Medidas descriptivas

Estadística DescriptivaProf. Elisa Mendoza.

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CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Y RAMAS DE

LA ESTADÍSTICA

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Breve Historia de la Estadística La Estadística como herramienta para el conteo y análisis de

datos, no es nueva, pues, la historia cuenta que desde los comienzos de la civilización se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Los registros de datos se hacían sobre la producción agrícola, conteo de la población (hombres, mujeres y niños), y otros recursos que sirvieran a los gobernantes de los pueblos.

La Estadística se ha convertido en un método efectivo para analizar datos, por ejemplo, económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos. Va más allá de sólo contar, pues contribuye con el proceso de interpretación de esa información y el análisis científico para la toma de decisiones.

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Estadística La Estadística es considerada como

herramienta auxiliar del método científico y de todas las ciencias del saber para la toma de decisiones.

La Estadística como ciencia, desarrolla, métodos y técnicas para la recolección, organización, procesamiento, interpretación, análisis y toma de decisiones. Por tanto, esta ciencia, adquiere contexto en el campo que se aplique.

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Metodología EstadísticaPlaneamiento, Recolección

de datos

Organización y

Presentación

Análisis de Datos

La clave de todo proceso en el desarrollo metodológico, es reconocer los propósitos de la investigación y los tipos de datos que se utilizan en el análisis.

Eta

pas d

e la

Met

odol

ogía

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Algunos conceptos básicos Población: También llamado universo. Se

refiere a la colección completa de las mediciones u observaciones de interés.– Se define en cuanto a: Espacio, Tiempo y

Características. Muestra: Es una parte de la población. Parámetro: Estos se designan con letras

griegas. Es la estadística resultante del análisis de todos los datos de la población.

Estimación: Es la estadística resultante del análisis de la muestra.

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Algunos conceptos básicos Estimador: Función matemática de los datos

muestrales. Censo: Estudio de todos los elementos de la

población. Muestreo: Técnica que permite la selección y

análisis de una parte de los elementos de la población.

Variable: Característica o propiedad de un objeto u elemento que puede tomar distintos valores de un elemento a otro. (Característica que varía de un elemento o sujeto a otro).

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Relación de Conceptos

Población:

Todos los PeperoniElementos: Peperoni

Censo: Estudio de todos los Peperoni

Muestra:

Parte de la Población: Un pedazo de pizza de PeperoniElementos: Peperoni

Muestreo: Selección de la muestra

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Estimación y Parámetros

¿?

CENSO: Estudio de todos los elementos de la

población

Las Estadísticas se denominan:

PARAMETROS

MUESTRA: Selección y Estudio de una parte de la

Población.Las Estadísticas resultantes

se denominan:

ESTIMACIONES

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Parámetros y EstimadoresEstadístico

Parámetro (Estadística Censal)

Estimador y Estimación(Estadística Muestral)

Media

Varianza 2 s2

Desviación estándar

s

Proporción P

Total

El Estimador es la función matemática y la Estimación el resultado o valor.

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RAMAS DE LA ESTADÍSTICA

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Estadística

Es la ciencia encargada de recolectar, organizar y presentar los datos con el fin de obtener conclusiones para realizar inferencias acerca de la población estudiada.

Se clasifica en dos grandes áreas:– Estadística descriptiva– Estadística inferencial

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Estadística descriptiva

RECOLECTA ORGANIZA PROCESA PRESENTA DESCRIBE

• Número• Cuadros• Gráficas

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Estadística inferencial Obtiene conclusiones, a través de técnicas

basadas en probabilidades que sirven a la toma de decisiones, a partir de una muestra probabilística.

En el análisis inferencial, los datos son extraídos aleatoriamente de una muestra (o se realiza un censo), se obtiene un error de muestreo (o de variación) con el cual se calculan estimaciones puntuales o por intervalos.

Si la muestra extraída no es aleatoria, entonces no se pueden obtener dichas estimaciones, ya que no se puede calcular el error.

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Algunos conceptos básicos Dato: es el producto del registro de una

respuesta, ya sea por observación o experimentación.

Medición: proceso de asignar números a objetos y eventos de acuerdo a ciertas reglas. (Ferrando, 2000).– Las clasificaciones de las categorías o

mediciones deben ser:• Exhaustivas• Mutuamente excluyentes.

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Clasificación de datos y variables• Cuantitativos: Datos expresados numéricamente.

– Discretos: Son números Enteros, como resultado de un proceso de conteo. No se admiten fracciones o decimales, pues no tiene sentido.

• Ejemplo: Número de hijos, Número de ausencias en un mes, etc.

– Continua: Son números Reales, es decir, que pueden ser inclusive decimales y fracciones. Producto del proceso de medición.

• Ejemplo: Peso, Estatura, Temperatura, Velocidad, etc.

• Cualitativa: No numérica. Atributo. Ejemplo: Sexo

Nominal•También se denomina “categórica”

•El orden de las categorías se establece de forma alfabética, frecuencia o regional.

•No cuantifica la característica.

•Sus categorías son Nombres.

•Se puede obtener la Moda (Frecuencias Absolutas y Porcentajes)

Ordinal•También es una característica “categórica”.

•Sus nombres, no cuantifican, pero si expresan un orden.

•Se puede establecer relaciones de “Mayor que”, y “Menor que”.

•Se puede obtener la moda, mediana si las categorías se han expresado en números que indican niveles o escalas, por ejemplo de: calidad, percepción o satisfacción (1; Mucho, 2, Regular, …)

Intervalo•Es numérica o cuantitativa.•El cero es “Arbitrario”, no expresa ausencia de la características.

•Ejemplo, la Temperatura, donde, Cero grados Celsius, por ejemplo, no implica ausencia de la temperatura.

•Se puede establecer relaciones de diferencia entre las escalas.

•Se puede calcular la media, mediana, moda y las medidas de dispersión.

Razón•Es numérica o cuantitativa.•El cero es “un valor real”, su valor expresa ausencia de la característica.

•Ejemplo, un cero en salario mensual, significa que no hay salario mensual.

•Se pueden obtener todas las medidas estadísticas descriptivas.

•Es posible utilizar las estadísticas inferenciales.

E S C A L A S D E M E D I D A

Variables cualitativas Variables cuantitativas

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ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN

DE DATOS

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Generalidades del Cuadro Estadístico

Su propósito es presentar información de manera clara y concisa. Un cuadro estadístico es la presentación de datos, en forma de tablas, ordenados sistemáticamente en columnas y/o filas.

El cuadro Estadístico tiene varias características importantes:

1. Número del cuadro2. Título3. Encabezado4. Columna Matriz5. Matriz de Datos6. Casillas7. Notas8. Llamadas9. Fuentes

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Formato del Cuadro EstadísticoCuadro (Número (1) ). (Título (2))

Encabezado (3)

Columna Matriz

(4)

Matriz de Datos (5)

Casilla (6)

Notas (7)Llamadas (8)Fuente (9)

Los cuadros estadísticos no se cierran con líneas en los bordes izquierdo ni derecho.

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Ejemplo. Cuadro Estadístico

2010.............................................. 5.121 715 4.453 822 1.091 3.3562011…………………………..… 5.551 671 4.744 785 1.114 3.3432012…………………….………………..……6.025 629 5.138 737 1.232 3.0742013…………………………………….. 6.068 635 5.158 747 1.208 3.1882014 (P)……………………………………..6.179 633 5.262 744 1.196 3.272

Enfermeras(os) Odontólogos(as)

Número Habitantes por médico(a) (1)

Número Habitantes por enfermera(o) (1)

Número Habitantes por odontólogo(a) (1)

Cuadro 431-02. MÉDICOS(AS), ENFERMERAS(OS) Y ODONTÓLOGOS(AS) EN LAS INSTALACIONES DE SALUD DE LA REPÚBLICA, SEGÚN AÑOS. Años 2010-14(P)

Años

Médicos(as)

Fuente: Contraloría General de la República.

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2000.................................................................................484 362 122 149 114 35 44 26 182001.................................................................................473 360 113 148 112 36 56 41 152002.................................................................................473 338 135 141 114 27 54 34 202003.................................................................................424 315 109 111 86 25 54 34 202004.................................................................................444 328 116 129 96 33 47 31 162005.................................................................................447 338 109 133 98 35 42 29 132006.................................................................................471 354 117 140 102 38 46 29 172007.................................................................................460 337 123 147 102 45 38 31 72008.................................................................................473 370 103 140 109 31 46 40 62009.................................................................................491 374 117 164 127 37 34 24 102010..................................................………………………………………..533 404 129 129 103 26 22 14 82011...............................................................………………………………………..440 315 125 126 92 34 28 14 142012..........................................................................478 358 120 110 73 37 24 15 92013...............................................................………………………………………..515 371 144 105 71 34 36 23 132014...............................................................………………………………………..484 373 111 97 73 24 29 19 10

Mujeres

Cuadro 221-10. DEFUNCIONES POR ENFERMEDAD POR VIRUS DE LA INMUNODEFICIENCIA HUMANA (VIH) EN LA REPÚBLICA Y CIUDADES DE PANAMÁ Y COLÓN, POR SEXO:

AÑOS 2000-2014

Año

Defunciones por enfermedad por virus de la inmunodeficiencia humana (VIH)

República Ciudad de Panamá Ciudad de Colón

Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres Total Hombres

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Menos de 1................................................................3 2 1 1 1 - - - - 5 a 14....................................................................1 1 - 1 1 - - - - 15 a 24....................................................................43 34 9 3 2 1 1 - 1 25 a 34....................................................................136 107 29 21 17 4 12 9 3 35 a 44....................................................................120 88 32 23 16 7 6 3 3 45 a 54....................................................................109 86 23 31 22 9 5 4 1 55 a 64....................................................................48 36 12 11 10 1 3 1 2 65 a 74....................................................................18 13 5 5 3 2 1 1 - 75 a 84....................................................................4 4 - - - - 1 1 - No especificada.....................................................2 2 - 1 1 - - - -

NOTA: Se excluyen los grupos de edad 1 a 4 y de 85 y más, en el cual no se registró información por esta causa.(a) Cifras suministradas por la División de Epidemiología del Ministerio de Salud.

Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres

Cuadro 221-10. DEFUNCIONES POR ENFERMEDAD POR VIRUS DE LA INMUNODEFICIENCIA HUMANA (VIH) EN LA REPÚBLICA Y CIUDADES DE PANAMÁ Y COLÓN, POR SEXO, SEGÚN EDAD:

AÑO 2014

Edad

Defunciones por enfermedad por virus de la inmunodeficiencia humana (VIH)

República Ciudad de Panamá Ciudad de Colón

Total Hombres Mujeres

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Tablas de Frecuencias.(Datos Agrupados)

Tabla de Frecuencia es una forma esquemática de organizar y presentar lo datos.

Se presentan en columnas: Clases (Datos de la Variable segmentada en rangos), Frecuencias Absoluta (fi), Frecuencias Relativas (fr), y frecuencias acumuladas Fi y Fr, entre otras columnas que sirven para cálculos de medidas estadísticas.

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Tablas de Frecuencias. Sin agrupación de datos en clases. Tipo II Se recomienda emplear este tipo de tablas

cuando, se dan dos situaciones:– Muchos datos (más de 30), y– Poca variabilidad de los datos. Los datos son muy

parecidos.Estos datos son típicos en poblaciones de estudio con características muy parecidas, o grupos específicos. Ejemplo, las edades de los niños atendidos en el programa de Estimulación temprana.

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Elementos de una tabla de Frecuencias – Datos cuantitativos

Tabla 1. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LA EDAD DE NIÑOS ATENDIDOS EN EL PROGRAMA DE ESTIMULACIÓN TEMPRANA

DE LA CSS. AÑO 2012-2013

Observaciones: Las tablas de frecuencias se componen de los valores de la variable de estudio (Edad, en este ejemplo), de las Frecuencias absolutas y de las Frecuencias Relativas. Se agregan las Acumuladas, para una mejor interpretación de los datos.

** LOS DATOS SON HIPOTÉTICOS.

Edad

Frecuencias Absolutas Frecuencias Relativas

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia Acumulada (Fi)

Frecuencia Relativa (fr%)

Frecencia Relativa Acumulada (Fr%)

5 6 6 4,00 4,006 51 57 34,00 38,007 60 117 40,00 78,008 33 150 22,00 100,00

Total 150 100,00

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Tablas de Frecuencias. Agrupación de datos en Clases. Tipo III

Se recomienda emplear este tipo de tablas cuando, se dan dos situaciones:– Muchos datos (más de 30), y– Mucha variabilidad de los datos, es

decir, muchos valores diferentes, e incluso la existencia de valores extremos.

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Elementos de una tabla de Frecuencias – Datos cuantitativos

Tabla 1. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LA EDAD DE MUJERES EMBARAZADAS ATENDIDAS EN LA CSS.

AÑOS 2001-2012

Observaciones: Las tablas de frecuencias se componen de las Clases o Intervalos de agrupación de la variable de estudio (Edad, en este ejemplo), de las Frecuencias absolutas y de las Frecuencias Relativas. Se agregan las Acumuladas, para una mejor interpretación de los datos.

** LOS DATOS SON HIPOTÉTICOS.

Edad


Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia Acumulada (Fi)

Frecuencia Relativa (fr%)

Frecencia Relativa Acumulada (Fr%)

16 - 20 3 3 0,35 0,3521 - 25 79 82 9,32 9,6726 - 30 226 308 26,65 36,3231 - 35 293 601 34,55 70,8736 - 40 196 797 23,11 93,9941 - 45 51 848 6,01 100,00Total 848 100,00

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Técnica de agrupación de los datos de la variable de análisis. Definir la cantidad de clases.Existen diversas técnicas para agrupar los datos. Se ilustrarán tres técnicas:1. Uso de la Fórmula de Sturges. Mayormente

empleada en el campo de la salud.

2. Uso de la Raíz de n (donde n, es el número de datos).3. Lo que disponga el investigador o con base a información teórica sobre la variable de análisis.

C

𝐶=√𝑁

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Técnica de agrupación de los datos de la variable de análisis. Definir la Amplitud de clase

Para determinar la amplitud, se debe:1. Calcular el Rango:

R= Valor máximo – Valor mínimo

2. Calcular la amplitud, como:A= Rango / Clase

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Ejemplo Los siguientes datos corresponden a los tiempos (en meses) de

duración de tratamientos dentales, registrados en una muestra 40 pacientes atendidos en la Clínica Odontológica de la UIP.

3 30 20 3114 11 25 1610 29 33 1725 23 13 3113 34 32 1328 35 31 1515 15 8 3630 29 20 2818 30 12 3

6 10 6 28

Paso 1. Identificar el valor mínimo y el Valor máximo para determinar el Rango=Vmax-Vmin: R=36-3=33Paso 2. Determinar el número de clases:C = 1+(3,322*log(n))C=1+(3,322*log(40))C=1+(3,322*1,60)C=1+5,32=6,32 7

Paso 3. Determinar la Amplitud. A = R/C = 33/7=4,71 5

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Ejemplo

Tiempo de Tratamiento fi Fi fr% Fr%

3 7 4 4 10,0 10,08 12 5 9 12,5 22,5

13 17 9 18 22,5 45,018 22 3 21 7,5 52,523 27 3 24 7,5 60,028 32 12 36 30,0 90,033 37 4 40 10,0 100,0

Total 40 100,0

Clases de Ancho 5,Ej: 3,4,5,6,7

CantidadDe Clases:C=7


TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LOS TIEMPOS DE TRATAMIENTO DE PACIENTES

ATENDIDOS EN LA CLINICA DE ODONTOLOGÍA. AÑO 2014

A la tabla de frecuencias se le pueden agregar otros datos con propósitos de hacer cálculos y gráficas. Por ejemplo, Límites Reales y el Punto Medio de las clases.

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Ejemplo. Agregando Límites Reales y Punto Medio Punto

Medio (Xi) fi Fi fr% Fr%

3 7 2,5 7,5 5 4 4 10,0 10,08 12 7,5 12,5 10 5 9 12,5 22,5

13 17 12,5 17,5 15 9 18 22,5 45,018 22 17,5 22,5 20 3 21 7,5 52,523 27 22,5 27,5 25 3 24 7,5 60,028 32 27,5 32,5 30 12 36 30,0 90,033 37 32,5 37,5 35 4 40 10,0 100,0

40 100,0Total

Tiempo de Tratamiento

Límites Reales (LRi, LRs)

Los límites reales y el punto medio, se obtienen a partir de las clases o intervalos de agrupación de la variable de estudio.Obsérvese que los límites reales coinciden el límite real superior de la primera clase con el límite real inferior de la siguiente. Así sucesivamente.El Punto medio es el punto central de la clase. Por ejemplo: 3, 4, 5, 6, 7.Este cálculo se obtiene, fácilmente, sumando los límites, luego dividiendo entre dos. Ejemplo: X= (3+7)/2 = 10/2 = 5

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N° %Total 56 100.0

Femenino 37 66.1Masculino 19 33.9

PacientesSexo del Paciente

Tabla 2. PACIENTES ATENDIDOS EN LA CLÍNICA ODONTÓLOGICA DE LA UP,

SEGÚN SEXO. Abril de 2013

Las tablas de frecuencias para datos cualitativos, deben presentar las frecuencias absolutas (N°) y las frecuencias relativas (%). Las categorías llevan un orden: Alfabético, Lógico o Geográfico.Ta

bla

de F

recu

enci

a pa

ra D

atos

cua

litat

ivos

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Práctica. No.1

1. El siguiente conjunto de datos muestra las calificaciones promedios en un rango de 80 puntos de 70 participantes en una prueba de habilidades para un puesto laboral.

2. Determine el Rango: Valor Máximo y Mínimo3. Determine el número de clases: C4. Determine la Amplitud: A5. Elabore la Tabla de Frecuencias

67.5 40 71.2 61.9 62.6 60.6 56.6 50.3 49.8 54.0

57.5 68.0 75.6 61.2 77.0 51.1 49.2 50.4 52.1 49.7

56.4 56.2 68.2 45.0 55.1 51.5 48.6 39.7 38.2 44.7

64.6 54.1 55.4 44.7 51.1 49.4 45.3 53.1 56.2 47.3

47.6 54.5 60.0 59.0 41.3 54.5 49.6 51.7 59.9 53.0

54.3 50.3 50.3 63.3 45.3 61.8 59.2 66.0 63.4 66.3

51.7 44.1 59.5 57.7 51.4 47.2 54.8 46.1 45.7 79.7

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Práctica. No.1Construya la tabla de frecuencias. Use la fórmula de Sturges.

2. Los siguientes datos corresponden al IMC de estudiantes universitarios de la UIP, registrados en el año 2014.1. Determine el Rango: Valor Máximo y Mínimo2. Determine el número de clases: C3. Determine la Amplitud: A4. Elabore la Tabla de Frecuencias

21,1 27,9 22,821,1 20,3 18,424,2 22,0 29,820,4 21,2 20,121,0 19,1 21,920,3 28,3 24,020,4 19,9 24,319,4 25,5 18,920,0 18,2 23,127,4 23,3 20,425,8 25,9 22,0

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3. En el estudio realizado a madres que llevan a sus niños a odontopediatría, se les preguntó sobre el número de hijos que tenían, los datos se registraron en la siguiente tabla. Con estos datos, elabore la Tabla de Frecuencias

3 2 1 22 1 1 31 1 2 21 1 2 31 2 1 13 1 1 33 1 3 11 1 1 33 1 1 11 1 3 13 1 1 31 2 3 1

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4. Los siguientes datos son de tipo cualitativo. Con estos, organizar una tabla de frecuencias. Sólo debe incluir frecuencia absoluta y frecuencia relativa. No las acumuladas. Los datos corresponden a las respuestas de los estudiantes de la UIP 2014, que participaron en un estudio nutricional, en cuanto a su fruta favorita.

Aguacate guineo mango manzana naranja pera piñaAguacate guineo mango manzana naranja piña piñaAguacate guineo mango manzana naranja piña piñaAguacate guineo mango manzana naranja piña Sandíaguineo guineo manzana manzana naranja piña Sandíaguineo guineo manzana manzana papaya piña Sandíaguineo guineo manzana melón papaya piña Sandíaguineo guineo manzana melón pera piña Uvasguineo guineo manzana naranja pera piña Uvasguineo mango manzana naranja pera piña Uvas

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5. Los siguientes datos son de tipo cualitativo. Con estos, organizar una tabla de frecuencias. Sólo debe incluir frecuencia absoluta y frecuencia relativa. No las acumuladas. Los datos corresponden a las respuestas de los estudiantes de la UIP 2014, con respeto a su tipo de sangre.

O + A + O +O + B - A +O + A + O +O - B + A +O + A + O +O + AB + O +A + O - A +O + AB - A -

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: Datos sin agrupar

MEDIAMEDIANA

MODA

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Medidas descriptivas Medidas de Tendencia central: el propósito es

determinar el mejor “dato” central que podría representar al conjunto de todos los datos o mediciones. Las más comunes son:– Media aritmética o promedio– Mediana– Moda

Valor central

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Media Aritmética (promedio)Es la medida más comúnmente utilizada. Es denotada como:

“equis barra” y se define como la suma de todos los valores observados o medidos entre el número total de observaciones.

x

n

x

datosdetotaldatoslostodosdesumax

ni

ii

1

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Ejemplo: (en distribución simple)Los siguientes datos son las puntuaciones obtenidas por 15 estudiantes del curso de Estadística:

La media es:

3110310

1036...302830

x

x

Edad30283033312530323536

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Interpretación de la media

La edad promedio de las madres que llevaron sus niños a odontopediatría es de 30,2 años de edad.

min:25 media=31 max: 36

Esta es una representación gráfica unidimensional.

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MODAEn un lenguaje común, la Moda es lo que más se observa. Lo más frecuente.

En términos de la estadística, “MODA” es el valor de la distribución de datos que más se repite (o con mayor frecuencia). La podemos denotar como: MoEn el ejemplo anterior, la moda es:

Mo = la Edad que más se repite = 30 años

En el conjunto de datos, se repite 3 veces, mientras que el resto de las edades una sola vez.

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Interpretación de la modaLa edad de las madres más frecuente es de 30 años de edad.


moda=30

Observación:

En una distribución de datos se pueden determinar dos modas, en ese caso la distribución será (bimodal), más de dos modas (polimodal), o ninguna moda (amodal), y el caso común o normal, una moda (unimodal).

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Mediana

P = (n+1) / 2

La mediana es el valor central que divide la población en, exactamente, dos partes iguales (igual cantidad de datos por arriba y por debajo de ella) y la denotaremos por me. Para ubicar la mediana, se deben ordenar los datos, (ascendente o descendentemente). Luego se divide la cantidad de datos, para encontrar P (punto medio de todos los datos), así,

Si n es impar

Si n es par P = n/ 2

Me es exactamente el valor que corresponde a la posición P.

Donde P, es la posición central donde cae el valor de la mediana.

Me es el promedio de los dos valores Xp y Xp+1 2

1 pp XX

Me

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Continuando con el ejemplo

Recordando que n, es el número total de datos, y

Dado que n=10 ( n, es un número par)

entoncesP= (10/2) y ((10/2)+1) P= 5 y 6

La Mediana, se ubica en los datos n° 5 y 6.

Me = (30+31)/2 = 30,5Obsérvese que en este ejemplo los datos estaban ya ordenados y quedan 5 (50%) datos por arriba de 30,5 y 5 (50%) por debajo del valor de la mediana.

No. (P) Edad (X)1 252 283 304 305 306 317 328 339 3510 36

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Interpretación de la mediana


moda=30

mediana= 30,5

El valor que divide al grupo en dos partes iguales, es la edad 30,5 años de edad. Esto quiere decir que, el 50% de las madres tienen edad inferior a 30,5 años, mientras que el otro 50% tienen edad superior a esta edad.

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Principales Características de las medidas de tendencia central

La media puede emplearse como medida de resumen tanto para mediciones discretas como continuas. Pero en general no resulta adecuada para variables cualitativas (nominales u ordinales).

La mediana no es sensible al valor de cada medición. Puede utilizarse como medida de resumen en variables de escala ordinal, además de las numéricas (discretas o continuas).

La moda puede emplearse como medida de resumen para todo tipo de datos o tipo de medición.

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Práctica No.2Obtenga la media, mediana y moda en los siguientes datos muestrales de pacientes atendidos en la sala de urgencias del hospital XYZ, en enero de 2016:

Hemoglobina (mg/dl) Edad

Niveles de glucosa en ayunas (mg/dl) N°Hijos

14,1 22 98 112,4 27 76 210,8 32 100 112,2 34 118 013,0 31 103 011,8 32 99 113,6 33 81 114,3 35 89 212,5 40 97 313,6 32 79 612,0 33 116 213,4 28 95 112,7 37 84 112,4 31 102 013,0 36 108 1

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: Datos sin agrupar

RangoVarianza

Desviación estándarCoeficiente de Variación

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Existen Distintas Medidas de Dispersión

Rango: Es la medida más simple. Es utilizada para calcular los intervalos de clase de una distribución de datos agrupados.

Rango= R = Valor Máximo – Valor Mínimo

Se calcula como la diferencia entre el valor máximo menos el valor mínimo del conjunto de datos (mediciones) y se denota por R.

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VarianzaEs el promedio de las desviaciones estándar, respecto a la media, elevadas al cuadrado. Es un indicador que calcula la dispersión promedio del conjunto de datos respecto a la media. La varianza por sí sola es difícil interpretar, pero si se utiliza como un indicador comparativo de la misma variable puede decir mucho, así mismo si se relaciona con otros indicadores, es muy útil.

La varianza puede ser obtenida sobre datos poblacionales, y se designa por “sigma al cuadrado: 2”, a través de la fórmula siguiente: N

mediaxi

22 )(

Cuando la varianza se obtiene para una muestra se designa por “s al cuadrado”, a través de la fórmula siguiente: 1

)( 22

n

mediaxis

Cuando la varianza y la media son obtenidas sobre los datos de una población, se conocen como “parámetros”. Si la media y la varianza son obtenidas sobre los datos de una muestra, se conocen como “estimadores”.

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Desviación EstándarLa Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Esta es una medida que simplifica el valor de la varianza.

2

Se denota por “sigma”, cuando es la desviación sobre los datos de la población; y por s cuando se refiere a la desviación estándar de la muestra.

2ss

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Coeficiente de VariaciónEl coeficiente de variación, es un indicador en términos relativos (o porcentuales), que relaciona la desviación estándar con su media para determinar qué tanto por ciento están dispersos los datos alrededor de la media. Su interpretación es más fácil, ya que varía de cero a cien por ciento.

100*..xs

VC

Se dice que hay poca dispersión, si el coeficiente de variación es menor o igual al 15%, y la muestra es aceptable entre 15 y 30%.

MEDIDAS ESTADÍSTICAS

DATOS AGRUPADOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS

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Medidas de Tendencia Central. Datos Agrupados.

ni

ii

ni

i

f

fimix

1

1

)*(MEDIA:

Las siguientes fórmulas se aplican a datos agrupados, en tablas de frecuencias tipo I y tipo II.

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Mediana y Moda.Datos Agrupados

Los cálculos de estas medidas (Mediana y Moda) en los datos agrupados son laboriosos, para efectos prácticos, en primera instancia hablaremos de:

Clase de la Mediana; y

Clase ModalClase de la Mediana: Corresponde a la clase que contiene el valor que divide la población (o muestra) en dos partes iguales: n/2. Para determinar esta clase, se requiere de la frecuencia acumulada.

Clase Modal: Corresponde a la clase con la mayor frecuencia.

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Mediana y Moda en Datos Agrupados

MEDIANA= AfjLirmem

*

donde Lir es el Límite inferior de la clase de la mediana j es (n/2 – Frecuencia Acumulada anterior a la clase de la mediana) fm es es la frecuencia absoluta de la clase de la mediana. A es la amplitud del intervalo de clase.

MODA= ALirmo *21

1

Este símbolo (delta) representa las diferencias entre la frecuencia más alta y la anterior (delta 1) y la frecuencia más alta y la siguiente (delta 2).

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Ejemplo: Datos agrupadosEn la realidad, generalmente los datos son presentados en tablas o cuadros estadísticos (es decir, agrupados).

Si no se cuenta con las bases de datos, las medidas de tendencia central se deben obtener de ellos por medio de las fórmulas de Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados.

Considere los siguientes datos sobre el tiempo de utilizar computadoras. La muestra estuvo conformada por 289 funcionarios de una institución en el país.

Clases fi Fi mi4-8 75 75 6

9-13 112 187 1114-18 70 257 1619-23 22 279 2124-28 9 288 2629-33 1 289 31Total 289

Tabla de distribución de frecuencias del tiempo (en años) de utilizar computadoras.

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SoluciónCálculo de la Media para Datos

Agrupados

Primero se debe calcular el punto medio de cada intervalo de clase (mi):

Punto Medio (PM), también llamado Marca de Clase (mi)m1 = (4+8) / 2 = 12 / 2 = 6m2 = (9+13) / 2 = 22 / 2 = 11Se calculan los mi para las clases restantes de la misma forma.


9-13 112 187 1114-18 70 257 1619-23 22 279 2124-28 9 288 2629-33 1 289 31Total 289

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Solución. Continuación

Recordando la Fórmula para la Media en datos agrupados:

ni

ii

ni

i

f

fimix

1

1

)*(


9-13 112 187 1114-18 70 257 1619-23 22 279 2124-28 9 288 2629-33 1 289 31Total 289

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Solución. Continuación

... se debe calcular el producto de mi por fi.para luego sumar estos productos.

Clases fi Fi mi mi*fi4-8 75 75 6 450

9-13 112 187 11 123214-18 70 257 16 112019-23 22 279 21 46224-28 9 288 26 23429-33 1 289 31 31Total 289 3529

1221.12

2893529

)*(

1

1

x

f

fimix ni

ii

ni

i

La suma de los productos de mi*fi es 3529, la suma de fi es 289. Reemplazando los valores en la fórmula, se tiene que la media es 12 años. Es decir, en promedio los funcionarios tienen 12 años de utilizar las computadoras.

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Solución. La mediana

La clase de la mediana, es el intervalo de clase que contiene a: n / 2.

Como n / 2 = Suma de fi / 2 =289/2 = 144.5

Entonces,clase de la mediana es:

9 a 13 años,

También se dice que la Mediana es: 11 años, ya que es la marca de clase o punto medio que representa a esta clase.


9-13 112 187 1114-18 70 257 1619-23 22 279 2124-28 9 288 2629-33 1 289 31Total 289

Aquí está el dato 144.5

Para saber en qué clase está la mediana, se ubica en la Fi (frecuencia acumulada) el n/2. Obsérvese que en la primera clase se tiene hasta el dato número 75, en la segunda clase, están los datos desde el 76 hasta el dato número 187, en la tercera clase están los datos desde el 188 hasta el 257, y así sucesivamente...

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Solución. La moda La clase modal es la clase con

mayor frecuencia.

La clase modal es:

9 a 13 años,

También se dice que la moda es: 11 años, ya que es la marca de clase que representa a esta clase.

Entonces,Clases fi Fi mi4-8 75 75 6

9-13 112 187 1114-18 70 257 1619-23 22 279 2124-28 9 288 2629-33 1 289 31Total 289

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InterpretaciónDe acuerdo a las medidas de tendencia central, los funcionarios que laboran en dicha institución cuentan con 12 años en promedio de utilizar computadoras.

El 50% de los funcionarios, tienen menos de 12 años, y el otro 50% estaba por encima de esta cantidad de años; es decir, el otro 50% de los funcionarios indicó tener más de 12 años de utilizar computadoras.

Con relación a la moda se puede decir que fue de 12 años, de acuerdo a los datos presentados.

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Medidas de Variabilidad para datos agrupados

Varianza

1

**

1)(*

22

2

22

nn

fmifmi

S

nxmif

S

Las dos fórmulas se pueden utilizar para calcular la varianza de la muestra.

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Ejemplo. Varianza y Desviación Estándar

17.27288

125.78261289289

)3529(50919

1

**

2

2

22

2

S

nn

fmifmi

S

Clases fi Fi mi mi*fi mi2*fi4-8 75 75 6 450 2700

9-13 112 187 11 1232 1355214-18 70 257 16 1120 1792019-23 22 279 21 462 970224-28 9 288 26 234 608429-33 1 289 31 31 961Total 289 3529 50919

Desviación Estándar 21.517.272 SS

Varianza

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Coeficiente de VariaciónLos conceptos de medidas de variabilidad para datos simples y datos agrupados son los mismos.

El coeficiente de variación, se expresa como:

100*..xSVC

Para el ejemplo anterior, calcúlese el C.V. ¿Diga cuánto es?

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Práctica No. 3. Calcular las medidas de variabilidad para los problemas de las prácticas 1 y 2

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MEDIDAS NO CENTRALES Y MEDIDAS DE FORMA

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Medidas no centrales Las estadísticas que se pueden obtener en el conjunto

de datos, además de las tradicionales, tendencia central y dispersión, pueden ser: Percentiles, y Cuartiles por ejemplo.

Los cuartiles, dividen el conjunto de datos en 4 partes iguales, cada uno con un 25% de los datos ordenados.

Los percentiles, dividen el conjunto de datos en 100 partes iguales, cada uno de 1% de los datos ordenados.

Otras medidas, son: quintiles (5 partes) y deciles (diez partes). Sus nombres corresponden con la cantidad en que se divide el conjunto de datos.

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Medidas no centralesLas posiciones de los cuartiles, se obtienen así:Utilicemos los siguientes datos como ejemplo: n = 7

2, 4, 4, 6, 8, 9, 11 Q1 Q2 Q3

Cuartil 1, (Q1): K*(n/4); como k=1, entonces, la posición del cuartil 1 está en n/4=1.75; aproximadamente, en el dato número 2. Así el cuartel 1, es el valor 4. Cuartil 2, (Q2): K (*(n/4); como k=2, entonces, la posición del cuartil 2 está en 2*(7/4)=2*(1.75)=3.5; lo aproximamos al dato número 4. Así el cuartil 2, es el valor 6. Es importante, recordar que este cuartil, es conocido también como Mediana. Cuartil 3, (Q3): K (*(n/4); como k=3, entonces, la posición del cuartil 3 está en 3*(7/4)=3*(1.75)=5.25; lo aproximamos al dato número 6. Así el cuartil 3, es el valor 9.

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Medidas no centralesCuando los datos son en cantidad, un número par: Se puede emplear el siguiente procedimiento:Datos: 8, 9, 9, 10, 11, 12, 13, 14 Q1 Q2 Q3

Cada uno de los cuarteles, promedia dos valores.La posición del Q1 es = 1*8/4 = 2, así se promedian el valor de la posición 2, con el valor de la posición siguiente. Así, Q1= (9+9)/2 = 9La posición del Q2 es = 2*8/4 = 4, así se promedian el valor de la posición 4, con el valor de la posición siguiente. Así, Q2= (10+11)/2 = 10.5La posición del Q3 es = 3*8/4 = 6, así se promedian el valor de la posición 6, con el valor de la posición siguiente. Así, Q3= (12+13)/2 = 12.5La diferencia entre, el tercer y primer cuartil, se denomina Rango intercuartílico.

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Medidas no centrales en Datos Agrupados

En datos agrupados, la fórmula que se puede adaptar es la fórmula de la mediana, reemplazando el cálculo del n/2, por el percentil o cuartil, que se desea obtener.

Amplitudf

kn

Pkk

k

k

FLR *100 1

Donde: el cálculo del Percentil, se realiza en la clase del percentil. LRk corresponde al límite real inferior de la clase del percentil k. Fk-1, es la frecuencia acumulada antes de la clase del percentil k, y fk, es la frecuencia de la clase del percentil k.Amplitud o ancho del intervalo de la clase del percentil k.

Percentil: k

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Medidas no centrales en Datos Agrupados

En datos agrupados, la fórmula que se puede adaptar es la fórmula de la mediana, reemplazando el cálculo del n/2, por el percentil o cuartil, que se desea obtener.

Amplitudf

kn

Ck

k

kk

FLR *4 1

Donde: el cálculo del Cuartil, se realiza en la clase del Cuartil. LRk corresponde al límite real inferior de la clase del percentil k. Fk-1, es la frecuencia acumulada antes de la clase del percentil k, y fk, es la frecuencia de la clase del percentil k.Amplitud o ancho del intervalo de la clase del percentil k.

Cuartil: k

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Ejemplo. Percentil y Cuartil

..31814:..2

2,231289*)100/80()*)100/((.1

kPercentilelCalcularPasoClasetablalaenPosiciónUbicarPaso

nkPosiciónCalcularPaso


9-13 112 187 11 1232 1355214-18 70 257 16 1120 1792019-23 22 279 21 462 970224-28 9 288 26 234 608429-33 1 289 31 31 961Total 289 3529 50919

Cálculo del Percentil 80

Calcular el Percentil 80: k=80

7,1616,35,13

5*70

2,445,13

5*70

1872,2315,13

80

80

80

80

PP

P

P

El 80% de los datos son menores del valor 16,7. Por lo tanto, el 20% de los datos son superiores a este.

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Ejemplo: Percentil y Ojiva de Frecuencias

3.5 8.5 13.5 18.5 23.5 28.5 33.50.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

Ojiva de Frecuencia de Datos

Límite Real Superior

Frec

uenc

ia A

cum

ulad

a %

En la Ojiva, se puede ubicar el Percentil 80 calculado.

16,7

Cálculo del P80, mediante la Ojiva.

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Ejemplo. Percentil y Cuartil

.1.384:..2

25,72289*)4/1()*)4/((.1

kCuartilelCalcularPasoClasetablalaenPosiciónUbicarPaso

nkPosiciónCalcularPaso


9-13 112 187 11 1232 1355214-18 70 257 16 1120 1792019-23 22 279 21 462 970224-28 9 288 26 234 608429-33 1 289 31 31 961Total 289 3529 50919

Cálculo del Cuartil 1Cae en la Primera Clase, Antes de esta clase la Frecuencia Acumulada es 0. Por tanto, F=0

Calcular el Cuartil 3 = K=3

3,88,45,3

5*75

25,725,3

5*75

025,725,3

1

1

1

1

CC

C

C

El 25% de los datos son menores del valor 8,3. Es decir, cae aproximadamente en el Límite Real Superior de la clase. Por lo tanto, el 75% de los datos son superiores a este.

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Gráfica de Caja y BigotesEs una gráfica que se elabora, por lo general, con los cuartiles del conjunto de datos.

Esta gráfica permite visualizar la dispersión de los datos. Utilizando las medidas de dispersión – Cuartiles y Rango (Valor Máximo y Mínimo).

Mínimo

Primer Cuartil ó Q1

Mediana ó Q2

Tercer Cuartil ó Q3

Máximo

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Diagrama de Box & Whiskers

A

B C

D

Cuando se comparan grupos, el diagrama de cajas y bigotes son muy útiles para evidenciar distribución de datos y la mediana (cuadrito del centro en rojo).

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Medidas de FormaLa distribución de los datos, se puede determinar por el grado de concentración y dispersión. La distribución en forma de campana es conocida como Distribución normal. La distribución de los datos se puede medir por medio del Sesgo y la Curtosis.

0 5 10 15 20

xFrec

uenc

ia d

e O

bser

vaci

ón f(x)

Regla Empírica68% de los datos, se agrupan entre -1 y 1 desviación estándar.95% de los datos, se agrupan entre -2 y 2 desviación estándar.99,7% de los datos, se agrupan entre -3 y 3 desviación estándar

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SesgoUna distribución normal, tiene la mayor concentración de datos en los valores centrales y su media, moda y mediana son iguales. Cuando esto no ocurre, entonces se dice que la distribución está sesgada.

Cuando la Media es mayor que la mediana, el SESGO se da a la derecha por que se hace una cola larga hacia esa dirección.

Cuando la Media es menor que la Mediana, entonces el SESGO se da a la izquierda y la cola larga es en esa dirección.

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Sesgo

Moda <Mediana < Media

Sesgo a la Derecha Sesgo a la izquierda

Moda>Mediana> Media

Distribución Normal (No Sesgo o Insesgada), Media = Mediana = Moda

estándardesviaciónmedianamediaAsimetríadeeCoeficient )(*3

< 0, entonces los datos están sesgado a la izquierda,

> 0, entonces los datos están sesgado a la derecha

= 0 están insesgados (distribuidos normalmente)

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Curtosis

Si el valor de la Curtosis es:

< 0, Es Platicúrtica. Casi Uniforme en su recorrido con Frecuencias similares.

> 0, Es Leptocúrtica. Mucha Frecuencia en pocos datos.

= 0 están normalmente distribuidos.

La Curtosis, es un indicador del grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Por medio del Coeficiente de Curtosis, se puede identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).

3

*22

4

xx

xxnK

i

i

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Curtosis

Fórmula que se utiliza en Excel, para el cálculo de la Curtosis.

Medidas descriptivas

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