Method of Integration and Finite Integral
-
Upload
utari-nuravifah -
Category
Documents
-
view
14 -
download
3
description
Transcript of Method of Integration and Finite Integral
METHOD OF INTEGRATION AND FINITE INTEGRAL
Matematika 1AMatematika 1AJurusan Teknik Kimia FT UGM
l d f h lIntegral dari fungsi pecah rasional
Mi l
( )⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=−−−+−
=−−−
2323
3323
23
34 111 xxxxxxxxxxx
Misal:
⎠⎝ −−− 232323 xxxxxx
(i). Semua faktor dari penyebut linier dan berlainan
C h S lContoh Soal
1x2 +∫
( )∫
+ dx1x2....dx
6x7x1x2
3 =+−
+∫
( )( )( )( )∫ +−−
+=
3x2x1xdx1x2
( )( ) ( )( ) ( )( )2x1xC3x1xB3x2xACBA1x2 +++++( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )3x2x1x
2x1xC3x1xB3x2xA3x
C2x
B1x
A3x2x1x
1x2+−−
−−++−++−=
++
−+
−=
+−−+
( )( ) ( )( ) ( )( ) 1x22x1xC3x1xB3x2xA +=−−++−++−
Jadi :
( )( ) ( )( ) ( )( ) 1x22x1xC3x1xB3x2xA +=++++
A, B, C....??? , ,
Cara 1:Cara 1:
∫∫∫∫ ⎠⎞
⎜⎝⎛−++−=
+34
1214
367
123
dxdxdxdxx∫∫∫∫ +⎠
⎜⎝−−+− 34214673 xxxxx
(ii) Semua faktor dari penyebut linier tetapi ada beberapa(ii). Semua faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapayang sama (berulang)
Contoh Soal
( )dx19x22x3 2 +∫( )( )( )
...3x2x
dx19x22x32 =
−++−
∫
( )( ) ( )22
2
3xC
3xB
2xA
3x2x19x22x3
−+
−+
+=
−++−
( )( ) ( )3x3x2x +
( )( )( ) ( )
dxdxdxxx−
+=
+−∫∫∫ 3
42
33219223
22
2
( )( ) ( )
( ) ( ) cx
xxxx
+++=
−+−+ ∫∫∫
342ln3
3232 22
( )x − 3
(iii) Beberapa faktor penyebut adalah kwadratis dan tak berulang
Untuk tiap-tiap factor yang berbentuk → nyatakan sebagai pecahan parsiil : BAx +
cbxax2 ++
Contoh Soal
...xx
dx3 =+∫
( ) CxBx1xACBxA11 22 ++++
xx +∫
( )( )
( )1xxCxxx
1xCx
x1xxxx 2223 +=
++=
+=
+
∫∫ ⎥⎤
⎢⎡ dx1dx∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+−=
+dx
1xxxx 23
( ) ( ) c1xln21xln
1x1xd
21xln 2
2
2
++−=++
−= ∫ 21x2 +
cxln2
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1x2 ⎥⎦
⎢⎣ +
( )(iv). Beberapa faktor penyebut adalah kwadratis dan berulang
Untuk faktor kwadratis dengan bentuk yang berulang n kali dalam penyebut pada pecahan rasional yang proper ditulis sebagaipenyebut pada pecahan rasional yang proper → ditulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk :
BABABA
( ) ( )n2
nn22
222
11
cbxax
BxA...
cbxax
BxAcbxax
BxA
++
+++
++
++
+++
Contoh Soal
3xx2 3 ++∫ ( )
...dx2x
3xx222
=+
++∫
( ) ( )( )( )
( )22
2
22222
3
2xDCx2xBAx
2xDCx
2xBAx
2x3xx2
+
++++=
+
++
++
=+
++
( ) ( ) ( )2x2x2x2x ++++
( ) ( ) 3xx2DB2xCA2BxAxDCxB2Ax2BxAx 32323 ++=+++++=+++++ ( ) ( ) 3xx2DB2xCA2BxAxDCxB2Ax2BxAx ++=+++++=+++++
2A = C41CA2 +==+ 3C −=0B = 3B2D =+ 3D =
( )∫∫∫
+−+
++3 dx3x3xdx2d3xx2( )
( )( )∫∫∫ +
++
=+
22222 2x2xdx
2x
( ) ( ) c2xln2xdxdx2 22
2
2 ++=+
= ∫∫ ( ) c2xln2x2x 22 ++
++ ∫∫
( ) ( ) dd1d33( )( )
( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +
++
−=+−
−=+
+−2222222 2x
dx32x
xdx3dx2x1x3
2xdx3x3
( ) x23x332ld3xx2 23 ⎞
⎜⎛++
∫ ( )( ) ( ) ( ) c
2arctg
82x42x22xlndx
2x 222
22+
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
++
+++=
+∫
( ) ( )( ) c
2xarctg
823
2x42x32xln 2
2 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
++
++= ( ) 282x4 ⎠⎝+
l d i f i i i lIntegral dari fungsi irrasional
(i). Integral dari bentuk :
⎤⎡
∫ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ dx
baxbax,xF
qp
dimana p dan q bilangan bulat.
⎦⎣⎠⎝
Substitusi : qubax=
+Substitusi : qu
bax=
−
C t h S l
d4x1 +∫
Contoh Soal
...dx1xx
=+∫
d4x1 +∫ Substitusi : 2u4x + 2 4ux −
=...dx1xx
=+∫ Substitusi : u
1x=
+ 2u1x
−=
( )42 2 ⎤⎡ ( )( )
( ) duu2u1
4uu1u2dx 22
2
2⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−
−−
−=
( ) ( )2222
22
u1duu6du
u14uu1u2
−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+−=
( ) ( )u1u1 −⎥⎦⎢⎣ −
( )∫∫∫
−⎤⎡ − duuduuduu6u1 222
∫+x 41 ( )
( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫ −−=
−−−=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=4u1u
duu64uu1
duu6u1
duu6u4u
u12222222∫ +
+ dxxx
x 141
⎤⎡ 1111
∫⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−+
−−
++
−
−= du
2u31
2u31
1u61
1u61
6 c2u2uln2
1u1uln +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+−
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+
=
⎥⎦⎢⎣
Contoh Soal
d( )
...1x4x2x
dx2
=+−−∫
∫dx duu
du2 −
−
∫∫( )∫+−− 142 2 xxx
dx ...u31
du
u311
u2
21
2
2
=−
=
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= ∫∫
uu 2⎠
⎜⎝
C t h S lContoh Soal
Fungsi rasional dari sin x dan cos x
2 x2
2 2
2
sin 1 cos22 1 coscos
2
xx xu tg x x
−= = =
+2
Integral Fungsi Ekponensial dan logaritmik
∫ cedue uu +=∫bu
∫
1.
cbln
bdubu +=∫2.
bukti:ln ln
l
bukti:uu b u b
b
b du e du e du= =∫ ∫ ∫ln
ln1 ( ln )ln ln ln
u b uu b e be d u b
b b b= = =∫
I i f i hi b likIntegrasi fungsi hiperbolik
Rumus Dasar
eeusinhuu −−
=uu eeuctgh
−+=2
ee uu −+
uu eeuctgh −−=
22eeucosh +
= uu ee2uhsec −+
=
uu
uu
eeeeutgh −
−
+−
=uu ee
2uechcos −−=
Refreshing: Tentukan integral berikut
∫ 2
2 2
1. sin
2 x
x xdx
d
∫∫ 2 22. xx e dx∫
Ingat integral parsial sbg salah satu metode penyelesaian integrasi:
udv uv vdu= −∫ ∫udv uv vdu∫ ∫
INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU
Bentuk umum intergral tertentu
[ ]( ) ( ) ( )( )b b
aa
f x dx f b f aF x= = −∫a
a disebut batas bawah
b disebut batas bawah
F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)
F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = bF(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b
F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a
INTEGRAL TERTENTU
• Sifat‐sifat intergral tertentu
1. ∫ ∫−=b a
dxxfdxxf )()(
2.
∫ ∫a b
ff )()(
∫ ∫ ∫ ∠∠+=c b c
cbadxxfdxxfdxxf ;)()()(
3.
∫ ∫ ∫a a b
fff ;)()()(
∫ =a
dxxf 0)(
4.
∫a
∫ ∫=b b
Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(4. ∫ ∫a a
Konsantakdxxfkdxxkf )(;)()(
Hal.: 30 Integral
Contoh :
∫2
3d 2 Tentukan nilai dari d)32(1
2∫1.Tentukan nilai dari ∫1
3dxx
Penyelesaian
2. Tentukan nilai dari
Penyelesaian
dxxx )32(0
2∫ +
24
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ x
y
∫2
3dxx =
y
dxxx )32(1
0
2∫ + = [ ]1032 xx +12 ⎥⎦⎢⎣∫
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 44 1
412.
41
=
0
=
= ( ) ( )3232 00311 +−+
( ) 011+4 -
41
==
= ( ) 011 −+
2
=433