Mercati Azionari, Obbligazionari e Derivati A.A. 2006/2007 - II semestre Docente: Massimo Pinna...

Mercati Azionari, Obbligazionari e Derivati

A.A. 2006/2007 - II semestreDocente: Massimo Pinna

Università degli Studi di Cagliari

Facoltà di Economia

1. Introduzione e richiamo dei concetti fondamentali

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A.A. 2006/2007 – II semestre1. Introduzione e richiamo dei concetti fondamentali

IndiceIndice

Teoria di Portafoglio

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Rischio e avversione al rischio

Capital Asset Pricing Model 30

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Rischio e avversione al rischioRischio e avversione al rischio

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Un investimento è soggetto a rischio quando più di un risultato è possibile.

Il valore atteso E(W) della ricchezza finale è pari a:

Nel semplice esempio seguente, l’investimento iniziale (W) di $100.000 ha due possibili risultati: W1 = $150.000 e W2 = $80.000, con probabilità p = 0.6 e 1- p = 0.4 rispettivamente.

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Il profitto atteso è quindi pari a $22.000.

La varianza dell’investimento si calcola facilmente come:2

Quindi la deviazione standard: 86,292.34000.000.176.1

L’investimento è rischioso, è immediato notare che la deviazione standard è maggiore del profitto atteso.

E’ il profitto atteso sufficiente perché un investitore accetti questo rischio?

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Per rispondere a questa domanda dobbiamo valutare le alternative all’investimento precedente.

Supponiamo di avere accesso ad un investimento senza rischio (risk-free) quale un T-bill* a 1 anno con un tasso d’interesse del 5%, un investimento di $100.000 garantisce un profitto (certo) di $5.000. Un semplice albero delle decisioni sarebbe:

Il profitto atteso dell’investimento precedente era $22.000, il profitto dell’investimento risk-free è $5.000, quindi il premio premio per il rischioper il rischio (risk premium) è pari a $17.000.

* I T-bill (Treasury bills) sono l’equivalente anglosassone dei BOT negoziati sul mercato italiano.

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L’adeguatezza del premio al rischio dipende dall’avversione al avversione al rischiorischio (risk aversion) dell’investitore.

Un agente si definisce:

Avverso al rischioAvverso al rischio (risk averse) - se preferisce ottenere con certezza il valore atteso E(z) di una data lotteria aleatoria z rispetto al risultato aleatorio della lotteria stessa;

Neutrale al rischioNeutrale al rischio (risk neutral) - se è indifferente tra valore atteso E(z) di una lotteria aleatoria z e la lotteria aleatoria stessa;

Propenso al rischioPropenso al rischio (risk lover) - se preferisce una data lotteria aleatoria z rispetto a ottenere il suo valore atteso E(z) con certezza;

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L’equivalente certoequivalente certo C(z) di una lotteria aleatoria z è quella quantità che rende indifferente l’agente tra ottenere il risultato aleatorio della lotteria o l'equivalente certo con certezza.

Il premio per il rischiopremio per il rischio π(z) è la differenza tra il valore atteso della lotteria aleatoria E(z) e l’equivalente certo C(z). Rappresenta la compensazione per l’accettazione del rischio della lotteria aleatoria.

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Esempio:

U(w) = ln(w)

U(100.000) = 11.51

U(150.000) = 11.92

G = 11.92 – 11.51 = 0.41

p*G = 0.5*0.41 = 0.21

U(50.000) = 10.82

L = 11.51 – 10.82 = 0.69

(1-p)*L = 0.5*0.69 = 0.35

$50,000

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Possiamo formalizzare la nozione di avversione al rischio negli investimenti finanziari assumendo che l’investitore assegni un dato livello di utilità a ciascun investimento sulla base del rischio e del rendimento atteso.

Livelli di utilità più alti sono assegnati agli investimenti con migliori rapporti rischio/rendimento. Il rendimento atteso agisce positivamente sul livello di utilità, mentre la volatilità (varianza) influisce negativamente.

Una funzione di utilità usata tipicamente nelle applicazioni pratiche* è la seguente:

* Funzione di utilità utilizzata dall’AIMR (Association of Investment Management and Research).

Dove E(r) è il rendimento atteso, A il livello di avversione al rischio e 0.005 è un fattore di scala che consente di utilizzare valori espressi in percentuale piuttosto che in decimali.

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Richiamiamo l’esempio illustrato in precedenza:

L’investimento rischioso ha rendimento atteso pari al 22% e deviazione standard pari al 34%.

L’investimento risk-free ha rendimento certo pari al 5% (e deviazione standard pari a zero).

La funzione di utilità è:

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Per un livello di avversione al rischio A = 3 (livello medio-basso) l’utilità attesa dell’investimento rischioso è:

U = 22 – (0.005 x 3 x 34^2) = 4.66%

L’investimento risk-free ha varianza pari a zero per definizione, di conseguenza la sua utilità è pari al suo rendimento:

U = 5 – (0.005 x 3 x 0) = 5%

Quindi un investitore con un grado di avversione al rischio pari a 3 preferisce l’investimento risk-free all’investimento rischioso.

L’aggiustamento per il rischio è pari al 17.34% (0.005 x 3 x 34^2), livello inferiore al premio per il rischio (17%) offerto dall’investimento.

Il livello di utilità è interpretabile come l’equivalente certo dell’investimento.

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Alcune formule per il calcolo di rischio e rendimento:

1. Il rendimento atteso di un investimento è la media ponderata per le probabilità dei rendimenti nei diversi scenari

2. La varianza di un investimento è il valore atteso delle deviazioni dal rendimento atteso al quadrato

3. Il rendimento di un portafoglio è la media ponderata dei rendimenti dei singoli asset, in cui i pesi sono le proporzioni dei singoli asset nel portafoglio

iiP rEwrE )(

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4. La deviazione standard di un portafoglio formato da un asset rischioso e da un asset risk-free è pari alla deviazione standard dell’asset rischioso moltiplicata per la proporzione del portafoglio investita nell’asset rischioso

iiw

dove rfrfii rwrw

5. La varianza di un portafoglio composto da 2 asset rischiosi, con varianza e rispettivamente è data da

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Teoria di PortafoglioTeoria di Portafoglio

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Supponiamo che un investitore abbia due alternative di investimento, un portafoglio rischioso P e un asset risk-free F. Sia y la proporzione di ricchezza investita in P e 1-y la proporzione investita in F.

Indichiamo con e rispettivamente il rendimento atteso e la deviazione standard di P, mentre F ha rendimento (certo) e deviazione standard pari a zero.

Assumiamo: e .

Quindi il premio per il rischio è .

Definiamo C (complete portfolio) il portafoglio con proporzioni y investita in P e 1-y in F. Il rendimento atteso di C è

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Mettendo in evidenza per y e sostituendo i valori:

Quindi il rendimento base di un qualsiasi portafoglio è il rendimento risk-free. Inoltre il portafoglio presenta un rendimento aggiuntivo (atteso) che è funzione del premio per il rischio del portafoglio rischioso e della proporzione y.

Dalla formula 4 della sezione precedente abbiamo che la deviazione standard di C è pari alla deviazione standard di P moltiplicata per la proporzione investita y:

Quindi C, il complete portfolio, ha rendimento atteso pari a

e deviazione standard

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Nella figura sottostante è rappresentato un generico portafoglio C nel piano rendimento-deviazione standard.

F (y=0) ha deviazione standard zero e rendimento atteso 7%, P (y=1) ha rendimento atteso 15% e deviazione standard 22%.

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I portafogli intermedi (0<y<1) giacciono nella linea che connette F e P, la pendenza di tale linea è .

Quindi il rendimento atteso di C, in funzione della deviazione standard, è dato da una retta con intercetta e pendenza

Tale retta viene chiamata Capital Allocation LineCapital Allocation Line (CALCAL) e la sua pendenza (S) Sharpe RatioSharpe Ratio (o reward-to-variability ratioreward-to-variability ratio).

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Possiamo notare immediatamente che, a differenza del rendimento, la varianza del portafoglio non è la media ponderata delle singole varianze e che presenta un termine relativo alla covarianza tra i 2 asset.

Come mostrato nella sezione precedente (formula 5) la varianza del portafoglio P è

Supponiamo ora che il nostro portafoglio rischioso P sia composto da 2 asset, un fondo obbligazionario D e un fondo azionario E.

La proporzione è investita in D e è investito in E, il rendimento di P è quindi

dove è il rendimento del fondo obbligazionario e è il rendimento del fondo azionario.

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In ogni caso, anche se la covarianza è positiva, la deviazione standard del portafoglio è sempre inferiore alla media ponderata delle singole deviazioni standard, ad eccezione del caso in cui i 2 asset siano perfettamente correlati tra loro.

Ciò significa che se la covarianza tra i 2 asset è negativa, questa riduce la varianza complessiva del portafoglio.

Possiamo esprimere la covarianza in funzione del coefficiente di correlazione :

Quindi .

Nel caso in cui i 2 asset siano perfettamente correlati, , abbiamo:

e di conseguenza

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Possiamo rappresentare la relazione tra rischio e rendimento in funzione della correlazione tra i 2 asset:

Le linee nella figura rappresentano la portfolio portfolio opportunity setopportunity set per diversi livelli di correlazione, e mostrano tutte le combinazioni di rendimento e deviazione standard che si possono ottenere con 2 asset (data la loro correlazione).

Possiamo notare che nel caso di perfetta correlazione positiva i benefici derivanti dalla diversificazione sono nulli, mentre nel caso di perfetta correlazione negativa questi sono massimi.

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Teoria di PortafoglioTeoria di PortafoglioSupponiamo ora di poter investire, oltre che nei 2 asset rischiosi D e E, anche in un asset risk-free (ad esempio T-bill al 5%):

Nell’esempio il portafoglio A ha rendimento atteso pari a 8.90% e deviazione standard 11.45% quindi il suo Sharpe ratio è

Il portafoglio B ha invece rendimento atteso pari a 9.50% e deviazione standard 11.70% e il suo Sharpe ratio è

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Notiamo immediatamente che il portafoglio B ha un maggiore rendimento per unità di rischio (reward-to-variability ratioreward-to-variability ratio).

Possiamo aumentare il reward-to-variability ratio (incrementando la pendenza della CAL) fino a ottenere l’optimal risky optimal risky portfolioportfolio. Il portafoglio ottimo P si trova nel punto di tangenza tra la CAL e la portfolio opportunity set e rappresenta il portafoglio con massimo rendimento per unità di rischio:

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Teoria di PortafoglioTeoria di PortafoglioL’investitore costruisce il proprio complete portfolio (in funzione della propria avversione al rischio) investendo la proporzione y in P e 1-y nel risk-free.

L’investitore sceglie la combinazione tra risk-free asset e portafoglio ottimo P massimizzando la propria funzione di utilità data la propria avversione al rischio A:

Risolvendo per y, la proporzione ottima nel portafoglio rischioso P è:

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Questo risultato è noto come il Modello Media-Varianza di Modello Media-Varianza di MarkowitzMarkowitz.

Il modello può essere generalizzato alla costruzione di un portafoglio formato da una pluralità di asset rischiosi e un asset risk-free.

In primo luogo occorre generare l’insieme delle opportunità di investimento nel piano rischio-rendimento (portfolio opportunity setportfolio opportunity set) rappresentate dalla Minimum-Variance FrontierMinimum-Variance Frontier

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Una volta trovata la frontiera si individua il portafoglio a varianza minima (Global Minimum-Variance PortfolioGlobal Minimum-Variance Portfolio), ovvero quella combinazione di asset rischiosi che minimizza la varianza del portafoglio, e si individuano quelle combinazioni di asset che garantiscono i migliori rapporti rischio-rendimento (Efficient FrontierEfficient Frontier).

I punti della frontiera a varianza minima che si trovano al di sopra del global minimum-variance portfolio rappresentano la frontiera efficiente.

Infatti, per ogni portafoglio nella parte inferiore della frontiera esiste un altro portafoglio con identica deviazione standard ma con rendimento maggiore.

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Nell’ultima fase del processo di ottimizzazione introduciamo l’asset risk-free, individuiamo la CAL ottima (quella che garantisce il rendimento per unità di rischio maggiore) nella tangente alla frontiera efficiente e troviamo l’optimal risky portfolio P.

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Una volta individuato il portafoglio rischioso ottimo P, ogni investitore combina l’asset risk-free con P (formando il proprio complete portfolio C) in funzione della propria avversione al rischio (funzione di utilità), esattamente come nel caso con 2 soli asset rischiosi analizzato in precedenza:

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Capital Asset Pricing ModelCapital Asset Pricing Model

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Assunzioni:

1.1. Concorrenza perfettaConcorrenza perfetta – alto numero di investitori ognuno con una piccola dotazione di ricchezza iniziale e non in grado di influenzare i prezzi (investitori price takers);

2.2. MiopiaMiopia – gli investitori pianificano su un orizzonte temporale di un solo periodo;

3.3. Opportunità di investimento limitateOpportunità di investimento limitate – gli investimenti sono limitati esclusivamente a poche categorie di attività finanziarie scambiate sui mercati (azioni, obbligazioni e risk-free) escludendo importanti categorie di asset non scambiate sui mercati finanziari (immobili, investimento diretto in capitale di rischio, investimenti pubblici, capitale umano etc.)

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4.4. Assenza di tasse e costi di transazioneAssenza di tasse e costi di transazione – in realtà diverse categorie di investitori (privati, imprese, enti etc.) e diverse categorie di strumenti finanziari (azioni, obbligazioni, fondi etc.) sono soggette a diversi regimi fiscali e i costi di transazione variano in funzione dei volumi scambiati;

5.5. Razionalità degli investitoriRazionalità degli investitori – tutti gli investitori ottimizzano i portafogli secondo il modello media-varianza di Markowitz ;

6.6. Aspettative omogeneeAspettative omogenee – tutti gli investitori hanno le medesime attese relativamente a rendimenti e volatilità (in generale stesse stime delle distribuzioni di probabilità) ovvero utilizzano gli stessi input nel modello di Markowitz;

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Risultati:

• Tutti gli investitori formano lo stesso portafoglio rischioso in modo tale che le proporzioni investite nei singoli asset replichino il portafoglio di mercatoportafoglio di mercato (MM) o market portfoliomarket portfolio (che rappresenta l’insieme di tutte le attività scambiate sul mercato);

• Il portafoglio di mercato (M) giace sulla frontiera efficiente e si trova nel punto di tangenza con la CAL (capital allocation line) ottima. Di conseguenza la retta che unisce il risk-free con M viene chiamata capital market linecapital market line (CMLCML) e rappresenta la migliore CAL ottenibile;

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• Tutti gli investitori detengono M come portafoglio rischioso ottimo e formano il proprio complete portfolio (C) variando le proporzioni investite in M (y) e nel risk-free (1-y) secondo la propria avversione al rischio;

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dove è la varianza del market portfolio e è il livello medio di avversione al rischio tra gli investitori;

• Il premio per il rischio del market portfolio è proporzionale alla sua volatilità e al grado di avversione al rischio dell’investitore rappresentativo (investitore medio)

• Il premio per il rischio dei singoli asset è proporzionale al premio per il rischio del market portfolio e al coefficiente beta dell’asset relativamente al market portfolio

in cui il coefficiente beta è dato da ;

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Il beta di un asset misura l’apporto di un’attività finanziaria alla varianza del market portfolio. Quindi, il premio per il rischio di ogni asset e funzione del beta (e del premio per il rischio del mercato).

La Security Market LineSecurity Market Line (SMLSML) è la retta che rappresenta la relazione tra rendimento atteso e beta. La sua pendenza è pari al premio per il rischio del market portfolio.

Il beta del portafoglio di mercato è ovviamente uguale a 1 (la covarianza di un asset con se stesso è la varianza).

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La CML (capital market line) vista in precedenza rappresentava il premio per il rischio dei portafogli efficienti (quelli composti dal market portfolio e dal risk-free) in funzione della deviazione standard.

La CML è appropriata quando si misura il rischio/rendimento di un portafoglio efficientemente diversificato.

La SML, invece, rappresenta il premio per il rischio dei singoli asset in funzione del rischio sistematico (beta).

La misura appropriata per un asset inserito in un portafoglio diversificato non è la deviazione standard ma il beta, ovvero la contribuzione di quell’asset alla varianza complessiva del portafoglio.

La security market line rappresenta il metro di paragone della performance di un investimento. Dato il rischio (sistematico) di un investimento la SML fornisce il rendimento necessario per compensare tale rischio.

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Gli asset valutati correttamente giacciono sulla SML.

Gli asset sottovalutati si trovano al di sopra della SML (rendimento atteso superiore a quello che compensa il rischio sistematico) mentre quelli sopravvalutati giacciono sotto la SML.

La differenza tra il rendimento atteso effettivo e quello previsto dal CAPM è chiamato AlfaAlfa.

Nell’esempio E(Rm)=14%, beta = 1.2 e risk-free = 6%

Mentre il rendimento effettivo è pari al 17%.

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