Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.1 Limit Aljabar Dan Limit Trigonometri)
Menentukan Nilai limit Fungsi Trigonometri dengan Metode ...
Transcript of Menentukan Nilai limit Fungsi Trigonometri dengan Metode ...
1. Menentukan Nilai limit Fungsi Trigonometri dengan Metode Penyederhanaan
Dalam menentukan nilai limit fungsi trigonometri yang mengandung kosinus, sinus dan tangen
jika tes limit menunjukkan 0
0, kita diharuskan menggunakan rumus-rumus trigonometri agar
memunculkan sinus dan tangent. Lalu menggunakan aturan limit yang hanya mengandung sinus
dan tangen.
Contoh :
a. Hitunglah nilai dari lim𝑥→0
1−cos 2𝑥
1−cos 4𝑥
Tes limit
𝑥 = 0 →1−cos 0
1−cos 0=
1−1
1−1=
0
0 (Tes limit gagal)
lim𝑥→0
1−cos 2𝑥
1−cos 4𝑥= lim
𝑥→0
1−(1−2𝑠𝑖𝑛2𝑥)
1−(1−2𝑠𝑖𝑛22𝑥)
= lim𝑥→0
2𝑠𝑖𝑛2𝑥
2𝑠𝑖𝑛2 2𝑥
= lim𝑥→0
(sin 𝑥
sin 2𝑥)
2
= lim𝑥→0
(sin 𝑥
𝑥sin 2𝑥
2𝑥
∙1
2)
2
= (1.1
1.2)
2
=1
4
b. Hitunglah nilai limit dari lim𝑥→𝑦
sin 𝑥−sin 𝑦
𝑥−𝑦
lim𝑥→𝑦
sin 𝑥−sin 𝑦
𝑥−𝑦= lim
𝑥→𝑦[
2 cos(𝑥+𝑦
2) sin(
𝑥−𝑦
2)
𝑥−𝑦]
= lim𝑥→𝑦
[cos (𝑥+𝑦
2) ∙
sin(𝑥−𝑦
2)
1
2(𝑥−𝑦)
]
= [lim𝑥→𝑦
cos (𝑥+𝑦
2)] ∙ [lim
𝑥→𝑦
sin(𝑥−𝑦
2)
1
2(𝑥−𝑦)
]
= cos (𝑦+𝑦
2) . 1 = cos 𝑦
Ingat
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
= 𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝟏
Aplikasi Limit Fungsi Trigonometri
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa masalah yang berkaitan dengan
limit fungsi trigonometri yaitu jarak, kecepatan dan percepatan.
Contoh:
Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh persamaan
𝑠 = 10 sin 2𝑡 dengan s adalah jarak yang dinyatakan dalam meter. Tentukan
kecepatan partikel pada saat 𝑡 =𝜋
6 detik.
Penyelesaian :
Diketahui : 𝑠(𝑡) = 10 sin 2𝑡
Ditanya : 𝑣(𝑡) pada saat 𝑡 =𝜋
6?
Jawab :
Kecepatan pada saat t :
𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡= lim
∆𝑡→0
𝑠(𝑡+∆𝑡)−𝑠(𝑡)
∆𝑡
sehingga
𝑠(𝑡) = 10 sin 2𝑡
𝑠(𝑡 + ∆𝑡) = 10 sin 2(𝑡 + ∆𝑡) = 10 sin((2𝑡 + 2∆𝑡)
𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) = 10 sin(2𝑡 + 2∆𝑡) − 10 sin 2𝑡
= 10ሾsin(2𝑡 + 2∆𝑡) − sin 2𝑡ሿ ………….. persamaan 1
Ubah persamaan 1 menjadi bentuk
sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos (𝐴+𝐵
2) sin (
𝐴−𝐵
2), diperoleh
𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) = 10ሾsin(2𝑡 + 2∆𝑡) − sin 2𝑡ሿ
= 10 ቂ2 cos (2𝑡+2∆𝑡+2𝑡
2) sin (
2𝑡+2∆𝑡−2𝑡
2)ቃ
= 20 cos(2𝑡 + ∆𝑡)𝑠𝑖𝑛∆𝑡
𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡= lim
∆𝑡→0
𝑠(𝑡+∆𝑡)−𝑠(𝑡)
∆𝑡
= lim∆𝑡→0
20 cos(2𝑡+∆𝑡)𝑠𝑖𝑛∆𝑡
∆𝑡
= 20 lim∆𝑡→0
cos(2𝑡 + ∆𝑡) ∙ lim∆𝑡→0
𝑠𝑖𝑛∆𝑡
∆𝑡
= 20 cos(2𝑡 + 0) ∙ 1 = 20 cos 2𝑡
Jarak
𝑠(𝑡)
Kecepatan
𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
= lim∆𝑡→0
𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)
∆𝑡
Percepatan
𝑎(𝑡) = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
= lim∆𝑡→0
𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡)
∆𝑡
1. Hitunglah nilai limit trigonometri berikut :
2. Diketahui lim𝑥→0
𝑎𝑥 sin 𝑥+𝑏
cos 𝑥−1= 1, tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Nilai dari(𝑎 + 𝑏)3
3. Seorang pengendara motor mengendarai motornya dari arah Bandung
menuju Sumedang. Persamaan gerak pengendara motor itu dinyatakan
oleh 𝑠 = 30 sin 2𝑡 dengan 𝑠(𝑡) adalah jarak dalam meter dan t adalah
waktu dalam menit. Tentukan kecepatan pengendara motor tersebut pada
saat 30 menit?
4. Sebuah partikel menempel pada pinggir sebuah roda. Jika roda tersebut
berputar, maka posisi partikel tersebut diberikan oleh fungsi𝑠(𝑡) =
Untuk 𝑡 =𝜋
6 detik, maka
𝑣(𝑡) = 20 cos 2𝑡
𝑣 (𝜋
6) = 20 cos 2 ∙
𝜋
6
= 20 cos𝜋
3
= 20 ൬1
2൰ = 10 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
Jadi, kecepatan partikel pada saat 𝑡 =𝜋
6 detik adalah 10 𝑚/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
AsahOtak
a. lim𝑥→0
sin 2𝑥
sin 6𝑥
b. lim𝑥→𝜋
sin 𝑥 − cos 𝑥
c. lim𝑛→
𝜋
2
sin(𝑛−𝜋
2)
(𝑛−𝜋
2)𝑐𝑜𝑠 (3𝑛)
d. lim 𝑥→0
(𝑥2−1) tan 6𝑥
2𝑥+3𝑥2+𝑥3
e. lim𝜃→0
𝜃∙sin 𝜃
1−cos 𝜃
f. 𝑙𝑖𝑚𝑥→
𝜋
2
𝑠𝑖𝑛 2𝑥
𝑥−𝜋
2
g. 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝑡𝑎𝑛 𝑥−𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
h. 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑐𝑜𝑠 2𝑥
𝑥2
3 sin 2𝑡 + 1dengan𝑠(𝑡) adalah jarak dalam meter dan t adalah waktu
dalam detik. Tentukan kecepatan partikel pada saat :
a. 𝑡 =1
2𝜋 detik
b. 𝑡 = 𝜋 detik