Medidas de tendencia central
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ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
PROFESSORA ROSÂNIA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – são utilizadas em estatística para representar um conjunto de dados pesquisados por valores pelos quais eles tendem a concentrar-se. As principais são a MÉDIA ARITMÉTICA, A MODA E A MEDIANA.
• MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA
• MEDIANA • MODA
MEDIANA (Md)
Sua principal característica é dividir o conjunto de dados em duas partes com o mesmo número de elementos. Quantidade ímpar de valores – a Md corresponde ao termo central do rol. Quantidade par – a Md corresponde a média aritmética dos dois termos centrais.
𝑛 + 1
2 Posição da mediana
n = número de elementos do conjunto de dados.
MEDIANA – valor que ocupa a posição central no rol
Para dados não agrupados
Exemplo: Para verifica o tamanho dos peixes de sua criação, um piscicultor retirou de um tanque 7 piaparas; de outro, 10 tilápias, fazendo a medição do comprimento de cada um deles.
para dados não agrupados
Comprimento das piaparas em cm
23 27 27 28 31 32 36
7:1
2 = 4 4ª posição
Md = 28 cm
Número de observações é ímpar – temos que a Md corresponde ao valor central.
para dados não agrupados
Comprimento das tilápias em centímetros
14 14 15 17 17 20 20 21 22 23
𝑀𝑑 = 17 + 20
2=37
2= 18,5𝑐𝑚
Número de observações é par – calcular a média dos termos centrais.
Obs: Nem sempre a mediana corresponde a um valor apresentado na pesquisa.
Mediana – para dados agrupados sem classes
Número de filhos ( xi )
Numero de casais
( fi )
Fi (fac)
0 6 6
1 16 22
2 9 31
3 8 39
4 3 42
5 3 45
6 3 48
7 2 50
Total () 50
Ex: Número de filhos de um grupo de 50 casais
1º) Determinar a posição da mediana por:
P = 𝑛
2 𝑒 𝑃 =
𝑛
2+ 1 , pois n é par
Mediana – para dados agrupados sem classes
𝑃 =50
2+ 1 = 26ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜
P = 𝑛
2=50
2= 25ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜
2º) Pela Fi (freq. abs. Acum. abaixo de) verifica-se que o 31 contém o 25º e 26º elemento
Mediana – para dados agrupados sem classes
Número de filhos ( xi )
Numero de casais
( fi )
Fi (fac)
0 6 6
1 16 22
2 9 31
3 8 39
4 3 42
5 3 45
6 3 48
7 2 50
Total () 50
O nº 2 deixa 50% dos valores, ou
seja é o elemento central.
Se encontra na 25ª e 26ª posição
Mediana – para dados agrupados com classes
Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.
Taxas (em %)
Número de Municípios
( fi ) Fi
6 --- 16 29 29
16 --- 26 24 53
26 --- 36 16 69
36 --- 46 13 82
46 --- 56 4 86
56 --- 66 3 89
66 --- 76 2 91
76 --- 86 2 93
86 --- 96 1 94
Total () 94
1º) Calcular a posição:
P = 𝑛
2=94
2= 47ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜
(não importa de n for ímpar ou par)
2º) Pela Fi (fac) identifica-se a classe que contém a Md: O nº 47 está dentro de 53. Portanto, A CLASSE da Md é a 2ª: 16 --- 26.
3º) Aplica-se a fórmula: 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +
𝑃 − 𝐹𝑎
𝑓𝑖.
Li = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra ou nº de elementos 94 P = n/2 = 94/2 = 47 Fa = frequência acumulada anterior à classe da Md = 29 h = intervalo da classe da Md = 10 fi = frequência simples da classe da Md = 24
𝑀𝑑 = 16 +47 ;29
24. 10
𝑀𝑑 = 16 +18
24. 10
𝑀𝑑 = 16 +180
24
𝑀𝑑 = 16 + 7,5 = 23,5
MODA – o valor que mais aparece.
Pode ser: amodal, unimodal, bimodal,
Não tem moda
Um valor aparece mais
dois valores aparecem mais
Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:
X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8)
Mo = 6
UNIMODAL
Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6)
Mo = 2 e Mo = 4
BIMODAL
Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5)
Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4
PLURIMODAL
W = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Esse conjunto é amodal porque não apresenta um valor predominante
Cálculo da moda pelo ROL
Número de filhos de um grupo de 50 casais
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3 3 3 3 3 4
4 4 5 5 5 6 6 6 7 7
Cálculo da moda pela distribuição de frequências sem classes
Número de filhos de um grupo de 50 casais
Número de filhos
Numero de casais
( fi )
0 6
1 16
2 9
3 8
4 3
5 3
6 3
7 2
Total () 50
O valor 1 apresenta a
maior frequência.
Mo = 1
Cálculo da moda pela distribuição de frequências com classes
Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.
Taxas (em %)
Número de Municípios
( fi ) Fi
6 --- 16 29 29
16 --- 26 24 53
26 --- 36 16 69
36 --- 46 13 82
46 --- 56 4 86
56 --- 66 3 89
66 --- 76 2 91
76 --- 86 2 93
86 --- 96 1 94
Total () 94
Cálculo da moda pela distribuição de frequências com classes
CLASSE MODAL É A QUE POSSUI MAIOR FREQ.(fi) Li = limite inferior da classe modal ∆1 = Maior frequência menos frequência anterior ∆2 = maior frequência menos frequência posterior. h = intervalo da classe modal
Mo = li + ∆1
∆1:∆2.
Mo = li + ∆1
∆1:∆2.
Mo = 6 + 29
29:5. 10
∆1 = 29 − 0 = 29
∆2 = 29 − 24 = 5
Mo = 6 + 29
34. 10
Mo = 6 + 290
34 Mo = 6 + 8,52 = 14,5
ENCONTRE A NOTA MEDIANA E A NOTA MODAL DA TABELA A SEGUIR
Nº DE ALUNOS
NOTAS
4 7,0
2 5,0
2 6,0
1 9,5
ROL: 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 9,5
9:1
2=10
2 = 5 POSIÇÃO
MEDIANA
𝑛 + 1
2
OBS: SE OUVER 2 ELEMENTOS QUE FICAM NO MEIO DEVE-SE TIRAR A MÉDIA ARITMÉTICA DELES.
ROL: 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 9,5
MODA = 7 UNIMODAL
VALOR QUE MAIS APARECE
EXEMPLO: Calcular as MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL para a variável “massa dos alunos”
Massa (kg) (fi)
40 Ⱶ 50 4
50 Ⱶ 60 10
60 Ⱶ 70 9
70 Ⱶ 80 5
80 Ⱶ 90 2
Total 30
Massa (kg) (fi) Fi(fac) Xi Xifi
40 Ⱶ 50 4 4 45 180
50 Ⱶ 60 10 14 55 550
60 Ⱶ 70 9 23 65 585
70 Ⱶ 80 5 28 75 375
80 Ⱶ 90 2 30 85 170
Total 30 --- 1860
Cálculo da Média Aritmética (𝑋 )
𝑋 = 4 . 45 + 10.55 + 9.65 + 5.75 + 2.85
30
𝑋 =1860
30= 62 𝑘𝑔
𝑋𝑖𝑓𝑖
𝑛=1860
30= 62 𝑘𝑔
Calculo da Moda (MO)
50 Ⱶ 60 10 14
Mo = li + ∆1
∆1:∆2.
Classe Modal > fi
Mo = 50 + 6
6:5. 10
∆1 = 10 − 4 = 6
∆2 = 10 − 9 = 5
Mo = 50 + 6
11. 10
Mo = 50 + 60
11
Mo = 50 + 5,45 = 55,45
Cálculo da Mediana (Md)
1º) Calcular a posição:
P = 𝑛
2=30
2= 15ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 (𝐹𝑖 𝑜𝑢 𝐹𝑎𝑐)
60 Ⱶ 70 9 23 2º) classe da mediana
3º) 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +𝑃 − 𝐹𝑎
𝑓𝑖.
3º) 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +𝑃 − 𝐹𝑎
𝑓𝑖.
𝑀𝑑 = 60 +15 ;14
9. 10
Massa (kg)
(fi) Fi(fac)
40 Ⱶ 50 4 4
50 Ⱶ 60 10 14
60 Ⱶ 70 9 23
70 Ⱶ 80 5 28
80 Ⱶ 90 2 30
Total 30 ---
Cálculo da Mediana (Md)
1º) Calcular a posição:
P = 𝑛
2=30
2= 15ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜
2º) classe da mediana
𝑀𝑑 = 60 +10
9 = 60 + 1,11 = 61,11
Exercícios 1. (Fuvest-SP 2014) Cada uma das cinco
listas dadas é a relação de notas obtidas
por seis alunos de uma turma em uma certa
prova. Assinale a única lista na qual a média
das notas é maior do que a mediana.
Média maior que a mediana Calcular todos! a) 5, 5, 7, 8, 9, 10 Md =
7:8
2=15
2= 7,5
𝑋 = 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 / 6 = 44/6 = 7,33
2. Calcular a Mediana, a Moda e a Média Aritmética da distribuição abaixo:
Classes fi Fr Fac
17 Ⱶ 30 11 36,7% 11
30 Ⱶ 43 12 40% 23
43 Ⱶ 56 4 13,3% 27
56 Ⱶ 69 2 6,7% 29
69 Ⱶ 82 1 3,3% 30
Totais 30 100%
MEDIANA
CLASSE MEDIANA posição P
P = 𝑛
2=30
2= 15ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 na Fac
Classes fi Fr Fac
17 Ⱶ 30 11 36,7% 11
30 Ⱶ 43 12 40% 23
43 Ⱶ 56 4 13,3% 27
56 Ⱶ 69 2 6,7% 29
69 Ⱶ 82 1 3,3% 30
Totais 30 100%
𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +𝑃 − 𝐹𝑎
𝑓𝑖.
𝑀𝑑 = 30 +15 ;11
12. 13
𝑀𝑑 = 30 +4
12. 13
𝑀𝑑 = 30 +52
12 = 30 + 4,33 = 34,33
Mo = li + ∆1
∆1:∆2. 30 Ⱶ 43 12 40% 23
Classe modal
Mo = li + ∆1
∆1:∆2.
∆1 = 12 − 11 = 1
∆2 = 12 − 4 = 8
Mo = 30 + 1
1:8. 13
= 43 − 30 = 13
Mo = 30 + 1
9. 13 = 30 + 13/9 = 30 + 1,4 = 31,4
MODA
MEDIA ARITMÉTICA
Classes fi Fr Fac Xi XiFi
17 Ⱶ 30 11 36,7% 11 23,5 258,5
30 Ⱶ 43 12 40% 23 36,5 438
43 Ⱶ 56 4 13,3% 27 49,5 198
56 Ⱶ 69 2 6,7% 29 62,5 125
69 Ⱶ 82 1 3,3% 30 75,5 75,5
Totais 30 100% 1095
𝑋𝑖𝐹𝑖
𝑛=1095
30= 36,5