Mengenal S SS SS SS Si ii ii ii if ff ff ff fa aa aa aa at tt tt tt t- -- -- -- -S SS SS SS Si ii ii ii if ff ff ff fa aa aa aa at tt tt tt t

M MM MM MM Ma aa aa aa at tt tt tt te ee ee ee er rr rr rr ri ii ii ii ia aa aa aa al ll ll ll l((11)) Sudaryatno Sudirham ing Utari Darpublic Mengenal Sifat-Sifat Material (1) oleh Sudaryatno Sudirham ing Utari Hak cipta pada penulis,2010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Mengenal Sifat-Sifat Material (1) Oleh Sudaryatmo Sudirham & Ning Utari Darpublic, Bandung msm-1010 http://ee-cafe.org Alamat pos: Kanayakan D-30, Komp ITB, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117 Daftar Isi Daftar Isiiii Pengantarv Bab 1:Pendahuluan 1 Mekanika Klasik. Perkembangan Konsep Atom Bab 2: Elektron Sebagai Partikel dan Sebagai Gelombang 21 PaketGelombang.PanjangGelombangdeBroglie, Momentum,Kecepatan.PercobaanDavisson&Germer. Prinsip Ketidakpastian Heisenberg.Bab 3: Persamaan Gelombang Schrdinger31 FungsiHamilton.FungsiHamiltonDalamMekanika Kuantum.FungsiGelombang.TinjauanSatuDimensi. Elektron Dalam Sumur Potensial Tiga Dimensi. Degenerasi. Bab 4: Aplikasi PersamaanSchrdinger 47 PersamaanSchrdingerPadaKoordinatBola.Energi Elektron.ProbabilitasKeberadaanElektron.Momentum Sudut. Bilangan Kuantum.Bab 5: Konfigurasi Elektron Dalam Atom61 KonfigurasiElektronPadaAtomNetral.DiagramTingkat Energi.IonisasidanEnergiIonisasi.AfinitasElektron. Konfigurasi Elektron Unsur-Unsur. Bab 6: Ikatan Atom dan Susunan Atom 83 EnergiIkat.Macam-MacamIkatan,Promosidan Hibridisasi.ElektronegatifitasdanElektropositifitas. SusunanAtomDenganIkatanTakBerarah.SusunanAtom Dengan Ikatan Berarah. Bab 7:StrukturKristal dan Nonkristal107 StrukturKristal.KisiRuangBravaisDanSusunanAtom PadaKristal.KristalUnsur.Ketidak-SempurnaanKristal. Struktur Nonkristal. Struktur Padatan. Bab 8: Teori Pita Energi dan Teori Zona Tentang Padatan123 TeoriPitaEnergi:Konduktor,Isolator,Semikonduktor. Energi Fermi. Teori Zona: Brillouin Zone. Bab 9: Sifat Listrik Metal 143 TeoriDrude-Lorentz.PendekatanStatistik:Distribusi Maxwell-Boltzmann,DistribusiFermi-Dirac.Aplikasi Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)ivDistribusiFermi-Dirac.KonduktivitasdanResistivitas Listrik.Bab 10: Sifat Listrik Dielektrik 159 Polarisasi.PengaruhFrekuensipadaPermitivitasRelatif. Pengaruh Temperatur Pada Permitivitas Relatif. Permitivitas Relatif,FaktorDesipasi,KekuatanDielektrikBeberapa Material. Bab 11: Sifat Thermal Material 175 KapasitasPanas.PanasSpesifik:PerhitunganKlasik, PerhitunganEinstein,PerhitunganDebye,Phonon,Panas SpesifikPadaTekananKonstan.Pemuaian.Konduktivitas Thermal, Konduktivitas Thermal, Rasio Wiedemann-Franz. Bab 12: Pengertian Dasar Thermodinamika 191 Sistem dan Status Sistem. Energi. Hukum Thermodinamika PertamaDanEnthalpi.Prosesreversibledanirreversible. Entropi,HukumThermodina-mikaKedua,danKetiga. Konsep Energi Bebas (Free Energy).Bab 13: Sistem Multifasa 207 Fasa,Homogenitas,danKomponenSistem.Sistem Komponen Tunggal. Konsep Energi Bebas Pada Sistem Dua Komponen. Diagram Keseimbangan Fasa. Bab 14: Gejala Permukaan 223 TeganganPermukaan.EnergiPermukaan.Pembasahan Permukaan. Kondisi Permukaan. Bab 15: Difusi 233 AnalisisMatematis.PersamaanArrhenius.MacamDifusi. EfekHartley-Kirkendall.DifusidanKetidaksempurnaan Kristal. Difusi Dalam Polimer dan Silikat. Bab 16: Oksidasidan Korosi241 Oksidasi:ProsesOksidasi,RasioPilling-Bedworth,Laju PenebalanLapisanOksida.Korosi:PerbedaanMetal Elektroda,PerbedaanKonsentrasiIon,Perbedaan Kandungan Gas, Perbedaan Stress.Daftar Referens1 253 Indeks255 Biodata 258 v Pengantar Penulisanbukuinibertujuanmemperkenalkanbeberapasifatmaterial padatkepadapembacayangtidaksecarakhususmendalami pengetahuantentangmaterial.Pokok-pokokbahasandalambukuini padaawalnyadipersiapkanuntukmendukungkuliahyangpenulis berikan.Namuntiadasalahnyadisajikanpulauntukumum,dan dengan pertimbangan itu kemudian buku ini diterbitkan. Pokok-pokokbahasandalambukuinimencakuppengetahuandasar tentangsifatfisikadansifatkimiamaterial.Pembahasantentangsifat materialinidilakukandenganpendekatanmikroskopismelalui penerapan mekanika kuantum pada atom dan pendekatan makroskopis melalui pengertian thermodinamika. Pembahasan akan dimulai dengan ulas-ulangtentangmekanikaklasiksertaperkembanganpemahaman tentang atom untuk memberikan gambaran mengenai munculnya teori kuantumyangakanmenjadibasispokok-pokokbahasanselanjutnya. Secara berurut pokok-pokok bahasan akan mencakup pengertian paket gelombang,dualismeantaraelektronsebagaipartikeldansebagai gelombang,persamaangelombangSchrdinger,aplikasipersamaan Schrdingerpadaatom,konfigurasielektrondalamatom,ikatandan susunanatom,strukturpadatan,teoritentangpadatan,sifatlistrik metal,sifatlistrikdielektrik,sifatthermalmaterial.Padatinjauan makroskopispokokbahasandiawalidenganpengertian-pengertian dasarthermodinamika,yangdisajikansebagaidasardalam pembahasantentangpadatanmultifasa,prosesdifusi,oksidasi,dan korosi.Penulisberharapkiranyasajianinidapatmenjadikontribusidalam upaya penyediaan bahan bacaan ilmu pengetahuan.Bandung, 9 September2010. Wassalam, Penulis. > A. Schopenhauer, 1788 1860 Dari Mini-Encyclopdie France Loisirs ISBN 2-7242-1551-6 1BAB 1 Pendahuluan Materialtersusundariatom.Tinjauanmengenaisifatmaterialyang akan kita lakukan berbasis pada mekanika kuantum. Dalam menuju ke arah itu kita akan melihat kembali secara selintas mengenai mekanika klasiktermasukpengertiantentangenergi.Kitajugaakanmelihat kembaliperkembanganpemahamantentangatomagarkitatidak kehilanganperspektifdalampemanfaatanteorikuantum.Dari berbagailiteratur,termasukdiantaranyaensiklopedia,kitamelihat sejarahperkembanganmengenaipemahamantentangatomyang secara singkat akan dipaparkan di bab pendahuluan ini.1.1. Mekanika Klasik 1.1.2. Hukum ewton Dalambab-babselanjutnyakitaakanmelakukanpembahasan-pembahasanberlandaskanteorikuantum.Namunadakalanyakita menyinggungteoriklasik,ataumekanikaNewton,gunamemberikan perbandingan.Olehkarenaitusecarasingkatkitalihatdasar-dasar mekanika klasik.HukumewtonPertama.Setiapbendaakantetapberadadalam keadaandiamatautetapdalamkeadaanbergerakdengankecepatan konstan pada lintasan lurus, jika tidak mendapat perlawanan dari gaya luaruntukmengubahkeadaantersebut.Kecenderunganbendauntuk mempertahankankeadaannyainidisebutinertia.Perubahangerak benda,selainditentukanolehadanyagayaluar,ditentukanpulaoleh kuantitasbenda.Makinbesarkuantitasbendamakinbesarpula inersianya. Besar inersia ditentukan oleh massa benda. HukumewtonKedua.Gayayangbekrjapadasuatubenda merupakanhasilkalimassabendadenganpercepatanyangdiberikan olehgayatersebut,denganarahyangsamadenganarahpercepatan. JadihukumNewtonyangkeduainimemberikanrelasiantaragaya (F), massa (m), dan percepatan (a). ma F =Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)2Gerakanbendadapatpuladinyatakandenganbesaranlainyaitu momentum (p). mv p =Jika gaya yang bekerja pada benda adalah konstan, maka tmv mvFt t 0 1 =atau 0 1 t tmv mv Ft =Ftdisebutimpuls.Perubahanmomentumsamadenganimpulsgaya, dan terjadi pada arah yang sama dengan arah gaya. HukumewtonKetiga.Apabilasuatubendamemberikangayapada benda lain maka benda lain tersebut juga memberikan gaya balik yang sama pada benda yang memberikan gaya. Gaya balik tepat berlawanan arah dengan gaya yang diberikan.1.1.2. Energi Energy is defined as capacity to do work or supply heat. Oleh karena itukitaakanmelihatdalamformula-formulathermodinamikakerja dijumlahkan dengan panas. Kita telah mengenal dua macam bentuk energi yaitu energi kinetik dan energipotensial.Energikinetikterkaitdenganobyekyangbergerak sedangkanenergipotensialterkaitdenganposisiataukondisiobyek. Energikinetikdapatdikonversimenjadienergipotensial,danenergi potensial dapat dikonversi menjadi energi kinetik. Energikinetikterkaitdengangerakanobyekmakroskopis,misalnya pelurudenganmassamyangbergerakdengankecepatanvmemiliki energikinetiksebesar.Obyeksub-mikroskopissepertiatom,ion,dan elektronyangbergerakjugamemilikienergikinetik.Energisuara terkait dengan gerak molekul yang mengalami kompresi dan ekspansi. Energilistrikterkaitdengangerakelektronsepanjangkonduktor. Energi thermal terkait dengan gerakan atom atau ion. Energipotensialterkaitdenganposisirelatifterhadapreferensi tertentu.Airpadasuatuketinggianmemilikienergipotensialyang apabilamembentukairterjunberubahmenjadienergikinetik.Energi potensialkimiaterkaitdengantarik-menarikantaraionposistifdan negatif dalam senyawa ionik. Elektron yang berada dalam ruang yang mendapat pengaruh medan listrik juga memiliki energi potensial. 31.1.3. Satuan Energi Skala Makroskopis. Satuan energi dalam mekanika adalah joule. Satu joule adalah energi yang dimiliki oleh obyek dengan massa 2 kg yang bergerak dengan kecepatan 1 m/detik, karena2 /2mv Ek = . Satuan yang biasa dipakai adalah kilojoule dengan singkatan kJ; 1 kJ = 1000 joule. Dalamkelistrikankitabiasamenggunakansatuanwatt-hour(Wh) yaituenergiyangmasukpadapirantilistrikyangmenyerapdaya1 watt selama 1 jam; untuk bilangan yang besar kita gunakan kilo-watt-hour(kWh)bahkanmega-watt-hour(MWh)dangiga-watt-hour (GWh).Hubunganantarajoule(satuanenergi)denganwatt(satuan daya) adalah k joule/deti 1 watt1 =Energi(dengansimbolw)adalahintegralterhadapwaktudaridaya (dengan simbol p) =21ttpdt wsehingga satuan energi menjadi watt-detik ataupun watt-hour. Panas,yangjugamerupakansalahsatubentukenergi,mempunyai satuankaloridisingkatcal.Satukaloripadamulanyadidefinisikan sebagaijumlahenergiyangditransferdalambentukpanasuntuk meningkatkantemperaturairmurni1gsebesar1oC,tepatnyadari 14,5oCmenjadi15,5oC.Satuanyangseringdipakaiadalahkilokalori disingkat kcal. Satu kilokalori sama dengan 1000 cal ekivalen dengan 1C kalori nutrisi. Jadi 1 kilokalori = 1000 kalori = 1 kcal = 1C. Pada waktuinisatukalorididefinisikansamadengan4,184J,sehingga1 kcal = 4,184 kJ. SkalaMikroskopis.Energielektrondalamatommaupunpadatan dinyatakandengansatuanelektron-voltdisingkateV.SatueVadalah energiyangdidapatolehelektronyangbergerakpadaperbedaan potensialsebesar1volt.Muatanelektronadalah1.601910-19 coulomb; oleh karena itu Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)4 joule 10 6019 , 1 watt.detik 10 6019 , 1 ik.volt ampere.det 10 6019 , 1 ltcoulomb.vo 10 6019 , 1 eV 119 1919 19 = = = = Elektron dapat lepas dari atom netral sehingga atom netral menjadi ion positif.Peristiwaterlepasnyaelektrondariatomnetraldisebut ionisasi,danenergiyangdiperlukanuntukmelepaskanelektron tersebutdisebutenergiionisasiataupotensialionisasiyangbiasanya dinyatakan dalam eV. Jikasuatumetaldipanaskan,permukaanmetaldapatmengeluarkan elektron.Gejalainidisebutemisithermal(thermionicemission). Elektron dapat lepas dari permukaan metal apabila ia memiliki energi sebesar anbersangkut yang metal212fuction work v m Eh e h =Ehadalahenergielektron,meadalahmassaelektron,danvhadalah proyeksikecepatanthermalelektronpadaarahnormalpermukaan. Kita akan melihat gejala ini lebih lanjut. 1.2. Perkembangan Konsep Atom 1.2.1. Pandangan Spekulatif Democritus:PartikelKecilTakDapatDipecahLagi.Beberapa filosofYunanikuno,sepertiDemocritus(460SM),berpandangan bahwa material terdiri dari partikel-partikel kecil, sedemikian kecilnya sehinggaiatidak dapat dibagi lagi. (Dalam bahasaYunaniatomos, dalambahasaLatinatomus,berartitakdapatdibagi).Walaupun pandangan atau teori ini bersifat spekulatif, namun ia mampu bertahan sampai kurang lebih dua ribu tahun lamanya.1.2.2. Atom Sebagai Partikel Dalton:SetiapUnsurTerdiriDariAtomIdentik.Padatahun1803, John Dalton (1766-1844), akhli kimia dan fisika Inggeris, memberikan landasanyanglebihtegaspadateorimengenaiatom.Melalui pemahamannya tentang perilaku gas, John Dalton menyatakan bahwa setiapunsurterdiridariatom-atomidentikdanatomdarisuatuunsur berbedaberatnyadarisemuaunsuryanglain.Iamenghitungberat relatifdariberbagaiunsur,yangkemudiandisebutberatatom. DengandasarteoriDalton,atomdigambarkansebagaikelerengkecil 5yanghalus,licin,kerasdantakdapatdipecahlagi;gambaranseperti ini bertahan sampai akhir abad ke-19.Thomson: Atom bukan partikel Terkecil. Pada tahun 1897 fisikawan InggerisSirJ.J.Thomson(1856-1940)menunjukkanbahwasuatu bentuk radiasi,yang disebutsinar katoda, terdiri dari partikel-partikel yangjauhlebihkecildariatomdanpartikelinimengandungmuatan listrik negatif. Partikel-partikel inilah yang kemudian disebut elektron yangmerupakanpartikelsub-atomyangpertamakaliditemukan. Thomsonmenyatakanbahwaatombukanlahpartikelterkecilakan tetapiterdiridaripartikel-partikelyanglebihkecillagi.Ia menggambarkan atom sebagai partikel yang bermuatan positif dengan disana-sinitertanampartikellainyangbermuatannegatif.Jumlah partikelyangbermuatannegatifituadalahsedemikianrupasehingga keseluruhan atom secara elektris menjadi netral. Rutherford:IntiAtomDikelilingiElektron.Padaawalabadke-20, antara1906-1908SirErnestRutherford(1871-1937)menunjukkan bahwapartikel-partikelyangdipancarkanolehbahanradioaktif hampirseluruhnyadapatmenembuslembarantipismetal,dansangat sedikitpartikelyangdipantulkan.KejadianinimembuatRutherford percayabahwasebagianbesardarisuatuatomadalahberuparuang kosong.Rutherfordkemudianmemberigambaranbahwamuatan positifatomterkonsentrasidalamruangkecildipusatatom(yang kemudiandisebutintiatom)dandikelilingiolehelektron-elektron. Intiatominilahyangmemantulkanpartikelradioaktifapabila kebetulanpartikelinimenabrakintiatom;sementarapartikelyang tidakmenabrakintiatomakanmelewatiruangkosongdisekitarinti atom.Partikelbermuatanpositifyangberadadalamintiatomia namakan proton.1.2.3.GejalaFisikaYangTerkaitDenganPemahamanTentang Atom Perkembangankonseptentangatomtidaklahberdirisendiritetapi terkaitpuladenganperkembanganpemahamanmengenaigejala-gejala fisika yang lain. Hal ini akan kita lihat pula secara singkat.Kirchhoff:TentangRadiasiThermal.Perpindahanpanasdapat terjadimelaluikonduksi,konveksi,danradiasi.Apayangakankita bahasberikutiniadalahperpindahanpanas,atauperpindahanenergi, Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)6melalui radiasi. Dua benda yang berbeda temperatur, akan mengalami prosespenyamaantemperaturdanprosesinitetapterjadiwalaupun merekaberadadalamruanghampa.Pertukaranenergiterjadimelalui radiasi gelombang elektromagnetik dari atom-atom pada kedua benda tersebut. Jika atom menyerap energi maka tingkat energinya akan naik danjikaiamemancarkanenergimakatingkatenerginyamenurun. Kita masih akan melihat lebih rinci mengenai energi ini. Misalkan dua benda yang terlibat dalam proses penyamaan temperatur membentuk sistem tertutup, yaitu sistem yang terisolasi sehingga tidak terjadiradiasiyangmenembusdindingisolasi.Setelahbeberapa waktu,sisteminimencapaikeseimbangandanmemilikitemperatur sama dan merata di seluruh sistem. Namun hal ini tidak berarti bahwa peristiwaradiasiberhenti.Peningkatandanpenurunanenergitetap terjadipadasetiapatomdaribendaini;namunkelompokatom-atom padabendainidisetiapsaatmenerimadanmengeluarkanjumlah energiyangsama,danhaliniberlakuuntuksemuapanjang gelombang.Secaraumum,setiapbendamenyerapsebagianradiasi yangditerimauntukmenaikkantingkatenergiatom-atomnya;dan sebagian yang lain dipancarkan olehnya. Kenaikanenergiyangterjadipadasuatuatomtidaklahberlangsung lamakarenaiaakankembalipadatingkatenergisebelumnyadengan melepaskanenergiyangditerimanyadalambentukradiasi.Jikakita tinjau satu satuan luas yang terdiri dari sejumlah atom dan energi yang diterimaperdetikpadasatusatuanluasiniadalah,makaenergi yangdiserapperdetikolehsatusatuanluasinidapatdinyatakan dengan = A Eserap(1.1) denganAadalahfaktortakberdimensiyangdisebutabsorbsivitas. Dalamkeadaankeseimbangan,energiyangdiserapinisamadengan energi yang diradiasikan = = = A E E Eradiasi serap (1.2) dan temperatur tidak berubah. Pertanyaanyangtimbuladalah:bagaimanakahkeseimbanganharus terjadijikabeberapabendayangmasing-masingmemiliki absorbtivitasberbedaterlibatdalampencapaiankeseimbangan 7tersebut?Berdasarkananalisisthermodinamis,GustavKirchhoff (18241887),fisikawanJerman,menunjukkanbahwakeseimbangan akanterjadijikaintensitasradiasiyangditerimadipermukaansatu benda sama dengan intensitas yang sampai di permukaan benda-benda yang lain. Jadi = = = = .......332211AEAEAE(1.3) dengan Ei dan Ai adalah energiyang diserap dan absortivitasmasing-masingbendayangterlibat.Relasi(1.3)inidikenalsebagaihukum Kirchhoff,yangberlakuuntuksembarangpanjanggelombangdan sembarangtemperatur.Iamenyatakanbahwarasiodayaradiasi (enegiradiasiperdetik)terhadapabsorbtivitasuntuksembarang panjang gelombang dan sembarang temperatur adalah konstan. Dalam halkeseimbanganbelumtercapai,relasiinimasihbisadiaplikasikan jikakitameninjauinterval-intervalwaktuyangpendekdalamproses menuju ke keseimbangan tersebut. Wien: Radiasi Benda Hitam. Pada dekade terakhir abad 19, beberapa ahlifisikamemusatkanperhatiannyapadasuatuproblem,yaitu distribusienergipadaspektrumradiasibendahitam(black-body radiation).Bendahitamadalahbendayangmenyerapseluruhradiasi gelombang elektromagnetik yang jatuh padanya dan sama sekali tidak memantulkannya.Perilakubendahitamsemacaminidiperolehpada lubangkecildarisuatukotakataubolatertutup;berkassinaryang masukmelaluilubanginisulitakankeluarlagimelaluilubang tersebut,kecualimungkinjikaberkassinarinisudahberkali-kali dipantulkanolehdindingkotak;namundemikiandalamsetiap pantulan ia sudah kehilangan energi. Oleh karena itu jika kotak cukup besar dan lubang cukupkecilmaka berkassinar tak dapat lagikeluar darilubangyangberartilubangmenyerapkeseluruhansinar,semua panjanggelombang,tanpamemancarkankembali;iamenjadibenda hitam. HukumKirchhoffyangkitabahasdalamsub-babsebelumnya, memilikikonsekuensisangatmenarik.Bendayangterlibat perpindahanpanasmelaluiradiasipadafrekuensidantemperatur tertentu,menerimagelombangelektromagnetikdenganintensitas yangsamadaribendasekelilingnya,tidaktergantungdarimacam material dan sifat fisiknya. Untuk setiap panjang gelombang frekuensi Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)8 f,danuntuksetiaptemperaturT,diperolehsatunilai.Olehkarena ituterdapatfungsiuniversal(f,T)yangakanmenentukanproses perpindahan panas melalui radiasi. Untuk benda hitam A =1, sehingga diperoleh relasi ) , ( T f E = (1.4) (f,T)adalahenergiperdetikyangdiserapataudipancarkan,disebut dayaradiasidaribendahitam.Untukmengukur(f,T),sebuahpipa terbuatdarimaterialtahanpanas,dimasukkandalamovendan intensitasradiasiyangkeluardarilubangpipadipelajaridengan menggunakanspektrograf.Hasileksperimeninisangatdikenal,dan memilikibentukkurvasepertidiperlihatkanpadaGb.1.1.yang termuat dalam banyak buku referensi. Pada Gb.1.1. terlihat bahwa radiasi terkonsentrasi pada selang panjang gelombangyangtidakterlalulebar,yaituantara1sampai5u.Jika kitaingatbahwapanjanggelombangcahayatampakadalahantara 4000 sampai 7000 ,makahanya pada temperatur tinggi saja radiasi benda hitam mencakup spektrum cahaya tampak. Radiasi panas terjadi padapanjanggelombangyanglebihpendek,kearahpanjang gelombanginframerah.Padaselangtemperaturyangbiasakita jumpaisehari-hari,gelombanginframerahmerupakanpembawa energi dan sering disebut sebagai gelombang panas. Gb.1.1. Daya radiasi sebagai fungsi panjang gelombang. [1]. PadaGb.1.1.terlihatbahwanilaipanjanggelombangyangterkait denganintensitasradiasiyangmaksimumbergeserkekiridengan naiknyatemperatur.PergeseraninimengikutihukumpergeseranWien (Wilhelm Wien 1864 1928, fisikawan Jerman) Daya Radiasi 1700o 1500o 1300o 1 2 3 45[u] 9b Tm= (1.5) denganmpanjanggelombangpadaradiasimaksimum,Ttemperatur dalamderajatKelvin,dan 310 8978 , 2 = b m oKyangdisebut konstantapergeseranWien.Jikaradiasiuntukpanjanggelombang tertentu disebut E, maka radiasi total adalah =0d E R(1.6) yangtidaklainadalahluasdaerahantarakurvadansumbumendatar padaGb.1.1.NilaiR berubahcepat dengannaiknyatemperatur,yang dapat dinyatakan dalam relasi sec erg/cm2 4T R = (1.7) dengan 510 6693 , 5 = W m2 oK4, yang disebut konstanta Stefan-Boltzmann. (Ludwig Boltzmann 1844 1906, fisikawan Austria).MaxPlanck:EnergiTerkuantisasi.TeoriKirchhoffdigunakanoleh MaxKarlErnstLudwigPlanck(18581947),fisikawanJerman, sebagai titik awal studinya,yang akhirnyamembawanya pada hukum mengenairadiasidanteorikuantumenergi.Planckmenggambarkan dinding rongga sebagai terdiri dari osilator-osilator kecil, dan masing-masingosilatormemancarkanradiasisesuaidenganfrekuensinya sendiri, dan secara selektif menyerap radiasi yang jatuh padanya. Pada 1901iamengemukakanpostulatbahwaperubahanenergihanya terjadi dalamkuantitasyangdiskrit (quanta); dan denganpostulatnya iniPlancksangatmempengaruhiperkembanganfisikapadamasa-masaberikutnya.Iamenyatakanbahwadalammasalahradiasibenda hitam,energiosilatorlahyangpertama-tamaharusdiperhatikandan bukanenergiradiasiyangdipancarkannya.Energiradiasiakan mempunyairelasitertentudenganenergiosilator.Planckmelakukan perhitunganuntukmemperolehdistribusidarikeseluruhanenergi. Ternyatabahwaperhitungantersebuthanyamungkindilakukanjika energiterdiridarielemen-elemendiskrit.PadatahapiniPlancktidak menganggappentingartifisisdarielemen-elemenenergiyang dikemukakannya.Pengertiantersebutdimunculkanagariadapat melakukanperhitungan-perhitunganpadamasalahyangsedang dihadapinya. Akan tetapi kemudian ia menemukan bahwa agar hukum pergeseranWiendapatdipenuhi,elemenenergitiaposilatorharuslah Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)10samadenganfrekuensinyakalisuatukonstantahyangiasebut quantumofaction.AnggapanyangdikemukakanolehPlanck adalah sebagai berikut: 1. Energi osilator adalahnhf E = (1.6) dengannbilanganbulat,hkonstanta,ffrekuensi.Daridata-data eksperimentalyangdiperoleh,Planckmenghitungnilaidarih, yangkemudiandikenalsebagaisuatukonstantauniversalyang disebut konstanta Planck. sec - joule 10 626 , 6 sec - erg 10 626 , 634 27 = = h(1.7) 2.Karenaperubahanenergiadalahdiskritmakatransisidarisatu tingkatenergiketingkatenergiyanglainharuslahdiikutioleh pengeluaran (emisi) energi atau penyerapan (absorbsi) energi.3.Energiyangdikeluarkanataupunenergiyangdiserapharuslah dalam jumlah yang diskrit. AlbertEinstein:EfekPhotolistrik.GagasanPlanckmengenai terkuantisasinya energi digunakan oleh Albert Einstein (1879 1955), seorangfisikawanketurunanYahudiyanglahirdiJermandan kemudianpindahkeAmerika,untukmenjelaskanefekphotolistrik. Photolistrikadalahperistiwa terjadinyaemisielektrondari permukaanmetalapabila permukaantersebutmenerima cahayamonochromatik. Skemaeksperimenmengenai peristiwaphotolistrikini diperlihatkan pada Gb.1.2. Gb.1.2. Skema eksperimen photolistrik. [1]. Elektrondapatkeluarmeninggalkanpermukaanmetalkarenaia menerimatambahanenergidaricahaya.Jikaintensitascahaya ditambahmakajumlahelektronyangdiemisikandaripermukaan metalakanbertambah(ditandaidengannaiknyaaruslistrikdi rangkaianluar)akantetapienergikinetikmaksimumelektronyang keluartersebuttidakberubah.Jadienergikinetikelektronyang diemisikanbukanmerupakanfungsiintensitascahayayangjatuhdi permukaanmetal.Jikafrekuensicahayadinaikkandenganmenjaga A cahaya monochromatik emisi elektron V 11 intensitasnyatetap,energikinetikmaksimumelektronyang diemisikanakanbertambahtetapijumlahelektronyangdiemisikan tidakberubah(aruslistrikdirangkaianluartidakberubah).Halini berartibahwaenergikinetikelektronbertambahapabilafrekuensi cahayabertambah.Denganperkataanlainfrekuensigelombang cahayalah(gelombangelektromagnit)yangmenentukanberapabesar energielektronyangdiemisikandanbukanintensitasnya.Jikadibuat kurva energi kinetik maksimum terhadap frekuensi gelombang cahaya terlihat hubungan yang linier seperti terlihat pada Gb.1.3. Hubunganlinierinidiperolehuntukberbagaimacammetaldan semuanyamemberikankemiringankurvayangsama.Perbedaan terletakpadatitikpotongantarakurvadengansumbutegak(energi). Jarak antara titik potong ini dengan titik (0,0) menunjukkan apa yang disebutsebagaifungsikerja,W.Perbedaanletaktitikpotongkurva daribermacammetalmenunjukkanperbedaanfungsikerjadari berbagaimetal.Fungsikerjaadalahtambahanenergiminimumyang diperlukanagarelektrondapat keluardaripermukaanmetal. Halinilahyangterjadipada peristiwa photolistrik dan gejala inidijelaskanolehEinstein pada1905denganmengambil postulatbahwaenergiradiasi juga terkuantisasi seperti halnya Planckmembuatpostulat kuantisasi energi pada osilator.Gb.1.3. Energi maksimum elektron sebagai fungsi frekuensi cahaya.[1]. Anggapan-anggapanyangdipakaiolehEinsteindalammenjelaskan peristiwa photolistrik adalah: 1.Radiasi cahaya terbangun dari pulsa-pulsa diskrityang disebut photon. 2.Photon-photoninidiserapataudikeluarkandalamkuantitas yang diskrit. 3.Setiap photon memiliki energi yang merupakan kelipatan bulat dari hf. 4.Photonberperilakusepertigelombangdenganfrekuensiyang sesuai. 0 W1 W2 W3 Emakf metal 1 metal 2 metal 3 Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)12Jika Eke adalah energi kinetik maksimum elektron yang meninggalkan permukaanmetal,danhfadalahenergigelombangcahaya,maka hubungan linier pada Gb.1.3. dapat dituliskan sebagai W hf E E W hf Eke ke = + = =atau (1.8) Jadiperistiwaphotolistrikmenunjukkanbahwaelektrondalammetal hanyaakanmeninggalkanpermukaaanmetalapabilaiamemiliki energi yang cukup, yaitu paling sedikit sebesar energi yang semula ia milikiditambahdengansejumlahenergisebesarW.Keadaanini digambarkan pada Gb.1.4. Gb.1.4. Work function dan energi potensial di permukaan metalyang harus dilewati. PenjelasanEinsteinmemantapkanvaliditashipotesamengenai kuantumenergi.Iajugamelakukanperhitungan-perhitunganyang berkaitan dengangerak Brown,yang pada akhirnyameyakinkan para ilmuwan bahwa atom memang benar-benar ada.1.2.4. Teori Atom Bohr StrukturAtom.BerangkatdarigagasanPlanckmengenaikuantisasi energi,pada1913NielsBohr(1885-1962),seorangfisikawan Denmark,menyatakanbahwaelektrondidalamatomberadapada tingkat-tingkatenergitertentu.Jikaatommenyerapenergi,elektron melompatketingkatenergiyanglebihtinggi.Jikaelektronkembali padatingkatenergisebelumnyayanglebihrendahmakaatom mengeluarkanenergi.Tingkat-tingkatenergitersebutmempunyai nilai-nilaidiskrit(terkuantisasi);penyerapandanpengeluaranenergi jugaterjadisecaradiskrit.Atomdengankonsepinidisebutatom hf W Ekemakss Eke < Ekemaks permukaan metal metal vakum energi maksimum elektron dalam metal energi potensial pada permukaan metal yang harus dilewati 13 Bohr.ModelatomBohrmampumenjelaskancukupbaikatom hidrogentetapitidakmampumenjelaskanatomdenganbanyak elektron dan juga tidak mampu menjelaskan ikatan atom. WalaupunmodelatomBohrternyatakurangmemadaiuntuk menjelaskanberbagaigejalaatom,namunlangkahBohrmerupakan satutahapanpentingdalamperkembangankonsepatom.Kitaakan meninjaunyaagarmemperolehgambaranlengkapmengenai perkembanganpengertiantentangatom.Modelatomyang dikemukakanolehBohrberbasispadamodelyangdiberikanoleh Rutherford,yaitubahwaatomtersusundaripartikel-partikel.Partikel bermuatan positif berada di pusat atom, yang disebut inti atom, dan di sekelilingintiatominiterdapatelektron-elektronyangbermuatan negatifdenganjumlahyangsamadenganmuatanpositifintiatom. Perbedaanpentingantarakeduamodelatomituadalahbahwadalam modelRutherfordelektronberadadisekelilingintiatomdengancara yangtidakmenentusedangkanpadamodelatomBohrelektron-elektrontersebutberadapadalingkaran-lingkaranorbityangdiskrit dantertahanpadaorbitnyatanpakehilanganenergi;energielektron adalahdiskrit.Gagasanmengenaienergiyangdiskritinipada dasarnyasamadengangagasanyangtelahdikemukakanolehPlanck sertaEinstein.ModelatomBohrdikemukakandenganmenggunakan pendekatan mekanika klasik. (Catatan: istilah orbit menjadi orbital pada tinjauan elektron sebgai gelombang di bab-bab selanjutnya). EnergiElektronTerkuantisasi.Elektronbermuatannegatif, C 10 60 , 119 = e . Kita bayangkan satu atom dengan inti bermuatan positifsebesarZedansebuahelektronmengelilingiintiatomini dalamorbitlingkaranberjari-jarir.Elektroninimendapatgaya coulomb sebesar 22rZeFc = (1.9) Jikaelektroniniharustetapberadapadaorbitnyamakagaya sentripetal yang ia alami haruslah sama dengan gaya coulomb; jadi rmvrZe222=atau rZemv22 =(1.10) Dari (1.10) ini kita dapat menghitung energi kinetik elektron, yaiturZe mvEk2 22 2= =(1.11) Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)14Mengenaienergipotensialnya,kitaambilreferensienergipotensial0 pada r = sehingga energi potensial elektron adalah k pErZeE 22 = = (1.12) Energi total, yaitu energi elektron pada orbit ini, adalah k k pErZeE E E = = + =22 (1.13) Relasi(1.13)menunjukkanbahwabesarenergitotalelektronsama denganenergikinetiknya.Jikafadalahfrekuensisiklusperedaran elektronpadaorbitlingkaranyangberjari-jarir,makakecepatan elektron adalahrf v = 2 dan energi kinetiknya adalah22 22) 2 (2fr m mvEk= = (1.14) Dari (1.14) kita dapatkanf r mdfdEk 2) 2 ( =atau f f r m Ek = ) 2 (2 (1.15) Jadiperubahan-perubahanenergielektronterkaitdenganperubahan frekuensisiklus.GagasanBohradalahbahwaorbitelektronadalah diskritdanbahwaadahubunganlinierantaraenergidanfrekuensi seperti halnya apa yang dikemukakan oleh Planck dan Einstein. nhf E = (1.16) dengan n bilangan bulat, dan h adalah konstanta Planck. Dengan demikian perubahanfrekuensi siklus juga diskrit. Dari (1.15) dan (1.16) diperoleh 2) 2 ( r mhn f= (1.17) Relasi energi kinetik (1.14) dapat ditulis sebagai 2222222 2) 2 (2) 2 ( ===mrrf mfr mEk(1.18) Dari sini kita dapatkan momentum sudutnya, yaitu ==2mrddEpk dan perubahan = 2mr p(1.19) 15 Karenaf 2 = makaf = 2sehingga (1.14) dapat ditulis ) 2 (2f mr p = (1.20) Sementara itu (1.15) dapat kita tulis sebagai nhf f f r m f f r m Ek= = = ) 2 )( 2 ( ) 2 (2 2(1.21) Persamaan (1.21) ini memberikan 2 ) 2 (2= h nf r m (1.22)Persamaan(1.22)dan(1.20)menunjukkanbahwaperubahan momentum juga diskrit. = = 2 ) 2 (2h nf mr p (1.23) JadidalammodelatomBohrini,energidanjugamomentumsudut adalahterkuantisasi.OlehkarenaitudalammodelatomBohr,setiap orbitditandaidenganduamacambilangankuantum,yaitubilangan kuantumprimernyangmenentukantingkatenergi,danbilangan kuantum sekunder lyangmenentukanmomentum sudutsebesar 2lh. Rasio lnsamadenganperbandinganantarasumbupanjangdan sumbupendekorbityangberbentukelips.Jikan=lorbitnya berbentuklingkaran,yaitubentukorbityangdigunakanuntuk menurunkan hubungan-hubungan (1.9) sampai (1.23) di atas.Untuksuatunilaintertentu,bilangankuantumldapatmempunyain nilai. Untuk n tertentu, makin rendah nilai l makin tinggi eksentrisitas dariorbityangberbentukelipsdanelektronyangberadadiorbitini akansecaraperiodikmendekatkeintiatom.Nilailpalingbesar adalahnkarenapadal=nituorbitnyaberbentuklingkaran.Atom yangpalingstabiladalahatomyangseluruhelektronnyamenempati orbit-orbityangpalingrendahyangdiperkenankan,yangdisebut ground states. Jari-JariAtomBohr.Jari-jariatomdapatdihitungmelalui persamaan(1.8)yangmenyatakanbahwagayasentripetalelektron samadengangayacoulomb,r Ze mv /2 2 = .Darisinikitadapatkan 2 2/ mv Ze r = .Akantetapikecepatanelektrontidakdiketahui.Oleh Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)16karenaitukitamenggunakanmomentumdenganmengalikan pembilang dan penyebut dengan m sehingga kita peroleh 22) (mvmZer =(1.24) Momentum sudut diberikan oleh (1.15), =2mr p . Karena rv= ,maka mrvrvmr p = =2 ataurpmv=(1.25) Karenamomentumsudutadalahdiskritmakadari(1.23)dan(1.25) kita peroleh rh nmv=2 (1.26) Substitusi (1.26) ke (1.24) memberikan 2 22 2) 2 (h nr mZer= sehingga2 22 24 mZeh nr= (1.27) Inilahformulasi untuk jari-jari atom Bohr, yang dapat pula dituliskan sebagai Znk r21=(1.28) dengan konstanta cm 10 528 , 081 = k . Untuk atom hidrogen dalam ground state, di mana n dan Zbernilai satu, maka528 , 0 = r .Energi Kinetik Elektron.Energi kinetik elektron dapat diperoleh dari (1.25) dan (1.9) 2222 22 2 2 222) 4 (2

== =nhZemh nmZe ZerZeEk (1.29) Kecepatan Elektron.Kecepatan elektron dapat dihitung dari formula untuk energi kinetik (1.11) dan momentum (1.26).rZe mvEk2 22 2= = dan rh nmv=2 17 nhZenhrrZemvEvk2 22 42 2 /= = = (1.30) Tingkat-TingkatEnergiAtomHidrogen.Menurut(1.13)energi total elektron adalah rZeE22 =Dengan memasukkan (1.27)2 22 24 mZeh nr=danmengambilZ=1untukhidrogen,kitaperolehenergiuntuktiap bilangan kuantum prinsipal n, eV 6 , 13 22 2 24 2 2n h ne mZEn = = (1.31) Tingkat-tingkat energi ini digambarkan pada Gb.1.5. SpektrumAtomHidrogen.Menurut(1.11)energitotalelektron adalah kE E = .Dengananggapanbahwafrekuensidarisuatugaris spektrumsebandingdenganbedadariduastatusenergi,makaenergi yang terkait dengan garis spektrum adalah 1 2 3 4 5n : 13,3,41,5energi total [eV] ground state 10,2 1,89eV Gb1.5. Tingkat-tingkat energi atom hidrogen.[2]. bilangan kuantum prinsipal -1600Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)18

= = =22212222 1 1 21 12 n nhZemE E E E hfk k(1.32)atau

=222134 2 21 1 2n n he mZf(1.33) BeberapagarisspektrumatomhidrogendiperlihatkanpadaGb.1.6. Spektrum selengkapnya terlihat dalam Tabel 1.1. Gb.1.6. Diagram spektrum atom hidrogen.[1]. Tabel 1.1.[3]. Deretn1 n2 Radiasi Lyman12,3,4,UV Balmer23,4,5,tampak Paschen34,5,6,IR Brackett45,6,7,IR Pfund56,7,8,IR UV : ultra violet ;IR : infra merah ModelatomBohrberhasilmenjelaskandengancukupbaikatom hidrogennamuntidakmampumenjelaskandetilspektrumdariatom yangmemilikibanyakelektron;modelinijugatidakmampu 1 2 3 4 5 deret Lyman deret Balmer deret Paschen Tingkat Energi 19 memberikanpenjelasanmengenaiikatan-ikatankimia.Kesulitan-kesulitaninidiatasiolehmekanikakuantum,yangakankitapelajari dalam bab-bab selanjutnya. 1.2.5. Elektron Sebagai Gelombang LouisdeBroglie:ElektronSebagaiGelombang.JikaNielsBohr masihmemandangbahwaelektronadalahpartikel,tidakdemikian halnyaLouisV.deBroglie,seorangfisikawanPerancis.Padatahun 1923,deBrogliemenyatakanbahwapartikelsub-atomdapat dipandangsebagaigelombang.Pernyataaninidapatdilihatsebagai kebalikan dari pernyatan Einstein yang mengatakan bahwa gelombang elektromagnetikterkuantisasisepertilayaknyapartikel,yangdisebut photon(1905).DeBrogliemembuatpostulatbahwaelektrondapat dipandang sebagai gelombang dengan panjang gelombang ph= (1.34) denganhadalahkonstantaPlanckdanpadalahmomentumelektron. Kita akan mencoba memahami formula (1.34) ini di Bab-2.DavissondanGermer:KonfirmasiEksperimental.Pada1927 pendapatdeBrogliedikonfirmasiolehfisikawanAmerikaClinton JosephDavisson(18811958)danLesterH.Germer,danjuga GeorgePThomson(1892-),melaluipercobaanyangmenunjukkan bahwaberkaselektronyangsemuanyamemilikienergisamabesar dapatdidefraksiolehsebuahkristal.Peristiwadefraksiinidapat dijelaskanmelaluianggapanbahwaelektronberperilakuseperti gelombang. Schrdinger:PersamaanGelombang.Padamasaitu,seorang fisikawanAustriayaituErwinSchrdinger(18871961) mengembangkanpengetahuanmekanikakuantumdanaplikasinya pada gejala-gejala atom (1926). Mekanika kuantum memberikan hasil matematis yang lebih mendekati hasil observasi dibandingkan dengan mekanikaklasik;teoriinilahyangakanmengatasikelemahandari modelatomBohr.DalampersamaanSchrdinger,elektron dimodelkansebagaigelombangyangakankitabahaslebihlanjutdi Bab-3 yang kemudian diaplikasikan pada struktur atom pada Bab-4. Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)20Heisenberg: Prinsip Ketidak-Pastian. Werner Karl Heisenberg (1907 -), fisikawan Jerman,memformulasikanmekanikakuantum secara independendariErwinSchrdinger.Pada1927iamengemukakan prinsipketidak-pastianyangberimplikasibahwamakinakuratkita mengengetahuimomentumsuatupartikael,makintidakakuratkita mengetahui posisinya. Dirac:PengembanganLebihLanjutMekanikaKuantum.Paul AdrienMauriceDirac(1902 -),fisikawanInggris,mengembangkan lebihlanjutteorimekanikakuantumyangdikemukakanoleh Schrdinger dan Heisenberg.Pada 1928 ia mengemukakan teori baru tentangelektron,yangmenggabungkanrelativitasdanmekanika kuantum. Teori baru ini dapat menjelaskan sifat elektron yang disebut spinelektron,yangtidakdapatdijelaskanolehmekanikakantum non-relativitas yang telah dikemukakan sebelumnya oleh Schrdinger. TeoriDiractidakhanyamenjelaskantentangspinelektron,tetapi jugameramalkanadanyaanti-elektronataupositron,yangkemudian diamati secara eksperimental oleh C.D. Anderson pada 1932. 1.2.6. Partikel-Partikel Sub Atom Yang Lain Untukmelengkapiriwayatatom,kitamelihatsecaraselintas penemuanpartikel-partikelsub-atomselanjutnya.Pada1932James Chadwick,seorangfisikawanInggris,menemukanpartikelsub-atom yang tidak bermuatan listrik dan dinamakannya neutron. Neutron dan protonmempunyaimassahampirsamadanmassamasing-masing adalahsekitar1800kalimassaelektron.Denganpenemuaninimaka inti atom digambarkan sebagai terbangun dari proton dan neutron. Inti atommengandunghampir seluruhmassa atom karenamassa elektron jauhlebihkecildarimassaprotonmaupunmassaneutorn.Partikel sub-atomyanglainditemukanolehC.D.Anderson,fisikawan Amerika,pada1932.Partikelinisepertielektronakantetapi bermuatanpositifdandisebutpositron.Padatahun-tahun empatpuluhandanlimapuluhanditemukanberbagaipartikelyang mempunyai massa antara massa proton dan elektron. Partikel-partikel inidisebutmessonyangdipercayabertindaksebagaiperekatinti atom. 21 BAB 2 Elektron Sebagai Partikel Dan Sebagai Gelombang Telah disinggung di bab sebelumnya, de Broglie mengajukan postulat bahwapartikelyangbergerakdengankecepatantertentudapat dipandang sebagai gelombang yang merambat dengan arah yang sama dengan arah kecepatan partikel. Dengan postulat tersebut, upaya untuk memahamiatomterpecahmenjadiduaaliranatauduacara pendekatan.Cara pertama adalah cara pengamatan eksperimental dan carakeduaadalahpendekatanmatematis.Walaupunpendekatan matematispadaawalnyamendapattentanganyangkerasnamuncara inijustrumemberikanhasilyanglebihakurat.TeoriatomBohr misalnya,yangberbasispadapengamatanatasspektrumgelombang radiasipartikel,danmampumenjelaskandenganbaikstrukturatom hidrogen,namuntidakdapatmenjelaskanatom-atomdengannomer yanglebihtinggi.Kesulitanituternyatadapatdiatasimelalui pendekatanmatematis.Ulasankitaberikutiniadalahdalamupaya memahami pengertian tentang partikel sebagai gelombang, dan bukan dimaksudkanuntukmenelusuriataupunmembuktikanpernyataan bahwa partikel dapat dipandang sebagai gelombang. Gambaran kita mengenai partikel secara umum adalah bahwa partikel menempatisuaturuangyangterbatas.Jikasuatugelombangdapat menyatakansuatupartikelmakagelombangtersebutharuslah menempatiruangyangterbataspula.Gelombangyangdemikian keadaannya tentulah bukanmerupakangelombang tunggalmelainkan suatugelombangkomposit,yaitugelombangyangtersusundari banyak bentuk gelombang dasar sinus, yang akan kita lihat berikut ini. 2.1. Gelombang Tunggal SuatubentukgelombangsinustunggaldenganamplitudoAm, frekuensisudut,danpergeseransudut,kitatuliskansebagai ) cos( = t A um atau dengan menggunakan notasi kompleks ) ( =t jme A u (2.1) Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)22Jikamerupakanfungsix,kx = ,dengankadalahbilangan gelombang, = / 2 k , dimana adalah panjang gelombang, maka (2.1) menjadi ) ( kx t jme A u = (2.2) Persamaan(2.2)inimerupakanpersamaangelombangsinusyang merupakanfungsidarit(waktu)danx(posisi). ) ( kx t jme A u =memberikanpersamaanuntukgelombangmajukarenauntuksuatu nilaiamplitudoyangkonstan,xharusmakinbesardengan bertambahnya t; dalam hal ini gelombangmerambat ke arah sumbu x positif. Persamaan untuk gelombang mundur adalah ) ( kx t jme A u+ = . [4,9]. Kecepatanrambatgelombangdapatdicaridenganmelihatperubahan posisiamplitudo.Untukgelombangmaju,amplitudoyamgbernilai konstanakanmemenuhi0 = kx t atau ktx= .Kecepatan rambat gelombang adalah == = fk dtdxvf (2.3) denganfadalahfrekuensisiklus.Kecepataninidisebutkecepatan fasa.Bentukgelombangtunggalinimerupakanbentukgelombang non-kausal. 2.2. Paket GelombangKitalihatsuatubentukgelombangkomposityangmerupakanjumlah daringelombangsinusyangmasing-masingmempunyaiamplitudo Amn,frekuensin,danbilangangelombangkn,yaitu =nx k t jmnn ne A u) (.Gelombangkompositiniadalahgelombang maju yang dapat kita tuliskan sebagai 23

) (0] ) ( ) [(0) (0] ) ( ) [(0) (0 00 0 0 0 x k t jnx k t j mnx k t jnx k k t j mnnx k t jmne A eAAe A eAAe A un nn n n n

=

= = (2.4) dengan 0 0 0, , A k berturut-turutadalahnilaitengahdaribilangan gelombang,frekuensidanamplitudo.Dalamtinjauaninikita membatasivariasinilaibilangangelombangkpadaselangyang sempit, yaitu||

\| + ||

\| 2 20 0kk kkk . Selain itu perbedaan nilai k antaragelombang-gelombangsinustersebutsangatkecilsehingga perubahannilaikdapatdianggapkontinyu.Kitamenganggappula bahwadalamselangvariasibilangangelombangyangsempitini, amplitudodarimasing-masinggelombangpenyusuntidakterlalu bervariasisehingga1 /0 A Amn.Dengananggapaninimaka(2.4) menjadi) (0) (0] ) ( ) [(0 0 0 0) , (x k t j x k t jnx k t je A t x S e A e un n =

= (2.5) Apayangberadadalamtandakurungpada(2.5),yangkitasebut ) , ( t x S ,merupakansuatufaktoryangakanmembuatamplitudo gelombangmenjadi fungsi dari x dan t. Bagaimana bentukamplitudo sebagai fungsi x, dapat kita lihat pada suatu t tertentu, misalnya pada t = 0. Pada t = 0, bentuk amplitudo gelombang menjadi 0) (0) 0 , ( ) 0 , ( A e A x S x Anx k jn

= = (2.6) Karena perubahan k dianggap kontinyu maka ( )xk xe ejxejxk d e e x Sx k j x k jkkx k jkkx k jnx k jn/2) sin( 2 1 1) 0 , (2 / ) ( 2 / ) (2 /2 /) (2 /2 /) ( ) (= == = = + + + (2.7) Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)24Dengan demikian maka persamaan gelombang komposit (2.5) untukt = 0 menjadi x jkte Axk xu000/2) sin( 2==(2.8) Persamaan (2.8)menunjukkan bahwa amplitudo gelombang komposit inimerupakanfungsidarixyangdinyatakandenganadanyafaktor S(x),dankitakatakanbahwaamplitudogelombanginiterselubung oleh fungsi xk xx S/2) sin( 2) (= .Bentukgelombang(2.8)yangdiperolehuntukt=0inimerupakan bentuk gelombang sebagai fungsi x yang bebas dari waktu (t = 0) yang dapat dituliskan sebagaisx x jkte x A e x A u ) ( ) (0= =(2.9) Limit fungsi selubungxk xx S/2) sin( 2) (=adalahk jikax0dan0jikax;jikadigambarkanakan terlihat seperti pada Gb.2.1. Gb.2.1. Paket gelombang. Kita katakan bahwagelombangkomposit ini berada dalam selubung atau paket dan kita sebut sebagai paket gelombang. Paket gelombang inimempunyaiamplitudomaksimumdisuatutitikdannilainya menurundengancepatdiluartitiktersebut.Bentukgelombang selubung S(x) = xk x /2) sin( 2 x ) cos(/2) sin( 2

0 0x k Axk x 25 sepertiinilahyangdapatdipakaiuntukmenyatakanpartikeldengan pengertianbahwaposisipartikeladalahdisekitarnilaimaksimum gelombang ini. Lebar daerah di sekitar nilai maksimum ini, yang kita sebut lebar paket gelombang, harus kita definisikan. Pendefinisian ini agakbebassehinggakitatidakmenentukanposisielektronsecara pastimelainkanmenentukanrentangxdimanaelektronmungkin berada; hal ini perlu kita sadari jika kita menyatakan elektron dengan fungsigelombang.Jikakitaambilnilai2 / ) 2 / ( = x k makapada k x = / amplitudotelahmenurunsampai63%darinilai maksimumnya.Nilaixinikitapakaisebagaibataslebarpaket gelombang sehingga lebar paket gelombang pada Gb.2.4 adalahkx = 2 (2.10) Hubunganantarasebaranbilangangelombang,k,danlebarpaket gelombang, x, menjadi = 2 x k (2.11) Dari persamaan gelombang komposit (2.5) ) (0) (0] ) ( ) [(0 0 0 0) , (x k t j x k t jnx k t je A t x S e A e un n =

= kitadapatmendefiniksikanduamacamkecepatan.Yangpertama adalah kecepatan fasa0 0/ k vf =seperti yang telah kita kenal pada gelombangtunggal.Yangkeduaadalahkecepatangroupyangdapat kitalihatdariamplitudogelombangkomposit 0) , ( A t x S .Amplitudo gelombanginiakanmempunyaibentukyangsamabila konstan ) , ( = t x S .Haliniakanterjadijikax k tn n) ( ) ( = untuk setiap n. Dari sini didefinisikan kecepatan group sebagai k k txvg = ==(2.12) karenakdianggapcukupkecil.Kecepatangroupinimerupakan kecepatanrambatpaketgelombang.Karenapaketinimewakili elektron maka vg juga merupakan kecepatan elektron. Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)262.3. Panjang Gelombang de Broglie, Momentum, Kecepatan DeBrogliememberikanrelasipanjanggelombangyaiturelasi(1.34) yang kita tulis kembali sebagai (2.13) ph= (2.13) di mana h adalah konstanta Planck dan p adalah momentum elektron. Kitaakanmencobamemahamiformula(2.13)ini,melaluiformulasi Einstein tentang kuantisasi energi.MenurutEinsteingelombangelektromagnetik(cahaya)memiliki energiyangterkuantisasidalampaket-paketenergiyangdisebut photon: == = h2h hf Eph(2.14) denganfadalahfrekuensisiklusdan = 2 / h h .Kalauenergi gelombangdapatdinyatakansebagaienergipartikelphotondengan formula (2.14), maka energi partikel elektron yang dipandang sebagai gelombangharuslahdapatdinyatakandenganmenggunakanformula yangsama.Sebuahelektron-bebas,yangtidakmendapatpengaruh medanpotensialapapun,jikadipandangsebagaigelombangharus memiliki energi = = hkE E (2.15)Kecepatanelektronvesamadengankecepatangroupvgdaripaket gelombang.Jadienergikinetikelektronsebagaipartikel 2 / 2 /2 2g e kmv mv E = = harussamadenganenergielektronsebagai gelombang (2.15), sehingga = h22gmv (2.16) Jika (2.16) diturunkan secara parsial terhadap k (bilangan gelombang) akan diperoleh k kvmvgg =h 2.17) Karena menurut (2.11)k vg = /maka(2.17) memberikan 27 gggvkvmv h = atau h =kvmg(2.18) Integrasi (2.18) memberikan == =hk mvg2h h (2.19) Dari (2.19) kita perolehphmvhg = = (2.20) Inilahrelasi(2.13)yangdiberikanolehdeBroglie;panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.Dari (2.19) kita peroleh nilai momentum elektron sebagai gelombang k mv pgh = = (2.21) dan kecepatan elektron sebagai gelombang == = =mhm mkv vg e2 h h(2.22) 2.4. Percobaan Thomson Pada1927GeorgePagetThomson(1892-),fisikawanInggris, melakukanpercobaanuntukmempelajariperilakuberkaselektron yangditembakkanmenembuslapisantipismaterialkristal.Berkas elektronini,setelahmenembuskristal,mengenailempengfilm. Gambar yang diperoleh pada lempeng film berupa lingkaran-lingkaran konsentrisyangmenunjukkanbahwaberkaselektronmengalami difraksisepertihalnyagelombangsinar-xyangdidefraksioleh materialpolikristal.Kesimpulanyangdiperoleh:elektronberperilaku seperti gelombang. 2.5. Percobaan Davisson dan GermerDavissondanGermermenembakkanberkaselektrondenganenergi tertentupadapermukaankristaltunggalnikel.Skemapercobaannya terlihat seperti pada Gb.2.2. 01Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)28 Gb.2.2. Skema percobaan Davisson dan Germer.[3]. Pantulanberkaselektronolehpermukaankristalternyatamencapai nilai maksimum pada sudut tertentu, sesuai dengan relasi Bragg = sin 2d n(2.23) dengannadalahbilanganbulat,adalahpanjanggelombang,dand adalahjarakduabidangkisiyangberurutandalamkristal.Panjang gelombangtergantungdarienergielektronyangditembakkanyang berartitergantungdariteganganakselerasipadapenembakelektron. Nilaimaksimuminiditafsirkansebagaiinterferensiyangsaling menguatkan, artinya gelombang pantulan mempunyai fasa yang sama.Persamaan(2.23)menunjukkanbahwaperbedaansudutantaradua pantulanmaksimumyangberurutan,atausin,tergantungdari/d. Jadijikapanjanggelombangterlalukecilmakaposisipantulan maksimum akan sangat berdekatan.Untukmemperoleh resolusiyang baik,panjanggelombangharusmendekatijarakkisikristaldyang kurangdarisatunanometer.Panjanggelombangditentukanoleh teganganakselerasipenembakelektron(karenateganganakselerasi menentukan kecepatan elektron) melalui hubungan akseleeVmv=22 (2.24)dan kecepatan elektron akan menentukan melalui hubungan=mhve (2.25) Untukmemperoleh=0,1nm,teganganakselerasiyangdiperlukan adalah 150 V, dan pada tegangan sekitar inilah Davisson dan Germer berkas elektronpantulan elektron detektor kristal tunggal penembak elektron 29 bekerja.Dengandemikianpercobaaninimemberikankonfirmasi bahwa elektron ber-perilaku seperti gelombang.2.6. Prinsip Ketidak-pastian HeisenbergDalampernyataanelektronsebagaigelombang,posisielektron ditentukan oleh posisi paket gelombang. Akan tetapi paket gelombang tidaklah menempati ruang yang cukup sempit, melainkan mempunyai lebaryangkitaberinotasix padaGb.2.4.Jikaposisimengandung ketidak-pastian,makakecepatanjugamengandungketidak-pastian karenadt dx v / = .Jikakecepatanmengandungketidak-pastianmaka momentumpunmengandungketidak-pastian.Heisenberg memberikan hubungan ketidak pastian momentum dan posisi sebagai h x p (2.26) yangdapatkitapahamisebagaiberikut.Menurut(2.21)momentum elektronadalahk p h = yangberartiperubahanmomentum k p = h ;sementaraitu(2.9)memberikanrelasi = 2 x k (ingat bahwakitaagakbebasmenentukanx).Darikeduarelasiinidapat kitaperoleh(2.26)daninilahrelasiketidak-pastianHeizenbergyang terkenal.Relasiinimenunjukkanbahwaketidak-pastianposisi elektronterkaitdenganketidak-pastianmomentum.Jikakitahendak mengetahuiposisielektrondengantelitimakaketidak-pastian momentumakanbesar;demikianpulasebaliknyajikakitahendak mengetahui momentum dengan teliti maka ketidak-pastian posisi akan besar.Karenaperubahanmomentumterkaitpadaperubahanenergimaka terdapatpulaketidak-pastianenergi.Darirelasienergihf E = ,kita mendapatkanbahwaperubahanenergisebandingdenganperubahan frekuensi,t h f h E = = / .Darisinididapatkanrelasiketidak-pastian energi dan waktu sebagai h t E (2.27) 2.7. Dualisme Pandangan Mengenai ElektronDalam dualisme antaraelektron sebagai partikel dan elektron sebagai gelombang, beberapa hal perlu kita catat. Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)30Bahwaelektrondapatdipandangsebagaigelombangtidaklah berarti bahwa elektron adalah gelombang; akan tetapi kita dapat mempelajari gerakan elektron dengan menggunakan persamaan diferensial yang sama bentuknya dengan persamaan diferensial untuk gelombang. Elektronsebagaipartikelmempunyaimassatertentu,m. Elektronsebagaigelombangmempunyaimassanol,tetapi memilikipanjanggelombangyangterkaitdenganmassadan kecepatan elektron yaitu g emv h mv h / / = = . Elektron sebagai partikel memiliki energi total yang terdiri dari energipotensialdanenergikinetikyaitu2 /2e p k pmv E E E E + = + = .Elektronsebagaigelombang mempunyai energi total = = h hf E . Elektron sebagai partikel mempunyai momentum2 /2emv p = . Elektronsebagaigelombangmemilikimomentum = = / h k p h . Kitatidakdapatmenentukanmomentumdanposisielektron secarasimultandenganmasing-masingmempunyaitingkat ketelitianyangkitainginkansecarabebas.Kitadibatasioleh prinsip ketidakpastian Heisenberg:h x p . Demikian pula halnya dengan energi dan waktu:h t E . 31 BAB 3 Persamaan Gelombang Schrdinger Schrdingermenyatakanbahwaperilakuelektron,termasuktingkat-tingkatenergielektronyangdiskritdalamatom,mengikutisuatu persamaandiferensialuntukgelombang,yangkemudiandikenal sebagai persamaan Schrdinger. Persamaan ini biasanya tidak dibahas secaramendalamjikamembicarakanmasalahmaterial,lebih-lebih padabukuajartingkatsarjana.DanielD.Pollockmembahashalini lebihmendalamdalambukunya,namunadasatulangkahyang dihilangkandalammengintroduksioperatormomentummaupun energi.Di sini kita akanmencoba menelusurinya dalam pembahasan yang agak terurai namun tetap sederhana.3.1. Fungsi Hamilton Jika gelombang dapat mewakili elektron maka energi gelombang dan energipartikelelektronyangdiwakilinyaharuslahsama.Sebagai partikel, satu elektron mempunyai energi total yang terdiri dari energi potensialdanenergikinetik.Sepertikitaketahui,energipotensial merupakanfungsiposisix(denganreferensikoordinattertentu)dan kita sebut Ep(x), sedangkan energi kinetik adalah Ek = mv2 dengan m adalahmassaelektrondanvadalahkecepatannya.Energitotal elektron sebagai partikel menjadi E = Ep + Ek

) (22x EmvEp+ = atau ) (22x EmpEp+ = (3.1) di mana p = mv adalah momentum elektron.Suatufungsiyangmenyatakanenergitotalsuatupartikeldapat didefinisikan,denganmomentumpdanpososixsebagaipeubah. Fungsi tersebut adalah E x Empx p Hp + = ) (2) , (2(3.2) H(p,x)adalahsebuahfungsiyangdisebutfungsiHamilton(dari WilliamRowanHamilton18051865;matematikawanIrlandia), Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)32denganpdanxadalahpeubah-peubahbebas.[4].Turunanparsial fungsi ini terhadap p dan x masing-masing adalah mppx p H= ) , ( dandxx dExx p H p) () , (=(3.3) PeubahdalamfungsiHamilton,yaitupdanx,menyatakan momentum dan posisi dalam relasi fisika maka kita peroleh dtdxvmppx p He = = = ) , (dan (3.4.a) dtdpdtdvm x Fxx Exx p H p= = = = ) () () , ((3.4.b) Jadi turunan H(p,x) terhadap p memberikan turunan x terhadap t dan turunan H(p,x)terhadap x memberikan turunan p terhadap t; dan kita pahamibahwapdisiniadalahmomentum,suatubesaranfisisdan bukan lagi sebuah peubah-bebas dalam fungsi Hamilton. Dalamrelasifisika,v dt dx = / adalahkecepatan,danF dt dp = /adalahgaya.DengandemikianmakafungsiHamilton,yang menetapkanhubunganantarapeubah-peubahbebaspdanxuntuk memperolehE,dapatkitagunakanuntukmenggantikanhubungan-hubungan fisik mengenai momentum, kecepatan, dan gaya yang biasa kita nyatakan sebagaimv p = ;mpdtdxv = = ; dtdpdtdvmdtx dm F = = =22 3.2. Fungsi Hamilton dalam Mekanika Kuantum Dalammekanikakuantum,elektrondinyatakansebagaigelombang. Jika fungsi Hamilton dapat diterapkan untuk elektron sebagai partikel, makaiaharusdapatditerapkanpulauntukelektronsebagai gelombang. Hal ini akan kita lihat sebagai berikut. PeubahppadafungsiHamilton,harusdigantidengan operatormomentumagarjikadioperasikanterhadapsuatu fungsigelombangdapatmenyatakanmomentumelektron 33 yang tidak lagi dipandang sebagai partikel melainkan sebagai gelombang. EpadafungsiHamilton,harusdigantidenganoperator energiyangjikaberoperasipadafungsigelombangdari elektron akan memberikan energi elektron. Peubahxyangakanmenentukanposisielektronsebagai partikel,akanterkaitdenganposisielektronsebagai gelombangsehinggapeubahinitidakberubahpadafungsi gelombangdarielektron.Dalamkaitaniniperlukitaingat bahwajikaelektronkitapandangsebagaipartikelmaka momentumdanposisimempunyainilai-nilaiyangakurat. Jikaelektronkitapandangsebagaigelombang,makakita dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.OperatorMomentumdanOperatorEnergi.Kitaakanmencoba menelusuri operator-operator yang diperlukan tersebut di atas dengan memperhatikanbentukfungsigelombangkomposit,yaitupersamaan (2.5) ) (0] ) ( ) [(0 0x k t jnx k t je A e un n

= Jika fungsi ini kita turunkan terhadap t kita peroleh ) (0 0] ) ( ) [() (0] ) ( ) [(0 00 0

x k t jnx k t jx k t jnx k t jne A j ee A e jtun nn n

+

= yang dapat disederhanakan menjadi ) (0] ) ( ) [(000 0x k t jnx k t j ne A e jtun n

=(3.5.a) Dalamselangsempitk maka1 /0 n;danjikaruaskiridan kanan(3.5.a)dikalikandenganh danmengingatbahwaenergi = h Emaka kita akan memperoleh Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)34jEu u j ut= =) (0h hatau Eu utj = h(3.5.b) Eadalahenergitotalelektron.Akantetapijikakitamelihat(3.5.b) sebagaisuatupersamaanmatematikmakakitadapatmengatakan bahwaEmerupakansebuahoperatoryangberoperasipadafungsi gelombang u dantj E h(3.5.c) Jika u kita turunkan terhadap x.

) ( ) () (0] ) ( ) [(00) (0 0] ) ( ) [() (0] ) ( ) [(0 00 00 0x k t jnx k t j nx k t jnx k t jx k t jnx k t jne A ekkjke A jk ee A e k jxun nn nn n

=

+

= Untuk1 /0 k kn, jika ruas kiri dan kanan kita kalikan denganhakan kita peroleh jpu u k j ux = =) (0h hataupu uxj =h (3.5.d) SepertihalnyauntukEpada(3.5.b),ppada(3.3.5.d)kitapandang sebagai operator xj p h (3.5.e) Dengan demikian kita mendapatkan operator untuk E pada (3.5.c) dan p pada (3.5.e). Jika fungsi gelombangkitasebut danmengoperasikan H(p,x) pada fungsi gelombang ini, maka = E x p H ) , (atau =

+ E x Empp) (22; 35 Dengan memasukkan operator p akan kita peroleh =

+ ||

\| ||

\| E x Exjxjmp) (21h h atau = + E x Exmp) (222 2h (3.6) Inilah persamaan Schrdinger untuk satu dimensi.Untuk tiga dimensi, persamaan Schrdinger itu akan menjadi = + E z y x Emp) , , (222h(3.7) 3.3. Persamaan Schrdinger Bebas-waktu AplikasipersamaanSchrdingerdalambanyakhalakanberkaitan denganenergipotensial,yaitubesaranyangmerupakanfungsiposisi dantidakmerupakanfungsiwaktu.Perhatiankitatidaktertujupada keberadaanelektrondariwaktukewaktu,melainkantertujupada kemungkinandiaberadadalamselangwaktuyangcukuppanjang. Jadi jikafaktorwaktudapatdipisahkandarifungsigelombang,maka halituakanmenyederhanakanpersoalan.Kitatinjaukasussatu dimensidanmenuliskanpersamaangelombangsebagai ) ( ) ( ) , ( t T x t x = .Jikapersamaangelombanginikitamasukkanke persamaan(3.6)dankeduaruaskitabagidengan) ( ) ( t T x kita memperoleh tt Tt Tj x Exxx mp = + ) () (1) () () (1222 2hh (3.8) Ruaskiridari(3.8)merupakanfungsixsajasedangkanruaskanan merupakan fungsi t saja. Karena kedua ruas merupakan fungsi dengan peubah yang berbeda maka kedua ruas harus sama dengan suatu nilai konstan khusus, yang biasa disebut eigenvalue.Kita lihat lebih dahulu ruas kanan, yang akan memberikan persamaan Schrdinger satu dimensi yang tergantung waktu: Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)36konstan) () (1= = att Tt Tjh(3.8.a) Mengingat bentuk gelombang yang mewakili elektron adalah (2.5) x jk t j x k t je e A t x S e A t x S u0 0 0 00) (0) , ( ) , ( = =sedangkan) , ( t x Sadalahx k jnt jn ne e t x S) ( ) () , ( =maka kita dapat mengambil bentuk T(t) sebagai t je t B t T= ) ( ) (untuk kita masukkan ke (3.8.a), dan kita akan memperoleh Ee t Be t B jjte t Be t Bj at jt jt jt j= = = =h hh) () (

) () (1 (3.8.b) Jadikonstantaapada(3.8.a)adalahenergitotalelektron,E.Jika demikianhalnyamakaruaskiri(3.8)jugaharussamadenganE, sehingga dapat kita tuliskan sebagai E x Exxx mp= + ) () () (1222 2h atau( ) 0 ) ( ) () (222 2= + x x E Exxmph (3.9) Inilah persamaan Schrdinger satu dimensi yang bebas-waktu.Untuk tiga dimensi persamaan (3.9) menjadi( ) 0 ) , , (222= + z y x E Emph(3.9.a) PerlukitasadaribahwaadanyapersamaanSchrdingerbebas-waktu bukanlahberartibahwaelektronataupartikelyanginginkitapelajari denganmengaplikasikanpersamaaniniadalahpartikelyangbebas-waktu.Partikeltersebutmemilikikecepatangerak,dankecepatan 37 adalahturunanterhadapwaktudariposisi.Olehkarenaitudalam memberiartipadapenurunanmatematisdaripersamaanSchrdinger bebas-waktu,dalamhal-haltertentukitaperlumempertimbangkan faktor waktu, sesuai dengan logika.DenganpersamaanSchrdingerbebas-waktu(3.9)atau(3.9.a)fungsi gelombangyangdilibatkandalampersamaaninijugafungsi gelombangbebas-waktu,(x).Daribentukgelombangkomposit untuk elektron (2.5)) (00 0) , (x k t je A t x S u =dengan x k jnt jn ne e t x S) ( ) () , ( =kita dapat mengambil bentuk (x) sebagai jkxe x A x= ) ( ) ( , dengan A(x)adalahselubungpaketgelombang,untukmencarisolusi persamaan Schrdinger. PersamaanSchrdingeradalahpersamaangelombangdanyangkita maksudkanadalahgelombangsebagairepresentasielektronatau partikel.MencarisolusipersamaanSchrdingeradalahuntuk memperolehfungsigelombangyangselanjutnyadigunakanuntuk melihatbagaimanaperilakuataukeadaanelektron.Hubunganantara momentumpdanenergiEdenganbesaran-besarangelombang(k,, f, ) adalah == =hk p2h hhf E = = h3.4. Fungsi Gelombang PersamaanSchrdingeradalahpersamaandiferensialparsialdengan adalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwadz dy dx* (3.10) adalahprobabilitaskeberadaanelektrondalamvolumedxdydzdi sekitartitik(x,y,z); * adalahkonjugatdari.Jadipersamaan Schrdinger tidak menentukan posisi elektronmelainkan memberikan probabilitasbahwaiaakanditemukandisekitarposisitertentu.Kita juga tidak dapat mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)38sebagaifungsiwaktukarenaposisidanmomentumelektrondibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombangjkxe Axk xx= 0/2) sin( 2) (dan jkxe kAk xk xx+= 0*/2) (/2) sin() (maka 220*) 2 / sin(||

\| = xk xA(3.11) Apayangberadadalamtandakurungpada(3.11)adalahselubung paketgelombangyangmerupakanfungsixsedangkanA0memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan elektron. PersyaratanFungsiGelombang.Fungsigelombang) (x hasil solusipersamaanSchrdingerharusmemenuhibeberapapersyaratan agariamempunyaiartifisis.Syarat-syarattersebutadalahsebagai berikut. Elektron sebagai suatuyangnyataharus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi1*= dx . Fungsigelombang) (x ,haruskontinyusebabjikatidak-kontinyuhalitudapatditafsirkansebagairusaknyaelektron, suatu hal yang tidak dapat diterima. Turunanfungsigelombangterhadapposisi,dx d / ,juga haruskontinyu.Kitatelahmelihatbahwaturunanfungsi gelombangterhadapposisiterkaitdenganmomentum elektronsebagaigelombang.Olehkarenaitupersyaratanini dapatdiartikansebagaipersayaratankekontinyuan momentum.Fungsigelombangharusbernilaitunggaldanterbatassebab jikatidak,akanberartiadalebihdarisatukemungkinan keberadaan elektron. Fungsigelombangtidakbolehsamadengannoldisemua posisisebabkemungkinankeberadaanelektronharuslah nyata, betapapun kecilnya. 39 3.5. Aplikasi Persamaan Schrdinger - Tinjauan Satu Dimensi 3.5.1. Elektron Berada Dalam Sumur Potensial Dalam PembahasanmasalahinidilakukanolehDanielD.Pollockdalam bukujilidpertamanya.[1].Disub-babinikitaakanmencoba memahaminya melalui pendekatan yang lebih sederhana.Sumurpotensialadalahdaerahyangtidakmendapatpengaruh potensial sedangkan daerah sekitarnya mendapat pengaruh potensial. Haliniberartibahwaelektron,selamaiaberadadalamsumur potensial,merupakanelektron-bebas.Kitakatakanbahwaelektron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangattinggimenuju,ataukitakatakansumurpotensialsangat dalam.Gb.3.2.menggambarkankeadaaninisecaraduadimensi. DaerahIdandaerahIIIadalahdaerah-daerahdenganV=, sedangkandidaerahII,yaituantara0danL,V=0.Kitakatakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L. Padasumurpotensialyangdalam,daerahIdanIIIadalahdaerah dimanakemungkinankeberadaanelektronbisadianggapnol, 0 ) (1= x dan0 ) (3= x .PersamaanSchrdingeruntukdaerahII adalah, denganV(x) = 0, menjadi 0 ) () (222 2= + x Exxmh(3.12) SolusipersamaanSchrdingersatudimensiinibisakitaduga berbentuk sxBe x = ) ( .Jikakitamasukkansolusidugaaninike (3.12)akankitadapatkan0222= + E smhyangmemberikanduanilai s, : 0L III III 1 2 3 Ep=0 Ep= Ep= Gb.3.2. Elektron dalam sumur potensial (daerah II). x Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)402 22dengan ,2h hmEjmEj s = = =Yangberartiadaduasolusi;jumlahkeduasolusijugamerupakan solusi. tidak lain adalah bilangan gelombang, k, dengan nilai 22hmEk = = (3.13) sehingga jumlah dua solusi dapat kita tuliskan sebagai ) (2 22 1 2x jk x jke B e B x + = (3.14) Persyaratan kekontinyuan di x = 0 mengharuskan2 1 1 2 1 20 ) 0 ( ) 0 ( B B B B = = = + = dan persyaratan kekontinyuan di L mengharuskan0 ) 0 ( ) (3L2L1 22 2= = + = jk jke B e B L , sehingga ( )0 ) L sin( 222 ) (2 2L L2L L2 22 22 2= =|||

\|+ = + = k jBje ejB e e B Ljk jkjk jk (3.15) Persamaan (3.15) mengharuskan = n k L2atauLnk=2 (dengan n bilangan bulat), sehingga fungsi gelombang di daerah II menjadi xnjBje ejB xx jk x jkLsin 222 ) (2 2 22 2=|||

\|+ = (3.16) ProbabilitaskeberadaanelektrondidaerahIIiniadalahsebanding denganLsinLsin 4 ) ( ) (2 2 222*2== nK xnB x x (3.17) Untukn=1,fungsiinibernilainoldiL dan 0 = = x x ,dan maksimum di2 L/ x = . Untuk n = 2, nilai nol terjadi di x = 0, L/2, dan 41 L.Untukn=3,nilainolterjadidix=0,L/3,2L/3,danL;dan seterusnya,sepertiterlihatpadaGb.3.3.Selaindix=0,jumlahtitik simpulgelombang,yaitutitikdimanafungsinyabernilainol,sama dengan nilai n. Gb.3.3. Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial. KarenadidaerahIIV=0,maka 22/ 2 h mE k = atau m k E 2 /222h = .Denganmemasukkannilaik2 kitaperolehenergi elektron:2222 2 2L 2L 2||

\| ==nmmnEh h (3.18) Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yangdiskrit,yangditentukanolehbilanganbulatn.Nilaidiskritini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh 2, yaitu bahwa ia harusberadadalamsumurpotensial.Iaharusbernilainoldibatas-batasdindingpotensialdanhalituakanterjadibilalebarsumur potensialLsamadenganbilanganbulatkalisetengahpanjang gelombang. Tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama,tingkatenergiyangkeduapadan=2,tingkatenergiyang ketigapadan=3danseterusnya.Jikakitakaitkandenganbentuk gelombangnya,dapatkitakatakanbahwatingkat-tingkatenergi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengandemikianmakadiskritisasienergielektronterjadisecara wajar melalui pemecahan persamaan Schdinger. Hal ini berbeda dari a). n =1 2218mLhE = b). n =2 1222484EmLhE = =c). n =3 1223989EmLhE = =* 0L * 0L 00 3.16 040 3.16 0L * 0 4 03.16Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)42pendekatanBohryangharusmembuatpostulatmengenaimomentum sudut yang harus diskrit agar kuantisasi energi terjadi. Persamaan(3.25)memperlihatkanbahwaselisihenergiantarasatu tingkatdengantingkatberikutnya,misalnyaantaran=1dann=2, berbandingterbalikdengankwadratlebarsumurpotensial.Makin lebarsumurini,makinkecilselisihenergitersebut,artinyatingkat-tingkatenergisemakinrapat.UntukLsamadengansatusatuan misalnya,selisihenergiuntukn=2dann=1adalah m h E E 8 / 321 2= dan jika L sepuluh kali lebih lebar maka selisih ini menjadim h E E 8 / 03 , 021 2= .(lihatGb.3.4).JadimakinbesarL makaperbedaannilaitingkat-tingkatenergiakansemakinkecildan untukLyanglebarmakatingkat-tingkatenergitersebutakanakan sangat rapat sehingga mendekati kontinyu. Gb.3.4. Pengaruh lebar sumur pada tingkat energi. 3.5.2. Elektron Di Dalam Sumur Potensial DangkalKitatidakakanmembahashalinisecararinciakantetapidengan pengertianyangkitaperolehpadapembahasanmengenaielektron yangbertemudengandindingpotensial(sub-bab3.5.3)kitaakan mengertikondisiberikutini.JikaVtidaktinggiakantetapitetapmasihE V > makafungsigelombangdiluarsumurberupafungsi eksponensialyangmenurunmenujunol.Halinidiperlihatkanpada Gb.3.5. Di x = 0 dan x = L amplitudo gelombang tidak lagi nol dan demikian jugaprobabilitaskeberadaanelektronnya.Selainitupenurunan amplitudoakanmakinlambatjikasumurpotensialmakindangkal. Haliniberartibahwamakindangkalsumurpotensialmakinbesar kemungkinankitamenemukanelektrondiluarsumur,seperti diperlihatkan secara berturut-turut oleh Gb.3.5.a, b, dan c. 0L 0 L V n = 3 n = 2 n = 1 43 Gb.3.5. Pengaruh kedalaman sumur pada probabilitas keberadaan elektron. 3.5.3. Dinding Potensial Tipis Antara Dua Sumur Potensial Situasi yang menarik adalah jika sumur potensial mempunyai dinding yangtidakterlalutebal,misalnyaa.Denganperkataanlainsumur potensialiniberdekatandengansumurlaindandiantarakeduanya terdapatdindingpotensialyangtipis. Situasisepertiinidiperlihatkanoleh Gb.3.6.Diluardinding,probabilitas keberadaan elektron tidak nol. Dalam kasusinikitamasihmemiliki probabilitasmenemukanelektrondi sumurlaintersebutwalaupun energinyalebihrendahdaridinding potensial.Gejalainidisebut penembusan elektron pada dinding potensial (electron tunneling). 3.6. Elektron Dalam Sumur Potensial Tiga Dimensi Kita akan melihat keadaan yang agak mendekatikenyataan,yaituelektron yangterjebakdalamsumurpotensial tigadimensi.Sumurinidibatasioleh dindingpotensialdiarahsumbux,y, z, dan akan lebih tepat jikakita sebut kotakpotensial,sepertiterlihatpada Gb.3.7.Elektronterjebakdidalam kotakpotensialinidankita mengambil nilai V = 0 di dalam kotak dan V = di luar kotak. 0c) * E 0L b) * E 0 L a) * V E Gb.3.6. Sumur potensial berdinding tipis. 0 L a * Gb.3.7. Sumur tiga dimensi. x z y Lx Ly Lz Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)44Karena V = 0, persamaan Schrdinger tiga dimensi yang bebas-waktu di dalam kotak menjadi02222222 2= +|||

\| + + Ez y xmh(3.19) denganadalahfungsidarix,y,danz.Kitaakanmelihatfungsiini dalambentukpeubahterpisah) ( ) ( ) ( ) , , ( z Z y Y x X z y x = .Halini tidak selalu dapat terjadi, akan tetapi kita mengambil langkah ini agar persamaan yang tidak mudah dipecahkan ini menjadi agak sederhana. Jikaturunankeduafungsiinikitamasukkanke(3.26)kemudian keduaruasdibagidengan) , , ( z y x ,dandikalikandengan 2/ 2 h m maka akan kita peroleh Emzz Zz Zyy Yy Yxx Xx X2 2222222 ) () (1 ) () (1 ) () (1h =++ (3.20) Setiap suku di ruas kiri hanya merupakan fungsi dari satu peubah dan berbedasatusamalain;jumlahketiganyasamadengansuatunilai konstan.Halinihanyaakanterjadijikamasing-masingsukujuga sama dengan suatu nilai konstan. Jadi xEmxx Xx X2 222 ) () (1h =; yEmyy Yy Y2 222 ) () (1h =; (3.21) zEmzz Zz Z2 222 ) () (1h =

denganEx,Ey,danEzadalahnilai-nilaikonstandan z y xE E E E + + = .Salahsatupersamaandari(3.21)dapatkita tuliskan sebagai 0 ) (2 ) (2 22= +x X Emxx Xxh(3.22) Persamaaniniadalahpersamaandiferensiallinierhomogenorde keduayangtelahpernahkitatemuipadawaktukitamembahas 45 elektronyangterjebakdalamsumurpotensialsatudimensi.Dengan cara pemecahan yang serupa, kita dapatkan 2x2 2L 8mh nExx = dan 2y2 2L 8mh nEyy =;2z2 2L 8mh nEzz = (3.23) dengan nx, ny, dan nz adalah bilangan-bilangan bulat. Energi total elektron adalah|||

\|+ + = + + =z2y2x2 2L L L 8zyxz y xnnnmhE E E E (3.24) Persamaan (3.24) menunjukkan bahwa energi elektron ditentukan oleh tigamacambilanganbulatyangkitasebutbilangankuantum,yaitu z y xn n n , , . Bentuk fungsi gelombang dalam kotak potensial adalahz y xLsinLsinLsin z ny nx nKzyx= (3.25) Jika kotak potensial berbentuk kubus,L L L L = = =z y x, maka ( )2 2 222L 8z y x z y xn n nmhE E E E + + = + + = ( 3.26) Padapersamaan(3.26)terlihatbahwamakinkecilukurankotak potensial, makin jauh jarak antara satu tingkat energi dengan tingkat energiberikutnya.Tetapipadakotakpotensialyangbesar,tingkat-tingkatenergiyangberurutanmenjadisangatberdekatansehingga merekadapatdianggapmembentukspektrumtingkatenergiyang kontinyu. Hal ini diperlihatkan pada Gb.3.8.Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)46 Gb.3.8. Tingkat-tingkat energi elektron dalam kotak potensial. 3.8. Degenerasi Persamaan(3.33)menunjukkanbahwaenergitergantungdari ) (2 2 2z y xn n n + + .Haliniberartibahwasemuastatusyangditentukan olehsemuanilainx,ny,dannzyangmemberikanjumlahnilaiyang samaakanmemberikannilaienergiyangsamapula.Akantetapi setiapperubahannilainx,ny,dannxakanmemberikanfungsi gelombangyangberbeda.Jadisatutingkatenergimungkinberkaitan denganbeberapamacamfungsigelombang.Jikahaliniterjadikita katakanbahwaterjadidegenerasi.Ordedegenerasisuatutingkat energi ditentukan oleh berapa banyak fungsi gelombang yang berbeda untuktingkatenergitersebut.Contohuntukenamtingkatenergidari kotak potensial kubus diberikan pada Tabel 3.1.Tabel 3.1. Tingkat Energi dan Degenerasi Dalam Kotak Potensial Kubus. [3]. 2 21L 8 / m h E =EnergiKombinasinx, ny, dan nzDegenerasi 3 E1 (1,1,1)1 6 E1(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)3 9 E1(2,2,1) (2,1,2) (1,2,2)3 11 E1(3,1,1) (1,3,1) (1,1,3)3 12 E1(2,2,2)1 14 E1(1,2,3) (3,2,1) (2,3,1) (1,3,2) (2,1,3) (3,1,2)6 3E1 6E1 9E1 11E1 E1 Kotak Potensial kecil Kotak Potensial besar 12E1 dE 47 BAB 4 Aplikasi Persamaan SchrdingerPada Atom Dengan Satu Elektron Dalam bab ini kita akan melihat aplikasi persamaan Schrdinger pada atomyanghanyamemilikisatuelektronsepertihidrogen,deuterium, tritium, ion helium He+, ion lithium Li2+. Dalam buku Marcelo Alonso danE.JFinn,persoalaninidibahassecaradetil,namunpersamaan Schrdinger agak kurang terlihat aplikasinya. Dalam bab ini kita akan membahas persoalan tersebut secara lebih sederhana namun kita akan berangkatdaripersamaanSchrdingeryangtelahkitabahasdalam koordinatkartesianxyz;perbedaannyaadalahbahwadisinikita melihat atom dengan menggunakan koordinat bola. 4.1. Persamaan Schrdinger Dalam Koordinat BolaGayasentralolehintiatommenyebabkanelektronberadadalam medanpotensialyangmembentuksimetribola,yangmerupakan fungsi jarak dari inti, r. rZer V024) ( = (4.1) Persamaan Schrdinger tiga dimensi bebas-waktumenjadi 04 202222222 2= |||

\|+ +|||

\| + + rZeEz y xmh (4.2) Dalampersoalangayasentralini,kitaakanbekerjadalamkoordinat bola,denganmemposisikanintiatompadatitikasalsepertiterlihat pada Gb.4.1. Gb.4.1. Koordinat bola dengan inti atom di titik asal. r x y z elektron inti atom Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)48Fungsigelombangdinyatakandalamr,,dan,menjadi) , , ( r . Energipotensialelektron,yangdisebabkanolehadanyapengaruhdari inti atom, hanya merupakan fungsi r.Dalam koordinat bola, persamaan (4.2) menjadi 04sin1 cot 1 2202222 2 2 222 22 2= |||

\|+ +|||

\| + + + + rZeEr r rdr rrmh (4.3) Sepertiapayangkitalakukanpadatinjauansumurtigadimensixyz, kita tuliskan fungsi gelombang dalam koordinat bola sebagai ) ( ) ( ) ( R ) , , ( = r r(4.4) denganR,,danadalahfungsi-fungsidarisatupeubahsaja, berturut-turut r, , dan . Kita masukkan turunan-turunan parsial (4.4) ke (4.3) kemudian kita kalikan dengan) , , ( /2 r r , maka akan kita peroleh 04sin1 cot 1 RR2 RR 2202222 2222 2 2=|||

\|+ +|||

\| + + ++rreEdrrrrmh(4.5) Ruaskiri(4.5)dapatkitakelompokkandalamsuku-sukuyang mengandung peubah r dan yang tidak, sehingga (4.5) dapat dituliskan menjadi 0sin1 cot 124RR2 RR 2222 22 220222 2 2=

|||

\| + + +

|||

\|+ +|||

\|+mrreEdrrrrmhh(4.6) 49 4.2. Energi Elektron Energi elektron terkait dengan besarmomentum sudutnyaakan tetapi tidakdenganarahmomentum.Adasatukondisidimanamomentum tidak memiliki arah tertentu, yaitu kondisi simetri bola. Dalam kondisi ini fungsi gelombang tidak merupakan fungsi dan dan hal ini akan terjadijikasukukeduaruaskiri(4.6)tidakmemilikiperansehingga dapat kita katakan sebagai bernilai nol. Dalam keadaan demikian kita memiliki persamaan: 04RR2 RR 220222 2 2=

|||

\|+ +|||

\|+rrZeEdrrrrmh(4.7) Jika (4.7) kita kalikan dengan 2/ r Rmaka akan kita peroleh 0 R4R 2 R20222 2=|||

\|+ +|||

\|+rZeEr rrmh(4.8) Jikakeduaruas(4.8)kitakalikandengan 2/ 2 h mr dankita kelompokkan suku-suku yang berkoefisien konstan akan kita peroleh 0 R2 RR4R22 22202=|||

\|++|||

\|+h hmErrmZer (4.9) Salah satu keadaan agar persamaan (4.9) terpenuhi untuk semua nilai r adalah 0 R4R202=+hmZer(4.10.a) dan 0 R2 R2 22= +hmEr(4.10.b) Masing-masingpersamaanpada(4.10)dapatdiselesaikansecara terpisah tetapi dengan ketentuan bahwa solusi dari persamaan pertama haruspulamerupakansolusidaripersamaankedua.Bentuksolusi Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)50adalah sre A1 1R =dengan 2024 h =mZes , yang juga harus memenuhi 0222= +hmEs . Dari sini kita peroleh formulasi untuk E2 2024 22202 232 42h hh =|||

\| =e mZ mZemE(4.11) Inilah nilai E yang harus dipenuhi agar bentuk fungsi gelombang yang merupakansolusipersamaan(4.10.a)jugamerupakansolusi persamaan (4.10.b). 4.3. Probabilitas Keberadaan Elektron Fungsigelombangberlakuuntuk0 =< =F iF iT k E ETE EE E eB F i 153Olehkarenaitupersamaan(9.29)inimenunjukkanbahwajikaT=0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan di atas EF tidak terisi (ni = 0). EF inilah tingkat Fermi. Jikakitagambarkankurvani/giterhadapEkitaperolehbentukkurva seperti pada Gb.9.1.a. sedangkan Gb.9.1.b. memperlihatkan pengisian tingkatenergipadatemperaturdiatas0K.Biladibandingkandengan pengisian pada 0 K, terlihat bahwa pada temperatur > 0 K perubahan pengisian hanya terjadi di sekitar tingkat Fermi. (a) (b) Gb.9.1. ni/gi pada tiga temperatur berbeda menurut statistik Fermi-Dirac dan pengisian tingkat-tingkat energi pada T > 0 K. 9.3. Aplikasi Distribusi Fermi-Dirac Untuk Menghitung Emisi Thermal Pada Metal Pada temperature kamar, electron dalam metal tidak meninggalkan metal. Gb.9.2. memperlihatkan energi potensial didalam dan di luar metal. Sumur-sumur potensial terbentuk di sekitar inti atom.Di permukaan metal dinding sumur potensial jauh lebih tinggi dari dinding potensial di sekitar ion dalam metal. Oleh karena itu elektron yang bebas dalam metal tidak meninggalkan metal. Gb.9.2. Pengisian pita konduksi pada metal. Padatemperaturkamarelektronmenempatitingkatenergidipita konduksisampaidisekitartingkatFermi,sepertidiperlihatkanpada Gb.9.1.b. Untuk mengeluarkan elektron dari dalam metal diperlukan tambahan energi; di Gb.9.2 tambahan energi ini ditunjukkan olehe dan disebut work function dari metal.EF 0

E 0 E tingkat energi yang terisi pada T > 0 K ni/gi 0 E 1T = 0 T > 0 T >> 0 0++++ EF Energi Hampa e Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)154Pada temperaturyang tinggi,tambahan energiyang diterima elektron disekitarenergiFermicukupbesarsehinggaiamampumelewati dindingpotensialdipermukaanmetal.Peristiwakeluarnyaelektron darimetalkarenapengaruhthermalinidisebutemisithermal. MenggunakandistribusiFermi-Diracuntukmenghitungjumlah elektronyangmampumencapaipermukaanmetaluntukkemudian meninggalkan metal, diperoleh relasi kT e T k eBee AT e T khmjB/ 2 / 23) (4 ==(9.30) denganjadalahkerapatanarus.Persamaan(9.30)dikenalsebagai persamaanRichardson-Dushman.Perlukitaingatbahwapersamaan tersebut tidak sepenuhnya terpenuhi karena beberapa hal: a.emisielektrondipermukaansangatsensitifterhadapkondisi permukaan; b.emisielektronjugasensitifterhadaparahnormalpermukaan terhadap kisi kristal dalam metal; c.workfunctionberubahterhadaptemperatur;makintinggi temperatur banyak elektron yang makin jauh dari tingkat Fermi.T + = 0 0 adalah work function pada 0 K; adalah koefisien temperatur, dT d / = Beberapamacammetalyangbiasadigunakansebagaikatoda(yang dipanaskan)untukmemperolehsumberelektrondiberikanpada Tabel-9.1. Tabel.9.1. Beberapa metal sebagai katoda sumber elektron.[6]. Material katoda titik leleh [K] temperatur kerja[K] work function [eV] konstanta A [106amp/m2 K2] W368325004,50,060 Ta327123004,10,4 0,6 Mo287321004,20,55 Th212315003,40,60 Ba9838002,50,60 Cs3032931,91,62 1559.4. Konduktivitas dan Resistivitas Metal Murni Medanlistrik,E ,mempengaruhistatusmomentumdalampadatan.Elektron-elektrondenganenergitinggi(disekitarenergiFermi) mendapattambahanmomentumsejajarE sehinggaterjadilah pergeseran ruang momentum seperti diperlihatkan pada Gb.9.5. (a)(b) Gb.9.3. Pergeseran ruang momentum oleh medan listrik. SetiapelektronyangmenerimapengaruhmedanE akanmenerima gaya sebesar E e F =(9.31) Karena gaya tpF=maka (9.31) memberikan perubahan momentum sebesart e p = E (9.32) Elektronyangsemulabergerakacakdengantotalmomentumnol, denganadanyatambahanmomentumsejajarE inigerakacak elektronmemilikitotalmomentumnetotertentu,tidaklaginol. Tambahanmomentuminimenyebabkanterjadinyakecepatanneto sejajarE ,namunkecepataninitidakterus-menerusbertambah menjaditak-hingga.Dalamperjalanannya,jikakitabayangkan elektronsebagaipartikel,akanmembenturion,sertabagian-bagian kristalyangtaksempurnasebagaimanadibahasdiBab-7.Akibatnya adalahbahwasesaatsetelahterjadibenturankecepatanelektronakan turun drastis menjadi nol atau hampir nol.Untukelektronsebagaigelombang,deBrogliememberikanrelasi antara momentum dan bilangan gelombang sebagaik p h = . Dengan relasi ini (9.32) akan memberikanpergeseran bilangan gelombang di ruang bilangan gelombang sebesardp py pz p E py pz p E Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)156tep k = = h hE 1 (9.33) Jikawakturata-ratayangdiperlukanolehelektron,antarasaatawal mendapatpercepatanolehE dansaatinteraksinyadenganionatau cacat-cacatkristaladalah F ,makaperubahankecepatanelektron dapat didekati dengan mempvF= E (9.34) F disebutwakturelaksasidimanatF daninimerupakan waktu terjadinya pergeseran ruangmomentum, yang semula simetris (bola) menjadi tak simetris dan kembali lagi menjadi simetris. Relasi(9.34)terkaitdenganpengertianmobilitaselektron,u,yaitu perubahan kecepatan elektron per satuan kuat medan me vF= uE(9.35) Kerapatanaruslistrikadalahkerapatanelektronyangberpartisipasi dalamtimbulnyaaruslistrik,yaitukerapatanelektronyangmemiliki pertambahankecepatanvkalimuatanelektrone.Jikakerapatan elektron ini adalah nF maka kerapatan arus adalah me nv e n jF FF= =E2 (9.36) KonduktivitasmetalditentukanmelaluihukumOhmE =ejsehingga me n jF Fe= = 2E (9.37) Resistivitas,e,adalahkebalikandarikonduktivitas,yangdapatkita perolehdari(9.37) e e = / 1 .Tabel-9.2.memuatresistivitas beberapa unsur pada suhu di sekitar suhu kamar. 157Tabel-9.2. Resistivitas (e) unsur sekitar suhu kamar.[1]. Unsur e [.cm.] Unsur e [.cm.] Unsur e [.cm.] Ag 1.59106 Na 4,2106 Hg 98,4106 Al 2,6548106 Ni 6,84106 In 8,37106 Au 2,35106 Pb 20,648106 Ir 5,3106 Be 4106 Pd 10,8106 Li 8,55106 Bi 106,8106 Pt 10,6106 Ta 12,45106 C (grafit) 13,75106 Re 19,3106 Th 13106 Ca 3,91106 Rh 4,51106 Ti 42106 Cd 6,83106 Sb 39,0106 Tl 18106 Co 6,24106 Si x) 10106 U 11106 Cr12,9106 Sn11106 W 5,65106 Cu 1,6730106 Fe 9,71106 Zn 5,916106 Mg 4,45106 Ge x) 46106 x) tidak murni 9.5. Resistivitas Metal Tidak Murni Menurutteorimekanikagelombang,electronbebasdalamkristal dapatbergeraktanpakehilanganenergi.Akantetapikarenaadanya pengotoran,dislokasi,danketidak-sempurnaankristalyangcukup banyakterjadiakanmengganggupergerakanelektronsehingga materialmemilikiresistansilistrik.Adanyaresistansiiniteramati sampaitemperatursangatrendahmendekati0K.Dalammetal, resistivitas listrik terdiri dari dua komponen, yaitu resistivitas thermal (T)yangtimbulkarenaterjadinyahambatanpergerakanelektron akibatvibrasiatomdalamkisi-kisikristal,danresistivitasresidu(r) yangtimbulkarenaadanyapengotorandanketidaksempurnaan kristal.Resistivitasthermaltergantungtemperatursedangkan resistivitasresidutidaktergantungpadatemperatur.Resistivitastotal menjadi er T= + = 1(9.38) Persamaan(9.38)inidisebutkaidahMatthiessen.Verifikasisecara eksperimentalataskaidahinitelahdilakukanpadaalloyCu-Nipada persentaseNidari0sampaisekitar3%.Hasilnyaadalahbahwa resistivitasmeningkatdenganmeningkatnyapersentaseNi.Namun pada persentase pengotoran yang tinggi, kaidah ini tidak akurat. Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)158DiatastemperaturDebye BDDkhf= ,komponenthermalberubah secara linier terhadap temperatur, dan dapat dinyatakan dengan ( ) ...... ( 1, 0+ + = T RT T (9.39) dengan0adalahresistivitaspadatemperaturkamar.Nilaiuntuk metalmurni adalahsekitar 0,004 per oC sedangkan untukmetal alloy pada umumnya lebih rendah. Persamaan (9.39) ini tidak berlaku untuk temperatur yang sangat tinggi. Pada temperatur sangat rendah (helium cair 4,2 K), komponen thermal tidaklagiberperansehingga r .Halinimemberikancarautnuk menilaikemurniankonduktor,yaitudenganmemperbadingkan resistansipadatemperaturkamardenganresistansipadasuhu4,2K. Padamaterialkomersialnilaiperbandinganitucukuprendah,sampai dibawah100bahkanbisamencapai1padabeberapaalloy.Makin tinggi pengotoranmakin tinggi pula resistansi residu pada temperatur 4,2K sehinggamakin rendahnilai perbandingan itu berarti persentase pengotoran makin tinggi.Resistivitas residu tergantung dari konsentrasi pengotor. Jika x adalah konsentrasi pengotor (pada pengotor tunggal), resistivitas residu dapat dinyatakan dengan formula ) 1 ( ) ( x Ax xr = (9.40) denganAadalahkonstantayangtergantungdarijenispengotordan materialinduk.Relasi(9.40)disebutkaidahordheim.Pada campuranmetalyangsangatlunak,dimanax(12.9) yangjugaharusberlakupadaprosesyangberlangsungtidaksatu siklus tetapi pada selang perubahan status yang sama, misalnya dari A keB.Prosesyangumumterjadimerupakanproses irreversible sehinggapadaumumnyadapatkitanyatakanbahwajika kitaberikanpanassebesardqkesistemmakapanasdqyangkita berikan itu adalah dqirrev. Oleh karena itu selalu 201revdq dq HawalmakaHpadasistemadalahpositifyang berarti terjadi penambahan enthalpi pada sistem; transfer energi terjadi darilingkungankesistemdanprosesinimerupakanproses endothermis.SebaliknyaapabilaHakhir SA, maka dengan kenaikan proporsi komponen B entropi akan meningkat secara linier dari entropi komponen A menuju entropi komponen B seperti yang digambarkan secara kualitatif pada Gb.13.6.Jikapelarutanterjadimakaentropitotalakannaikyangditunjukkan olehkurvaS0.Selisihentropiantarasebelumdansesudahpelarutan terjadidisebutentropipelarutan,S .Perubahanentropiini menentukan perubahan energi bebas. EnergiBebasLarutan.Larutansatufasayangstabilakanterbentuk jikadalampelarutanituterjadipenurunanenergibebas.Kurva perubahanenergibebasGdiperolehdenganmengurangikurva enthalpipadaGb.13.7dengankurvaentropipadaGb.13.6yang dikalikan dengan T, sesuai relasi TS H G =S SB SA A B xB S0 A B xB SS Gb.13.6. Perubahan entropi pada Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)212JikadalampelarutanterjadiperubahanHnegatifsepertiGb.13.5.a, makapegurangandenganTSakanmemberikankurvaGlarutanyang beradadibawahkurvaHlarutansepertiterlihatpadaGb.13.7.a.Jika dalampelarutanterjadiperubahanenthalpipositifsepertipada Gb.13.5.c,kurvaGlarutanjugaberadadibawahkurvaHlarutannamun dengan perbedaan bahwa pada komposisi di mana Hlarutan tinggi, kurva GlarutanbisaberadadiataskurvaGlarutanpadakomposisidimana peningkatanHlarutan tidakterlalutinggi;halinidigambarkansecara skematis pada Gb.13.7.b. a). b) Gb.13.7. Kurva G = H TS. Dalam kasus seperti yang tergambarkan pada Gb.13.7.a, energi bebas larutanmenurunsampaipadakomposisix1;artinyakomponenA melarutkankomponenBsampaipadakomposisix1danlarutan merupakan larutan satu fasa yang stabil. Untuk proporsi komponen B lebihbesardarix1kurvaenergibebasmeningkatjikakitalihatdari arahkiri,akantetapikurvatersebutmenurunjikakitalihatdariarah kanan;artinyakomponenBmelarutkankomponenAsampai komposisix1danlarutanmerupakanlarutanyangstabil.Dengan demikiankomponenAdanByangsalingmelarutkanmembentuk larutan yang stabil untuk semua komposisi. HB A B xB Hlarutan G H Glarutan x1 x2 G H A B xB Hlarutan Glarutan x1 213Dalam kasus yang tergambarkan pada Gb.13.7.b, kurva energi bebas memiliki dua nilai minimum. Dua nilai minimum inilah yang memberikan larutan stabil dengan komposisi x1 dan x2. Guna memperjelas pembahasan, Gb.13.7.b kita gambarkan lagi seperti diperlihatkan oleh Gb.13.8 di samping ini.Dengan meningkatnya proporsi B terhadap A dari 0 sampai x1, Glarutan menurundanolehkarenaitusampaidengankomposisix1terbentuk larutanyangmerupakanlarutanpadatyangstabil.Padapenurunan proporsiBdari100%sampaix2,Glarutanjugamenurun;larutan terbentuk dan menjadi larutan padat yang juga stabil. Antara x1 dan x2 Glarutan meningkatbaikdariarahkirimaupundariarahkanan;di daerahinilarutanpadatyangterbentukadalahcampurandarilarutan padat dan .; padatan ini merupakan padatan dua fasa. Jadi x1 adalah komposisimaksimumlarutanBkeAmembentuk,danx2adalah komposisiminimumuntukterjadinyalarutanBkeAmembentuk yangberartikomposisimaksimumuntukterjadinyalarutanAkeB membentuk .13.3. Kaidah Fasa dari Gibbs SistemMultifasa.Jumlahfasa(F)yanghadirdalamkeseimbangan dalamsatusistem,jumlahderajatkebebasan(D),danjumlah minimumkomponenyangmembentuksistem(K),memilikirelasi yang dinyatakan sebagai kaidah fasa: 2 + = + K D F (13.1) Sistem satu-fasa (F = 1) komponen tunggal (K = 1) akan memiliki dua derajatkebebasan.Sistemdenganduafasadalamkeseimbangam memilikisatuderajatkebebasan;sementarasistemdengantigafasa dalamkeseimbanganakanberderajatkebebasannoldandisebut invarian.Gb.13.8. Komposisi menentukan jenis larutan. A B xB G Glarutan x1x2 + Sudaryatno S & Ning Utari, Mengenal Sifat-Sifat Material (1)214SistemKomponenTunggal.Kaidahfasapadasistemmultifasa dinyatakanolehpersamaan(13.1).Untuksistemkomponentunggal, karenaK=1makakomposisitidakmenjadipeubahdankitadapat menggambarkanperubahan-perubahanfasadenganmengambil temperatur T sebagai ordinat dan tekanan P sebagai absis (seperti pada besi dan air dalam contoh di atas). Perhatikan bahwa ruas kanan (13.1) berisipeubahthermodinamik;Kadalahkomposisidanbilangan2 menunjukkanadanyaduaderajatkebebasanyaitupeubahTdanP.Karenapadaumumnyaoperasiuntukmemrosesmaterialdilakukan sekitartekananatmosfer,makaterjdinyaperubahantekananPtidak memberikan pengaruh yang signifikan pada jalannya proses, termasuk proses terjadinya sistem dua komponen (biner). Oleh karena itu dapat ditetapkantekananPsebagaisatuatmosfer.Denganpenetapanini makaPtidaklagiberkontribusipadajumlahderajatkebebasandan persamaan (13.1) berubah menjadi1 + = + K D F (13.2) KarenaPtelahditetapkan,makaiatidaklagimenjadisalahsatu peubah.Perubahan-perubahanfasadapatdigambarkandalamsuatu diagram dengan temperatur T tetap sebagai ordinat sedangkan sebagai absis adalah komposisi campuran komponen K, yang dalam hal sistem biner bernilai dua.13.4. Diagram Keseimbangan Sistem Komponen TunggalPeubah thermodinamik yang terlibat dalam pembentukan diagram keseimbangan adalah temperatur, tekanan, dan komposisi. Namun dalam hal sistem komponen tunggal, sudah barang tentu komposisi tidak menjadi peubah; jadi hanya temperatur dan tekanan yang dapat di-variasikan sehingga untuk menggambarkan diagram keseimbangan, koordinat yang dipakai adalah temperatur dan tekanan. Sistem komponen tunggal terbangun dari unsur atau senyawa tunggal. Jika kitaT P A D C B cair padat uap Gb.13.1. Diagram keseimbangan komponen tunggal(tanpa skala) a b c 215hanyamemperhatikantemperaturdantekanansebagaipeubah thermodinamika(seperti halnya pada penentuan energi bebas Gibbs), makaberbagaikehadiranfasayangterjadipadasistemkomponen tunggaldapatkitagambarkandenganmengambiltemperatursebagai ordinatdantekanansebagaiabsis,sepertiterlihatpadaGb.13.1. Sistemkomponentunggaldengandiagramsepertiiniyangbanyak dikenaladalahH2O,yangbiasanyatekanandiambilsebagaiordinat dan temperatur sebagai absis dan dikenal dengan diagram P-Tair. Posisititikpadadiagraminimenunjukpadatemperaturdantekanan sistem.Jikaposisititikiniterletakpadadaerahpadat,ataucair,atau uap, maka sistem adalah satu fasa; titik a menunjukkan sistem sebagai uap satu fasa, titik b menunjukkan sistem sebagai cairan satu fasa, dan titikcmenunjukkansistemsebagaipadatansatufasa.Titikyang beradapadagariskurvamenunjukkanbahwakeseimbanganterjadi antaraduafasa.MisalnyatitikyangberadapadakurvaDB, menunjukkanfasacairdanuapyangberadadalamkeseimbangan. Titik yang berada pada kurva DC menunjukkan keseimbangan terjadi antara fasa padat dan cair. Sistem dengan dua fasa yang berada dalam keseimbangan(ditunjukkanolehtitikyangterletakpadakurvaAD, atauDC,atauDB)adalahunivarian(univariant),artinyahanyasatu peubah bisa kita variasikan (misalnya T) karena peubah yang lain (P) akanmengambilnilaitertentu untukmempertahankan keseimbangan; dikatakan bahwa sistem memiliki satu derajat kebebasan. Bila sistem merupakansistemsatufasa(padat,ataucair,atauuap),baik temperatur maupun tekanan dapat divariasikan dan sistem tetap dalam keseimbangan; dalamhal demikian ini terjadi keseimbangan bivarian (bivariant),artinyaadaduapeubahyangdapatkitavariasikansecara tidaksalingbergantunganyaitutemperaturdantekanan,dansistem memilikiduaderajatkebebasan.TitikDadalahtitikdimanakita mendapatkanfasapadat,c