Libero.it · Mecànica quantìstica - Part 2 - Prinsìpi 61 Part doi - Prinsìpi dla Mecànica...

Mecànica quantìstica - Part 2 - Prinsìpi

61

Part doi - Prinsìpi dla Mecànica Quantìstica

Ant la prima part i l'oma vist le rason për elaboré a neuva Mecànica, e j'idèje che a son stàite proponùe përarzòlve ij problema che man man as presentavo. Coste a j'ero idèje 'd quàich arsercador genial, navira an s'unsogét e na vira an c l'àutr. Man man che ste idèje a vnisìo publicà j'arsercador a comensavo a fésse un concét ëdcosta neuva Mecànica, ma sti concét nen sempe a cobiavo tra 'd lor. Dòp vàire discussion a s'é rivà a unifichéj'idèje. e monsù Dirac a l'ha butà ansema un formalism acetà da tuti. Le discussion a son nen finìe e a contìnuofra ij filòdofo dla siemsa. Noi i lassoma ch'a faso, An costa part i enunsioma ij prinsìpi dla Mecànica Quantìsticaan forma coerenta. A l'é ciàir che i arpetroma quaicòs ëd lòn ch'i l'oma già dit. I consideroma pì che tut ëdproblema ant na sola dimension, e i vëddroma ij problema a pì che na dimension ant la part tre.

TÀULA DLA SCONDA PART

J'idèje 'd base ........................................................................................................................................................................... 63Prinsipi dla Mecànica Quantìstica ................................................................................................................................... 63

Postulà 'd base dla Mecànica Quantìstica (Fonsion d'ónda) .................................................................................. 64Prinsìpi d'indereminassion (Heisemberg). ................................................................................................................ 64

Implicassion dël prinsipi ........................................................................................................................................... 66Misure e grandësse ....................................................................................................................................................... 66Prinsìpi ëd dzorposission ............................................................................................................................................ 67

Pr'esempi ..................................................................................................................................................................... 67Spassi djë stat possìbij .................................................................................................................................................. 68

Grandësse fìsiche ....................................................................................................................................................... 69Osservassion ............................................................................................................................................................... 69Dimension dla fonsion d'ónda................................................................................................................................. 70

Valor médi ..................................................................................................................................................................... 71Operator, autovalor, osservassion ............................................................................................................................. 72

Scond postulà dla Mecànica Quantìstica ................................................................................................................ 72An 's j'operator ................................................................................................................................................................... 73

Prodòt d'operator ......................................................................................................................................................... 73Comutator...................................................................................................................................................................... 73Osservàbij compatìbij .................................................................................................................................................. 73

Operator ed posission e impuls ............................................................................................................................... 73Operator hermitian ...................................................................................................................................................... 74

Teorema 1 ................................................................................................................................................................... 74Teorema 2 ................................................................................................................................................................... 74Teorema 3 ................................................................................................................................................................... 75Operator con spétr contìnuo ................................................................................................................................... 75Coeficent dla combinassion linear .......................................................................................................................... 76Efét dla misura ........................................................................................................................................................... 76

Relassion ëd Heisemberg ............................................................................................................................................ 77Relassion d'indeterminassion Temp-Energìa ........................................................................................................... 78Operator d'anterésse .................................................................................................................................................... 78

Valor spetà e stat quàntich ............................................................................................................................................... 79Prinsipi ëd Ehrenfest ........................................................................................................................................................ 80

Equassion dë Schrödinger..................................................................................................................................................... 83Equassion dj'ónde ............................................................................................................................................................. 83Equassion dë Schrödinger................................................................................................................................................ 85

Equassion për na partìcola lìbera ............................................................................................................................... 85


62

Equassion për na partìcola ant un potensial V(r) .................................................................................................... 86N'àutra giustificassion dl'equassion ........................................................................................................................... 87Equassion për ël cas general ....................................................................................................................................... 87

Equassion dë Schrödinger indipendenta dal temp ....................................................................................................... 88Aplicassion arzolvìbij ............................................................................................................................................................. 91

Partìcola lìbera.................................................................................................................................................................... 91Partìcola ant un tubo sarà................................................................................................................................................. 92Potensial costant a tràit ..................................................................................................................................................... 94

Con Ui ..................................................................................................................................................................... 94Con Ui ..................................................................................................................................................................... 94Solussion general .......................................................................................................................................................... 94

Densità 'd corent ëd probabilità - Equassion ëd continuità ....................................................................................... 95N'esempi ch'a ven a taj ................................................................................................................................................ 96

Scalin ëd potensial ............................................................................................................................................................. 96Cas con E > V0 ............................................................................................................................................................. 97Cas con 0 < E < V0 ..................................................................................................................................................... 97

Beucc ëd potensial ............................................................................................................................................................. 98Bariera ëd potensial con longhëssa finìa - Efét tunel................................................................................................... 99

Cas con E > V0 ............................................................................................................................................................. 99Cas con 0 < E < V0 ................................................................................................................................................... 101

Ossilator armònich .......................................................................................................................................................... 101Sistema con hamiltonian-e separàbij ............................................................................................................................ 103

TÀULA DLE FIGURE DLA PRIMA PART

Figura 1 - Përturbassion ch'as propaga ant ël vers positiv dl'ass x. ......................................................................... 83Figura 2 - Potensial costant a tràit ................................................................................................................................ 94Figura 3 - Bariera 'd potensial ........................................................................................................................................ 96Figura 4 - Beucc ëd potensial finì ................................................................................................................................. 98Figura 5 - Dent ëd potensial - Efét tùnel ..................................................................................................................... 99Figura 6 - Potensial armònich ....................................................................................................................................... 101


63

J'IDÈJE 'D BASE

Ant la prima part i l'oma vist ij pont che a l'han butà an crisi la Mecànica Clàssica, e le prime propòstepër giustifiché j'arzultà dle misure. Peui i l'oma vardà quaicòs an s'ij procéss matemàtich che a servo an statratassion. Sì i vardoma ëd presenté la Mecànica Quantìstica an manera pì orgànica e compléta. I prinsìpi dlaMecànica Clàssica a continuo a esse necessari për la costrussion dla Mecànica Quantìstica, ma a son nen suficent,e le conclusion, relative al mond microscòpich , a son diferente complete mentre a livél macroscòpich a-i é nen lapossibilità ëd trové diferense. Ij pont da ten-e present a son 1) - la quantisassion djë scambi d'energìa. 2) -l'indeterminassion ant le misure dle grandesse fìsiche. - 3) - l'interpretassion probabilìstica dj'arzultà dij cont.

La definission dij prinsìpi dla Mecànica Quantìstica a l'é avùsse pochi ani prima dël 1930. As peul parléëd doe "corent ëd pensé", che a l'han sercà ëd buté d'órdin ant j'ipòtesi che a j'ero staite fàite, e ch'i l'oma vist.Coste a j'ero la "Mecànica dle Matriss" e la "Mecànica ondulatòria".

Për la Mecànica dle matriss, studià da Heisemberg, Born, Jordan, e via fort, prima 'd tut a venta nenconsideré, ant la teorìa, grandësse che a peulo nen esse misurà. An efét le prime teorìe quantìstiche enunsià a rivonen a dé spiegassion compléte dij fenòmeno pròpi përchè as baso su ipòtesi che gnun a peul verifiché.

Second costa mecànica, dal moment che as peul nen osservé n'eletron che a përcor n'òrbita antorna ana nos, (për ël prinsìpi d'indeterminassion ch'i l'oma vist) ël concét d'òrbita dl'eletron a peul esse abandonà, e aventa serché n'àutra descrission dle stat dl'eletron antorna a na nos. A basta nen, an efét, savèj che l'eletron a l'halivéj energétich diferent e discret antorna a la nos për conclude che a përcora n'òrbita. Lòn che a peul anvece essemisurà a l'é la frequensa iradià e l'intensità d'anrajament, e costi a son paràmeter che a deuvo esse considerà.

Ògni frequensa anrajà a corispond al passagi fra doi livéj m e n d'energìa, e donca a peul esse indicàcoma m,n , che a peul esse considerà n'element ed na matriss, che a arpresenta l'ansema dle frequense che apeulo esse assurbìe ò anrajà da l'àtomo. Second costa mecànica, a qualonque grandëssa fìsica a corispond namatriss, e j'equassion dël moviment a son equassion fra matriss. As supon, mersì al prinsìpi 'd corispondensa, checoste equassion a corispondo a cole dël sistema clàssich corispondent.

Për la Mecànica ondulatòria, studià da Schrödinger an sij travaj ëd de Broglie, con soe ónde 'd matéria, aconsidera che la materia e la lus a l'han ij doi aspét corpuscolar e ondulatòri e a svilupa sto concét. Schrödingermidem a treuva l'equassion dla propagassion dla fonsion d'ónda, giustificà pì che d'àutr da soa capacità ëddescrive lòn ch'as misura, e peui a dimostra che tut sòn a l'é echivalent a la mecànica dle matriss. Sta mechànica aven ciamà, an prinsìpi, "ondulatòria", përchè lë stat d'un sistema a ven dëscrivù da na fonsion ciamà fonsiond'ónda, che a l'ha pì che mach quàich analogìa con l'equassion dj'onde.

Dirac a buta peui ël tut ant un formalism general, con ël contribut d'àutri siensià, coma pr'esempi Pauli,formalism che, dòp vàire discussion, adéss a l'é acetà da tuti contut che ij filòsofo dla siensa a continuo a dëscute(noi i lassoma ch'a faso).

Prinsipi dla Mecànica QuantìsticaSì i consideroma ij prinsìpi dla Mecànica Quantìstica moderna, arpijand quaicòs ëd lòn ch'i l'oma già

dit, an manera 'd rivé a fé na descrission coerenta. I vardoma coma lë stat d'un sistema a l'é dëscrivù da na "fonsiond'ònda", le variàbij dinàmiche da "operator hermitian" e l'evolussion dël sistema da la "equssion dë Schrödinger".

As peul dì che 'l pont che a l'ha butà le base dla Mecànica Quantìstica a l'é stàit l'esperiensa dle doefilure (Young) fàita con j'eletron. Cand costa esperiensa a l'é fàita con d'ónde luminose e con le doe filureduverte, as peulo noté le frange d'interferensa, dàite da l'adission, pont për pont, dij doi camp elétrich che a rivoda le doe filure. Ant ògni pont ëd lë scherm l'intensità a l'é anlià al quadrà dl'adission dij doi camp.

Arpetend l'esperiment con d'eletron, con le doe filure duverte as osserva n'interferensa compagna. Sòna òbliga a consideré j'ónde 'd matéria (o ónde 'd de Broglie) che a podrìo torna spieghé l'interferensa, ma sòn abasta nen. An efét, se j'eletron a son mandà un a la vira, an manera che tra sors e scherm a-i sia mach n'eletronpër vira, doi eletron a l'han gnun-e manere d'interferì, epura ste frange d'interferensa as formo franch istéss. Asparìsso se un-a dle filure a ven sarà.

A vnirìa da ciamésse com a fà n'eletron che a passa da na filura a esse influensà dal fàit che l'àutra filuraa l'é duverta e andé a serne 'l pòst andova andésse a pianté. Ma i l'oma già vist ant la prima part che a l'ha nen


64

sens ciamésse da che filura a l'é passà l'eletron, e as dirìa fin-a che a l'é bon a passé da tute doe le filure a l'istésstemp, còsa che a cobia nen vàire con la lògica..

La manera d'arzòlve la costion a l'é che a venta antroduve ël concét ëd probabilità che l'eletron a finissaant un dàit pont dla lastra, sta probabilità a l'é dàita an fonsion dlë stat dël sistema. Donca a ventrà consideré nafonsion (x) dont ël mòdul al quadrà (com ël camp elétrich dël cas òtich) a daga la probabilità che l'eletron astreuva ant ël pont x.

Ambelessì i arpijroma 'dcò 'l prinsìpi d'indeterminassion ëd Heisemberg, che a l'é la rason che an fòrsaa pì nen podèj parlé 'd trajetòria cand as rason-a an scala atòmica e sub-atòmica.

Postulà 'd base dla Mecànica Quantìstica (Fonsion d'ónda)I podoma enunsié sto postulà, basà an sle considerassion ch'i l'oma fàit, che a dis che, mentre ant la

mecànica clàssica na partìcola ò un sistema a l'é caraterisà a ògni moment da posission e impuls, ant la MecànicaQuantìstica lë stat dël sistema a l'é caraterisà da na fonsion compléssa, dita "fonsion d'onda", che a dipend da lecoordinà gneralisà e dal temp. I l'oma donca che sta fonsion a l'é dël tipo

tq ,

e a ven, an quàich manera, da la descrission ëd de Broglie. Ël conòsse la fonsion d'ònda a përmet ëd conòsse laprobabilità d'oten-e certi arzultà an tuti ij tipo ëd misure.

An costa part i consideroma na fonsion d'ónda genérica, che peui a ventrà ch'a sia spessificà an fonsiondël problema tratà, e i l'avroma 'dcò da manca ëd na manera për trovéla.

Coma esempi disoma che la probabilità dP ëd trové 'l sistema ant l'interval ëd coordinà fra q e q dq al'é dàita da:

qdtqdP 2,

Dal moment che la probabilità total a venta che a sia 1, përchè 'l sistema da quàich part a venta ch'a sìa,i l'avroma che a venta ch'a sia sodisfàita la condission ëd normalisassion:

1, 2 qdtq

andova l'integral a l'é estèis a tut lë spassi.

Ògni fonsion dont l'integral qdtq 2, a convergg, a peul esse normalisà. Sòn a veul dì che se lafonsion tq , a ven moltiplicà për na costant, a contìnua a arpresenté l'istéss ëstat. Vis-a-dì che tqc , e

tq , a son echivalente.

Prinsìpi d'indereminassion (Heisemberg).I l'oma già vist ant la prima part com a l'é che i podoma nen misuré con precision doe grandësse

coniugà ëd na partìcola, e cola ch'a l'é l'indeterminassion la pì cita che as peul.

42hpx

I arcordoma che sòn a veul nen dì che na partìcola coma n'eletron a l'àbia nen, a un dàit temp, naposission e na velocità precise, ma a dis che i podoma nen conòssje, e donca i podoma nen consideréje comadescritive dle stat ëd nòstr sistema a un dàit temp. Da lòn ch'i soma rivà a trové fin-a adéss a venta ch'is contento'd parlé an termo ëd probabilità. Nen sempe a-i son de spiegassion lògiche a nòstre posission, che anvece a l'hansoa giustificassion ant ël fàit che a rivo a descrive e giustifiché lòn ch'i podoma misuré.

I podoma vëdde còs a veul dì sto prinsìpi a livél macroscòpich confrontà con ël livél sub-atòmich. Suponoma n'eletron che a viagia a con n'energìa cinética ëd 20 eV. I savoma che n'eletronvòlt a val 1

eV 1,602176 10 Joule , e donca l'energìa cinética dl' eletron a sarà T 3,204353 10 Joule . L'eletron a l'ha

na massa ëd m 9,109383 10 Kg, e donca soa velocità a dovrìa esse tala chemTvvmT 2donca

22

2 e la

velocità a arzulta v 2,652409 10 m/s, bastansa lontan dal camp relativistch. Se i suponoma che costa velocità


65

a sia trovà con n'indeterminassion dël 0,5 % , donca con un v = 1,32 10 m/s, e donca con un p 1,208040 10 Kgm/s, considerand che h 6,63 10 Js, për ël prinsìpi d'Heisemberg i l'avroma, al pì precis possìbil,

mp

hx 910367,4

4.

Suponoma un balin da cassa ëd piomb, con 2 mm ëd diàmeter che a viagia sparà a 250 m/s. La massa asarà 46 mg 4,6 10 kg, e l'impuls a sarà 1,15 10 kg m/s. Se la velocità a l'é determinà con la precision ëd primadël 0,5 %, i l'avroma un p 5,75 10 Kgm/s, e për x i l'avroma che la mìnima indeterminassion a riva mach aesse 9,17 10 m.

I podoma deduve sto prinsìpi da na fonsion d'ònda ant un sempi cas. I consideroma la fonsion d'ondadipendenta mach da la x :

2

2

4)( a

x

eNxf

andova N a l'é la costant ëd normalisassion che a val 41

22 aN . La densità ëd probabilità |f(x)| a l'é nagaussiàn-a sentrà ant l'orìgin. I pijoma coma andeterminassion për x sò scart quadràtich medi, e donca.

axadxexa

dxsfxx ax

doncae21

)( 242222 2

2

La fonsion f(x) a peul esse svilupà ant l'integral ëd Fourier an costa manera:

dkekFxf ikx)(21)(

che a ìndica la f(x) xoma na combinassion linear contìnua d'ónde con ampiëssa F(k) e nùmer d'onda 2k . Ma

second la fòrmola 'd Parseval: dxxfdkkF 22 )(1)( , e sì i podoma anterpreté |F(k)| coma probabilità

ëd trové la partìcola con nùmer d'ónda k , e donca, second la relassion ëd de Broglie, con impuls kp .La fonsion F(k) a l'é la trasformà 'd Fourier dla f(x) e a l'é dàita da:

222)(

21)( akikx eaNdxexfkF

che a l'é 'ncora na gaussian-a sentrà su k 0 e con na deviassion standarda

k21 .

I consideroma che l'impuls p a val kp e donca kp vis-a-dìa

p2

e donca, dal

moment che i l'oma vist che ax , i l'avroma che

22a

apx

I podoma dì che la gaussian-a a rend mìnima l'incertëssa, ma costa a ven nen da l'organisassion për namisura real. An pràtica la situassion real a gionta motiv d'incertëssa, e donca a l'é necessari scrive:

2px

An efét i l'oma vist, ant la prima part, che d'esperiment suponù, e propòst da Heisemberg, a pòrto an'indeterminassion pì gròssa, contut che sempe dl'istéss órdin ëd grandëssa.


66

Implicassion dël prinsipiI l'oma vist che la costant ëd Planck a l'é cita a basta da nen podèj esse notà ant l'ambient dël

macroscòpich quand ch'as trata ëd problema 'd mecànica. I l'oma peui vist coma la quantisassion a arzòlv vàireprobléma. Ël prinsìpi d'indeterminassion a introduv anvece quàich dificoltà. As trata del concét dle grandëssenen compatìbij. Doe grandësse a son compatìbij se a peulo esse misurà ansema con qualonque precision. I l'omavist che q e p a son nen compatìbij fra 'd lor, a la mira che se a fussa possìbil misuré q con precision assoluta il'avrìo che l'indeterminassion ëd p a rivrìa a l'anfinì, vis-a-dì che na misura 'd p a darìa qualonque valor conl'istéssa probabilità.

An Mecànica Clàssica i consideroma na grandëssa fìsica A(q, p) che a ven ciamà variàbil dinàmica e adipend da le coordinà canòniche q e p . Na misura a deuv dé l'istéss valor dl'espression A A(q, p). Ma se q e p ason nen compatìbij, a l'é ciàir che l'espression A A(q, p), an Mecànica Quantìstica, a peul nen avéj l'istésssignificà. An sto cas, an efét, ël valor dla grandëssa A a peul esse otnùa mach con na misùra indiréta.

I l'oma vist, ant la prima part, ël modél ëd Bohr për l'àtom d'idrògen, andova n'eletron a përcor n'òrbitasircolar ëd dàit ragg r. Se i suponoma, com as deuv, che l'òrbita a peussa esse osservà, almanch da na mirateòrica, a venta supon-e che as peussa determiné un valor x ëd posission dl'eletron, con n'indeterminassion

rx . I podoma supon-e che ppx e donca che p a resta indeterminà, e vardoma com a peul essedeterminà la posission x.

Da la relassion d'indeterminassion i l'oma chep

xpx2

donca2

, ma se a venta che a sia

rx antlora a venta ch'a sìa2

rp ma pr a l'é 'l moment angolar dl'eletron, che ant lë stat fondamental a

val, seond Bohr, rp . Donca x a l'é tut àutr che trascuràbil e a l'ha j'istesse dimension ëd r. A l'ha doncanen sens parlé ëd trajetòria, com i l'avìo dësgià vist.

Macassìa i savoma che na partìcola carià che a traversa na porsion d'un mojen rivelator (coman'emulsion fotogràfica, a lassa na trassa che a peul indiché na soa trajetòria. An sto cas i soma già an dimensionmotobin pì gròsse che cole atòmiche, la trajetòria ch'as ved a dipend da vàire interassion, e l'indeterminassion ëdHeisemberg, dovùa al fàit d'avèj rivelà la posission ant un pont, che a l'ha n'indeterminassion dàita da la larghëssadla trassa, a dventa trascuràbil për lòn ch'a rësguarda l'àngol ëd seurtìa. An efét i podoma dì che l'incertëssa an sl'

àngol a peul essepp , andova p a arpresenta l'impuls indeterminà normal. I l'oma che

spsh

pp andova a l'é la longhëssa d'ónda ëd de Broglie, e s a l'é lë spessor dla trassa, che a corispond

al x. Se la trassa a l'è larga s 1 m (l'osservassion as fà con un microscòpi), e l'eletron osservà a l'ha energìa ëd1 keV fàit ij cont l'incertëssa dla deviassion a l'è antorna a pòchi second ëd gré.

Misure e grandësseI podoma confronté la situassion clàssica con cola quantìstica considerand un sistema mecànich che a

l'àbia N gré 'd libertà. Da na mira clàssica i l'oma che se a un dàit moment as conòsso le 2N coordinàcanòniche, ël sistema a l'é determinà al complét. Sempe da na mira clàssica, na grandëssa fìsica a l'é caraterisà dana fonsion A dle coordinà canòniche e dël temp A(q, p, t) e as supon che ël valor dla grandëssa a peussa essedeterminà a un dàit temp t con na misura. La grandëssa a l'é sempe determinàbil ant ògni moment an maneraunìvoca (gavà ij possìbij eror).

I l'oma vist che an mecànica quantìstica na procedura parèj a l'é nen possìbil, përchè as peulo nendovré ansema le coordinà q e p, che a son nen compatìbij fra 'd lor, e as peulo nen fé d'assunsion nen verificàbij,almanch an teorìa, da na mira sperimental. Lë stat d'un sistema, dit stat quàntich, a l'é donca determinà dalconòsse ël pì largh grup ëd variàbij ch'a sio anditendente e compatìbij fra 'd lor.

An Fìsica Quantìstica na grandëssa che a sia misuràbil a ven ciamà "osservàbil ". La misura d'un ò pì cheun osservàbij a l'é n'osservassion dël sistema. Se as misura un grup massim ëd grandësse andipendente as dis che asfà n'osservassion màssima. N'osservassion màssima qualonque a l'é na misura ëd N grandësse, andova an FìsicaClàssica a l'é anvece ëd 2N grandësse.


67

Antlora i podoma supon-e che {A1, ... , AN} a sia un grup màssim d'osservàbij e che {a1, ... , aN} a sioij corispondent valor a na dàita mira. I podoma indiché lë stat quàntich dël sistema con la notassion ëd Dirac a .

Se un sistema as treuva ant lë stat a e as fà na misura dla grandëssa Ai , l'arzultà a l'é unìvoch e a val ai . As dis

che ia a l'é n'autostat dla grandëssa Ai . Ògni osservàbil a amet almanch n'autostat për ògni possìbil arzultà dlamisura.

Al contrari, ant lë stat a dël sistema, se i voroma misuré n'osservàbil B nen compatìbil con le Ai ,l'arzultà a posrà nen esse unìvoch. Se as fan vàire misure për B, sempe con ël sistema ant lë stat a , as treuvoarzultà diferent, e donca 'l vaor dàit da la misura a l'é nen prevedìbil. La Mecànica Quantìstica a dà na manera ëdcalcolé la probabilità d'avéj ij diferent arzultà.

A na ven che l'arzultà ëd na misura a l'é nen na fonsion unìvoca dlë stat dël sistema, e ancora, nàmisura fàita an sël sistema a càmbia lë stat quànrich midem. An efét, se ant lë stat a dël sistema, i foma na

misura ëd B e i trovoma 'l valor bk , dòp la misura ël sistema as trovrà ant l'autostat kb .

Prinsìpi ëd dzorposissionSto prinsìpi a dis che se e a son doi stat possìbij dël sistema, antlora lë stat arpresentà da

l'equassion 2211 cc , con c1 e c2 costant complésse arbitràrie, a l'é 'ncora në stat possìbil.

Sòn a veul dì che l'ansema djë stat possìbij ò amissìbij d'un sistema a l'é descrivù da në spassi linear Hëd fonsion d'ónda. Për che sto prinsìpi a sia consistent, a venta che l'evolussion ant ël temp dla fonsion d'ónda asia dàita da n'equassion linear an , coma pr'esempi

0S

andova S a l'é n'operator linear, vis-a-dì tal che:

ScScccSS 211211 .

Suponoma adéss che un sistema a peussa avèj doi stat A e B ch'a sìo taj che un dàit paràmeter Qmisurà ant lë stat A , a daga arzultà a con probabilità 1. L'istéssa quantità, misurà ant lë stat B , a daga arzultà bcon probabilità 1.

I l'oma dit che a esist ëdcò le stat C, ò méj jë stat C taj che BBAAC cc . Ant un ëd costi stat ipodoma ciamésse che valor dël parameter Q i podoma misuré. Lë stat C a sarà an quàich manera antrames ai doistat A e B. Ma an Mecànica Quantìstica, lòn ch'as peul misuré an sto cas a l'é mach sempe ò a opura b.

La probabilità dle doe misure a l'é dàita da:

22

2

22

2;

BA

Bb

BA

Aa

cc

cP

cc

cP

vis-a-di che 'l caràter antrames as manifesta con le diferente probabilità dj'arzultà a opura b.

Pr'esempiPër dé n'esempi ëd cost prinsìpi i consideroma col clàssich dlë stat ëd polarisassion d'un ragg ëd lus,

che as fà ëd sòlit.Ch'a sia dàit un ragg ëd lus polarisà an manera linear che as propaga an diression z , normal al pian xy .

Ël versor ëd polarisassion ch'a sia , normal a l'ass z e donca an sël pian xy. I foma passé 'l ragg travers un fìltropolarisator che a l'é an sël pian xy e a peul viré 'ntorna a l'ass z . Sto fìltro a l'à diression caraterìstica 'dpolarisassion , che a l'è la diression ëd polarisassion dla lus che a seurt dal fìltro midem.

Lòn che as osserva ant l'òtica clàssica a l'é che se la polarisassion a l'é paraléla a , ël ragg a passasensa dësturb, mentre che se la polarisassion a l'é përpendicolar a , ël ragg a ven d'autut assurbì. Se lapolarisassion a forma l'àngol con , la lus ch'a seurt a l'ha polarisassion paraléla a , e n'intensità che asarduv dël fator cos2 . E costa a l'é la lèj ëd Malus.


68

Se is butoma da la mira quantìstica i l'oma che nòstr ragg a l'é fàit ëd foton idèntich, che a peulo essearpresentà da treno d'onde tuti istéss, con vetor ëd propagassion k , pulsassion ck e polarisassion

ortogonal a k.. I pijoma an sël pian xy dël polarisator l'ass x an diression ëd , e i l'avroma l'ass che iciamoma y an diression che i ciamoma .

Se la diression dla polarisassion a l'é paraléla a , antlora tuti ij foton a passo sensa cambiament. Seanvece la diression dla polarisassion a l'é paraléla a , antlora tuti ij foton a son assurbì. Costi antlora a son doistat (autostat) andova la misura a dà n'arzultà con probabilità 1.

Ël problema a ven cand as trata d'antërpreté ël cas ëd l'àngol a fra e . An efét ij foton a son tutiistéss, e donca as dovrìo comporté a l'istéssa manera, ma un foton a peul nen esse dividù, e donca a venta penséche na part dij foton a passa travers el fìltro e a cambia soa polarisassion da a , mentre n'àutra part a venassurbìa. Lòn ch'as peul dì a l'é giusta che ògni foton a l'ha na probabilità cos2 ëd passé.

Da la mira ëd nòstra misura i podoma pensé che lë stat ëd polarisassion a sia la dzorposission dij dojstat ëd polarisassion e , con probabilità ch'a son, ant l'órdin, cos2 e sin2 .

Se i consideroma le component dël versor an sj'ass x e y i l'oma che 21 sincos e donca laprobabilità ëd trové 'l foton ant jë stat o , a l'é dàit dal quadrà dij coeficent dl'espression. Sòn a verìficaj'espression dàite prima, vis-a-dì:

22

2

22

2;

BA

Bb

BA

Aa

cc

cP

cc

cP

Spassi djë stat possìbijI l'oma vist che le combinassion linear dë stat possìbij a son a soa vira stat possìbij. Al moment i

consideroma giusta la dipendensa da le coordinà, e i arciamoma lòn ch'i l'oma dit ant la prima part, a propòsit ëdvetor (nùmer limità 'd component) e 'd fonsion (nùmer anfinì 'd component).

Sti vetor e ste fonsion a aparten-o a në spassi linear, an general compléss, che a l'ha definì un prodòtscalar (. , .) (necessari 'dcò për definì 'l mòdul). Për doi vetor i l'avroma

nnii

i wwwvvvwvwv ,,;,,ògnipër, 11*

mentre për doe fonsion i l'avroma:

xdxgxfgf 3

-

*,

La notassion ëd Dirac a ìndica con ël sìmbol ciamà vetor ket tant un vetor coma na fonsion. Tuti ij

ket a formo col ch'a l'é lë spassi djë stat possìbij (i l'oma vist che l'integral qdtq 2, a venta che aconvergia). Sto spassi a arzulta esse në spassi ëd Hilbert. I podoma fé l'ipòtesi che a ògni situassion fìsicaconcréta a corisponda un vetor ant lë spassi 'd Hilbert, mentre che a ògni vetor an sto spassi a corispond nasituassion fìsica concreta.

Si sota i sërcoma 'd cheuje j'idèje a propòsit ëd lòn ch'i l'oma dit:I podoma socé a un qualonque stat quàntich d'un sistema, n'element ëd në spassi vetorial che, second laconvension ëd Dirac, i diroma "vetor ket ". Sto vetor a sarà normalisà a 1, e as ës-ciama "vetor dë stat ".Ògni osservàbil A a amet n'anséma d'autostat ka , che i ciamoma "autovetor", almanch un për ògni

possìbil arzultà ak dla misura.L'ansema dj'autovetor a forma na base ortonormal dlë spassi, e donca qualonque vetor dë stat a peul essearpresentà da na combinassion linear dj'autovetor, ëd sòlit a coeficent compléss k

kk ac

La probabilità Pk ëd trové ël valor ak ant na misura ëd A a val 2kk cP .


69

I consideroma adéss lë spassi vetorial djë stat. Le dimension dë sto spassi a son dàite dal nùmer djë statindipendent dël sistema. Ant ël cas dla polarisassion ëd foton che a l'han na diression fissà, jë stat indipendent ason giusta doi, e donca i l'oma arpresentàje con ij versor an sël pian xy , ma costi stat, an d'àutri problema, apeulo esse 'dcò anfinì. Sto spassi, peui, a venta che a l'àbia definì un prodòt scalar, dal moment che ij coeficent ckch'i l'oma vist sì dzora as oten-o pròpi con ël prodòt scalar fra eka vis-a-dì kk ac .

Ël prinsìpi ëd dzorposission a dis che ògni vetor dë stat a peul esse svilupà ant j'autovetor ka . Isuponoma 'dcò che qualonque combinassion linear convergenta dij ka a arpresenta un vetor dë stat dëlsistema. I suponoma che lë spassi dij vetor dë stat a sia në spassi ëd Hilbert, còsa che a l'é compatìbij con lecaraterìstiche ch'i l'oma vist fin-a sì.

Grandësse fìsicheDa lòn ch'i l'oma dit a arzulta che n'osservàbil a venta che a l'àbia le caraterìstiche arportà sì sota:

A n'osservàbil (real) A as peul socé n'ansema 'd valor reaj a1 , a2 , ... , ak , ... che a son ij possìbij arzultà dlamisura. A un dàit arzultà ak a l'é socià almanch n'autovetor ka

La misura ëd A fàita ant un genérich stat a dà nen n'arzultà unìvoch, ma as peul oten-e un qualonque

arzultà ak con na dàita probabilità Pk .Doe genériche osservàbij A e B a son, an general, nen compatìbij. An sto cas a esisto nen autostat dëlsistema che a sio a l'istéss temp autostat ëd A e ëd B.

I l'oma vist che la grandëssa A a peul nen esse dëscrivùa da na fonsion dle variàbij caraterìstiche dlëstat, dësnò a l'avrìa sempe un valor unìvoch.

I tnima sempe present lòn ch'i l'oma dit ant la prima part.Comensoma con indiché con Â l'operator che a arpresenta la grandëssa A. I podoma scrive

l'equassion a j'autovalor

kkk aaaA

As dimostra che j' ak a son reaj e che j' ka a son ortogonaj. I disoma donca che j'autovalor ak a sonj'arzultà dle misure e j'autovetor ka a son j'autostat dël sistema.

Se as pija l'ansema dj'autovetor ka , normalisà, coma base ortonormal dlë spassi d'Hilbert, antlora ungenérich vetor de stat a peul esse svilupà ant la k

kk ac e se a l'é nen un dj'autovetor ka , na

misura ëd A a peul dé qualonque valor ak con la probabilità ch'i l'oma vist prima.

Fra doi operator Â e B a l'é definì un prodòt BA che an general a l'é nen comutativ e donca i l'avromache ABBA . I vëddroma che doe grandesse a son compatìbij se e mach se ij relativ operator "a còmuto", vis-a-dìse për lor a val ABBA . An sto cas ij doi operator a l'han d'autovetor an comun.

OsservassionI l'oma vist che as peul nen assegné na posission precìsa a un sistema quantìstich. I pensoma, com

esempi, a na partìcola ant lë spassi tridimensional, dont la posission a l'é dàita dal vetor r. Disoma P(r)dr laprobabilità ëd trové costa partìcola ant un dàit volum dV localisà da (r, r dr) (densità 'd probabilità). Laprobabilità che la partìcola a sia ant un dàit volum V a sarà

VrdrPVP )()( .

A l'istéssa manera i savoma che i podoma nen assegné a l'istéssa partìcola un impuls p precis përchè, sei pensoma a l'ónda ëd de Broglie, nòstr pachet d'ónde a l'é la dzorposission ëd vàire ónde con nùmer d'óndadiferent. Ëdcò ambelessì, se i pensoma a në spassi dle fonsion dj'impuls, i podoma dì che a-i sarà na dàita densitàëd probabilità (p)dp për j'impuls, e la probabilità ëd trové l'impuls ant el domini D a sarà

VpdpD )()( .

La probabilità total ëd trové la partìcola da quàich part e l'impuls con quàich valor an fà scrive che costiintegraj estèis a tut lë spassi e a tut ël domini dla fonsion a deubio valèj 1.


70

I disoma che la densità 'd probabilità 'd posission P(r) a l'é l'intensità dla fonsion d'ónda (r) socià a lapartìcola. Donca

2)()()()( rrrrP e a venta ch'a sia 12

spàssilëtutrd)r(

La radis quadrà dë st'integral a arpresenta la "nòrma" dla fonsion d'ónda )(r rispét al prodòt scalarche i l'oma già definì, ma sòn i l'oma già vistlo.

Adéss i provoma a definì la densità 'd probabilità për l'impuls (p) . I ciamoma con (p) la trasformàed Fourier dla fonsion d'ónda

rderp

rpi

23

2)()(

espression che ambelessì i pijoma për bon-a sensa féne la derivassion. I podoma 'dcò scrive l'antitrasformà ëdFourier ëd (p) la che a arzulta esse

pdepr

rpi

23

2)()(

As peul vëdde che la fonsion d'ónda ëd posission a peul esse considerà coma combinassion lineard'ónde elementar d'un dàit impuls p , e con ampiëssa (p). La densità ëd probabilità për l'impuls (p) a l'él'intensità dla fonsion d'ónda (p) socià a la partìcola. Donca

2)()()()( pppp e a venta ch'a sia 12

spàssilëtutpd)p(

An sto cas a val ëdcò l' identità ëd Parseval (vardé la trasformà ed Fourier) e donca as peul scrive

12

spàssilëtut

2

spàssilëtutpd)p(rd)r(

andova l'ugualiansa a 1 a l'é nen part dl'identità ed Parseval, ma a l'é anlià a nòstra situassion.La fonsion (p) a l'é dita fonsion d'ónda ant lë spassi dj'impuls, andova a l'é definì l'istéss prodòt scalar

che ant lë spassi dle coordinà. Dal moment che la trasformà ëd Fourier a conserva ël prodòt scalar, i l'oma che se1(r) e 2(r) a son doe fonsion d'ónda ant lë spassi dle coordinà e 1(p) e 2(p) a son le corispondente fonsion

d'ónda ant lë spassi dj'impuls, antlora ( 1 , 2) ( 1 , 2). An definitiva e a son arpresentassion echivalentedj'istéss stat dinàmich.

Dimension dla fonsion d'ónda

I suponoma ëd nen consideré la dipendensa dal temp. I podoma consideré che 2q a arpresentana densità ëd probabilità ant lë spassi dle coordinà, e donca a l'ha le dimension dl'invers d'un volum. Disoma L ladimension "longhessa" e i l'oma che le dimension ëd 2q a son L . Donca a-i na ven che la fonsion d'ónda

q a l'avrà dimension L . A l'é ciàitr che sòn a val se is arferima a në spassi a tre dimension. Për doedimension i l'avroma che le dimension a son L , mentre ant ël cas unidimensional i l'avroma L .

A l'istéssa manera i podoma serché ëd trové le dimension dla fonsion d'ónda ant lë spassi dj'impuls (ipensoma sempe a ne spassi tridimensional) zyx pppp ,, . I l'avroma che, se M a l'é la dimension “massa"e T a l'é la dimension "temp", dal moment che la densità 'd probabilità a l'è l'invers ëd n'impuls al cubo, com a disl'identità ëd Parseval, vis-a-dì (ML/T) , la fonsion d'ónda a l'avrà dimension (ML/T) ant në spassi a tredimension. Për un-a ò doe dimension a valo j'osservassion fàite sì dzora.


71

Valor médiSì sota i arpijoma 'd còse già dite, ma da na diferenta mira, sempe ant la speransa dë s-ciairì j'idèje ant

un formalism andova a l'é sempe possibil dësmentiene un tòch.A l'é ciàir che un ket a pija sò significà cand a l'é esprimù ant na dàita base fissà. A sto propòsit is

arfoma a lòn ch'i l'oma dit ant la prima part. Com i l'oma vist ant la prima part, ant la notassion ëd Dirac a ògnivetor ket a l'é socià un vetor bra, che a ven indicà con ël sìmbol e che a l'è ël compléss coniuga dël ket.

I suponoma n'osservàbil F(r) che a dipend da la posission, ëd na partìcola che a l'é ant lë stat dinàmich(r) . Sò valor medi a corispond a la la media aritmética dj'arzultà ëd N misure, con N motobin gròss, fàite su N

sistema idèntich dëscrivù da l'istéssa fonsion d'ónda (r). As supon che na vira trovà r, ël valor F(r) a l'édeterminà, ma a l'é un dàit r che as treuva mach con na dàita probabilità P(r). Për semplifiché le scriture isuponoma che lë spassi d'anterésse a sia a na dimension sola, giusta për dovré x al pòst ëd r. I l'oma che:

dxxxFxdxxxFdxxPxFxF )()()()()()()()(2

I l'oma vist che la densità 'd probabilità che un sistema a sia ant la posission x a l'é dàita da 2x , eda sì a ven che se i voroma conòsse 'l valor medi dla x (che indicoma con x ), aplicand lòn ch'i l'oma vist sìdzora, i podrìo scrive:

dxxxx 2

ma i l'oma vist ant la prima part che për calcolé 'l quadrà dël mòdul d'un vetor a venta moltiplichélo për sòcompléss coniugà, e donca i l'avroma

xdxxxxdxxxx *2

andova l'ùltima espression a l'é la notassion ëd Dirac. Con la notassion x i indicoma l'assion dl'operatorlinear x an sla fonsion d'onda (x), dàita da la moltiplicassion dl'operator con la fonsion : x (x) . Ij valor mediant un dàit ëstat as treuvo butand ant l'espression dël valor medi ch'i l'oma vist si dzora l'operator che acorispond a l'osservàbil sercà al pòst dla x, che a l'é l'operator linear dla posission.A l'istéssa manera i podoma consideré n'osservàbil G(px) che a dipenda da l'impuls. I podoma consideré lafonsion d'ònda (px) com i l'oma vist sì dzora

xxxxxxxxxxx dpppGpdpppGdpppGpG )()()()()()()()(2

Se, pr'esempi, i voroma trové 'l valor medi dl'impuls px ant lë stat (px) i podoma scrive

xxxxx dppppp *

tnisend cont che ël px dovrà ant l'espression a l'é nen na component dl'impuls ma l'operator linear da apliché alquadrà dla fonsion d'ónda e che a corispond a l'impuls. A venta donca trové la manera 'd produve j'operatorlinear corispondent a j'osservàbij da calcolé.

I l'oma vist s' dzora, però, che (x) e (px) a son arpresentassion echivalente dlë stat ed la partìcola, edonca a venta che as peussa determiné tant F(x) coma G(px) conossend mach la (x) opura la (px). Ant ël cas

sempi ëd px , pr'esempi, as peul noté che px (px) a l'é la trasformà ëd Fourier ëd l'espressionx

xi (còsa

che a l'é nen dificil dimostré ma che sì sì i stoma nen a dimostré, còsa nen necessària an nòstr but). Donca a venfàcil podèj scrive l'ugualiansa:


72

dxxx

ixdppppp xxxxx**

A sto propòsit a venta noté che la misura ëd na grandëssa fìsica real a l'é sempe un nùmer real. Sedonca nòstra teorìa a deuv avèj un sens, a venta che l'operator linear che i sercoma, aplicà a nostra notassion ëdDirac, a sia tal da dé sempe coma arzultà un nùmer real. I vardroma pì ant l'ancreus la costion un pòch pi anans.

Operator, autovalor, osservassionI l'oma vist che lë stat quantìstich a l'é dëscrivù da la fonsion d'ónda, e i l'oma acenà a coma descrive le

variàbij dinàmiche, ma quàj a son j'arzultà che i podoma spetésse?

An Mecànica Quantìstica ògni variàbil a ven socià a n'operator linear f che a agiss an slë spassi H dlefonsion d'ónda. I l'oma vist che n'operator a l'é linear cand a sodisfa a la condission

fcfcccf ˆˆˆ211211

con c1 e c2 costant complésse arbitràrie. I l'oma vist che an sla misura a-i é n'incertëssa, e a conven introduve 'lconcét ëd média quantìstica o valor spetà. Për l'operator ëd posission i l'oma già vist che i podoma definì stamédia coma :

qdqqqq *

I podoma generalisé costa espression e definì ël valor medi ëd n'operator qualonque (osservabil) fcon l'espression dl'istéss tipo

qdqfqf ˆˆ *

ma a l'é nen imedià vëdde che sòn a l'àbia un significà. An efét l'arzultà ëd na misura isolà a l'é n'autovalor fndl'operator f (sì i armandoma a lòn ch'i l'oma dit an sj'autovalor e autofonsion ant la prima part). I l'oma larelassion nnn ff con 1n (normalisà). J'autofonsion n a dëscrivo j'autostat dl'operator, che a son jë

stat andova la misura a dà arzultà fn con probabilità 1.Në stat genérich a l'é dëscrivù da la combinassion linear dj'autostat n

nnn qcq

Scond postulà dla Mecànica Quantìstica

Sto postulà a dis che se n a son j'autostat dl'operator f , na misura ëd f fàita ant lë stat

nnn qcq a dà l'arzultà fn con na probabilità

2nn cP .

I l'oma già acenà (ma i lo vëddroma torna) che as trata d'operator hermitian, che a l'han autovetor reaje autostat ortonormaj. Donca sò prodòt intern a valo:

mnmnmn dq*

e i consideroma në stat normalisà, vis-a-dì 1 .

Sòn a veul dì che 12

nn

nn cP . Da sì a ven che 'l valor medi ëd lòn ch'i podoma trové misurand

l'operator f a val

nnn fPdqqfqf ˆˆ *


73

La probabilità Pn a l'é 'dcò dàita da 2nnP , e sòn përchè nnn cdq* dàita la

condission d'ortonormalità d'autostat. As peul donca disse che la probabilità ëd trové un dàit valor ant la misura ëd f aval ël mòdul al quadrà dla projession dla fonsion d'ónda an sla relativa autofonsion.

An 's j'operatorI continuoma a arpijé lòn ch'i l'oma già vist ant la prima part, sercand dë s-ciairì j'idèje. Da na mira

matemàtica i podoma definì n'operator O coma n'aplicassion che a pòrta na fonsion definìa ant në spassi S,ant n'àutra fonsion O , sempe definìa ant lë spassi S.

I l'oma vist che n'operator a l'é linear cand a val sempe la relassion

O O O )

andova e a son doi nùmer compléss qualonque. L'operator diferensialx

i ch'i l'oma trovà prima a l'é

n'operator linear che a sodisfa l'arcesta sì dzora. Ambelessì an anterésso mach j'operator linear.I armandoma a la prima part për lòn ch'a rësguarda l'àlgebra dj'operator, mentre sì i andoma un pòch

pì ant l'ancreus për lòn ch'a rësguarda ij comutator.

Prodòt d'operatorËl prodòt ëd doi operator A1 e A2 , com i l'oma vist ant la prima part, a l'é definì coma

vAAvAA 2121

sta notassion i l'oma dovrala për matriss e vetor, ma a l'ha validità general.Si i dovroma la pì imedià notassion për prodòt ëd doi operator, aplicà a la fonsion , che a val

O O O O e, an general, sto prodòt a l'é nen comutativ, vis-a-dì che O O O O .

ComutatorAs definiss "comutator" ëd doj operator l'espression:

[O , O ] O O O , O

As dis che doi operator a "comuto" se sò comutator a val zero, mentre a "comuto nen" se sò comutator al'é diferent da zero. I armandoma 'ncora a la prima part për lòn ch'a rësguarda le proprietà dij comutator.

As dimostra st'important teorema:

Osservàbij compatìbijA val sto teorema : Se doi operator f e g a còmuto, antlora a esist na base dë stat ortonormaj complét

{ n } tal che nnnnnn ggff ; .

Si i doma nen la dimostrassion ma i vardoma coma esempi che se doi operator as arferìsso a variàbijcompatìbij antlora sò comutator a val zero, dësnò a l'é da zero.

Operator ed posission e impulsSe, pr'esempi, i sërcoma ël comutator dl'operator relativ a la posission x e dl'operator relativ a la

component x dl'impulsx

i i l'avromax

ix , . Aplicand prima la derivà parsial a la fonsion e peui la

moltiplicassion për x i l'avroma: xx

i . Se anvece prima i foma la moltiplicassion për x e peui i aplicoma la


74

derivà i trovoma xx

ixxx

xixx

i e se foma la prima espression meno la

sconda i otnòma i , che a l'é nen zero.

Se anvece i provoma a fé l'istéssa operassion, ma con la component y dl'impuls vis-a-dìy

ix , .

Se i aplicoma prima la derivà e peui la moltiplicassion për x i l'avroma xy

i - Se i aplicoma prima la

moltiplicassion për x e peui la derivassion, i l'oma xy

i xy

i , e donca ël comutator a val zero.

Operator hermitianI l'oma vist che j'arzultà ëd na misura a son dàit da j'autovalor dl'operator corispondent al paràmeter da

misuré. Ma le misure d'un paràmeter real a son valor reaj, e donca a venta che l'operator a sia tal che ij sòautovalor a sio sempe reaj. Ël tipo d'operator che a l'ha coste caraterìstiche a l'é col ch'a ven ciamà "operatorhermitian". Ant la prima part i l'oma vist costi operator, e sì i armandoma a cola part e i giontoma quaicòs.

I disoma che per n'operator Hermitian O a val l'espression:

rdrrOrdrOr )()()()( 2121

e sòn për qualonque cobia 'd fonsion e .Peui i definìma ël traspòst ëd n'operator. I l'oma vist che cand l'operator a l'é arpresentà da na matriss,

soa traspòsta a l'é cola che a fà l'operator traspòst. Cand però l'operator f a l'é nen arpresentàbil con na matriss,antlora i lo definima travers l'efét che n'operator traspòst f T a produv.

Dàit në stat , se a esist na fonsion ëd l¨spassi H tala che për qualonque dlë spassi H a valasempe la relassion:

** dqfdq antlora Tf

As definiss peui "coniugà Hermitian" d'un operator f , l'operatorTT fff **† mentre n'operator f

a l'é "Hermitian" se ff † .I vardoma adéss le caraterìstiche che an interésso ëd costi operator.I l'oma già vist che, për n'operator genérich A, ant në spassi ëd fonsion S, dont la fonsion a fa part,

se a val la relassion :

A

andova a l'è na costant che, an general, a sarà compléssa, antlora as dis che a l'é n' autofonsion ëd A,mentre a l'é n' autovalor dla fonsion.

A peul esse che a-i sio vàire autofonsion linearment andipendente, disoma g 1, che a l'han l'istéssaurovalor . An sto cas coste a género un autospassi a g dimension, socià a l'autovalor , che a l'é un sot-spassiëd S. An sto cas l'autovalor as dis "degéner" ëd gré g . Se g 1 antlora l'autovalor a l'é "nen degéner".

Teorema 1Ant ël cas ëd operator Hermitian, j'autovalor a son sempe nùmer reaj. An efét se i aplicoma la relassion che

a definiss j'autovalor a la relassion che a definiss l'operator Hermitian i vëddoma che a venta ch'a sia real.

Teorema 2

Se 1 e 2 a son doe autofonsion indipendente dl'operator A, antlora a son "ortogonaj" rispét al prodòtscalar. An efét se le doe fonsion a l'han autovalor distint 1 e 2, antlora a l'é imedià përchè se as deuvra la


75

definission vista primad'operator Hermitian rdrrArdrAr )()()()( 2121 , Peui as sostituissl'equassion dj'autovalor A e as consìdera che an nòstr cas j'autovalor a son reaj, as peul scrive che

rdrrrdrr )()()()( 211212 con 21 a venta ch'a sìa 0)()( 21 rdrr , che a l'é la condission

përchè 1 e 2 a sìo ortogonaj.Ëdcò ant ël cas d'autovalor degéner as peul dovré 'l procediment ëd Gram-Schmidt për ortogonalisé

j'autovetor, còsa che sì adéss i vardoma nen.

Teorema 3

Për qualonque fonsion (x) dle spassi ëd Hilbert e për qualonque operator hermitian O la fonsion apeul sempe esse arpresentà da na combinassion linear dj'autofonsion fn(x) dl'operator. A seconda che lë spetrdj'autovalor a sia discrét opura contìnuo i l'avroma

nnn xfcx )()( opura xdxfxcx )()()(

I stoma nen ambelessì a dimostré sto teorema, ma i derivoma soe consegoense ant n'esempi che peui igeneralisoma. I consideroma n'espression ëd la fonsion d'ónda (r) che i l'oma già dovrà, e che sì i limitoma a nasola dimension për féla pì sèmpia.

x

xpi

x dpepxx

2)()(

/

Costa espression a peul esse antërpretà coma na dzorposission linear ëd fonsion2

/xpi

px

xe ,

ognidun-a con coeficent )( xp . I l'oma vist che se as misura l'impuls ant lë stat , as peul trové 'l valor px con

na probabilità 2)( xp , se la fonsion d'ónda a l'é normalisà.

I podoma noté che le fonsionxp a son tute e mach j'autofonsion dl'operator

xi , che a l'é giusta

l'operator socià a l'impuls px. An efét, se i aplicoma st'operator a le fonsionxp i trovoma

xx pxp px

i

e da sì a arzulta che ógni fonsionxp a l'ha l'autovalor px.

La generalisassion ëd costi arzultà a l'é contnùa ant ël teorema 3 ch'i l'oma enunsià d' dzora.

Operator con spétr contìnuoDa lòn ch'i l'oma vist i podoma dì che misure d' osservàbij coma posission opura impuls a peulo

produve valor su tut ël camp dij valor reaj con continuità. Donca a venta che a sia contìnuo 'dcò le spétrdj'autovalor ëd costi operator.

I comensoma a consideré l'operator ëd posission ant l'arpresentassion dle coordinà, e i continuoma aconsideré mach na dimension. St'operator a val giusta x, e soe autofonsion a venta che a sodisfo a l'equassiondj'autovalor

)()(00 0 xxxx xx

Sta condission a smija pitòst dròla e dis che cand la fonsion )(0

xx a l'é moltiplicà për x, antlora a valla fonsion midema moltiplicà për na costant. An efét a-i é mach na manera ëd sodisfé costa condission, e a l'é chela fonsion a sia ugual a zero daspërtut, meno che ant ël pont x0.


76

Na fonsion parèj a esist e a l'é la fonsion delta ëd Dirac. An efét, se i dovroma la Delta 'd Dirac al pòstdl'autofonsion )(

0xx i otnoma

000 xxxxxx

che a l'é un-a dle proprietà dla fonsion Delta 'd Dirac. Donca le Delta 'd Dirac a son, al varié ëd x0, tutej'autofonsion e le x0 mideme a son ij relativ autovalor. N'àutra proprietà dla Delta 'd Dirac a l'é che:

1010 xxdxxxxx

e costa espression a esprim l'ortogonalità dj'autovetor, dal moment che ël prodòt sota integral a l'é ël prodòtscalar ëd doe autofonsion e lë scond member a dis che sto prodòt a val 1 mach se x0 x1 , vis-a-dì mach se ij doiautovetor a coincido ant un sol. Sempe da le caraterìstiche dla fonsion Delta 'd Dirac a ven che

00000 )()()()(0

dxxxdxxxxx x

che a dis che ògni fonsion d'ónda (x) a peul esse scrita coma combinassion linear dj'autofonsion

00 xxx dl'operator x , con coeficent (x0).

I stoma nen a arpete sta procedura për l'operator dl'impuls, andova a la fin as treuva l'espressiondl'ortogonalità ancora ant la forma dël prodòt scalar

10, pp che a val:

1010, pppp

Coeficent dla combinassion linearI l'oma vist che tant ant ël cas discrét coma ant ël cas contìnuo ògni fonsion d'ónda normalisà a peul

esse scrivùa coma combinassion linear dj'autofonsion ëd n'operator.Is ciamoma coma a peulo esse determinà ij coeficent ëd costa combinassion linear, che a son peui coj

dont ël quadrà dël mòdul a dà la probabilità ëd n'arzultà ugual a l'autovalor socià a la relativa autofonsion.I comensoma a consideré ël cas discrét, andova nòstra combinassion linear a l'é

nnnc .

Se i foma ël prodòt scalar dij doi mèmber për na qualonque autofonsion h , i trovoma che:

hn

hnnh cc ,,

dal moment che ij prodòt scalar hn , a valo 0 për hn (autovetor ortogonaj) e a valo 1 për hn (autovetornormalisà). Donca conossend la fonsion d'ónda e j'autovetor ëd n'operator as treuvo ij coeficent dlacombinassion linear.

Vardoma adéss ël cas contìnuo. I foma nen tuta la tratassion, ma i disoma mach che l'espression sìdzora a va bin ëdcò an sto cas. Da lòn ch'i l'oma già vist sì dzora (e ambelessì is arferima a l'espression

x

xpi

x dpepxx

2)()(

/ ) i disoma che )( xp a l'é nòstr coeficent, mentre l'autofonsion a val

2

/xpi xe .

As trata antlora ed fé 'l prodòt scalar indicà. As oten dxxepxpi

xx

)(2

)(/

.

Efét dla misuraI l'oma desgià acenà al fàit che na misura a modìfica lë stat dël sistema, donca na misura a modìfica la

fonsion d'ónda. Se i suponoma për un sistema un operator con autofonsion discréte, prima ëd na soa misura i


77

dovoma supon-e na fonsion dë stat fàita da la combinassion linear ëd tute j'autofonsion. Se la misura a dà comaarzultà un dj'autovalor, socià a na precisa autofonsion, lë stat a ven determinà da la misura, e la fonsion dë stat a"colassa" ant l'autofonsion relativa a l'autovalor misurà (sempe che la misura "ideal" a l'àbia nen cambiala). Sel'autovalor misurà a l'é degéner, antlora la fonsion d'ónda dë stat a resta fàita da la combinassion linearj'autofonsion socià a col istéss autovalor.

I podoma consideré ël cas ëd n'operator con spetr contìnuo, dont la fonsion d'ónda a arzulta dàita dana combinassion linear dàita coma integral, com i l'oma vist prima. I suponoma na misura che an dà n'arzultà conna dàita incertessa.

N'esempi clàssich a l'é col ëd na partìcola che a viagia paraléla a l'ass y e con na posission x che ivoroma misuré. I foma la misura con në scherm paralél a l'ass x che a l'ha na filura larga da xx a xx . Sela partìcola a passa a veul dì che soa posission x a l'é dàita da x con n'indeterminassion x2 (i suponoma ëdpodèj trascuré le implicassion dle situassion anlià a le coordinà y e z ). Prima dla misura la fonsion d'ónda a l'ècola ch'i l'oma vist prima:

00000 )()()()(0

dxxxdxxxxx x

Dòp la misura, se la partìcola a l'é stàita assurbìa da lë scherm soa fonsion d'ónda a l'é zero, mentre chese anvece a l'é passà da la filura, j'autofonsion che a resto an gieugh a son cole relative a le posission da xx a

xx , e la fonsion d'ónda a "colassa" ant la fonsion:

xx

xxx

xx

xxdxxxdxxxxx 00000 )()()()(

0

An general, donca, i podoma dì che :Se la misura ed n'osservàbil fìsica an slë stat a dà coma arzultà l'autovalor dl'operator socià a

l'osservàbil, lë stat a ven modificà da la misura midema ant lë stat che a l'é la "projession" dle stat ansl'autovetor opura l'autofonsion relativ a l'autovalor . An general a venta torna normalisé j'autofonsion ëd .

Ant ël cas d'autofonsion contìnue, se la misura ed n'osservàbil fìsica an slë stat a dà coma arzultàl'autovalor dl'operator socià a l'osservàbil, con n'incertëssa , lë stat a ven modificà da la misura midemaant lë stat che a l'é la "projession" dle stat an sl'union dj'autofonsion opura dj'autostat relativ a j'autovalorcomprèis fra , e . An general a venta torna normalisé j'autofonsion ëd .

Relassion ëd HeisembergAdéss i podoma vardé sta relassion an manera pì rirgorosa. I podoma dimostré che për qualonque

cobia d'operator hermitian Q e P che a sodisfo a la condission

iPQ ,

a val la relassion ëd Heisemberg:

2PQ

Për fé sòn i consideroma n'operator 00 PPiQQA andova a l'é un nùmer real, eandova QQQ0 e PPP0 a son ij valor medi dij doi operator ant lë stat .

I notoma adéss che per un qualonque operator A a val che:

02†*† AdxAAdxAA

e për nòstr operator A i l'oma

020

220 PPQQ


78

I definima 20QQQ coma la misura d'indeterminassion ëd Q, parèj coma i definima

20PPP la misura d'indeterminassion ëd P.

I l'oma n'espression dle scond gre, che a l'é positiva semidefinìa cand sò discriminant a l'é negativopura zero. Donca se 04 222 PQ . Vis-a-dì se :

2PQ

Relassion d'indeterminassion Temp-EnergìaAs trata 'd quaicòs ëd pitòst diferent da lòn ch'i l'oma vist prima. Sta relassion a peul esse scrivùa coma

tE . An efét i l'oma che mentre E a l'é na variàbil dinàmica, t a l'é un paràmeter dël sistema.

A-i son manere diferente ëd buté an evidensa st'indeterminassion, e sì i foma giusta n'esempi anmanera pitòst semplificà.

I suponoma na partìcola lìbera ch's sia socià a un pachet d'ónda (x) dont la larghëssa a sia x , e con

na velocità 'd grup dàita dapE

v .

Për passé tut travers un dàit pont, la partìcola a-i butrà un temp t che a sarà dàit davx

t andova

v a l'é la velocità 'd grup dël pachet. D'àutra part ël pachet a l'ha 'dcò na dàita indeterminassion dl'impuls, vis-a-diche i podoma supon-e ch'a l'abia un dàit p. ant lë spassi dj'impuls. Antlora:

ptx

pvppE

E

Ma i savoma che, për ël prinsìpi d'indeterminassion, px e donca ëdcòt

E , e da sì as

arcava la relassion:

tE

Operator d'anterésseI l'oma parlà d'operator, e an particolar dl'operator ëd posission e dl'operator d'impuls, ma sì i voroma

precisé quaicòs ëd pì e parlé 'dcò d'operator për l'energìa. I disoma che an mecànica clàssica lë stat ëd na partìcolaa peul esse spessificà an fonsion dla posission e dl'impuls, vis-a-dì che a l'é andividoà da un pont ant lë spassi dlefase. An mecànica quantìstica lë stat a l'é andividoà da na "fonsion d'ónda ant në spassi ëd Hilbert.

Sempe an mecànica clàssica i disoma che na variàbil qualonque a l'é na fonsion dinàmica dla posissione dl'impuls. An mecànica quant'stica i l'oma che posission e impuls a son socià a operator hermitian, che, se isuponoma na fonsion d'ónda dle coordinà, vis-a-dì fonsion dla posission, për la posission l'operator a l'é giusta

l'operator moltiplicativ x (che a ìndica la coordinà), e për l'impuls a l'é l'operator diferensialdtdi . Se na

variàbil clàssica a l'é arpresentà da na fonsion f f(x, p), an mecànica quantìstica ël relativ operator a peul esse

otnù da costa fonsion con la sostitussiondtdipxx ;ˆ .

Se lë stat dël sistéma, an mecànica clàssica, a l'é determinà da x e da p, la misura ëd na variàbil f adarà coma arzultà f f(x, p). An mecànica quantìstica, se ël sistema a l'é ant lë stat , la misura dla variàbil

corispondent a l'operator F a darà un dj'autovalor f ëd F , c on na probabilità 2)( ffP . Mentre che ant ël

cas clàssich lë stat a l'é nen cambià da la misura, an mecànica quantìstica lë stat dël sistéma a dventa lë statf corispondent a l'autovalor f misurà.


79

L'evolussion dle variàbij clàssiche a seguo j'equassion ëd HamiltonqH

ppH

q ; , mentre che

për la mecànica quantìstica l'evolussion dlë stat a l'é stabilì da l'equassion ëd Schrödinger che i vëddroma sì sota e

che a l'é, ant un-a ëd soe forme )()( tHtt

i , andova l'operator H a l'é dit l'Hamiltonian-a quantìstica,

che as oten da l'Hamiltonian-a clàssica fasend le sostitussiondtdipxx ;ˆ . Macassìa i vëddroma mej

costa costion, pròpi parland dl'equassion dë Schrödinger.

Valor spetà e stat quàntichI l'oma vist che un sistema quantìstich a l'é dëscrivù da na fonsion d'ónda, che an general a peul esse

dla forma tq , . L'interpretassion ëd Born dla fonsion d'ónda a dis che la probabilità P L(x) ëd trové lapartìcola (ël sistema) ant n'anviron L antorna al pont x (sì i semplificoma a na sola dimension), e ant un dàittemp t, a l'é dàita da

LtxtxxP L ),(),()(

e sòn a veul d', an pràtica, che se i l'oma un gròss nùmer ëd partìcola istésse, tute ant l'istéss ëstat , e i misuromaant l'istéss moment la posission dle partìcole, i na trovroma nx ant l'nterval L antorna al pont x . Da la teorìadle probabilità e da l'interpretassion probabilìstica ëd Born i l'oma:

ErLtxtxErxPNn

Lp

x ),(),()(

andova Er a l'é l'eror statìstich che a l'é ëd l'órdin ed grandëssa ëd pN1 , e che as peul fé cit ch'a basta, conun nùmer gròss a basta ëd partìcole.

L'istéssa còsa a càpita se l'esperiment a l'é fàit con partìcole istésse e ant l'istésse condission, ma un-adòp l'àutra, com a càpita, pr'esempi, ant l'esperiment ëd Young fàit con j'eletron mandà un a la vira. As peul nendovré l'istéssa partìcola, che, com i l'oma vist, a càmbia sò stat con la misura.

I continuoma a supon-e na situassion teòrica andova as peul fé na misura 'd posission ant ël casunidimensional su partìcole istésse che a parto tute, an prinsìpi, caraterisà da l'istéss ëstat quàntich. Doi dàit ëdmisura significativ a son ël valor médi dle misure, e l'àuta l'é lë scart quadràtich medi (vardé ant j'Utiss matemàtich lapart eut).

Ël valor medi a l'é definì coma l'adission j'arzultà dle misure dividù për ël nùmer dle misure mideme.Sòn cand le misure a son stàite fàite, opura, se le misure a son pà 'ncora atàite fàite, da l'adission dij valor possìbij,ognidun moltiplicà për soa probabilità.

Lë scart quadràtich medi, anvece, a l'é la média dël quadrà dle diferense fra ij valor ëd misura e la médiaëd costi valor. Ël fàit che as consìdera ël quadrà dle diferense a l'é dàit dal consideré a l'istéss livél le variassion anpì ò an meno rispét a la media.

La média, calcolà dòp N misure, a l'é dàita daN

iix

Nx

1

1

e i definìma 'dcò na média dij quadrà dj'arzultà comaN

iix

Nx

1

22 1

mentre lë scart quadràtich medi a l'é dàit daN

ii xx

Nx

1

22 )(1


80

e se i foma ël quadrà an parèntesi i l'omaN

ii xx

Nx

1

22 )(1

e se peui i spantioma ël prodòt notèivol i trovoma che

2222

1

2

11

22 2121 xxxxxxxN

xNxx

Nx

N

i

N

ii

N

ii

A sta mira i podoma generalisé e supon-e che na dàita quantità (qualonque) Q a peussa mach pijé ijvalor Q1, Q2, ...Qn, con na dàita probabilità, ant l'órdin P1, P2, ..., Pn. . I podoma definì coma valor spetà da lamisura, la quantità:

n

iii QPQ

1

andova n a l'é ël nùmer dij valor possìbij. Sto valor, a meno dl'eror statìstich, a dovrìa esse ugual al valor médimisurà che a l'é:

n

jjj

TQN

NQ

1

1

andova n a l'é ël nùmer dij valor possìbij, Nj a l'é 'l nùmer ëd vire che a l'é stàit trovà ël valor Qj e NT a l'é 'lnùmer total dle misure. A l'é ciàir che con un gròss nùmer ëd misute i l'avroma che Tjj NNP .

Adéss i tornoma a pensé a na misura ëd posission arlongh la dimension x, e i disoma che la probabilitàëd trové la partìcola ant l'anviron dx d'un pont x a sarà:

dxtxtxxPdx ),(),()(

e donca i l'avroma che 'l valor spetà dla posission x a sarà:

dxtxtxxxPxx dx ),(),()(

parèj coma el valor spetà ëd x a sarà:

dxtxtxxx ),(),(22

e ël valor spetà dlë scart quadràtich medi a sarà:

22222 arzultaapassagiquàichdòpche xxxxxx

e l'espression 2xx a l'é dita ancërtëssa dla posission ant lë stat .

Prinsipi ëd EhrenfestI l'oma vist che as peul nen parlé ëd trajetòria për un sistema quantìstich, dal moment che, pr'esempi,

na partìcola a l'ha nen na precisa posission ant lë spassi ordinari a tre dimension, ma i podoma noté che, a ògnimoment, ël valor spetà x a l'é ant na dàita posission, e donca a trassa, an efét, na trajetòria ant le spassi. Dàitadonca n'equassion dë stat ),( tx , a l'é possìbil derivé n'equassion dël moviment për x , e prové a confrontélacon l'equassion clàssica.


81

Suponoma antlora che {qi, pi} a sìo coordinà e moment generalisà d'un sistema mechànich. Ël prinsìpiëd Ehrenfest a dis che j'equassion dël moviment ëd Hamilton a son vàlide coma equassion dij valor spetà ant lamecànica quantìstica. An particolar i l'oma:

aaa

a

qHp

dtd

pHq

dtd ;

e i podoma prové se coste equassion a sodisfo l'equassion d'ónda ëd de Broglie ant ël cas ed na partìcola ëdmassa m che as bogia ant un-a dimension ant un camp ëd potensial V(x).

An sto cas j'equassion del moviment a dvento

xVp

dtd

mp

xdtd ; ,

mentre l'equassion ëd de Broglie da sodisfé a l'é

2

22

2 vmti .

I stoma nen a fé tut sto procediment, ma i disoma che sòn a l'é verificà mach se 'l potensial a val zero.A venta generalisé la fonsion d'ónda, e antlora la còsa a và bin për qualonque potensial. Sta generalisassion a l'éstaita fàita con l'equassion dë Schrödinger che i vëddroma sì sota.

Ël prinsìpi ëd Ehrenfest as àplica donca a l'equassion de Schrödinger e nen, an general, a cola ëd deBroglie.

As peul ëdcò dimostré che ij valor medi dj'operator ëd posission, d'impuls e dël potensial a sodisfo a le

relassion clàssiche ch'i l'oma vist sì dzora Vpdtdprm

dtd ; . Sòn as oten con considerassion

dzora ai comutator ma, torna, i stoma nen a fé costa dimostrassion.


82

Pàgina lassà veuida apòsta


83

EQUASSION DË SCHRÖDINGER

L'equassion ëd Schrödinger a l'é n'equassion diferensial linear che a l'ha coma incògnita la fonsiond'ónda dël sistema . Fin-a ad éss i l'oma vardà ël sistema a un dàit temp t , e lòn ch'a lo caraterisa. Adéss isocupoma dl'evolussion temporal dël sistema. Con d'àutri termo i podrìo dì che i vardoma ël "moviment" dëlsistema, contut che i l'oma 'ncora nen vist che significà dé a costa paròla an sto contest. An pràtica i voromadeterminé la fonsion d'ónda ( t ) al temp t a parte da la conossensa dla fonsion d'ónda ( 0 ) al temp 0 .

I notoma che l'equassion che a përmet costa determinassion a ven nen coma consegoensa d'unrasonament rigoros, ma a lé "postulà " për peui esse verificà da j'arzultà sperimentaj.

L'equassion a venta macassìa che a rispeta doe condission ëd partensa: 1) - a venta ch'a sia linear eomogénia. Vis-a-dì che se 1 e 2 a son doe solussion dl'equassion, ëdcò na soa combinassion linear qualonquec1 1 c2 2 a l'é solussion. - 2) - a venta ch'a sia dël prim órdin rispét al temp, an manera che a basta conòsse lafonsion a un dàit temp për trové soa evolussion.

Prima d'intré ant ël problema dl'equassion dë Schrödinger, però, a conven arciamé l'equassion ëdj'ónde, dal moment che a l'é da costa che monsù Schrödinger a l'ha derivà soa equassion.

Equassion dj'óndeSì i arciamoma lòn ch'i loma vist ant la session sinch part eut. I l'oma vist ant la session sinch part eut

che, second j'equassion ëd Maxwell, ij camp elétrich e magnétich as propago ant ël veuid second l'equassion

012

2

22

2

tu

vxu andova u a l'é na component dij camp, elétrich ò magnétich, x a l'é la diression dla component

considerà e 1v a l'é la velocità 'd propagassion.

L'equassion si dzora a l'é nen d'àutr che l'equassion ch'i l'oma scrivù sì dzora, e che a l'é dita "equassiondle còrde vibrante", ch'i l'oma già vist an mecànica e dont i conossoma la solussion. An general costa a l'é dël tipo:

tvxftvxftxu 21,

andova f1 e f2 a son doe fonsion genériche.As peul vëdde fàcil che f1(x vt) a l'é solussion calcoland soe derivà parsiaj sconde rispét a x e rispét a

t e vardand che l'equassion a l'é sodisfàita. Ant l'istéssa manera as verìfica che f2(x vt) a l'é 'dcò solussion, edonca a l'é solussion 'dcò soa combinassion linear, dàita da l'adission dle doe.

Figura 1 - Përturbassion ch'as propaga ant ël vers positiv dl'ass x.

f1

xx1 x2

f1 al temp t1 f1 al temp t2


84

La prima fonsion f1 a arpresenta na përturbassion che as propaga con velocità v ant la diressionpositiva dl'ass x (onda progressiva). La sconda fonsion f2 a arpresenta na përturbassion che as propaga convelocità v ant la diression negativa dl'ass x (onda regressiva).

An efét, arferendse a figura 2, se i consideroma la përturbassion f1 al temp t1 e ant ël pont x1 al'avrà 'l valor dàit da f1(x1 vt1)

L'istéss valor as treuva ant ël pont x2 x1 x al temp t2 t1 dal moment che i l'oma:

111111221 , tvxfvtvxxftxf

e sòn a val mach se j'argoment dla fonsion f1 a son j'istéss. Da sì a ven che la përturbassion, ant ël temp , a l'ha

avù në spostament x x2 x1 v . La velocità dlë spostament v a val, com i l'oma butà prima, 1v . Se i

verificoma le dimension ëd v i trovoma , an efét, che as trata ëd meter al second. Ant ël veuid peui, se iconsideroma ij valor ëd e , i otnoma për v la velocità c ëd propagassion dj'onde eletro-magnétiche (edonca dla lus) ant ël veuid: v c 2,9979 108 m/s.

Se i consideroma la fonsion f2(x vt) i otnoma l'istéssa còsa, con la propagassion vers la diressionnegativa dl'ass x, sempe con j'istesse considerassion.

Se i tornoma a nòstra equassion diferensial e i sercoma na forma për f1 e f2 , i podoma fé naseparassion dle variàbij, e i sercoma se a-i é na solussion dël tipo )()(),( tgxftxu .

Nòstra equassion ëd partensa a dventa 0)()(1)()( 2 tgxfc

tgxf , che a peul esse butà ant la forma

)()(1

)()(

2 tgtg

cxfxf . Sta forma a l'ha un sens mach se ij doi mèmber a son costant, e donca a peulo esse uguaj an

manera identica. I ciamoma sta costant k2 (i l'oma che k2 a l'é positiva), e i scrivoma

2222)()(

;)()(

cktgtg

kxfxf

Ëd coste doe equassion i conossoma la solussion, che a l'é:titiikxikx ebebtgeaeaxf )(;)(

che i l'oma imponù ch'a sio reaj. Travajand su coste equassion, con passagi e posission che sì i consideroma nen,i rivoma a scrive

)(cos)(cos),( BA txkBtxkAtxu

Le doe part as arferisso a j'ónde regressiva e progressiva. Le costant A e B a son complesse. Sovensperò l'arpresentassion la pì convenienta a l'é cola esponensial, e sovens a ven considerà mach l'ònda progressìva.La part significativa a l'é cola real, contut che ij cont a ven-o fàit an sl'espression compléssa, e a la fin as pija lapart real coma arzultà. An general, suponend la situassion general ant lë spassi

)(),( trkii eeAtru

dont as consìdera la part real. I l'oma che as trata ed n'ónda che as propaga ant la diression ëd k , che a l'é ciamà"vetor d'ónda" e a val, an mòdul, k / c . L'onda a l'é periòdica ant la variàbil r, con perìod kandova a l'é la longhëssa d'ónda, e a l'é periòdica ant la variàbil t con perìod T , andova a l'édita "frequensa" mentre a l'é dita pulsassion dl'ónda.

Da j'equassion ëd Maxwell a arzulta peui che camp elétrich e camp magnétich a son normaj a ladiression ëd propagassion e a son normaj fra 'd lor.

I l'oma vist, ant la part eut dla session sinch che la densità d'energìa eletro-magnética ant lë spassi a l'é

dàita da 2221 HEw ma sicoma che HE , i podoma dì che 2Ew .


85

I l'oma 'dcò che00

1cv . I consideroma na surfassa unitària normal a la diression ëd

propagassion. Ant l'unità 'd temp l'energìa che a ven trasportà travers la surfassa, se v a l'é la velocità 'dpropagassion, a sarà dàita da w v.

Se i sostituìma ij valor ch'i l'oma trovà për w e për v i podoma scrive che 2Evw

Se i suponoma na propagassion ëd n'onda sinusoidal, andova donca i l'avroma chetrkEE cos0 , nòstra energìa ant l'unità 'd temp travers la surfassa unitària a dventa:

trkEvw 220 cos

Sto valor, variàbil ant ël temp con frequensa motobin àuta, a l'é nen vàire pràtich për travajé conmisure reaj, e antlora as preferiss definì n'àutra unità 'd misura, anlià a l'energìa média trasportà da l'onda, che aven ciamà Intensità dla radiassion I, e che a corispond al valor medi dl'energìa trasportà ant l'unità 'd temp traversna surfassa unitària normal a la diression ëd propagassion. Sto paràmeter a ven definì donca, da na miramatemàtica, coma:

tdtrkTE

IvwT

0

220 cos

andova w a l'é 'l valor medi dla densità d'energìa e l'integrassion a l'é fàita an 's un temp T ugual al perìod Tdl'onda. I l'oma già vist che st'integral a val T/2, e donca a la fin i l'oma

2

20EI

Costa espression a val mach për ël cas d'onda pian-a con le relassion ch'i l'oma considerà fra E e H.Ant un cas general a venta giusta buté che vwI .

Equassion dë SchrödingerCosta equassion a l'é stàita otnùa da Schrödinger an manera pitòst empìrica, partend da n'ónda

sinusoidal, armontand a l'equassion diferensial che a l'ha l'onda sinusoidal coma solussion, e butand ant laformulassion l'espression otnùa da de Broglie për la longhëssa d'ónda socià a na partìcola material.

St'equassion diferensial a deuv esse a le derivà parsiaj, a deuv esse compatìbil con l'ipòtesi ëd de Broglieandova, h/p e E/h, a venta che a sia sempe vèra che E V mv2/2, a venta che a sia linear ant lafonsion d'ónda che a produv, ant ël sens che se 1 e 2 a son solussion, ëdcò c1 1 c2 2 a venta che a siasolussion. Sòn a l'é necessàri për produve ij fenòmeno d'interferensa che as osservo da na mira sperimental.

Equassion për na partìcola lìberaI comensoma a vëdde costa equassion për na partìcola lìbera, nen relativìstica. Për costa, an efét, i

conossoma che la fonsion d'ónda tr , a peul esse scrita coma dzorposission d'ónde pian-e monocromàtiche :

dpeptrtErp

i,

e i consideroma peui che E e che pk e i tnima present la relassion fra impuls e energìam

pE2

2

I consideroma antlora la derivà dla fonsion d'ónda rispét al temp, arportà sì sota:

dpepEt

triidpepEi

ttr

tErpi

tErpi ,

perndmoltiplicae,,


86

Peui i consideroma la derivà sconda rispét a la posission, arportà sì sota:

sconda)(derivà,

prima)(derivà,

222 dpepptr

dpepptritErp

i

tErpi

ma i l'oma che Emp 22 , e donca dpepEmtrtErp

i2,22 vis-a-dì

dpepEtrm

tErpi

,2

22

che, paragonà con la derivà rispét al temp sì dzora a dà:

trmt

tri ,

2, 2

2

e costa a l'é l' equassion dë Schrödinger për la partìcola libera. A vardé bin as trata ëd na sòrt ëd version

quantìstica dl'espression dl'energìam

pE2

2 se as fan le corispondense :

2

2

2

2

2

22222donca;

zyxpip

tiE

Equassion për na partìcola ant un potensial V(r)Vardoma adéss cand na partìcola as bogia ant un potensial V(r ). I suponoma che 'l pachet d'ónda a sia

cit rispét a le distanse 'd variassion dël potensial. An sto cas ël senter dël pachet as bogia coma na partìcolaclàssica, con posission, impuls e energìa dàit ant l'órdin da clclcl Epr ,, , che a son anlià da la relassion:

clcl

clclcl rVm

pprHE

2,

2

andova clcl prH , a l'è l'hamiltonian-a clàssica dël sistema, adission dl'energìa cinética e dl'energìa potensial.Sempe ant l'aprossimassion ch'i l'oma considerà a val ëdcò la relassion. trrVtrrV cl ,, .

Për intervaj ëd temp curt a basta da podèj consideré 'l potensial quasi costant, as peul sempe 'ncoraconsideré 'l pachet d'ónda coma dzorposission d'ónde pian-e monocromàtiche, e i podoma scrive:

trptri

trEt

tri

cl

cl

,,

,,

donca

trrVm

pEtrrVtr

mttr

i clcl ,

2,,

2, 2

22

e donca as supon che l'equassion d'ónda a sia dla forma:

trrVmt

tri ,2

, 22

che a l'é l'equassion dë Schrödinger për na partìcola ant un potensial V( r ).


87

N'àutra giustificassion dl'equassionI comensoma a consideré che i l'oma vist che l'evolussion dlë stat quantìstich a l'é dëscrivùa da na

relassion linear dël tipo S = 0. I suponoma che as trata ëd n'equassion diferensial dël prim órdin ant ël temp.

tqHtqt

i ,,

andova H a l'é n'operator che i vëddroma che i podoma fé corisponde a l'Hamiltonian-a, con un rasonamenteurìstich.

I consideroma n'ónda pian-a monocromàtica dàita da l'equassion xtieA0 andova A a l'é nacostanta. Costa a l'é n'ónda monocromàtica con polarisassion fissa.

Se i aplicoma l'operatort

i a nòstr 0 i otnoma : 000 ht

i vist che . Se i

pensoma a la partìcola arpresentà dal foton ëd de Broglie, i savoma che h E a l'é soa energìa. Donca iscrivoma che

00 Et

i

e sòn an dis che l'energìa E a l'é n'autovalor ëd H . Sempe da la relassion ëd de Broglie i arcavoma chep2 e donca i podoma scrive che:

00 px

i

Sòn a fà pensé chex

i a sia l'operator che a arpresenta l'impuls. Fra l'autovalor dl'energìa e col

dl'impuls, a esist la relassion E p c , che a l'é la relassion cinemàtica relativìstica për ël foton.

Sto discors a giustìfica che l'operator H a sia l' Hamiltonian-a dël sistema, e chex

i a sia l'operator

dl'impuls da dovré (an tre dimension i ) . I podoma donca scrive l'equassion dë Schrödinger coma:

tqpqHtqt

i ,ˆ,ˆˆ, andovaq

ippqHpqH qqcl ˆ;,ˆ,ˆˆˆ

Cola ch'i l'oma arportà a l'é nen na dimostrassion, e a dis nen che costa equassion a sia ùnica. Laverìfica 'd costa equassion a l'é anlià a sò sucéss ant ël dëscrive ij problema e arzòlvje.

Equassion për ël cas generalAnt ël cas d'un qualonque sistema quantìstich i partoma donque da l'Hamiltonian-a clàssica, che an

general a l'é fonsion dle coordinà, dij moment e magara 'dcò dal temp. I savoma che cand l'Hamiltonian-a adipend nen an manera esplìssita dal temp, antlora a l'é na costant dël moviment che a corispond a l'energìa total.

A parte da l'hamiltonian-a, e donca cand costa a l'é conossùa, a venta ten-e present le corispondense:

ii q

ipt

iH ; e as oten

tqqtq

iq

iqqHt

tqqi n

nn

n ,,,,,,,,,,,,

11

11

e costa a l'é l' equassion dë Schrödinger general.A venta sùbit noté che a-i son d'ambiguità con le régole 'd corispondensa. An efét i notoma che rispét

a cambi ëd coordinà ant lë spassi dle configurassion a-i é nen l'invariansa. Un sistema esprimù an coordinàcartesian-e a pòrta a na dàita equassion dë Schrödinger, aplicand le régole 'd corispondensa. Costa equassion dë


88

Schrödinger a peul peui esse portà an coordinà polar. Se as fà ël procediment contrari e prima as passa acoordinà polar e peui as aplico le régole 'd corispondensa as treuva n'equassion dë Schrödinger diferenta.

An costi cas la régola convensional da ségoe a l'é cola d'apliché sempe le régole 'd corispondensa alsistema an coordinà cartesian-e.

N'àutr probléma a peul rivé dal fàit che le régole 'd corispondensa a buto an relassion grandësse

algébriche e operator che a còmuto nen fra 'd lor. A càpita, antlora, che se 'l termo dl'hamiltonian-am

p2

2 a peul,

pr'esempi, esse scrivù ant la forma echivalentaq

pqpqmm

p 1121

2

2, che a dovrìa esse l'istéssa còsa, aplicand le

régole 'd corispondensa a la prima forma i otnoma

2

222 122 qqmm

p

mentre për la sconda forma

22

22

411

211

21

qqqmqpqp

qm

A venta donca stabilì na prëscrission che a vala për tuti ij cas d'interésse. Sòn a càpita cand la forma a

l'é dël tipo pgrm

p2

2che a l'é nen hermitian. A venta che a sia butà ant la forma simétrica mppr

gm

p22

2.

Sensa intré tròp ant ij particolar sòn a dis che an tuti ij cas a l'é nen imedià trové l'operator.

Equassion dë Schrödinger indipendenta dal tempCost a l'é 'l cas andova l'Hamiltonian-a H a dipend nen, an manera esplissita, dal temp, vis-a-di cand

0tH . An sto cas l'hamiltonian-a a coincid con l'energìa total E, e a l'é costanta. A ven natural fé corisponde a

l'osservabil E l'operator hamiltonian H . I l'oma 'dcò che V(x) ( i consideroma giusta na dimension) a dipendnen dal temp e i podoma serché nòstra fonsion d'ónda con ël métod dle variàbij separà. Donca (x, t) (x) (t).

I sostituima costa espression ant l'equassion ëd Schrödinger, e i otnoma:

)(ˆ)()(

)( xHttt

xi

e se dividoma ij doi member për (x) (t) i otnoma:

)(ˆ)(

1)(

)(1

xHx

ttt

i

andova 'l prim mèmber a l'è mach fonsion ed t e lë scond a l'é mach fonsion ëd x. L'ugualiansa a l'ha significàmach se ij doi member a son tuti doi uguaj a l'istéssa costant, che i ciamoma E.

La prima equassion ch'i otnoma a l'é Ettt

i )()(

1 e soa solussion a l'é giusta /)( tEiet . La

sconda equassion a l'é )()(ˆdì-a-vis)(ˆ)(

1xExHExH

x

Costa a l'é n'equassion a j'autovalor, che an manera esplìssita a peul esse scrivùa, e sì i tornoma a nòstretre dimension):

)()()(2

22

rErrVm


89

Costa equassion a ven ëdcò ciamà equassion dë Schrödinger indipendenta dal temp. St'equassion a l'é arzolvùada un grup ëd costant E, che a son ciamà j'autovalor dl'energìa, socià a un grup ëd fonsion (r) ciamà autofonsiondl'energìa.

Për ògni autovalor E a-i é almanch n'autofonsion dl'energìa (r) e dle vire pì che un-a, e a ògniautofonsion a corispond na solussion:

/)(),( tEiertr

dl'equassion dë Schrödinger dipendenta dal temp. Costi a son ciamà "stat stassionari", andova la dipendensa daltemp a l'é limità a na fase global. Sta fase a l'ha gnun-e amportanse cand as calcolo valor medi për n'osservàbilqualonque. Se, pr'esempi, i voroma calcolé 'l valor medi dla posission x ant lë stat /)(),( tEiertr il'avroma che :

dxrxrdxrexre

dxtrxtrtrx

tEitEi )()()()(

),(),(),(

//

che a dis che ël valor x a l'é nen dipendent dal temp, e donca costant ant el temp. Coma për la posissionmedia, parèj ëdcò sòn a val për qualonque àutra osservàbil.

Se as conòsso tute j'autofonsion (r) e tuti j'autovalor E, dl'operator hamiltonian d'un sistema, ipodoma conòsse l'evolussion ëd na qualonque fonsion d'ónda.

An efét, al temp t 0 i podoma scrive che la fonsion d'ónda a peul esse dàita coma combinassionlinear dj'autofonsion (r) vis-a-dì:

)()0,( rctr nn

n

andova i l'oma già vist coma trové ij coeficent cn . Dàita la liniarità dl'equassion ëd Schrödinger, a un temp tsucessiv, la fonsion d'ónda a dventa

)(),( / rectr ntEi

nn n

e costa a l'é la solussion general dl'equassion dë Schrödinger dipendenta dal temp. Sòn, a l'é ciàir, se j'autovalor ason n'ansema discrét. I stoma nen a scrive l'equassion per ël cas contìnuo, e i consideroma 'dcò 'l cas andova a-i én'ansema discrét e un contìnuo d'autovalor.

Na vira che l'equassion dë Schrödinger indipendenta dal temp a l'é arzolvùa, cola dipendenta dal tempa l'é sùbit arzolvùa 'dcò chila. A venta però noté che a son nen vàire le situassion che a përmëtto na solussionprecisa, e vàire vire a venta dovré técniche d'aprossimassion, calcol numérich e via fòrt.


90

Pàgina lassà veuida apòsta


91

APLICASSION ARZOLVÌBIJ

I l'oma vist che pitòst da ràir a l'é possìbil arzòlve an manera precisa l'equassion dë Schrödinger. Si icomensoma a dovréla andova a l'é pì fàcil, con ël but d'archeuje j'idèje e sërché d'andé un pòch pì an sij problemaconcrét dj'aplicassion. I arcordoma che ël prim but ëd coste nòte an sla Mecànica Quantìstica a l'é col d'avèj lebase për capì le implicassion a livél dj'àtomo, molécole e cristaj anteressà ant lë studi dl'eletrònica.

Partìcola lìberaA l'é sens'àutr ël pì sempi dij cas che a anterésso na partìcola material. I consideroma ël problema ant

un-a dimension e i suponoma donca la situassion andova 'l potensial a l'é V(x) 0 . I podoma scrive l'operatorhamiltonian an sto cas, e i l'oma (ant la base dle coordinà)::

2

22

2ˆ

dxd

mH

e an sto cas l'equassion a j'autovalor (opura dë Schrödinger indipendenta dal temp) a l'é:

)()(

2 2

22xE

dxxd

m EE

andova )(xE a l'é l'autofonsion ëd H che a l'ha E coma autovalor. A venta trové tuti j'autovalor e leautofonsion corispondente për arzòlve 'l problema. I consideroma adéss l'energìa E 0, e sòn përché an sto casl'energìa a l'é tuta cinètica, fonsion dël quadrà dla velocità.

L' equassion sì dzora a peul esse scrivùa ant la forma

22

2

2 2andova)(

)( Emkxk

xdxd

EE

Costa equassion a l'ha doe solussion che a son dàite da xkiE ecx )()(

)(. A sta mira i podoma noté

che l'operator dl'impuls, com i l'oma già a vù manera 'd vëdde, a l'éxd

dipxˆ , e le relative autofonsion a

l'han l'stéssa forma ëd cole ch'i l'oma trovà ambelessì. An efét se i aplicoma l'operator d'impuls a j'autofonsiondl'energìa ch'i l'oma trovà e foma ij cont, i trovoma

)()(ˆ )()(xkx

xdd

ip EEx

Donca i l'oma che le doe autofonsion indipendente dl'energìa a son ëdcò autofonsion dl'impuls con ijdoi autovalor, ant l'órdin, k e k . I podoma donca dì che j'autofonsion dl'hamiltonian-a ed na partìcolalìbera con E 0 a son dla forma:

/)( xpipp ecx

andova Emkp 2 che a peul varié da a . Se p a l'é positiv i l'oma n'ónda progressìva, dësnò i

l'oma n'ónda regressiva. La costant cp a l'é arbitrària, e për normalisé j'autofonsion i la butoma21

pc .

Se i consideroma che E 0, antlora i podoma scrive l'equassion:

22

2

2 2andova)()( Emkxkxd

xdE

E

che ha l'ha solussion nen acetàbij, perché as trata ëd fonsion d'ónda nen limità, e donca sensa sens probabilìstich.


92

Partìcola ant un tubo saràËl problema a l'é l'istéss ëd col dla partìcola ant un beucc anfinì ëd potensial, dal moment che i

suponoma che j'estrem dëltubo a sio nen penetràbij eche j'ùrt dla partìcola contra j'estrem a sio elàstich përfét. Isuponoma mach un moviment arlongh a l'ass dël tubo.

I suponoma che 'l tubo a sìa longh da 0 a L. An costa situassion i consideroma ël potensial V(x) coma:

L-0intervall'dafòraLx0se0

V(x)

Ant l'interval ëd potensial zero l'equassion a j'autovalor a l'é l'istéssa 'd cola për la partìcola libera, e al'ha j'istesse solussion. Sì i indicoma, macassìa, la combinassion linear dle doe soussion possìbij, mentre lì i l'avìola partìcola che a andasìa ant na diression opura ant l'àutra an manera esclusiva (as considerava un-a dle doesolussion). I l'oma donca:

/2

/1)( xpixpi

p ececx andova Emkp 2

Se i voroma scrive l'equassion dë Schrödinger indipendenta dal temp tant për la part x < 0 coma për lapart x > L i dovroma scrive:

Exm 2

22

2

Dal moment che E a l'é finì, l'ùnica manera ëd sodisfé costa equassion a l'é che a sia 0)(x tant përla part x < 0 coma për la part x > L. Sòn a veul dì che an costa manera a-i é gnun-e probabilità ëd trové lapartìcola fòra dal tubo.

La solussion dl'equassion a venta ch'a sia na fonsion contìnua, e buté costa condission a j'estrem dëltubo a produv le condission al contorn che a venta trové.

I l'oma che la fonsion a venta ch'a sia ugual a zero tant an x coma an x L. Donca lecondission a son : e L .

La prima condission a dis che c1 c2 , e donca i l'oma che c1 c2 , mentre la sconda condission apòrta a scrive:

0)( /2

/1

LpiLpip ececL

Se i esprimoma an manera trigonométrica j'esponensiaj, costa espression a dventa 0sin2 1Lpci ,

e costa a l'é l'espression ëd n'ónda stassionària ant l'interval da 0 a L, dont la condission a l'é 0sin Lk ,

andova ël nùmer d'ónda a venta ch'a siaL

nk , andova n a l'é un nùmer antrégh. Tnisend cont che la

longhëssa d'ónda a l'ék

2 i l'avroma che a ventrà ch'a sia2

nL . Ma i l'oma 'dcò che an sto cas k a venta

che a sia col ëd l'ónda 'd de Broglie për la partìcola, e donca pk 2 . Për avèj, an definitiva, che

0sin Lk , a venta che i l'àbio nLp . Costa a l'é sodisfàita dai pn taj che:L

npn .

J'autostat ëd l'energìa a saran donca dàit da xL

ncix sin2)( 1 , e ij relativ autovalor dl'energìa a

saran arcavà da l'equassion a j'autovalor Exm 2

22

2, dovrand ël (x) ch'i l'oma trovà sì dzora. Fasens ij

cont i trovoma:


93

n

n

n

EL

nm

xL

nciExL

nciL

nm

xL

nciExL

ncixm

2

222

112

222

112

22

2

sin2sin22

sin2sin22

La solussion dl'equassion dë Schrödinger dipendenta dal temp, na vira normalisà a arpresenta lë statfìsich. I l'oma che /)(),( tEi

nnnextx , e la condission ëd normalisassion a l'é:

1,, dxtxtx

I podoma ciamé giusta C la costant 2 i c1, e portéla fòra da l'integral. Dal moment peui che la fonsion aval zero fòra da l'interval 0 - L, i podoma scrive che

1sin,,0

22L

dxL

xnCdxtxtx

e da sì, sensa sté a fé tuti ij passagi, as arcava che la costant ëd normalisassion a l'éL

C 2 . A la finitiva i

podoma scrive l'ansema dj'autofonsion e dj'autovalor.

...3,2,1,ncon2

222

2;sin2)(

LmnE

Lxn

Lx nn

e donca la solussion general dl'equassion dë Schrödinger dipensenta dal temp a sarà

1

/

1

/ sin2)(),(n

tEin

n

tEinnn

nn eL

xncL

exctx

A sta mira sa trata ëd trové ij coeficent cn , suponend che la fonsion d'ónda (x, 0) a sia spessificà altemp t 0. I comensoma a scrive che :

)()0,(1

xcx nn

n

e peui i moltiplicoma ij doi member për )(xk . I notoma che j'autofonsion a son reaj, e donca a-i sarìa nen damanca d'indiché 'l compléss coniugà, ma a l'é pì giust parèj. I otnoma :

)()()0,()(1

xxcxx nkn

nk

e a sta mira integroma su tute le x.L

nkn

n

L

k dxxxcdxxx010

)()()0,()(

ma i savoma che j'autofonsion normalisà, a son un sistema ortonormal, e donca l'integral dlë scond member a l'énen d'àutr che na kn ëd Kronecker. A la finitiva i l'oma che :

n

L

k cdxxx0

)0,()(


94

Potensial costant a tràitIs arferima a figura 2, andova i l'oma arpresentà n'esempi ëd cost probléma. A l'é nen u problema dròlo

com a smija, përché sta situassion as peul trové an vàire menere ant l'eletrònica dij semicondutor.

Figura 2 - Potensial costant a tràit

L'equassion a j'autovalor për l'energìa, ò equassion dë Schrödinger andipendenta dal temp:

)()()(2 2

22

xExxVxm

a peul esse scrivùa coma : 0)()()( xxUx andova i l'oma butà 22)(2;2 xVmUEm .

I notoma che U a l'ha dëscontinuità ëd prima spece, e donca 'dcò )(x a l'ha dëscontinuità ëd primaspece, mentre )(x e )(x a son contìnue.

I ciamoma Un i vàire potensiaj coastant a parte da drita vers snìstra, com indicà an figura.

Con Ui

Con le posission ch'i l'oma fàit, l'equassion da arzòlve a l'é dël tipo :

0)()( 2 xkx n andova nnn VEmxUk 22)(

che a l'ha solussion andipendente ëd tipo ossilant che a son:

xki ne e xki ne

che a corispondo a n'ónda progressiva e, ant l'órdin, regressiva.

Con Ui

An sto cas, fàit, l'equassion da arzòlve a l'é dël tipo :

0)()( 2 xx n andova EVmxUk inn 22)(

che a l'ha solussion andipendente ëd tipo esponensial che a son:

xne e xne

Solussion generalAs oten colegand le vàire solussion ant ij diferent tràit. e sòn mersì a le condission ëd continuità dla

fonsion e 'd soa derivà prima. Ant ògni region a-i son doi paràmeter che i podoma stabilì, e donca a la finitiva 2sparàmeter se s a son le region. Ij pont ëd dëscontinuità a son s 1, e i dovoma dovré doi paràmeter për ògni

x

U(x)

0

U5

U4

U3

U2

U1


95

pont, e donca i dovoma stabilì 2(n - 1) condission. A resto doi paràmeter lìber, ma a venta ten-e cont chel'autofonsion a venta ch'a sia limità për x ± , e sòn a peul costé giusta un ò doi paràmeter.

I podoma supon-e che 'l prim potensial a sia pì bass ëd l'ùltim, vis-a-dì U1 Us , e i l'oma tre cas che apeulo capité.

Ant ël prim cas i l'oma che Us . An costa situassion tant ant la prima com ant l'ùltima region lasolussion a l'é osillanta e donca la fonsion a l'é limità e as anula nen, e a l'ha ij doi termo progressiv e regressiv.Qualonque valor a và bin, bastamach che a sia Us e donca Vs . Lë spetr a l'é contìnuo e 'l moviment al'é nen limità ant ij doi sens.

Ant lë scond cas i l'oma che U1 Us . An costa situassion ant la region 1 la fonsion a l'é ossilanta ea conten ij doi termo progressiv e regressiv, e donca a l'é limità e as anula nen për x . Ant la region s lafonsion a l'ha solussion ëd tipo esponensial, e a venta scarté 'l termo xne che a và a l'anfinì per x .Donca un-a dle doe costant a-i é pì nen. A son acetàbij tuti ij valor ëd E comprèis fra V1 e Vs . A-i é mach nasolussion, lë spetr a l'é contìnuo e 'l moviment nen limità ant la diression vers .

Ant ël ters cas i l'oma che U1 . An costa situassion tant ant la prima che ant l'ùltima region lafonsion a l'ha solussion esponensial. Ant la prima region a venta scarté la solussion xne che a và a l'anfinì perx . Ant la region s a venta torna scarté 'l termo xne che a và a l'anfinì per x . Donca a resto pìnen paràmeter arbitrari e ël problema a peul nen amëtte na solussion general, ma mach possìbij solussionparticolar për valor discrét ëd E< V1. As trata donca dë stat anlià, dal moment che la fonsion d'ónda a và a zeropër x ± .

A-i son nen solussion se E Vn daspërtut.

Densità 'd corent ëd probabilità - Equassion ëd continuità

I l'oma vist che l'espression 2)(r a l'ha significà ëd densità 'd probabilità ëd trové la partìcolaant la posission r. Si i vardoma ëd definì n'àuta quantità amportanta, che a l'é la densità 'd corent ëd probabilità.Për fé sòn i consideroma un volum V finì ant lë spassi a tre dimension, e i consideroma la derivà:

Vrdr

tdd 2)(

che a arpresenta la variassion ant ël temp dla probabilità che la partìcola as treuva ant ël volum V. I podomascrive l'equassion dë Schrödinger për la fonsion (x) e për soa compléssa coniugà, moltipliché la prima për

(x) e la sconda për (x) , e peui sotràe l'un-a da l'àutra. As treuva

222

2 mti

ma i podoma 'dcò buté costa espression ant la forma:

mitrP

t 2,

2

andova P(x, t) a l'é la densità 'd probabilità, mentre i podoma 'dcò definì coma densità 'd corent ëdprobabilità j (r, t) l'espression :

mitrj2

),(

Se i tornoma a nòstr volum V ëd sì dzora, dòp un pòch ëd passagi che i arportoma nen, as oten:

Sdjnrdjrdrtd

d

SVV

2)(


96

andova l'ùltim passagi a l'é l'aplicassion dël teoréma 'd Gauss e S a l'é la surfassa dël volum V considerà. Costaespression a val qualonque a sia 'l volum considerà, e a dis che ògni variassion ëd probabilità ant un volum acorispond a na "corent ëd probabilità" travers la surfassa dël volum midem. I podoma scrive costa equassion an

forma local, arcordand ch'i l'oma butà 2)(r coma

0jtd

d

Costa a l'é dita "equassion ëd continuità". As dimostra che për na fonsion ch'a sìa normalisàbil, se j'integral

sì dzora a l'é estèis a tut lë spassi rdj , antlora a va a zero, e donca 0)( 2

Vrdr

tdd e da si a ven che

1costV

rdr 2)( (normalisà), e sòn a corispond a la conservassion dla probabilità.

N'esempi ch'a ven a taj

I suponoma d'avèj na fonsion d'ónda dël tipoxpixpi

eBeAx)( e i voroma calcolé ladensità 'd corent ëd probabilità për costa fonsion. I aplicoma lòn ch'i l'oma vist sì dzora. Fasend ij cont (che sì ifoma nen), as treuva che

22 BAmpj

Ël rapòrtmp a corispond a la velocità v an sens clàssich, e a smija ciàir che ij doi termo a son arferì a le

doe ónde progressìva e regressìva. A-i é nen un termo d'interferensa fra le doe ónde. I podoma scrive che

BABBAABA PPPvPvj mentreecon 22

Scalin ëd potensialI consideroma na bariera 'd potensial coma cola arpresentà an figura 3

Figura 3 - Bariera 'd potensial

A l'é anteressant conòsse 'l comportament ëd na partìcola che a và, da snistra a drita, a bate ant labariera 'd potensial V0 , tant cand l'energìa E a l'é tala che 0 E V0 , e sòn an fonsion ëd quant a l'é àuta stabariera, tant cand anvece cand l'energìa E a l'é tala che E V0 , As arleva un comportament bin diferent da coldëscrivù da la Mecànica Clàssica, contut che 'l potensial a l'é nen "confinant" e donca a-i é nen quantisassion anlivéj discrét.

x

V(x)

0

V0


97

A càpita che se la partìcola a l'ha energìa E V0 a peul esse nen mach trasmëttùa anans, ma 'dcòarbatùa da la bariera con na dàita probabilità, mentre se a l'ha energìa E V0 a peul macassìa esse trovà ant laregion proibìa con na dàita probabilità. Cost'ùltim a ven dit "Efét tunel ".

I partoma da l'equassion dë Schrödinger indipendenta dal temp VEmxd

d22

2 2 e i sercoma

j'autostat ëd l'energia ant le doe region, e ant ij doi cas ch'i l'oma dit.

Cas con E > V0

I comensoma a consideré 'l cas con E V0 . An sto cas i l'oma che l'equassion a l'ha coma solussion

00)(

2

11

xeCxeBeAx xki

xkixki

concon

andova 20

2212;2 VEmkEmk

Ël prim termo dla prima equassion a arpresenta l'ónda progressiva, lë scond termo a arpresenta l'óndaregressiva, che a l'é cola arbatùa da la bariera, e che a-i sarìa nen an mecànica clàssica. La sconda equassion aarpresenta l'ónda trasmëttùa.

Second lòn ch'i l'oma vist prima, le corent densità 'd ëd probabilità për coste tre ónde a son, ant l'órdin:

2

2

2

Cjëttùaónda trasm

Bjùaónda arbat

Ajentaónda incid

t

a

i

A sta mira i podoma definì ij coeficent ëd trasmission T e d'arbatiment , coma rapòrt fra le corent ëdprobabilità dj'ónde arbatùa e trasmëttùa rispé a la corent ëd probabilità dl'ónda incidenta.

2

1

22

;AC

kk

jj

TAB

jj

Ri

t

i

a

Cas con 0 < E < V0

I consideroma adéss 'l cas andova 0 E V0 , e na partìcola che a riva da snistra con na fonsiond'ónda dël tipo xikeAx 1)( , ma cand la partìcola a bat ant la bariera a peul esse arbatùa andaré, e la fonsiond'ónda general ant la part a snìstra dl'orìgin a sarà:

xikxik eBeAx 11111 )(

andova l'energìa cinética dl'eletron a l'é dàita da

mkE

2)( 2

1 , vis-a-di che 212 Emk .

Ma i podoma scrive l'equassion dë Schrödinger da la part a drita dla bariéra, e i l'oma che :

)()(2 2022

22

xVExxd

dm

e la solussion ëd costa equassion a l'é dël tipoxkieAx 2

22 )(


98

andova 20

22 VEmk . An manera d'autut echivalenta i podoma scrive che xeAx 22 )( andova

202 EVm

. A l'é natural che la solussion con esponensial positiv a venta ch'a sia scartà dal moment

che a divergg.I podoma trové j'ampiësse dj'ónde arbatùa e trasmëttùa butand che la fonsion e soa derivà prima a

sìo contìnue a x 0. A la fin i l'oma che ant la zòna proibìa a-i é na dàita probabilità ëd trové la partìcola, che acala an manera esponensial con la distansa . Se però i sercoma la densità 'd corent ëd probabilità ant la manerach'i l'oma vist sì dzora, , i la trovoma nen, përché a và a zero.

Ël significà ëd cost esponensial che a cala as vëddrà méj sùbit si sota. Ambelessì i notoma che pì ëlpotensial a l'é àut e pì ampréssa a cala l'esponensial. Ant ël cas d'un V0 anfinì, a-i é nen penetrassion ant labariera, com i l'avìo vist për la partìcola ant ël tubo.

Beucc ëd potensialIs arferima a figuta 4, andova a-i é un beucc ëd potensial con n'autëssa finìa, profond V0, I suponoma

d'avèj na partìcola con energìa E tala che 0 E V0.

Figura 4 - Beucc ëd potensial finì

Për ël potensial V(x) i l'oma:

22220

)(0 L/xLxV

L/xLxV

seopurasese

I l'oma vist, parland ëd potensial costant a tràit, che l'equassion dë Schrödinger a peul esse scrivùa

coma : 0)()()( xxUx andova i l'oma butà 22)(2;2 xVmUEm . I sercoma le solussion

)(),(),( 321 xxx . I l'oma vist che, con E V0 , Ant ij tràit estern al beucc :

0)()( xx andova EVmxUk 022)(

che a l'ha solussion andipendente ëd tipo esponensial che a son:

xeAx)(1 e xeBx)(3

Ëd coste solussion, ant ël tràit da L/2 a , a l'é xe che a divergg nen, e ant ël tràit da L/2 a, a l'é xe che a divergg nen.

Ant ël tràit dël beucc, con E V0 , l'equassion a dventa :

0)()( 2 xkx andova 022)( VEmxUk n

x

V(x)

0

V0

L


99

che a l'ha solussion ëd tipo ossilant arpresentà da:

xkDxkCx sincos)(2

A sta mira a venta imposté le condission ëd continuità andova 'l potensial a l'ha soa dëscontinuità, vis-a-dì ai doi pont 2/L , për trové le costant A, B, C, D.

I l'oma quatr equassion për trové le quatr incògnite:

)2/()2/(;)2/()2/(;)2/()2/(;)2/()2/( 32322121 LLLLLLLL

Sto sistema d'equassion a l'é omogéni, e donca se sò determinant a l'é diferent da 0 , l'ùnica solussion asarìa che tute le costant a fusso a zero. Ma sòn a dirìa che 'dcò la solussion dl'equassion dë Schrödinger a sarìa

x , che a sarìa nen n'autofonsion.Se anvece 'l determinant dël sistema a l'é ugualiàbil a zero, antlora a arpresenta n'equassion ant

l'incògnita E, e le radis ëd costa equassion a corispondo a j'autovalor dl'energ'a, e costi a corispondo aj'autofonsion, corispondente ai diferent intervaj.

Bariera ëd potensial con longhëssa finìa - Efét tunelIs arferima a figura 5 , andova a-i é un dent ëd potensial con na larghëssa finìa, andova as peul vëdde

l'efét tunel, parèj com a ven aplicà ant l'eletrònica.

Figura 5 - Dent ëd potensial - Efét tùnel

I suponoma sempe na partìcola (che a podrìa esse n'eletron) che a riva da snìstra e a và vers drita, conn'energìa E, prima tala ch'a sia E V0 , e peui tala che a sia 0 E V0 , e che a bat ant na bariera 'd potensialàuta V0 e larga L . Ël potensial ch'i consideroma a l'é donca

LxVLxx

xV0

00)(

0 seseopurase

Cas con E > V0

I partoma donca dal consideré na partìcola che a riva da snistra con n'energìa E V0 . Ëdcòambelessì, second la mecànica clàssica, la partìcola a passrìa sensa gnun efét dla bariéra. Anvece sì, i l'oma vistche la bariera a introduv sempe na probabilità arbatiment.

Ant le tre region da snistra a drita, la solussion a pija la forma, ant l'órdin :

x

V(x)

0

V0

L


100

21

20

2

21

2;

2;

2;

1

22

11

EmkeC

VEmkeBeB

EmkeAe

xkiIII

xkixkiII

xkixkiI

andova a l'é stàita sernùa na normalisassion ch'a buta a 1 ël prim coeficent dla prima ónda e peui, ant l'ùltimaregion, i l'oma suponù mach l' ónda progressiva, dal moment che as supon-o nen d'àutre bariere che a peussoarbate la fonsion d'ónda.

As trata donca ëd determiné la costant ch'i l'oma dovrà. Se i scrivoma le condission ëd continuità an 'sij doi confin fra le tre region ëd potensial, tant për la fonsion d'ónda coma për soa derivà prima i otnomaj'equassion :

Për ël passagi fra la region I e la region II (x 0) :

BBkiAkiBBA 21 1;1 (i arpetoma che ambelessì x 0)

Për ël passagi fra la region II e la region III (x L) :

CkieCkieBeBkiCeCeBeB LkiLkiLkiLkiLkiLki112 122122 ;

e da coste equassion i voroma trové ij coeficent ëd trasmission travers la bariera e d'arbatiment, an termo ëddensità 'd corent ëd probabilità. An pràtica i sercoma

i

a

i

tjj

Rjj

T ;

andova però, ambelessì. i consideroma la densità 'd corent ëd l'ónda incidenta socià al prim termo ëd I , ladensità 'd corent ëd l'ónda arbatùa coma lë scond termo ëd I , ma la densità 'd corent ëd l'ónda trasmëttùaambelessì a l'é socià a III .

Se i aplicoma la definission ch'i l'oma trovà për la densità 'd corent ëd probabilità, i trovoma për nòstr

tre termo, ant l'órdin : 22 ;; CmkjA

mkj

mkj tai

Da j'equassion ëd continuità ch'i l'oma scrivù sì dzora i podoma arcavé prima A e C , eliminand B eB', e donca le tre densità 'd corent ëd probabilità, e peui, con le fòrmule sì dzora, ij coeficent T e R , con uncàlcol fàcil che i stoma nen a fé ambelessì. I l'oma:

Lkkkkk

LkkkR

Lkkkkk

kkT

222

221

22

21

222

221

222

221

22

21

22

21

sin4

sin

sin4

4

As peul noté che l'adission T R 1, com a venta ch'a sia an termo 'd probabilità (la partìcola a ven òarbatùa ò trasmëttùa).

A-i é na probabilità d'arbatiment che la mecànica clàssica a preved nen. As nòta macassìa che cand ëlfator Lk2sin a val zero, la trasmission a l'é total, e donca l'arbatiment a và a zero. Sòn a càpita për:

,3,2.122

0 nnLVEmcon


101

Cas con 0 < E < V0

Cost a l'é 'l cas che da na mira clàssica a-i é mach arbatiment contra la bariera, mentre che da na miraquantìstica a-i é na dàita probabilità che la partìcola a "passa" trvers la briera. A venta fé atension che ant labariera a-i é nen un vér stst fìsich, ma macassìa a-i é la probabilità ëd trové la partìcola dadlà dla bariera, e sòn asverìfica an pràtica, pr'esempi con l'emission radio-ativa ëd l'Urani 238U.

As peul procede com i l'oma fàit prima. L'equassion dë Schrödinger, ant le tre zòne, sta vira a l'ha costetre solussion :

21

20

21

2;

2;

2;

1

11

EmkeC

EVmeBeB

EmkeAe

xkiIII

xxII

xkixkiI

Ant la sconda region la solussion a l'é pì nen ossilanta ma a l'é n'esponensial real. An manera formal ijcont a son j'istéss ëd prima, bastamach sostituì k2 con i . As ëscrivo le condission ëd continuità coma prima,e as consìdera la densità 'd corent ëd j'ónde, e via fòrt. A venta 'dcò noté che Lk2sin a dventa Li sinh .

A la fin as oten, con j'istéss càlcoj (che i arportoma nen):

Lkkk

LkkR

Lkkk

kT

sinh4

sinh

sinh4

4

2221

22

21

2222

1

2221

22

21

221

An general ël coeficent T a l'é T 0, e cost a l'é l'efét tunel, caraterìstich dla Mecànica Quantìstica. Inotoma, pr'esempi, che l'Urani 238U a l'é radio-ativ e le partìcolea che a manda via la nos a l'han n'energìa chea l'é antorna a 4 MeV, mentre la bariera 'd potensial da passé për seurte da la nos a sarìa ëd 12 MeV.. An costecondission la probabilità dl'efét tunel a l'é bin bassa, ma con tut sòn l'Urani 238U a l'é radio-ativ, mentre për laMecànica Clàssica a dovrìa esse pì che stàbil.

Ossilator armònich

Figura 6 - Potensial armònich

I consideroma un potensial armònich coma col mostrà an figura 6, che a podrìa esse prodovù da na

fòrsa d'arciam vers na posission d'echilìbri (dël tipo xkF ), dal moment chedx

xdVF )( antnora

2221)( xmxV andova i l'oma butà 2mk .

x

V(x)

0


102

L'hamiltonian-a dl'ossilator armònich a l'é dàita da:

222

21

2xm

mpH

andova m e a son le costante indicà prima. I podoma scrive l'equassion dë Schrödinger indipendenta daltemp )()(ˆ xExH che a pija la forma

0)(212)( 22

22

2

xxmEmx

x

A sta mira i foma na série 'd sostitussion, vis-a-dì che i definima0x

x andovam

x0 , e peui i

butoma 'ncora che E2 . A sta mira nòstra equassion a dventa (indicoma con )( la derivà sconda) :

0)()( 2

Për gròss valor ëd l'equassion as semplìfica an 0)()( 2 e as treuva che costa equassion

ha l'ha coma solussion aprossimà 2

2

e dont a venta scarté cola con esponent positiv, che a và a l'anfinì. Isuponoma che la solussion precisa a sia forma

2

2

)()( e

e se as sostituiss costa espression at l'equassion sì dzora, as treuva che la fonsion )( a venta ch'a sia solussiondl'equassion:

0)(1)(2)(

e i sercoma ëd trové solussion a costa equassion che a sìo arpresentàbij coma série 'd potense ëd , vis-a-dì :

0)(

n

nna

e se i sostituima costa espression ant l'equassion sì dzora i otnoma:

02112 2

02

nnn anann

e donca da sì as arcava la relassion ricorsiva nn ann

na12

122

Lòn ch'as nòta a sta mira a l'é che për ògni valor ëd a-i son doe sucession andipendente ëd coeficentan , e donca doe solussion andipendente, dont un-a a l'é otnùa partend da la situassion 0;0 10 aa che aconten mach potense pari e che donca a l'é na fonsion pari, l'àutra a l'é otnùa partend da la situassion

0;0 10 aa che a conten mach potense dispari e che donca a l'é na fonsion dispari. La solussion generalas dirìa che a dovrìa esse na combinassion linear ëd coste doe.

Sta conclusion a l'é nen vera. An efét, se tuti ij termo dla série che a definiss a fusso mantnù, itroverìo 'd solussion divergente cand e sòn a rend nen acetàbil la solussion për , përché nen


103

normalisàbil. An efét, për n i l'oma che nnn an

anna 2222 e da sì a ven che Cnan !2 .

Antlora i l'avrìo che2

0

22

0 !2)( eC

nCa

n

n

n

nn .

Donca a peulo esse acetà coma solussion mach cole série che da na dàita mira anans a l'han ij termotuti a zero. Për che sòn a càpita a venta che, rivà a un dàit n , a sia 02na . Sòn a càpita mach cand:

,3,2,1,02112012 nnEnn n andovadì-a-visdonca

J'autofonsion, che i l'oma vist esse dla forma 2

2

)()( e a son fàcij da trové : la prima,

fondamental (n 0), a conten mach ël termo a0 , e a sarà 200

2

)( ea (serie pari) con a2 0 , ël prim livél

ecità (n 1), a conten mach ël termo a1 , e a sarà 210

2

)( ea (serie dispari) con a3 0 , e via fòrt.

Na fòrmula general për l'autofonsion ch'a fà n , )(n a l'é dàita da:

2

2

)()( eHC nnn

andova Cn a l'é la costant ëd normalisassion da trové second la sòlita condission 1)()( dxxx nn , mentre

a Hn a-j diso "polinòmi ëd Hermite". I l'oma vist com a venta ch'a sio fàit, e com i podrìo fé èër arcavéje,ma a-i é na fòrmula che a serv a generéje, e sì is contentoma ëd dé costa fòrmula:

221)( e

nddeH

nn

n

I podoma torné a consideré ij livéj d'energìa possìbij che i l'oma trovà, che a son:

mknnEn eandova ,3,2,1,0

21

I notoma che ij livéj a son diferent fra 'd lor dl'energìa nE , che a l'é la mìnima quantitàd'energìa che l'ossilator a peul arsèive opura cede. I notoma peui che cand n 0 , l'ossiloator a peul pì nen cede

energìa, ma a l'é nen a energìa zero. An efét a resta na quantità d'energìa20E . Sòn a l'é giustificà dal fàit

che la partìcola as treuva macassìa ant un pòst limità dal beucc ëd potensial, e donca sò impuls a peul nen essezero (la partìcola a podrìa, an sto cas, esse daspërtut).

Sistema con hamiltonian-e separàbijIs arferima a sistema tridimensionaj, dont l'hamiltonian-a a peul esse scrivùa coma adission ëd tre

hamiltonian-e, ognidun-a relativa a na dimension. Da na mira matemàtica i podoma dì, an general, che as tratad'un sistema a tre gré 'd libertà. Donca cand i l'oma che :

)()()(),,( 321 zHyHxHzyxH


104

I podoma consideré tre problema an manera separà, e i suponoma ëd podèj trové l'ansema )(1

xE

dj'autofonsion ëd H1(x) , con ij relativ autovalor 1E , l'ansema )(2

yE dj'autofonsion ëd H2(y), con ij relativ

autovalor 2E e l'ansema )(3

zE dj'autofonsion ëd H3(z) , con ij relativ autovalor 3E .

Ël problema a j'autovalor da arzolve a l'é ;

),,(),,()()()(),,(),,( 321 zyxEzyxzHyHxHzyxzyxH EEE

dont a venta trové le solussion { ),,( zyxE } e ij relativ autovalor {E}. As peul dimostré che j'autofonsion ëd),,( zyxH a son tuti e mach ij prodòt dj'autofonsion coma sì sota:

)()()(),,(321

zyxzyx EEEE

mentre ij relativ autovalor a son dàit da E E1 E2 E3 .

Libero.it · Mecànica quantìstica - Part 2 - Prinsìpi 61 Part doi - Prinsìpi dla Mecànica...

Documents

Transcript of Libero.it · Mecànica quantìstica - Part 2 - Prinsìpi 61 Part doi - Prinsìpi dla Mecànica...