Metoda elementów skończonych
description
Transcript of Metoda elementów skończonych
![Page 1: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/1.jpg)
Metoda elementów Metoda elementów skończonychskończonych
Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W6
![Page 2: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/2.jpg)
2
FEM - MES
Metoda elementów skończonych (MES) [Finite element method (FEM)] ma swoje źródło w analizie strukturalnej.Chociaż jej podstawy stworzył Courant już w 1943r., metoda jest stosowana w rozwiązywaniu zagadnień elektromagnetycznych od roku 1968.
Metoda różnic skończonych (finite difference method - FDM) i metoda momentów the (method of moments - MOM) to metody koncepcyjnie prostsze i łatwiejsze w programowaniu niż metoda elementów skończonych. Jednak MES jest metodą zdecydowanie silniejszą i bardziej uniwersalną w rozwiązywaniu problemów o złożonej geometrii i niejednorodnych środowiskach. Aplikacja MES stworzona dla określonej dyscypliny łatwo może być zastosowana do innej.
![Page 3: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/3.jpg)
3
4 kroki
Zasadnicze etapy analizy MES
• dyskretyzacja regionu rozwiązania skończoną ilością subregionów lub elementów,• wyprowadzenie równań dla typowego elementu,• złożenie wszystkich elementów w regionie rozwiązania,• rozwiązanie uzyskanego układu równań.
![Page 4: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Rozwiązanie problemu Rozwiązanie problemu za pomocą metody elementów skończonych wymaga następujących czynności:
1. Analizowany obszar dzieli się na pewną skończoną liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów skończonych.
2. Zakłada się, że są one połączone ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach. Najczęściej są to punkty narożne. Noszą one nazwę węzłów.
3. Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, zależne od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji węzłowych lub funkcji kształtu.
4. Równania różniczkowe opisujące badane zjawisko przekształca się, przy pomocy tzw. funkcji wagowych, do równań metody elementów skończonych. Są to równania algebraiczne.
![Page 5: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/5.jpg)
5
5. Na podstawie równań metody elementów skończonych przeprowadza się asemblację układu równań, tzn. oblicza się wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron. Jeżeli rozwiązywane zadanie jest niestacjonarne, to w obliczaniu wartości prawych stron wykorzystuje się dodatkowo warunki początkowe. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę stopni swobody węzłów, tzn. liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle.
6. Do układu równań wprowadza się warunki brzegowe przez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron.
7. Rozwiązuje się układ równań otrzymując wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach.
![Page 6: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/6.jpg)
6
8. W zależności od typu rozwiązywanego problemu, lub potrzeb, oblicza się dodatkowe wielkości (energię, siły, impedancje itp.).
9. Jeżeli zadanie jest niestacjonarne, to czynności opisane w pkt. 5, 6, 7 i 8 powtarza się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń. Może to być np. określona wartość wielkości fizycznej w którymś z węzłów, czas przebiegu zjawiska lub jakiś inny parametr.
![Page 7: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/7.jpg)
7
DefinicjaDefinicja: Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach.
Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym (ponieważ funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe). W pozostałych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów.
![Page 8: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Funkcje interpolacyjne
Funkcje interpolacyjne nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu.
Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu).
Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a w pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero.
![Page 9: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Typowe elementy Typowe elementy jedno-, dwu- i trójwymiarowe.
![Page 10: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Rozwiązanie równania LaplaceaRozwiązanie równania Laplace’a
02 V
Aby znaleźć rozkład potencjału V (x, y) w dwuwymiarowym regionie rozwiązania, dzielimy region na elementy skończone.
Elementy 6, 8, i 9 to 4-węzłowe czworokąty, a pozostałe 3-węzłowe trójkąty.Dla ułatwienia obliczeń w praktyce stosuje się elementy tego samego typu. Dlatego elementy czworokątne należy podzielić na trójkąty.
Dyskretyzacja
![Page 11: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Szukamy aproksymacji Szukamy aproksymacji dla potencjału Ve wewnątrz elementu e i następnie zależności rozkładu potencjału od różnych elementów, jako że potencjał jest ciągły poprzez granice międzyelementowe. Aproksymacja rozwiązania dla całego regionu:
gdzie N jest liczbą elementów trójkątnych
Najpopularniejszą formą aproksymacji Ve wewnątrz elementu jest aproksymacja wielomianowa:
cy bx a (x, y) Ve
(x, y)V V(x, y) N
ee
1
dxy cy bx a (x, y) Ve
dla trójkąta
dla czworokąta
![Page 12: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Pole elektryczne wewnątrzPotencjał Ve wewnątrz elementu jest niezerowy, ale zerowy na zewnątrz.
Zauważmy, że założenie liniowej kombinacji potencjału wewnątrz elementu trójkątnego jest równoważne przyjęciu, że pole elektryczne wewnątrz elementu jest jednorodne tzn. ,
yxye
xe
ee cbyV
xVV aaaaE
ax i ay – wektory jednostkowe
cEbE yx
![Page 13: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Wyprowadzenie równań
Potencjały Ve1, Ve2, i Ve3 opisane są równaniem:
Wyprowadzenie równań dla typowego elementu
cy bx a (x, y) Ve
![Page 14: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Ve
Współczynniki a, b i c są określone równaniem poprzednim, jako
Podstawiając to do równanie na Ve otrzymamy
lub ei
iie VyxV
3
1
,
![Page 15: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Alfa i A
i – liniowe funkcje interpolacyjne (funkcje kształtu)
![Page 16: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/16.jpg)
16
1 lub 0Funkcje kształtu maja następujące własności:
Dla x = x1 i y = y1
yxxxyyyxyxA 233223321 2
1
122
21
1213312123321 AAyxyxyxyxyxyx
A
Dla x = x2 i y = y2
021
2223322223322 yxyxyxyxyxyxA
![Page 17: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Suma = 1
Bo sumowanie daje
2A 0↓↓
![Page 18: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/18.jpg)
18
„A” jest powierzchnią elementu e (pole powierzchni trójkąta)
„A” jest dodatnie jeżeli numeracja węzłów jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara
![Page 19: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Funkcje kształtuIlustracja funkcji kształtu
![Page 20: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Funkcjonał
Funkcjonał korespondujący z równaniem Laplace’a,∆V = 0, jest dany przez energię pola
min,,,,
dxdyyxuuuFI yx
Podstawowym zagadnieniem rachunku wariacyjnego jest wyznaczenie takich niewiadomych funkcji ui(x, y) (ekstremali), żeby całka I pewnej kombinacji tych funkcji i ich pochodnych przybierała wartość ekstremalną. Całka I nazywana jest funkcjonałem.Największe znaczenie ma funkcjonał typu:
dxdyyxuuuFI yx ,,,,
Typowe zagadnienie wariacyjne
Poszukuje się kombinacji liniowych ciągu funkcji, które od razu ekstremalizują funkcjonał.
Uwaga.
![Page 21: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Fizycznie
Fizycznie funkcjonał We jest energią na jednostkę długości związaną z elementem e.
eii
ie VyxV
3
1
,Z równania
wynika
3
1iieie VV
Podstawiamy to do funkcjonału
![Page 22: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Macierze
Jeżeli oznaczymy
to funkcjonał możemy zapisać w formie macierzowej jako
Gdzie t oznacza macierz transponowaną
macierz współczynników elementu
⇗
![Page 23: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Cij
Na przykład
Podobnie
⇦ A
A także
Cij może być uważany za sprzężenie między węzłami i, j.
![Page 24: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Asemblacja
Asemblacja wszystkich elementów
Energia związana z kompletem elementów
Gdzie
n jest liczbą węzłów, N jest liczbą elementów, a [C] to tak zwana globalna macierz współczynników która jest zestawem macierzy współczynników indywidualnych elementów.
![Page 25: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Niejednorodne
Równanie energii uzyskano dla założonej jednorodności regionu (=const). Jeżeli region jest niejednorodny to dzieli się go na elementy tak (rysunek) by każdy element skończony był jednorodny.
![Page 26: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/26.jpg)
26
epsilon
W takiej sytuacji, równanie
nie może być stosowane ponieważ =0r zmienia się od elementu do elementu. By pokonać tę trudność trzeba zastąpić przez 0, i pomnożyć funkcję podcałkową przez r .
jest nadal obowiązujące, ale równanie
![Page 27: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/27.jpg)
27
GlobalnaProces w którym macierze współczynników poszczególnych elementów są składane w celu uzyskania globalnej macierzy współczynników ilustruje przykład. Załóżmy, że siatka elementów skończonych składa się z trzech elementów.
Numeracja: zewnętrzne 1 ,2, 3, 4 i 5 – globalna
wewnętrzne 1, 2 i 3 – lokalna ↺
![Page 28: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Globalna 1
Globalna macierz współczynników
5x5 ponieważ siatka ma 5 węzłów (n = 5).
Cij jest sprzężeniem między węzłami i - j . Wyznaczamy Cij wykorzystując fakt, że rozkład potencjału musi być ciągły na granicy międzyelementowej. Wkład w i, j wyraz macierzy [C] pochodzi od wszystkich elementów zawierających węzły i oraz j.
Na przykład: elementy 1 i 2 mają wspólny węzeł 1, stąd
![Page 29: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Globalna 2
Węzeł 2 należy tylko do elementu 1, stąd
Węzeł 4 należy do elementów 1, 2, i 3; więc
Węzły 1 i 4 należą jednocześnie do elementów 1 i 2; stąd
Ponieważ nie ma sprzężenia (bezpośredniego połączenia) między węzłami 2 i 3,
Kontynuując postępowanie można wyznaczyć wszystkie wyrazy globalnej macierzy współczynników przez dalszą analizę siatki
![Page 30: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Globalna 3
∥
Odnotujmy, że mamy 27 wyrazów (9 dla każdego z 3 elementów) w globalnej macierzy współczynników [C].
![Page 31: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Własności macierzy [C]
Własności macierzy [C]:
1. Jest symetryczna (Cij = Cji ) tak jak macierz współczynników elementu.
2. Ponieważ Cij = 0 jeśli nie ma sprzężenia między węzłami i i j , oczekuje się, że dla dużej liczby elementów [C] stanie się rzadka. Macierz [C] jest także pasmowa jeśli węzły numerowane są właściwie. Można dowieść, że
3. Jest osobliwa. Chociaż nie jest to oczywiste można to udowodnić przy użyciu macierzy współczynników elementu.
![Page 32: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Rozwiązanie równańRozwiązanie równań
Z metod wariacyjnych wynika, że równanie Laplace’a jest spełnione kiedy całkowita energia w regionie rozwiązania jest minimalna. Tak więc żądamy by pochodne cząstkowe W po każdej węzłowej wartości potencjału były zero tzn.
W rozpatrywanym przykładzie do równania W
podstawiamy [C] i różniczkujemy W po V1.
![Page 33: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Otrzymujemy
czyli
Ogólnie
prowadzi do
gdzie: n - liczba węzłów w siatce.
![Page 34: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Metody
Z ostatniego równania dla wszystkich węzłów k = 1, 2, ...n otrzymujemy układ równań z którego znajdujemy rozwiązanie
Rozwiązanie może być uzyskane metodą iteracyjną lub metodą pasmową.
![Page 35: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Metoda iteracyjna
Jeżeli V1 jest węzłem swobodnym (o szukanym potencjale)
gdzie k jest węzłem swobodnym
Ogólniej w węźle k siatki o n węzłach
Ponieważ Cki = 0 jeśli węzeł k nie jest bezpośrednio połączony z węzłem i, tylko węzły połączone bezpośrednio z k mają wkład w Vk .Równanie może być użyte iteratywnie do wszystkich węzłów swobodnych.
![Page 36: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Proces iteracji zaczyna się przypisaniem znanych wartości potencjałów do węzłów ustalonych i wartości zerowych lub średnich potencjałów węzłom swobodnym ( o nieznanej wartości).
gdzie Vmin i Vmax są minimalną i maksymalną wartością V węzłów ustalonych.Z takimi początkowymi potencjałami liczone są potencjały węzłów swobodnych. W końcu pierwszej iteracji znane są nowe wartości, które w następnej iteracji zastąpią stare.Procedura jest powtarzana dopóki różnica między iteracjami nie osiągnie żądanego poziomu.
![Page 37: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Metoda pasmowa
Gdzie indeksy f and p, odpowiednio odnoszą się do węzłów o szukanym (free) i zadanym (fixed) potencjale. Ponieważ Vp jest stały, różniczkujemy po Vf i otrzymujemy
lub
![Page 38: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Warunek brzegowy Neumann’aWarunek brzegowy Neuman’a
Warunek Neumann’a (∂V/∂n = 0) może być warunkiem brzegowym lub określać symetrię problemu. Załóżmy, że region jest symetryczny wzdłuż osi y. Wprowadzamy warunek ∂V/∂x = 0 wzdłuż osi y przyjmując:
![Page 39: Metoda elementów skończonych](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062305/5681591b550346895dc643e3/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Bezpośrednie i iteracyjne metody Bezpośrednie i iteracyjne metody rozwiązywania układów
równań liniowych a macierze rzadkie
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodami MRS i MES wymaga rozwiązywania układów równań liniowych z macierzami rzadkimi. Metody rozwiązywania tych układów dzielą się na:
•metody bezpośrednie - dają rozwiązanie po skończonej liczbie kroków; wykorzystują dekompozycję Gaussa, Choleskiego itd. Podstawowa niedogodność stosowania metod bezpośrednich dla macierzy rzadkich to pojawianie się nowych niezerowych elementów w macierzy w trakcie obliczeń (ang. fill-in); •metody iteracyjne - polegają na iteracyjnym ulepszaniu przybliżonego rozwiązania do momentu osiągnięcia zadawalającej dokładności.
W każdym kroku wykorzystywana jest stosunkowo prosta procedura bazującej na iloczynie macierzy przez wektor; procedura ta nie zmienia macierzy A układu. Pozwala to zmniejszyć wymagania w stosunku do pamięci operacyjnej w porównaniu z metodami bezpośrednimi oraz lepiej wykorzystać specyficzną strukturę macierzy A. Dzięki zastosowaniu uwarunkowania wstępnego (ang. preconditioning) udaje się też zmniejszyć wymaganą liczbę iteracji. Duże układy równań, które zwykle charakteryzują się rzadkimi macierzami współczynników, rozwiązuje się przeważnie przy użyciu metod iteracyjnych .