Merev testek mechanikája11 A Formula–1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre...
Transcript of Merev testek mechanikája11 A Formula–1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre...
9. évfolyamon egész tanév során mechani-
kával foglalkoztunk. Először olyan jelen-
ségeket vizsgáltunk, amelyekben a testek
pontszerűnek tekinthetők. A tömegpont-
modell használata megkönnyíti a testek
mozgásának leírását, valamint a mozgást
leíró fogalmak kö zötti kapcsolatokat fel-
táró törvények megfogalmazását. Később
a tömegpont mozgásának és nyugalmi
helyzetének okát is megismertük. Több
tömegpontból álló rendszer (pontrend-
szer) dinamikai leírását is elsajátítottuk.
Testek viszont lehetnek olyan hely-
zetben is, amelyben a tömegpontmodell
használata nem vezet eredményre. A ki-
terjedt testek számos jelenség során
viselkedhetnek merev testként. 9. év-
folyamon megfogalmaztuk már a
merev test egyensúlyának feltéte-
lét, most a dinamikájával fogunk
megismerkedni.
Egyensúly Forgómozgás
Perdület
Me
re
v t
es
tek
me
ch
an
iká
ja
z tanév során mechani-
k. Először olyan jelen-
k, amelyekben a testek
thetők. A tömegpont-
megkönnyíti a testek
át, valamint a mozgást
ötti kapcsolatokat fel-
gfogalmazását. Később
gásának és nyugalmi
s megismertük. Több
rendszer (pontrend-
rását is elsajátítottuk.
lehetnek olyan hely-
n a tömegpontmodell
zet eredményre. A ki-
mos jelenség során
ev testként. 9. év-
almaztuk már a
lyának feltéte-
kájával fogunk
Egyensúly Forgómozgás
Perdület
fiz-12e_1-51.indd 7 2016.07.04. 19:43:18
Mi a helyes módja nehéz tárgyak helyes
emelésének?
M
em
A merev test egyensúlya (Ismétlés)
1.leckeA Formula–1-es versenyautókat a mérnökök a
lehető legkönnyebbre tervezik. Ezután nehezé-
keket rögzítenek a legalacsonyabban lévő helyek-
re. Mi lehet ennek az oka?
Merev test fogalma, egyensúlyának
feltételei
Számos jelenség lefolyásakor a kiterjedt testek mé-
rete, alakja, tömegeloszlása nem változik. Ilyen je-
lenségek során a kiterjedt testet merev testnek ne-
vezzük.
Egy kiterjedt testet merev testnek tekinthetünk,
ha a rá ható erők hatására sem mérete, sem alakja,
sem tömegeloszlása nem változik meg jelentősen.
Másképp fogalmazva: kölcsönhatásban a test
pont jainak egymástól való távolsága nem vál-
tozik.
Merev test a haladás szempontjából akkor van
egyensúlyban, ha a rá ható erők vektori eredője
nulla:
∑ F = 0
Merev test forgás szempontjából akkor van egyen-
súlyban, ha a rá ható forgatónyomatékok előjeles
összege (tetszőleges vonatkoztatási pontra vonat-
koztatva) nulla:
∑ M = 0
Összefoglalva, egy merev test egyensúlyának fel-
tételei:
∑ F = 0, ∑ M = 0
Fontos megjegyezni, hogy az egyensúly és a nyuga-
lom nem ugyanazt jelenti. Egy test mozgásállapota
nem változik, amikor egyensúlyi helyzetben van.
Egyensúlyi helyzetben sem haladási, sem forgási
mozgásállapota nem változik.
∑ F = 0 v = állandó
∑ M = 0 ω = állandó
Tehát a nyugalomban lévő test egyúttal egyensúly-
ban is van, de az egyensúlyban lévő test nem feltét-
lenül van nyugalomban is.
fiz-12e_1-51.indd 8 2016.07.04. 19:43:24
9
KIDOLGOZOTT FELADAT
Egyenletes anyageloszlású hosszú pálcát támasz-
tunk a nagyon sima falnak. Mekkora a pálca és a
vízszintes padló közötti tapadási súrlódási együtt-
ható, ha a pálca a fallal legfeljebb 40°-os szöget
zárhat be megcsúszás nélkül?
MEGOLDÁS
Adatok: α = 40°. _____________
μ0 = ?
Készítsünk ábrát, és rajzoljuk be a pálcára (merev
testre) ható erőket!
A pálcára négy erő hat:
– nehézségi erő: mg,
– a sima (súrlódásmentes) faltól származó nyomó-
erő: K1,
– a talajtól származó nyomóerő: K2,
– a talajtól származó tapadási súrlódási erő: Ftap.
Egyensúlyi helyzetek vizsgálata
Felfüggesztett, vagy alátámasztott testre csak két,
azo nos hatásvonalú erő hat, a nehézségi erő és a
tartó erő. A test súlya a tartóerő ellenereje (ilyenkor
a felfüggesztésre, vagy alátámasztásra ható erő a
súly).
A nyugalomban lévő testre ható nehézségi erő
és a tartóerő közös hatásvonalát súlyvonalnak
nevezzük. Minden testnek végtelen sok súly-
vonala lehet, de mind egy ponton, a súlyponton
halad át.
Homogén nehézségi erőtérben a súlypont és az
úgynevezett tömegközéppont megegyezik, ez a
pont a testre ható nehézségi erő támadáspontja.
A súlypont (illetve a tömegközéppont) úgy viselke-
dik, mintha a merev test összes tömege benne len-
ne koncentrálva.
Hogyan változik a test helyzeti energiája, ha kitérítjük
egyensúlyi helyzetéből?
Merev test egyensúlyi helyzeteit a következő
módon osztályozhatjuk. A testet egyensúlyi hely-
zetéből kissé kimozdítjuk, majd magára hagyjuk.
Ekkor a test visszatérhet az egyensúlyi helyzetébe,
de az is lehet, hogy még messzebbre kerül az előző
egyensúlyi állapotától.
Egy merev test lehetséges egyensúlyi helyzetei:
Stabil (biztos): A testet egyensúlyi helyzetéből
kissé kimozdítva, majd magára hagyva, a test
visszatér eredeti helyzetébe.
Labilis (bizonytalan): A testet egyensúlyi helyze-
téből kissé kimozdítva, majd magára hagyva,
a test a kitérítés irányában tovább mozog.
Indiff erens (közömbös): A testet egyensúlyi hely-
zetéből kissé kimozdítva, majd magára hagyva,
a test a kimozdított helyzetében marad egyen-
súlyban.
A pálca egyensúlyban van, ezért a rá ható erők ere-
dője nulla: ∑ F = 0
Vízszintes irányban: K1 = Ftap (1)
Függőleges irányban: K2 = mg (2)
Merev test súlyvonalai egy ponton haladnak át
S
0SS
0
S = 0
K1
K2
(A )
Ftap
mg
α
A merev test egyensúlya
(Ismétlés)1.
9
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 9 2016.07.04. 19:43:26
10
Arkhimédész (Kr. e. III. évszázad) görög természettudós alapozta meg
a statikának (vagyis a testek egyensúlyának) a tudományát. Bevezet-
te a tömegpont fogalmát, emelőket, csigasorokat alkotott. A legenda
szerint Szürakusza védelmére olyan daruszerű – valószínűleg csiga-
sorokat tartalmazó – szerkezeteket készített, amelyek egész hajókat
képesek voltak felborítani. Neki tulajdonítjuk a következő kijelentést:
„Adjatok egy fi x pontot, és én kifordítom sarkaiból a világot.”
Gyorsan változó világunkban is fontos szerep jut a nyugalomnak,
vagy a bővebben értelmezett egyensúlynak. Gyermekkorunkban mér-
leghintázás során megtapasztalhattuk az egyensúlyi helyzet feltételét.
Szinte mindennap használunk olyan erőátviteli eszközt, egyszerű gé-
pet, amely alkalmas egy erő irányát kedvezőbbé tenni vagy nagyságát
csökkenteni.
Emelőrendszerű gépek közé tartozik az egyoldalú emelő (feszítő-
vas, talicska, sörnyitó, diótörő) és a kétoldalú emelő (gémes kút, karos
mérleg, sorompó, villás evezőlapát, állócsiga, mozgócsiga, hengerke-
rék, csigasorok). A lejtőrendszerű gépek a lejtő, az ék és a csavar.
Mindegyikre számtalan további példát tudunk még sorolni. Az egy-
szerű gépek többségét már az ókorban is ismerték, de használatuk
manapság is nélkülözhetetlen.
Az egyszerű gépek mai modern eszközeinkben is jelen vannak, azon-
ban sokszor nem látjuk őket, mert valamilyen borítás rejti el látvá-
nyukat a szemünk elől. Néha nem is sejtjük, milyen bonyolult szer-
kezeteket alakítanak ki egyszerű gépek kombinációjából. Például a
zongora billentyűjét leütő erőt emelőkből álló bonyolult rendszer
közvetíti a húrt megütő kalapácsig. Az edzőtermekben lévő gépek
nagy részénél több alkatrész mellett csigák is vannak, amelyek egy-
részt a kifejtendő erő irányát hivatottak megváltoztatni (álló csigák),
másrészt változtatható velük az erő nagysága is (mozgó csigák).
Egyensúly esetén bármely (a talajhoz képest álló)
vonatkoztatási pontra nézve a forgatónyomatékok
előjeles összege is nulla: ∑ M = 0
Vonatkoztatási pontnak olyat célszerű választa-
ni, amelyen a meghatározandó erő halad át, így
egyszerűbb lesz a megoldásunk. Válasszuk vonat-
koztatási pontnak a pálcának talajjal érintkező (A )
pontját. Ezen a ponton két (K2, Ftap) ismeretlen
nagyságú erő hatásvonala is átmegy. Az A-pontra
vonatkoztatva az mg nehézségi erő erőkarja l
2 · sin α,
a K1 erőé l · cos α.
Ezek után írjuk fel az A pontra a forgatónyoma-
tékok előjeles összegét!
mg · l
2 · sin α – K1 · l · cos α = 0 (3)
Használjuk fel a (3) egyenletben az (1) egyenletet:
mg · l
2 · sin α – Ftap · l · cos α = 0
Egyszerűsítsünk, majd használjuk fel, hogy a tapa-
dási súrlódási erő kényszererő, valamint a (2)
egyenletet:
mg · l
2 · sin α ≤ Ftap max · cos α = μ0 · K2 · cos α =
= μ0 · mg · cos α
Újabb egyszerűsítést és rendezést követően meg-
kapjuk a pálca és a vízszintes padló közötti tapadá-
si súrlódási együttható értékét:
μ0 = tg α2
= tg 40°
2 ≈ 0,42
Távolra vető ostromgép a középkorból
Mit jelent a szerpentin elején lévő
speciális közlekedési táblán olvasható
12%?
OlvasmányStatikai ismeretek a hétköznapokban
merev test egyensúlya
métlés)
Egy
A m
(Is
10
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 10 2016.07.04. 19:43:26
1 1
A Formula–1-es versenyautókat a mérnökök a lehető legkönnyebbre tervezik. Ezután nehezékeket
rögzítenek a legalacsonyabban lévő helyekre, hogy a jármű súlypontja minél közelebb legyen a talajhoz,
mert ekkor a kocsi jobban fekszik az úton, nehezebben borul fel.
Azt gondolhatnánk, hogy a mechanika területén már nincs lehetőség új ismeretek felfedezésére. Erre
cáfolt rá két magyar kutató, Domokos Gábor és Várkonyi Péter, akik 2007-ben fedezték fel a gömböcöt.
A gömböc egy olyan konvex, homogén anyagú test, ami pontosan azt tudja, amit az inhomogén anyagel-
oszlású keljfeljancsi. A gömböcnek egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van. Gömböcszerű formát
találunk a természetben is. Vannak olyan szárazföldi teknősfajok, amelyek páncélzata hozzávetőlegesen
gömböc alakú. Ez a forma segíti a teknősöket a hátukról a hasukra fordulni.
A gömböc és a „gömböc alakú” teknős
…és egy teknősbékaA Gömböc…
Lakóépület Montrealban
Tárgyak emelésének helytelen és helyes módja
Nap mint nap előfordulhat, hogy nehezebb tárgya-
kat kell megemelni. Nagyon fontos szabály, hogy
nyújtott lábbal, előrehajolva ne emeljünk nehéz tár-
gyat! Ilyenkor olyan erők jelennek meg a gerincoszlo-
punkban, amelyek a csigolyák közötti porckorongot
(kocsonyás anyag) kigyűrik a helyéről. A gerincün-
ket egyenesen tartva, térdünket behajtva nyúljunk
le a felemelendő tárgyért. A tárgyak helyes emelé-
sére már fi atalon érdemes odafi gyelni.
Az építészet alaptudománya a statika. Lenyűgöző
a hatalmas épületeink látványa. Megtervezésük,
megépítésük a természet törvényeinek ismerete
nélkül nem lenne lehetséges.
(Ismétlés)1.
11
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 11 2016.07.04. 19:43:28
12
1 Európa legnagyobb rágcsálói, a folyóparton
élő hódok által kidöntött fák többnyire a víz
felé esnek. Mi lehet ennek az oka?
Kérdések és feladatok
4 Legalább mekkorának kell lennie egy homo-
gén anyageloszlású kocka lapjának és a víz-
szintes asztallap közötti tapadó súrlódási
együtthatónak, hogy a kockát a felső lapjára ható
vízszintes erővel megcsúszás nélkül felboríthas-
suk?
5 A 10 kg tömegű létrát a teljesen sima falnak
támasztjuk úgy, hogy a létra 30°-os szöget
zár be a fallal. A létra és a padló közötti ta-
padási súrlódási együttható 0,5. Legfeljebb a létra
mekkora hosszán lépkedhet végig egy 80 kg-os
szobafestő annak megcsúszása nélkül?
6 Négy azonos méretű könyvet helyezz el egy-
máson – a képen látható módon – az asztal
szélén!
El lehet úgy helyezni őket, hogy a
legfelső könyv teljes egészében
az asztallapon túlra lóg-
jon? (d > L) Megfi gye-
lési tapasztalatodat
ellenőrizd számítás-
sal is!
L
d
2 A híd negyedénél megáll egy 12 tonnás ka-
mion. Mekkora többletterhelést okoz ez a
híd végeinél lévő pilléreknek?
3 Mekkora tömegű gyerek ül a 3 m hosszú,
egyensúlyban lévő, 12 kg tömegű mérleghin-
ta egyik végén, ha az alátámasztási ponttól
1,2 m távolságra lévő másik végén összesen 24 kg
tömegű gyerekek helyezkednek el?
métlés)
A m
(Is
12
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 12 2016.07.04. 19:43:34
13
2.lecke
A forgómozgás kinematikai leírása
Milyen pályán mozog a haladó
kerékpár szelepsapkája?
M
k
Megismertük a kiterjedt testek egyik modelljét,
a merevtest-modellt. Azt is tudjuk már, hogy mik
a merev test egyensúlyának feltételei. Vajon ho-
gyan mozognak a merev testek, amikor nincsenek
egyensúlyban?
Kétszer nagyobb sugár esetén hányszoros lesz a kerületi
sebesség?
T ( f; ω)
R1
R2v1
v2
Merev test tengely körüli forgó-
mozgása
Egy merev test – akár egyensúlyi helyzetében is – a
haladó mozgása mellett akár forgómozgást is vé-
gezhet.
Egy merev test forgómozgást végez, ha a test
minden pontja egy-egy körmozgást végez egy
adott egyenes körül, amely egyenest forgásten-
gelynek nevezünk.
A rögzített tengely körül forgó test legyen egyen-
súlyban! (Ennek az a feltétele, hogy valamely vo-
natkoztatási pontra nézve a testre ható forgatónyo-
matékok előjeles összege nulla legyen.) Ekkor a test
minden pontja egyenletes körmozgást végez.
A körpályák R sugarai ugyan lehetnek különbö-
zőek, de a mozgás több jellemzője ugyanaz: a T
periódusidő, f frekvencia, ω szögsebesség.
Ezeket a jellemzőket a forgómozgás jellemzői-
nek is tekintjük.
Érdemes felidézni a fenti mennyiségek közötti
kapcsolatokat:
f = 1
T, ω =
2πT
= 2π · f
Az egyenletes forgómozgást végző merev test
pontjainak kerületi sebessége és centripetális
gyorsulása is arányos a körpálya sugarával:
vker = ω · R, acp = ω2 · R
13
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 13 2016.07.04. 19:43:39
14
2. A forgómozgás kinematikai leírása
A mai elektronikus zenében ismét divatba jött a mikro-
barázdás (helyesen vinilből, és nem bakelitből készült)
hanglemezek használata. Járj utána, hogy ki, mikor és
hol fejlesztette ki a mikrobarázdás hanglemezt!
vkerv
v0
v0
A kerék pontjai összetett mozgást végeznek
A kerék tisztán gördül
v0
v0vker
ωR
Kerék tisztán gördülése
Mechanikai problémák vizsgálatánál gyakran elő-
fordul olyan, hogy egy jármű kerekeken mozog.
Vizsgáljuk meg alaposabban egy kerék sík talajon
való egyenletes mozgását!
A talajhoz képest csak a kerék tengelye mozog
egyenletesen v0 sebességgel. A kerék többi pontja a
tengely körül egyenletes körmozgást végez. Így a
kerék többi pontjának sebességét a tengely állandó
v0 és a folyton változó irányú vker kerületi sebesség
együtt alakítja ki:
v = v0 + vker
Egy kerék tisztán gördül a sík talajon, ha a kerék
nem csúszik meg, nem pörög ki, azaz a kerék ta-
lajjal érintkező pontja a talajhoz képest áll.
Vizsgáljuk meg a kerék tisztán gördülésének felté-
telét! A jelenség fenti megfogalmazásából érdemes
kiindulni. A kerék legalsó pontja – mint a többi
is – összetett mozgást végez: Egyrészt a tengely v0
állandó nagyságú, menetirányba mutató sebességé-
vel rendelkezik. Másrészt a tengely körüli forgása
miatt a menetiránnyal ellentétesen mutató vker ke-
rületi sebessége is van. A két sebesség vektori ere-
dőjének nullának kell lennie, így lehet igaz az, hogy
a kerék talajjal érintkező pontja a talajhoz képest
áll:
v = v0 + vker
= 0
Mivel a két sebesség ellentétes irányú, ezért a
nagyságuk azonos kell legyen:
v0 = vker (= ω · R)
Egy kerék tisztán gördül a sík talajon, ha a kerék
sebessége (tengelyének sebessége) és a kerék ke-
rületi pontjának sebessége azonos nagyságú.
KIDOLGOZOTT FELADAT
Kerék v0 állandó nagyságú sebességgel tisztán gör-
dül a vízszintes talajon. Add meg az ábrán jelölt
(A, B, C, D) pontok talajhoz viszonyított sebessé-
geit!v0
C
B
D
ω
AR
MEGOLDÁS
Adatok: v0._________________________
vA = ?; vB = ?; vC = ?; vD = ?
A kerék tisztán gördülése miatt fennáll a következő
kapcsolat: v0 = ω · R
A pont sebessége: v0, hiszen a kerék sebességét a
tengelyének sebességével azonosítjuk. vA = v0
B pont sebessége: 0, a tisztán gördülés pont ezt je-
lenti. vB = 0
C pont sebessége: 2 · v0, vC = 2 v0
14
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 14 2016.07.04. 19:43:41
15
2. A forgómozgás kinematikai leírása
A szöggyorsulás
A továbbiakban azt fogjuk vizsgálni, hogyan mo-
zog egy tengellyel ellátott merev test, ha nincs
egyensúlyban, azaz a rá ható forgatónyomatékok
előjeles összege nem nulla: ∑ M ≠ 0
KÍSÉRLET
A forgómozgás kísérleti vizsgálatára alkalmas esz-
köz tárcsájára tekert fonalat egy állócsigán átvetjük,
és a végére egy nehezéket akasztunk.
Igazolás (1. módszer):
A kerék legfelső (C) pontja összetett mozgást vé-
gez: v = v0 + vker
. Mindkét sebességkomponens
azonos nagyságú (v0) a tisztán gördülés miatt, és
mindkettő menetirányba mutat.
Igazolás (2. módszer):
Tisztán gördülés során a kerék talajjal érintkező
pontja a talajhoz képest áll. A kerék minden más
pontja e pont körül végez ω szögsebességű kör-
mozgást. Azt mondhatjuk, hogy a kerék talajjal
érintkező pontja pillanatnyi forgástengelyként vi-
selkedik. Ezek alapján a C pont sebessége a talajhoz
képest:
vc = (2 R) · ω = 2 · (R ω) = 2 · v0
D pont sebessége: 2 · v0
Igazolás (1. módszer):
A kerék szélének a tengellyel azonos magasságában
lévő (D) pontja is összetett mozgást végez:
v = v0 + vker
Mindkét sebességkomponens azonos nagyságú (v0)
a tisztán gördülés miatt, és merőlegesek egymásra.
Igazolás (2. módszer):
Használjuk fel ismét, hogy a kerék talajjal érintke-
ző pontja pillanatnyi forgástengelyként viselkedik.
Ezek alapján a D pont sebessége a talajhoz képest:
vD = ( 2 R) · ω = 2 · (R ω) = 2 · v0
C
B
DAv0
v0
v0
vkervker
vA = v0
vC = 2 · v0
vD = 2 · v0
vB = 0
Igazolás 1. módszere
Igazolás 2. módszere
C
B
DA2R
vB = 0
vA = v0 = R · ω
vD = 2 · R · ω = 2 · v0
vC = 2 · R · ω = 2 · v0
A sík talajon tisztán gördülő kerék egyik kerü-
leti pontját jelöljük meg! A kerék tisztán gördülése
során a megjelölt pont által rajzolt görbét (csúcsos)
cikloisnak nevezzük. Érdemes végiggondolni azt
is, hogy milyen cikloist rajzol ki a megjelölt pont,
ha távolsága a tengelytől kisebb, illetve nagyobb a
sugárnál.
Tisztán gördülő R sugarú kerék kerületi pontja által raj-
zolt ciklois. Milyen távol van egymástól a két szomszédos
csúcs?
Forgómozgás vizsgálata
TAPASZTALAT
A fonál végére erősített nehezéket elengedve, az
egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást vé-
gez a gyorsulással.
15
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 15 2016.07.04. 19:43:42
16
2. A forgómozgás kinematikai leírása
KÖVETKEZTETÉS
Amennyiben a fonál nem csúszik a tárcsán, úgy a
nehezék a gyorsulása megegyezik a tárcsa kerületi
pontjainak érintőirányú (tangenciális) gyorsulásá-
val: atg
A körpályán mozgó tömegpontnak kétféle gyor-
sulása lehet:
Az acp centripetális gyorsulás a kör középpontja
felé mutat, és a kerületi sebesség irányának meg-
változásáért felelős.
Az atgtangenciális gyorsulás a kör érintőjének irá-
nyába mutat, és a kerületi sebesség nagyságának
megváltozásáért felelős.
A gyorsulást a két komponens eredőjeként kap-
juk, amelynek abszolút értéke: a = a 2 cp + a
2 tg
Változó körmozgás gyorsulása
a
atg
acp
Írjuk fel egymás alá a szögelfordulást és szögse-
bességet megadó egy-egy összefüggést, majd hasz-
náljuk fel a tömegpont kinematikájánál megismert
törvényeket (s = 1
2 at 2, v = a · t):
a = Δi
R =
1
2atg · t
2
R
atg
R
1
2·= · t 2
ω = v
R =
atg · t
R
atg
R= · t
Az atg
R kifejezésnek önálló jelentése van: szöggyor-
sulás: β = atg
R
Egy pont (merev test) szöggyorsulásának szám-
értéke megmutatja, hogy mennyit változik a pont
(merev test) szögsebessége másodpercenként.
A szöggyorsulás jele: β .
Mértékegysége: 1
s2.
β = ΔωΔt
Tömegpont és merev test
kinematikájának összehasonlítása
Tömegpont haladó és merev test forgómozgását
leíró fogalmak és a fogalmak közötti kapcsolatokat
feltáró összefüggéseket tartalmazza a következő
táblázat:
Haladó mozgás Forgómozgás
Fogalmak t, r , v , a t, α, ω, β
Törvényekv(t) = v0
+ a · t
r (t) = r0 + v0
· t + 1
2 · a · t 2
ω(t) = ω0 + β · t
α(t) = α0 + ω0 · t + 1
2 · β · t 2
A haladó és forgómozgás kinematikáját összefoglaló
táblázat
Az egyenletesen változó körmozgás (forgómoz-
gás) kinematikai leírása nem véletlenül hasonlít a
haladó mozgás leírásához:
α(t) = 1
2 · β · t 2 ; ω(t) = β · t, ha kezdetben ω0 = 0
Amennyiben ω0 ≠ 0, a változó körmozgás (forgó-
mozgás) kinematikai leírása:
α(t) = ω0 · t + 1
2 · β · t 2 ; ω(t) = ω0 + β · t
Hány fordulatot tesz meg a kis kerék, míg a nagy egyet, ha
a nagy kerék sugara Rn, a kis kerék sugara Rk?
16
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 16 2016.07.04. 19:43:43
17
2. A forgómozgás kinematikai leírása
1 Mikrobarázdájú hanglemez lejátszási fordu-
latszáma 331
3
1
min. A barázdák legnagyobb
átmérője 29,5 cm, a legkisebb 15,5 cm.
a) Mekkora a korong forgásának periódusideje,
szögsebessége?
b) Mekkora a tű lemezhez viszonyított legnagyobb
és legkisebb sebességének aránya?
2 A Földet modellezhetjük a következőkép-
pen: R = 6 370 km sugarú gömb, forgási pe-
riódusideje 24 óra. Budapest a 47,5° széles-
ségi körön van.
a) Mekkora az egyenlítői pont kerületi sebessége?
b) Melyik szélességi körön van az a pont, amelynek
sebessége az a) feladatrészben kapottnak éppen a
fele?
c) Mekkora Budapest „kerületi sebessége”?
3 Egy kerék v állandó sebességgel tisztán gör-
dül a vízszintes talajon. Hol vannak a keré-
ken azok a pontok, amelyeknek a sebessége
szintén v?
Kérdések és feladatok
4 Egy kerékpár kereke tisztán gördül a vízszin-
tes talajon. Mekkora v sebességgel halad
egyenletesen a vizsgált (sárvédő nélküli) ke-
rékpár, ha R = 35 cm sugarú első kerekének legfel-
ső pontjáról egy kis sárdarab válik le, majd az út-
testre eső kis sárdarab éppen a keréknek ugyanarra
a pontjára tapad vissza, amelyikről „lerepült”?
5 Járj utána szakkönyvekben, interneten a
ciklois görbe tulajdonságainak!
6 Egy autó sebessége egy pillanatban 72
km
h,
gyorsulása 2 m
s2. Mekkora a gyorsulása a
70 cm átmérőjű kerék legfelső pontjának?
7 A patak vizét elterelve, az addig 3 másodper-
ces periódusidővel forgó vízikerék egyenle-
tesen lassulva 6 másodperc alatt megáll.
Hány fordulatot tesz meg a vízikerék a megál-
lásig?
17
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 17 2016.07.04. 19:43:44
Milyen mozgást végez a hófödte lejtőn
leguruló hógolyó?
M
le
A forgómozgás alapegyenlete
3.leckeA kerekes kút hengerére tekert kötél végén egy
vízzel telt vödör függ. A kút kerekére általunk
kifejtett megfelelő erő forgatónyomatéka bizto-
sítja a vödör egyensúlyát (nyugalmát, illetve
egyenletes fel-le mozgását). A kereket elenged-
jük, a vödör gyorsulva zuhan, a kerék gyorsulva
forog. Mitől függ a kerék gyorsuló forgása?
Tömegpont gyorsítása körpályán
Forgatónyomaték és szöggyorsulás
Ismerjük a rögzített tengely körül elforgatható tö-
megpont egyensúlyának feltételét. Amennyiben a
tömegpontra ható forgatónyomatékok előjeles össze-
ge nulla, akkor a test forgási állapota nem változik:
∑ M = 0 Δω = 0
Ezek után feltételezhető: amennyiben a tömeg-
pontra ható forgatónyomatékok előjeles összege
nem nulla, akkor a test forgási állapota változik:
∑ M ≠ 0 Δω ≠ 0
GONDOLATKÍSÉRLET
Vizsgáljuk azt a merev testet, mely áll egy rögzített
tengelyből, egy erre merőlegesen erősített r hosszú-
ságú rúdból, valamint a rúd másik végén lévő m
tömegű pontszerű testből! A tengely és a rúd töme-
ge elhanyagolható, valamint a tengely körüli forgás
súrlódásmentes. Hasson az m tömegű pontszerű
testre folyamatosan állandó nagyságú, érintőirányú
F erő!
TAPASZTALAT
A test egyenletesen változó körmozgást fog végezni.
Newton II. törvényét használva:
F = m · atg
A fenti egyenletből nyert skaláregyenlettel dol-
gozzunk tovább, valamint használjuk fel a tangen-
m
βF
r
fiz-12e_1-51.indd 18 2016.07.04. 19:43:46
19
3. A forgómozgás alapegyenlete
ciális gyorsulás, a szöggyorsulás és körpálya sugara
között lévő atg = r · β összefüggést:
F = m · atg
F = m · r · β
Az F erőnek a tengelyre vonatkoztatott erőkarja
r, így forgatónyomatéka: M = F · r
Ezt felhasználva:
M = mr2 · β
KÖVETKEZTETÉS
Rögzített tengely körül forgatható tömegpont
állandó forgatónyomaték hatására egyenletesen
gyorsuló forgómozgást végez. Az M forgatónyo-
maték és a β szöggyorsulás hányadosa állandó. Az
arányossági tényezőt a tömegpont m tömege és a
tengelytől való r távolsága határozza meg.
M
β = m · r2 = állandó
M
β
Merev test gyorsuló forgása
β
mi
ri
Merev test felosztása sok pici részre
Forgómozgás alapegyenlete
Most térjünk át a rögzített tengely körül forgatha-
tó merev test dinamikájának vizsgálatára!
Ismerjük a rögzített tengellyel rendelkező merev
test egyensúlyának feltételét. Amennyiben a merev
testre ható forgatónyomatékok előjeles összege nul-
la, a test forgási állapota nem változik:
∑ M = 0 Δω = 0
Ezek után most is feltételezhető: amennyiben a
merev testre ható forgatónyomatékok előjeles össze-
ge nem nulla, akkor a test forgási állapota változik:
∑ M ≠ 0 Δω ≠ 0
GONDOLATKÍSÉRLET
Vizsgáljuk a rögzített tengely körül súrlódásmen-
tesen forgatható merev testet! Hasson a testre egy
állandó nagyságú (tengelyre vonatkoztatott) M for-
gatónyomaték!
TAPASZTALAT
A merev test a rá ható M forgatónyomaték hatásá-
ra β szöggyorsulású egyenletesen változó forgó-
mozgást fog végezni.
Osszuk fel az m tömegű testet N darab olyan
kicsi részre, hogy a kicsi részek már pontszerűnek
tekinthetők legyenek:
m = m1 + m2 + … + mi + … mN, illetve ezt röviden
jelölve: m = ∑N
i = 1
mi.
Az mi tömegrész távolságát a forgástengelytől jelöl-
jük ri-vel!
Mindegyik mi tömegrész ugyanakkora β szög-
gyorsulású egyenletesen változó körmozgást fog
végezni. Az előző részben megismertük, hogy az mi
tömegrész β szöggyorsulásáért Mi forgatónyomaték
a felelős:
Mi = mi · r 2 i · β
Használjuk fel, hogy az egyes mi tömegrészekre
ható Mi forgatónyomatékok összege a merev testre
ható M forgatónyomatékot adja: M = ∑N
i = 1
Mi
M1 + M2 + … + MN =
= m1r 2 1 · β + m2r
2 2 · β + … + mNr 2
N · β
M = (m1r 2 1 + m2r 2
2 + … + mNr 2 N) · β = ∑
N
i = 1
mi · r 2 i
Rögzített tengely körül forgó merev test állandó
M forgatónyomaték hatására állandó β szöggyor-
sulással forog. Az adott testre ható M forgatónyo-
maték és az általa okozott β szöggyorsulás egyene-
sen arányos egymással, így hányadosuk állandó:
M
β= állandó
Amennyiben a merev testre egyidejűleg több
forgatónyomaték hat, úgy a testre ható forgatónyo-
matékok előjeles összege okozza a test szöggyorsu-
lását:
∑ M β
19
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 19 2016.07.04. 19:43:47
20
3. A forgómozgás alapegyenlete
KÖVETKEZTETÉS
Amennyiben a rögzített tengely körül forgatható
merev testre ható forgatónyomatékok előjeles
összege nem nulla, akkor a test egyenletesen
gyorsuló forgómozgást végez. A test szöggyorsu-
lása egyenesen arányos a testre ható forgatónyo-
matékok előjeles összegével, valamint fordítottan
arányos a test egy tulajdonságával, a tehetetlen-
ségi nyomatékával:
∑ M = Θ · β
Ezt az összefüggést a forgómozgás alaptörvényé-
nek nevezzük.
A tehetetlenségi nyomaték jele: Θ (théta, görög
betű), kiszámítása: Θ = ∑N
i = 1
mi · r2 i
Mértékegysége: kg · m2
Néhány test tehetetlenségi
nyomatéka
A továbbiakban néhány egyszerű merev test tehe-
tetlenségi nyomatékát határozzuk meg a tehetet-
lenségi nyomaték fogalmának felhasználásával:
Θ = ∑N
i = 1
mi · r 2
a) Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka
A pontszerű testet nem tudjuk további részekre
osztani, így annak tehetetlenségi nyomatéka:
Θtömegpont = ∑N
i = 1
mi · ri 2 = m · r 2
Θtömegpont = m · r 2
Pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka a test tömegétől
és a forgástengelytől mért távolságtól függ
b) Vékony abroncs tehetetlenségi nyomatéka
a szim metriatengelyére vonatkozóan
Az abroncsot osszuk fel N darab olyan kicsi részre,
hogy a kicsi részek már pontszerűnek tekinthetők
legyenek: m = m1 + m2 + … + mi + … + mN. Alkal-
mazzuk a tehetetlenségi nyomaték defi nícióját, és
vegyük fi gyelembe, hogy mindegyik mi tömegrész
távolsága a forgástengelytől r, valamint hogy a ré-
szek tömegeinek összege m:
Θabroncs = ∑N
i = 1
mi · r i 2 = ∑
N
i = 1
mi · r 2 = ( ∑N
i = 1
mi) · r 2 = m · r 2
Az abroncs tehetetlenségi nyomatéka a test
tömegétől és a henger sugarától függ
Másképp is gondolkodhatunk. Induljunk ki a pont-
szerű test tehetetlenségi nyomatékából: Θ = m · r 2
Ennek a tömegpontnak a tömegét „kenjük szét” az
r sugarú kör mentén. Az így kialakult test részeinek
tengelytől mért távolsága nem változott, így a tehe-
tetlenségi nyomatéka sem változott: Θ = m · r 2
c) Vékony falú henger tehetetlenségi nyomatéka
a szimmetriatengelyére vonatkozóan
Az előző részben alkalmazott eljárás most is al-
kalmazható, és a végeredmény ugyanaz:
Θhenger = m · r 2
ω
r
m
A vékony falú henger tehetetlenségi nyomatéka
a test tömegétől és a henger sugarától függ
Általánosan igaz, hogy pontrendszer tehetetlenségi
nyomatéka nem változik, ha a pontjainak helyét
úgy változtatjuk, hogy közben nem változik a ten-
gelytől való távolságuk.
Más testek tehetetlenségi nyomatékának meg-
határozása integrálszámítást igényel, illetve össze-
függés található rá szakkönyvekben. Néhány szabá-
lyos test tehetetlenségi nyomatékát tartalmazza a
következő táblázat.
ω
r m
r
Θabroncs = m · r 2
ω
20
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 20 2016.07.04. 19:43:48
21
3. A forgómozgás alapegyenlete
Szabályos test neve Rajz Forgástengely helye Tehetetlenségi nyomaték értéke
tömör henger szimmetriatengelyre Θ = 1
2 m ·r 2
rúdrá merőleges, a felezőpontján
átmenő tengelyreΘ =
1
12 m ·l 2
rúdrá merőleges, a végpontján
átmenő tengelyre
Θ = 1
3 m ·l 2
vékony falúgömbhéj
középpontján átmenő tengelyre
Θ = 2
3 m ·r 2
tömör gömbközéppontján átmenő
tengelyreΘ =
2
5 m ·r2
r
l
l
Steiner tétele
Ugyanannak a testnek különböző tengelyekre vo-
natkozóan más a tehetetlenségi nyomatéka.
Amennyiben ismert a tömegközépponton átmenő
t tengelyre vonatkozóan az m tömegű test tehetet-
lenségi nyomatéka (Θtkp), akkor az ezzel párhuza-
mos, tőle d távolságra lévő t’ tengelyre vonatkozó
(Θ) már könnyedén kiszámítható:
Θ = Θtkp + m · d 2
Ezt a tételt párhuzamos tengelyek tételének,
vagy Steiner-tételnek hívjuk.
t’t
m
d
tkpAlkoss képletet, mellyel az
m tömegű, R sugarú gömb
tehetetlenségi nyomatéka
számítható valamely érin-
tőjére vonatkozóan!
KIDOLGOZOTT FELADAT
Egy r sugarú korong csak forgómozgást végez füg-
gőleges tengelye körül. A korongot lapjával vízszin-
tes asztalra helyezzük. (Feltételezhetjük, hogy a
korong egyenletesen nyomja az asztalt.) A korong
és az asztal között a csúszási súrlódási együttható
μ. Mekkora a korong szöggyorsulása?
MEGOLDÁS
Adatok: r, μ.___________
β = ?
A feladat megoldásában a nehézséget a korongra
ható forgatónyomaték meghatározása jelenti.
Egyetlen erő forgatónyomatékát könnyedén meg
tudjuk határozni. Most viszont a korong és az asz-
tal érintkezési felületének minden pontjában hat
egy-egy elemi erő.
Az eredő M forgatónyomaték meghatározásá-
hoz a korong r sugarát osszuk fel N egyenlő részre.
Az így kapott i-edik körgyűrű területét a korong d
vastagságával szorozva kapjuk a vizsgált körgyűrű
21
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 21 2016.07.04. 19:43:48
22
3. A forgómozgás alapegyenlete
feletti test térfogatát. Majd az elemi nyomóerőkből
származó elemi súrlódási erők forgatónyomatékait
összegezzük:
M =∑N
i = 1
Fi · ri =∑N
i = 1
μ · (r i 2 · π – r i–1
2 · π) · d · ρ · g · ri
A kifejezést rendezve, és felhasználva, hogy
ri = i
N · r :
M = μ · d · ρ · g · π · ∑N
1 = 1
(r i 2 – r i–1
2 ) · ri =
= μ · d · ρ · g · π · r 3 · ∑N
i = 1
(( i
N )2
– (i – 1
N )2
) · i
N
Felhasználva a sűrűség, tömeg és térfogat közötti
összefüggést:
M = μ · mg · r ·∑N
i = 1
(2i – 1
N 2 ) · i
N =
= μmgr · 1
N 3 · [2 · ∑
N
i = 1
i 2 – ∑N
i = 1
i ]Az ismert matematikai összefüggéseket hasz-
nálva:
M =
= μmgr · 1
N 3 · [2N (N + 1)(2N + 1) ·
1
6 –
N(N + 1)
2 ] =
= μmgr · [2(N + 1) (2N + 1)
6N 2 –
N + 1
2N 2 ]
Az összeg határértékét véve, midőn N tart a vég-
telenhez:
M = μmgr · [2
3 – 0]
A korongra ható eredő forgatónyomaték:
M = 2
3 · μmgr
Most már könnyen ki tudjuk számítani a korong
szöggyorsulását:
β = = · =
2
3 · μmgr
1
2 · mr2
M
Θkorong
4
3
μg
Haladó és forgómozgás
dinamikájának összehasonlítása
A haladó és forgómozgás dinamikáját leíró fogal-
mak és a fogalmak közötti kapcsolatokat feltáró
összefüggéseket tartalmazza a következő táblázat:
Haladó mozgás Forgómozgás
Fogalmak m, a θ, β
TörvényekF = m · a
∑ F = m · a
M = θ · β∑M = θ · β
A haladó és forgómozgás dinamikáját összefoglaló táblázat
A merev test tehetetlenségi nyomatéka függ:
– a forgó test tömegétől,
– alakjától,
– méretétől,
– tömegeloszlásától,
– a forgástengely helyétől, helyzetétől.
Mutasd meg, hogy a
fi zikai ingához a fenti
módon rendelt mate-
matikai inga hossza
valóban l * = Θms
!
Fizikai inga (Kiegészítő anyag)
Tavaly megismerkedtünk a fonálingával, amelyet
úgy kapunk, ha egy hosszú, elhanyagolható tömegű
fonál egyik végét rögzítjük, a másik végére pedig
egy pici, nehéz (pontszerű) testet erősítünk. Sokkal
elterjedtebb az olyan inga, amelynek lengő teste
nem pontszerű, hanem kiterjedt merev test, és egy
vízszintes tengely körül képes lengeni. Az ilyen in-
gát fi zikai ingának nevezzük.
Könnyen megmutatható, hogy egy adott fi zikai
ingához található olyan matematikai inga, hogy a
két test szöggyorsulása minden helyzetben ugyan-
akkora. Ha azonos helyzetből indítjuk a két testet,
azok mindig együtt lengenek, azaz egyenlő a perió-
dusidejük. Az m tömegű, Θ tehetetlenségi nyoma-
tékú fi zikai ingához ily módon rendelt matematikai
inga hossza: l * = Θms
, ahol s a fi zikai inga tömegkö-
zéppontjának és forgástengelyének távolsága.
O
s
mΘ
m
tkp
l *
O
α α
22
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 22 2016.07.04. 19:43:49
23
3. A forgómozgás alapegyenlete
A matematikai inga lengésidejét ismerve, meg-
határozható a fi zikai inga kis kitéréskor érvényes
lengésideje:
l *
g
Θmgs
Tl = T = 2π · = 2π · = 2π · g
Θms
MÉRÉSI FELADAT
Farúd tehetetlenségi nyomatékának meghatározása
Szükséges eszközök
– farúd, melynek végére a rúd tengelyére merőle-
gesen, egymással szemben egy-egy szeget ver-
tünk be,
– két Bunsen-állvány, melybe egy-egy rudat fog-
tunk be,
– stopper,
– mérleg,
– mérőszalag.
Mérés menete
A mérés során a farúd végpontján átmenő, rá me-
rőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyoma-
tékát fogjuk megmérni. A Bunsen-állványba befo-
gott pálcákra „ültessük rá” a farúdba vert szegeket.
Így a farúd mint fi zikai inga a felső végpontja mint
tengely körül képes lengéseket végezni.
α
A mérési összeállítás
Kis szögkitérésből indítsuk a rudat, és mérjünk
10 lengésidőt!
10 · T = 12,8 s T = 1,28 s
A mérlegen megmérjük a farúd tömegét:
m = 0,041 kg
Mérőszalaggal megmérjük a farúd hosszát, és
annak felét azonosítjuk s-sel, azaz a forgástengely és
a test tömegközéppontjának távolságával: s = 0,3 m
A fi zikai ingára vonatkozó lengésidő képletéből
kifejezzük a rúd tehetetlenségi nyomatékát:
Θmgs
Tl = 2π · Θ =( T
2π)2
· mgs
A nehézségi gyorsulás értékét vegyük 9,8 m
s2 -nek,
és helyettesítsük be a mért adatokat:
Θ = (1,28 s
2π )2
· 0,041 kg · 9,8 m
s2 · 0,3 m =
= 5 · 10–3 kgm2
Ellenőrzésként érdemes a rúd végpontján átme-
nő, rá merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlensé-
gi nyomatékot közvetlenül is kiszámítani az ismert
összefüggés segítségével és a mért adatok felhasz-
nálásával:
Θ = 1
3 ml 2 =
1
3 · 0,041 kg · (0,6 m)2 =
= 4,92 · 10–3 kgm2
A két módon számított tehetetlenségi nyomaték
értéke igen közel van egymáshoz, egymástól való
eltérésük 2%-nál kisebb. A mérési hibák forrása a
távolság- és hosszúságmérés pontatlanságából ered.
Ezzel a méréssel egyben a fi zikai inga lengésidejét
megadó összefüggés helyességét is igazoltuk.
Merev testek síkmozgásának
dinamikai leírása (Kiegészítés)
Gyakran előfordul, hogy egy merev test nemcsak
haladó, illetve nemcsak forgómozgást végez, hanem
a merev test egyidejűleg forgó és haladó mozgást is
végez. Mi most csak merev testek síkmozgásával
foglalkozunk, amikor a test pontjai egymással pár-
huzamos síkokban mozognak.
Merev test síkmozgását legegyszerűbben a test
tömegközéppontja haladó mozgásának és a tömeg-
középpont körüli forgásának eredőjeként értelmez-
hetjük. Ennek megfelelően a test tömegközéppont-
jának haladó mozgását a testre ható külső erők
eredője határozza meg:
∑ F külső = m · atkp
A test tömegközéppont körüli forgását a tömeg-
középpontra (illetve pillanatnyi forgástengelyre)
vonatkoztatott forgatónyomatékok előjeles összege
határozza meg:
∑M = Θ · β
A fenti két mozgásegyenlet felírásával, illetve a
kényszerfeltételek fi gyelembe vételével a merev test
síkmozgásával kapcsolatos problémák sikerrel tár-
gyalhatók.
23
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 23 2016.07.04. 19:43:49
24
3. A forgómozgás alapegyenlete
1 Egy 100 kg tömegű, 50 cm sugarú, 2 Hz for-
dulatszámú malomkereket 3 másodperc alatt
egyenletesen akarunk lefékezni. Mekkora
sugárirányú erővel kell a féktuskót a keréknek szorí-
tani, ha köztük a csúszási súrlódási együttható 0,6?
Kérdések és feladatok
4 Becsüld meg a Föld forgástengelyére vonat-
kozó tehetetlenségi nyomatékát! Miért csak
becslést tudsz adni?
2 Frissen olajozott kerekes kút hengerkereke
súrlódásmenetesen foroghat. A kötél végén
lévő vödör és víz együttes tömege 10 kg.
A henger sugara 20 cm. A vödröt elengedjük, és azt
tapasztaljuk, hogy 4 másodperc múlva csobban a
16 méter mélyen lévő vízbe. Mekkora a hengerke-
rék tehetetlenségi nyomatéka?
3 Az 1 méter oldalú, szabályos háromszög csú-
csaiban lévő pontszerű testek tömege: 2 kg,
3 kg, 4 kg. Határozd meg a pontrendszer te-
hetetlenségi nyomatékát a háromszög középpont-
ján átmenő, a háromszög síkjára merőleges tengely-
re vonatkozóan!
5 Mekkora állandó forgatónyomaték tudná a
Föld forgását 1 nap alatt megállítani? (A meg-
oldás során használd fel a 4. feladat eredmé-
nyét!)
6 Mekkora az m tömegű, l hosszú rúd tehetet-
lenségi nyomatéka a harmadolópontján át-
menő, rá merőleges tengelyre vonatkozóan?
7 Egy lejtőn egymás mellől egyszerre enge-
dünk gurulni azonos sugarú, vékony falú
hengert, tömör hengert és gömböt. Melyik
ér le először, és melyik utoljára?
Egyenlítő
Ekliptika
Déli mágneses pólus Földrajzi északi sark
Mágneses tengely
A Föld forgás-tengelye
24
Me
rev
te
ste
k m
ec
ha
nik
ája
fiz-12e_1-51.indd 24 2016.07.04. 19:43:49