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1 - Medidas de Tendência Central
n
xx
i
•Definição – medida de tendência central é um único valor
que representa ou tipifica um conjunto de valores. Nunca
pode ser menor que o menor valor do conjunto
considerado nem maior do que o maior valor do mesmo
conjunto.
•Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e
gráficos, constituem a informação básica do problema em
estudo. Mas é conveniente apresentar, além dos dados,
medidas que mostrem a informação de uma maneira
resumida. As medidas de tendência central, dão o valor do
ponto em torno do qual os dados se distribuem. São
medidas de tendência central: a média aritmética (ou
simplesmente média), a mediana e a moda.
1.1 – Médias
Para Dados Grupados
1.1.1 - Média Aritmética Simples
(Amostra)
(População)
x
N
xx
n
Tabela 5.1: Peso, em gramas, de ratos machos da raça Wistar com
30 dias de idade.
50 62 70
86 60 64
66 77 58
55 82 74
Média Aritmética Simples
• Propriedades
1 – A média de um conjunto de números pode sempre ser
calculada;
2 – Para um dado conjunto de números, a média é única;
3 – A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores
do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média
também.
4 – Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a cada
valor do conjunto, a média ficará aumentada (ou
diminuída do valor;
5 – A soma dos desvios dos números de um conjunto a
contar da média é zero. Ou seja,
Ex: 2, 4, 6 e 8 ( ) 0ix x
1.1.2 - Média Aritmética Ponderada
i
ii
pp
pxx
.
Ex.: Um aluno tem as seguintes notas, em Estatística, para o 1º
semestre: Prova escrita 7,3; gráfico 8,5 e trabalho de pesquisa
6,4. Sabendo que os pesos atribuídos a essas notas são,
respectivamente 5, 2 e 3, qual é a média deste aluno, em
Estatística no 1º bimestre?
1.2.3 - Média Harmônica
- A média harmônica nunca é maior do que a média geométrica
ou do que a média aritmética.
A média harmônica provê a correta
noção de média .
- Uma característica de média harmônica é o fato de o resultado
estar mais "próximo" do menor número do que do maior.
i
h
x
nx
1
1.1.4 - Média Harmônica Ponderada
Ex: Calcule a média harmônica dos valores do conjunto 5, 3, 4,
9 e 6; sabendo que lhes são atribuídos os pesos: 1, 2, 4, 7 e 2,
respectivamente.
1.1.5 - Média Geométrica
- É definida como o produto de todos os membros do conjunto
elevado ao inverso do número de membros.
- A média geométrica apresenta menor variância, o que reduz o
impacto de valores individuais elevados
i
i
i
hp
x
p
px
nixx
2 - Mediana
1º - Se o número de elementos for ímpar, o elemento
mediano será dado pelo valor central do rol
1 – 5 – 7 – 9 – 14 – 15 – 17 – 23 – 23 – 52 – 60
2º - Se o número de elementos for par, a mediana será
igual a média aritmética dos dois valores centrais do rol.
2 – 5 – 6 – 6 – 11 – 27 – 43 – 54 – 72 – 86
A mediana de um conjunto de números é maior que uma
metade dos valores e menor que a outra metade.
3 - Moda
É o valor que ocorre com maior freqüência no conjunto, ou
seja, é o valor que se repete mais vezes.
A moda é chamada de medida especial porque tem
características bem diferentes das de outras medidas de
tendência central, ou seja, um conjunto pode apresentar
uma moda (unimodal), duas modas (bimodal), várias
modas (plurimodal), ou ainda não apresentar moda
(amodal).
a) 2 – 3 – 3 – 5 – 8 – 9
b) 2 – 5 – 5 – 7 – 9 – 11 – 12 – 12 – 15 – 17
c) 3 – 4 – 5 – 6 – 8 – 10
1.1. Média Aritmética
Quando os dados são expostos numa distribuição de freqüências,
todos os valores incluídos em uma classe são considerados
coincidentes com seu ponto médio, por isso, sempre que trabalhamos
com dados agrupados numa distribuição de freqüências, em primeiro
lugar calculamos os pontos médios de todas as classes. As
freqüências absolutas nada mais são do que os pesos, já que
representam a quantidade de valores existentes em cada classe.
Notação:
fi
xifix
.
Classes fi fi.xi
150 - 156 16 153 2448
156 - 162 18 159 2862
162 - 168 30 165 4950
168 - 174 25 171 4275
174 - 180 20 177 3540
180 - 186 12 183 2196
186 - 192 8 189 1512
Total 129 21783
ix
1.2. Mediana
Em dados grupados, devemos calcular primeiro o ponto de localização
da mediana através da fórmula , já que a quantidade de valores
nos é dado pela soma das freqüências. Depois de calculado ,
vamos localizar nas freqüências acumuladas para verificar em que classe
se encontra a mediana do conjunto. Feito isso, devemos aplicar a
seguinte fórmula:
onde:
li – limite inferior da classe localizada pelo .
h – intervalo de classe.
fi – freqüência simples da classe que contém a mediana.
faant – freqüência acumulada da classe anterior à localizada.
2
fi
2
fi
2
fi
fi
fafi
h
liMdant
2
5,642
129
2
fi
li – 168
h – 6
fi – 25
faant – 64
12,168
25
5,06168
25
645,646168
21
Md
Md
Md
fi
fafihliMd
ant
1.3. Moda
• Tome a classe que apresenta a maior freqüência →classe
modal
• A moda será ponto médio da classe modal: (liminf+ limsup)/2
• Método de King
• Onde
li: limite inferior da classe modal
fiant: freqüência da classe anterior à classe modal
fipos: freqüência da classe posterior à classe modal
h: amplitude da classe modal
0 .pos
ant pos
fiM li h
fi fi
Moda – Métodos
Método de CZUBER que leva em consideração as freqüências anterior
e posterior à classe modal.
Notação:
Onde:
li: limite inferior da classe modal
fiMo: freqüência da classe modal
fiant: freqüência da classe anterior a modal
fipos: freqüência da classe posterior a modal
h: amplitude da classe modal
( ).[2 ( )]
mo ant
mo mo ant
fi fiMo li h
f fi fi
Moda - Métodos
• Método de Pearson:
Onde
Md: Mediana e x: Média
• Relação entre Média, a Moda e a Mediana.
(Relação de Pearson)
• Mostrar as variações.
0 3 2M Md x
3( )x Mo x Md
1.4. Medidas Separatrizes
1.4.1. Quartis
Os Quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais:
Q1 = 25% dos valores menores do que
ele e 75% maiores.
Q2 = 50% dos valores menores do que
ele e 50 maiores. ETC...
Notação:
fi
fafiihliQ
ant
41
1
.
fi
fafiihliQ
ant
43
3
.
fi
fafiihliMdQ
ant
42
2
.
1.4.2. Decis
Os Decis são os valores que dividem a amostra em 10 partes iguais.
Notação:
1.4.3. Percentis
Os Percentis são as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais.
Notação:
fi
FaihliD
ant
fi
i
10.
fi
FaihliP
ant
fi
i
100.
Exercícios
• Um representante comercial, fornecedor de supermercados, fez
levantamento do consumo de seu principal produto em vários
supermercados obtendo em determinado mês a tabela:
1. Ache o consumo médio do produto por supermercado.
2. Calcule a mediana de consumo. O que ela representa?
3. Sabendo que o consumo máximo por supermercado é de 6000
unidades, calcule a Moda de Czuber e interprete o valor.
Nº Unidades
Consumidas fi xi xi.fi Fi
0|--- 1000 10 500 5000 10
1000|--- 2000 50 1500 75000 60
2000|--- 3000 200 2500 500.000 260
3000|--- 4000 320 3500 1.120.000 580
4000|--- 5000 150 4500 675.000 730
5000|--- 6000 30 5500 165.000 760
∑ 760 2.540.000
Exercícios
• Uma amostra de tempo de vida útil de uma peça forneceu a seguinte
distribuição:
- Se o produtor deseja estabelecer uma garantia mínima para o nº de horas
de vida útil de uma peça trocando a peça que não apresentar este nº de
horas, qual é a garantia, se ele está disposta a trocar até 8% das peças?
Nº Horas de Vida
Útil fi Fi
0|--- 100 6 6
100|--- 200 42 48
200|--- 300 86 134
300|--- 400 127 261
400|--- 500 64 325
500|--- 600 8 333
∑ 333