Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Ebből az vektor ⃗ – re eső merőleges vetületének...

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Megoldások

1. Határozd meg az �⃗⃗� és �⃗⃗� vektor skaláris szorzatát, ha |�⃗⃗� | = 𝟓, |�⃗⃗� | = 𝟒 és a közbezárt

szög 𝝋 = 𝟓𝟓°!

Megoldás:

Alkalmazzuk a megfelelő képletet:

𝑎 ∙ �⃗� = |𝑎 | ∙ |�⃗� | ∙ cos 𝜑 = 5 ∙ 4 ∙ cos 55° ≈ 11,47.

2. Határozd meg a következő vektorok skaláris szorzatát!

a) �⃗⃗� (𝟏𝟎; −𝟑) és �⃗⃗� (−𝟏; 𝟓)

b) �⃗� (𝟏; 𝟐; 𝟓) és �⃗⃗� (−𝟏; 𝟑;−𝟕)

Megoldás:

Alkalmazzuk a megfelelő képletet:

a) 𝑎 ∙ �⃗� = 𝑎1 ∙ 𝑏1 + 𝑎2 ∙ 𝑏2 = 10 ∙ (−1) + (−3) ∙ 5 = −10 − 15 = −25.

b) 𝑐 ∙ 𝑑 = 𝑐1 ∙ 𝑑1 + 𝑐2 ∙ 𝑑2 + 𝑐3 ∙ 𝑑3 = 1 ∙ (−1) + 2 ∙ 3 + 5 ∙ (−7) = −30

3. Határozd meg a következő vektorok hajlásszögét!

a) �⃗⃗� (𝟐; 𝟑) és �⃗⃗� (−𝟓; −𝟏)

b) �⃗� (𝟐;−𝟑; 𝟓) és �⃗⃗� (−𝟏;−𝟐; 𝟓)

Megoldás:

Alkalmazzuk a skaláris szorzat képleteiet:

a) 𝑎 ∙ �⃗� = √22 + 32 ∙ √(−5)2 + (−1)2 ∙ cos 𝜑 = √13 ∙ √26 ∙ cos 𝜑

𝑎 ∙ �⃗� = 2 ∙ (−5) + 3 ∙ (−1) = −10 − 3 = −13

Ebből felírhatjuk a következőt: √13 ∙ √26 ∙ cos 𝜑 = −13.

Ezek alapján a megoldás: 𝜑 = 135°.


2

b) A skaláris szorzat képleteit összevonva, egyetlen képlettel is kiszámíthatjuk a hajlásszöget:

cos𝜑 =𝑐1 ∙ 𝑑1 + 𝑐2 ∙ 𝑑2 + 𝑐3 ∙ 𝑑3

|𝑐 | ∙ |𝑑 |=

2 ∙ (−1) + (−3) ∙ (−2) + 5 ∙ 5

√22 + (−3)2 + 52 ∙ √(−1)2 + (−2)2 + 52 → 𝜑 ≈ 30,81°

4. Egy háromszög csúcsai az 𝑨 (𝟑;−𝟏),𝑩 (𝟐; 𝟒) és 𝑪 (−𝟏; 𝟓) koordinátájú pontok.

Számítsd ki a háromszög szögeit és területét!

Megoldás:

A háromszög szögeihez határozzuk meg az adott csúcsból kiinduló két vektor hajlásszögét.

Számítsuk ki először az 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ és az 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektorok által bezárt 𝛼 szöget.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−1; 5) → |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−1)2 + 52 = √26

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−4; 6) → |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−4)2 + 62 = √52

A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: cos 𝛼 =(−1) ∙ (−4) + 5 ∙ 6

√26 ∙ √52.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝛼 ≈ 22,38°.

Számítsuk ki most a 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ és a 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektorok által bezárt 𝛽 szöget.

𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ (1; −5) → |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √12 + (−5)2 = √26

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (−3; 1) → |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−3)2 + 12 = √10

A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: cos 𝛽 =1 ∙ (−3) + (−5) ∙ 1

√26 ∙ √10.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝛽 ≈ 119,74°.

Számítsuk ki végül a 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ és a 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ vektorok által bezárt 𝛾 szöget.

𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ (4; −6) → |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √42 + (−6)2 = √52

𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (3;−1) → |𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √32 + (−1)2 = √10

A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: cos 𝛾 =4 ∙ 3 + (−6) ∙ (−1)

√52 ∙ √10.

Ebből azt kapjuk, hogy 𝛾 ≈ 37,88°.

Ezek alapján a háromszög területe: 𝑇 =√10 ∙ √52 ∙ sin 37,88°

2≈ 7.


3

5. Két vektor hossza 𝟑 𝒄𝒎, illetve 𝟒 𝒄𝒎. Legalább és legfeljebb mekkora lehet a skaláris

szorzatuk értéke?

Megoldás:

Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: 𝑎 ∙ �⃗� = 3 ∙ 4 ∙ cos 𝜑 = 12 ∙ cos 𝜑.

Tudjuk, hogy −1 ≤ cos𝜑 ≤ 1.

Ezek alapján a megoldás: −12 ≤ 𝑎 ∙ �⃗� ≤ 12.

6. Két egymással 𝟔𝟎° - os szöget bezáró vektor skaláris szorzata 𝟒. Ha az egyik vektor

hossza a másik kétszerese, akkor milyen hosszúak a vektorok?

Megoldás:

Legyen |𝑎 | = 2 ∙ |�⃗� |.

A skaláris szorzat segítségével felírhatjuk a következőt: 2 ∙ |�⃗� | ∙ |�⃗� | ∙ cos 60° = 4.

Ebből azt kapjuk, hogy |�⃗� | = 2, s ezt visszahelyettesítve pedig |𝑎 | = 4.

7. Adott az �⃗⃗� (𝟐; 𝟐) és �⃗⃗� (𝟏;−𝟔) vektor. Mennyi a �⃗� koordinátája, ha tudjuk, hogy

�⃗⃗� ∙ �⃗� = 𝟏𝟒 és �⃗⃗� ∙ �⃗� = −𝟕?

Megoldás:

Legyen a 𝑐 (𝑐1; 𝑐2).

Ekkor a skaláris szorzatok segítségével felírhatjuk a következő egyenletrendszert:

2 ∙ 𝑐1 + 2 ∙ 𝑐2 = 14

1 ∙ 𝑐1 + (−6) ∙ 𝑐2 = −7}

Az egyenletrendszer megoldása 𝑐1 = 5 és 𝑐2 = 2, vagyis a keresett vektor a 𝑐 (5; 2).

8. Az �⃗⃗� (−𝟐; 𝟏;−𝟑) és �⃗⃗� (𝟓;−𝟐; 𝒛) vektorok merőlegesek egymsára. Mekkora a 𝒛 érétke?

Megoldás:

Mivel a merőleges vektorok skaláris szorzata 0, így felírhatjuk a következőt:

−2 ∙ 5 + 1 ∙ (−2) − 3 ∙ 𝑧 = 0

Ezek alapján a megoldás 𝑧 = −4.


4

9. Határozd meg a �⃗⃗� koordinátáit, ha tudjuk, hogy merőleges az �⃗⃗� – ra, továbbá

�⃗⃗� (𝟏𝟎;−𝟓) és |�⃗⃗� | = √𝟏𝟎!

Megoldás:

Legyen a �⃗� (𝑏1; 𝑏2).

Ekkor a szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:

10𝑏1 − 5𝑏2 = 0

√𝑏12 + 𝑏2

2 = √10

}

Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑏2 = 2𝑏1.

Ezt behelyettesítve a második egyenletbe rendezés után a megoldás 𝑏1 = √2, vagy 𝑏1 = −√2.

Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑏2 = 2 ∙ √2 vagy 𝑏2 = −2 ∙ √2.

Ezek alapján két megoldás adódik: �⃗� (√2; 2 ∙ √2), vagy �⃗� (−√2;−2 ∙ √2).

10. Az �⃗⃗� és �⃗⃗� vektorok hajlásszöge 𝟔𝟎°. Tudjuk, hogy (�⃗⃗� − �⃗⃗� ) merőleges �⃗⃗� – re. Milyen

kapcsolat van az �⃗⃗� és �⃗⃗� vektor hossza között?

Megoldás:

A feladat szövege alapján (𝑎 − �⃗� ) ∙ �⃗� = 0, vagyis 𝑎 ∙ �⃗� − �⃗� ∙ �⃗� = 0.

Ebből a következő adódik: |𝑎 | ∙ |�⃗� | ∙ cos 60° − |�⃗� | ∙ |�⃗� | ∙ cos 0° = 0.

Rendezés után azt kapjuk, hogy |�⃗� | ∙ (1

2∙ |𝑎 | − |�⃗� |) = 0.

Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Ezek alapján |�⃗� | = 0, vagy 1

2∙ |𝑎 | − |�⃗� | = 0, amiből |𝑎 | = 2 ∙ |�⃗� |.


5

11. Az �⃗⃗� és �⃗⃗� egységvektorok 𝟔𝟎° - os szöget zárnak be. Miylen 𝜆 esetén lesz (�⃗⃗� + 𝝀 ∙ �⃗⃗� )

merőleges �⃗⃗� – re?

Megoldás:

A feladat szövege alapján (𝑎 + 𝜆 ∙ �⃗� ) ∙ �⃗� = 0, vagyis 𝑎 ∙ �⃗� + 𝜆 ∙ �⃗� ∙ �⃗� = 0.

Ebből a következő adódik: 1 ∙ 1 ∙ cos 60° + 𝜆 ∙ 1 ∙ 1 ∙ cos 0° = 0.

Ezek alapján a megoldás 𝜆 = −1

2.

12. Mekkora az egyenlő, de nem 𝟎 hosszúságú �⃗⃗� és �⃗⃗� szöge, ha (�⃗⃗� + 𝟐�⃗⃗� ) merőleges

(𝟓�⃗⃗� − 𝟒�⃗⃗� ) – re!

Megoldás:

A feladat szövege alapján (𝑎 + 2�⃗� ) ∙ (5𝑎 − 4�⃗� ) = 0.

Ebből a következő adódik: 5 ∙ |𝑎 |2 + 6 ∙ |𝑎 | ∙ |�⃗� | ∙ cos 𝜑 − 8 ∙ |�⃗� |2= 0.

Mivel |𝑎 | = |�⃗� |, így rendezés után azt kapjuk, hogy |�⃗� |2∙ (5 + 6 ∙ cos𝜑 − 8) = 0.

Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Ezek alapján |�⃗� |2= 0, vagyis |�⃗� | = 0, vagy 5 + 6 ∙ cos 𝜑 − 8 = 0, amiből 𝜑 = 60°.

13. Legyen �⃗⃗� (𝟑; 𝟒) és �⃗⃗� (−𝟐; 𝟏). Határozd meg az �⃗⃗� – nak �⃗⃗� – re, és a �⃗⃗� – nek �⃗⃗� – ra eső

merőleges vetületének hosszát!

Megoldás:

Tudjuk, hogy cos𝜑 = −cos(180° − 𝜑).

Ebből az 𝑎 vektor �⃗� – re eső merőleges vetületének hosszát megkaphatjuk a következőképpen:

|𝑎 | ∙ |cos𝜑| =|�⃗� ∙ �⃗� |

|�⃗� |=

|3 ∙ (−2) + 4 ∙ 1|

√(−2)2 + 12=

2

√5

A �⃗� vektor 𝑎 – ra eső merőleges vetületének hossza pedig:

|�⃗� | ∙ |cos𝜑| =|�⃗� ∙ �⃗� |

|�⃗� |=

|3 ∙ (−2) + 4 ∙ 1|

√32 + 42=

2

5


6

14. Egy kocka élei 𝟏 egység hosszúságúak. Ennek az egyik csúcsából kiinduló élvektorait

jelölje �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗� . Mivel egyenlők a következő skaláris szorzatok:

�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ; (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) ∙ �⃗⃗� ; (�⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗� ) ∙ �⃗⃗� ; (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) ∙ �⃗� ; (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) ∙ (�⃗⃗� + �⃗� ); (�⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗� ) ∙ (�⃗⃗� − �⃗� )?

Megoldás:

Tekintsük a következő ábrát:

A vektorok által bezárt szögek megállapítása után felírhatjuk a skaláris szorzatok értékeit:

𝑎 ∙ �⃗� = 1 ∙ 1 ∙ cos 90° = 0

(𝑎 + �⃗� ) ∙ 𝑎 = √2 ∙ 1 ∙ cos 45° = 1

(𝑎 + �⃗� + 𝑐 ) ∙ �⃗� = √3 ∙ 1 ∙ cos 54,74° = 1 → az 𝐴𝐺𝐷 ∆ - ben: 𝑡𝑔 𝜑 =√2

1

(𝑎 + �⃗� ) ∙ 𝑐 = |𝑎 + �⃗� | ∙ |𝑐 | ∙ cos 90° = 0

(𝑎 + �⃗� ) ∙ (�⃗� + 𝑐 ) = 𝑎 ∙ �⃗� + �⃗� 2 + 𝑎 ∙ 𝑐 + �⃗� ∙ 𝑐 = 0 + 1 + 0 + 0 = 1

(𝑎 + �⃗� + 𝑐 ) ∙ (𝑎 − 𝑐 ) = 𝑎 2 + �⃗� ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑎 − 𝑎 ∙ 𝑐 − �⃗� ∙ 𝑐 − 𝑐 2 = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 1 = 0


7

15. Egy egyenlőszárú, derékszögű háromszögben a befogók hossza 𝟏 egység. Az

oldalvektorok: �⃗⃗� = 𝑪𝑨⃗⃗⃗⃗ ⃗; �⃗⃗� = 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; �⃗� = 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Határozd meg a következő skaláris

szorzatok értékét: �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ; �⃗⃗� ∙ �⃗� ; �⃗⃗� ∙ �⃗� ; (�⃗⃗� − �⃗⃗� ) ∙ �⃗� !

Megoldás:



𝑎 ∙ �⃗� = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 90° = 0 𝑎 ∙ 𝑐 = 1 ∙ √2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 45° = 1

�⃗� ∙ 𝑐 = 1 ∙ √2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 135° = −1 (𝑎 − �⃗� ) ∙ 𝑐 = 𝑐 ∙ 𝑐 = √2 ∙ √2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 0° = 2

16. Az egység oldalú, szabályos 𝑨𝑩𝑪 ∆ - ben �⃗⃗� = 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗; �⃗⃗� = 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; �⃗� = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Számítsd ki a

következő skaláris szorzatok értékét: �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ; �⃗⃗� ∙ �⃗� ; (�⃗⃗� − �⃗� ) ∙ �⃗⃗� ; (�⃗⃗� + �⃗� ) ∙ (�⃗⃗� − �⃗� )!

Megoldás:



𝑎 ∙ �⃗� = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° =1

2

�⃗� ∙ 𝑐 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 120° = −1

2

(�⃗� − 𝑐 ) ∙ 𝑎 = �⃗� ∙ 𝑎 − 𝑐 ∙ 𝑎 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° − 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 120° =1

2− (−

1

2) = 1

(�⃗� + 𝑐 ) ∙ (�⃗� − 𝑐 ) = (�⃗� + 𝑐 ) ∙ 𝑎 = �⃗� ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑎 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° + 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 120° =1

2+ (−

1

2) = 0


8

17. Egy szabályos hatszög középpontjából három szomszédos csúcsba mutató vektor

�⃗⃗� ; �⃗⃗� ; �⃗� . A hatszög oldalának hossza 𝟏 egység. Határozd meg a következő skaláris

szorzatok értékét: �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ; �⃗⃗� ∙ �⃗� ; (�⃗⃗� − �⃗⃗� ) ∙ �⃗� ; (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) ∙ �⃗� !

Megoldás:



𝑎 ∙ �⃗� = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° =1

2 𝑎 ∙ 𝑐 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 120° = −

1

2

(𝑎 − �⃗� ) ∙ 𝑐 = −𝑐 ∙ 𝑐 = −1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 0° = −1

(𝑎 + �⃗� ) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + �⃗� ∙ 𝑐 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 120° + 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° = −1

2+

1

2= 0

18. Egy szabályos 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭 hatszög oldalainak hossza 𝟏 egység. Számítsd ki a következő

skaláris szorzatok értékét: 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑫𝑬⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑭𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑨𝑬⃗⃗ ⃗⃗ ⃗; 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑪𝑬⃗⃗⃗⃗ ⃗!

Megoldás:



𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 180° = −1 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 1 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 0° = 2

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √3 ∙ √3 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° =3

2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √3 ∙ √3 ∙ 𝑐𝑜𝑠 60° =

3

2


9

19. Legyen az 𝑨𝑩𝑪𝑫 négyzet köré írt körének egy pontja a 𝑷 pont. Bizonyítsd be, hogy

ha a négyzet oldalaiank hossza 𝟏 egység, akkor

a) (𝑷𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑷𝑪⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) ∙ (𝑷𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑷𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝟐

b) (𝑷𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑷𝑪⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) ∙ (𝑷𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑷𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝟎

Megoldás:


a) Először írjuk fel a zárójeles kifejezéseket egyszerűbb alakban:

𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐾𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐾𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐾𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐾𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ∙ 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐾𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ∙ 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

Ezek alapján adódik a bizonyítandó állítás:

(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) ∙ (𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 2 ∙ 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 2 ∙ 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 4 ∙ 𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 = 4 ∙ |𝑃𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|2= 4𝑟2 = 4 ∙ (

√2

2)2

= 2

b) Először írjuk fel a zárójelben szereplő kifejezéseket egyszerűbb alakban:

𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Mivel a négyzet átlói merőlegesen felezik egymást, így adódik a bizonyítandó állítás:

(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) ∙ (𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| ∙ |𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ cos 90° = 0


10

20. Bizonyítsd be, hogy a rombusz átlói merőlegesek egymásra!

Megoldás:

Legyen a két átlóvektor 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ és 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .


Ebből felírhatjuk a következőt:

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) ∙ (𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 = |𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|2− |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|

2= 𝑎 − 𝑎 = 0

Mivel az átlóvektorok skaláris szorzata 0, így a vektorok merőlegesek egymásra.

21. Bizonyítsd be, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldalak

négyzetösszegével!

Megoldás:

Legyen a két átlóvektor 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ és 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .


Ebből felírhatjuk a következőt:

|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|2+ |𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

2= 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = (𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗)

2+ (𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗)

2=

= 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 + 2 ∙ 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 − 2 ∙ 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 = 2 ∙ 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 + 2 ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 =

= 2 ∙ |𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|2+ 2 ∙ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|

2


11

22. Bizonyítsd be, hogy ha 𝑨𝑩𝑪𝑫 téglalap és 𝑶 a tér tetszőleges pontja, akkor

𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟐 + 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟐 = 𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟐 + 𝑶𝑫⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝟐!

Megoldás:


Az összefűzési szabály segítségével a két oldalt alakítsuk át a következőképpen:

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗)2= (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗)

2+ (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)

2

Ebből zárójelbontás és rendezés után a következő adódik:

𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 2 ∙ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 2 ∙ 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 2 ∙ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

Mivel a téglalap oldalai merőlegesek, így 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0, továbbá tudjuk, hogy 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Ezek alapján azonosságot kapunk: 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 2 ∙ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 2 ∙ 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗.

23. Bizonyítsd be, hogy 𝑫𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑫𝑩⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∙ 𝑪𝑨⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑫𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎, ha 𝑨,𝑩, 𝑪,𝑫 tetszőleges pont!

Megoldás:

Megfelelő átalakítások után adódik a bizonyítandó állítás:

𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

= 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ (−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗) + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ (𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ (𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0


12

24. Bizonyítsd be, hogy (�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ) ∙ �⃗� − (�⃗⃗� ∙ �⃗� ) ∙ �⃗⃗� merőleges �⃗⃗� – ra!

Merőleges:

Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát:

[(𝑎 ∙ �⃗� ) ∙ 𝑐 − (𝑎 ∙ 𝑐 ) ∙ �⃗� ] ∙ 𝑎 = (𝑎 ∙ �⃗� ) ∙ (𝑐 ∙ 𝑎 ) − (𝑎 ∙ 𝑐 ) ∙ (�⃗� ∙ 𝑎 ) = 0.

Mivel a vektorok skaláris szorzata 0, így a vektorok merőlegesek egymásra.

25. Bizonyítsd be, hogy ha 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ+, akkor √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ∙ √𝒄𝟐 + 𝒅𝟐 ≥ 𝒂 ∙ 𝒄 + 𝒃 ∙ 𝒅!

Megoldás:

Legyen 𝑣 (𝑎; 𝑏) és �⃗⃗� (𝑐; 𝑑).

Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2 ∙ √𝑐2 + 𝑑2 ∙ cos 𝜑.

Mivel cos𝜑 ≤ 1, így adódik a bizonyítandó állítás: 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑 ≥ √𝑎2 + 𝑏2 ∙ √𝑐2 + 𝑑2.

26. Bizonyítsd be, hogy bármely 𝒂, 𝒃, 𝒄 valós számra 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ≤ √𝟑 ∙ (𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐)!

Megoldás:

Legyen 𝑣 (𝑎; 𝑏; 𝑐) és �⃗⃗� (1; 1; 1).

Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát:

𝑎 ∙ 1 + 𝑏 ∙ 1 + 𝑐 ∙ 1 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ∙ √12 + 12 + 12 ∙ cos 𝜑.

Ebből rendezés után a következő adódik: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = √3 ∙ (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) ∙ cos 𝜑.

Mivel cos𝜑 ≤ 1, így adódik az állítás: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≤ √3 ∙ (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2).

27. Bizonyítsd be, hogy 𝟒𝒂 + 𝟑𝒃 ≤ √𝒂𝟐 + 𝟗 ∙ √𝒃𝟐 + 𝟏𝟔! Mikor teljesül az egyenlőség?

Megoldás:

Legyen 𝑣 (𝑎; 3) és �⃗⃗� (4; 𝑏).

Írjuk fel a két vektor skaláris szorzatát: 4𝑎 + 3𝑏 = √𝑎2 + 32 ∙ √42 + 𝑏2 ∙ cos 𝜑.

Mivel cos𝜑 ≤ 1, így adódik a bizonyítandó állítás: 4𝑎 + 3𝑏 ≤ √𝑎2 + 9 ∙ √16 + 𝑏2.

A két oldal akkor egyenlő, ha 𝜑 = 0°, vagyis 𝑎 ∙ 𝑏 = 3 ∙ 4 = 12.


13

28. Mivel egyenlő a következő vektoriális szorzatok: 𝒊 ⨯ 𝒋 ; 𝒋 ⨯ �⃗⃗� ; �⃗⃗� ⨯ 𝒊 ; 𝒋 ⨯ 𝒊 ; �⃗⃗� ⨯ 𝒋 ; 𝒊 ⨯ �⃗⃗� ?

Megoldás:

A vektoriális szorzat definíciójából a következők adódnak:

𝑖 ⨯ 𝑗 = �⃗� 𝑗 ⨯ �⃗� = 𝑖 �⃗� ⨯ 𝑖 = 𝑗 𝑗 ⨯ 𝑖 = −�⃗� �⃗� ⨯ 𝑗 = −𝑖 𝑖 ⨯ �⃗� = −𝑗

29. Számítsd ki az 𝑨𝑩𝑪𝑫 paralelogramma területét, ha 𝑨 (𝟏; 𝟐; 𝟑), 𝑩(𝟐;−𝟏; 𝟑) és

𝑪(𝟓;−𝟐;−𝟑)!

Megoldás:

A paralelogramma területét felírhatjuk következőképpen: |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⨯ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| ∙ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| ∙ sin 𝜑.

Először számítsuk ki az oldalvektorok hosszát:

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √12 + (−3)2 + 02 = √10

|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √32 + (−1)2 + (−6)2 = √46

|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √42 + (−4)2 + (−6)2 = √68

Ezt követően koszinusz - tétel segítségével számítsuk ki a közbezárt szöget:

(√68)2= (√10)

2+ (√46)

2− 2 ∙ √10 ∙ √46 ∙ cos 𝜑 → 𝜑 ≈ 106,24°

Ezek alapján a megoldás: 𝑇 = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⨯ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √10 ∙ √46 ∙ sin 106,24° ≈ 20,59.

30. Határozd meg az �⃗⃗� ⨯ �⃗⃗� koordinátáit, ha �⃗⃗� (𝟐; 𝟑) és �⃗⃗� (−𝟏;−𝟑)!

Megoldás:

Először számítsuk ki a két vektor hosszát:

|𝑎 | = √22 + 32 = √13 |�⃗� | = √(−1)2 + (−3)2 = √10

Ezt követően számítsuk ki a két vektor hajlásszögét:

cos𝜑 =2 ∙ (−1) + 3 ∙ (−3)

√13 ∙ √10 → 𝜑 ≈ 164,74°

Ebből számítsuk ki a következőt: |𝑎 | ⨯ |�⃗� | = |𝑎 | ∙ |�⃗� | ∙ sin𝜑 = √13 ∙ √10 ∙ sin 164,74° = 3.

Ezek alapján a megoldás: 𝑎 ⨯ �⃗� (0; 0;−3).

Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Ebből az vektor ⃗ – re eső merőleges vetületének...

Documents

Transcript of Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Ebből az vektor ⃗ – re eső merőleges vetületének...