1

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΒΟΛΕΣ

ΔΡΑΓΟΥΜΑΝΙΩΤΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ ΛΑΠΠΑΣ

ΑΘΗΝΑ 2013

2

Η παρούσα Διπλωματική Εργασία

εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών

για την απόκτηση του

Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

που απονέμει το

Διαπανεπιστημιακό – Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών

Σπουδών

«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»

Εγκρίθηκε την ……………………από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη

από τους :

Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή

1)ΛΑΠΠΑΣ ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ (επιβλέπων Καθηγητής)

Αναπληρωτής

Καθηγητής

…………….

2)ΨΥΧΑΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Λέκτορας

………..…

3)ΣΜΥΡΝΑΙΟΥ ΖΑΧΑΡΟΥΛΑ

Λέκτορας

………...…

3

Στην οικογένειά μου, Δημήτρη,

Κωνσταντίνα,Καλλιόπη,

Επαμεινώνδα, για την

συμπαράστασή τους και τη

στήριξή τους σε όλη τη

διάρκεια των σπουδών μου και

ιδιαίτερα στη κόρη μου

Κωνσταντίνα για τη βοήθειά

της στη συγγραφή αυτής της

διπλωματικής εργασίας.

4

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Θα ήθελα να εκφράσω τις βαθύτατες ευχαριστίες μου στον επιβλέποντα καθηγητή

κ. Διονύσιο Λάππα που μου εμπιστεύθηκε το θέμα της παρούσας διπλωματικής

εργασίας, για την υπομονή, τις συμβουλές του και την καθοδήγησή του καθόλη τη

διάρκεια της εκπόνησής της.

Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους κ. Ψυχάρη Γεώργιο και την κ. Σμυρναίου

Ζαχαρούλα,για τη συμμετοχή τους στην τριμελή εξεταστική επιτροπή και για τις

γόνιμες συζητήσεις κατά την διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής.

5

Περιεχόμενα

Εισαγωγή……………………………………………………………………………………………………… Περίληψη……………………………………………………………………………………………………… Κεφάλαιο 1ο 1.1 Ευκλείδης ………………………………………………………………………………………………. 1.2 Ευκλείδεια διαίρεση ………………………………………………………………………………. 1.3 Ευκλείδειος αλγόριθμος – Θεώρημα Bezout – Εφαρμογές …………………… 1.4 Ανθυφαίρεση ………………………………………………………………………………………….. 1.4.1 Η διαδικασία της ανθυφαίρεσης στο πρόβλημα της πλευράς και της διαγωνίου τετραγώνου …………………………………………………………………………………. 1.4.2 Χρυσή τομή …………………………………………………………………………………..……… 1.4.3 Η διαδικασία της ανθυφαίρεσης στο πρόβλημα της πλευράς και της διαγωνίου κανονικού πενταγώνου …………………………………………………………….. 1.4.4 Ευκλείδειος αλγόριθμος: Η πρακτική και γεωμετρική του ερμηνεία .. 1.5 Δακτύλιος πολυωνύμων (R[x],+, .) …………………………………………………………. 1.5.1 Στοιχεία διαιρετότητας ………………………………………………………………………… 1.5.2 Ορισμός ΜΚΔ δύο πολυωνύμων …………………………………………………………. 1.5.3 Εφαρμογές του ΜΚΔ ………………………………………………………………………… 1.6 Συνεχή κλάσματα …………………………………………………………………………………… 1.6.1 Βασικοί ορισμοί …………………………………………………………………………………… 1.6.2 Ιστορικά στοιχεία ………………………………………………………………………………… 1.6.3 Τα συνεχή κλάσματα των ρητών και αρρήτων …………………………………….. Κεφάλαιο 2ο Αλγόριθμοι επίλυσης εξισώσεων 2.1 Μέθοδος δοκιμής λάθους ………………………………………………………………………. 2.1.1 Βαβυλώνιοι …………………………………………………………………………………………. 2.1.1.Α Προβλήματα της πινακίδας ΒΜ13901 …………………………………………….. 2.1.1.Β Πρόβλημα Susa - Μεσοποταμία ……………………………………………………… 2.1.2 Francés Pellos …………………………………………………………………….................. 2.1.3 Ένα πρόβλημα στο γαλλικό σχολείο ……………………………………………………. 2.2 Άραβες και μέθοδος al-jabr al-mugabala ……………………………………………….. 2.2.1 Παράδειγμα 1ο (χρήση του όρου al-jabr) …………………………………………….. 2.2.2 Παράδειγμα 2ο επίλυση μεικτής δευτεροβάθμιας εξίσωσης αχ2+βχ=γ 2.3 Έλληνες – Ευκλείδης ……………………………………………………………………………... 2.4 Διόφαντος ……………………………………………………………………………………………… 2.5 Λύση «Brâhmasphutasiddhânt» του Brahmagupta ……………………………….. Κεφάλαιο 3ο Μετασχηματισμοί πολυωνύμων …………………………………………………………………… 3.1 Μέθοδος RUFFINI ………………………………………………………………………………….. 3.2 Μέθοδος F. Budan …………………………………………………………………………………. 3.3.1 Horner – Βιογραφία …………………………………………………………………………….. 3.3.2 Εύρεση τιμής πολυωνύμου – Σχήμα Horner ……………………………………….. 3.3.3 Υπολογισμός τιμής παραγώγου πολυωνύμου σε ένα σημείο …………….. 3.3.4 Υπολογισμός των τιμών όλων των παραγώγων πολυωνύμου σε ένα σημείο…………………………………………………………………………………………………………….

7 9

11 11 13 18

20 21

21 23 27 27 29 31 33 33 34 39

44 44 45 50 52 54 54 55 56 58 68 70

71 72 75 76 78 80

81

6

3.3.5 Επέκταση της διαίρεσης με το διώνυμο χκ-α ……………………………………….. 3.3.6 Μέθοδος Newton – Rapson ………………………………………………………………… 3.3.7 Αναπαράσταση ακεραίων …………………………………………………………………… Κεφάλαιο 4ο Μαγικά τετράγωνα 4.1 Εισαγωγή ……………………………………………………………………………………………….. 4.2 Σύντομη ιστορία των μαγικών τετραγώνων ………………………………………….. 4.3 Μέθοδοι κατασκευής μαγικών τετραγώνων …………………………………………. 4.3.1 Η κατασκευή μαγικών τετραγώνων περιττής τάξης ……………………………. 4.3.1.Α Μέθοδος δημιουργίας μαγικών τετραγώνων του Pheru …………………. 4.3.1.Β Μέθοδος La Loubere ………………………………………………………………………… 4.3.1.Γ Η μέθοδος της πυραμίδας ………………………………………………………………… 4.3.1.Δ Μια διαφορετική ανάλυση για μαγικά τετράγωνα 3Χ3 …………………… 4.3.1.Ε Η τεχνική των πλαισίων από τον Az-Zinjani ………………………………………. 4.3.1.Ζ Εμμανουήλ Μοσχόπουλος ……………………………………………………………….. 4.3.1.Η Μέθοδος Glaude-Gaspard Bachet de Meziriac ………………………………… 4.3.2 Κατασκευή μαγικών τετραγώνων άρτιας τάξης ………………………………….. 4.3.2.Α Κατασκευή μαγικού τετραγώνου 4Χ4 ……………………………………………… 4.3.2.Β Τα μαγικά τετράγωνα με ν πολλαπλάσιο του 4 ……………………………….. 4.3.3 Τορομαγικά τετράγωνα με μήκος πλευράς περιττό ……………………………. 4.4 Διάσημα μαγικά τετράγωνα …………………………………………………………………… 4.4.1 Μαγικό τετράγωνο Durer ……………………………………………………………………. 4.4.2 Το μαγικό τετράγωνο της αποκάλυψης ………………………………………………. 4.4.3 Το μαγικό τετράγωνο του Βενιαμίν Φραγκλίνου ………………………………… 4.4.4 Μαγικό τετράγωνο του Καθεδρικού ναού Gaudi της Βαρκελώνης ………………………………………………………………………………………………………………………. 4.4.5 Κατοπτρικό μαγικό τετράγωνο ……………………………………………………………. 4.4.6 Αξιοσημείωτο μαγικό τετράγωνο ……………………………………………………….. 4.4.7 Ένα μαγικό τετράγωνο 100.. δολαρίων ……………………………………………….. 4.4.8 Μαγικό τετράγωνο και π ……………………………………………………………………… 4.4.9 Μαγικό τετράγωνο Fibonacci ………………………………………………………………. Κεφάλαιο 5ο 5.1 Διαδικαστική γνώση και εννοιολογική κατανόηση ………………………………… 5.2 Μια άλλη μέθοδος έρευνας των ριζών δευτεροβάθμιας εξίσωσης……….. Βιβλιογραφία …………………………………………………………………………………………………

83 85 86

88 89 93 94 94 96 99

100 103 113 118 119 119 121 123 124 124 131 131

134 135 136 137 137 138

140 143 146

7

Εισαγωγή

Γενικά Δεν μπορεί με βεβαιότητα κάποιος να πεί αν έγιναν πρώτα τα μαθηματικά και μετά οι υπολογισμοί, ή πρώτα οι υπολογισμοί και μετά τα μαθηματικά και ούτε έχει σημασία. Εκείνο που μπορούμε όμως με σιγουριά να πούμε σήμερα, είναι ότι δεν μπορούν να γίνουν υπολογισμοί χωρίς μαθηματικά και μαθηματικά χωρίς υπολογισμούς. Λεγοντας υπολογισμούς, εννοούμε την εύρεση ενός αποτελέσματος χρησιμοποιώντας τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής μόνο. Λέγοντας μεθόδους υπολογισμών, εννοούμε τύπους και αλγορίθμους που μας βοηθούν στο να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα, από ένα πλήθος δεδομένων που διαθέτουμε. Φυσικά μιλάμε για τύπους εύχρηστους και αλγόριθμους, οι οποίοι θα δίνουν το αποτέλεσμα σε λογικούς χρόνους. Στην αρχαιότητα ασχολήθηκαν με το θέμα μας οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι και φυσικά οι ΄Ελληνες. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε τον Αρχιμήδη, που με τη μέθοδο των προσεγγίσεων μπόρεσε να υπολογίσει την τιμή του π και τον Ήρωνα, που έδωσε αλγόριθμο για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού,έναν αλγόριθμο που η γενική του μορφή δόθηκε 1800 χρόνια αργοτερα. Η επιστήμη των υπολογισμών έμεινε για πολλά χρόνια καθηλωμένη, μέχρι την εποχή της αναγέννησης περίπου, που αρχίζει να αναπτύσσεται και πάλι. Από την περίοδο του διαφωτισμού και μετά οι υπολογισμοί γνωρίζουν άνθιση, όπως όλες οι επιστήμες. Όμως κύρια και ραγδαία ανάπτυξη γνωρίζουν μετά το μέσο του προηγούμενου αιώνα, παράλληλα με την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο λόγος είναι ότι οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές μπορούν να κάνουν μόνο τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής. Έτσι για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος, που σχετίζεται με τα μαθηματικά πέρα από τις πράξεις της αριθμητικής, πρέπει η λύση να μετατραπεί σε λύση, η οποία είναι πραγματοποιήσιμη με τις πράξεις αυτές και μόνο.([39],σελ1) Η «προϊστορία» των μαθηματικών Η αφήγηση της ιστορίας των μαθηματικών αρχίζει συχνά στην Ελλάδα του 5ου πΧ. αιώνα όταν από τη μια μεριά ο Πυθαγόρας και από την άλλη ο Θαλής και ο Αναξίμανδρος θεμελίωσαν τους δυο κύριους κλάδους των αρχαίων μαθηματικών: την αριθμητική και τη γεωμετρία. Ωστόσο, ξεκινώντας έτσι την αφήγηση σκιάζουμε μια σημαντική περίοδο την οποία θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «προϊστορία» των μαθηματικών. Πράγματι, οι άνθρωποι δεν περίμεναν τον 5ο αι. πΧ για να επιχειρήσουν να λύσουν τα μαθηματικά προβλήματα που αντιμετώπιζαν. Λογιστές και τοπογράφοι Ένα από τα πιο παλιά ίχνη «μαθηματικής» δραστηριότητας είναι μια πινακίδα που

ανακαλύφθηκε στη Μεσοποταμία και που χρονολογείται από το 2500 πΧ.

Περιγράφει τον υπολογισμό του αριθμού των ανθρώπων στους οποίους μπορούμε

να δώσουμε 7 μεζούρες σιτάρι, αν διαθέτουμε μια σιταποθήκη που περιέχει

1152000 μεζούρες. Το αποτέλεσμα, 164,571 άτομα, προκύπτει φυσικά από τη

8

διαίρεση του 1152000 δια 7. Συνεπώς οι Μεσοποτάμιοι λογιστές ήξεραν να κάνουν

διαιρέσεις πολύ πριν την επινόηση της αριθμητικής. Είναι μάλιστα πιθανόν χωρίς

όμως να υπάρχει βεβαιότητα για το θέμα, ότι η γραφή επινοήθηκε ακριβώς για την

τήρηση των λογιστικών βιβλίων και συνεπώς ότι τα αριθμητικά σύμβολα είναι

προγενέστερα των γραμμάτων. Πέρα από τους πολλαπλασιασμούς και τις

διαιρέσεις οι λογιστές της Μεσοποταμίας και της Αιγύπτου ήξεραν να κάνουν και

πολλούς άλλους υπολογισμούς, όπως για παράδειγμα η επίλυση ορισμένων

δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Όσο για τους τοπογράφους, αυτοί γνώριζαν πώς να

υπολογίζουν το εμβαδόν των ορθογωνίων, των τριγώνων, των δίσκων…

Η Ελλάδα του 5ου αι. π.Χ Τι συνέβη λοιπόν το τόσο ειδικό στην Ελλάδα του 5ου αι. πΧ. για να δικαιολογείται η τοποθέτηση εκεί και όχι κάπου αλλού της απαρχής της ιστορίας των μαθηματικών; Ας πάρουμε ως παράδειγμα το πρόβλημα των Πυθαγορείων που ανάγεται στην εύρεση δυο αριθμών x και y ώστε 2x2=y2. Οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι ένα τετράγωνο δε μπορεί να είναι διπλάσιο ενός άλλου τετραγώνου. Αποδεικνύεται ότι αν σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο που οι μικρότερες πλευρές του έχουν μήκος ίσο με 1 μέτρο, το μήκος της

υποτείνουσας σε μέτρα θα είναι ένας αριθμός, ο , περίπου ίσος με 1,414, ο οποίος όμως δε μπορεί να προκύψει από τη διαίρεση 2 ακεραίων αριθμών x και y. Συνεπώς η γεωμετρία αναδεικνύει αριθμούς που δε μπορούν να προκύψουν από τους ακέραιους αριθμούς μέσω των τεσσάρων στοιχειωδών πράξεων: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Συγκρινόμενα το πρόβλημα των Μεσοποτάμιων με το Πυθαγόρειο προκύπτουν οι εξής διαφορές:

Το πρόβλημα των Πυθαγορείων είναι πιο θεωρητικό διότι: Α)Το πρόβλημα των Μεσοποτάμιων αφορά σε αριθμούς από μεζούρες σιταριού, αυτό των Πυθαγορείων σε σκέτους αριθμούς. Β)Το Πυθαγόρειο πρόβλημα αναφέρεται σε ένα τυχαίο τρίγωνο και όχι σε μια τριγωνική αγροτική επιφάνεια.

Το Μεσοποτάμιο πρόβλημα επιλύεται με υπολογισμό: μια απλή διαίρεση. Αντίθετα το Πυθαγόρειο για να λυθεί είναι απαραίτητο να αναπτυχθεί ένας συλλογισμός.

Η μεγάλη επανάσταση του 5ου αι. πΧ. συνίσταται στην αποστασιοποίηση των μαθηματικών αντικειμένων, που είναι αφηρημένα, από τα συγκεκριμένα αντικείμενα της φύσης. Αυτή η μεταβολή στη φύση των μαθηματικών αντικειμένων συνοδεύεται και από τη διείσδυση του απείρου μέσα στα μαθηματικά: αυτή ακριβώς η διείσδυση κατέστησε αναγκαία την αλλαγή της μεθόδου και οδήγησε την αντικατάσταση του υπολογισμού από το συλλογισμό. Η πραγματεία του Ευκλείδη, τα Στοιχεία, παρέμεινε επί μακρόν το πρότυπο της μαθηματικής μεθόδου: διατυπώνονται τα αξιώματα και με βάση τα αξιώματα αποδεικνύονται τα θεωρήματα με βάση άμεσους ή έμμεσους κανόνες συναγωγής. Κάτω από αυτή την οπτική, μόνο ο συλλογισμός επιτρέπει την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος, κάτι που αντικατοπτρίζει τη σημασία που οι Έλληνες, μαθηματικοί και φιλόσοφοι, απέδιδαν στο συλλογισμό.

9

Μετά την υιοθέτηση της αξιωματικής μεθόδου ο συλλογισμός άρχισε να παρουσιάζεται συχνά ως το μοναδικό εργαλείο που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος. Ωστόσο ο υπολογισμός δεν εξαφανίστηκε πλήρως από τη μαθηματική πρακτική: ποτέ οι μαθηματικοί δε σταμάτησαν να επινοούν νέους αλγορίθμους για τη συστηματική επίλυση ορισμένων τύπων προβλημάτων. Έτσι, υπάρχει η φωτεινή πλευρά της ιστορίας των μαθηματικών με τις εικασίες, τα θεωρήματα και τις αποδείξεις, και η σκοτεινή πλευρά, αυτή των αλγορίθμων.([7],σελ18-20) Η θεωρία των αλγορίθμων έχει μεγάλη παράδοση και η ηλικία μερικών αλγορίθμων αριθμεί χιλιάδες χρόνια, όπως για παράδειγμα, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δυο αριθμών ή το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη για την εύρεση των πρώτων αριθμών από 1 έως n. Η λέξη αλγόριθμος (algorithm) προέρχεται από μια μελέτη του Πέρση μαθηματικού Abu Ja’ far Mohammαd ibn Musa al Khwarizmi, που έζησε περί το 825 μΧ. Πέντε αιώνες αργότερα η μελέτη αυτή μεταφράστηκε στα λατινικά και άρχιζε με τη φράση «Algoritmi dixit…» (δηλ. ο αλγόριθμος λέει…). Ο όρος «αλγόριθμος» επέζησε επί χίλια χρόνια ως σπάνιος όρος, που είχε την έννοια της συστηματικής διαδικασίας αριθμητικών χειρισμών. Τη σημερινή του αξία απέκτησε από την αρχή του 20ου αι. με την ανάπτυξη της ομώνυμης θεωρίας και φυσικά με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο όρος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να δηλώσει μεθόδους που εφαρμόζονται σε προγράμματα για την επίλυση προβλημάτων. Ωστόσο, ένας πιο αναλυτικός ορισμός της έννοιας αυτής από την Encyclopedia Britannica (15th edu) είναι ο εξής: «Αλγόριθμος είναι ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών, αυστηρά καθορισμένο και εκτελέσιμο σε πεπερασμένο χρόνο, οι οποίες αν ακολουθηθούν επιτυγχάνεται ένα επιθυμητό αποτέλεσμα». Περίληψη Η παρούσα διπλωματική έχει ως στόχο την παρουσίαση κάποιων αλγοριθμικών

διαδικασιών δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση σε αλγόριθμους που εμφανίζονται στα

σχολικά μαθηματικά.

Συγκεκριμένα :

Στο 1ο Κεφάλαιο γίνεται ιστορική ανασκόπηση του ευκλείδειου αλγόριθμου για την

εύρεση του ΜΚΔ δυο αριθμών, παρουσιάζεται η επέκτασή του στο δακτύλιο των

πολυωνύμων και δίνονται σημαντικές εφαρμογές του στη θεωρία αριθμών.

Στο Κεφάλαιο 2ο γίνεται καταγραφή των αλγοριθμικών λύσεων εξισώσεων, με τη

μέθοδο δοκιμής-λάθους από τους Βαβυλώνιους και από τον Francois Pellos . Επίσης

δίνεται μια μέθοδος γεωμετρικής επίλυσης από τους Άραβες και από τους Έλληνες,

παρουσιάζεται η μέθοδος επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης από το Διόφαντο

και τέλος η λύση «Brâhmasphutasiddhânt» του Brahmagupta.

10

Στο 3ο Κεφάλαιο γίνεται καταγραφή των μεθόδων μετασχηματισμού ενός

πολυωνύμου του x βαθμού n σε πολυώνυμο (x-u), του ιδίου βαθμού, όπως

διατυπώθηκαν από τους Ruffini,Budan,Horner. Επίσης εφαρμογές της μεθόδου

Horner για την εύρεση της τιμής ενός πολυωνύμου σε ένα σημείο, την εύρεση των

τιμών των παραγώγων ενός πολυωνύμου σε ένα σημείο, τον εντοπισμό κάθε ρίζας

μιας αλγεβρικής εξίσωσης με την μέθοδο Newton-Rapson καθώς και τη

χρησιμοποίηση της μεθόδου Horner στην μετατροπή ενός ακεραίου από ένα

αριθμητικό σύστημα σε άλλο.

Στο Κεφάλαιο 4ο γίνεται αναφορά στα μαγικά τετράγωνα, την ιστορική τους

καταβολή και τους τρόπους κατασκευής τους όπως διατυπώθηκαν από

μαθηματικούς ανά τους αιώνες.

Στο Κεφάλαιο 5ο καταγράφονται οι προβληματισμοί της επιστημονικής κοινότητας

σχετικά με την διαδικαστική γνώση και την εννοιολογική κατανόηση και το ρόλο των

αλγορίθμων στη προσέγγιση αυτή.

11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.1 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ (~365 - ~300 π.Χ.)

Για τη ζωή του Ευκλείδη είναι γνωστά λίγα πράγματα, π.χ. ότι ήταν σύγχρονος του Αρχιμήδη και πιθανόν να μαθήτευσε στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Κατά την κυριαρχία του Πτολεμαίου Α' στην Αλεξάνδρεια ίδρυσε ο Ευκλείδης μία Σχολή. Άλλες αξιόλογες τεκμηριωμένες πληροφορίες δεν υπάρχουν. Το κυριότερο σύγγραμμα του Ευκλείδη, υπό τον τίτλο «Στοιχεία» που υποδιαιρείται σε 13 βιβλία, αποτελεί το σπουδαιότερο έργο των αρχαιοελληνικών Μαθηματικών και είναι ακόμα η βάση των σχολικών Μαθηματικών. Σ' αυτό το σύγγραμμά του παρουσιάζει ο Ευκλείδης, με σύντομη και ακριβή μορφή μία συστηματική, απαγωγική -αξιωματική σύνοψη και προσαρμογή όλων των προευκλείδειων μαθηματικών γνώσεων, τις οποίες συμπλήρωσε με θεωρήματα δικά του και άλλα συγχρόνων του Μαθηματικών. Τα πρώτα έξι βιβλία καλύπτουν τη Γεωμετρία του επιπέδου, τα βιβλία επτά μέχρι εννέα την Αριθμητική και τη Θεωρία Αριθμών. Το δέκατο βιβλίο αναφέρεται στους άρρητους αριθμούς και τα τρία τελευταία βιβλία στη Στερεομετρία. Η Γεωμετρία του Ευκλείδη απετέλεσε το θεμέλιο για την ανάπτυξη της «δυτικής» επιστήμης και τεχνικής και σ' αυτή τη Γεωμετρία στηρίζονται οι προϋποθέσεις της κλασικής Φυσικής από την Αναγέννηση και μετά. Μόλις το 19ο αιώνα διαπιστώθηκε όμως (Λάμπερτ, Γκάους, Μπολυάι, Λομπατσέβσκι κ.ά.) ότι η ευκλείδεια Γεωμετρία στηρίζεται στην απλοϊκή αντίληψη του επίπεδου χώρου, ο οποίος είναι μεν χρήσιμος για την περιοχή που αντιλαμβάνεται με τις αισθήσεις του ένας άνθρωπος, αλλά όχι για πολύ μεγάλες τιμές των φυσικών μεγεθών (αποστάσεις, ταχύτητες, μάζες κτλ.) Τότε παύει να ισχύει η επίπεδη αντίληψη και μαζί της η ευκλείδεια Γεωμετρία, επειδή στην πραγματικότητα ο χώρος είναι κυρτός! Έτσι η Γεωμετρία συμπληρώνεται με βάση αντιλήψεις που στηρίζονται στον υπερβολικό, ελλειπτικό κ.ά. χώρο.

1.2. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Πρόταση: Αρχή της καλής διάταξης Κάθε μη κενό και κάτω φραγμένο υποσύνολο του Z έχει ελάχιστο στοιχείο. Απόδειξη: Έστω κ0 ένας ακέραιος που είναι κάτω φράγμα του Α και κ1 ένα στοιχείο του Α οπότε κ0≤κ1

Έστω P(η) η πρόταση ότι το κ1+η-1 είναι κάτω φράγμα του Α. Προφανώς η P(1) αληθεύει αλλά όχι η P(κ1+2-κ0) η οποία ισχυρίζεται ότι το κ1+1 είναι κάτω φράγμα του Α. Συνεπώς, εφόσον δεν ισχύει η P(η) για κάθε η που ανήκει στο σύνολο των φυσικών Ν από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής για κάποιο m Ν, η P(m) αληθεύει αλλά όχι η P(m+1). Δηλαδή το κ0+m-1 είναι κάτω φράγμα του Α αλλά όχι και το

12

κ0+m. Αυτό σημαίνει ότι το κάτω φράγμα κ0+m-1 είναι στοιχείο του Α συνεπώς το ελάχιστο στοιχείο του Α. Πόρισμα Κάθε μη κενό υποσύνολο Α του Ν έχει ελάχιστο στοιχείο. Απόδειξη: Έπεται από την προηγούμενη πρόταση αφού το Α είναι κάτω φραγμένο (από το 1) Θεώρημα Ευκλείδειας διαίρεσης Αν α,β είναι ακέραιοι αριθμοί, β≠0 τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ,υ τέτοιοι ώστε α=κβ+υ, 0≤υ<|β| Απόδειξη: Θεωρούμε το σύνολο των ακεραίων της μορφής α-βχ, με χ ακέραιο αριθμό, δηλαδή το σύνολο Α={α-βχ/ χ ανήκει Ζ} Για χ=|α| και β<0, ο αριθμός α-β|α| είναι φυσικός. Επίσης, για χ=-|α| και β>0 ο αριθμός α+β|α| είναι φυσικός. Έτσι, το σύνολο Α περιέχει φυσικούς αριθμούς. Έστω υ, ο ελάχιστος φυσικός αριθμός του Α. Υπάρχει ακέραιος κ με υ=α-βκ, δηλαδή α=βκ+υ, με υ≥0.

▪ θα αποδείξουμε, τώρα ότι υ<|β|, δηλαδή υ-|β|<0. Για β>0 είναι υ-β=α-βκ-β=α(κ+1)β=α-χβ, με χ=κ+1. Για β<0 είναι υ-|β|=υ+β=α-βκ+β=α-(κ-1)β=α-χβ, με χ=κ-1. Επομένως, υ-|β| ανήκει Α. Αν υ-|β|≥0, τότε υ-|β|≥υ (αφού υ το ελάχιστο στοιχείο του Α), δηλαδή |β|≤0, που είναι άτοπο(αφού β ≠0). Άρα υ-|β|<0.

▪ θα αποδείξουμε τώρα ότι οι ακέραιοι κ,υ είναι μοναδικοί. Υποθέτουμε ότι για τους ακεραίους κ΄ και υ΄ ισχύει α=βκ΄+υ΄ με 0≤υ΄<|β| Τότε βκ+υ=βκ΄+υ΄ ή β(κ-κ΄)=υ΄-υ Αν κ≠κ΄, τότε |κ-κ΄|≥1, οπότε |υ-υ΄|=|β|.|κ-κ΄|≥|β|. Από τις ανισότητες 0≤υ<|β| και 0≤υ΄<|β|, έχουμε -|β|<-υ≤0 και 0≤υ΄<|β|. Με πρόσθεση αυτών έχουμε -|β|<υ΄-υ<|β|, δηλαδή |υ΄-υ|<|β| και η ανισότητα |υ΄-υ|≥|β| που βρήκαμε παραπάνω δεν ισχύει. Άρα κ=κ΄και η ισότητα β(κ-κ΄)=υ΄-υ δίνει υ΄=υ Η διαδικασία εύρεσης των ακεραίων κ,υ ονομάζεται ευκλείδεια ή αλγοριθμική διαίρεση του α με το β. Ο κ ονομάζεται πηλίκο και το υ υπόλοιπο της διαίρεσης α:β. Αν υ=0, τότε η διαίρεση α:β ονομάζεται τέλεια. Σημείωση: η παραπάνω απόδειξη είναι σύγχρονη. Παράδειγμα α=-92, β=5 Από τη διαίρεση του 92 με το 5 έχουμε 92=5*18 +2 -92=-5*18-2 -92=-5*18-5+5-2 -92=-5*19+3 -92=5*(-19)+3 Άρα πηλίκο: π=-19, υπόλοιπο: υ=3 Σημείωση: ο αστερίσκος (*) δηλώνει πολλαπλασιασμό.

13

1.3 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Αν και το όνομα του Ευκλείδη παρέμεινε συνδεδεμένο με τη γεωμετρία και την αξιωματική μέθοδο, συνδέεται επίσης κατά ειρωνικό τρόπο και με έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη δυο ακεραίων: είναι ο ευκλείδειος αλγόριθμος. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος είναι ένας από τους παλαιότερους αλγορίθμους με μεγάλη σπουδαιότητα, καθώς για την εύρεση του MΚΔ δεν απαιτείται παραγοντοποίηση των ακεραίων. Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για δύο φυσικούς α και β, βρίσκει το «μέγιστο κοινό μέτρο τους». Δηλαδή, με άλλα λόγια, βρίσκει έναν αριθμό, που χωράει ακέραιες φορές στον α και ακέραιες φορές στον β. Τέτοιος φυσικός, πάντα υπάρχει. Για παράδειγμα, το 1 είναι κοινό μέτρο πάντων των φυσικών, αφού χωρά ακέραιες φορές σε όλους. Απλώς, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος, βρίσκει τον πιο μεγάλο που υπάρχει (τον ΜΚΔ). Ορισμός ΜΚΔ Έστω α,β δυο ακέραιοι από τους οποίους ένας τουλάχιστον είναι διάφορος του μηδενός. Ορίζουμε ΜΚΔ των α,β και συμβολίζουμε (α,β) το μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες τους. Σημείωση : κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του R έχει μέγιστο στοιχείο. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος στηρίζεται στο επόμενο θεώρημα. Θεώρημα Αν α,β είναι δυο φυσικοί αριθμοί και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β τότε (α,β)=(β,υ) Απόδειξη: Έστω α=κβ+υ με 0≤υ<β η ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β Αν δ=(α,β) και δ΄=(β,υ) τότε ▪ Επειδή δ/α και δ/β προκύπτει ότι δ/(α-κβ), δηλαδή δ/υ. Έτσι δ/β και δ/υ άρα δ/δ΄ (1) ▪ Επειδή δ΄/β και δ΄/υ προκύπτει ότι δ΄/(κβ+υ) δηλαδή δ΄/α Έτσι δ΄/β και δ΄/α άρα δ΄/δ (2) Από (1) και (2) προκύπτει ότι δ=δ΄ Γενικά για δυο θετικούς α,β με α>β η διαδικασία μπορεί να περιγραφεί ως εξής: εφαρμόζουμε επανειλημμένα και διαδοχικά την ευκλείδεια διαίρεση και γράφουμε: α=κ1β+υ1 0< υ1<β β=κ2υ1+υ2 0<υ2<υ1

υ1=κ3υ2+υ3 0<υ3<υ2

…………………………………………. Από τον από τον έλεγχο των ανισοτήτων στη δεξιά στήλη βλέπουμε ότι για την ακολουθία των διαδοχικών υπολοίπων ισχύει β>υ1>υ2>υ3…≥0 Επομένως μετά από β το πολύ βήματα θα εμφανιστεί το υπόλοιπο μηδέν. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υν-2=κνυν-1+υν, υν>0 υν-1=κν+1υν+0

14

τότε ισχύει (α,β)=υν

Αυτό προκύπτει από τη διαδοχική εφαρμογή του προηγούμενου θεωρήματος σύμφωνα με το οποίο (α,β)=(β,υ1)=(υ1,υ2)=…=(υν,0)=υν

Επομένως ο ΜΚΔ των α,β είναι το τελευταίο θετικό υπόλοιπο των παραπάνω αλγοριθμικών διαιρέσεων. Παρατήρηση: Αξίζει να σημειωθεί ότι ο τερματισμός του ευκλείδειου αλγόριθμου σε πεπερασμένα βήματα είναι συνέπεια της καλής διάταξης του Ν. Πράγματι μια ολική διάταξη είναι καλή αν και μόνο αν οι γνησίως φθίνουσες ακολουθίες είναι πεπερασμένες. Έτσι θεωρώντας οι αρχαίοι Έλληνες ότι ο ευκλείδειος αλγόριθμος τερματίζεται, ουσιαστικά δέχονταν ότι η διάταξη του Ν είναι καλή. Θα πρέπει επίσης να επισημάνουμε ότι η μαθηματική επαγωγή σαν αποδεικτική μέθοδος διατυπώθηκε πρώτη φορά από το Μαυρόλυκο (1494-1575) Σικελό ελληνικής καταγωγής και εν συνεχεία από τον Pascal. Εντούτοις στα Στοιχεία του Ευκλείδη υπάρχουν προτάσεις που η απόδειξή τους απαιτεί μαθηματική επαγωγή η οποία εκφράζεται ατελώς. Παράδειγμα εύρεσης του ΜΚΔ των αριθμών α=111, β=78 111=1*78+33 78=2*33+12 33=2*12+9 12=1*9+3 9=3*3+0 Άρα (111,78)=(78,33)=(33,12)=(12,9)=(9,3)=(3,0) δηλαδή (111,78)=3 Σημείωση : ο αστερίσκος(*) δηλώνει πολλαπλασιασμό. Σχόλιο Ο αριθμός των διαιρέσεων που απαιτούνται για τον προσδιορισμό του ΜΚΔ δυο ακεραίων α,β είναι το πολύ ίσος με 5*ρ όπου ρ το πλήθος των ψηφίων του β Παράδειγμα: Ο αριθμός των διαιρέσεων που απαιτούνται για τον προσδιορισμό του ΜΚΔ (337,233) είναι 12 (1597,987) είναι 15 (Θωμαΐδης 1984) Από τα παραπάνω φαίνεται ότι οι Έλληνες, όχι μόνο δεν γύρισαν την πλάτη τους στους υπολογισμούς, αλλά επινόησαν και νέους αλγορίθμους. Μας δείχνει ακόμα σε ποιο βαθμό συλλογισμός και υπολογισμός διαπλέκονται στη μαθηματική πρακτική. Η κατασκευή του αλγορίθμου του Ευκλείδη για τον υπολογισμό του ΜΚΔ απαίτησε την απόδειξη πολλών θεωρημάτων: αρχικά, αν η διαίρεση α δια β είναι τέλεια τότε ο ΜΚΔ των α,β είναι ο β, στη συνέχεια αν υ είναι το υπόλοιπο του α δια β τότε οι κοινοί διαιρέτες των α,β είναι ίδιοι με αυτούς των β,υ επίσης το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι πάντοτε μικρότερο από το διαιρέτη και τέλος μια φθίνουσα ακολουθία ακεραίων είναι πεπερασμένη. Αυτά τα συμπεράσματα θεμελιώνονται με συλλογισμούς ανάλογους με αυτούς που χρησιμοποιούσαν οι πυθαγόρειοι για να αποδείξουν ότι ένα τετράγωνο δεν μπορεί να είναι διπλάσιο ενός άλλου.

15

Από το παραπάνω αλγόριθμο μπορεί να προκύψει η πολύ σημαντική ιδιότητα του ΜΚΔ δυο αριθμών α,β ότι δηλαδή αυτός μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των α,β. Θεώρημα (Bezout) Aν d είναι ο ΜΚΔ των α,b τότε υπάρχουν ακέραιοι x,y τέτοιοι ώστε d=xα+yb. Απόδειξη: Θεωρώ το εξής υποσύνολο του Ν Α ={xα+yb: x,y ανήκουν Ζ, xα+yb>0} To A περιέχει το θετικό αριθμό x2+b2. Από την αρχή της καλής διάταξης το Α έχει ελάχιστο στοιχείο. Έστω d. Θα δείξω ότι d=MKΔ(α,b) Από τον ορισμό του Α, είναι d >0 και d=sα+tb για κάποιους s,t ανήκουν Ζ. Από το λήμμα κάθε κοινός διαιρέτης των α,b διαιρεί τον d, μένει να δείξουμε d/α και d/b. Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης υπάρχουν r,q ανήκουν Ζ με α= qd+r, 0≤r<d Αν r>0 τότε ο r=α-qd=(1-qs)q+(-qt)b θα ήταν στοιχείο του Α μικρότερο του d. Άρα r=0 και d/α. Ομοίως d/b Για παράδειγμα από τη διαδικασία προσδιορισμού του ΜΚΔ των α=111 και β=78 έχουμε: 33=111-1*78 12=78-2*33 9=33-2*12 3=12-1*9 Επομένως, 3=12-1x9=12-1*(33-2*12)=-1*33+3*12 =-1*33+3*(78-2*33)=3*78-7*33 =3*78-7*(111-1*78)=(-7)*111+10*78 Ώστε (111,78)=3=(-7)*111+10*78 Σημείωση : ο αστερίσκος(*) δηλώνει πολλαπλασιασμό.

Πόρισμα Δυο ακέραιοι α,β είναι πρώτοι μεταξύ τους αν και μόνο αν υπάρχουν ακέραιοι κ,λ ώστε κα+λβ=1. Απόδειξη: Αν α,β είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε (α,β)=1 και επομένως υπάρχουν ακέραιοι κ,λ ώστε κα+λβ=1. Αντίστροφα: Αν υπάρχουν ακέραιοι κ,λ με κα+λβ=1 και αν δ=(α,β) τότε δ/α και δ/β και επομένως δ/(κα+λβ) δηλαδή δ/1 οπότε δ=1. Παρατήρηση

Αν κα+λβ=δ είναι η γραμμική έκφραση του ΜΚΔ των α,β τότε κ( )+λ =1

που σημαίνει ( , )=1 δηλαδή αν διαιρέσουμε δυο ακεραίους με το ΜΚΔ

προκύπτουν αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.

Σημείωση: Αυτό το πόρισμα, όπως θα δούμε, είναι πολύ χρήσιμο στη λύση προβλημάτων που αναφέρονται στη διαιρετότητα.

16

Α) Ως μια πρώτη εφαρμογή αυτού, δείχνουμε το γνωστό αποτέλεσμα του

Πυθαγόρα: ο αριθμός δεν είναι ρητός. Διότι διαφορετικά θα είχαμε = με

(α,β)=1, οπότε αx+βy=1 για x,y . Έτσι, θα είχαμε

= (αx+βy)= αx+ βy=2βx+αy, δηλαδή που είναι άτοπο. B) Ως ένα επιπλέον παράδειγμα δείχνουμε ότι: μ.κ.δ. (n!+1, (n+1)! +1)=1για κάθε n N. Πράγματι, επειδή έχουμε n=n+1 +(n+1)!-(n+1)!-1= (n+1)(n!+1)-((n+1)!+1), αν δ είναι ο μ.κ.δ των n!+1 και (n+1)!+1 για κάποιο n, τότε δ|n. Αλλά δ|(n!+1) και συνεπώς ο δ θα πρέπει να διαιρεί και τον μ.κ.δ.(n, n!+1). Αλλά μ.κ.δ. (n, n!+1)=1, αφού 1=(n!+1)1+ n(-(n-1)!). Συνεπώς δ=1. Γ) Γραμμική διοφαντική εξίσωση([33],σελ171) Έστω αχ+βy=γ (1) μια γραμμική διοφαντική εξίσωση και δ, ο ΜΚΔ των α,β. Τότε: Η εξίσωση (1) έχει λύση, αν και μόνο αν ο δ διαιρεί τον γ. Αν δ=1, τότε η εξίσωση (1) έχει άπειρες λύσεις, που δίνονται από τους τύπους χ=χ0+βt και y=y0–αt, t Ζ, όπου (χ0, y0) μια λύση της (1). Απόδειξη: Έστω ότι δ/γ, δηλαδή ότι γ=μδ, μ Ζ, γνωρίζουμε ότι για τον δ=(α,β) υπάρχουν ακέραιοι κ,λ, τέτοιοι ώστε κα+λβ=δ (1) Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της (1) με μ, βρίσκουμε μκα+μλβ=μδ, δηλαδή α(κμ)+β(λμ)=γ. Άρα, το ζεύγος (κμ,λμ) είναι μια λύση της εξίσωσης. Αντιστρόφως, αν (χ0,y0) είναι μια λύση της διοφαντικής εξίσωσης, τότε ισχύει αχ0+βy0=γ. Επειδή δ/β και δ/β, συμπεραίνουμε ότι δ/(αχ0+βy0), δηλαδή δ/γ. Επειδή δ=1, ο δ θα διαιρεί τον γ, οπότε η εξίσωση (1) θα έχει μια, τουλάχιστον, λύση. Έστω (χ0, y0) μια λύση της εξίσωσης αυτής. Τότε θα ισχύει αχ0+βy0=γ (2) Αν (χ’,y’) είναι μια άλλη λύση της διοφαντικής εξίσωσης αχ+βy=γ, τότε θα ισχύει αχ’+βy’=γ. οπότε με αφαίρεση των δυο ισοτήτων κατά μέλη παίρνουμε α(χ0-χ’)=-β(y0-y’). (3) Έτσι, ο α διαιρεί τον β(y0-y’) και, επειδή (α,β)=1, ο α θα διαιρεί τον y0-y’. Επομένως, θα υπάρχει ακέραιος t τέτοιος, ώστε y0-y’=αt. Συνεπώς θα ισχύει y’=y0-αt, οπότε, λόγω της (3), θα έχουμε χ’=χ0+βt. Αντιστρόφως, για κάθε t Ζ, έχουμε

α(χ0+βt)+β(y0–αt)=αχ0+βy0=γ, που σημαίνει ότι και το ζεύγος (χ0+βt,y0–αt), είναι η λύση της εξίσωσης (1). Ώστε, οι λύσεις της εξίσωσης (1) δίνονται από τους τύπους χ=χ0+βt και y=y0–αt, t Ζ ∎

17

Σχόλια

▪ Η επίλυση της εξίσωσης αχ+βy=γ, με δ≠1 και δ/γ ανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης

Αχ+Βy=Γ, όπου Α= , Β= και Γ=

της οποίας ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των συντελεστών Α,Β είναι ίσος με 1.

▪ Η γεωμετρική ερμηνεία του παραπάνω θεωρήματος προκύπτει, αν λάβουμε υπόψη ότι κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βy=γ, με α≠0 ή β≠0, παριστάνει στο επίπεδο μια ευθεία. Στην περίπτωση α,β,γ Ζ, η ευθεία αυτή διέρχεται από άπειρα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες, αν και μόνο αν ο δ/γ, όπου δ=(α,β). Για παράδειγμα, η ευθεία 2χ+3y=1 διέρχεται από άπειρο πλήθος σημείων με ακέραιες συντεταγμένες, ενώ η 6χ+4y=5 δε διέρχεται από κανένα τέτοιο σημείο. Εφαρμογή Κάποιος οδηγός που χρειάζεται κέρματα, για να ρίξει στο μηχάνημα στάθμευσης (parking), ζητάει από τον περιπτερά να του ανταλλάξει ένα χαρτονόμισμα των 10 ευρώ με κέρματα των 1 ευρώ και των 50 λεπτών. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η ανταλλαγή, αν ο οδηγός θέλει οπωσδήποτε και κέρματα του 1 ευρώ και των 50 λεπτών; Λύση Αν η ανταλλαγή μπορεί να γίνει με χ κέρματα του 1 ευρώ και y κέρματα των 50 λεπτών, τότε χ+0,5y=10 2χ+y=20 (1) Αναζητούμε προφανώς τις ακέραιες και θετικές λύσεις της (1). Επειδή (2,1)=1 και 1 διαιρεί 20, η εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις. Για να βρούμε το σύνολο των λύσεών της, πρέπει να βρούμε μια μερική λύση (χ0,y0) της εξίσωσης ή, όπως λέμε, μια ειδική λύση της εξίσωσης. Εκφράζουμε γραμμικά το Μ.Κ.Δ. των 2 και 1 και έχουμε 2(1)+1(-1)=1 (2) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (2) με 20 και έχουμε 2(20)+1(-20)=20, που σημαίνει ότι (χ0,y0)=(20,-20). Επομένως, οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (1) δίνονται από τους τύπους: χ=20+1·t, y=-20-2·t, t Ζ. Από τις λύσεις αυτές πρέπει να βρούμε εκείνες για τις οποίες ισχύει χ>0 και y>0, δηλαδή πρέπει να βρούμε πού συναληθεύουν οι ανισώσεις 20+1·t>0 και -20-2·t>0, t Ζ Από την επίλυση του συστήματος των ανισώσεων προκύπτει ότι -20<t<-10, t Ζ. Επομένως, t=-19,-18,-17,-16,-15,-14,-13,-12,-11 και οι αντίστοιχες τιμές των χ και y φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

χ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 18 16 14 12 10 8 6 4 2

18

1.4. ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΣΗ Η ανθυφαίρεση είναι ο γενικευμένος αλγόριθμος εύρεσης του μέγιστου κοινού μέτρου δύο μεγεθών, αν υπάρχει (φυσικών αριθμών, ευθυγράμμων τμημάτων, εμβαδών). Ως μέθοδος, ήταν γνωστή στους πυθαγορείους πολύ πριν τον Ευκλείδη ο οποίος την αναφέρει στο VII βιβλίο των Στοιχείων του (πεπερασμένη ανθυφαίρεση μεγεθών ) και στο βιβλίο Χ (άπειρη ανθυφαίρεση μεγεθών) και πρέπει να ήταν το ουσιαστικό βήμα της μετάβασης από τη προγενέστερη (εμπειρική) θεωρία λόγων με βάση την αρμονία στη μετέπειτα εξελιγμένη μορφή τους όπως υπάρχει στον Ευκλείδη.

Ανθυφαίρεση μεγεθών

Εμπειρική θεωρία

λόγων Μεγεθών

Αριστοτέλης

«τοπικά»

α/β=γ/δ

ανθ(α,β)=ανθ(γ,δ)

Θεωρία αναλογιών

μεγεθών (Εύδοξος, βιβλίο

V, και Στοιχείων

Ευκλείδη)

Εμπειρική θεωρία λόγων

αριθμών(Πυθαγόρεια

θεώρηση με βάση την

αρμονία)

Θεωρία αναλογιών

αριθμών (Θεαίτητος,

Βιβλίο VII, Χ

Στοιχείων Ευκλείδη)

Για τον Πλάτωνα η έννοια της ανθυφαίρεσης είναι θεμελιώδης. Η κοσμοθεωρία του είναι ανθυφαιρετική και πιστεύει ότι καθετί στη φύση δημιουργείται και εξελίσσεται με ανθυφαιρετική διαδικασία. Η ζωή, ο θάνατος, η κοσμογονία, οι φιλοσοφικές ιδέες και έννοιες όλα διαρθρώνονται με βάση την ανθυφαίρεση. Η ανθυφαίρεση μεταξύ δυο ευθυγράμμων τμημάτων α,β με α<β ακολουθεί την παρακάτω αλγοριθμική διαδικασία : α β i) βγάζω όσα α υπάρχουν στο β και βρίσκω τι περισσεύει, αν περισσεύει, έστω γ ii) βγάζω όσα γ υπάρχουν στο α και γράφω τι περισσεύει, αν περισσεύει, έστω δ iii)Βγάζω όσα δ υπάρχουν στο γ και… α) αν καταλήξω να μην περισσεύει τίποτα τα α,β έχουν κοινό μέτρο, είναι σύμμετρα μεγέθη και ο λόγος β/α εκφράζει ρητό αριθμό. β) αν η διαδικασία αυτή δεν τερματίζει ποτέ και συνεχίζεται επ’ άπειρον τότε τα α, β δεν έχουν κοινό μέτρο, έχουν ασύμμετρη σχέση και ο λόγος β/α εκφράζει ρητό αριθμό.

19

Ορισμός [34] Δυο μεγέθη α,β είναι ασύμμετρα αν υπάρχει μέγεθος γ και φυσικοί αριθμοί m,n ώστε α=nγ και β=mγ. Αν α,β δεν είναι σύμμετρα τότε λέγονται ασύμμετρα. Πρόταση Χ1 Έστω δυο μεγέθη γ,ε. Ορίζουμε μια ακολουθία (γn) δυο μεγεθών με τον ακόλουθο τρόπο: γ1=γ γ2<

γ3<

……… γn+1< n=1,2,…

(ο Ευκλείδης ορίζει γn< )

Τότε υπάρχει δείκτης n0 ώστε γ <ε δηλαδή το ακριβές περιεχόμενο αυτής της πρότασης είναι limγn=0 Απόδειξη: Βασίζεται στην ιδιότητα Ευδόξου Αρχιμήδους σύμφωνα με την οποία για κάθε δυο

μεγέθη γ,ε υπάρχει n0 ώστε γ<n0ε δηλαδή ε> ε ≥ γn0

Πρόταση Χ2 Αν α,β είναι δυο ομογενή μεγέθη με α>β και η ανθυφαίρεση του α ως προς το β είναι άπειρη τότε τα α,β είναι ασύμμετρα. Απόδειξη: Η απόδειξη βασίζεται στη πρόταση Χ1. Έστω α,β σύμμετρα τότε υπάρχει μέγεθος ε και αριθμοί Μ,Ν ώστε α=Με, β=Νε Από την υπόθεση η ανθυφαίρεση των α,β με α>β που είναι

α=κ1β+γ1, γ1<β

β=κ2γ1+γ2, γ2<γ1

γ1=κ1γ2+γ3, γ3<γ2

………….

είναι άπειρη

ισχύει >γ1

>γ3

γ3>γ5 κ.ο.κ

Από την πρόταση Χ1 υπάρχει n0 ώστε

20

Επίσης εφόσον το ε είναι κοινό μέτρο των α,β, έπεται ότι το ε, είναι μέτρο και του γ1 άρα υπάρχει Ν1 ώστε Ν1ε=γ1 και Ν2 ώστε Ν2ε=γ2

Το ε είναι μέτρο του γ2n0+1 άρα υπάρχει Ν2n0+1 ώστε Ν2n0+1ε=γ2n0+1 (2) Από (1) και (2) άτοπο αφού ε≤Ν2no+1ε=γ2n0+1

Άλλη διατύπωση της Χ1 Έστω δυο άνισα μεγέθη. Αν από το μεγαλύτερο αφαιρεθεί μέγεθος μεγαλύτερο από το μισό του και από το υπόλοιπο αφαιρεθεί ξανά μέγεθος μεγαλύτερο από το μισό του και η διαδικασία αυτή επαναληφθεί συνεχώς θα απομείνει μέγεθος μικρότερο του μικρότερου από τα αρχικά δεδομένα μεγέθη. Άλλη διατύπωση της Χ2 Αν δοθούν δυο άνισα μεγέθη και ανθυφαιρείται το μικρότερο από το μεγαλύτερο και το υπόλοιπο που κάθε φορά απομένει δε μετρά το προηγούμενό του τότε τα δυο μεγέθη είναι ασύμμετρα. Χ2: Άπειρη ανθυφαίρεση συνεπάγεται ασύμμετρα μεγέθη. 1.4.1. Η διαδικασία της ανθυφαίρεσης στο πρόβλημα της πλευράς και της διαγωνίου τετραγώνου.

Αν δ=διάμετρος και α=πλευρά ενός τετραγώνου τότε από το πυθαγόρειο θεώρημα δ2=2α2=α2+α2

Άρα δ>α Από τη πρόταση I.3 των Στοιχείων του Ευκλείδη σύμφωνα με την οποία αν ΑΒ,Γ είναι δυο ευθείες και ΑΒ>Γ τότε κατασκευάζεται η διαφορά τους προκύπτει ότι υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα γ1 ώστε δ=α+γ1 (1) Μπορούμε να υπολογίσουμε το δ2 (από II.4) δ2=(α+γ1)2 δ2=α2+γ1

2+2αγ1 και επειδή δ2=2α2, θα έχουμε α2=γ12+2αγ1 (I)

άρα α2>γ12 δηλαδή α>γ1 (2)

Η (1) συνδυαζόμενη με τη (2) δημιουργεί ανθυφαίρεση Ανθ(δ,α)=[1,.] Αφού α2=γ1

2+2αγ1 είναι α2>2αγ1 δηλαδή α>2γ1

Άρα από I.3 α=2γ1+γ2 (3) α2=(2γ1+γ2)2=4γ1

2+γ22

άρα από (I) α2=γ12+2αγ1=γ1

2+2(2γ1+γ2)γ1 (5) από (4),(5) έχουμε 4γ1

2+γ22+4γ1γ2=γ1

2+4γ12+2γ1γ2

γ22+2γ1γ2=γ1

2(II) άρα γ1

2>γ22 δηλαδή γ1>γ2 (6)

από (3),(6) έπεται ότι Ανθ(δ,α)=[1,2,…] Τώρα όμως γνωρίζουμε ότι Ανθ(δ,α)=[1,2,2,…] διότι οι εξισώσεις (I),(II) είναι ίδιες.

δ

α

21

1.4.2. Χρυσή τομή ή διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Την πιο παλιά και πιο περίπλοκη ιστορία την έχει η χρυσή τομή. Στα μαθηματικά η χρυσή τομή είναι η διαίρεση μιας ευθείας (ενός ευθύγραμμου τμήματος) σε δύο μέρη κατά τρόπο ώστε ο λόγος όλης της ευθείας προς το μεγαλύτερο μέρος να είναι ίσος προς τον λόγο του μεγαλύτερου μέρους προς το μικρότερο. a b

a+b

Στον Ευκλείδη ο όρος ήταν «άκρος και μέσος λόγος»: ’Άκρον καί μέσον λόγον εὑθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ῇ ὡς ἡ ὅλη πρός τό μεῖζον τμῆμα, οὕτως τό μεῖζον πρός τό ἔλαττον. α2=b2+αb (I) , α>b από I3: α=b+γ1 (1) Η (I) λόγω της (1) γίνεται ( b+γ1)2=b2+(b+γ1)b Δηλαδή b2+2bγ1+γ1

2=b2+bγ1+b2

bγ1+γ12=b2 (II)

άρα b>γ1 (2) από (1),(2) ανθ(α,b)=[1,] Εφόσον τα b,γ1 είναι σε σχέση χρυσής τομής έπεται άμεσα ότι η ανθ(α,b) =[1,1,…] 1.4.3. Η διαδικασία της ανθυφαίρεσης στο πρόβλημα της πλευράς και της διαγωνίου κανονικού -πενταγώνου . 1. Κάνω τη διαίρεση δ α

δ-α 1 η ταυτότητα της διαίρεσης: δ=1α+δ-α με δ-α<α(βγαίνει από το σχήμα 1) 2. α δ-α -(δ-α) 1 η ταυτότητα της διαίρεσης: α=1(δ-α)+(2α –δ) με 2α-δ<δ-α 2α-δ 3. δ-α 2α-δ -(2α-δ) 1 5α-3δ η ταυτότητα της διαίρεσης: δ-α=1(2α-δ)+(2δ-3α) με 2δ-3α<2α-δ

22

4. 2α-δ 2δ-3α -(2δ-3α) 1 5α-3δ Η ταυτότητα της διαίρεσης: 2α-δ=1(2δ-3α)+(5α-3δ) με 5α-3δ<2δ-3α. Τα παραπάνω προκύπτουν από το σχήμα 1. Φτάσαμε μέχρι το τέταρτο βήμα και βλέπουμε συνεχώς πηλίκο 1. Γιατί βγαίνει όλο 1; για το λόγο που όλες οι παρακάτω διαιρέσεις δίνουν το ίδιο πηλίκο δ/α, 3δ/3α, λδ/λα

Εδώ έχουμε = = =

Και αφού υπάρχει ισότητα λόγων θα βρίσκω συνέχεια πηλίκο 1 και ανθ(δ,α)=[1,1,1,1….] Πώς εξηγείται αυτό; Ο τρίτος λόγος σχηματίζεται όπως σχηματίζεται ο δεύτερος από τον πρώτο (αντιστροφή και αφαίρεση επόμενου από προηγούμενο).

Σχήμα1

Από τη σχέση = προκύπτει δ2-αδ=α2(χρυσή τομή).

Η χρυσή τομή εμφανίζεται από ένα πλήθος γεωμετρικών στοιχείων του κ-πενταγώνου, θα αναφερθούμε σε μερικά από αυτά: ▪ ο λόγος μιας οποιασδήποτε διαγωνίου προς την πλευρά του είναι ο χρυσός λόγος φ. ▪ κάθε διαγώνιος του κ-πενταγώνου τέμνεται από μια άλλη στη θέση της χρυσής τομής δηλαδή κάθε διαγώνιος διαιρεί αυτή που τέμνει και διαιρείται από αυτή σε μέσο και άκρο λόγο. ▪ οι διαγώνιοι του κ-πενταγώνου τεμνόμενες γύρω από το κέντρο του πενταγράμματος σχηματίζουν ένα άλλο μικρότερο κ-πεντάγωνο, οι διαγώνιοι του

23

οποίου σχηματίζουν ένα δεύτερο κ-πεντάγωνο κ.ο.κ σε μια άπειρη ακολουθία κ-πενταγώνων και πενταγραμμάτων το ένα μέσα στο άλλο. Οι πλευρές όλων αυτών των πενταγώνων και οι βραχίονες των πενταγραμμάτων θα είναι διαρκώς σε μια ακολουθία χρυσής τομής. ▪ Οι ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου στο κ-πεντάγωνο έχουν σχέση 2:φ. ▪ μία διαγώνιος του κ-πενταγώνου είναι ο γεωμετρικός μέσος του ύψους του πενταγώνου και της διαμέτρου του περιγεγραμμένου κύκλου.

Οι ιστορικοί πιστεύουν ότι ο Ίππασος μάλλον ανακάλυψε την άρρητη σχέση πλευράς και διαγωνίου κανονικού πενταγώνου δ/α. Ανθ(δ,α)=[1,1,1…..]. Είναι η πιο απλή ανθυφαιρετική σχέση που υπάρχει. Ο Ίππασος ήταν αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος φιλόσοφος, μαθηματικός και φυσικός. Κατά τον Ιάμβλιχο ήταν Κροτωνιάτης, γενικά όμως επονομαζόταν «Μεταπόντιος» ή «Μεταποντίνος». Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια του 5 ου αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα. Πιθανόν όμως τον σκότωσαν γιατί ανακάλυψε την αρρητότητα. Δηλαδή, ανακάλυψε, ότι υπάρχουν μεγέθη με μη ρητή σχέση=με άπειρη ανθυφαίρεση. Η ανακάλυψη αυτή έτριξε το πυθαγόρειο φιλοσοφικό σύστημα σύμφωνα με το οποίο όλες οι σχέσεις –λόγοι μεταξύ ομοειδών μεγεθών είναι σύμμετρες –ρητές, υπάρχει κοινό μέτρο πάντα μεταξύ δυο μεγεθών.

1.4.4. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ: Η ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΜΗΝΕΙΑ

Ένα από τα πρώτα γράμματα της Μαθηματικής Αλφαβήτου του Σχολείου είναι ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος η κρυστάλλινη διαύγεια του οποίου απειλείται εσχάτως από... συνεχή κατακερματισμό ([26],Ιωάννης Αραχωβίτης). Α. Η Πρακτική Ερμηνεία. Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη είναι σε όλους γνωστός ως η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τον Μ.Κ.Δ. δύο ακεραίων Β0 και Β1, όπου Β0>Β1: Β0=α0Β1+Β2, Β1>Β2 Β1=α1Β2+Β3, Β2>Β3 ……………………………………….. (1)

Β i-1=αi-1+Βi-1, Β1> Βi+1 ……………………………………….. Βn-1=αn-1Βn +0 Ο ζητούμενος Μ.Κ.Δ. είναι τότε ο Βn. Ο αλγόριθμος αυτός, καίτοι λέγεται Ευκλείδειος, αποδίδεται από πολλούς ιστορικούς στον Εύδοξο, ενώ ο Πάππος τον αποκαλεί Αλγόριθμο του Θεαίτητου (πρβλ. [1], σ.217). Όποιου και αν είναι η πατρότητα, ένα είναι βέβαιο: ότι ο αλγόριθμος μας οδηγεί στον Μ.Κ.Δ. με διαδοχικά ζυγίσματα, όπως φαίνεται από τα παρακάτω σχήματα:

24

Μετά λοιπόν από αυτήν την πρακτική ερμηνεία του Ευκλειδείου Αλγορίθμου που προτείνουμε, καταλήγουμε στις παρακάτω συνεπαγωγές: ζύγισμα => σύγκριση => κρίση => λογική (Ια) (πρβλ. τον ορισμό της κρίσης: η διανοητική ενέργεια η δια της συγκρίσεως προσδιορίζουσα την λογικήν σχέσιν δύο εννοιών, ενούσα ή αποχωρίζουσα αυτάς). Συνεχίζοντας λοιπόν με διαδοχικά ζυγίσματα, φθάνουμε να βρούμε το “κοινό μέτρο” σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων, ή εξακολουθούμε επ’ άπειρον για να προσεγγίσουμε στο “αληθινό” βάρος. Στα παραπάνω αναφέρεται και ο Πλάτων, ο οποίος στο έργο του “Θεαίτητος” ασχολείται με τα λόγια του Πρωταγόρα ότι “ο άνθρωπος είναι το κοινό μέτρο των πάντων”, ενώ, επίσης στο Θεαίτητο (186 с), ονομάζει τη σύγκριση αναλόγισμα. Έτσι με μόνη την παραπάνω πρακτική ερμηνεία του, καθίσταται σαφές ότι ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος αποτελεί γονιδιακό στοιχείο -άρα αφανές- κάθε Λογικού Κατασκευάσματος, είτε η ακολουθία των ζυγισμάτων -των συγκρίσεων- είναι πεπερασμένη, είτε όχι (οπότε τα συγκρίσιμα μεγέθη Β0,Β1, δεν είναι σύμμετρα, αλλά ασύμμετρα (άρρητοι)). Β. Η Γεωμετρική ερμηνεία Αφού η Γεωμετρία είναι η πηγή της Λογικής και κατά τον Πλάτωνα και πάλι (Πολιτεία VII): “η Γεωμετρία θα οδηγήσει την ψυχή μου προς την αλήθεια”. Η γεωμετρική ερμηνεία βασίζεται στην έννοια του γνώμονα. Η λέξη γνώμων σημαίνει αυτό το οποίο επιτρέπει σε κάποιον να γνωρίζει (είναι άραγε τυχαία σήμερα η φράση: Με γνώμονα το καλό του λαού ...) και έχει μία πολύ ενδιαφέρουσα ιστορία. Αρχικά ήταν αστρονομικό όργανο για τη μέτρηση του χρόνου που έφερε στην Ελλάδα από την Βαβυλώνα ο Αναξίμανδρος. Πρόκειται για το "lap-top” που δείχνει ωραιότατα η παρακάτω αλληγορική εικόνα 1 του Desargues. Μετά βρίσκουμε τον όρο να αναφέρεται (θέογνις 805) σ’ ένα όργανο για τη χάραξη ορθών γωνιών με το παρακάτω σχήμα 1:

25

Σχήμα1 που μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι αυτό που απομένει, αν από ένα τετράγωνο αφαιρέσουμε ένα πιο μικρό τετράγωνο, ή όπως λέει ο Αριστοτέλης, αυτό προστιθέμενο σ’ ένα τετράγωνο δίνει ένα πιο μεγάλο τετράγωνο. Έτσι, ο Φιλόλαος χρησιμοποιεί την ιδέα για να εξηγήσει την γνώση των πραγμάτων, κάνοντας το γνωρίζον να περιβάλει το γνωστόν. Στον Ευκλείδη η γεωμετρική ερμηνεία (II. Ορ. 2) επεκτείνεται για παραλληλόγραμμα όπως στο σχήμα που ακολουθεί:

Σχήμα2

Εικόνα 1 Χαρακτικό, Εθνική Βιβλιοθήκη, Παρίσι Ο τελικός ορισμός του γνώμονα δίδεται από τον Ήρωνα τον Αλεξανδρέα ως εκείνο το οποίο προστιθέμενο σε οτιδήποτε (αριθμό ή σχήμα) καθιστά το όλο όμοιο προς αυτό στο οποίο προστίθεται (αυτοομοιότητα των fractals). Σημειωτέον ότι η γεωμετρική μορφή του Ευκλειδείου Αλγορίθμου καλείται ανθυφαίρεσις ή ανταναίρεσις ή ανταφαίρεσις. Επανερχόμαστε στον ευκλείδειο αλγόριθμο χρησιμοποιώντας γνωμονική προσέγγιση.

26

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη από τις (1) με Β1 παίρνουμε: Β0Β1 =α0 +Β1Β2 η οποία σημαίνει ότι το ορθογώνιο διαστάσεων Β0,Β1 είναι άθροισμα α0 τετραγώνων πλευράς Β1 και ενός ορθογωνίου διαστάσεων Β1,Β2 όπως στο σχήμα: α2Β3 В4 В3 α1Β1 α0Β1

όπου έχουμε προχωρήσει προς “τα μέσα στριφογυριστά”, όπως μας οδηγεί η γεωμετρική ερμηνεία των αναλόγων προς την τελευταία σχέσεων, που προκύπτουν από την 2η,3η κ.ο.κ. από τις (1), πολλαπλασιάζοντας αντίστοιχα με Β2+Β3 κ.ο.κ.

Με αυτή τη γεωμετρική διαδικασία φθάνουμε στο «κοινό μέτρο», ή προσεγγίζουμε όλο και περισσότερο το αληθινό βάρος. Θεωρώντας λοιπόν ως γνώμονα το τετράγωνο (πρβλ. τετράγωνη λογική) και χρησιμοποιώντας κάθε φορά έναν ή περισσότερους γνώμονες, επιδιώκουμε να φθάσουμε στην αλήθεια που υπάρχει κρυμμένη στο βάθος. Έτσι, η γνωμονική του Ήρωνος δίνει τη φιλοσοφική διάσταση, τη φιλοσοφική ερμηνεία, του Ευκλειδείου Αλγορίθμου, καθώς διασταυρώνεται με την πρακτική του ερμηνεία. Το ότι η γνωμονική που χρησιμοποιεί τετράγωνο γνώμονα αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για την αναζήτηση της αλήθειας, επιβεβαιώνεται από τον Αριστοτέλη και τους Πυθαγορείους και σε άλλες περιπτώσεις, όχι λιγότερο ... «τρανταχτές» από τον Ευκλείδειο Αλγόριθμο. Έτσι στην περίπτωση της Χρυσής Τομής:

προχωρούμε προς τα μέσα στριφογυρίζοντας και εδώ και χρησιμοποιώντας ως γνώμονα το τετράγωνο, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα:

α2Β3

α3Β4

В5

В I

В 0

27

1.5 ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ (R[x] ,+ ,· ) ([9],σελ 174) 1.i) Το σύνολο R[x] είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, δηλαδή το άθροισμα δυο πολυωνύμων του R[x], είναι πολυώνυμο του R[x]. ii) Για την πρόσθεση πολυωνύμων ισχύει η μεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα. iii) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρόσθεση, το μηδενικό πολυώνυμο φ(x)=0, αφού f(x)+φ(x)=f(x)+0=f(x). 2.i) Το σύνολο R[x] είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό, δηλαδή το γινόμενο δυο πολυωνύμων του R[x], είναι πολυώνυμο του R[x]. ii) Για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων ισχύει η μεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα. iii) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό, το σταθερό πολυώνυμο φ(x)=1, αφού f(x)·φ(x)=f(x)·1=f(x) 3. Ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Ο δακτύλιος R[x] δεν έχει διαιρέτες του μηδενός, δηλαδή αν f,g είναι μη μηδενικά πολυώνυμα τότε το γινόμενο f·g είναι επίσης μη μηδενικό. Οι αλγεβρικές ιδιότητες του δακτυλίου R[x] των πολυωνύμων είναι ανάλογες με τον δακτύλιο των ακεραίων. 1.5.1 Στοιχεία Διαιρετότητας α. Τέλεια Διαίρεση Ορισμός: Ένα πολυώνυμο Ρ(χ) θα λέμε ότι διαιρείται ακριβώς από το πολυώνυμο φ(χ), αν και μόνο αν υπάρχει πολυώνυμο π(χ) R[x], ώστε Ρ(χ)=φ(χ)π(χ) Παρατηρήσεις: 1. Το μηδενικό πολυώνυμο διαιρείται ακριβώς από κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο, με πηλίκο μηδέν. 2. Κάθε πολυώνυμο, διαιρείται ακριβώς από κάθε σταθερό, μη μηδενικό πολυώνυμο, αφού ανχ

ν + αν-1 χν-1 + … + α1χ + α0 = c ·

π(χ)

αν

xν + αν -1

xν-1 + …..+ α1

χ +

α0

, c ≠ 0. c c c c

28

β. Ατελής διαίρεση Έχουμε την ταυτότητα της αλγοριθμικής διαίρεσης, που αποδεικνύεται στο παρακάτω: Θεώρημα: Αλγοριθμική Διαίρεση Για δυο πολυώνυμα f(x),φ(x) ℝ[x] βαθμού ν,μ αντίστοιχα, υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(χ),υ(χ) ℝ[x], για τα οποία είναι βαθμός υ(χ)<βαθμός φ(χ), ώστε f(x)= φ(χ)·π(χ)+υ(χ).

Απόδειξη

Έστω τα πολυώνυμα:

i) ΥΠΑΡΞΗ: Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: α) Αν ν<μ τότε το θεώρημα ισχύει και θα έχουμε π(χ)=0, υ(χ)=f(χ). Δηλαδή f(χ) = φ(χ)·0+f(χ) β) Αν ν μ τότε διαιρώντας με τον μεγιστοβάθμιο όρο του f(χ) με τον μεγιστοβάθμιο όρο του του φ(χ), έχουμε το μονώνυμο =π1(χ).

Πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το π1(χ). Τότε, φ(χ)·π1(χ) = +

Τα πολυώνυμα f(χ) και φ(χ)·π1(χ) έχουν τον ίδιο μεγιστοβάθμιο όρο f(χ)- φ(χ)π1(χ)= +( + …

Αν θέσουμε + ( + …=υ1(χ), έχουμε

τελικά ότι: f(χ)-φ(χ)·π1(χ)=υ1(χ) ⇔ f(χ) = φ(χ)·π1(χ)+υ1(χ), με βαθμό υ1(χ) ν-1 Αν ν-1<μ, ισχύει το θεώρημα. Αν ν-1 εργαζόμαστε όμοια για τα υ1(χ),φ(χ). Επομένως, υ1(χ)=φ(χ)·π2(χ)+υ2(χ), με βαθμό υ2(χ) βαθμό υ1(χ). Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, παίρνουμε τις ισότητες:

f(χ)=φ(χ)·π1(χ)+υ1(χ) υ1(χ)=φ(χ)·π2(χ)+υ2(χ) υ2(χ)=φ(χ)·π2(χ)+υ3(χ) ………………………….. f(χ)=φ(χ)·[π1(χ)+π2(χ)+…+πκ+1(χ)]+υκ+1(χ) υκ(χ)=φ(χ)·πκ+1(χ)+υκ+1(χ) με βαθμό υκ+1(χ)< με βαθμό φ(χ) Θέτουμε π1(χ)+π2(χ)+ … +πκ+1(χ)=π1(χ) και υκ+1(χ) Έτσι, f(χ)=φ(χ)·π(χ)-υ(χ) με βαθμό υ(χ)<βαθμό φ(χ). ii) ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ:

Ισχύει f(x)=φ(x)·π(x)+υ(x) και έστω ότι f(x)=φ(x)·π΄(x)+υ΄(x). Τότε φ(x)·π(x)+υ(x)=φ(x)·π΄(x)+υ΄(x) φ(x)·[π(x)- π΄(x)]=υ΄(x)-υ(x).

29

που σημαίνει ότι τα πολυώνυμα π(x),υ(x) είναι μοναδικά. Παρατήρηση Η εύρεση των π(x) και υ(x) λέγεται αλγοριθμική ή Ευκλείδεια διαίρεση. Αν υ(x)=0 τότε προκύπτει η ταυτότητα της τέλειας διαίρεσης. Από τη σχέση f(x)=φ(x).π(x)+υ(x) έχουμε f(x)-υ(x)=φ(x)·π(x), Ο βαθμός του πηλίκου ισούται με τη διαφορά των βαθμών του διαιρετέου και του διαιρέτη. Παράδειγμα: Έστω f(x)=4(x)4+4(x)3+1 και g(x)=2x2+3x+1 με συντελεστές από το σώμα Q ([37], σελ28] 4x

4 ⎡ 4x

3 ⎡ 0x

2 ⎡ 0x ⎡ 1 2x

2 ⎡ 3x ⎡ 1 ** στο Q[x] **

– 4x4 – 6x

3 –

2x2

2x2 – x – 1/2

– 2x3 – 2x

2

2x3 + 3x

2 + x

x2 + x

x2 + 3/2x 1/2

- 1/2x + 1/2

4x4 - 4x3 +1 = (2x2+3x+1) (2x2-x+1/2)+(-1/2x+1/2).

Έτσι στο παράδειγμά μας αυτό, είναι π(x) = 2x2–x+1/2 και υ(x)=–1/2 x + 1/2 στο Q[X]. 1.5.2 Ορισμός ΜΚΔ δυο πολυωνύμων. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των p(x) και q(x) ορίζουμε να είναι το monic πολυώνυμο (ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του είναι μονάδα) d(x) για το οποίο ισχύουν:

▪ είναι κοινός διαιρέτης των p(x) και q(x).

▪ να διαιρείται από κάθε άλλο κοινό διαιρέτη των p(x) και q(x). Ακόμα μπορούμε να ορίσουμε τον ΜΚΔ των p(x) και q(x) να είναι το πολυώνυμο εκείνο με τον μεγαλύτερο βαθμό ανάμεσα στους κοινούς διαιρέτες των δύο πολυωνύμων. Συμβολίζουμε τον ΜΚΔ των p(x) και q(x) γράφοντας ΜΚΔ(p(x),q(x)). Το σώμα F μπορεί να είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών C ή των πραγματικών αριθμών ℝ ή ακόμα και το σώμα των ρητών αριθμών Q. Αν είναι p(x)=q(x)=0 τότε κάθε πολυώνυμο είναι κοινός διαιρέτης των p(x) και q(x). Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει ΜΚΔ.

Η τελευταία ισότητα ισχύει όταν: π(x)-π΄(x)=0 π(x)=π΄(x)

υ(x)-υ΄(x)=0 υ(x)=υ΄(x)

30

Ο αριθμός 1, είναι πάντα κοινός διαιρέτης των p(x) και q(x). Αν ΜΚΔ(p(x),q(x)) = 1 τότε τα πολυώνυμα p(x) και q(x) είναι πρώτα μεταξύ τους και επομένως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι το σταθερό πολυώνυμο 1. Ας δούμε ορισμένες ιδιότητες του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη των πολυωνύμων.

▪ Ο ΜΚΔ δύο πολυωνύμων, όχι αναγκαστικά και τα δύο μηδενικά, με συντελεστές από ένα σώμα, πάντα θα υπάρχει και θα είναι μοναδικός.

▪ Αν r(x) είναι κάποιος κοινός διαιρέτης των p(x) και q(x) τότε θα διαιρεί και τον ΜΚΔ τους.

▪ ΜΚΔ(p(x),q(x))=ΜΚΔ(q(x),p(x))

▪ ΜΚΔ(p(x),q(x))=ΜΚΔ(p(x),p(x)+q(x))

▪ Για οποιοδήποτε k∈F τότε ΜΚΔ (p(x),q(x))=ΜΚΔ(p(x),kq(x))

▪ Ομοίως ΜΚΔ(p(x),q(x))=α1p(x)+b1q(x),α2p(x)+b2q(x)) για οποιαδήποτε α1,b1,α2,b2,α1b2–α2b1 δεν είναι ίσα με το μηδέν.

▪ Παρομοίως αν ΜΚΔ(p(x),r(x))=1, τότε ΜΚΔ(p(x),q(x))=ΜΚΔ(p(x),q(x)r(x)).

▪ Ο ΜΚΔ δύο πολυωνύμων p(x) και q(x) είναι το μικρότερο σε βαθμό πολυώνυμο, το οποίο μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των p(x) και q(x). Δηλαδή υπάρχουν κάποια πολυώνυμα r(x) και s(x), όχι απαραίτητα μοναδικά, τα οποία ανήκουν στο ίδιο σώμα F με τα p(x) και q(x), για τα οποία ισχύει: d(x)=p(x)r(x)+q(x)s(x).

▪ Είναι δυνατόν να ορίσουμε τον ΜΚΔ τριών ή περισσοτέρων πολυωνύμων επαγωγικά. Δηλαδή: ΜΚΔ(p(x),q(x),r(x))=ΜΚΔ(p(x),ΜΚΔ (q(x),r(x)) και γενικότερα: ΜΚΔ(p1(x),p2(x),… pn(x))=ΜΚΔ(p1(x),ΜΚΔ(p2(x), … ,pn(x)) Ένας τρόπος για τον υπολογισμό του ΜΚΔ δύο πολυωνύμων μιας μεταβλητής είναι ο Ευκλείδειος αλγόριθμος. Πρόκειται για μια γρήγορη μέθοδο η οποία δουλεύει για οποιαδήποτε πολυώνυμα. Πραγματοποιεί διαδοχικές πολυωνυμικές ευκλείδειες διαιρέσεις, όπως ακριβώς και στον Ευκλείδειο αλγόριθμο για τους ακέραιους αριθμούς. Οι αριθμοί που παίρνουν μέρος σε κάθε βήμα του αλγορίθμου μειώνονται. Αντιστοίχως ισχύει και στα πολυώνυμα. Δηλαδή σε κάθε βήμα ο βαθμός των πολυωνύμων μειώνεται. Το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο πολυωνύμων. Αρκεί βέβαια το υπόλοιπο αυτό να είναι ένα monic πολυώνυμο. Παράδειγμα Να βρεθεί ο ΜΚΔ των πολυωνύμων Ρ(χ) = χ2 + 7χ + 6 και Q(χ) = χ2 – 5χ – 6. Κάνοντας την Ευκλείδεια διαίρεση του πολυωνύμου Ρ(χ) με το Q(χ) προκύπτει: χ2+7χ+6=(χ2–5χ -6)1+12(χ+1)

χ2 -5χ -6=(12χ+12)( - )+0=12(χ+1) ( -1)=6(χ+1)( -1)=(χ+1)(χ-6)

Επομένως το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο G(χ)=χ+1 του παραπάνω αλγορίθμου είναι ο ΜΚΔ των πολυωνύμων Ρ(χ)=χ2+7χ+6 και Q(χ)=χ2–5χ-6.

31

Γραμμικός συνδυασμός του ΜΚΔ. Μπορούμε να βρούμε ένα ΜΚΔ, Η(χ), των πολυωνύμων F(χ),G(χ) χρησιμοποιώντας τον Ευκλείδειο Αλγόριθμο και ο διευρυμένος Ευκλείδειος Αλγόριθμος μας δίνει C(χ), d(χ) ενός γραμμικού συνδυασμού. Η(χ)=C(χ)F(χ)+d(χ)G(χ) Αν έχουμε βρει ένα τέτοιο γραμμικό συνδυασμό για ένα ΜΚΔ, τότε μπορούμε να πάρουμε ένα γραμμικό συνδυασμό για οποιοδήποτε άλλο ΜΚΔ πολλαπλασιάζοντας με μια μονάδα από το σώμα F*. Ταυτότητα Bezout Ειδικότερα αν Α(χ),Β(χ) είναι σχετικώς πρώτοι τότε υπάρχουν δύο πολυώνυμα U(χ), V(x) ώστε A(χ)U(χ)+Β(χ)V(x)=1. Τα U,V βρίσκονται με τον Ευκλείδειο Αλγόριθμο του ΜΚΔ των Α,Β. Παράδειγμα Γραμμικός συνδυασμός G(x)=x2+7x+6-(x2-5x-6) 12(x+1)= (x2+7x+6)-(x2-5x-6)

x+1= (χ 2+7x+6)- (x2-5x-6)

1.5.3 Εφαρμογές του ΜΚΔ 1)Θεώρημα Αν f(x),g(x) είναι δυο πολυώνυμα τότε οι κοινές λύσεις των f(x)=0 και g(x)=0 είναι ίδιες με τις λύσεις d(x)=0 όπου d(x) είναι ο ΜΚΔ των f(x),g(x). Απόδειξη: Ο d(x) γράφεται d(x)=k(x).f(x)+λ(x).g(x) (1) αν ρ ρίζα των f(x),g(x) τότε f(ρ)=g(ρ)=0 για χ=ρ η (1) γίνεται d(ρ)=κ(ρ)f(ρ)+λ(ρ)g(ρ) άρα d(ρ)=0 αντίστροφα αν d(ρ)=0 τότε αφού d(x)/f(x) θα είναι f(x)=p1(x)d(x) g(x)=p2(x)d(x) για χ=ρ από τις δυο τελευταίες ισότητες προκύπτει f(ρ)=0 και g(ρ)=0 εφαρμογή στο Λύκειο: να βρεθούν οι κοινές λύσεις των εξισώσεων 3α3 +5α 2+6α+7=0 5α 7+6 α6+2α5+3α 4+α3+α2+α=0 2) Σχετικά με τους κοινούς παράγοντες: η μέθοδος με τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη[36] Δίνονται τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής: g(x) = ανx

ν+αν-1xv-1 + … + α0, ν>0 h(x) = βμxμ + βμ-1χμ-1 + … + β0, μ>0 Έχουν τα πολυώνυμα g(x),h(x) κοινό παράγοντα; Μια πρώτη απάντηση στο παραπάνω ερώτημα είναι η εύρεση του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη d(x)=ΜΚΔ(g(x),h(x)). Στην περίπτωση αυτή έχουμε: Υπολογίζουμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη d(x) με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη ή με οποιαδήποτε άλλη μέθοδο.

32

Έχουμε g(x)=d(x)κ(x) και h(x)=d(x)λ(x), με ΜΚΔ(κ(x),λ(x) )= 1 Αν γ(x) κάποιος κοινός παράγοντας των g(x),h(x) τότε το πολυώνυμο γ(x), θα διαιρεί τον ΜΚΔ d(x). Ορισμός ιδεώδους: Έστω ℝ[x] ένας δακτύλιος και Ι ένα υποσύνολό του. Το Ι θα λέγεται ιδεώδες του ℝ εάν Ι ή 0∈Ι Αν f(x),g(x)∈I, τότε f(x)-g(x) ∈ Ι. Πρόταση: Η σχέση g(x1,…,xν)= 0 προκύπτει από τις σχέσεις f1(x1,…,xν)=0, f2(x1,…,xν)= 0, …, fμ(x1,…,xν)= 0 εάν το πολυώνυμο g(x1,…,xν) ανήκει στο ιδεώδες <f1(x1,…,xν), f2(x1,…,xν), …, fμ(x1,…,xν)> Απόδειξη: Αν το πολυώνυμο g(x1,…,xν) ανήκει στο ιδεώδες <f1(x1,…,xν), f2(x1,…,xν), …,fμ(x1,…,xν)>, τότε το g(x1,…,xν) θα γράφεται ως πολυωνυμικός συνδυασμός των πολυωνύμων που παράγουν το ιδεώδες. Έχουμε δηλαδή ότι: g(x1,…,xν)=h1(x1,…,xν)·f1(x1,…,xν) + h2(x1,…,xν)·f2(x1,…,xν) + … hμ(x1,…,xν)·fμ(x1,…,xν) Αν τώρα οι δεδομένες σχέσεις ισχύουν, αν δηλαδή f1(x1…,xν)=0, f2(x1…,xν)=0, …, fμ(x1…,xν)=0, τότε μηδενίζεται και το g(x1…,xν) δηλαδή ισχύει και η σχέση g(x1…,xν) = 0 Θ. Hilbert Αποδεικνύεται ότι κάθε ιδεώδες του ℝ είναι σύνολο πολυωνυμικών συνδυασμών πεπερασμένου πλήθους πολυωνύμων. Έστω ότι οι αριθμοί α,β,γ ικανοποιούν τις σχέσεις: α+β+γ=3 α2+β2+γ2=5 α3+β3+γ3=7 Να αποδείξετε ότι α4+β4+γ4=9 Απόδειξη. Για να αποδείξουμε αυτό που μας ζητάνε στο παράδειγμα κάνουμε τα παρακάτω: Παρατηρούμε ότι οι δεδομένες σχέσεις είναι πολυωνυμικού τύπου μεταξύ των α,β,γ Θεωρούμε τα πολυώνυμα f1 (α,β,γ) = α+β+γ-3 f2 (α,β,γ) = α2+β2+γ2-5 f3 (α,β,γ) = α3+β3+γ3-7 Θεωρούμε το ιδεώδες Ι= <f1(α,β,γ),f2(α,β,γ),f3(α,β,γ)> Βρίσκουμε μια βάση Groebner G του ιδεώδους Ι Διαιρούμε το πολυώνυμο h(α,β,γ)=α4+β4+γ4-9 με τα πολυώνυμα της βάσης Groebner G. Το αποτέλεσμα, που βρίσκουμε είναι μηδέν. Στηριζόμενοι στα επιχειρήματα της πρότασης παραπάνω καταλήγουμε στην απόδειξη αυτού που θέλουμε να αποδείξουμε. Σχόλιο: Στην περίπτωση που δε ξέραμε πόσο κάνει το άθροισμα α4+β4+γ4 αν διαιρέσουμε το πολυώνυμο α4+β4+γ4 με την βάση Groebner G θα βρούμε υπόλοιπο

33

9, οπότε στηριζόμενοι στα επιχειρήματα της πρότασης παραπάνω καταλήγουμε στην απόδειξη2 ότι α4+β4+γ4=9. Πολυώνυμα μιας μεταβλητής Αν <f1(x), f2(x), … fμ(x)> ιδεώδες του ℝ[x] τότε <f1(x), f2(x), …fμ(x)>=<d(x)> όπου d(x)=ΜΚΔ(f1, f2, …,fμ) παράδειγμα: g(α) f1(α)=0

f2(α)=0

f3(α)=0

α7+3α

6+5α

2+2=0

α3+5α

2+7=0

3α8+9α

5+2=0

⇒ 3α3+5α

2+6α+7=0

Αν g(α)∈ <f1(α),f2(α),f3(α)> ⇔ g(α)∈ <d(α)>⇔ d(α)/g(α) Η παλαιότερη σωζόμενη περιγραφή του Ευκλείδειου αλγόριθμου υπάρχει στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη (300 π.Χ.), και τον καθιστά αυτόματα, τον αρχαιότερο αλγόριθμο, ο οποίος είναι σε ισχύ μέχρι και σήμερα. Ο αρχικός αλγόριθμος αναφερόταν μόνο σε φυσικούς αριθμούς και σε γεωμετρικά μήκη (πραγματικοί αριθμοί). Τον 19ο αιώνα γενικεύτηκε και σε άλλες μορφές αριθμών, όπως τους ακέραιους (Gaussian integers) και σε πολυώνυμα μιας μεταβλητής. Αυτό οδήγησε στις σημερινές μοντέρνες αφηρημένες αλγεβρικές έννοιες όπως τα ευκλείδεια πεδία (Euclidean domains). Αργότερα ο ευκλείδειος αλγόριθμος γενικεύτηκε και σε άλλες μαθηματικές δομές, όπως τα πολυμεταβλητά πολυώνυμα και στους κόμβους (knots), που χρησιμοποιούμε στην Τοπολογία. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι, οι εφαρμογές του μέγιστου κοινού διαιρέτη στα μαθηματικά και κυρίως στην Άλγεβρα είναι πολλές. Αξίζει να σημειωθεί ενδεικτικά η Μπεζουτιανή ιδιότητα (Bezout’s identity). Η ιδιότητα του γεννήτορα ενός ιδεώδους (generator of the ideall). Αυτός ο ορισμός του ΜΚΔ οδήγησε στην μοντέρνα αφηρημένη έννοια του πρωτεύοντος ιδεώδους (principal ideal), ο οποίος είναι κλάδος που ασχολείται η σύγχρονη επιστημονική κοινότητα. 1.6. ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1.6.1 Βασικοί ορισμοί[38] Στα μαθηματικά συνεχές κλάσμα είναι μια έκφραση που προκύπτει μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας που αναπαριστά έναν αριθμό x ως το άθροισμα του ακέραιου μέρους του α0 και του αντιστρόφου ενός άλλου αριθμού, έπειτα γράφοντας τον άλλο αριθμό ως άθροισμα του ακεραίου μέρους του και του αντιστρόφου ενός άλλου αριθμού κ.ο.κ. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχίζεται επ’ άπειρον και προκύπτει η παρακάτω σχέση που αποτελεί την γενική μορφή ενός συνεχούς κλάσματος.

34

x =

Το α0 καλείται το ακέραιο μέρος και τα αn, bn είναι είτε πραγματικοί είτε μιγαδικοί αριθμοί, μεταβλητές ή συναρτήσεις. Τα αn καλούνται μερικά πηλίκα (partial quotients) του κλάσματος και είναι τα διαδοχικά πηλίκα που προκύπτουν κατά την αναζήτηση του ΜΚΔ του αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος, δηλαδή τα διαδοχικά πηλίκα που προκύπτουν από τον ευκλείδειο αλγόριθμο. Αν η διαδικασία τερματίζεται στο αn τότε το κλάσμα καλείται πεπερασμένο συνεχές κλάσμα (terminating continued fraction). Αν το κλάσμα έχει άπειρους όρους, τότε καλείται άπειρο συνεχές κλάσμα (infinite continued fraction). Μια ειδική και πιο συνήθης περίπτωση είναι τα απλά συνεχή κλάσματα (simple continued fractions) που είναι οι εκφράσεις της παρακάτω μορφής όπου η τιμή των bn είναι ίση με 1:

x =

με τον πρώτο όρο α0 να είναι ακέραιος, ακόμα και μηδέν και τα υπόλοιπα αn να είναι θετικοί ακέραιοι. Λόγω της δυσκολίας που παρουσιάζεται κατά την αναπαράσταση ενός αριθμού σε συνεχές κλάσμα, οι μαθηματικοί υιοθέτησαν πιο βολικούς τρόπους αναπαράστασης των απλών συνεχών κλασμάτων. Ο πιο συνήθης είναι: σ= [α0, α1, α2, …]. Συχνά, συναντώνται και οι δύο ακόλουθοι τρόποι γραφής ενός συνεχούς κλάσματος:

σ=α0 + +

... και σ=[α0 ;α1, α2 ...]

1.6.2. Ιστορικά στοιχεία([13],σελ128) Είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε ακριβώς χρονολογικά πότε αναφέρεται για πρώτη φορά η έννοιά τους. Παραδοσιακά, η αρχή τους τοποθετείται στην εποχή της δημιουργίας του αλγορίθμου του Ευκλείδη. Η στενή σχέση του αλγορίθμου με την έκφραση του συνεχούς κλάσματος υποδεικνύει την αρχική δημιουργία των συνεχών κλασμάτων.

35

Παραδείγματα αποτελούν η απλούστευση των κλασμάτων μεγάλων αριθμών από τον Αρίσταρχο το Σάμιο και τον Αρχιμήδη. Ο πρώτος στην πραγματεία του «για τα

μεγέθη και τις αποστάσεις ήλιου και σελήνης» αντικαθιστά το κλάσμα

με το κλάσμα και χρησιμοποιεί το κλάσμα στη θέση του .

Ο δεύτερος στο έργο του «μέτρηση του κύκλου» αντικατέστησε το κλάσμα +

από τον αριθμό 3+ (=223:71). Οι προσεγγίσεις αυτές έγιναν χρησιμοποιώντας τον

ευκλείδειο αλγόριθμο (ανθυφαίρεση). Η θεωρητική τους ανάπτυξη συνεχίστηκε με τους al-Mahani τον 9ο αι. και al-Khayyam τον 12ο αι. όταν απέδειξαν την ισότητα δυο λόγων λαμβάνοντας υπόψη την ακολουθία των διαδοχικών πηλίκων που προκύπτουν εφαρμόζοντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο σε κάθε ένα κλάσμα και δείχνοντας ότι οι εκφράσεις τους σε συνεχή κλάσματα είναι πανομοιότυπες.

Τα συνεχή κλάσματα έγιναν ακριβές πεδίο μελέτης μέσω της δουλειάς του John Wallis (1616-1703). Στο βιβλίο του Arithmetica Infinitorum (1655), ο Wallis αναπτύσσει και παρουσιάζει την ταυτότητα:

4

3 3 5 5 7 7 9

2 4 4 6 6 8 9 (1) Παρόλο που το δεξιό μέλος της (1) δεν αποτελεί μορφή συνεχούς κλάσματος, ο Λόρδος Brouncker (1620-1684) μετασχημάτισε αυτή την ταυτότητα στην μορφή:

4

1

12

232

272

2

...

Το νεότερο παράδειγμα γραφής ενός αριθμού σε συνεχές κλάσμα είναι ο

4

Παρόλο που ο Brouncker δε στάθηκε περαιτέρω στα συνεχή κλάσματα, ο Wallis πήρε την πρωτοβουλία και έθεσε τις βάσεις για την γενίκευση της θεωρίας του συνεχούς κλάσματος. Στο βιβλίο του Opera Mathematica (1695) ο Wallis έθεσε κάποια από τα βασικά θεμέλια. Επεξήγησε πως υπολογίζεται το αναγώγημα (convergent) k τάξης ενός συνεχούς κλάσματος και καθόρισε κάποιες από τις βασικές ιδιότητες των αναγωγημάτων. Επίσης, σε αυτό το έργο γίνεται για πρώτη φορά αναφορά στον όρο «συνεχές κλάσμα». Ακόμα, στο βιβλίο του Treatise of Algebra αφιέρωσε δύο κεφάλαια (10 και 11) στο πρόβλημα της προσέγγισης ενός κλάσματος ή ενός δεκαδικού από κλάσμα που έχει παρονομαστή που δεν υπερβαίνει κάποιον δεδομένο αριθμό.

36

Ο Δανός μαθηματικός αστρονόμος Christiaan Huygens (1629-1695) ήταν ο πρώτος που επέδειξε μια πρακτική εφαρμογή για τα συνεχή κλάσματα. Στην εργασία του Descriptio Automati Planetarii, τα χρησιμοποιεί προκειμένου να γίνει ακριβής σχεδιασμός των οδοντωτών τροχών ενός πλανηταρίου. Στη συνέχεια, ο κλάδος άρχισε να ανθεί με τους Leonard Euler (1707-1783), Johan Heinrich Lambert (1728-1777), Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Ο Euler θεμελίωσε την περισσότερη από τη σύγχρονη θεωρία στο έργο του De Fractionibous Continuis (1737). Σύμφωνα με τον Euler το συνεχές κλάσμα ενός πραγματικού αριθμού x ορίζεται ως εξής z0=x,αn=[zn] και zn+1=1/(zn-αn) με αn≠zn Απέδειξε πως κάθε ρητός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως ένα πεπερασμένο απλό συνεχές κλάσμα. Παράλληλα απέδειξε ότι το e και το e2 είναι άρρητοι. Επίσης, απέδειξε πως μια σειρά γράφεται σαν παράσταση συνεχούς κλάσματος και το αντίστροφο. 1737

Ο Lagrange χρησιμοποίησε τα συνεχή κλάσματα για να υπολογίσει την τιμή των άρρητων ριζών. Επίσης, απέδειξε ότι μια πραγματική ρίζα ενός άρρητου αριθμού είναι ένα περιοδικό συνεχές κλάσμα. Μερικές από τις εκφράσεις συνεχών κλασμάτων στη διατύπωση των οποίων συνέβαλε παρουσιάζονται παρακάτω: 1776.

1813.

=

O 19ος αιώνας μπορεί να θεωρηθεί ως η χρυσή εποχή των συνεχών κλασμάτων καθώς αυτή την περίοδο συντελείται μια έκρηξη στην ανάπτυξη του κλάδου. Χαρακτηριστικά ο Claude Brezinski στο έργο του History of Continued Fractions and Pade Approximants, αναφέρει «ο 19ος αιώνας μπορεί να αποκαλείται η πιο δημοφιλής περίοδος για τα συνεχή κλάσματα».

37

Ο Lambert γενίκευσε το έργο του Euler για να αποδείξει ότι τόσο το ex όσο και το tanx είναι άρρητοι αν ο x είναι ρητός από τις παρακάτω εκφράσεις. 1766.

Leonhard Euler[14] De Fractionibus continuis Dissertatio (written 1737), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 9, (1744), 98-137. Opera Omnia, 1, xiv, 187-215.

«Δοκίμιο για συνεχή κλάσματα» Έστω λοιπόν το επόμενο συνεχές κλάσμα του οποίου οι αριθμητές ισούνται με τη μονάδα

Τα κλάσματα της επόμενης ακολουθίας A b c d e

etc.,

1

0

,

a

1

,

ab 1

b

,

abc c a

bc 1

,

abcd cd ad ab1

bcd d b

,

προσεγγίζουν την αξία του. Αυτή η ακολουθία ορίζεται μοναδικά από τα a,b,c,d,e κ.λπ. Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζεται με το δείκτη και αυξάνεται αντίστοιχα με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του προηγούμενου κλάσματος. Επομένως η αξία αυτού του συνεχούς κλάσματος θα είναι ίση με το άθροισμα της σειράς

a1

1b

1

b(bc 1)

1

(bc 1)(bcd d b)

1

(bcd d b)(bcde ...) etc

ή με αυτό που μετασχηματίζεται

38

ac

bc 1

e

(bc 1)(bcde de be bc 1) etc .

Επομένως αν προτείνεται να μετατρέψουμε το κλάσμα Α/Β σε συνεχές κλάσμα του οποίου οι αριθμητές να είναι ίσοι με 1, διαιρώ το Α με το Β, παίρνω το πηλίκο α και το υπόλοιπο C. Ο διαιρέτης Β διαιρείται με το υπόλοιπο C και δίνει πηλίκο b, υπόλοιπο D και ούτω καθεξής, μέχρι να φτάσουμε με μηδενικό υπόλοιπο. Η παραπάνω λειτουργία μπορεί να περιγραφεί με τον παρακάτω τύπο:

B A a

C B b

D C c

E D d

F E E

G etc.

Επομένως με αυτή τη διαδικασία βρίσκουμε τα πηλίκα a,b,c,d,e κ.λπ. τα οποία δίνουν

Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο αυτή για το κλάσμα 355/113 το οποίο σύμφωνα με τον Metius εκφράζει προσεγγιστικά το λόγο του μήκους του κύκλου προς τη διάμετρο. Ψάχνουμε για κλάσματα που φτιάχνονται από μικρότερους αριθμούς, που διαφέρουν από το κλάσμα όσο το δυνατόν λιγότερο. Διαιρώ το 355 με το 113 και βρίσκω

16

17

13

113

355

Από το οποίο παίρνω τα παρακάτω κλάσματα 3 7 16

1

0,

3

1,

22

7,

355

113,

Εκ των οποίων τα κλάσματα 3/1 και 22/7 προσεγγίζουν το κλάσμα 355/113 καλύτερα. Το 22/7 είναι η μεγαλύτερη προσέγγιση και το 3/1 η μικρότερη.

39

1.6.3. ΤΑ ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΡΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ[38] Α) Η ανάπτυξη των ρητών αριθμών Ένας ρητός αριθμός είναι της μορφής: p/q με p, q να ανήκουν στο Ζ, q≠0 και (p,q)=1. Αριθμητικά παραδείγματα

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

p

q 0

και

p

q 0

i) >0

Α) >1.

Έστω το κλάσμα . Αρχικά διαιρούμε το 49 με το 18 και προκύπτει:

= 2+

Έπειτα, Από την διαίρεση έχουμε: το οποίο, ομοίως, γράφεται

ως εξής: 1+

.

Άρα, τελικά, ο αριθμός γράφεται ως: =[2, 1, 2, 1, 1, 2].

Πιο συνοπτικά προκύπτει: [49:18]=2, →

49= 2·18+13→ =1→18=13·1+5 =2→13=5·2+3→ =1→5

=3·1+2→ =1→3=1·2+1→2/1=2.

Αν απομονώσουμε διαδοχικά τα κλάσματα που προκύπτουν παραπάνω και

εκτελέσουμε τις πράξεις θα έχουμε τα αναγωγήματα του , τα οποία είναι 2, ,

. Οι αριθμοί αυτοί δίνουν όλο και καλύτερες προσεγγίσεις του

κλάσματος .

a b c d e F

2 1 2 1 1 2

2 1 2 1 1 2

40

Παρατηρούμε ότι από τις διαδοχικές διαιρέσεις τα υπόλοιπα που προκύπτουν είναι όλα μη αρνητικοί αριθμοί, μικρότεροι από τον αντίστοιχο διαιρέτη τους. Το υπόλοιπο σε κάθε διαίρεση γίνεται ο διαιρέτης στην επόμενη διαίρεση ώστε να έχουμε ακριβώς μια φθίνουσα ακολουθία υπολοίπων. Η διαδικασία τερματίζεται όταν προκύψει υπόλοιπο ίσο με μηδέν. Η μοναδικότητα των υπολοίπων εξασφαλίζεται από τον αλγόριθμο διαίρεσης του Ευκλείδη.

β) <1

Έστω πως αναζητούμε το συνεχές κλάσμα του Ο τρόπος είναι απλός. Ισχύει:

= 0 + και αναπτύσσουμε το όπως ανωτέρω. Άρα το πρώτο γενικό

συμπέρασμα:

Αν ) = [α1, α2, ..., αn], = [0, α1, α2, ..., αn].

Έστω ο ρητός που αναπτύχθηκε ανωτέρω σε συνεχές κλάσμα: [2, 1, 2, 1, 1, 2].

Υποθέτουμε πως θέλουμε να αναπτύξουμε σε συνεχές κλάσμα κάποιο ισοδύναμό

του, για παράδειγμα = .

= 2 + = 2 + =2+

= 2 + = 2 +

= 2 +

= 2 +

Άρα, = = [2, 1, 2, 1, 1, 2].

Αν κάνουμε πράξεις καταλήγουμε στην απλοποιημένη έκφραση και όχι στο .

Συμπεραίνουμε πως με τις πράξεις πάντα καταλήγουμε σε έναν ρητό σtην πιο απλοποιημένη του μορφή, δηλαδή σε ένα ανάγωγο κλάσμα. ii) p/q<0.

Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τον αριθμό

27

40. Σκεφτόμαστε το μικρότερο

αρνητικό πηλίκο το οποίο όταν πολλαπλασιαστεί με το 40 και αφαιρεθεί από το -27 να αφήνει το μικρότερο θετικό υπόλοιπο. Άρα,

27

40 1

13

40 11/40/13 11/(31/13).

Άρα, γενικότερα όταν θέλουμε να αναπτύξουμε έναν αρνητικό ρητό p/q σε συνεχές κλάσμα, τότε: p/q = [α1, α2, ..., αn], q/p = [0, α1, α2, ..., αn] με α1 αρνητικό.

41

Β)Ανάπτυξη άρρητων σε συνεχή κλάσματα Mέσω του Θεωρήματος Lagrange, κάθε άρρητος αλγεβρικός αριθμός έχει περιοδικό ανάπτυγμα συνεχούς κλάσματος και αντίστροφα. Ενώ, κάθε υπερβατικός δεν παρουσιάζει κάποια περιοδικότητα. Η διαδικασία ανάπτυξης ενός άρρητου είναι θεμελιωδώς ανάλογη με αυτή των ρητών. Έστω χ δεδομένος άρρητος. Υπολογίζουμε το α1, τον μεγαλύτερο ακέραιο μικρότερο του χ και εκφράζουμε το χ στην μορφή:

x=α1+ ,0< <1

όπου ο:

x2 1

x a11 είναι άρρητος, αφού όταν ένας ακέραιος αφαιρεθεί από

έναν άρρητο, το αποτέλεσμα και το αντίστροφο του αποτελέσματος είναι άρρητοι. Συνεχίζουμε υπολογίζοντας το α2, τον μεγαλύτερο ακέραιο μικρότερο του x2 και εκφράζουμε το x2 στην μορφή:

με > 0, άρρητο

Οι υπολογισμοί αυτοί μπορούν να επαναλαμβάνονται επ’ αόριστον, παράγοντας διαδοχικά τις εξισώσεις:

, x2 > 1.

(1) .

.

.

όπου τα α1, α2, ... είναι όλοι ακέραιοι και οι αριθμοί χ, χ1, χ2 , χ3, ... όλοι άρρητοι. Αυτή η διαδικασία δεν μπορεί να τερματιστεί, καθώς αυτό θα συνέβαινε μόνο αν κάποιος ακέραιος αn ήταν ίσος με το χn, το οποίο όμως είναι αδύνατο αφού κάθε χ, είναι άρρητος. Αντικαθιστώντας το χ2 από την δεύτερη εξίσωση των σχέσεων (1) στην πρώτη σχέση, έπειτα το χ3 κ.ο.κ., παράγεται το ζητούμενο άπειρο, απλό συνεχές κλάσμα:

= [α1, α2, …].

Εδώ ολοκληρώνεται η απόδειξη του Θεωρήματος Lagrange, κατά την μία κατεύθυνση. Ισχύει και το αντίστροφο, όμως εδώ θα περιοριστούμε σε παραδείγματα τετραγωνικών άρρητων που καταλήγουν σε μορφή περιοδικά συνεχών κλασμάτων. Γ) Ανάπτυξη τετραγωνικών άρρητων σε συνεχή κλάσματα

42

Παράδειγμα 1: Ανάπτυξη του

2 σε ένα άπειρο απλό συνεχές κλάσμα.

Λύση: Ο μεγαλύτερος ακέραιος, μικρότερος του =1.414…, είναι ο α1=1, άρα:

.

Επιλύοντας την εξίσωση για x2, έχουμε: = Άρα,

.

Ο μεγαλύτερος ακέραιος μικρότερος του = = 2.414…, είναι ο = 2,

επομένως: x2= όπου:

Σε αυτό το σημείο γνωρίζουμε ότι: .

Αφού x3= όπως και το x2= , οι υπολογισμοί των x4, x5, … θα παράγουν

όλοι το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή τον αριθμό . Έτσι, όλα τα επόμενα μερικά

υπόλοιπα θα είναι ίσα με 2 και η ανάπτυξη του θα είναι:

= 1+ + +… = [1, 2, 2, 2, …] = [1, 2].

Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει ότι:

= [1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …] = [1, 1, 2],

= [3, 1, 6, 1, 6, …] = [3, 1, 6],

= [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10]. Τα ανωτέρω παραδείγματα αποτελούν εφαρμογή του θεωρήματος Lagrange. Η απλούστερη μορφή άπειρου συνεχούς κλάσματος είναι: φ = [1, 1, 1, 1, …]. με το φ να ικανοποιεί την εξίσωση:

φ=1+ ή φ2–φ–1=0, η οποία έχει θετική ρίζα την: φ=

Τα αναγωγήματα του φ είναι:

με τους αριθμητές και τους παρονομαστές να σχηματίζονται από

την ακολουθία ακεραίων: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Καθένας από αυτούς τους αριθμούς, μετά τους δύο πρώτους, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων, δηλαδή, 2=1+1, 3=2+1, κ.ο.κ. Οι αριθμοί αυτοί είναι γνωστοί και ως αριθμοί Fibonacci που πήραν το όνομά τους από τον σπουδαίο μαθηματικό του 13ου αιώνα, Leonardo Fibonacci, παρόλο που δεν ήταν ο πρώτος που τους χρησιμοποίησε. Με μαθηματικούς όρους, η ακολουθία του Fn των αριθμών Fibonacci ορίζεται από την αναδρομική σχέση: Fn =Fn-1+Fn-2, F0=0, F1=1.

43

φ= 1 +

φ= 1 +

φ= 1 +

φ=

Οι αρχαίοι Έλληνες υποστήριζαν πως οι δημιουργίες της φύσης και της τέχνης οφείλουν την αρτιότητά τους σε μαθηματικά μοτίβα. Ένα από αυτά είναι ο νόμος της χρυσής τομής.

44

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

2.1. Μέθοδος δοκιμής-λάθους

Θα παρουσιάσουμε την πιο πρωτογενή διαδικασία επίλυσης αλγεβρικών

εξισώσεων που έχει καταγραφεί, τη μέθοδο δοκιμής – λάθους.

2.1.1. Βαβυλώνιοι

Η Βαβυλώνα, που το όνομά της σημαίνει “πύλη του Θεού”, πριν από το 18ο αιώνα

πΧ. ήταν μια ασήμαντη ακκαδιακή πόλη, χτισμένη πολύ παλιά από τους Σουμέριους

στις όχθες του Ευφράτη. Το 18ο αιώνα, εμφανίστηκε στο προσκήνιο της ιστορίας

και απέκτησε τόση δύναμη, με αποτέλεσμα να ηγηθεί για αιώνες στην ιστορία του

αρχαίου κόσμου και να δώσει το όνομά της στην περιοχή της νότιας Μεσοποταμίας.

Η πολιτιστική ανάπτυξη αλλά και η πρωτοφανής ανάπτυξη της άλγεβρας των

Βαβυλωνίων πραγματοποιείται κατά την πρώτη Βαβυλωνιακή δυναστεία με

επικεφαλής τον Χαμουραμπί το 1700 πΧ. Ότι γνωρίζουμε για τον τρόπο που

σκέφτονταν οι μαθηματικοί της εποχής του Χαμουραμπί είναι αυτά που

ανιχνεύουμε μέσα από τα ίδια τα κείμενα.

Οι μαθηματικές πλάκες που έχουν μεταφραστεί περιέχουν έναν πολύ μεγάλο

αριθμό προβλημάτων, τα οποία στο σύνολό τους αναφέρονται σε θέματα της

καθημερινής ζωής, της οικονομίας, της γεωργίας και της παραγωγής. Υπάρχουν για

παράδειγμα προβλήματα σχετικά με την μέτρηση αποστάσεων, τον υπολογισμό του

βάρους σωμάτων, τον υπολογισμό του εργατικού δυναμικού και του χρόνου

εργασίας, τη μέτρηση των διαστάσεων και της επιφάνειας αγροτικών εκτάσεων

σχήματος ορθογωνίου ή τετραγώνου. Υπάρχουν επίσης προβλήματα που

αναφέρονται στην κατασκευή καναλιών, στην παρασκευή ψωμιού ή μπύρας και

άλλα που ζητούν τον υπολογισμό δύο αντίστροφων αριθμών όταν είναι γνωστό το

άθροισμα ή η διαφορά τους.

45

2.1.1 Α. Προβλήματα της πινακίδας ΒΜ13901

Η πρώτη γνωστή μέθοδος επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, σύμφωνα με

τον Neugebauer (βλέπε [18]) είναι καταγεγραμμένη σε μια Βαβυλωνιακή πήλινη

πινακίδα που χρονολογείται περίπου ανάμεσα στο 1800 και το 1600 π.Χ. Οι

Βαβυλώνιοι δεν χρησιμοποιούσαν έναν αλγεβρικό τύπο για την εύρεση των λύσεων

της εξίσωσης, αλλά μια σειρά βημάτων που τους οδηγούσε στη λύση της. Στις

πινακίδες που έχουν διασωθεί μέχρι σήμερα δεν καταγράφεται ο τρόπος με τον

οποίο έφτασαν σ’ αυτά τα βήματα. Έτσι δεν γνωρίζουμε αν η τεχνική αυτή είχε

ανακαλυφθεί από κάποιον «σοφό» της εποχής και οι υπόλοιποι την ακολουθούσαν

χωρίς να κατανοούν τι κάνουν ή αν τα κείμενα που έχουμε στη διάθεσή μας είναι

απλά ασκήσεις για εξάσκηση μαθητών που γνώριζαν από προφορικές διδασκαλίες

τις αιτίες για τις οποίες λειτουργεί η τεχνική που χρησιμοποιούσαν. Στα κείμενα

αυτά δεν υπάρχει αλγεβρικός συμβολισμός και σε καμία περίπτωση δεν είχε

διατυπωθεί η έννοια της εξίσωσης.

Θα παρουσιάσουμε δύο προβλήματα που περιέχονται στην ίδια πινακίδα που

βρίσκεται στο Βρετανικό Μουσείο και έχει αριθμό ΒΜ 13901 (εικόνα 1) και οδηγούν

στη λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού της μορφής x2 αx=β.

46

Πρόβλημα 1.

Αφαιρώ από το εμβαδόν την πλευρά του τετραγώνου και βρίσκω 14.30. Ποια είναι

η πλευρά;

Λύση: Πάρε 1, το συντελεστή (του x) .

Διαίρεσε το 1 σε δύο μέρη. Θα βρεις 0,30.

Πολλαπλασίασε το 0,30 με το 0,30 και θα πάρεις 0,15.

Πρόσθεσέ το στο 14.30.

Η ρίζα του 14.30,15 είναι 29,30.

Πρόσθεσε στο 29,30 το 0,30 που πολλαπλασίασες με τον εαυτό του και 30 είναι (η

πλευρά) του τετραγώνου.

47

Ας δώσουμε τώρα μια εξήγηση στο παραπάνω πρόβλημα με σύγχρονο

συμβολισμό.

Το πρόβλημα ζητάει ουσιαστικά να βρούμε τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

x2-x=14.30. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν το

εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης κι έτσι ο αριθμός 14.30 είναι στην ουσία ο

αριθμός 14*60+30=870. Σύμφωνα με τα βήματα που ακολουθεί η παραπάνω λύση

πρέπει αρχικά να διαιρέσουμε το 1, το οποίο είναι ίσο με (0,60)60 διά δύο, οπότε

παίρνουμε το (0,30)60 το οποίο είναι ίσο με 30*60-1=(0,5)10. Στη συνέχεια υψώνουμε

στο τετράγωνο το (0,30)60 και βρίσκουμε (0,15)60 (ή αλλιώς (0,25)10). Έπειτα

υπολογίζουμε το άθροισμα (14.30)60+(0,1560=(14.30,15)60 (στο δεκαδικό έχουμε

(870)10+(0,25)10=(870,25)10). Μετά βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα του (14.30,

15)60 η οποία είναι (29,25)60 (ή στο δεκαδικό σύστημα

=(29,5)10. ). Τέλος, για να βρούμε το x προσθέτουμε

(29,5)60+(0,30)60=(30)60, δηλαδή x=(29,5)10+ (0,5)10=(30)10.

Σημείωση: ο αστερίσκος (*) δηλώνει πολλαπλασιασμό.

48

Βαβυλωνιακή Διατύπωση

(εξηνταδικό σύστημα)

Σύγχρονη Διατύπωση

(δεκαδικό σύστημα)

Από την επιφάνεια του τετραγώνου

μου αφαίρεσα την πλευρά του και

βρήκα14.30. Ποια είναι η πλευρά;

Αν από την επιφάνεια τετραγώνου

αφαιρέσω την πλευρά του, θα βρω 870.

Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

Βαβυλωνιακή Επίλυση Σύγχρονη απόδοση της Λύσης

Πάρε το μισό του 1 που είναι 0,30.

Πολλαπλασίασε το 0,30 επί το 0,30 το

οποίο είναι 0,15.

Πρόσθεσε αυτό στο 14.30,

αποτέλεσμα 14.30,15. Αυτό είναι το

τετράγωνο του 29,30.

Πρόσθεσε το 0,30 στο 29,30 θα βρεις

30.

Αυτή είναι η πλευρά του τετραγώνου.

Αν χρησιμοποιήσουμε σημερινό

συμβολισμό και ονομάσουμε x την

πλευρά του τετραγώνου, τότε η λύση

του προβλήματος οδηγεί στη λύση της

εξίσωσης x2-x=870.

Αφού 14.30=870

Και εδώ, διαιρείται ο συντελεστής του x,

το 1, στα δύο, το 0,5. Υπολογίζεται το

τετράγωνο του 0,5 το 0,25, το οποίο

προστίθεται στο 870. Το αποτέλεσμα της

πρόσθεσης είναι το 870,25 το οποίο

είναι το τετράγωνο του 29,5. Η πλευρά

του τετραγώνου τότε είναι το άθροισμα

29,5+0,5=30. Υπολογίζονται λοιπόν κατά

σειρά οι αριθμοί 0,5, 0,52=0,25

0,52+870=0,25+870, και

αποφαίνεται ότι x=29,5 +0,5=30.

49

Πρόβλημα 2.

Προσθέτω την

επιφάνεια και

την πλευρά του

τετραγώνου και

κάνουν 45΄

Χ2+Χ=45΄ =

Οι αριθμοί είναι

με βάση το 60.

Έτσι 45΄είναι

30΄ είναι

Χ2+Χ=

Πάρε το 1:

την μονάδα x·x+1·x-

Γράψε το 1 σαν

2 30΄ X2 +2 ·Χ= X2+2 · · x=

Σπάσε το 30΄ και

30΄ σε 15΄

Πρόσθεσε 15΄

στο 45΄ X2 +2 ·Χ + ( )2= X2+2 · · Χ +( )2= +

Το τετράγωνο

αυτό είναι το 1 (Χ+ )2=12 (Χ+ )2=12

(*) X+ =1 X+ =1

Αφαίρεσε το 30΄

και σπάσε το

1:30’

X+ X+ - =1 -

Η πλευρά του

τετραγώνου

είναι:

X= Χ =

50

Αν παρατηρήσουμε την διατύπωση των δύο προβλημάτων βλέπουμε ότι γίνονται

πράξεις μεταξύ επιφάνειας και μήκους, πρόσθεσης και αφαίρεσης αντίστοιχα. Οι

Βαβυλώνιοι λοιπόν δεν είχαν αίσθηση της έννοιας του γεωμετρικού μεγέθους.

Αυτό που ενδιέφερε δηλαδή τους Βαβυλώνιους είναι η ίδια η ποσότητα, όπως

εκφράζεται από τους αριθμούς όχι η γεωμετρική έννοια της ποσότητας.

Η λύση των προβλημάτων βασίζεται στο μετασχηματισμό του πρώτου μέλους

ώστε να γίνει τέλειο τετράγωνο:

(x 2= β+( )2

Η γενική μορφή της εξίσωσης 2ου βαθμού είναι:

αx2+βx+γ=0, α≠0

και σύμφωνα με τη σχολική άλγεβρα οι λύσεις της δίνονται από τον τύπο

x1,2 = (1)

Αν θέλαμε να γράψουμε τα παραπάνω βήματα συμπυκνωμένα σε έναν αλγεβρικό

τύπο θα είχαμε τον

x= +

ο οποίος αντιστοιχεί στον τύπο (1) όπου α=1. Οι Βαβυλώνιοι δεν αναγνώριζαν τους

αρνητικούς αριθμούς και έτσι η ρίζα της εξίσωσης, η x=-29 δεν μπορεί να

υπολογιστεί. Για τον ίδιο λόγο δεν είχαν μια ενιαία μορφή για τις δευτεροβάθμιες

εξισώσεις όπως έχουμε τώρα αλλά αντιμετώπιζαν διαφορετικά κάθε ένα τύπο

εξισώσεων 2ου βαθμού από τους τρεις που μπορούσαν να χειρισθούν:

x2+αx=β, x2-αx=β, x2+β=αχ

όπου α και β είναι θετικοί αριθμοί. Η τέταρτη μορφή: x2+αx+β=0 έχει αρνητικές

λύσεις και δε συμπεριλαμβάνεται στις περιπτώσεις που μελετούσαν.

2.1.1 Β. Πρόβλημα Susa

Μεσοποταμία

Θα παρουσιάσουμε το πρόβλημα που περιέχεται στη συλλογή των μαθηματικών

πλακών Susa και προβάλλονται από τους Bruins και Rutten[4]. Η πλάκα προέρχεται

από τη παλιά περίοδο της Βαβυλώνας γύρω στα 1800 π.Χ.

51

Το πρόβλημα είναι να βρούμε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου δεδομένης της

διαγωνίου του και μιας γραμμικής σχέσης μεταξύ των πλευρών του.

Συγκεκριμένα το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής:

Ας είναι το πλάτος του ορθογωνίου ένα τέταρτο λιγότερο από το μήκος του. Η

διάσταση της διαγωνίου είναι 40. Ποιό είναι το μήκος και το πλάτος του;

Η λύση που αναφέρεται στην πλάκα:

Πάρε 1 ως το μήκος.

15 το τέταρτο,

Αφαίρεσέ το από το 1, θα βρεις 45.

Βάλε 1 ως το μήκος και 45 ως το πλάτος, το τετράγωνο του 1 το μήκος.

Το τετράγωνο του 45,το πλάτος: θα βρεις 33;45.

Από το 1 και 3;45 φτιάξε το άθροισμα, θα βρεις 1;33;45.

Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του; Θα βρεις 1;15.

Αναμένοντας 40, η προαναφερθείσα διαγώνιο, υπολόγισε τον αντίστροφο του

1;15. Θα βρεις 48.

Πάρε 48 επί 40 (48x40) τη διαγώνιο που σου είπαν και θα βρεις 32.

Πάρε 32 επί 1 (32x1) το μήκος που έβαλες: θα βρεις 32. Αυτό είναι το μήκος.

Πάρε 32 επί 45 (32x45) το πλάτος που έβαλες: θα βρεις 24. Αυτό είναι το πλάτος.

Αναδιατύπωση του προβλήματος

Χρησιμοποιώντας α,β,δ για το μήκος, το πλάτος και τη διαγώνιο του ορθογωνίου

μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα με τις εξισώσεις

β=α- δ= =40

Η πινακίδα λέει :

Βάλε 1 για το μήκος.

Έστω α0 αυτή η δοκιμή και β0,δ0 οι αντίστοιχες δοκιμές για το πλάτος και τη

διαγώνιο.

Οι υπολογισμοί στην πλάκα είναι οι ακόλουθοι.

1. Βάζω: α0=1 [ή60]

2. Υπολογίζω β0: =15 και β0=α0- =45

3. Υπολογίζω δ0: α02=1 [ή602],β0

2=452 =33x60+45(γράφεται ως 33;45)

52

δ02=α0

2+β02=5625=1x602+33x60+45(γράφεται ως 1;33;45)

άρα η τετραγωνική ρίζα του είναι 1;15

4. Υπολογίζω : = = (γράφεται ως 48)

δx ( )=40x ( )= (γράφεται ως 32)

5. Υπολογίζω το α: α=α0x( )=60x( )=32

6. Υπολογίζω το β: β=β0x( )=45x( )=24

Εγκυρότητα της λύσης

Για να αποδειχθεί ότι ο αλγόριθμος είναι έγκυρος μπορούμε να γενικεύσουμε τη

λύση με τις εξισώσεις:

β=κ.α(γραμμική) και δ= (ομογενής 2ου βαθμού)

από όπου α =δ

ως εκ τούτου = =

και έτσι α=α0x( ) και β=β0x( )

οι οποίες αντιστοιχούν με τους υπολογισμούς που καταγράφοντα στην πλάκα.

Σημειώνεται τέλος ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν το εξηκονταδικό σύστημα

αρίθμησης και οι υπολογισμοί για την εύρεση του αντιστρόφου του δ0 απαιτούν ο

αριθμός να είναι «τακτικός». Η επιλογή του 75 για δ0 δεν είναι τυχαία.

«Τακτικοί» αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν πεπερασμένη μορφή στο

εξηκονταδικό σύστημα και γράφονται στη μορφή 2α3β5γ όπου α,β,γ είναι θετικοί ή

αρνητικοί ακέραιοι ή μηδέν. Οι Βαβυλώνιοι έχουν αφήσει πίνακες αντιστρόφων

τακτικών αριθμών όπως η πινακίδα ΑΟ6456 από την περίοδο των Σελευκιδών η

οποία βρίσκεται στο Λούβρο κι έχει άνω από 200 ζευγάρια τακτικών αριθμών και

τους αντιστρόφους τους.

Το τελευταίο ζευγάρι είναι 2;59;21;40;48;54 και 20;4;16;22;28;44;14;

57;40;456;17;46;40

2.1.2. Frances Pellos[19]

«Ένα καλάμι έχει ένα μισό και ένα τρίτο στο νερό και 9 παλάμες έξω. Σας ρωτώ

πόσο μήκος έχει;»

53

Αυτό το πρόβλημα τέθηκε από τον Frances Pellos ο οποίος ήταν ευγενής από τη

Νίκαια το 15αι. και το οποίο σήμερα είναι εύκολο να λυθεί με στοιχειώδη

άλγεβρα.

Αν θέσουμε x το μήκος του καλαμιού θα έχουμε να λύσουμε την εξίσωση

x- x- x=9 (1) και βρίσκουμε x=54 παλάμες.

Τέτοια προβλήματα πριν τις αλγεβρικές μεθόδους αντιμετωπίστηκαν με

αλγορίθμους που μετά το τέλος του 15ου αι. έγιναν γνωστοί ως μέθοδοι δοκιμής –

λάθους. Οι διαδικασίες αυτές λύνουν τα προβλήματα δίνοντας αριθμητικές τιμές

στον άγνωστο και χρησιμοποιούν τις τιμές αυτές για να λάβουν το σωστό

αποτέλεσμα.

Ο Pellos για να απαντήσει στο προηγούμενο πρόβλημα ξεκινά θέτοντας το μήκος

του καλαμιού σε παλάμες ως άγνωστο αλλά αντί να χρησιμοποιήσει ένα γράμμα

για αυτόν τον άγνωστο διαλέγει μια συγκεκριμένη αριθμητική τιμή και μας

προτρέπει να χρησιμοποιήσουμε το 12 ως δοκιμή.

Ξεκινώντας με το 12 και χρησιμοποιώντας τις συνθήκες που καθορίζονται στο

πρόβλημα, αφαιρεί το μισό του, και μετά ένα τρίτο, και καταλήγει με 2, αντί για 9

που απαιτείται.

Συνεχίζει: «εάν το 2 έρχεται από το 12, από πόσα θα πάρουμε 9; Θα βρούμε 54».

Αυτό το τελικό βήμα αναφέρεται στον κανόνα της αναλογίας = και έχω x=

Σε παρόμοια προβλήματα, φαίνεται ότι η απαιτούμενη ποσότητα συνδέεται με τις

δεδομένες τιμές με γραμμικό τρόπο. Αλγεβρικά επανέρχεται πάντα σε μια εξίσωση

του τύπου αx=β. Έτσι αν η λάθος δοκιμή x’ οδηγεί σε αποτέλεσμα β΄, με άλλα λόγια

αν αx΄=β΄ τότε από την πρόταση = και έτσι x= .

Η παραπάνω μέθοδος λέγεται «μέθοδος της απλής δοκιμής».

Οι τεχνικές που χρησιμοποιούσαν δεν εκμεταλλεύονται τις αλγεβρικές

απλοποιήσεις. Για παράδειγμα στην παραπάνω εξίσωση (1) ο Pellos δεν

χρησιμοποιεί τη μορφή (1- - )x= x. Οι υπολογισμοί με κλάσματα μπορούν να

παρουσιάσουν δυσκολίες και η μέθοδος της δοκιμής – λάθους αποσκοπεί στο

μέτρο του δυνατού να λειτουργεί με ακέραιους αριθμούς και έτσι μια συνεπής

επιλογή της αρχικής δοκιμής είναι σημαντική.

54

Όπως ο ίδιος ο Pellos λέει «ένας αριθμός πρέπει να επιλεγεί ώστε να

αποφεύγονται τα κλάσματα, και όχι επειδή δεν θα μπορούσε να γίνει κάλλιστα και

με έναν άλλο αριθμό αλλά με μεγαλύτερη δυσκολία». Στο παράδειγμα ο Pellos

επέλεξε το 12 που είναι πολλαπλάσιο του 2 και του 3.

2.1.3. Ένα πρόβλημα από γαλλικό σχολείο Ένα πρόβλημα δοκιμής-λάθους σε γαλλικό βιβλίο. CHAPTER VIII SOLUTIONS TO SOME PROBLEMS Combette, Cours moyen et Supérieur Arithmetiqué, système métrique et géométrie usuelle. Paris: Alcide Picard & Kaan, 10th edition, (n.d.), p.219.

Μια τσάντα περιέχει 154 φράγκα κέρματα των 5 φράγκων και των 2 φράγκων.

Υπάρχουν 41 κέρματα. Βρείτε τον αριθμό των κερμάτων των 5 φράγκων.

ΛΥΣΗ

Αν όλα τα κέρματα ήταν 2 φράγκα η τσάντα θα περιείχε μόνο 41x2=82 φράγκα, ενώ

περιέχει 154. Η διαφορά είναι 72 φράγκα. Κάθε φορά που ένα κέρμα των 2

φράγκων αντικαθίσταται από ένα νόμισμα των 5 φράγκων ο συνολικός αριθμός

των κερμάτων, αλλά το άθροισμα (ποσό) μπορεί να αυξηθεί κατά 3 φράγκα. Έτσι

ότι το ποσό μπορεί να αυξηθεί κατά 72 φράγκα πρέπει να αντικαταστήσεις τόσες

φορές τα 2 φράγκα με 5 φράγκα όσες φορές τα 3 φράγκα περιέχονται στα 72 .

Αυτά είναι 24.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Υπάρχουν 24 κέρματα των 5 φράγκων .

2.2 Άραβες και μέθοδος al-jabr και al-muqabala

Οι Άραβες μετέφρασαν και μελέτησαν πολλά Μαθηματικά κείμενα των Αρχαίων

Ελλήνων, ένα από τα οποία ήταν και τα Αριθμητικά του Διόφαντου, κατ’ επέκταση

όμως ανέπτυξαν τις μεθόδους που μελετούσαν και συνέγραψαν δικές τους

πραγματείες. Το πρώτο και βασικότερο σύγγραμμα των Αραβικών Μαθηματικών

είναι το “Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala” που έγραψε το 830

μ.Χ. περίπου ο Muhammad ib Musa al-Khwarizmi. Από το έργο αυτό, ή καλύτερα

από μια προσπάθεια λατινοποίησης του τίτλου του, γεννήθηκε από το «al-jabr» η

55

λέξη Άλγεβρα. Εκεί ο al-Khwarizmi ασχολείται με την επίλυση εξισώσεων

κατηγοριοποιώντας τις σε έξι τύπους:

αx2=βx, αx2=β, αx=β, αx2+βx=γ, αx2+γ=βx, αx2=βx+γ

Αρχικά εξηγεί τη διαδικασία επίλυσης για κάθε μία δίνοντας οδηγίες, όπως έκαναν

και οι Βαβυλώνιοι, όμως κατόπιν δίνει γεωμετρική αιτιολόγηση των βημάτων που

ακολουθεί για τους τρεις τελευταίους τύπους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της

συμπλήρωσης τετραγώνου.

Ο Αl-Khwarizmi ήταν ο πρώτος μουσουλμάνος συγγραφέας που έγραψε για επίλυση

προβλημάτων με χρήση των διαδικασιών «al-jabr» και «al-muqabala». Η

συνηθισμένη ερμηνεία του «al-jabr» στους μαθηματικούς χειρισμούς είναι: η

πρόσθεση ισοδυνάμων όρων και στα δύο μέλη μιας εξίσωσης με σκοπό να μειώσει

τους αρνητικούς όρους. Η συνηθισμένη ερμηνεία του «al-muqabala» είναι: η

μείωση θετικών όρων αφαιρώντας ίσες ποσότητες και στα δύο μέλη μιας εξίσωσης.

Αλλά ο Αl-Khwarizmi χρησιμοποιεί επίσης τον όρο με την έννοια του «εξισώνω». Ο

συνδυασμός των δύο όρων: «al-jabr» και «al-muqabala» χρησιμοποιείται μερικές

φορές με μια πιο γενική έννοια: εκτέλεση αλγεβρικών χειρισμών ή πιο απλά: Η

επιστήμη της Άλγεβρας. Ακολουθούν παραδείγματα από την μετάφραση του Rosen

στο «Algebra of Mohammed ben Musa», που δείχνουν τη χρήση των όρων αυτών

στη δουλειά του Αl-Khwarizmi πάνω στην επίλυση δευτεροβάθμιων αλγεβρικών

εξισώσεων.

([23], σελ. 4-8).

2.2.1. Παράδειγμα 1ο (χρήση του όρου al-jabr)

Πρόβλημα:

«Διαίρεσα το δέκα σε δύο μέρη. Πολλαπλασίασα το ένα από τα δύο μέρη με το άλλο.

Μετά από αυτό πολλαπλασίασα ένα από τα δύο με τον εαυτό του, και το αποτέλεσμα

του πολλαπλασιασμού με τον εαυτό του είναι τέσσερις φορές όσο το αποτέλεσμα του

ενός από τα δύο μέρη με το άλλο».

56

Λύση κατά Al-Khwarizmi Σύγχρονος συμβολισμός

Ο al-Khwarizmi καλεί το ένα από τα δύο

μέρη «κάτι» και το άλλο «10 μείον κάτι».

Πολλαπλασιάζοντας τα δύο, αποκτά «δέκα

κάτι μείον ένα τετράγωνο».

Για το τετράγωνο του αγνώστου «κάτι» ο

συγγραφέας χρησιμοποιεί τη λέξη mal, η

οποία σημαίνει κάτι σαν «πλούτος» ή

«ιδιοκτησία».

Τελικά λαμβάνει την εξίσωση: «Ένα

τετράγωνο, το οποίο είναι ίσο με σαράντα

κάτι μείον τέσσερα τετράγωνα».

Εν συνεχεία ο συγγραφέας χρησιμοποιεί την

διαδικασία al-jabr, προσθέτοντας και στα

δύο μέρη της εξίσωσης το 4x2

που αλλάζει

την εξίσωση και δίνει το x=8.

x2=40x-4x

2

x2+4x

2=40x-4x

2+4x

2

ή 5x2=40x

ή x2=8x

ή x=8

2.2.2. Παράδειγμα 2ο – Επίλυση μεικτής δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx

2+βx=γ

▪ Αλγεβρική επίλυση

Στην ορολογία του al-Khwarizmi ο τύπος αυτός δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορεί να

παρουσιαστεί μέσα από το παρακάτω πρόβλημα:

«Ρίζες και Τετράγωνα ισοδύναμα με αριθμούς:

57

Ένα τετράγωνο και δέκα ρίζες της ίδιας ποσότητας ισοδυναμεί με τριάντα εννιά

dirhems; Αυτό μας οδηγεί στο ερώτημα, πόσο πρέπει να είναι το τετράγωνο το οποίο,

όταν αυξηθεί κατά δέκα από τις δικές του ρίζες ισοδυναμεί με το τριάντα εννιά;»

Λύση κατά Al-Khwarizmi Σύγχρονος συμβολισμός

Χωρίζεις τον αριθμό των ριζών, που στην

συγκεκριμένη περίπτωση αποδίδει πέντε.

Αυτό θα το πολλαπλασιάσεις με τον εαυτό

του. Το αποτέλεσμα είναι είκοσι πέντε.

Πρόσθεσε αυτό στο τριάντα εννιά. Το

άθροισμα είναι εξήντα τέσσερα.

Τώρα πάρε την ρίζα αυτού που είναι οκτώ,

και αφαίρεσε από αυτήν το μισό αριθμό των

ριζών που είναι το πέντε.

Το υπόλοιπο είναι το τρία. Αυτή είναι η ρίζα

του τετραγώνου που σκέφτηκες; Το

τετράγωνο είναι το εννέα.

Με σύγχρονο συμβολισμό, η εξίσωση

είναι:

x2+10x=39

που μπορεί να μετασχηματιστεί στην

(x+5)2=39+25=64

x+5=

64 =8

x=8–5=3

58

▪ Γεωμετρική Επίλυση της εξίσωσης x2+10x=39

Λύση: Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο πλευράς x για το x2 και δύο ορθογώνια

παραλληλόγραμμα με πλευρές 5 και x για τον όρο 10x, όπως στο σχήμα 1.1.

Σύμφωνα με τα δεδομένα της εξίσωσης η γκρι περιοχή ισούται με 39 κι έτσι όλο το

τετράγωνο έχει εμβαδό 39+25=64=8·8 και επομένως 5+x=8, άρα x=3.

Σχήμα 1: Λύση της x2+10x=39

Είναι χρήσιμο να σημειωθεί ότι αν και η γεωμετρία που χρησιμοποιεί ο al-Khwarizmi

είναι στοιχειώδης σε σχέση με την γεωμετρία των Αρχαίων Ελλήνων και δε βασίζεται

σε κάποιο αξιωματικό σύστημα αλλά στη διαίσθηση, εντούτοις τα αλγεβρικά

εργαλεία και μέθοδοι που αναπτύσσει θα είναι το πρώτο βήμα για την περαιτέρω

ανάπτυξη της Άλγεβρας ως κλάδος των Μαθηματικών.

2.3. Έλληνες

Ευκλείδης

Οι Αρχαίοι Έλληνες από την ανακάλυψη των ασύμμετρων αριθμών και μετά,

απέφευγαν τη θεωρητική ενασχόληση με τους αριθμούς και ενδιαφέρονταν κυρίως

για την ανάπτυξη της θεωρίας ποσοτήτων ή μεγεθών με κύριο εργαλείο τους τη

Γεωμετρία. Έτσι τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη περιέχουν τις μεθόδους που

χρησιμοποιούσαν οι Μαθηματικοί εκείνης της περιόδου. Στο IIο βιβλίο, αλλά και στο

VIο, παρουσιάζονται προβλήματα σε γεωμετρική γλώσσα που όμως αν μεταφραστούν

σε αλγεβρική τότε θα διαπιστώσουμε αλγεβρικά αποτελέσματα όπως ταυτότητες ή

επίλυση εξισώσεων. Συγκεκριμένα, μπορούμε να διακρίνουμε τέσσερις μορφές

δευτεροβάθμιων εξισώσεων:

η εξίσωση της μορφής x2=αβ, δηλαδή η εύρεση του γεωμετρικού μέσου δύο

τμημάτων, που παρουσιάζεται στην πρόταση II.14.

59

η εξίσωση της μορφής x2+αx=α

2, δηλαδή η διαίρεση τμήματος σε μέσο και

άκρο λόγο ή αλλιώς η εύρεση της χρυσής τομής, που παρουσιάζεται στην

πρόταση ΙΙ.11.

η εξίσωση της μορφής αx-x2=β

2, που βλέπουμε στην πρόταση ΙΙ.5 αλλά και

στην VI.28 σε πιο γενική μορφή.

και τέλος

η εξίσωση της μορφής αx+x2=β

2, που βλέπουμε στην πρόταση ΙΙ.6 αλλά και

σε πιο γενική μορφή στη VI.29.

Πρόταση II.5[34]

Έστω α,x ευθύγραμμα τμήματα. Aν >x τότε (α-x)x=( )2-( –x)

2

Πρόταση II.6 [34]

x

Ισχύει ( +x)2=( )

2+(α+x)x άρα (α+x)x=( +x )

2-( )

2

Πρόταση II.14 [34]

Tετραγωνισμός ευθύγραμμου χωρίου

Αν Ε είναι ένα ευθύγραμμο χωρίο τότε υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα γ, ώστε γ2=Ε.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ [34]

Δοθέντων ευθύγραμμου τμήματος α και ευθύγραμμου χωρίου Ε να κατασκευαστεί

ευθύγραμμο τμήμα x ώστε να ισχύει x(x+α)=Ε

Λύση

Από τη II.14 υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα β ώστε Ε=β2 άρα x(α+x)=β

2. Από II.6

έχουμε

(x+ α/2)2-(α/2)

2=β

2.

60

Άρα πρέπει να κατασκευάσουμε x ώστε (x+α/2)2=β

2+(α/2)

2. Χρησιμοποιούμε το

Πυθαγόρειο γ2 =β

2+(α/2)

2 . Σχηματίζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές

β, α/2 και υποτείνουσα γ.

χ γ

β

Πρόταση II.11 [ 34]

Να διαιρεθεί δοσμένο τμήμα ώστε το ορθογώνιο που ορίζει το τμήμα και το ένα

μέρος του να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέρος.

Ζητάμε να προσδιορίσουμε σημείο Θ του ΑΒ, ώστε ΑΒ · ΘΒ= ΑΘ2.

Απόδειξη:

Κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒΔΓ και το μέσο Ε του ΑΓ. Φέρνουμε την ΒΕ και

στην προέκταση του ΓΑ παίρνουμε ΕΖ=ΕΒ και κατασκευάζουμε το τετράγωνο

ΑΖΗΘ. Θα αποδείξουμε ότι το Θ είναι το ζητούμενο σημείο.

Προεκτείνουμε την ΗΘ, η οποία τέμνει τη ΓΔ στο Κ. Σύμφωνα με την πρόταση ΙΙ.6,

το ορθογώνιο που ορίζουν οι ΓΖ, ΖΑ μαζί με το τετράγωνο της πλευράς ΑΕ θα είναι

ισοδύναμο με το τετράγωνο πλευράς ΕΖ, δηλαδή:

61

ΓΖ · ΖΑ + ΑΕ2 (1)

Αλλά ΕΖ=ΕΒ, άρα η (1) γίνεται

ΓΖ · ΖΑ+ ΑΕ2 = ΕΒ

2 (2)

Όμως ΕΒ2 = ΕΑ

2 + ΑΒ

2 (Πυθ. Θεώρημα).

Άρα

ΓΖ · ΖΑ + ΑΕ2= ΕΑ

2+ΑΒ

2

ή ΓΖ · ΖΑ = ΑΒ2

ή (ΖΗΚΓ)=(ΑΒΔΓ) (3)

Αν αφαιρέσουμε από τα μέλη της (3) το (ΑΘΚΓ), θα πάρουμε (ΑΖΗΘ)=(ΦΒΔΚ) ή

ΑΘ2=ΑΒ · ΒΘ δηλαδή το σημείο Θ είναι το ζητούμενο ([31], σελ. 241-242).

Αν θέσουμε ΑΒ=α και ΑΘ=x τότε προκύπτει η εξίσωση

α(α-x)=χ2

δηλαδή x2+αx =α

2

ή x(x+α)=α2

Η πρόταση ΙΙ.11 αποτελεί ουσιαστικά γεωμετρική επίλυση αυτής της

δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Η τελευταία εξίσωση απαιτεί την κατασκευή δύο

τμημάτων x και x+α, των οποίων δίδονται η διαφορά α και το γινόμενο α2. Αφού η

διαφορά είναι δεδομένη, το πρόβλημα επιλύεται με τη χρήση της ΙΙ.6.

Γεωμετρική επίλυση της γενικευμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Πρόταση VI. 28

Πάνω σε δοθέν ευθύγραμμο τμήμα να γραφεί παραλληλόγραμμο από το οποίο αν

αφαιρέσουμε παραλληλόγραμμο, όμοιο και ομοίως κείμενο με δοσμένο

παραλληλόγραμμο Δ, το παραλληλόγραμμο που μένει είναι ισοδύναμο με δοσμένο

ευθύγραμμο σχήμα Γ. Το δοθέν ευθύγραμμο σχήμα Γ δεν μπορεί να έχει εμβαδόν

μεγαλύτερο από το εμβαδόν παραλληλογράμμου που γράφεται με πλευρά το μισό του

ευθυγράμμου τμήματος και είναι όμοιο με αυτό που αφαιρούμε.

62

Απόδειξη

Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, πολύγωνο Γ και παραλληλόγραμμο Δ. Αν Ε το

μέσο της ΑΒ, κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΕΒΖΛΗ όμοιο και ομοίως

κείμενο προς το Δ καθώς και το παραλληλόγραμμο ΑΕΗΘ. Το Γ δε μπορεί να έχει

εμβαδόν μεγαλύτερο από το εμβαδόν του ΑΕΗΘ. Αν (ΑΕΗΘ)=(Γ), τότε το

πρόβλημα έχει λυθεί, αφού

(ΑΒΖΘ)=(Γ) + (ΕΒΖΗ)

και το ΕΒΖΘ είναι όμοιο με το Δ. Αν όμως, το ΑΕΗΘ είναι μεγαλύτερο του Γ, τότε

το ΕΒΖΗ είναι μεγαλύτερο του Γ.

Έστω ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμο όμοιο και ομοίως κείμενο του Δ που έχει εμβαδόν

τη διαφορά των εμβαδών των ΕΒΖΗ και Γ. Άρα το ΚΛΜΝ είναι όμοιο και ομοίως

κείμενο με το ΕΒΖΗ. Έστω ότι η ΚΛ είναι ομόλογης της ΕΗ και η ΛΜ της ΗΖ.

Επειδή

(ΕΒΖΗ) = (Γ) + (ΚΛΜΝ) τότε (ΕΒΖΗ) > (ΚΛΜΝ)

οπότε ΗΕ>ΚΛ, ΗΖ>ΛΜ. Επί της ΕΗ παίρνουμε ΗΞ-ΚΛ και επί της ΗΖ παίρνουμε

ΗΟ=ΛΜ, οπότε δημιουργείται το παραλληλόγραμμο ΗΞΠΟ, το οποίο είναι όμοιο με

το ΚΛΜΝ, άρα και με το ΗΕΒΖ. Τότε όμως το Π βρίσκεται στη διαγώνιο ΗΒ. Από

το Π φέρουμε τις ΡΤ//ΑΒ, ΟΣ//ΒΖ.

Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι ο γνώμονας ΥΧΦ έχει το ίδιο εμβαδόν με το Γ

και επειδή

(ΠΡΖΟ)=(ΕΣΠΞ) τότε (ΒΖΟΣ)=(ΒΡΞΕ)

Αλλά το (ΒΡΞΕ)=(ΕΞΤΑ), οπότε το (ΑΣΠΤ) είναι ίσο με όλον τον γνώμονα ΥΧΦ, ο

οποίος έχει το ίδιο εμβαδόν με το Γ.

63

Επομένως, (ΑΒΡΤ)=(ΑΣΠΤ) + (ΣΒΡΠ) είναι όμοιο και ομοίως κείμενο με το Δ, ([9],

σελ. 474-475).

Στην πρόταση VI. 28, Ο Ευκλείδης υποθέτει ότι αν δύο όμοια παραλληλόγραμμα

έχουν εμβαδά άνισα, τότε το μεγαλύτερο έχει τις αντίστοιχες πλευρές μεγαλύτερες

από αυτές του μικρότερου. Αυτή η πρόταση είναι το γεωμετρικό ισοδύναμο της

συνθήκης για να έχει λύση η εξίσωση

ax

x 2

([31], σελ. 475-476)

Σύμφωνα με τα σχόλια του Heath για την πρόταση VI. 28 ([10], Βιβλίο VI, σελ 262-

265) η αντιστοιχία μεταξύ της γεωμετρικής μεθόδου του Ευκλείδη (έλλειψη

δεδομένου σχήματος) και της συνηθισμένης αλγεβρικής μεθόδου για την επίλυση της

εξίσωσης, φαίνεται αν υποθέσουμε ότι τα παραλληλόγραμμα είναι ορθογώνια. Για

να λύσουμε την εξίσωση αλγεβρικά, αλλάζουμε τα πρόσημα και γράφουμε

x 2 ax

Μπορούμε τώρα να συμπληρώσουμε το τετράγωνο προσθέτοντας

a2

4.

Έτσι

x2 ax

a2

4

2

4 και με εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας,

έχουμε

· x -

a

2

a2

4

και

x

a

2

a2

4

.

64

Τώρα ας δούμε τη μέθοδο του Ευκλείδη.

Πρώτα αναγράφει ΗΕΒΖ στην ΕΒ (μισό του ΑΒ) όμοιο με το δοθέν

παραλληλόγραμμο Δ. Κατόπιν τοποθετεί σε μια γωνία ΖΗΕ του ΗΕΒΖ ένα όμοιο και

παρομοίως τοποθετημένο παραλληλόγραμμο ΗΠ, ίσο με τη διαφορά μεταξύ του

παραλληλογράμμου ΗΒ και της περιοχής Γ. Οπότε ΞΠ=ΗΞ

Ομοίως

2

. Έτσι ώστε ΗΕ=

a

2

Επομένως το παραλληλόγραμμο ΗΠ=

2

.

Και το παραλληλόγραμμο

a2

4.

Έτσι, παίρνοντας το παραλληλόγραμμο ΗΠ ίσο προς (ΗΒ-Γ), ο Ευκλείδης

πραγματικά βρίσκει το ΗΞ από την εξίσωση

2

a2

4

Η τιμή που βρίσκει είναι

a2

4

Και βρίσκει ΠΣ (ή x) αφαιρώντας το ΗΞ από το ΗΕ, οπότε

x

2

4

Θα παρατηρηθεί ότι ο Ευκλείδης δίνει μόνο μια λύση, αυτή που αντιστοιχεί στο

αρνητικό πρόσημο του ριζικού. Αλλά ο λόγος πρέπει να είναι ο ίδιος με αυτόν για

τον οποίο δίνει μόνο την μια «περίπτωση» στην VI. 27. Δεν είναι δυνατόν να μην

μπόρεσε να δει πως να προσθέσει το ΗΞ με το ΗΕ ώστε να βρει άλλη λύση. Όπως

φαίνεται κάτω από την τελευταία πρόταση, η άλλη λύση που μπορεί να επιτευχθεί

65

στο (1) με την τοποθέτηση του παραλληλογράμμου ΗΞΠΟ στη γωνία που είναι

κάθετα απέναντι στην ΖΗΕ, έτσι ώστε ΗΠ’ να είναι κατά μήκος της ΒΗ που

δημιουργείται. Το παραλληλόγραμμο ΑΠ’ τότε δίνει τη δεύτερη λύση. Η πλευρά

αυτού του παραλληλογράμμου που βρίσκεται κατά μήκος της ΑΒ είναι ίση προς την

ΣΒ. Η άλλη πλευρά είναι αυτή που καλέσαμε x σε αυτή την περίπτωση.

x=ΕΗ+ΗΞ΄=

2

2

4

(2)

ένα παραλληλόγραμμο όμοιο και ίσο προς το ΑΠ’ μπορεί να αποκτηθεί με τη

δημιουργία ΒΗ έως ότου συναντήσει την ΑΤ που δημιουργείται και συμπληρώνοντας

το παραλληλόγραμμο Β΄ΑΒΑ’, οπότε φαίνεται ότι το συμπλήρωμα ΠΑ’ είναι ίσο με

το συμπλήρωμα ΑΠ, εκτός από το να είναι ίσο, όμοιο και ομοίως τοποθετημένο προς

την ΑΠ’.

Η ειδική περίπτωση της (1) λύνεται στην πρόταση ΙΙ.5 όπως είδαμε παραπάνω, στην

οποία δηλαδή το έλλειμμα είναι ένα τετράγωνο, και αντιστοιχεί στην εξίσωση αx-

x2=β

2. Αυτό είναι το πρόβλημα της εφαρμογής σε μια δοθείσα ευθεία γραμμή ένα

ορθογώνιο ίσο προς μια δοθείσα περιοχή και που υπολείπεται (failing short) κατά ένα

τετράγωνο.

Πρόταση VI. 29

Πάνω σε δοθέν ευθύγραμμο τμήμα να γραφεί παραλληλόγραμμο ισεμβαδικό προς

δοθέν πολύγωνο, το οποίο να είναι όμοιο προς το δοθέν και να έχει εμβαδόν

μεγαλύτερο κατά το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου.

Απόδειξη

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, το δοθέν πολύγωνο Γ και το δοθέν

παραλληλόγραμμο Δ. Πάνω στο ΑΒ θα γράψουμε παραλληλόγραμμο ισεμβαδικό

προς το πολύγωνο Γ και το οποίο θα υπερβάλλει το αντίστοιχο παραλληλόγραμμο

πλευράς ΑΒ κατά παραλληλόγραμμο όμοιο προς το Δ.

66

Αν είναι Ε το μέσον του ΑΒ, γράφουμε πάνω στο ΕΒ παραλληλόγραμμο ΕΒΛΖ

όμοιο και ομοίως κείμενο προς το Δ. Σύμφωνα με την πρόταση 25, κατασκευάζουμε

παραλληλόγραμμο ΗΙΘΚ όμοιο και ομοίως κείμενο προς το Δ, το οποίο να έχει

εμβαδόν ίσο προς το άθροισμα των εμβαδών των Γ και ΕΒΛΖ. Τότε το ΗΙΘΚ θα

είναι όμοιο και ομοίως κείμενο προς το παραλληλόγραμμο ΕΒΛΖ.

Έστω ότι η ΚΘ είναι ομόλογη προς την ΖΛ και η ΚΗ είναι ομόλογη προς την ΖΕ.

Προεκτείνουμε τις ΖΛ και ΖΕ προς το μέρος των Λ και Ε, αντίστοιχα, και θεωρούμε

ευθύγραμμα τμήματα ΖΛΜΝ και ΖΕΝ τέτοια, ώστε

ΖΛΜ = ΚΘ . ΖΕΝ = ΚΗ

και συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο ΖΝΞΜ, το οποίο πλέον είναι ισεμβαδικό

και όμοιο προς το παραλληλόγραμμο ΗΙΘΚ.

Επομένως, το ΖΝΞΜ θα είναι όμοιο και προς το παραλληλόγραμμο ΕΒΛΖ, οπότε,

σύμφωνα με την πρόταση 26, το παραλληλόγραμμο ΖΝΞΜ και ΕΒΛΖ θα είναι περί

την ίδια διαγώνιο ΖΞ.

Από το Β φέρουμε παραλλήλους προς τις ΖΛ και ΖΕ, που τέμνουν τις ΞΜ και ΝΞ

στα σημεία Ο και Π, αντίστοιχα.

Επειδή είναι (ΗΙΘΚ)=(ΕΒΛΖ)+Εμβ(Γ) και (ΗΙΘΚ)=(ΖΝΞΜ), θα είναι και

(ΖΝΞΜ)=(ΕΒΛΖ)+Εμβ(Γ). Επομένως:

(ΖΝΞΜ)-(ΕΒΛΖ)=Εμβ (Γ)

οπότε το εμβαδόν του «γνώμονα» ΨΧΦ ισούται προς το εμβαδόν του Γ.

Επειδή είναι ΑΕ=ΕΒ, θα είναι και (ΑΤΝΕ) = (ΕΝΠΒ) = (ΒΟΜΛ).

Οπότε: (ΑΤΝΕ)+(ΕΝΞΟ) = (ΒΜΟΛ)+(ΕΝΞΟ) ή

(ΑΤΞΟ) = Εμβαδόν «γνώμονα» ΨΧΒ ή

(ΑΤΞΟ) = Εμβαδόν «γνώμονα» ΨΧΒ ή

67

(ΑΤΞΟ) Εμβ (Γ) . ([31], σελ. 476-477)

Σύμφωνα με τα σχόλια του Heath για την πρόταση VI.29 ([10], Βιβλίο VI. Σελ. 266-

267) το πρόβλημα της VI.29 αντιστοιχεί στη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

x

x 2 (1)

Η αλγεβρική λύση αυτής της εξίσωσης δίνει:

x

a

2

a2

4

Η ακριβής αντιστοίχηση της μεθόδου του Ευκλείδη (υπερβολή δεδομένου σχήματος)

προς την αλγεβρική λύση μπορεί να γίνει κατανοητή, όπως στην περίπτωση VI. 28,

με την υπόθεση των παραλληλογράμμων ως ορθογωνίων.

Σε αυτή την περίπτωση, η κατασκευή του Ευκλείδη στην ΕΒ του παραλληλόγραμμου

ΕΛ όμοιου προς το Δ είναι αντίστοιχη στην εύρεση του ότι

Η (ευθεία γραμμή)

2 και το (ΕΛ)=

a2

4

και ο διορισμός του όμοιου παραλληλόγραμμου ΜΝ ίσου προς το άθροισμα του ΕΛ

και Γ αντιστοιχεί με την απόδειξη ότι:

2

a2

4

ή

a2

4

Οπότε x βρίσκεται ότι:

x

a2

4

2

Ο Ευκλείδης παίρνει, σε αυτή την περίπτωση, τη λύση που αντιστοιχεί στο θετικό

πρόσημο πριν το ριζικό διότι, από αυτή την άποψη, αυτή θα ήταν η μόνη λύση.

Δεν είναι αναγκαίος ο διορισμός, διότι μια πραγματική γεωμετρική λύση είναι πάντα

πιθανή όποιο και αν είναι το μέγεθος του Γ.

Η ειδική περίπτωση της (1) λύνεται στην πρόταση ΙΙ.6 όπως είδαμε παραπάνω, η

περίπτωση δηλαδή στην οποία η υπερβολή είναι ένα τετράγωνο, και αντιστοιχεί στη

68

λύση της εξίσωσης αχ+χ2=β

2. Αυτό είναι το πρόβλημα της εφαρμογής σε μια

δοθείσα ευθεία γραμμή ενός ορθογωνίου (rectangle) ίσου προς μια δοθείσα περιοχή

(to a given area) και υπερβάλλον (exceeding) κατά ένα τετράγωνο (square).

2.4. Διόφαντος

Μια διαφορετική προσέγγιση όμως των εξισώσεων αυτών διαπιστώνουμε στο έργο

του Διόφαντου και ειδικότερα στα «Αριθμητικά», όπου αν και ασχολείται όπως και οι

άλλοι με συγκεκριμένες περιπτώσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων και όχι με τη γενική

μορφή, εντούτοις χρησιμοποιεί έναν αλγεβρικό συμβολισμό με χρήση μεταβλητών,

τον πρώτο που εμφανίζεται στην Ιστορία των Μαθηματικών. Βέβαια δεν

αντιμετωπίζει με κάποιο γενικά τύπο τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όμως η μέθοδός του

γίνεται φανερή από την αντιμετώπιση διάφορων προβλημάτων που καταλήγουν σε

αυτήν. Σύμφωνα με τον Tomas Heath [11] ο Διόφαντος θέλοντας να λύσει μια

εξίσωση της μορφής:

αx2–βx+γ =0

αντί να διαιρέσει με το συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου, πολλαπλασιάζει με

αυτόν και τα δύο μέλη ώστε να φέρει την εξίσωση στη μορφή

α2x

2–αβx+αγ =0

λύνοντάς την παίρνει

αx =

1

2β

1

2 2

και διαιρώντας κατόπιν με το α καταλήγει στη λύση

x

1

2

1

4 2

a

Τελικά διακρίνει τρεις περιπτώσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων με θετικούς

συντελεστές:

η εξίσωση της μορφής mx2+px=q για την οποία δίνει τη λύση

x

1

2p

1

4p2 mq

m

69

η εξίσωση της μορφής mx2+px+q για την οποία δίνει τη λύση

x

1

2p

1

4p2 mq

m

η εξίσωση της μορφής mx2+q=px για την οποία δίνει τη λύση

x

1

2p

1

4p2 mq

m

Ας δούμε ένα παράδειγμα (το πρόβλημα IV. 31με χρήση σύγχρονου συμβολισμού)

για το πως αντιμετωπίζει ο Διόφαντος τη δεύτερη μορφή δευτεροβάθμιας εξίσωσης

που παρουσιάσαμε.

Πρόβλημα 2 (IV.31). Να διαιρεθεί η μονάδα σε δύο μέρη, ώστε αν προστεθούν σ’

αυτά δοσμένοι αριθμοί, τότε το γινόμενο των δύο αθροισμάτων να δίνει τετράγωνο.

Λύση: Έστω 3 και 5 οι αριθμοί που θα προστεθούν αντίστοιχα στα μέρη x και 1-x

της μονάδας. Οπότε έχουμε

(x+3)(1-x+5)=(x+3)(6-x)=18+3x-x2 =τετράγωνο, έστω=4x

2

Άρα καταλήγουμε στην εξίσωση

18+3x-5x2

η οποία σύμφωνα με σχόλιο του ίδιου του Διόφαντου «δεν δίνει ρητό αποτέλεσμα».

Επειδή το 5 προέρχεται από ένα τετράγωνο που του έχουμε προσθέσει μια μονάδα,

για να έχουμε ρητή λύση πρέπει να αντικαταστήσουμε το τετράγωνο που πήραμε (το

4) με ένα τετράγωνο τέτοιο ώστε:

(τετράγωνο+1)·18+

3

2

2

=ένα τετράγωνο

Θέτουμε

(m2+1)·18+2

1

4=ένα τετράγωνο

ή 72m2+81=ένα τετράγωνο, έστω=(8m+9)

2

η οποία γίνεται

72m2+81=64m

2+144m+81

8m2 =144m

m=18 άρα m2=324

Συνεπώς πρέπει η αρχική εξίσωση του προβλήματος να είναι η

(x+3)(6-x)=18+3x–x2=324x

2

3x18=325x2

70

με λύση

x 6

25. Έτσι η λύση του προβλήματος είναι το ζεύγος

6

25,19

25

.

2.5. Λύση «Brâhmasphutasiddhânt» του Brahmagupta

Και ερχόμαστε στον 70 μΧ. αιώνα όπου στα Ινδικά μαθηματικά και την αστρονομία δεσπόζει η μορφή του Βραχμαγκούπτα (Brahmagupta). Ο Βραχμαγκούπτα έγραψε πολλές σπουδαίες εργασίες πάνω στα μαθηματικά και την αστρονομία. Το γνωστότερο έργο του είναι το: «Brâhmasphutasiddhânt» που γράφτηκε γύρω στα 628 μ.Χ. Στα 25 κεφάλαια του έργου περιέχονται πολλά πρωτότυπα μαθηματικά αποτελέσματα. Για πολλά χρόνια ήταν επικεφαλής του αστεροσκοπείου της Ujjain, που εκείνη την εποχή ήταν ένα από τα σημαντικότερα αστεροσκοπεία της Ινδίας. Το έργο του ήταν κυρίως αστρονομικής φύσεως (όπως άλλωστε και τα περισσότερα μαθηματικά έργα της περιόδου αυτής). Θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ax

2+bx+c=0, a,b,c

ℝ

ax2

ax2+bx =- c

4a2x2+4abx=-4ac

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

(2ax+b)2=b2-4ac

2ax+b=

b2 4ac

x b b2 4ac

2a

Τον αλγόριθμο αυτό ακολουθούμε και σήμερα. Η ποσότητα b2-4ac είναι μια

χαρακτηριστική αλγεβρική ποσότητα για την συγκεκριμένη εξίσωση και ονομάζεται

διακρίνουσα Δ=b2-4ac.

71

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ- ΣΧΗΜΑ HORNER

Προβλήματα εξισώσεων 2ου βαθμού, όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο εμφανίζονται από την αρχαιότητα. Όσες εξισώσεις απαιτούσαν εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας αρνητικού αριθμού όπως η χ2+1=0, ή οδηγούσαν σε εξισώσεις με αρνητικούς συντελεστές και δε μπορούσαν να μετασχηματιστούν σε εξισώσεις με θετικούς συντελεστές εθεωρούντο αδύνατες. Το 16ο αιώνα ανακαλύφθηκε μέθοδος επίλυσης εξισώσεων 3ου βαθμού που ήταν πρόβλημα άλυτο μέχρι τότε, στην οποία εμφανίστηκαν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών. Μπροστά στον κίνδυνο απόρριψης της μεθόδου, γεννήθηκε η ανάγκη επινόησης ριζών για τις εξισώσεις 2ου βαθμού στις οποίες δεν υπάρχει λύση στους πραγματικούς αριθμούς. Ο Gardano, ήταν ο πρώτος που τόλμησε να δημοσιεύσει υπολογισμούς με τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών στο βιβλίο του Ars Magna (Μεγάλη Τέχνη), το οποίο εκδόθηκε το 1545. Η φήμη του βιβλίου αυτού για πολλές δεκαετίες οφείλεται κατά κύριο λόγο στο γεγονός ότι δημοσιεύεται για πρώτη φορά η γενική μέθοδος επίλυσης εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού. Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζεται ο τρόπος επίλυσης της χ3=px+q με θετικούς συντελεστές που με σύγχρονο συμβολισμό δίνεται από τον τύπο:

Στην περίπτωση που η λύση της εξίσωσης δεν παρουσιάζει πρόβλημα.

Στην περίπτωση όμως που εμφανίζεται στον τύπο η τετραγωνική ρίζα

αρνητικού αριθμού. Εφαρμόζοντας τον τύπο στην εξίσωση το αποτέλεσμα είναι:

Ο Cardano ήξερε ότι δεν υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού και ταυτόχρονα η εξίσωση είχα μια προφανή λύση την . Ο ίδιος χαρακτηρίζει αυτές τις ρίζες των αρνητικών αριθμών «σοφιστικές» και συμπεραίνει ότι το αποτέλεσμα σε αυτή την περίπτωση ήταν μυστηριώδες και άχρηστο (C. Boyer & U. Merzback. Η Ιστορία των Μαθηματικών, σελίδα 320). Στην αρχή του 19ου αι. ανακαλύφθηκαν έξυπνες τεχνικές, προφανώς ανεξάρτητες, για το μετασχηματισμό πολυωνύμων από τρεις μαθηματικούς Ruffini (1804), Budan (1807&1813) και Horner (1819). Αυτές οι τεχνικές συνδυαζόμενες με τα αποτελέσματα του εντοπισμού των ριζών ενός πολυωνύμου, επέτρεψαν στα δεκαδικά ψηφία της ρίζας να καθορίζονται από διαδοχικές προσεγγίσεις, συχνά ψηφίο με ψηφίο, με σημαντική εξοικονόμηση πράξεων. Ίχνη αυτής της μεθόδου εκτίμησης ενός πολυωνύμου χρησιμοποιώντας προσέγγιση, έχουν ήδη βρεθεί σε κείμενο του Newton,ωστόσο, συστηματικές μέθοδοι για την εύρεση, όχι μόνο του σταθερού όρου αλλά και όλων των άλλων συντελεστών ενός μετασχηματισμένου πολυωνύμου Q(x)=P(x+u) δεν εμφανίζονται πριν τις αρχές

72

του 1904. Οι μαθηματικοί του 18ου αιώνα δεν είχαν στην πραγματικότητα πετύχει να βρουν ένα πρακτικό και απλό τρόπο μετασχηματισμού μιας εξίσωσης σε μια δεύτερη εξίσωση, οι ρίζες της οποίας επρόκειτο να είναι απλά μια σταθερά προστιθέμενη σε κάθε μια από τις ρίζες της πρώτης εξίσωσης. Φαίνεται ότι ο Paοlo Ruffini, τουλάχιστον στην Ευρώπη, ήταν ο πρώτος που διαμόρφωσε έναν αλγόριθμο για το μετασχηματισμό των συντελεστών μιας εξίσωσης. Τον ακολούθησε λίγο αργότερα ο Francois Budan. 3.1. Μέθοδος RUFFINI O Paolo Ruffini, ήταν γιατρός και καθηγητής των Μαθηματικών στο Medina, και είναι κυρίως γνωστός για την εργασία του σχετικά με την αδυναμία επίλυσης εξισώσεων 5ου βαθμού. Για να γίνει η ανάγνωση των αποσπασμάτων του Ruffini ευκολότερα, θα κάνω ορισμένες παρατηρήσεις σχετικά με το συμβολισμό που χρησιμοποιείται από τον Ruffini. Η υπό εξέταση εξίσωση είναι:

(Α) +

Εισάγονται οι ακόλουθες ποσότητες: P’=A P”=P’p +B=Ap+B P”’= P”p+C=Ap2 +Bp+C,… P(m+1)= P(m)p + V= Apm+Bp(m-1)+…+Tp+ V Ο συμβολισμός p(k) δεν αντιστοιχεί στην παράγωγο. Ο Ruffini επίσης εισάγει:

, κλπ

και δείχνει ότι:

κλπ

Ο πρώτος τύπος(Α) στο κείμενο είναι ισοδύναμος με τη σειρά Taylor για ένα πολυώνυμο Ζ με βαθμό m

Όπου η παράγωγος Z(k) δίνεται ως

73

P. Ruffini

Sopra la determinazione delle radici nelle equazioni numeriche di qualunque

grado, 1804, Modena.

Opere matematiche, vol. II, Edizioni Cremonese, Rome, 1953, pp. 300-302.

Πρόβλημα 3 Δίνεται x=p+y να προσδιοριστεί μια γρήγορη μέθοδος για το μετασχηματισμό της εξίσωσης (Α) σε μια άλλη με άγνωστο το y. Από τις ιδιότητες των μετασχηματισμών ξέρουμε αν Ζ είναι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (Α) ο επιθυμητός μετασχηματισμός θα επιτυγχάνεται με την τοποθέτηση p στη θέση του x στην εξίσωση

Στη συνέχεια, με την υπόθεση x=p, θα έχουμε Ζ=P(m+1), και έτσι

Συνεπώς αυτές οι ποσότητες P(m+1),Q(m), R(m-1), S(m-2),… είναι απλά οι συντελεστές της εξίσωσης σε y και για το λόγο αυτό η εξίσωση γίνεται

Υπό τις συνθήκες αυτές το μόνο που χρειάζεται για να λυθεί το πρόβλημά μας είναι να καθοριστούν οι ποσότητες P(m+1),Q(m),R(m-1),S(m-2)… Για να γίνει αυτό οι συντελεστές της εξίσωσης( Α )που ορίζονται στο IV με τον ίδιο τρόπο όπως στο i και όλες οι ποσότητες Α,P’’,P’’’… ,P(m+1) καθορίζονται με τον ίδιο τρόπο, τοποθετούμε στη τρίτη γραμμή κάτω από το P’’, το συντελεστή Α πολλαπλασιάζουμε με p, προσθέτουμε το γινόμενο Α*p= Q’*p στο P’’ το οποίο είναι πάνω, και το αποτέλεσμα Q’*p +P’’ που είναι ίσο με Q’’, τίθεται στην τρίτη γραμμή κάτω από το P’’. Αυτό το Q’’ τώρα πολλαπλασιάζεται με p και ο όρος P’’’ προστίθεται σε αυτό και βγάζουν το αποτέλεσμα Q’’*p+P’’’=Q’’’ κάτω από το P(iv). Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο θα πρέπει να λάβουμε κάτω από το P(m+1) το

74

αποτέλεσμα Q(m). Στη τέταρτη γραμμή γράφουμε κάτω από το Q’’ τον όρο Α, με αυτό να πολλαπλασιάζεται με p, προσθέτουμε σε αυτό το Q’’ το οποίο είναι κάτω, και το αποτέλεσμα Α*p+Q’’=R’*p+Q’’=R’’ τίθεται στην ίδια γραμμή κάτω από το Q’’’ R’’ πολλαπλασιάζεται με p και έχοντας Q’’’ το προσθέτω σε αυτό, γράφω το αποτέλεσμα R’’*p+Q’’’=R’’’ κάτω από το Qiv. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο και κάτω από το Q(m) θα εμφανιστεί στην τέταρτη γραμμή η ποσότητα R(m-1). Με τη συνέχιση της διαδικασίας με τον ίδιο τρόπο θα έχουμε στην 5η γραμμή την αλληλουχία των ποσοτήτων Α,S’, S’’, S’’’, …, S(m-2), Στην έκτη σειρά οι ποσότητες Α,T’,T’’,T’’’,…,T(m-3) κοκ. A, B, C, D, E, F, …., V Α, P’’, P’’’, Piv, Pv, … , Pm, P(m+1)

A, Q’’, Q’’’, Qiv,…, Q(m-1), Q(m) ( IV) A, R’’, R’’’,… , R(m-2), R(m-1)

A, S’’,… , S(m-3), S(m-2) A,… , T(m-4), T(m-3) Στην τελευταία κατακόρυφη στήλη, περιέχονται οι τιμές των συντελεστών της εξίσωσης (F), και με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνουμε το μετασχηματισμό της μέσω εργασιών που είναι απλές και εύκολες. Δοθέντος της εξίσωσης:

να μετατραπεί σε άλλη στην οποία y=x-6 H διαδικασία πραγματοποιείται με τον τρόπο που ορίζεται παρακάτω: 6 4 -6 3 -5 -4 8 4 18 111 661 3962 23780 4 42 363 2839 20996 4 66 759 7393 4 90 1299 4 114 4 Και παίρνουμε τη μετασχηματισμένη εξίσωση

Αν θέλουμε να μετατρέψουμε αυτή την εξίσωση σε άλλη με x=y+6 δηλαδή y=x-6

τότε -6

4 114 1299 7393 20996 23780 4 90 759 2839 3962 8 4 66 363 661 -4 4 42 111 -5 4 18 3 4 -6 4

75

Και η μετασχηματισμένη εξίσωση θα είναι

που ήταν η προτεινόμενη αρχική εξίσωση. Ο δεύτερος μετασχηματισμός μπορεί να χρησιμεύσει ως κανόνας για να δούμε αν ο μετασχηματισμός έχει γίνει σωστά. 3.2. Μέθοδος F. Budan Ο Budan ήταν γιατρός και καθηγητής Μαθηματικών στο Nantes, και εργάστηκε για την επίλυση πολυωνύμων. F.-D. Budan Nouvelle M é thode pour la r é solution des é quations num é riques d’un degr é quelconque (A New Method for the solution of numerical equations of whatever degree), Paris: Dondey-Dupre 1822, pp. 99-100. Το κείμενο που ακολουθεί περιέχεται στο παραπάνω έργο του και εξηγεί τη θεωρία του για τις «συνταγματικές ακολουθίες» Άρθρο IV Ένας αλγόριθμος για το μετασχηματισμό ενός πολυωνύμου του x βαθμού n , σε ένα άλλο ισοδύναμο πολυώνυμο του ιδίου βαθμού σε x-u, όπου u είναι θετικός ή αρνητικός ακέραιος ή κλάσμα. Δίνεται η ακολουθία α0…α1… …αn κ.λπ. Υπολογίζουμε μια δεύτερη ακολουθία α0…α1

(1)… …αn(1) κ.λπ.

κατά τέτοιο τρόπο ώστε να έχουμε (ανεξάρτητα της τιμής του n ) αn=αn

(1)-uαn-1(1) όπου u σταθερός

παράγοντας, ή αn

(1)=αn +uαn-1(1)

Ονομάζουμε την πρώτη ακολουθία «αντι-συνταγματική» της δεύτερης, και ο όρος αn

(1) της δεύτερης ακολουθίας θα ονομαστεί «σύνταγμα της πρώτης» από α0 μέχρι αn. Κατά τον υπολογισμό με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε τους όρους της 3ης “συνταγματικής” από τους όρους της 2ης «συνταγματικής», τους όρους της 4ης από τους όρους της 3ης κ.λπ. Οι γενικοί όροι των συνταγματικών διαφορετικής τάξης μπορεί να συμβολιστούν με αn

(1),αn(2),αn

(3)κ.λπ. Η διαδικασία έτσι ώστε να ληφθούν οι συντελεστές ενός πολυωνύμου Pn ως προς (x-u) που είναι ισοδύναμο με ένα πολυώνυμο του ιδίου βαθμού Pn= α0xn+…, του οποίου οι δοσμένοι συντελεστές είναι α0…α1…αn. Γράψε τους συντελεστές σαν να είναι ακολουθία, βάζοντας για συντελεστή το μηδέν, όταν παραλείπεται μια δύναμη του x. Μετά θα είστε σε θέση να λάβετε διαδοχικά την πρώτη «συνταγματική» αυτής της ακολουθίας, μετά τον 2η,3η,4η κ.λπ. «συνταγματική», υπολογίζοντας σε κάθε βήμα έναν όρο λιγότερο. Οι τελευταίοι όροι που εκπροσωπούνται αντίστοιχα από αn

(1),αν-1(2),αn-2

(3),…α1(n) θα είναι οι συντελεστές των (x-u)0,(x-u)1,(x-u)2,…,(x-u)n-1

Ο συντελεστής του (x-u)n θα είναι ίδιος με το συντελεστή του xn o οποίος είναι α0. Η αιτιολόγηση αυτής της διαδικασίας είναι ότι αν πάρουμε μια «συνταγματική» χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε σταθερά modulo u, από τους συντελεστές του

76

πολυωνύμου, το «σύνταγμα» αυτών των συντελεστών θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου με το( x-u) και οι όροι που προηγούνται αυτής του «συντάγματος» θα είναι οι συντελεστές του πηλίκου. Δηλώνοντας Pn το πολυώνυμο και Pn-1 το πηλίκο θα έχουμε

Pn=Pn-1+

Μετά διαιρώντας και τα δυο μέλη της εξίσωσης με x-u θα έχουμε

Pn=Pn-2 + +

Και συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο με διαιρέσεις θα φτάσουμε στο

Pn=α0 +…+

Από το οποίο έχουμε Pn=α0(x-u)n+α1

(n)(x-u)n-1+…+αn-1(2)(x-u)1+αn

(1). Aς θεωρήσουμε το πολυώνυμο 2x3- 3x2+5x-3 και να υπολογίσουμε με τον τρόπο αυτό τους συντελεστές του ισοδύναμου πολυώνυμου (x+1), σημειώνοντας ότι εδώ το modulo u είναι -1 στη σχετική εξίσωση αn

(1)=αn+uαn-1(1)

Συντελεστές: 2 -3 5 -3 Πρώτη συνταγματική 2 -5 10 -13 Δεύτερη συνταγματική 2 -7 17 Τρίτη συνταγματική 2 -9 Τέταρτη συνταγματική 2 Από την οποία το ισοδύναμο πολυώνυμο είναι 2(x+1)3 -9(x+1)2+17(x+1)1-13(x+1)0 3.3.1. HORNER -ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

Γενικά

Ο Horner γεννήθηκε στο Bristol της Αγγλίας το 1786. Ο Horner έγινε γνωστός

κυρίως για τη μέθοδο που χρησιμοποίησε για να λύσει αλγεβρικές εξισώσεις.

Μέθοδος που ήταν ήδη γνωστή και η πατρότητά της αμφισβητήθηκε έντονα.

Πέθανε στο Bath το 1837.

Η ζωή του

Ο πατέρας του William George Horner, ονομαζόταν και αυτός William Horner και

κατάγονταν από την Ιρλανδία. Από το 1770 ταξίδευε σε διάφορα μέρη του κόσμου

κάνοντας κύρηγμα.

Ο William Horner ο μικρότερος, είχε μορφωθεί στο σχολείο Kingwood του Bristol.

Στη σχεδόν απίστευτη ηλικία των 14 ετών έγινε βοηθός καθηγητού στο σχολείο του

Kingwood (το 1800). Τέσσερα χρόνια αργότερα κατέλαβε τη θέση του διευθυντού.

77

Στη συνέχεια το 1809 άφησε το Bristol και ίδρυσε τη δική του σχολή «The seminary»

(ιερατική σχολή).

Το πρόβλημα της πεταλούδας

Αξίζει να σημειωθεί ότι ο Horner έδωσε μια λύση στο πρόβλημα της «πεταλούδας»

το οποίο εμφανίστηκε στην κύρια ατζέντα για το 1815. Το πρόβλημα είναι το

ακόλουθο:

«Έστω Μ μέσο μιας χορδής ενός κύκλου, από το οποίο διέρχονται δύο άλλες χορδές

ΑΒ και CD. Αν η ΑΒ τέμνει PQ στο Χ και η BC τέμνει την PQ στο Y, να αποδειχθεί ότι

το Μ είναι μέσο του ΧΥ».

Από το σχήμα καταλαβαίνουμε από πού πήρε το όνομά του. Δόθηκαν αρκετές

ενδιαφέρουσες λύσεις. Τελικά ο Horner δημοσίευσε τη λύση στο Natural Magic, a

familiar exposition of a forgotten fact in optics (1832).

Zoetrope

Επίσης, το 1834 ο Horner κατοχυρώνει με πατέντα το «Daedatelum» (τροχός του

διαβόλου) ή «Zoetrope» (γύρισμα της ζωής), εξελίσσοντας το φαινακιτοσκόπειο του

Dr Joseph Plateau.

Το Zoetrope ήταν ένα κυλινδρικό παιχνίδι γύρω από το οποίο κάποιος μπορεί να δει

μια εικόνα να κινείται. Το κινούμενο τύμπανο έχει τρύπες στην επιφάνειά του σε

ίσες αποστάσεις και μια σειρά από ακίνητες εικόνες που υπάρχουν στο εσωτερικό,

δείχνουν μια φιγούρα σε βαθμιαία στάδια μιας κίνησης. Όπως το τύμπανο γυρίζει

(γρηγορότερα από 12 εικόνες το δευτερόλεπτο), τα μαύρα πλαίσια των ακίνητων,

εξαφανίζονται και η φιγούρα φαίνεται σαν να κινείται.

78

3.3.2. Εύρεση της τιμής πολυωνύμου –σχήμα HORNER ([28],σελ38-44] Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=p0xn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn βαθμού n ως προς x, με piεR, i=0,1,2,…,n και ξεR και ζητείται η τιμή του πολυωνύμου P(ξ)=p0ξn+p1ξn-1+…+pn-1ξ+pn, για x=ξ. Ο συντομότερος τρόπος υπολογισμού είναι ο εξής: Γράφουμε το P(ξ)=p0ξn+p1ξn-1+…+pn-1ξ+pn στη μορφή P(ξ)=((((p0ξ+p1)ξ +p2)ξ+…+pn-1)ξ +pn), οπότε, βρίσκουμε το συντελεστή q1 κάνοντας έναν πολλαπλασιασμό του q0(=p0) επί το ξ και μια προσθαφαίρεση των όρων p1 και q0ξ, βρίσκουμε το συντελεστή q2 κάνοντας πάλι έναν πολλαπλασιασμό και μια προσθαφαίρεση κ.ο.κ και τέλος βρίσκουμε το συντελεστή qn(=P(ξ)) κάνοντας έναν ακόμα πολλαπλασιασμό και μια προσθαφαίρεση. Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε την τιμή P(ξ) κάνοντας συνολικά n πολλαπλασιασμούς και n προσθαφαιρέσεις. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην παρατήρηση ότι η τιμή P(ξ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) δια του πολυωνύμου (x-ξ). Από τη γνωστή ταυτότητα της διαίρεσης των πολυωνύμων δια του μονωνύμου (x-ξ) έχουμε: P(x)=(x-ξ)Q(x)+r0 (1) Όπου : Q(x)= το πηλίκο r0=το υπόλοιπο Eίναι φανερό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής είναι σταθερός αριθμός και βρίσκεται αμέσως, αν θέσουμε στον τύπο (1) x=ξ: P(ξ)=(ξ-ξ)Q(ξ)+r0=r0 Εάν Q(x) είναι το ζητούμενο πηλίκο, τότε θα είναι βαθμού n-1 : Q(x)=q0xn-1+q1xn-2+…+qn-2x+qn-1 Οπότε, από την (1) θα έχουμε : P(x)=(q0xn-1+q1xn-2+…+qn-2x+qn-2)(x-ξ) +r0 ή P(x)=p0xn+p1xn-1+…+pn-1x+pn=q0xn+(q1-q0ξ)xn-2+…+(qn-1-qn-2ξ)x+r0-ξqn-1 Και εξισώνοντας τους αντίστοιχους συντελεστές έχουμε: q0=p0 q1=p1+q0ξ q2=p2+q1ξ … qn-1 =pn-1+qn-2ξ r0=pn+qn-1ξ Οι παραπάνω τύποι υπολογισμού του πηλίκου και του υπολοίπου μπορούν να γραφτούν σε μορφή αλγορίθμου:

Αλγόριθμος σχήματος Horner Αρχή Υπολόγισε q0=p0 Για i=1..n-1 Υπολόγισε qi=pi+qi-1ξ Υπολόγισε r0=Pξ)=pn+qn-1ξ Τέλος

79

Με τη χρήση των παραπάνω τύπων δημιουργούμε το παρακάτω σχήμα, το οποίο μας επιτρέπει τον άμεσο υπολογισμό των συντελεστών του πηλίκου και του υπολοίπου, το οποίο είναι γνωστό ως σχήμα Ηorner: Σχήμα Horner

p0 p1 …. pn ξ q0ξ …. qn-1ξ q0 q1…… qn=r0=P(ξ)

Παράδειγμα 1ο Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=3x4-2x3-x2+x-1. Να υπολογιστεί το P(2). Απάντηση Κατασκευάζουμε το σχήμα Horner για το P(x): 3 -2 -1 1 -1 2 6 8 14 30 3 4 7 15 29=P(2) Από το οποίο βρίσκουμε Q(x)=3x3+4x2+7x+15 r0=P(2)=29 θεώρημα Όταν το ξ είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x), τότε r0=P(ξ)=0 και το (x-ξ) είναι παράγοντας του P(x). Παράδειγμα 2ο Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=3x4-2x3-x2+x-1 Να υπολογιστεί το πηλίκο και το υπόλοιπο P(1) της διαιρέσεώς του δια του μονωνύμου (x-1). Απάντηση Κατασκευάζουμε το σχήμα Horner για το P(x) 3 -2 -1 1 -1 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0=P(1)

80

Από το οποίο βρίσκουμε : Q(x)=3x3+x2+1 r0=P(1)=0 άρα P(x)=(x-1)(3x3+x2+1) θεώρημα ακεραίων ριζών. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανx

ν+αν-1xν-1+…+ α1x+α0=0 με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ≠0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0. Απόδειξη Αν ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε ανρ

ν+αν-1ρν-1+…+α1ρ+α0=0 ή α0=-ανρν-αν-1ρν-1-…-α1ρ ή α0=ρ(-ανρ

ν-1-αν-1ρν-2-…-α1) Επειδή οι ρ,α1,α2,…,αν είναι ακέραιοι έπεται ότι κι ο –ανρ

ν-1-αν-1ρν-2-…-α1 είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε, ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α0. Αυτό σημαίνει ότι τις ακέραιες ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές τις αναζητούμε μεταξύ των διαιρετών του σταθερού όρου. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner εξετάζω αν κάποιος από τους διαιρέτες του σταθερού όρου είναι ρίζα. Για να χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω θεώρημα πρέπει το πολυώνυμο P(x) να έχει ακέραιους συντελεστές και να είναι α0≠0. Αν η εξίσωση P(x)=0 έχει ρητούς συντελεστές πολλαπλασιάζω την εξίσωση με το Ε.Κ.Π των παρανομαστών των συντελεστών και στην καινούρια ισοδύναμη εξίσωση εφαρμόζω το θεώρημα των ακεραίων ριζών. 3.3.3. Υπολογισμός τιμής παραγώγου πολυωνύμου σε κάποιο σημείο. Αν παραγωγίσουμε τη σχέση (1) θα έχουμε: P΄(x)=(x-ξ)Q(x)+(x-ξ)Q΄(x)+r0΄=Q(x)+(x-ξ)Q΄(x) και P΄(ξ)=Q(ξ)+(ξ-ξ)Q΄(ξ)=Q(ξ) Δηλαδή η τιμή της παραγώγου του πολυωνύμου P(x) στο x=ξ ισούται με την τιμή

του πολυωνύμου Q(x) στο x=ξ, η οποία μπορεί να υπολογιστεί με το σχήμα Horner

Q(x)=(x-ξ)C(x)+r1 Όπου C(x)=c0xn-2+c1xn-3+…+cn-3x+cn-2 q0 q1 … qn-1 ξ c0ξ cn-2ξ c0 c1 … cn-1=r1=Q(ξ)=P΄(ξ)

81

Παράδειγμα Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=3x4-2x3-x2+x-1. Να βρεθεί με το σχήμα Horner η τιμή της παραγώγου του στο σημείο ξ=1. Απάντηση Εφαρμόζουμε δυο φορές το σχήμα Horner για το P(x) και το Q(x), οπότε έχουμε: 3 -2 -1 1 -1 1 3 1 0 1 3 1 0 1 0=P(1) 1 3 4 4 3 4 4 5=P’(1) 3.3.4. Υπολογισμός των τιμών όλων των παραγώγων πολυωνύμου σε κάποιο σημείο. Για την εύρεση των τιμών όλων των παραγώγων του πολυωνύμου P(x)=p0xn+p1xn-1+…+pn-1x+pn (pn≠0) στο σημείο x=ξ εργαζόμαστε ως εξής: Καταρχήν από το θεώρημα του Taylor έχουμε:

P(x)=P(ξ) + P΄(ξ)+ P΄΄(ξ)+…+ P(n)(ξ) (2)

Εφαρμόζοντας διαδοχικά την ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) δια του (x-ξ) και στη συνέχεια των διαδοχικών πηλίκων δια (x-ξ) θα έχουμε: P(x)=(x-ξ)Q1(x)+r1 Q1(x)=(x-ξ)Q2(x)+r2 Q2(x)=(x-ξ)Q3(x)+ r3 . . . Q n-1(x)=(x-ξ)Qn(x) +rn-1

Qn(x)=(x-ξ).0 +rn Από τις παραπάνω σχέσεις με διαδοχικές αντικαταστάσεις έχουμε: P(x)=(x-ξ)Q1(x)+r0=(x-ξ)((x-ξ)Q2(x)+r1)+r0=(x-ξ)2Q2(x)+(x-ξ)r1+r0=…= =(x-ξ)nrn+(x-ξ)n-1rn-1+…+(x-ξ)r1+r0 (3) Εξισώνοντας τώρα τους συντελεστές των ίδιων δυνάμεων του (x-ξ) στα δυο αναπτύγματα των δεξιών μελών των σχέσεων (2) και (3) θα έχουμε: r0=P(ξ)

r1=

r2=

…..

rn= .

82

Από τις παραπάνω σχέσεις και από το γεγονός ότι οι συντελεστές rk με k=0,1,…,n είναι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων των πολυωνύμων Qk(x) δια του μονωνύμου (x-ξ) δηλαδή οι τιμές Qk(ξ), συμπεραίνεται ότι με επανειλημμένες εφαρμογές του σχήματος Horner είναι δυνατόν να βρούμε τόσο την τιμή του πολυωνύμου όσο και των παραγώγων του σε κάποιο σημείο x=ξ. Παράδειγμα 1ο Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=3x4-2x3-x2+x-1. Να βρεθεί με το σχήμα Horner η τιμή όλων των παραγώγων του στο σημείο ξ=1. Απάντηση Εφαρμόζουμε όσες φορές χρειάζεται το σχήμα Horner για τα P(x) και Qk(x), k=0,1,2,…,n Έχουμε: 1

3

-2 3

-1 1

1 0

-1 1

1

3

1 3

0 4

1 4

0=r0

1

3

4 3

4 7

5=r1

1

3 7 3

11=r2

1

3 10=r3

3=r4 Εφαρμόζοντας τον τύπο P(k)(ξ)=k!rk για κ=0,1,2,3,4 βρίσκουμε P(1)=0!r0=1*0=0 P΄(1)=1!r1=1*5=5 P΄΄(1)=2!r2=2*11=22 P΄΄΄(1)=3!r3=6*10=60 P(4)(1)=4!r4=24*3=72 Σημείωση : ο αστερίσκος (*) δηλώνει πολλαπλασιασμό. Παράδειγμα 2ο Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=3x2-4x+5. Με επανειλημμένες εφαρμογές του σχήματος Horner να γραφτεί με τη μορφή P(x)=α+β(x-2)+γ(x-2)2. Απάντηση Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Taylor με ξ=2 το πολυώνυμο που δόθηκε μπορεί να γραφτεί ως εξής:

P(x)=3x2-4x+5=P(2)+ P΄(2)+ P΄΄(2)

83

Όμως ισχύει P(k)(ξ)=k!rk , k=0,1,2 Οπότε θα έχουμε τελικά : P(x)=r0+r1(x-2)+r2(x-2)2 Επομένως α=r0, β=r1, γ=r2 εφαρμόζουμε όσες φορές χρειάζεται το σχήμα Horner για τα P(x) και Qk(x) και έχουμε: 2

3 -4 6

5 4

2

3 2 6

9= r0

3 8=r1

3=r2

Οπότε το πολυώνυμο που δόθηκε μπορεί να γραφτεί ως εξής: P(x)=3x2-4x+5=r0+r1(x-2)+r2(x-2)2=9+8(x-2)+3(x-2)2 Ενώ η τιμή του πολυωνύμου και των παραγώγων του στο σημείο x=ξ θα είναι: P(2)=0!r0=1*9=9 P΄(2)=1!r1=1*8=8 P΄΄(2)=2!r2=2*3=6 3.3.5. Επέκταση της διαίρεσης με το διώνυμο xk-α

▪ Με την εργασία που ακολουθεί προτείνεται μια σύντομη μέθοδος διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x)=ανx

ν+….+α1x +α0 με το διώνυμο xk-α.[27] Παράδειγμα 1ο (2x4-3x3+5x2-6x+2):(x2-2) 2 -3 5 -6 2 2 4 -6 18 2 -3 9 -12 20 Π(x)=2x2-3x+9 υ(x)=-12x+20

84

Παράδειγμα 2ο (x7+2x4-8x3+5x2-4x+2):(x3+2) 1 0 0 2 -8 5 -4 2 -2 -2 0 0 0 16 …………………………………………… 1 0 0 0 -8 5 -4 18 Π(x)=x4-8 υ(x)=5x2-4x+18 Παράδειγμα 3ο (x102+x2+x+1):(x4-1) 1 0 0 0 0 0 0 0 …. 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 …. 1 0 0 0 1 0 0 ………………………………………………………………………………………… 1 0 0 0 1 0 0 0 …. 1 0 0 0 2 1 1 Π(x)=x98+x94+x90+…+x2 υ(x)=2x2+x+1

▪ Εφαρμογή στη λύση εξισώσεων Να λυθεί η εξίσωση x4-x3+6x2-5x+5=0 Λύση Υποθέτουμε ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντα μορφής x2-α. Τότε έχουμε : 1 -1 6 -5 5 α α -α 6α +α2 1 -1 6+α -5-α α2+6α +5 υ(x)=(-5-α)x+α2+6α +5 άρα πρέπει -5-α=0 και α2+6α+5=0 δηλαδή α=-5 συνεπώς έχουμε : 1 -1 6 -5 5 -5 -5 5 -5 1 -1 1 0 0 Επομένως η δοθείσα γίνεται (x2-5)(x2-x+1)=0

Οπότε ρίζες της πρώτης είναι : i

Και της δεύτερης είναι :

85

3.3.6. Μέθοδος Newton-Rapson Στην περίπτωση των αλγεβρικών εξισώσεων η μέθοδος N-R μπορεί να αξιοποιηθεί για τον υπολογισμό κάθε ρίζας (πραγματικής ή φανταστικής ) της εξίσωσης, με βέλτιστο τρόπο υπολογισμού των τιμών της συνάρτησης και των παραγώγων αυτής πάσης τάξεως, με εφαρμογή σχημάτων Horner.([24], σελ55) Ι. Περίπτωση πραγματικής ρίζας Ας υποθέσουμε την γενική μορφή της αλγεβρικής εξισώσεως κ-βαθμού: P(x)=ακx

k+ακ-1xk-1+…+ α1x+α0=0 (1) Και την εφαρμογή του κλασσικού σχήματος N-R :

Xn+1=xn- , n=0,1,2,… και x0 δοσμένο. (2)

Η γραφή του Pk(x) στη μορφή Horner : Pk(x)=α0+x(α1+x[α2+x{α3+…+x(ακ-1+ακx)…}]) (3) Καθιστά τον υπολογισμό του Pk(x) βέλτιστο με κ το πολύ πολλαπλασιασμούς και κ το πολύ προσθέσεις. Έτσι για x=x0 η (3) μπορεί να υλοποιηθεί με τον αλγόριθμο: (4) Pk(x) ακ ακ-1 ακ-2 …… α2 α1 α0 + + + + + x=x0 x0βκ x0βκ-1 ……. x0β3 x0β2 x0β1 Pk

(1)(x) βκ βκ-1 βκ-2 ……. β2 β1 β0=Pk(x0) Προφανώς στις σχέσεις (4) οι συντελεστές βκ,βκ-1,…,β2,β1 δίνουν τις εντός των παρενθέσεων εκφράσεις της (3) ενώ ο βκ=ακ και ο β0=Pk(x0) Τέλος εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι: Pk(x)=(x-x0)Pk

(1)(x)+β0 (5) Με Pk

(1)=βκxk-1+ βκ-1xk-2+…+β2x+β1 (6)

Αρκεί να εκτελεστούν οι πράξεις στο δεξιό μέλος της (5) και να εξισωθούν οι συντελεστές των ομοίων δυνάμεων. Εξάλλου, με παραγώγιση της (5), συνάγεται εύκολα η σχέση: Pκ΄(x0)=Pk

(1)(x0) (7) που σημαίνει ότι στην (2) ο αριθμητής και ο παρανομαστής του κλάσματος μπορούν να υπολογιστούν με δυο συνεχείς εφαρμογές του σχήματος Horner για τον υπολογισμό των τιμών Pk(xn) και P’k(xn), πράγμα που απλοποιεί την όλη διαδικασία. ΙΙ. Η περίπτωση μιγαδικού ζεύγους ριζών Το σχήμα N-R (2) μπορεί και πάλι να εφαρμοστεί, αρκεί η αρχική τιμή x0 να είναι μιγαδικός αριθμός πχ: x0=α+βi (8), οπότε παρουσιάζεται η ανάγκη υπολογισμού τιμών πολυωνύμων για μιγαδική ανεξάρτητη μεταβλητή. Μια τροποποίηση του σχήματος Horner μπορεί να αξιοποιηθεί για την απλοποίηση των πράξεων και την αποφυγή μιγαδικής αριθμητικής. Η τροποποίηση συνίσταται στη χρήση του

86

τριωνύμου που έχει ως ρίζες τις α+βi,α-βi, δηλαδή υπολογίζουμε το άθροισμα και το γινόμενό τους : κ=(α+βi)+(α-βi)=2α -λ=(α+βi)(α-βi)=α2+β2 Οπότε το τριώνυμο θα είναι το: x2-κx-λ, ενώ το Pk(x) μπορεί να γραφτεί ως εξής(π.χ. ταυτότητα της διαίρεσης): Pk(x)=(x2-κx-λ)Pk

(2)(x)+Ax+B (9) Με Pk

(2)(x)=Bkxk-2+Bk-1xk-3+….+B3 x+B2

Στο πολυώνυμο Φ(x)=2x5-3x2-6x-1, ζητείται να υπολογιστούν με βέλτιστο τρόπο οι τιμές: Φ(1+2i) και Φ(1-2i). Απάντηση Προφανώς θα κάνουμε χρήση του σχήματος Horner για μιγαδικούς, οπότε σύμφωνα με τα προηγούμενα βρίσκουμε άθροισμα κ=2 και γινόμενο –λ=5, καθώς και τη σχετική διάταξη του σχήματος Horner για μιγαδική τιμή: P(x) : 2 0 0 -3 -6 -1 κ=2 : 4 8 -4 -54 -100 λ=-5 : -10 20 10 135 ………………………………………………………………………………. P2(x) : 2 4 -2 -27 -50 34 Άρα: Α=-50 και Β=34-2(-50)=134, οπότε P(1+2i)=-50(1+2i)+134=84-100i, και για τη συζυγή τιμή θα έχουμε P(1-2i)=84+100i 3.3.7. Αναπαράσταση ακεραίων [25] Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αναπαράστασης αριθμών. Η βάση είναι το 10 και τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Κάθε αριθμός όμως μπορεί να γραφτεί ως προς οποιαδήποτε βάση. Αυστηρά γράφουμε : ±(αΝαΝ-1 αΝ-2…α1α0.α-1α-2 α-3…)β όπου ο≤αi≤β-1 , i=-∞,…,N Ακέραιο μέρος = =α0+α1β+α2β2+…αΝβΝ Κλασματικό μέρος = = α-1β-1+α-2β-2+…+ Επομένως ο αριθμός μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(αΝαΝ-1….α1α0.α-1α-2 α-3….)= όπου 0≤ακ≤β-1 , κ=-∞,…,Ν Ι. Μετατροπή ακεραίου Α από βάση β σε βάση 10

Έστω ο ακέραιος Α=Α(β)=(αnαn-1…α1α0)β= Υπολογισμός της ποσότητας Α(β)=α0+α1β+α2β2+…+αΝβΝ. Ο βέλτιστος τρόπος υπολογισμού δίνεται με τον αλγόριθμο Horner που υπολογίζει την τιμή ενός πολυωνύμου σε ένα σημείο β. Α(β)=α0+β(α1+β(α2+…β(αΝ-1+αΝβ))…)

87

Αλγόριθμος HORNER Εισαγωγή : συντελεστές α0,α1,…,αΝ-1, αΝ του p(x)=αΝxN+…+α1x+α0, ακέραιος β>1 Έξοδος :βΝ:αΝ; Για i=N-1 με βήμα -1 έως 0 κάνε βi:=αi +βi-1*β; τέλος

ΙΙ. Μετατροπή ακεραίου από βάση 10 σε βάση β

Πρώτα εκφράζουμε τον αριθμό στο νέο σύστημα: x=(αΝ…α2α1α0)β= = =αΝβΝ+αΝ-1βΝ-1+…+α1β+α0 Στη συνέχεια τον εκφράζουμε σύμφωνα με το σχήμα Horner: x=β…(β(β(αΝβ+αΝ-1)+αΝ-2)+αΝ-3)+…+α0 Αν διαιρέσουμε τον παραπάνω αριθμό με «β», το υπόλοιπο είναι το α0. Αν τον νέο αριθμό που προκύψει τον διαιρέσουμε με «β», το υπόλοιπο είναι το α1. Συνεχίζουμε μέχρι να φτάσουμε σε ένα αποτέλεσμα διαίρεσης το οποίο να είναι αριθμός μικρότερος του «β» ο οποίος είναι το ψηφίο αΝ. Παράδειγμα Θέλουμε να εκφράσουμε τον αριθμό 209 10 στο σύστημα με β=4. Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1)Διαιρούμε τον αριθμό με το 4. Το ακέραιο μέρος του αποτελέσματος είναι 52 και το υπόλοιπο 1, επομένως α0=1 2)Διαιρούμε το 52 με το 4 οπότε έχουμε ως αποτέλεσμα 13 και υπόλοιπο 0, άρα α1=0 3)Διαιρούμε το 13 με το 4 οπότε έχουμε ως αποτέλεσμα 3 και υπόλοιπο 1, επομένως α2=1. Επιπλέον εφόσον το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι 3<β=4, άρα αυτό είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού στο νέο σύστημα δηλ. α3=3 Συνολικά 20910=(α3α2α1α0)4=31014

88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ορισμός: Τα μαγικά τετράγωνα είναι δισδιάστατοι πίνακες (nxn) που περιέχουν

τους αριθμούς 1,2,3,...,n2 σαν στοιχεία τους, τοποθετημένους κατά τέτοιον τρόπο

ώστε το άθροισμα M(n) οποιαδήποτε στήλης, γραμμής ή διαγωνίου να είναι

σταθερό και ίσο προς . Ο αριθμός Μ(n) καλείται μαγικός αριθμός.

2 7 6 → 15

9 5 1 → 15

4 3 8 → 15

↙

15

↓

15

↓

15

↓

15

↘

15

3x3 Μαγικό τετράγωνο με Μ=15(Yang-Hui) σελ90

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

4x4 Μαγικό τετράγωνο με Μ=34 (Albrecht Dürer) σελ124

Συνολικά υπάρχουν 880 διαφορετικά μαγικά τετράγωνα για n=4. Δεν

συμπεριλαμβάνονται τετράγωνα που προκύπτουνε από περιστροφές ή

αντανακλάσεις.

Αριθμός μαγικών τετραγώνων

Για n =1,...,5: 1,0,1,880,275305224

Για n μεγαλύτερο από 5 ο ακριβής αριθμός των μαγικών τετραγώνων δεν είναι

γνωστός.

89

Για n=6 ο αριθμός των μαγικών τετραγώνων είναι περίπου 1.7745×1019.

Για n=3,4,5,.... τότε M(n): 15,34,65,111,175,260, …

Ιδιότητες μαγικών τετραγώνων

(α) Ένα μαγικό τετράγωνο παραμένει μαγικό αν τυχαίος αριθμός προστεθεί ή

πολλαπλασιαστεί σε όλους τους αριθμούς του. Η νέα σταθερά Μ του τετραγώνου

ισούται με Μ+3α όπου α ο αριθμός που έχει προστεθεί.

Στο παράδειγμα μας έχει προστεθεί το 2.

(β) Αν οι γραμμές ή στήλες που ισαπέχουν από την κεντρική γραμμή ή στήλη

αλληλο-αντικατασταθούν το τετράγωνο παραμένει μαγικό.

(γ) Αν διαγώνια τετράγωνα εναλλαγούν, το τετράγωνο παραμένει μαγικό.

4.2. Σύντομη ιστορία των μαγικών τετραγώνων.

Κανείς δε γνωρίζει την προέλευση των μαγικών τετραγώνων. Η κατασκευή τους σε

παλαιότερες εποχές αποτελούσε ενδιαφέρουσα απασχόληση για ανήσυχους

ανθρώπους. Από τότε που οι άνθρωποι απέδωσαν μαγικές ιδιότητες σε μερικούς

αριθμούς, ήταν πολύ φυσικό να προσδοθούν μαγικές ιδιότητες και σε αυτά.

Καμωμένο το μαγικό τετράγωνο από ασήμι και κρεμασμένο στο λαιμό σε

προφύλασσε από την πανώλη, πίστευαν μερικές φυλές. Στην Ινδία το φορούσαν

ως φυλαχτό για προφύλαξη από σοβαρές ασθένειες. Αρχαίοι πέρσες μάγοι οι

2 7 6

9 5 1

4 3 8

4 9 8

11 7 3

6 5 10

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

90

οποίοι ειδικεύονταν και στην ιατρική υποστήριζαν ότι θεράπευαν ασθένειες με

μαγικά τετράγωνα ακολουθώντας τον ιερό κανόνα “Primum, non nocere” (πρώτον,

να μη βλάπτεις).

Τα μαγικά τετράγωνα ήταν γνωστά στους κινέζους από 2200π.Χ. Ένας κινέζικος

μύθος ισχυρίζεται πως καθώς ο κινέζος αυτοκράτορας Yu περπατούσε κατά μήκος

του Κίτρινου Ποταμού, παρατήρησε μια χελώνα με ένα ξεχωριστό διάγραμμα στο

καβούκι της. Ο αυτοκράτορας αποφάσισε να ονομάσει το ασυνήθιστο αυτό

αριθμητικό μοτίβο LOSHU. ([2], σελ55)

Ωστόσο, το πρώτο μαγικό τετράγωνο που έχει καταγραφεί εμφανίστηκε στο βιβλίο

του πρώτου αιώνα D a - D a i L i j i .

Τα μαγικά τετράγωνα στην Κίνα χρησιμοποιήθηκαν σε διάφορα πεδία έρευνας,

συμπεριλαμβανομένων της αστρολογίας, της μαντείας, της μαγείας, της

κατανόησης φυσικών φαινομένων και της ανθρώπινης συμπεριφοράς.

Επίσης τα μαγικά τετράγωνα διείσδυσαν και σε άλλους τομείς της κινέζικης

κουλτούρας. Για παράδειγμα, πολλά πορσελάνινα πιάτα που βρίσκουμε σε μουσεία

και ιδιωτικές συλλογές, είναι διακοσμημένα με αραβικές επιγραφές και μαγικά

τετράγωνα. Το πιο πιθανό είναι πως τα μαγικά τετράγωνα μεταφέρθηκαν από την

Κίνα στην Ινδία και μετά στις αραβικές χώρες. Από τις αραβικές χώρες ταξίδεψαν ως

την Ευρώπη και την Ιαπωνία. Στην Ινδία τα μαγικά τετράγωνα χρησιμοποιήθηκαν

και για άλλους σκοπούς πέρα από την διάδοση της μαθηματικής γνώσης.

Παραδείγματος χάριν, ο Varahamihira: χρησιμοποίησε ένα τέταρτης τάξης μαγικό

91

τετράγωνο για να καθορίσει συνταγές αρωμάτων στο βιβλίο του Brhatsamhita (550

μ.Χ.). Το παλιότερο χρονολογημένο τρίτης τάξης μαγικό τετράγωνο στην Ινδία

εμφανίζεται στο ιατρικό έργο Siddhayoga (900 μ.Χ.) του Vrnda, σαν μέσο

διευκόλυνσης της γέννας.

Λίγα είναι γνωστά για την έναρξη της έρευνας των μαγικών τετραγώνων στα

ισλαμικά μαθηματικά. Πραγματείες του ένατου και δέκατου αιώνα αποκαλύπτουν

πως οι μαθηματικές ιδιότητες των μαγικών τετραγώνων είχαν ήδη αναπτυχθεί στις

περιοχές που αργότερα έγιναν ισλαμικά αραβόφωνα έθνη. Επίσης, η ιστορία δείχνει

πως η εισαγωγή των μαγικών τετραγώνων ήταν εξολοκλήρου μαθηματική και όχι

μαγική. Η αρχαία αραβική επιγραφή για τα μαγικά τετράγωνα, «wafqaladad»

σημαίνει ‘αρμονική διάταξη των αριθμών’. Αργότερα, κατά τη διάρκεια του

ενδέκατου και δωδέκατου αιώνα οι ισλαμιστές μαθηματικοί έκαναν ένα μεγάλο

βήμα μπροστά, με την πρόταση μιας σειράς από απλούς κανόνες για τη δημιουργία

μαγικών τετραγώνων.

Στο Ισλάμ ο αριθμός 66 αντιστοιχεί στην αριθμητική αξία της λέξης Allah. Στο

ισλαμικό μαγικό τετράγωνο του παρακάτω σχήματος, που εκφράζει τον αριθμό 66

σε κάθε κατεύθυνση, όταν τα γράμματα μετατραπούν σε αριθμούς, το πλέγμα του

τετραγώνου είναι διαμορφωμένο από τα γράμματα της λέξης Allah .

Ο 13ος αιώνας ήταν μάρτυρας μιας αναγέννησης των μαγικών τετραγώνων που

απέκτησε άμεση σχέση με τη μαγεία και τη μαντεία. Αυτή η ιδέα φαίνεται στα

ακόλουθα λόγια του Camman, που μιλάει για την πνευματική σημασία των μαγικών

τετραγώνων: «Αν τα μαγικά τετράγωνα ήταν γενικά, μικρά μοντέλα του σύμπαντος,

τώρα θα μπορούσαν να ειδωθούν σαν συμβολικές αναπαραστάσεις της ζωής, σε

μια διαδικασία συνεχούς ροής, συνεχώς ανανεώσιμες μέσω της επαφής με μια

92

θεϊκή πηγή στο κέντρο του κόσμου». Αρκετό ενδιαφέρον στα μαγικά τετράγωνα

παρουσιάστηκε στη δυτική Αφρική. Τα μαγικά τετράγωνα ήταν συνυφασμένα με

όλο τον πολιτισμό της δυτικής Αφρικής. Τα τετράγωνα είχαν ιδιαίτερα σημαντική

πνευματική σημασία και αποτυπωνόταν σε ρούχα, μάσκες και θρησκευτικά

είδωλα.

Στις αρχές του 18 ου αιώνα ο Muhammad, ένας γνωστός αστρονόμος μαθηματικός,

μυστικιστής και αστρολόγος στη μουσουλμανική δυτική Αφρική άρχισε να

ασχολείται με τα μαγικά τετράγωνα. Σε ένα από τα χειρόγραφά του, έδωσε

παραδείγματα και εξήγησε πώς να δημιουργεί κανείς περιττής τάξης μαγικά

τετράγωνα.

Κατά τη διάρκεια του 15ου αιώνα: Εμμανουήλ Μοσχόπουλος (1260-1316).

Βυζαντινός λόγιος, γραμματικός και σχολιαστής που γεννήθηκε στην Κρήτη. Τα έργα

του διακρίνονται σε φιλολογικά, θεολογικά και μαθηματικά. Η γραμματική του και

το Ελληνικό Λεξικό του, μαζί με τις μεταφράσεις του Πλανούδη, υπήρξαν προσφιλή

βοηθήματα στην Δύση για την εκμάθηση των ελληνικών. Στα μαθηματικά έργα του,

περιλαμβάνονται η διαμόρφωση των Αριθμητικών του Πλανούδη και ο σχολιασμός

της εκδόσεις του Διόφαντου του ιδίου. Έγραψε επίσης την «Παράδοσιν εις την

εύρεσιν των τετραγώνων αριθμών», των γνωστών μέχρι σήμερα στους

μαθηματικούς μαγικών τετραγώνων. Σκοπός του έργου του είναι η διατύπωση για

πρώτη φορά κανόνων κατασκευής μαγικών τετραγώνων διαφόρων τάξεων,

διατηρώντας τον όρο μαγικό μόνο στον τίτλο χωρίς να αποδίδει πουθενά μαγικές

ιδιότητες σε αυτά.

Στη συνέχεια πολλοί ασχολήθηκαν με αυτά μεταξύ των οποίων διάσημοι

μαθηματικοί όπως οι Bachet, Euler, Fermat.

Οι πρώτες αποδείξεις εμφάνισης των μαγικών τετραγώνων σε έντυπα κείμενα στην

Ευρώπη αποκαλύφθηκαν σε μια διάσημη γκραβούρα του γερμανού καλλιτέχνη

Albrecht Dürer. Το 1514 ενσωμάτωσε ένα μαγικό τετράγωνο στην γκραβούρα του

MelencoliaI, στην πάνω δεξιά γωνία.(σελ124)

Ο ChenDawei ξεκίνησε την έρευνα των μαγικών τετραγώνων στην Ιαπωνία με την

εισαγωγή του βιβλίου του Suanfatongzog που δημοσιεύτηκε το 1592. Κατά τη

διάρκεια του 17ου αιώνα μεγάλη προσοχή δόθηκε στη σπουδή των μαγικών

93

τετραγώνων. Στα 1687 ένας γάλλος αριστοκράτης, ο Antoinedela Loubere μελέτησε

τη μαθηματική θεωρία της δημιουργίας των μαγικών τετραγώνων. Στα 1686, ο

Adamas Kochansky επέκτεινε τα μαγικά τετράγωνα στις τρεις διαστάσεις. Στα τέλη

του 19ου αιώνα οι μαθηματικοί εφάρμοσαν τα τετράγωνα σε προβλήματα, στις

πιθανότητες και στην ανάλυση. Στις μέρες μας τα μαγικά τετράγωνα μελετώνται σε

σχέση με την παραγοντική ανάλυση, συνδυαστικά μαθηματικά, μήτρες, ρυθμιστική

αριθμητική και γεωμετρία. Η μαγεία ωστόσο παραμένει ….

4.3 ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Υπολογισμός της μαγικής σταθεράς Μ σε ένα μαγικό τετράγωνο τάξης n.

Βρίσκω πρώτα το άθροισμα από το 1 ως το n2 ως άθροισμα όρων

αριθμητικής προόδου με διαφορά ω=1.

S=

Για να έχουμε n γραμμές με το ίδιο άθροισμα πρέπει ο μαγικός αριθμός να

είναι Μ= .

Άρα Μ=

Υπάρχουν δυο διαφορετικοί μέθοδοι κατασκευής μαγικών τετραγώνων περιττής

και άρτιας τάξης. Ενιαία μέθοδος κατασκευής εξ όσων είναι γνωστό δεν υπάρχει.

4.3.1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΑΓΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

4.3.1 Α. Μέθοδος δημιουργίας μαγικών τετραγώνων του Pheru.

Η πρώτη γνωστή μαθηματική χρήση των μαγικών τετραγώνων στην Ινδία ήταν αυτή

του Thakkura στο έργο του Ganitasara (1315 μ.Χ). Ο Pheru ανακάλυψε μια μέθοδο

δημιουργίας περιττών μαγικών τετραγώνων, δηλαδή τετραγώνων στα οποία ο ν

94

είναι ένας περιττός ακέραιος. Ξεκίνησε τοποθετώντας τον αριθμό 1 στο τελευταίο

κελί της κεντρικής στήλης (βλέπε εικ. 1). Για το επόμενο κελί πάνω από αυτό,

προσθέτοντας ν+1, παίρνεις ν+2. Για το επόμενο κελί πάνω από το ν+2,

προσθέτοντας ν+1 ξανά, παίρνεις 2ν+3. Συνεχίζοντας να προσθέτεις με αυτόν τον

τρόπο έτσι ώστε να συμπληρώσεις όλη την κεντρική στήλη, έχεις ως αποτέλεσμα

μια αριθμητική πρόοδο με την κοινή διαφορά του ν+1. Συνέχισε να προσθέτει ν+1

μέχρις ότου να φτάσει το κορυφαίο κελί της κεντρικής στήλης το οποίο έχει τιμή ν2

ν2

.

.

5ν+6

4ν+5

3ν+4

2ν+3

ν+2

1

Εικόνα 1

Τα υπόλοιπα κελιά του τετραγώνου συμπληρώνονται ξεκινώντας από τους

αριθμούς στην κεντρική στήλη. Η εικ. 2 δείχνει τη μέθοδο του Pheru. Έστω ότι

φτιάχνουμε ένα 9x9 μαγικό τετράγωνο, δηλαδή ν=9. Διάλεξε έναν αριθμό στην

κεντρική στήλη, για παράδειγμα το 1, και πρόσθεσε ν στο 1. Στο δικό μας

παράδειγμα που ισχύει ν=9, έχουμε 9+1=10. Στη συνέχεια ξεκινώντας από το 1

μετακινήσου ένα κελί αριστερά και δύο κελιά πάνω. Σε αυτό το κελί τοποθέτησε το

10. Από αυτό το κελί επανέλαβε την ίδια διαδικασία, πρόσθεσε 10+9 και παίρνεις

19. Μετακινήσου πάλι ένα κελί αριστερά και δύο πάνω και τοποθέτησε το 19.

Συνέχισε αυτή τη διαδικασία ώσπου να φτάσεις στο κελί με τιμή 37. Πρόσθεσε 9 και

ξανά μέσω της ίδιας κίνησης τοποθέτησε 46 έξω από το αρχικό 9x9 μαγικό

τετράγωνο. Για να ξεπεράσεις αυτό το πρόβλημα (δηλαδή το γεγονός ότι βρίσκεσαι

εκτός του αρχικού τετραγώνου), φτιάξε και άλλα 9x9 τετράγωνα σε κάθε πλευρά και

95

γωνία του αρχικού τετραγώνου. Παρατηρούμε ότι το κελί με τον αριθμό 46

βρίσκεται στο τετράγωνο πάνω και αριστερά από το αρχικό.

Απλά μετακίνησε τον αριθμό 46 στο αντίστοιχο κελί του αρχικού τετραγώνου.

46 57 68 79 90 22 33 44

45 47 58 69 80 12 23 34

35 37 48 59 70 81 2 13 24 35

25 36 38 49 60 71 73 3 14 25

15 26 28 39 50 61 72 74 4 15

86 16 27 39 40 51 62 64 75 5

76 6 17 19 30 41 52 63 65 76

66 77 7 18 20 31 42 53 55 56

56 67 78 8 10 21 32 43 54 56

57 68 79 9 11 22 33 44 46

47 58 69 80 1 12 23 34 45

Εικόνα 2.

Ένα περιττής τάξης μαγικό τετράγωνο με μαγικό στοιχείο 369 συμπληρωμένο με τη

μέθοδο του Pheru. Όταν φτάσεις σε έναν αριθμό που ξεπερνά το 81 (δηλαδή το ν2

που στο παράδειγμα μας είναι 92=81) απλά αφαίρεσε 81 από τον αριθμό. Ένα

παράδειγμα φαίνεται στον αριθμό 77 στην εικ.2. Προσθέτοντας 9 και

πραγματοποιώντας την γνωστή διαδικασία, ένα κελί αριστερά και δύο πάνω,

καταλήγουμε στον αριθμό 86 σε ένα κελί έξω από το αρχικό τετράγωνο με

αριθμητική τιμή μεγαλύτερη του 81. Αφαιρώντας 81 από την τιμή 86 παίρνουμε 5

και στη συνέχεια τοποθετούμε αυτή την τιμή στο αντίστοιχο κελί του αρχικού

τετραγώνου. Αν συνεχίσεις να ακολουθείς αυτές τις οδηγίες που έδωσε ο Pheru, θα

δημιουργήσεις ένα 9x9 μαγικό τετράγωνο με μαγικό στοιχείο το 369. Συνοψίζοντας,

αφού βρεις την κεντρική στήλη για να δημιουργήσεις τα υπόλοιπα κελιά

96

μετακινήσου ένα κελί στα αριστερά και δύο πάνω αυξάνοντας την αριθμητική τιμή

κατά ν. Όταν αυτή η κίνηση δίνει έναν αριθμό έξω από το αρχικό τετράγωνο,

μετακίνησε τον αριθμό στο αντίστοιχο καλό μέσα στο αρχικό τετράγωνο. Όταν μια

αριθμητική τιμή ξεπερνά την τιμή ν2, αφαίρεσε ν2 από την τιμή αυτή.

4.3.1 Β. Μέθοδος La Loubere

De La Loubere: Γάλλος διπλωμάτης, συγγραφέας, μαθηματικός και ποιητής (1642-

1729). Από την Ταϋλάνδη έφερε μια μέθοδο κατασκευής περιττής τάξης μαγικών

τετραγώνων. ([13], σελ70)

Περιγραφή της μεθόδου:

▪ Γράφουμε τον αριθμό 1 στο κεντρικό τετραγωνάκι της πρώτης γραμμής.

▪ Προχωρούμε διαγώνια προς τα πάνω δεξιά και γράφουμε τους διαδοχικούς

αριθμούς.

▪ Αν βγούμε εκτός τετραγώνου, τοποθετούμε τον αριθμό μέσα στο τελευταίο

τετραγωνάκι της στήλης/ γραμμής που βρίσκεται.

▪ Αν οδηγηθούμε σε ήδη συμπληρωμένο τετραγωνάκι, τότε γράφουμε τον αριθμό

κάτω από τον προηγούμενό του.

Χρησιμοποιώ σαν παράδειγμα το μαγικό τετράγωνο 3x3

α) Γράφω στο μέσο της πρώτης γραμμής τον αριθμό 1.

1

β) Μετακινούμαι κατά ένα τετραγωνάκι προς τα πάνω και κατά ένα τετραγωνάκι

προς τα δεξιά. Επειδή βρίσκομαι έξω από το τετράγωνο τότε μεταφέρομαι στο

τέλος της στήλης.

2

1

2

97

γ) Συνεχίζω την ίδια κίνηση πάνω και δεξιά. Πάλι βρίσκομαι έξω από το τετράγωνο.

Έτσι μεταφέρομαι στην αρχή της γραμμής.

1

3 3

2

δ) επαναλαμβάνω την κίνηση πάνω και δεξιά αλλά η θέση είναι κρατημένη από

άλλο αριθμό. Σε τέτοιες περιπτώσεις ο αριθμός 4 τοποθετείται κάτω από τον

προηγούμενό του που είναι το 3.

1

3

4 2

ε) Συνεχίζω με την κίνηση πάνω και δεξιά

1

3 5

4 2

ζ) Συνεχίζω με την ίδια τακτική

1 6

3 5

4 2

η) Επαναλαμβάνω την κίνηση πάνω και δεξιά, αλλά επειδή είμαι εκτός τετραγώνου,

ο αριθμός 7 τοποθετείται κάτω από τον προηγούμενό του που είναι το 6.

98

1 6 7

3 5 7

4 2

θ) Συνεχίζω την κίνηση πάνω και δεξιά. Πάλι βρίσκομαι έξω από το τετράγωνο. Έτσι

ο αριθμός 8 τοποθετείται στην αρχή της γραμμής.

8 1 6 8

3 5 7

4 2

ι) Στο τελευταίο τετράγωνο που απομένει τοποθετούμε τον τελευταίο μας αριθμό

8 1 6

3 5 7

4 9 2

που είναι το 9.

Το μαγικό τετράγωνο 5x5

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

99

Το μαγικό τετράγωνο 7x7

30 39 48 1 10 19 28

38 47 7 9 18 27 29

46 6 8 17 25 35 37

5 14 16 25 34 36 45

13 15 24 33 42 44 4

21 23 32 41 43 3 12

22 31 40 49 2 11 20

Κατά την παρούσα μελέτη παρατήρησα ότι: όταν έχουμε μαγικό τετράγωνο

περιττής τάξης (3x3,5x5,7x7 κ.λπ.), αν σε κάποια θέση βρεθεί πολλαπλάσιο του

3,5,7, τότε ο επόμενος αριθμός μπαίνει ακριβώς από κάτω.

4.3.1 Γ. Η μέθοδος της πυραμίδας.

α) Κατασκευάζω το 3x3 και προσθέτω εκατέρωθεν των ενδιάμεσων γραμμών και

στηλών εξωτερικά τετραγωνάκια.

β) Αρχίζω να τοποθετώ τους αριθμούς διαγώνια όπως φαίνεται στο σχήμα.

100

3

2 6

1 5 9

4 8

7

γ) οι αριθμοί που τοποθετήθηκαν στα εξωτερικά τετραγωνάκια μεταφέρονται στα

απέναντι άδεια τετραγωνάκια.

2 7 6

9 5 1

4 3 8

4.3.1 Δ. Μια διαφορετική ανάλυση για μαγικά τετράγωνα 3x3

Το τετράγωνο έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του και

άξονες συμμετρίας τις μεσοκάθετες των πλευρών του και τις διαγώνιές του.

Λόγω συμμετρίας ξεκινάμε την τοποθέτηση των αριθμών από το κεντρικό

τετραγωνάκι. Αν τοποθετήσουμε τον αριθμό κ στη κεντρική θέση και το μαγικό

τετράγωνο συμπληρωθεί όπως φαίνεται στο σχήμα έχουμε:

α β γ

δ κ ε

ζ η θ

1. O μαγικός αριθμός Μ= =15

2. ζ+κ+γ=Μ

α+κ+θ=Μ

3

2 6

1 5 9

4 8

7

101

δ+κ+ε=Μ

3κ+α+δ+ζ+γ+θ+ε=3Μ

3κ+Μ+Μ=3Μ

3κ+2Μ=3Μ

3κ=Μ

κ= =5

Γενικά κ=

3. Τα τετράγωνα των γωνιών

ζ+γ=β+η

ζ+η=ε+γ

2ζ+γ+η=β+η+ε+γ δηλαδή 2ζ=β+ε

Ομοίως 2α=η+ε

2θ=β+δ

2γ=δ+η

Η ποσότητα κάθε γωνίας είναι ο αριθμητικός μέσος των δυο ποσοτήτων των

μεσαίων τετραγώνων των εξωτερικών γραμμών.

Έτσι η μικρότερη ποσότητα του μαγικού τετραγώνου δεν μπορεί να μπει σε

γωνιακό τετράγωνο αλλά σε μεσαίο τετράγωνο μιας εκ των τεσσάρων εξωτερικών

πλευρών του.

1 5 9

4. Τέλος με απλούς υπολογισμούς αθροισμάτων ανά γραμμή, στήλη και διαγώνιο

βρίσκουμε τους υπόλοιπους αριθμούς που πρέπει να τοποθετηθούν στο μαγικό

τετράγωνο, παίρνοντας μοναδική λύση ως προς τη συμπλήρωση των τριάδων.

Ακολουθούν τα βήματα στα επόμενα σχήματα:

102

2

1 5 9

8 4

6 2

1 5 9

8 3 4

6 7 2

1 5 9

8 3 4

Ένα μαγικό τετράγωνο 3x3 μπορεί να συμπληρωθεί όπως φαίνεται στο σχήμα:

x+y+2v

α

x

β

x+2y+v

γ

x+2y

δ

x+v+y

κ

x+2v

ε

x+v

ζ

x+2v+2y

η

x+y

θ

Έστω x=η ελάχιστη ποσότητα η οποία τοποθετείται στο μέσο της πρώτης γραμμής

και θ=x+y στο κάτω δεξιά γωνιακό τετράγωνο. Αφού το x+y είναι ο αριθμητικός

μέσος ανάμεσα στο β και δ θα είναι:

δ=x+2y

Έστω ζ=x+v. Αφού το ζ είναι αριθμητικός μέσος των β,ε άρα θα είναι

ε=x+2v

2

1 5 9

4

103

επίσης το κ είναι αριθμητικός μέσος των δ,ε

άρα κ=

κ =x+y+v

επίσης το κ είναι αριθμητικός μέσος των β,η

άρα η=x+2y+2v

το α είναι αριθμητικός μέσος των ε,η

άρα α=x+2v+y

ο γ είναι αριθμητικός μέσος των δ,η άρα

γ=x+v+2y

Αν x=1 τότε αφού κ=x+v+y =5 θα είναι v+y=4

Άρα v=1, y=3 ή v=3, y=1

6 1 8

7 5 3

2 9 4

8 1 6

3 5 7

4 9 2

4.3.1 Ε. Η τεχνική των πλαισίων από τον Az- Zinjani Από τον 15ο αι. στην Ευρώπη, μεγάλοι μαθηματικοί όπως Michel Stifel, Pascal, Fermat έχουν ασχοληθεί με διάφορες μεθόδους κατασκευής μαγικών τετραγώνων. Όλες αυτές οι μέθοδοι περιέχουν έναν τρόπο συμπλήρωσης των τετραγώνων χρησιμοποιώντας ομόκεντρους δακτυλίους αριθμών που περικλείονται ο ένας μέσα στον άλλον και ονομάζονται πλαίσια συνόρων. (Frames of numbers).

104

1ο πλαίσιο

2ο πλαίσιο

3ο πλαίσιο

4ο πλαίσιο σιο

Εικόνα 2- ένα τετράγωνο τάξης 7 το οποίο αποτελείται από πλαίσια που περιέχουν αντίστοιχα 24, 16, 8, 1 τετραγωνάκια.

Στην πραγματικότητα η ιδέα χρησιμοποίησης πλαισίων είναι παλιότερη από το 15ο αι. και ανάγεται στη μέση ανατολή το 12ο αι. Τον 13ο αι. ο συγγραφέας Az-Zinjāni περιγράφει μια μέθοδο κατασκευής μαγικών τετραγώνων χρησιμοποιώντας πλαίσια. Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην πλήρωση πρώτα όλων των τετραγώνων του πρώτου πλαισίου του αρχικού τετραγώνου σύμφωνα με μια σταθερή διαδικασία, μετά εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία επαναληπτικά σε κάθε ένα από τα πλαίσια με τη σειρά αφήνοντας τα πλαίσια που έχουν συμπληρωθεί. Αν το αρχικό τετράγωνο είναι περιττής τάξης n=2k+1 τα διαδοχικά τετράγωνα έχουν πλευρές που αποτελούνται από 2k+1,2k-1, …,5,3,1 τετράγωνα. Η ίδια διαδικασία δεν μπορεί να εφαρμοστεί για ένα τετράγωνο άρτιας τάξης n=2k αφού οι πλευρές από τα διαδοχικά τετράγωνα θα περιέχουν 2k,2(k-1), …,6,4,2 τετράγωνα, και δεν υπάρχει μαγικό τετράγωνο τάξης 2. Όμως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αν σταματήσουμε τον αλγόριθμο όταν φτάσουμε στο μεσαίο τετράγωνο τάξης 4 και είμαστε ικανοί να υπολογίζουμε τα υπόλοιπα τετράγωνα. Ακολουθώντας την πρακτική των άλλων μαθηματικών της εποχής ο Az- Zinjāni εξηγεί τη διαδικασία χωρίς αναφορά σε συγκεκριμένους αριθμούς και σύμβολα. Δεδομένου ότι έγραφε στα αραβικά η γραφή είναι από τα δεξιά προς τα αριστερά και οι όροι «πρώτο» ή «τελευταίο» τετράγωνο και «προηγούμενο» ή «επόμενο» τετράγωνο αντιστοιχούν ακριβώς αντίστροφα όπως το καταλαβαίνουμε εμείς.

az- Zinjānī Risāla fī a‘dād al- wafq (Epistle on numbers in harmony). Arab edition published by J. Sesiano in Herstellungsverfahren magischer Quadrate aus isla-mischer Zeit (II’), Sundhoffs Archiv, 71 (1987), 80-81. From the French translation by A. Djebbar.

[Για να διευκολυνθεί το διάβασμα του πρωτότυπου κειμένου, τα διαγράμματα έχουν επανασχεδιαστεί και το κείμενο έχει διαιρεθεί σε ενότητες.]

105

Η μέθοδος συνίσταται στην τοποθέτηση της μονάδας στο κέντρο της πρώτης στήλης, η οποία είναι δεξιά του γράφοντος, του 2 στο επόμενο τετράγωνο της ίδιας στήλης, μετά το 3 στο επόμενο τετράγωνο, και ούτω καθεξής μέχρι το τετράγωνο που είναι γειτονικό με τη διαγώνιο.

1

2

3

Μετά τοποθετείς στη πρώτη στήλη (από αριστερά), στο τελευταίο τετράγωνο της

τελευταίας γραμμής τον επόμενο αριθμό από αυτόν που σταμάτησες. Μετά

τοποθετείς στο τετράγωνο πριν από αυτό (στα δεξιά) τον επόμενο αριθμό και ούτω

καθεξής μέχρι να φτάσεις στο τετράγωνο δίπλα από το τετράγωνο που είναι στο

κέντρο αυτής της γραμμής

1

2

3

4 5 6

106

Μετά πηγαίνεις στο μεσαίο τετράγωνο της πρώτης γραμμής και βάζεις τον επόμενο αριθμό.

Μετά μετακινήσου στο τετράγωνο που είναι δίπλα στο μεσαίο της τελευταίας στήλης. Μετά μετακινήσου από εκεί στο προηγούμενο τετράγωνο και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσεις τη διαγώνιο.

10 7

9

8

1

2

3

4 5 6

Μετά πήγαινε στο τετράγωνο το οποίο είναι δίπλα από το μεσαίο στη πρώτη

γραμμή. Από εκεί πήγαινε στο επόμενο και ούτω καθεξής μέχρι να φτάσεις στο

τετράγωνο δίπλα από το διαγώνιο. Τώρα η περιοδεία τελείωσε.

7

1

2

3

4 5 6

107

Στη συνέχεια βάζεις σε κάθε κενό τετραγωνάκι του πλαισίου, τον αριθμό ο οποίος μαζί με τον απέναντί του, αποτελεί το τετράγωνο του αριθμού n που είναι η τάξη του αρχικού τετραγώνου συν μα μονάδα (n2+1). Για κάθε διαγώνιο το απέναντι τετράγωνο είναι αυτό που θα φτάσεις κατά μήκος της διαγωνίου.

10 45 44 7 11 12 46

9 41

8 42

49 1

48 2

47 3

4 5 6 43 39 38 40

Όταν συμπληρωθεί αυτό το πλαίσιο μένει ένα τετράγωνο που είναι περιττής τάξης. Προχωράς με αυτό ακολουθώντας τα ίδια βήματα και ξεκινάς με τον επόμενο αριθμό από αυτόν που είχες φτάσει στον πρώτο κύκλο.

10 7 11 12

9

8

1

2

3

4 5 6

108

Μετά συμπληρώνεις τα απέναντι τετράγωνα προκειμένου να έχουν άθροισμα n2+1

όπου n, η τάξη του αρχικού τετραγώνου και όχι του τετραγώνου του δεύτερου

κύκλου.

Όταν συμπληρώσεις και αυτόν τον κύκλο μένει ένα τετράγωνο περιττής τάξης 3x3.

Προχωράς με τη ίδια διαδικασία και όταν ολοκληρωθεί θα έχουμε το εξής μαγικό

τετράγωνο:

19 17 20

18

13

14

15 16

19 34 17 20 35

18 32

37 13

36 14

15 16 33 30 31

109

10 45 44 7 11 12 46

9 19 34 17 20 35 41

8 18 24 23 28 32 42

49 37 29 25 21 13 1

48 36 22 27 26 14 2

47 15 16 33 30 31 3

4 5 6 43 39 38 40

ΓΕΝΙΚΑ

Ας είναι n=2k+1 η τάξη του περιττού μαγικού τετραγώνου. Ο αριθμός των γραμμών από 1 ως n ξεκινά από την κορυφή και είναι συνεπής με την αραβική μέθοδο γραφής ενώ ο αριθμός των στηλών από 1 ως n ξεκινά από δεξιά. Με αυτή τη σημειογραφία το τετράγωνο (p,q) θα είναι στη p γραμμή και q στήλη (από δεξιά). Εξηγώ πως συμπληρώνεται το πρώτο πλαίσιο. Αν n=2k+1, το πρώτο πλαίσιο περιέχει 4(2k+1)-4=8k τετράγωνα. Η τεχνική του Az-Zinjāni ξεκινά θέτοντας τους διαδοχικούς ακεραίους 1,2,3,…,4k ως ακολούθως α)Τοποθετεί τους ακέραιους από 1 ως k στη πρώτη στήλη από δεξιά, ξεκινώντας με το κεντρικό και πηγαίνοντας προς τα κάτω χρησιμοποιώντας τα τετράγωνα. (k+1,1),(k+2,1),(k+3,1),…,(2k,1) β)Τοποθετεί τους ακέραιους από k+1 ως 2k στη τελευταία γραμμή, ξεκινώντας με το πιο αριστερό τετράγωνο, που είναι διαδοχικά στα τετράγωνα (n,n),(n,n-1),(n,n-2),…,(n,n-k+1) γ)Τοποθετεί τον αριθμό 2k+1 στο τετράγωνο (1,k+1) δ)Τοποθετεί τους αριθμούς από 2k+2 μέχρι 3k+1 στην αριστερή στήλη ανεβαίνοντας τα τετράγωνα (k,n),(k-1,n),…,(1,n) ε)Τοποθετεί τους αριθμούς από 3k+1 ως 4k στη πρώτη γραμμή, από αριστερά προς τα δεξιά στα τετράγωνα (1,k),(1,k-1),…,(1,2).

110

Πίνακας 1 Η έναρξη της διαδικασίας συμπλήρωσης των τετραγώνων: πάνω ένα 7x7 μαγικό τετράγωνο, κάτω ένα 2k+1 τάξης τετράγωνο.

10 7 11 12

9

8

1

2

3

4 5 6

111

Μετά τη συμπλήρωση αυτού του κύκλου ο αριθμός των τετραγώνων που θα έχουν συμπληρωθεί είναι k+k+1+k+(k-1)=4k που είναι το ήμισυ του συνολικού αριθμού των τετραγώνων του εξωτερικού πλαισίου. Στη συνέχεια ο az-Zinjāni ξεκινά πάλι για να γεμίσει τα 4k τετράγωνα που έμειναν. Βλέπουμε ότι τα μη συμπληρωμένα τετράγωνα διανέμονται τακτικά σε σχέση με τα συμπληρωμένα: όλα τα κενά τετράγωνα που είναι απέναντι οριζόντια, κάθετα, διαγώνια έχουν άθροισμα n2+1 (σχήμα 1). 10 45 44 7 11 12 46

9 41

8 42

49 1

48

2

47 3

4 5 6 43 39 38 40

Σχήμα1

Σχήμα 2

Μόλις το πρώτο πλαίσιο έχει συμπληρωθεί, η ίδια διαδικασία ακολουθείται για τη συμπλήρωση του επόμενου εσωτερικού πλαισίου που περιέχει 8(κ-1) τετράγωνα. Οι λειτουργίες είναι πανομοιότυπες εκτός από δύο λεπτομέρειες 1) Η αρχική τιμή που λαμβάνεται είναι 4k+1 αντί 1 και 2) Ο az-Zinjāni έκανε ξεκάθαρο ότι η σταθερά για την εύρεση του συμπληρώματος δεν αλλάζει, αλλά παραμένει n2+1.

10 45 44 7 11 12 46

9 19 34 17 20 35 41

8 18 24 23 28 32 42

49 37 29 25 21 13 1

48 36 22 27 26 14 2

47 15 16 33 30 31 3

4 5 6 43 39 38 40

112

Μετά μπορούμε να συνεχίσουμε με τον ίδιο τρόπο για τα άλλα διαδοχικά πλαίσια. Το παραπάνω σχήμα 2 δείχνει ένα 7x7 μαγικό τετράγωνο, το οποίο έχει 4 πλαίσια,

το τελευταίο των οποίων είναι ένα μοναχικό τετράγωνο.

Όσο αναφορά τις αρχικές τιμές που λαμβάνονται σε κάθε στάδιο παρατηρούμε ότι αν η τάξη του τετραγώνου είναι 2k+1 τότε ο αριθμός των πλαισίων είναι k+1 και αν ui είναι η αρχική τιμή για το i πλαίσιο τότε έχουμε u1=1 και ui+1-ui=4(k-i+1) από την οποία ui+1=2i(n-i)+1

ειδικότερα η κεντρική τιμή θα είναι uk+1=

Η διαδικασία με τα πλαίσια οδηγεί σε τετράγωνα τα οποία έχουν μια σημαντική ιδιότητα: τα διαδοχικά πλαίσια μπορεί να μετακινηθούν και να παραμείνει ένα μαγικό τετράγωνο. Ωστόσο λαμβάνοντας υπόψη τον τρόπο κατασκευής των πλαισίων, ο αριθμός στο

κεντρικό τετράγωνο είναι πάντα όπου n η τάξη του αρχικού τετραγώνου. Τώρα

όταν r πλαίσια απομακρυνθούν, θα μείνουμε με ένα τετράγωνο τάξης n-2r=m και αν υποθέσουμε τον κεντρικό αριθμό να είναι (m2+1)/2 τότε πρέπει να αφαιρέσουμε τον αριθμό (n2+1)/2-(m2+1)/2=2r(n-r) από όλους τους αριθμούς αυτού του τετραγώνου. Αυτή η συμπληρωματική ιδιότητα, με ένα είδος επανάληψης, οδηγεί σίγουρα στη κατασκευή ενός μαγικού τετραγώνου. Σχήμα3.

Σχήμα 3: Ξεκινώντας με το τετράγωνο αριστερά , το μεσαίο τετράγωνο βρίσκεται μετακινώντας ένα πλαίσιο και αφαιρώντας το 12 από όλους τους αριθμούς αριστερά. Το τετράγωνο δεξιά μπορεί να βρεθεί άμεσα αφαιρώντας δύο πλαίσια από το τετράγωνο αριστερά, και αφαιρώντας το 2 από καθένα από τους αριθμούς αριστερά.

10 45 44 7 11 12 46

9 19 34 17 20 35 41

8 18 24 23 28 32 42

49 37 29 25 21 13 1

48 36 22 27 26 14 2

47 15 16 33 30 31 3

4 5 6 43 39 38 40

7 22 5 8 23

6 12 11 16 20

25 17 13 9 1

24 10 15 14 2

3 4 21 18 19

4 3 8

9 5 1

2 7 6

113

4.3.1. Z. ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΟΣΧΟΠΟΥΛΟΣ Μια μικρή πραγματεία γράφτηκε στα ελληνικά το 14ο αι, αρχικά σε χειρόγραφη μορφή, η οποία εκδόθηκε και μεταφράστηκε το 1886 με σχολιασμό στα γαλλικά από τον Paul Tannery. O Moσχόπουλος εξηγεί δυο τύπους τεχνικής για την κατασκευής μαγικών τετραγώνων.

1) Ο πρώτος τύπος επιτρέπει την κατασκευή μαγικών τετραγώνων περιττής τάξης, συμπληρώνοντάς τα με ακέραιους από 1 ως n2 διαδοχικά σύμφωνα με το γύρω του τετραγώνου ακολουθώντας πάγιους κανόνες οι οποίοι αντιστοιχούν σε μαθηματικό συμβολισμό modulo n όπου n, η τάξη του τετραγώνου

2) Ο δεύτερος τύπος που είναι για τετράγωνα των οποίων η τάξη διαιρείται με το 4 είναι η τεχνική των μαρκαρισμένων τετραγώνων. Θα δούμε μια λεπτομερή περιγραφή της πρώτης τεχνικής της λεγόμενης «προχώρα κατά 2 και κατά 3»(proceeding by 2 and by 3)

η οποία αναφέρεται στην έκταση των μετατοπίσεων που χρησιμοποιούνται η μια μετά την άλλη κατά την εκτέλεση της μεθόδου.

Moschopoulos Original Greek manuscript in Bibliothèque Nationale, Fonds Grec, Edited and translated by Paul Tannery, Annuaire de l’ Association pour l’ encouragement des études grecques en France, 1886, pp. 88-118. Extract from Mémoires Scientifiques de Paul Tannery, vol. 4, Gauthier- Villars, Paris, 1920, pp. 26-60: ‘Le Traité de Manuel Moschopoulos sur les carrés magiques, texte grec et traduction’, (pp. 37-41).

[ Για να διευκολυνθεί η ανάγνωση του πρωτότυπου τα διαγράμματα έχουν επανασχεδιαστεί και το κείμενο διαιρέθηκε σε τμήματα για να συνοδέψουν τα σχήματα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ενός τετραγώνου τάξης 3]

Μέθοδος για τετράγωνα περιττής τάξης Αυτό είναι […] με τη διαδικασία «προχώρα κατά 2 και κατά 3». Βάζουμε πρώτα τη μονάδα (1) στο μεσαίο τετράγωνο από τα 3 της τελευταίας γραμμής.

Σχήμα 1

1

114

Μετακινούμαστε ένα τετραγωνάκι προς τα κάτω και προς τα δεξιά. Επειδή βρισκόμαστε έξω από το τετράγωνο μεταφερόμαστε στην αρχή της στήλης.

Σχήμα 2

Μετακινούμαστε ένα τετράγωνο κάτω και ένα δεξιά και επειδή είμαστε εκτός τετραγώνου μεταφερόμαστε στην αρχή της γραμμής.

Σχήμα 3

Επειδή το 3 είναι πολλαπλάσιο του 3 δεν μετράμε 2 θέσεις για να βάλουμε 4 αλλά μετράμε τρεις(3) ως ακολούθως: 1η το τετράγωνο που περιέχει το 3 2η το τετράγωνο κάτω από το 3 3η κοιτάμε κάτω αλλά δε βρίσκουμε άλλο τετράγωνο, πηγαίνουμε πίσω στην κορυφή στην ευθεία γραμμή, μετράμε αυτό ως τρίτο τετράγωνο και τοποθετούμε το 4.

Σχήμα 4

Μετά μετακινούμαστε από εκεί 2 τετραγωνάκια ένα κάτω και ένα δεξιά και βάζουμε τον επόμενο αριθμό που είναι το 5.

Σχήμα 5

2

1

2

3

1

4 2

3

1

4 2

3 5

1

115

Συνεχίζουμε έτσι στο 6 που είναι το πολλαπλάσιο του 3.

Σχήμα 6

Ερχόμενοι σε αυτόν τον αριθμό αρχίζουμε πάλι να μετράμε με 3 τετράγωνα και βάζουμε τον επόμενο αριθμό στο τρίτο τετράγωνο χωρίς να ξεφεύγουμε από την ευθεία γραμμή.

Σχήμα 7

Μετά μετράμε κατά 2 και μετακινούμαστε κάτω δεξιά και ούτω καθεξής μέχρι το τέλος, πάντα μετρώντας κατά 2 για όλους τους αριθμούς εκτός από τα επόμενα των πολλαπλασίων του 3.

Σχήμα 8

Οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται από το Μοσχόπουλο μπορούν να εκφραστούν με τύπους. Μετράμε τις στήλες και τις γραμμές, από αριστερά προς τα δεξιά για τις στήλες και από πάνω προς τα κάτω για τις γραμμές και συμβολίζουμε με c(x) τη στήλη και r(x) για τη γραμμή στην οποία βρίσκουμε τον αριθμό x. Ξεκινώντας από ένα τετράγωνο τάξης n=2k+1, ο αλγόριθμος που χρησιμοποιεί ο Μοσχόπουλος μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής:

α) Αρχή του αλγόριθμου τοποθετώντας τη μονάδα στο τετράγωνο ακριβώς κάτω από το κεντρικό τετράγωνο. Με άλλα λόγια η μονάδα τοποθετείται στο σημείο τομής (k+1) στήλης και της (k+2) γραμμής το οποίο δίνει r(1)=k+2 c(1)=k+1

4 2

3 5

1 6

4 2

3 5 7

1 6

4 9 2

3 5 7

8 1 6

116

β) Εφαρμόζονται δυο κανόνες για την τοποθέτηση του αριθμού x+1 αν είναι γνωστή η θέση του προκατόχου του x.

1) Εάν το x δεν είναι πολλαπλάσιο του n χρησιμοποιούμε τον κανόνα «προχώρα 2»

r(x+1)≡1+r(x) (mod n)

c(x+1)≡1+c(x) (mod n) 2) Εάν το x είναι πολλαπλάσιο του n χρησιμοποιούμε τον κανόνα «προχώρα 3»

r(x+1)≡2+r(x) (mod n)

c(x+1)≡c(x) (mod n) θα πρέπει να επισημάνουμε ότι με αυτούς τους κανόνες εάν το αποτέλεσμα της λήψης του modulo δίνει μηδέν, τότε χρησιμοποιούμε n και όχι μηδέν (το πλήρες σύστημα υπολοίπων που χρησιμοποιούμε είναι 1,2, …,n και όχι όπως συνήθως 0,1,2, …,n-1).

Στην περίπτωση ενός τετραγώνου τάξης 3 για παράδειγμα:

Αριθμός x Θέση Κανόνας που εφαρμόζει

(r(x),c(x))

1 (3,2) αρχή

2 (4,3)≡(1,3) «προχώρα 2»

3 (5,4)≡(2,1) «προχώρα 2»

4 (7,4)≡(1,1) «προχώρα 3»

5 (8,5)≡(2,2) «προχώρα 2»

6 (9,6)≡(3,3) «προχώρα 2»

7 (11,6)≡(2,3) «προχώρα 3»

8 (12,7)≡(3,1) «προχώρα 2»

9 (13,8)≡(1,2) «προχώρα 2»

Στην περίπτωση ενός τετραγώνου τάξης 5, ξεκινάμε με τις αρχικές συνθήκες r(1)=4, c(1)=3 μετά χρησιμοποιούμε τον κανόνα «προχώρα 2», εκτός όταν φτάσουμε στους αριθμούς 5,10,15,20. Αυτοί είναι πολλαπλάσια του 5 της τάξης δηλαδή του τετραγώνου οπότε χρησιμοποιούμε τον κανόνα «προχώρα 3». Βλέπε τα επόμενα σχήματα 1 και 2

117

x+1

x

x+1

x

x x+1

Σχήμα 1

Σχήμα2

Αυτή η διαδικασία θέτει δυο ερωτήματα:

1) Είναι βέβαιο ότι θα καταλήξουμε συμπληρώνοντας όλα τα τετραγωνάκια;

2) Θα είναι το τετράγωνο μαγικό; Σύμφωνα με τη προσέγγιση του αμερικανού μαθηματικού D.N.Lehmer[10] μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον κανόνα «προχώρα 2 και3» από τους τύπους:

Για 1≤x≤n2 r(x+1)≡k+2+x+[ ] (mod n)

c(x+1)≡k+1+x-[ ] (mod n)

όπου n=2k+1και [ ] είναι το ακέραιο μέρος του

Μια άλλη προσέγγιση είναι να εξετάσουμε το πηλίκο o και το υπόλοιπο της

διαίρεσης του x-1 με το n .Έστω Q, R είναι το υπόλοιπο και το πηλίκο με x

να είναι ένας ακέραιος από το 1 έως το n2 δηλαδή

x-1=Qn+R με 0≤R≤n-1 και επίσης 0≤Q≤n-1 τότε ο κανόνας μπορεί να δοθεί

ως εξής:

r(x)≡R+Q+k+2 (mod n)

c(x)≡R-Q+k+1 (mod n)

x+1

x

x+1 x

118

Γυρνάμε τώρα στις δυο ερωτήσεις. Για να δειχτεί ότι οι ακέραιοι από το 1 έως το n2 γεμίζουν πλήρως το τετράγωνο, είναι μόνο απαραίτητο να αποδειχτεί ότι δυο διαφορετικοί ακέραιοι δε μπορούν να καταλάβουν την ίδια θέση. Στην πραγματικότητα αν x1 και x2 βρίσκονται στο ίδιο τετράγωνο τότε r(x1)=r(x2) και c(x1)=c(x2) και η νέα διατύπωση του κανόνα δίνει ότι R1=R2 και Q1=Q2 και έτσι x1=x2. Τώρα δείχνουμε ότι το τετράγωνο είναι μαγικό σε σχέση με τις στήλες του. Για δυο αριθμούς x1, x2 που είναι στην ίδια στήλη πρέπει αναγκαστικά να έχουμε Q1≠Q2 και

R1≠R2, δεδομένου ότι c(x1)=c(x2) έχουμε R1- Q1≡R2-Q2(mod n). Τώρα αν Q1=Q2 θα έχουμε R1=R2 και έτσι x1=x2. Ομοίως αν R1=R2 θα έχουμε Q1=Q2 και έτσι x1=x2. Επομένως, στην ίδια στήλη, οι διαφορετικοί αριθμοί xi, παράγουν όλους τους ακέραιους από 0 ως n-1 σαν πηλίκα αi και όλους τους ακέραιους από 0 ως n-1 ως υπόλοιπα Ri. Επομένως, το άθροισμα των όρων σε οποιαδήποτε στήλη θα είναι:

και παίρνουμε τη μαγική σταθερά. Για τις γραμμές η διαδικασία είναι παρόμοια. Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε έναν αριθμό x=Qn+R+1 στην κύρια διαγώνιο του

τετραγώνου. Τότε r(x)=c(x) και έτσι R+Q+k+2≡R-Q+k+1(mod n).

Αυτό δίνει 2Q+1≡0 (mod n) ή 2Q+1≡2k+1 (mod n) και τελικά Q=k. Οι αριθμοί της κύριας διαγωνίου είναι συνεπώς nk+1,nk+2, …,nk+n και το άθροισμα

τους είναι .

Η ίδια διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί και στη δευτερεύουσα διαγώνιο. 4.3.1.Η. Μέθοδος Claude- Gaspard Bachet de Meziriac Μια παραλλαγή της μεθόδου του Μοσχόπουλου προτάθηκε από τον Bachet ο οποίος πρόσθεσε μικρά τετράγωνα στις πλευρές του τετραγώνου ABCD και συμπλήρωσε τους αριθμούς από 1 ως n2 κατά μήκος των διαγωνίων. Μετά άφησε τους αριθμούς μέσα στο τετράγωνο ABCD στη θέση τους και για τους άλλους εξηγεί: «τους τοποθετείς στις κενές θέσεις που απομένουν χρησιμοποιώντας μόνο τη μεταφορά, δηλαδή αυτοί που είναι στην κορυφή πηγαίνουν κάτω και αυτοί που είναι αριστερά περνούν στη δεξιά πλευρά».

119

Facsimile Cl.-G. Bachet, Problemes plaisants et delectables que se font par les nombres, Lyon 1612, 2nd ed., Lyn, 1624 (p. 164).

4.3.2. Κατασκευή μαγικών τετραγώνων άρτιας τάξης.

4.3.2 Α. Κατασκευή μαγικού τετραγώνου 4x4.

a b c d

g h n m

k o p s

t v x y

120

Από τις γνώσεις μας για τα μαγικά τετράγωνα μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις

a+h+p+y=S(το άθροισμα)

g+h+n+m=S

k+o+p+s=S

t+o+n+d=S

προσθέτω τις 4 παραπάνω εξισώσεις κατά μέλη και έχω

2S+2h+2p+2n+2o=4S

h+p+n+o=S

άρα

1) το άθροισμα όλων των όρων σε κάθε 2x2 τετράγωνο στο 4x4 τετράγωνο είναι ίσο

με S.

2) Επειδή a+h+p+y=S

d+n+o+t=S

με πρόσθεση κατά μέλη

και έχοντας h+p+n+o=S

θα προκύψει a+y+d+t=S και επομένως το άθροισμα των γωνιακών τετραγώνων

ισούται με S.

3) b+h+o+v=S

c+n+p+x=S

Με πρόσθεση κατά μέλη και έχοντας h+n+p+o=S προκύπτει b+v+c+x=S

Επίσης b+c+a+d=S

Έτσι b+c+a+d=b+v+c+x

a+d=v+x

άρα το άθροισμα των όρων σε οποιεσδήποτε 2 συνεχόμενες γωνίες είναι ίσο με το

άθροισμα των δυο μεσαίων στην αντιδιαμετρική εξωτερική γραμμή.

4) Επειδή

g+n+h+m=S

o+h+n+p=S

άρα g+m=o+p

121

το άθροισμα των δυο τελευταίων όρων μιας εσωτερικής γραμμής ή στήλης είναι ίσο

με το άθροισμα των δυο μεσαίων όρων στην άλλη παράλληλη γραμμή ή στήλη.

5) Επειδή

t+o+n+d=S

h+o+n+p=S

έτσι t+d=h+p

άρα το άθροισμα των δυο τελευταίων όρων μιας διαγωνίου είναι ίσο με το

άθροισμα των δυο μεσαίων όρων της άλλης διαγωνίου.

Αυτοί οι 5 κανόνες ισχύουν για όλα τα 4x4 μαγικά τετράγωνα. Μαγικά τετράγωνα

μεγαλύτερης τάξης δεν ακολουθούν τους ίδιους κανόνες.

4.3.2 Β. Τα μαγικά τετράγωνα με ν πολλαπλάσιο του 4

Η κατασκευή τέτοιων μαγικών τετραγώνων είναι αρκετά απλή και γίνεται σε 2

φάσεις. Στην πρώτη φάση εισάγουμε στις οριζόντιες γραμμές κατά αύξουσα σειρά

τους αριθμούς από το 1 ως το ν2. Στη δεύτερη φάση χωρίζουμε το μαγικό

τετράγωνο σε τετράγωνα διαστάσεων 4x4 και κάθε αριθμό, ο οποίος δε βρίσκεται

σε διαγώνιο του τετραγώνου 4x4 τον αφαιρούμε από τον αριθμό ν2+1. Ακολουθεί

σχήμα που δείχνει τις διαγώνιους που αναφερόμαστε, καθώς επίσης και ένα

παράδειγμα ενός μαγικού τετραγώνου 4x4.

122

α) συμπληρώνω πρώτα τις διαγωνίους ξεκινώντας από τα αριστερά και με αριθμό

τον αριθμό της θέσης του μικρού τετραγώνου.

1 4

6 7

10 11

13 16

β) μετά αρχίζω να αφαιρώ από το 17 τον αριθμό της θέσης του μικρού τετραγώνου,

π.χ για τη δεύτερη θέση 17-2=15 ,για την τρίτη 17-3=14 κ.τ.λ.

Κατά την εργασία παρατήρησα ότι μπορεί επίσης να κατασκευαστεί αρχίζοντας από

τη θέση του 16ου τετραγώνου και επιστρέφοντας ανάποδα δηλ. από τα δεξιά προς

τα αριστερά με τον αριθμό του μικρού τετραγώνου

1 15 14 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 16

123

γ) και έχουμε το μαγικό τετράγωνο 4x4

1 15 14 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 16

4.3.3. Τορομαγικά τετράγωνα με μήκος πλευράς περιττό

και μη πολλαπλάσιο του 3.

Η μέθοδος κατασκευής τορομαγικών τετραγώνων με μήκος πλευράς περιττό και μη

πολλαπλάσιο του 3 είναι παρόμοια με την μέθοδο κατασκευής μαγικών

τετραγώνων περιττού μήκους, με τη διαφορά ότι η μετακίνηση από στοιχείο σε

στοιχείο γίνεται 1 κάτω και 2 δεξιά, αντί 1 κάτω και 1 δεξιά. Στο ακόλουθο σχήμα

φαίνεται η κατασκευή ενός μαγικού τετραγώνου με n=5. Η μαύρη γραμμή δείχνει

την σειρά εισαγωγής των αριθμών, ξεκινώντας από το στοιχείο 0, το οποίο

τοποθετείται στο μεσαίο τετραγωνάκι της τελευταίας στήλης. (σημ. η μαύρη

γραμμή δεν δείχνει όλη την κατασκευή, αλλά ένα κομμάτι).

3 22 16 10 9

11 5 4 23 17

24 18 12 6 0

7 1 20 19 13

15 14 8 2 21

124

4.4 ΔΙΑΣΗΜΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

4.4.1. Μαγικό τετράγωνο Dürer

Πρώτη φορά στην Ευρώπη τα μαγικά τετράγωνα εμφανίζονται σε μια

γκραβούρα του Γερμανού καλλιτέχνη Albrecht Dürer, 21 Μαΐου η (MelencoliaI).

Δείτε στην εικόνα πάνω δεξιά:

* Πηγή:Εργαστήριο διδακτικής μαθηματικών ΠΤΔΕ Παν.Πατρών

125

Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ (Albrecht Dürer, 21 Μαΐου 1471 - 6 Απριλίου 1528) ήταν

Γερμανός ζωγράφος, χαράκτης και μαθηματικός. Υπήρξε σημαντικός καλλιτέχνης

της εποχής του, συμβάλλοντας καθοριστικά στη διάδοση των ιδεωδών της Ιταλικής

Αναγέννησης.

Έζησε το μεγαλύτερο διάστημα της ζωής του στη Νυρεμβέργη, που αποτελούσε ένα

από τα μεγαλύτερα πολιτιστικά κέντρα της Γερμανίας, αλλά ταξίδεψε αρκετά κι

επισκέφτηκε την Ιταλία δυο φορές, γεγονός που επηρέασε βαθιά το έργο του, από

το οποίο ξεχωρίζουν οι ξυλογραφίες και τα χαρακτικά. Τα έργα του διαδόθηκαν σε

όλη την Ευρώπη κι αργότερα απέκτησαν παγκόσμια φήμη.

Εκτός από το καλλιτεχνικό του έργο, σημαντική συμβολή είχε επίσης στα

μαθηματικά και τη γεωμετρία.

Από τα χαρακτικά του, πάνω σε ξύλο ή χαλκό, ξεχωρίζουν "Ο Ιππότης, ο Θάνατος και

ο Διάβολος", "Ο Άγιος Ιερώνυμος στο Σπουδαστήρι του" και η "Μελαγχολία".

Λεπτομέρεια στην “Μελαγχολία” είναι και το “Μαγικό Τετράγωνο” (πάνω δεξιά

στον τοίχο) που αυτός ο ίδιος δημιούργησε. Ας το προσέξουμε καλύτερα.

Το τετράγωνο είναι αυτό.

Και που είναι η μαγεία;

Ο αριθμός 34!!

34 είναι το σύνολο των διαφόρων πεδίων μέσα

στο μαγικό τετράγωνο.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

126

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Το άθροισμα κάθε γραμμής είναι 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Το άθροισμα κάθε στήλης είναι 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Το άθροισμα των γωνιακών τετραγώνων είναι 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Μετακινηθείτε κατά ένα τετράγωνο δεξιόστροφα.

Το άθροισμα είναι πάλι 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Ακόμη μια φορά. Και πάλι 34

127

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Το άθροισμα των κεντρικών τετραγώνων είναι 34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

5+9+8+12=34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

3+2+15+14=34

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Και τα διαγώνια το ίδιο…

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Και πάει λέγοντας:34

128

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

O Dürer δημιούργησε αυτό το τετράγωνο, το 1514.

Το «D» στο επίθετό του είναι το 4ο γράμμα του αλφαβήτου

και το «Α» του ονόματός του είναι το 1ο!

ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

129

▪ Υψώνοντας όλους τους αριθμούς του μαγικού τετραγώνου στη δεύτερη δύναμη

θα έχουμε:

1 225 196 16

144 36 49 81

64 100 121 25

169 9 4 256

Ιδιότητες του μαγικού τετραγώνου «των τετραγώνων»

1. Το άθροισμα της 1ης και 4ης γραμμής είναι ίδιο. Το ίδιο ισχύει και για την 2η και 3η

γραμμή.

1 225 196 16 = 438

144 36 49 81 = 310

64 100 121 25 = 310

169 9 4 256 = 438

2. Το αντίστοιχο ισχύει και για τις στήλες.

1 225 196 16

144 36 49 81

64 100 121 25

169 9 4 256

⎡⎡

378

⎡⎡

370

⎡⎡

370

⎡⎡

378

130

3. Το άθροισμα των 2 διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των 2 διαφορετικών

γραμμών ή στηλών.

748 1 225 196 16

144 36 49 81

64 100 121 25

169 9 4 256

1 225 196 16

144 36 49 81

64 100 121 25

169 9 4 256

= 748 = 748 =748

▪ Υψώνοντας όλους τους αριθμούς του μαγικού τετραγώνου στη 3η δύναμη θα

έχουμε:

1 3375 2744 64

1728 216 343 729

512 1000 1331 125

2197 27 8 4096

Ιδιότητα του μαγικού τετραγώνου «των κύβων»

Το άθροισμα των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των υπολοίπων αριθμών.

1 3375 2744 64

1728 216 343 729

512 1000 1331 125

2197 27 8 4096

=9248

=9248

131

4.4.2. Το μαγικό τετράγωνο της αποκάλυψης!

Πιστώνεται στον Α.W. Johnson άγνωστων λοιπών στοιχείων και είναι ένα μαγικό

τετράγωνο το οποίο ο ίδιος ονομάζει αποκαλυπτικό μαγικό τετράγωνο καθώς το

άθροισμα που εμφανίζεται σε κάθε στήλη, γραμμή, διαγώνιο είναι το 666!!!

3 107 5 131 109 311

7 331 193 11 83 41

103 53 71 89 151 199

113 61 97 197 167 31

367 13 173 59 17 37

73 101 127 179 139 47

4.4.3. Βενιαμίν Φραγκλίνος

Ένα μαγικό τετράγωνο με ιδιαίτερες ιδιότητες είναι αυτό που κατασκεύασε ο

Βενιαμίν Φραγκλίνος, μεγάλη μορφή των αμερικανικών γραμμάτων του 18ου

αιώνα. Χαρακτηριστική περίπτωση καθολικού επιστήμονα. Πολυσχιδής

προσωπικότητα. Εφευρέτης, διακεκριμένος συγγραφέας, επιστήμων, κοινωνικός

ακτιβιστής, στρατιωτικός, διπλωμάτης, φυσικός και οικονομολόγος. Εφηύρε το

αλεξικέραυνο αφού διαπίστωσε την ηλεκτρική φύση του κεραυνού. Πρότεινε την

κατασκευή πυκνωτή πολλαπλών πλακών. Ανακάλυψε την πρώτη θερμάστρα που

λειτουργούσε με μεταφορά αέρα. Εφηύρε τους διεστιακούς φακούς. Πρέπει να

σημειωθεί ότι δεν κατοχύρωσε καμία από τις εφευρέσεις του, γιατί θεωρούσε ότι

ανήκουν στο λαό. Διετέλεσε μέλος της Επιτροπής που συνέταξε τη Διακήρυξη της

ανεξαρτησίας των Η.Π.Α .

132

Δείτε το μαγικό τετράγωνο του Βενιαμίν Φραγκλίνου:

52 61 4 13 20 29 36 45

14 3 62 51 46 35 30 19

53 60 5 12 21 28 37 44

11 6 59 54 43 38 27 22

55 58 7 10 23 26 39 42

9 8 57 56 41 40 25 24

50 63 2 15 18 31 34 47

16 1 64 49 48 33 32 17

Παρατηρούμε ότι κάθε γραμμή ή στήλη του μαγικού τετραγώνου του έχει άθροισμα

260.Παρατηρήστε ότι αν πάρουμε το μισό κάθε γραμμής ή στήλης το άθροισμα

τους ισούται με το μισό του 260. Επιπροσθέτως αν πάρουμε τα μισά των

διαγώνιων ανά δυο σχηματίζονται «τόξα» τα οποία έχουν όλα το ίδιο άθροισμα το

οποίο ισούται επίσης με 260. Δείτε τα παρακάτω σχήματα.

133

χ - - - - - - - χ - - - - - -χ

- χ - - - - - - - χ - - - - χ -

- - χ - - - - - - - χ - - χ - -

- - - χ - - - - - - - χ χ - - -

- - - χ - - - - - - - - - - - -

- - χ - - - - - - - - - - - - -

- χ - - - - - - - - - - - - - -

χ - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - -χ

- - - - - - - - - - - - - - χ -

- - - - - - - - - - - - - χ - -

- - - - - - - - - - - - χ - - -

- - - χ χ - - - - - - - χ - - -

- - χ - - χ - - - - - - - χ - -

- χ - - - - χ - - - - - - - χ -

χ - - - - - - χ - - - - - - -χ

Οι ιδιότητες του τετραγώνου του Φραγκλίνου δεν σταματούν εδώ, το άθροισμα 260

εμφανίζεται αναπάντεχα σε πολλές διατάξεις των κελιών του τετραγώνου. Όπως

στα σχήματα που ακολουθούν:

- - - - - - - χ - - - - - - χ - - - - - - χ - -

χ - - - - - - - - - - - - - - χ - - - - - - χ -

- χ - - - - - - χ - - - - - - - - - - - - - -χ

- - χ - - - - - - χ - - - - - - χ - - - - - - -

- - χ - - - - - - χ - - - - - - χ - - - - - - -

- χ - - - - - - χ - - - - - - - - - - - - - - χ

χ - - - - - - - - - - - - - - χ - - - - - - χ -

- - - - - - - χ - - - - - - χ - - - - - - χ - -

134

χ - χ - - χ - χ

- χ - - - - χ -

χ - - - - - - χ

- - - - - - - -

- - - - - - - -

- - - - - - - -

- - - - - - - -

- - - - - - - -

- χ - - - - χ - χ - - - - - - χ

χ - - - - - - χ - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - χ χ - - -

- - - - - - - - - - - χ χ - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

χ - - - - - - χ - - - - - - - -

- χ - - - - χ - χ - - - - - - χ

4.4.4. Μαγικό τετράγωνο του καθεδρικού ναού Gaudi στη Βαρκελώνη.

135

Μελετώντας το πιο πάνω μαγικό τετράγωνο παρατηρούμε ότι το μαγικό άθροισμα

δεν ικανοποιεί τον βασικό κανόνα Μ = n(n2+1)/2=34

Ο κατασκευαστής του αντί να χρησιμοποιήσει τους αριθμούς 12 και 16

χρησιμοποίησε τους αριθμούς 10 και 14 δύο φορές παραβιάζοντας έτσι άλλους δύο

βασικούς κανόνες.

Πιθανό να ενήργησε εσκεμμένα στην προσπάθειά του να αποτυπώσει στην πλάκα

αυτή την ηλικία του Χριστού.

Η σύγκριση με το σωστό μαγικό τετράγωνο, το οποίο βλέπετε πιο κάτω:

1 15 13 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 16

Είναι φανερό ότι οι ελάχιστες τροποποιήσεις που έγιναν από τον

κατασκευαστή της επιγραφής στον καθεδρικό ναό έγιναν με τέτοιο τρόπο

που να δίνουν μαγικό άθροισμα 33 αντί 34.

4.4.5. Κατοπτρικό μαγικό τετράγωνο!!!!

Παραμένει μαγικό τετράγωνο ακόμα και αν περιστραφεί κατά 180 μοίρες, ακόμα

και αν διαβαστεί με την χρήση ενός καθρέφτη. Με μαγική σταθερά 1776.

152 811 285 528

525 288 812 151

818 155 521 282

281 522 158 815

-Ο παρακάτω πίνακας αριθμών 2 επί 4 μαζί με το είδωλο του σε ένα καθρέφτη

"μεταμορφώνεται" σε μαγικό τετράγωνο.(Δείτε την εικόνα)

136

4.4.6. Αξιοσημείωτο μαγικό τετράγωνο !!

Τα ψηφία των δεκαδικών παραστάσεων των παραπάνω κλασμάτων αποτελούν

μαγικό τετράγωνο με άθροισμα γραμμής, στήλης, διαγωνίου 81.

137

4.4.7. Ένα μαγικό τετράγωνο 100… δολαρίων!!

Το 1987, ο Μάρτιν Γκάρντνερ από την στήλη του «Μαθηματικά παιχνίδια» στο

περιοδικό Scientific American πρόσφερε 100 δολάρια σε οποιοδήποτε αναγνώστη

κατασκεύαζε ένα μαγικό τετράγωνο 3x3 που θα αποτελούνταν από διαδοχικούς

πρώτους αριθμούς. Αν οι αριθμοί του μαγικού τετραγώνου είναι οι πρώτοι φυσικοί

αριθμοί, το μαγικό τετράγωνο ονομάζεται κανονικό. Το έπαθλο κέρδισε ο Χάρυ

Νέλσον με το παρακάτω μαγικό τετράγωνο.

1480028201 1480028129 1480028183

1480028153 1480028171 1480028189

1480028159 1480028213 1480028141

4.4.8. Μαγικά τετράγωνα και π!!

Το μαγικό τετράγωνο στα αριστερά της εικόνας έχει άθροισμα γραμμής, στήλης και

2 4 3 6 9 24

6 5 2 7 3 23

1 9 9 4 2 25

3 8 8 6 4 29

5 3 3 1 5 17

17 29 25 24 23

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

138

διαγωνίου 65. Αν στο συγκεκριμένο τετράγωνο αντικαταστήσουμε τον αριθμό κάθε

κελιού με το αντίστοιχο ψηφίο του π, για παράδειγμα αντικαθιστούμε το 17 με το

17ο ψηφίο του π, που είναι το 2. Στο τετράγωνο που προκύπτει καθένα από τα

αθροίσματα των γραμμών είναι ίσο με κάποιο από τα αθροίσματα των στηλών.

Η εν λόγω ιδιότητα ανακαλύφθηκε από τον T.E.Lobeck.

4.4.9. Μαγικό τετράγωνο Fibonacci

Ένα πρόβλημα από το περιοδικό Komal.

«Υπάρχει μαγικό τετράγωνο τάξης 3x3 τέτοιο ώστε στα κελιά του να βρίσκονται

διαφορετικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci ; (Μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι

όροι f1,f2,f1=f2=1).»

Υπενθυμίζουμε ότι οι όροι της ακολουθίας Fibonacci ορίζονται f0=0,f1=1,f2=1,..

γενικά fn+2=fn+fn+1 , κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει από το άθροισμα των δυο

προηγουμένων. Μερικοί πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι: 0,1,1,2,3,5,8,…

Λύση

Με άτοπο. Αν υπήρχε τέτοιο μαγικό τετράγωνο, τότε

a b C

d e f

g h I

Ισχύει: b+e+h=d+e+f ή b+h=d+f (1)

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι d είναι μικρότερος από

τους b,h,d,f.

Υποθέτουμε ότι d≠0( αν d=0 τότε ο παρακάτω ισχυρισμός θα εφαρμοστεί για τους

αριθμούς a,c,g,i) Υποθέτουμε ότι b≤h τότε d≤b και για να ισχύει η (1) πρέπει f≥h.

Ισχύει d≤b<h≤f. Επειδή d≠0 και υπάρχουν μόνο δυο όροι (f1=1,f2=1) θα ισχύει

d≤b<h≤f. Όμως b,h είναι διαφορετικοί όροι Fibonacci μικρότεροι από τον f άρα θα

ισχύει b+h≤f ( η ισότητα θα ισχύει όταν οι b,h είναι οι δυο προηγούμενοι όροι του

f). Τότε όμως b+h≤f<f+d b+h<f+d άτοπο από (1). Άρα είναι αδύνατο να

139

κατασκευαστεί μαγικό τετράγωνο3x3 που να αποτελείται από διαφορετικούς όρους

της ακολουθίας Fibonacci.

Παραθέτω ένα Μαγικό τετράγωνο 9x9 που είναι πιο δύσκολο να κατασκευαστεί.

Σιδερένιο ανάγλυφο μαγικού τετραγώνου έκτης τάξης με Αραβικά αριθμητικά

ψηφία που ανακαλύφθηκε στην Κίνα και ανάγεται στην δυναστεία Γιουάν (1271-

1367).

Ακόμα και οι πιο σύνθετες και πολύπλοκες δομές έχουν απλούς αλγόριθμους

συγκρότησης… τόσο απλούς… που το ανθρώπινο μυαλό, ως αρκετά πεπερασμένο,

δε μπορεί να τους «συλλάβει».

27 65 73 30 38 46 3 11 19

74 55 66 47 28 39 20 1 12

67 78 59 40 51 32 13 24 5

60 68 76 33 41 49 6 14 22

77 58 69 50 31 42 23 4 15

70 81 62 43 54 35 16 27 8

63 71 79 36 44 52 9 17 25

80 61 72 53 34 45 26 7 18

140

Κεφάλαιο 5

5.1. Διαδικαστική γνώση και εννοιολογική κατανόηση

Οι μαθηματικοί αλγόριθμοι αποτελούν ένα μεγάλο μέρος της μαθηματικής γνώσης

που διδάσκεται στα σχολεία. Αυτό καλλιεργεί σε πολλούς την εντύπωση ότι τα

μαθηματικά είναι ένα σύνολο κανόνων, τύπων και αλγόριθμων. Οι μαθηματικοί

αλγόριθμοι αποτελούν χρήσιμα εργαλεία για την επίλυση συγκεκριμένων

προβλημάτων και παράλληλα αναπτύσσουν τη λεγόμενη αλγοριθμική σκέψη, που

συνδέεται με την ικανότητα επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. Η εκπαιδευτική

κοινότητα προβληματίζεται από το γεγονός ότι πολλοί μαθητές εκτελούν μηχανικά

τους μαθηματικούς αλγόριθμους, χωρίς δηλαδή να συνειδητοποιούν ποιες

μαθηματικές αρχές διέπουν τα βήματά τους ή όπως αλλιώς θα έλεγε κανείς χωρίς

κατανόηση.

Αυτό μπορεί να συμβαίνει επειδή δεν δίνονται ευκαιρίες στους μαθητές να

συνδέουν τα βήματα των αλγόριθμων με το νόημά τους, ούτε να χρησιμοποιούν οι

ίδιοι τις εξωτερικές αναπαραστάσεις που προτείνονται από τα σχολικά βιβλία για

αυτή τη σύνδεση -συνήθως τις χρησιμοποιεί μόνο ο δάσκαλος για να επεξηγήσει

κάτι.

Σύμφωνα με τον ορισμό των Hiebert &Carpenter (1992) κάτι έχει κατανοηθεί όταν η

νοητική του αναπαράσταση είναι τμήμα ενός δικτύου αναπαραστάσεων. Όσο

περισσότερες και ισχυρότερες είναι οι αντίστοιχες συνδέσεις αυτού του δικτύου,

τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός κατανόησης. Οι νοητικές αναπαραστάσεις στις

οποίες αναφέρονται οι Hiebert & Carpenter (1992) για τον ορισμό της κατανόησης

είναι εσωτερικές αναπαραστάσεις ενώ τα διαγράμματα που χρησιμοποιούνται στη

διδασκαλία για την κατανόηση διαφόρων μαθηματικών εννοιών αποτελούν

παραδείγματα εξωτερικών αναπαραστάσεων.

141

Ο Mayer (2002) θεωρεί ότι ένα παιδί έχει μάθει κάτι μηχανικά (rote learning) όταν

μπορεί να το θυμηθεί αργότερα με τον ίδιο σχεδόν τρόπο που παρουσιάστηκε κατά

τη διδασκαλία ενώ δεν μπορεί να αξιοποιήσει τη γνώση του για να επιλύσει

πρωτότυπα προβλήματα, για να απαντήσει σε νέα ερωτήματα, ή για να

διευκολυνθεί στο να αποκτήσει νέα γνώση. Δεν έχει δηλαδή, όπως έχει ορίσει ο

ίδιος, την ικανότητα της μεταφοράς και αυτό το αποδίδει στην έλλειψη

κατανόησης.

Οι Hiebert & Carpenter (1992) επεξηγούν τον τρόπο με τον οποίο η κατανόηση

ενισχύει την ικανότητα της μεταφοράς. Αύξηση του βαθμού κατανόησης σημαίνει

αύξηση των συνδέσεων μεταξύ διαφορετικών δικτύων αναπαράστασης. Αυτό

οδηγεί στην κατάργηση κάποιων συνόρων, οπότε τα δίκτυα αυτά σχετίζονται

μεταξύ τους όλο και περισσότερο. Έτσι το άτομο μπορεί να αναζητήσει ομοιότητες

και διαφορές μεταξύ μεγαλύτερων τμημάτων της γνώσης. Αυτό αυξάνει την

ικανότητα μεταφοράς, γιατί η μεταφορά μιας στρατηγικής από μια δραστηριότητα

σε μια άλλη είναι δυνατή όταν εντοπιστούν οι ομοιότητες και οι διαφορές των δύο

δραστηριοτήτων. Οι συγγραφείς, θεωρούν γι’ αυτό το λόγο σημαντικό να δίνονται

ποικίλες αναπαραστάσεις κατά τη διδασκαλία ενός αντικειμένου.

Εφόσον λοιπόν η διδασκαλία των μαθηματικών αλγόριθμων τείνει να οδηγεί στη

μηχανική μάθηση η οποία έχει αρνητικές επιπτώσεις, θα πρέπει να αναζητηθεί το

όφελος της διδασκαλίας τους. Ένα επιχείρημα υπέρ της διδασκαλίας των

αλγόριθμων είναι ότι αποτελούν ένα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση

συγκεκριμένων προβλημάτων. Οι Mingus & Grassl (1998) παρουσιάζουν άλλο ένα

επιχείρημα, που είναι λιγότερο προφανές. Υποστηρίζουν ότι η διδασκαλία των

αλγόριθμων αναπτύσσει την «αλγοριθμική σκέψη» την οποία ορίζουν ως μια

μέθοδο με την οποία σκεφτόμαστε και καθοδηγούμε τη σκέψη μας

χρησιμοποιώντας διαδικασίες οι οποίες εκτελούνται βήμα προς βήμα, εισάγοντας

δεδομένα και παίρνοντας εξαγόμενα για τα οποία κρίνουμε παράλληλα την

ποιότητα και την καταλληλότητά τους. Ταυτόχρονα, ρυθμίζουμε και ελέγχουμε τη

σκέψη μας. Θεωρούν ότι στην ουσία, η αλγοριθμική σκέψη είναι ταυτόχρονα μια

μέθοδος σκέψης και ένας τρόπος του να σκέπτεται κανείς για τη δική του σκέψη.

142

Υποστηρίζουν επίσης ότι η ανάπτυξη της αλγοριθμικής σκέψης συνδέεται στενά με

τις τέσσερις φάσεις του Polya (1991) κατά τη διαδικασία Επίλυσης Μαθηματικού

Προβλήματος (ΕΜΠ) η οποία με τη σειρά της αποτελεί κεντρικό άξονα της

σύγχρονης διδασκαλίας των μαθηματικών. Από την έως τώρα συζήτηση φαίνεται

ότι είναι σημαντικό να διδάσκονται οι μαθηματικοί αλγόριθμοι. Εξ’ ίσου σημαντικό

είναι κατά τη διδασκαλία τους να αναπτύσσεται η εννοιολογική γνώση παράλληλα

με τη διαδικαστική γνώση.

Διαδικαστική γνώση θεωρείται η ικανότητα να εκτελεί κανείς μια ακολουθία

βημάτων προκειμένου να επιλύει προβλήματα. Εννοιολογική γνώση θεωρείται η

ρητή ή άρρητη κατανόηση των αρχών που διέπουν ένα χώρο και των σχέσεων

μεταξύ των μονάδων γνώσης του χώρου αυτού (Johnson, Siegler & Alibali, 2001).

Τα παιδιά που χρησιμοποιούν τον τυπικό αλγόριθμο δεν συνηθίζουν να συνδέουν

τις πράξεις που κάνουν με το νόημα του προβλήματος, γιατί κατά τη διδασκαλία

των μαθηματικών αλγόριθμων δεν τους δίνονται ευκαιρίες να ελέγχουν το νόημα

των βημάτων τους. Δεν έχουν άλλωστε λόγο να κάνουν αυτή τη σύνδεση αφού

διδάσκονται πρώτα ευθέως τους αλγόριθμους και στη συνέχεια ακολουθούν

δραστηριότητες στις οποίες τους αρκεί η μηχανική εκτέλεση των αλγόριθμων για να

ανταποκριθούν στις απαιτήσεις των δραστηριοτήτων αυτών.

Μια διδακτική πρακτική, οι οποία θα ήταν ενδιαφέρον να εξεταστεί ως προς τις

επιπτώσεις της στη μάθηση των μαθηματικών αλγόριθμων:

Να δίνονται στους μαθητές ευκαιρίες να συνδέουν τη διαδικαστική με την

εννοιολογική γνώση των βημάτων ενός αλγόριθμου, δίνοντάς τους δραστηριότητες

για να τον ανακαλύψουν, ώστε να αναγκάζονται να χρησιμοποιούν άτυπες

στρατηγικές οι οποίες είναι στενά συνδεδεμένες με την εννοιολογική γνώση.

Οι Mingus & Grassl (1998) τονίζουν ότι όταν τα παιδιά ανακαλύπτουν μόνα τους

μαθηματικούς αλγόριθμους, τότε χρησιμοποιούν την αλγοριθμική σκέψη, η οποία

δεν θα γινόταν διαφορετικά αντιληπτή. Θεωρούν ότι η διαδικασία αυτή οδηγεί τους

μαθητές στο να δημιουργούν μαθηματικά που είναι «δικά τους μαθηματικά» και τα

οποία μοιράζονται με τους συμμαθητές τους.

143

5.2. Mια άλλη μέθοδος εύρεσης των ριζών δευτεροβάθμιας

Η μέθοδος δεν είναι γενική είναι όμως απλή και «ερευνητική» δηλαδή χρειάζεται

να ερευνήσουμε. Ας πούμε ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση 3x2+16x-12=0(1).

Ξεκινούμε από το τριώνυμο του πρώτου μέλους 3x2+16x-12 (2)

και προσπαθούμε να το αναλύσουμε σε παράγοντες. Η μέθοδος που θα

ακολουθήσουμε, λέγεται μέθοδος των «συζυγών διαιρετών». Συζυγείς διαιρέτες

φυσικού αριθμού είναι δυο διαιρέτες του, όταν έχουν γινόμενο τον ίδιο αριθμό.

Είναι φανερό πως, αν το φυσικό αριθμό τον διαιρέσουμε με τον ένα διαιρέτη, θα

βρούμε πηλίκο τον άλλο. Έτσι οι συζυγείς διαιρέτες φτιάχνουν ζευγάρια. Επειδή

12:1=12 και 12:2=6 και 12:3=4 για αυτό τα ζευγάρια [12,1],[6,2],[4,3] είναι ζεύγη

συζυγών διαιρετών του 12. Ακόμα, οι πρώτοι αριθμοί έχουν ένα ζεύγος συζυγών

διαιρετών. Ο αριθμός 3 έχει μόνο το ζεύγος [3,1].

Για να ξεκινήσουμε τη μέθοδο, γράφουμε το τριώνυμο (2) και κάτω από τους

άκρους συντελεστές γράφουμε τα ζεύγη των συζυγών διαιρετών τους:

3x2+16x-12

3-1 12-1

6-2

4-3

Θα χρειαστεί να κάνουμε μια επιλογή. Ένα ζεύγος συζυγών διαιρετών του 3 και

ένα του 12. Για το 3 δεν υπάρχει θέμα επιλογής. Για το 12 διαλέγουμε [6,2].

Ζητούμε από τους αριθμούς των δυο ζευγών [3,1] και [6,2] να φτιάξουμε δυο

γινόμενα τέτοια που αν αφαιρέσουμε το μικρότερο από το μεγαλύτερο (σε

απόλυτες τιμές), να βρούμε 16, δηλ. να βρούμε τον συντελεστή του μεσαίου όρου:

6 2

X 3 x 1

18 - 2 =16

144

Αν παίρναμε άλλο ζεύγος και όχι το [6,2] δεν θα πετύχαινε ο σκοπός μας. Ακόμα την

πράξη αφαίρεση την καταλαβαίνουμε, γιατί οι άκροι όροι είναι ετερόσημοι. Αν

συμβαίνει οι άκροι όροι να είναι ομόσημοι, τότε η πράξη ανάμεσα στα γινόμενα θα

είναι πρόσθεση.

Ξαναγυρίζουμε στο τριώνυμο (2) αντικαθιστώντας το συντελεστή 16 με τη διαφορά

[18-2]. Μετά εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό, βγάζουμε κοινούς παράγοντες σε

ομάδες και τέλος το τριώνυμο μετασχηματίζεται σε γινόμενο.

3x2+(18-2)x-12=

3x2+18x-2x-12=

3x(x+6)-2(x+6)=

=(3x-2)(x+6)

Ξαναφτιάχνουμε την εξίσωση (1) με πρώτο μέλος το γινόμενο που βρήκαμε

(3x-2)(x+6)=0

Άρα 3x-2=0 ή x+6=0

x=2/3 x=-6

Φυσικά για την επίλυση της δοθείσας εξίσωσης θα μπορούσαμε να

χρησιμοποιήσουμε τον τύπο x1,2=

x1,2=

x1= =

x2= =-6

Όπως βλέπουμε η χρήση του αλγορίθμου και απομνημόνευση θέλει, αλλά και

πολλές αριθμητικές πράξεις απαιτεί.

Ύστερα από την παραπάνω περιγραφή επίλυσης της εξίσωσης 2ου βαθμού, θα

μπορούσαμε να κάνουμε δυο βασικές παρατηρήσεις:

1. Είναι φανερό, ότι η χρησιμοποίηση μεθόδου προχωρεί βήμα προς βήμα, από τα

δεδομένα προς το τελικό αποτέλεσμα, κι έτσι αυτός που δουλεύει με τη μέθοδο,

145

αναγκάζεται να περάσει από όλες τις ενδιάμεσες σκέψεις, που οδηγούν στο

αποτέλεσμα. Με τον τρόπο αυτό πετυχαίνει τη συνειδητοποίηση της

«απαιτούμενης αλυσίδας σκέψεων» ή με άλλα λόγια, τη συνειδητοποίηση μιας

«λογικής πορείας». Ο καθένας μας καταλαβαίνει πως, μια τέτοια εργασία είναι

άσκηση του νου, είναι ένα πνευματικό γύμνασμα.

2. Αντίθετα, η χρησιμοποίηση αλγορίθμου προχωρεί με μεγάλο άλμα από τα

δεδομένα προς το αποτέλεσμα και έτσι παραμερίζονται όλες οι ενδιάμεσες

σκέψεις. Φτάνει βέβαια στο αποτέλεσμα, αλλά σαν «αλεξιπτωτιστής», χωρίς να

συνειδητοποιεί τις διαδοχικές φάσεις.

Τελειώνοντας…

Ο Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος Rene Descartes (1596-1650) στον περίφημο

«Λόγο περί Μεθόδου» ανάμεσα σε πολλά άλλα, αναφέρει και κάποιες αναμνήσεις

του από τα σχολικά θρανία: «Μου άρεσαν προπάντων τα μαθηματικά εξαιτίας της

ασφάλειας και προφάνειας των συλλογισμών τους …»

Ο νεαρός Rene από μαθητής διέκρινε τα πλεονεκτήματα, που διαθέτουν τα

μαθηματικά, δηλ. την ασφάλεια και προφάνεια της σκέψης τους και για αυτό του

άρεσαν και για αυτό τα αγάπησε. Αν όμως δεν είχε αντιληφθεί την πρωτοτυπία της

σκέψης τους και δεν είχε διακρίνει την ασφάλεια και την προφάνεια των

συλλογισμών τους, σίγουρα … δεν θα του άρεσαν και φυσικά θα τα αντιπαθούσε.

Έτσι οι σημερινοί μαθητές που στη μεγάλη πλειοψηφία τους αισθάνονται

αντιπάθεια, τούτο οφείλεται στο ότι, δεν μπόρεσαν να αντιληφθούν την ασφάλεια

και την προφάνεια της σκέψης των μαθηματικών. Φυσικά, η ευθύνη δεν βαραίνει

τους μαθητές, αλλά τα προγράμματα εκπαίδευσης και τους συντάκτες τους, που

απασχολούνται με τους αλγόριθμους και την πολυγνωσία, ενώ παραμερίζουν τη

μέθοδο σκέψης, τη μόνη ικανή να προκαλέσει το ενδιαφέρον των μαθητών και

παράλληλα να τους δημιουργήσει κλίμα ψυχικής ευφορίας. Το πρόβλημα των

σχολικών μαθηματικών δεν είναι ανυπέρβλητο. Εκείνο που είναι ανυπέρβλητο είναι

η δυστοκία και η μικροψυχία του προβληματισμού μας!

146

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Έντυπη:

[1] Az- Zinjānī, “Risāla fī a‘dād al- wafq (Epistle on numbers in harmony)”. Arab

edition published by J. Sesiano in Herstellungsverfahren magischer Quadrate aus

isla-mischer Zeit (II’), Sundhoffs Archiv, 71 (1987), 80-81. From the French translation

by A. Djebbar.

[2] Andrews W. S. “Squares and Cubes”, Open Court Publishing Company, second,

1917.

[3] Brow W. S. “On Euclid’s Algorithm and the Computation of Polynomial greatest

common divisors”, Journal of the Association for Computer Machinery, 1971.

[4] Bruins, E.M. & Rutten, M., “ Textes mathematiques de Suse”, Paul Geuthner,

Paris, 1961.

[5] Budan F. D., “Nouvelle Méthode pour la r é solution des équations numériques

d’un degré quelconque (A New Method for the solution of numerical equations of

whatever degree)”, Paris: Dondey-Dupre 1822, pp. 99-100.

[6] Combette, “Cours moyen et Supérieur Arithmetiqué, système métrique et

géométrie usuelle”. Paris: Alcide

Picard & Kaan, 10th edition, (n.d.), p.219.

[7] Dowek Gilles, “Les metamorphoses du calcul”, Le Pommier, 2007.

[8] Facsimile Cl.-G. Bachet, “Problemes plaisants et delectables que se font par les

nombres”, Lyon 1612, 2nd ed., Lyn, 1624 (p. 164).

[9] Fraleigh J. B. «Εισαγωγή στην Άλγεβρα», Εκδόσεις ΠΕΚ, 1999.

[10] Health T., “Euclid, The Thirteen Books of the Elements”, Book 3, Dover, New

York, 1926.

147

[11]Health T., “Diophantus of Alexandria: A study in the History of Greek Algebra”,

Cambridge University Press, 1910.

[12] Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (1992). Learning and Teaching with Understanding. In D. A. Grouws (Ed.). “Handbook of research on mathematics teaching and Learning” (pp.65-97), New York: Macmillan.

[13] Jean- Luc Chabert et al. “A History of Algorithms: From the Pebble to the

Microchip”, Editions Belin, Paris 1994.

[14] Leonhard Euler, “De Fractionibus continuis Dissertatio” (written 1737),

“Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae”, 9, (1744), 98-137.Opera

Omnia, 1, xiv, 187-215.

[15]Loria G. «Ιστορία των Μαθηματικών», Τόμοι 1, 2, 3, Εκδόσεις ΕΜΕ΅, 1972.

[16] Mayer, R. E. (2002). Rote versus meaningful learning. “Theory into Practice”, 41(4), 219-225.

[17] Mingus, T. Y., & Grassl, R. M. (1998). “Algorithmic and recursive thinking: current beliefs and their implications for the future”. In the Teaching and Learning of Algorithms in School Mathematics: 1998 NCTM Yearbook (Morrow & Kenney, Eds.). Reston, VA: NCTM p. 33.

[18] Neugebauer O., “Mathematishe Keilschrift- Texte” Book 1, Berlin, Springer,

1935-1937.

[19] Pellos F., “Compendion de l’ abaco (Compendium of the abacus)”,1492. Text

edited par R. Laffont, Editions de la Revue des Langues Romanes, Montpellier, 1967.

[20] Polya, G. (1991). “Πώς να το λύσω”. (Ξ. Ψυακκή, μετάφραση). Αθήνα: Εκδόσεις Καρδαμίτσα. (Πρωτότυπη έκδοση, 1957).

[21] P. Ruffini “Sopra la determinazione delle radici nelle equazioni numeriche di

qualunque grado”, 1804, Modena. Opere matematiche, vol. II, Edizioni Cremonese,

Rome, 1953, pp. 300-302.

[22] Thureau – Dangin F., “ Textes Mathematiques Babyloniens”, Leiden, Brill, 1938.

[23] Van de Waerden B.L., “A History of Algebra”, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,

New York, 1985.

148

[24] Ακριβή Γ. & Δούγαλη Β. «Εισαγωγή στην αριθμητική ανάλυση», 5η

αναθεωρημένη έκδοση, πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης.

[25] Αλεξόπουλος Χ. «Θέματα αριθμητικής ανάλυσης και εφαρμογές», τμήμα

Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστημίου Πατρών, 2011.

[26] Αραχωβίτης Ι. 18ο Πανελλήνιο συνέδριο Μαθηματικής παιδείας, Εκδόσεις ΕΜΕ,

2001.

[27] Γιανογλούδης Β. & Τζήκας Ι. «Επέκταση σχήματος Horner», Εισήγηση στο

συνέδριο της ΕΜΕ, 2009

[28] Γουλιάνας Κ. «Αριθμητική ανάλυση και προγραμματισμός επιστημονικών

εφαρμογών», ΤΕΙ Θεσσαλονίκης, τμήμα Πληροφορικής, 2011.

[29] Εργαστήριο Διδακτικής Πανεπιστημίου Πατρών

[30] Ευκλείδης Β’, τεύχος Γ, Ιανουάριος- Φεβρουάριος- Μάρτιος 1993, ΕΜΕ.

[31] ΚΕΕ.ΠΕΚ «Ευκλείδη Στοιχεία» τόμος I Αθήνα 2001

[32] «Μαθηματικό Βήμα», τεύχος ΙΘ, Δεκέμβρης 2002, Κυπριακή Μαθηματική

Εταιρεία.

[33] «Μαθηματικά Β’ Λυκείου θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης», εκδόσεις

ΟΕΔΒ, Αθήνα 2010.

[34] Νεγρεπόντης Στ. «Ιστορία των Αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών – Στοιχεία

Ευκλείδη», παραδόσεις Μεταπτυχιακού μαθήματος, τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ,

2011.

[35] Πουλάκης Μ. «Θεωρία αριθμών: Μια σύγχρονη θεώρηση της κλασσικής

θεωρίας αριθμών», 1997

[36] Ράπτης Ε. «Άλγεβρα για τη διδακτική», Σημειώσεις του συγγραφέα, Αθήνα

2010.

[37] Στεφανίδης Γ. «Υπολογιστικά Μαθηματικά» Πανεπιστήμιο Μακεδονίας, τμήμα

Εφαρμοσμένης Πληροφορικής.

[38] Τζανάκης Ν.(1986) . « Η βασική θεωρία των συνεχών κλασμάτων και μερικές

εφαρμογές της» Μαθηματική επιθεώρηση , 36:31-55 Αθήνα ΕΜΕ.

[39] Τζούμας Ν. «Εισαγωγή στους επιστημονικούς υπολογισμούς» , Πανεπιστήμιο

Ιωαννίνων, τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων, Αγρίνιο 2004.

149

Ηλεκτρονική:

http://archives.math.utk.edu.

http://wikipedia.org

http://history.mcs.st-andrews.ac.uk