego
� Tablice zawieraja wartosci dystrybuanty dla liczb dodatnich x 0 (prawapołówka dystrybuanty)
� Jak wiec policzyc wartosc dystrybuanty dla liczb ujemnych x < 0?
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 15
Wiadomo, ze
Φ(inf) =1√2π
∫ ∞−∞e−x22 dx = 1
i ze wykres dystrybuanty jest symetryczny. Zatem
Φ(x) = 1− Φ(−x)
• W tabelach sa podawane dla dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1)
• Dane nalezy przeskalowac tak, aby posiadały wartosc srednia równa zero iodchylenie standardowe równe 1
X =td − trσc
gdzie: td - czas dyrektywnytr – czas modelowy ukonczenia przedsiewziecia
σc – odchylenie standardowe(σc =√σ2c
)X – czas przeskalowany do N(0, 1)
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 16
Przykład. 3a) Prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 48 dni dla wariantu A
X =48− 50√8 19
= −0, 702
P (td ¬ tr) = 1− Φ(x) = 1− 0, 76 = 0, 24 (24%)
x0.702-0.702
F( )x
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 17
b) Prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 50 dni dla wariantu A
X =50− 50√8 19
= 0
P (td ¬ tr) = Φ(x) = 0 = 0, 5 (50%)
x0
F( )x
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 18
c) Prawdopodobienstwo realizacji przedsiewziecia do 58 dni dla wariantu A
X =58− 50√8 19
= 2, 807
P (td ¬ tr) = 0, 997 (99, 7%)
x2.807
F( )x
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 19
d) Obliczyc przedział czasu realizacji przedsiewziecia odpowiadajacyprawdopodobienstwu 0,95
P (td ¬ tr) = 0, 95
odczytujemy z tablic wartosc X
X = 1, 64
podstawiamy do wzoru
1, 64 =td − 50√8 19
przekształcamy
td = 1, 65 ·√819+ 50 = 54, 7
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 20
e) Obliczyc prawdopodobienstwo ukonczenia przedsiewziecia do 48 dni dla wariantu B
X =48− 50√1= −2
P (td ¬ tr) = 1− Φ(−x) = 1− 0, 977 = 0, 023 (2, 3%)
Uwaga!
Faktycznie w przykładzie 2 ustalilismy, ze lepszy okaze sie wariant A
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 21
Obliczyc prawdopodobienstwo ukonczenia przedsiewziecia do 58 dni dla wariantu B
X =58− 50√1= 8
P (td ¬ tr) ≈ 1
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjneProgramowanie sieciowe. Metoda PERT 22
Obliczyc przedział czasu realizacji przedsiewziecia odpowiadajacy prawdopodobienstwu0,95
P (td ¬ tr) = 0, 95
odczytujemy z tablic wartosc X
X = 1, 65
podstawiamy do wzoru
1, 65 =td − 50√1
przekształcamy
td = 1, 65 + 50 = 51, 65
Instytut Sterowania i Systemów InformatycznychUniwersytet Zielonogórski