Methoden der Psychologie Evaluation & Forschungsstrategien Prof. Dr. G. Meinhardt Johannes Gutenberg...
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Methoden derPsychologie
Evaluation&
Forschungsstrategien
Prof. Dr. G. MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz
WS2011/12
Methoden derPsychologie
Sampling - Modellvorstellung
Prinzipien des statistischen Schliessens
Population
• Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling – Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter.• Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten• sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen
SamplingStichprobe
x
Kennwerte
TheoretischeStatistik
Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben,Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt?
Methoden derPsychologie
Sampling - Modellvorstellung
Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Sampling Distribution (1D)
k- maliges Samplen von Stichproben derselben Größe n und Berechnen der Stichprobenmittelwerte führt auf eine Verteilung von Stichprobenmittelwerten (Sampling – Distribution)
Population
Stichprobe des Umfangs nx
Bilde Mittelwert
1. - mal:
2. - mal:
1x
2x
kxk. - mal:
1 1 kx x x
Methoden derPsychologie
Sampling - Modellvorstellung
Erwartungstreue
Population
k - Stichproben des Umfangs n
Mittelwerte
„Sampling Distribution“
Erwartungswert
E x Erwartungswert
E x
Die Sampling Distribution hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu.Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters
x 1 1 kx x x
Verteilung von Stichprobenmitteln
Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Methoden derPsychologie
Sampling - Modellvorstellung
Erwartungstreue:
Population
k - Stichproben des Umfangs n
Varianz
Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell: Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz 2
2s 2 2 21 2 ks s s
Verteilung von Stichprobenvarianzen
Varianz2
2 2
21
Bias E s
n
2 2
2 2
1
1
nE s
n
n
Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Methoden derPsychologie
Sampling - Modellvorstellung
Erwartungstreue:
Bias-Faktor
Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang n-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz
2 2 2 2 21xE s
n
Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte.
2 2 2 21 1nE s
n n
22 2
1
1ˆ
1 1
n
ii
ns x x
n n
Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Methoden derPsychologie
Central LimitTheorem
Die Verteilung von Sampling-Mittelwerten nähern sich mit wachsendem Umfang der Sample-Stichproben einer Normalverteilung an. Für n > 30 ist die Approximation schon gut.
0.00
0.05
0.10
Wah
rsch
ein
lich
keit
sdic
hte
x
f x
x
xxxx
Es gilt:
E x E x 1.
popx
n
2.
TheoretischeSamplingDistribution
Die theoretische Sampling Distribution ist die Grundlage des statistischen Schliessens. Aussagen über den Zusammenhang von Stichprobenmittelwerten und Populationen werden mithilfe dieser Verteilung gewonnen (Inferenzstatistischer Schluss).
Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Methoden derPsychologie
Konfidenz-Intervalle
z- Verteilung
Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Anwendung
WK-Aussagen
1 / 2 1 / 2 1x xP x z x z
1 / 2 1 / 2 1x xP z x z 2.
1.
1. Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe n vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter mit der Wahrscheinlichkeit 1- erwarten?
2. Der Populationsparameter sei bekannt. In welchem Bereich um ihn liegen Mittelwerte mit der Wahrscheinlichkeit 1-?
0x
xz
0 01P z z z
Mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für n < 50 sollte die t- Verteilung mit df = n – 1 verwendet werden.
Methoden derPsychologie
t - und F-Test
t2 – F- Äquivalenz
Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Hypothesen
Eine zweiseitige Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der t – Verteilung ist der (grundsätzlich einseitigen) Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der F - Verteilung äquivalent.
H0: H1:
0
ˆ /
xt
n
;2 1 t dfP t t t
1df n mitEs gilt
2
1;df dft F
Test- Äquivalenz:
Äquivalenz von t- und F- Test
Bemerke: 2
12 200 0ˆ
ˆ /
xt n x x
n
Methoden derPsychologie
Hypothese
Univariate Mittelwertevergleiche
t- Test für unabhängige Stichproben
0x
H0: Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null
1 1 0:H 0 1 0:H (ungerichtet)
SamplingDistribution
0.00
0.05
0.10
Wah
rsch
ein
lich
keit
sdic
hte
x
f x
x
2 x x 2 x x
Es gilt:
1. 0x 2. x wird geschätzt aus
beiden Stichproben 3. x ist t- verteilt.
[t-Test ausführlich?]
Methoden derPsychologie
Statistik
Univariate Mittelwertevergleiche
t- Test für unabhängige Stichproben
Prüfgrösse t- verteilt mit n0 + n1 – 2 FreiheitsgradenEntscheidung:
oder
x
xt
2
0 1
1 1ˆx pooled n n
;1 / 2dft t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung
P t t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung
Voraussetzung
1. Für n0 + n1 < 50 normalverteilte Stichprobendaten2. Homogene Stichprobenvarianzen3. Unabhängige Messeinheiten innerhalb und zwischen den
Samples.
a) Krit. t-Wertb) Überschreit- ungs-WK
Methoden derPsychologie
Hypothese
Univariate Mittelwertevergleiche
t- Test für abhängige Stichproben
0
H0: Der Erwartungswert der Mittelwerte von Differenzen ist Null
1 1 0:H 0 1 0:H (ungerichtet)
SamplingDistribution
0.00
0.05
0.10
Wah
rsch
ein
lich
keit
sdic
hte
f
2 2
Es gilt:
1. 0 2. wird geschätzt aus
Differenzenstichprobe 3. ist t- verteilt.
Methoden derPsychologie
Statistik
Univariate Mittelwertevergleiche
t- Test für abhängige Stichproben
Prüfgrösse t- verteilt mit n – 1 Freiheitsgraden (n = Anzahl Paare)
oder
t
2 2
0 1 0 1
12 ( , )
1s s Cov x x
n
;1 / 2dft t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung
P t t Ablehnung von H0,sonst Beibehaltung
Voraussetzung
1. Für n < 30 normalverteilte Stichprobendaten2. Homogene Stichprobenvarianzen müssen nicht
vorliegen3. Korrelation der Meßreihen erhöht die Teststärke.
Entscheidung:a) Krit. t-Wertb) Überschreit- ungs-WK
Methoden derPsychologie
Sample
Meßeinheiten
Univariate und multivariate Mittelwertevergleiche
Multivariate Mittelwertsvergleiche sind die direkte Entsprechung zu univariaten Vergleichen. Es gelten dieselben Prinzipien, lediglich angewendet auf mehrstellige Mittelwerte-Vektoren und Varianz-Covarianz Matrizen statt Varianzen.
Test-Statistik
Sampling-Distribution
univariat multivariat
unabhängig abhängig unabhängig abhängig
Differenzen von
Mittelwertengepoolte Varianzen
Mittelwerte von
Differenzen
Differenzvektor von
CentroidenGepoolte
Var-Covar Mat.
Centroidevon
Differenz-vektoren
t t T2 T2