Mechanikai rezgések, rezonancia - szote.u-szeged.hu · Felkészülés Ajánlott olvasnivalók...
Transcript of Mechanikai rezgések, rezonancia - szote.u-szeged.hu · Felkészülés Ajánlott olvasnivalók...
Mechanikai rezgések,
rezonancia
előadás I. éves orvostanhallgatóknak
Maróti Péter
Felkészülés
Ajánlott olvasnivalók
Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest 1965.
Holics L.: Fizika, 1. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986.
Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi biofizika, Medicina, Budapest, 2005.
Fercher A.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1999.
Maróti P. Biomechanika, Doktori (PhD)-kurzusok fizikából (szerk.: Hevesi I.), 299-371,
Szegedi Egyetemi Kiadó, Szeged, 2012.
Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress Szeged (több kiadás).
Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JATEPress, Szeged 1996.
Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. A textbook with answers,
Akadémiai Kiadó, Budapest 1998.
Előadás anyaga (lásd az intézet honlapjára felkerülő segédanyagokat)
Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud.
A probléma- ill. feladatmegoldás fontos: kérem, hogy aktivizálja magát a
szemináriumi foglalkozásokon.
Az emberi test
mechanikai
rezgései,
sajátfrekvenciái
és helyettesítő
mechanikai
modelljei, (Voigt-
testek), amelyek
hálózatot
képeznek.
Voigt-test:
párhuzamosan
kötött rugó és
csillapítás.
Akárhol
meglököm, az
egész test (mint a
miskolci
kocsonya) rezegni
kezd.
Az emberi testben felléphetnek
- saját (rezonancia) rezgések, amelyek az alacsony frekvenciák tartományába
esnek és
- kényszerrezgések, amelyeket külső (periodikus) kényszer vált ki, és
rezonanciába (együttrezgésbe) kerülhetnek a sajátrezgésekkel.
A rezgő testrészek mechanikai csatolásban állnak egymással. Rugalmas
(elasztikus) és csillapító (viszkoelasztikus) elemek kapcsolódnak bonyolult
hálózattá.
Ezeknek fontos orvosi, egészségügyi következményei vannak.
Alapvető fontosságú a fizikai alapok (definíciók, törvények, összefüggések)
megértése, hogy ezekre támaszkodva tudjon az orvos
- diagnosztizálni,
- hatékony terápiát alkalmazni és
- mérnökökkel (legalább) szót érteni.
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai,
a szív ritmikus mozgása
Mechanikai rezgések okozta panaszokfejfájás
beszédbeli nehézségek
állkapocs-fájdalmak
mellkasi fájdalmak
légzési nehézségek
hasi fájdalmak
derékfájás
székelési inger
vizelési inger
J.R. Cameron és J.G. Skofronick, 1978
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai, kopogtatás (percussio) és hallgatózás (auscultatio)
L. Auenbrugger már 1761-ben bevezette az orvosi vizsgálatokba a beteg
kopogtatásának (perkusszió) módszerét, amelynek során a rezgésbe hozott
szövetrészek sajátrezgéseiből (intenzitás és hangmagasság) lehet kóros
elváltozásokra következtetnie a gyakorlott és érzékenyített hallású orvosnak.
Az ő nevéhez kötődik
a kopogtatás
(percussio) és a
hallgatózás
(auscultatio)
eljárásainak
meghonosítása, mely
a belgyógyászat mai
napig használt
diagnosztikai
módszere.
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai,
a tremorA tremor valamely testrész, leggyakrabban a felső
végtag akarattól független, ritmikus,
oszcilláló mozgása. Klinikai megjelenése alapján
több mint tízféle tremor különíthető el, a
leggyakoribb a fiziológiás, a fokozott fiziológiás, az
essentiális (ET), és a Parkinson-betegségben (PT)
megjelenő tremor.
Az egyes tremorok frekvenciatartománya
karakterisztikus, de egymást átfedhetik:
< 4 Hz a cerebellaris és Holmes-tremor,
4 – 6 Hz közé esik a PT 80%-a, az ET-ok 50%-a,
6 - 11 Hz physiológiás tremor, az essentialis
tremorok 50%-a, a Parkinson-kórban megjelenő
tremor 20%-a és
> 11 Hz az orthostaticus tremor.
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai,
intervenciós radiológia, lithotripsia
Endoszkópos retrográd
kolangiopankreatográfia.
Nagyméretű kő a ductus
choledochusban.
A ductus choledochus
kő az intraendoszkópos
mechanikus litotriptor
kosarában.
Kőzúzás intraendoszkópos
mechanikus litotriptorral. A
kosár megkisebbedett.
Piezoelektromos
lithotriptor
Piezoelektromos
elemek (kristályok)
gömbfelület mentén
elrendezve
Az összezúzandó kő
a fókuszban
A lökéshullámok időbeli lefutása a
lithotriptorban.
A nyomás nagyon rövid (kb. 30 ns)
idő alatt hatalmas értékre (kb. 40
MPa) emelkedik, amelynek a kő
nem tud ellenállni, és elporlad.
Lökéshullámok
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai,
lézeres szemműtétek, KO
Ha lézerrel szaruhártya-szobrászatot (ablációt) végeznek el, elkerülhetetlenül nagy
intenzitású mechanikai lökések (hullámok) keletkeznek, és verődnek vissza a szem
belsejének zárt üregében, amelyek az egészségre károsak lehetnek (erről szívesen
elfeledkeznek a „dobja el a szemüvegét” program munkatársai). Hasonló rezgéssel, ill.
az ezzel együttjáró lökéshullám hatásaival kell számolni a koponyába zárt, alapvetően
folyékony halmazállapotú agyban, amikor kivülről mechanikai behatás (tartós rázkódás
(pl. munkagépen), vagy hirtelen ütés (baleset, ökölvívásban KO)) éri.
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai,
csont-, porc-, ízületi sérülésekA felugró, majd a talajra visszaérkező sportoló (pl. kosár- és kézilabdázó) testében
(csillapodó) rezgések ébrednek, amelyek igénybe veszik az emberi test tartó- és
mozgatószerkezeteit.
Az Achilles-ín krónikus
túlterhelése
A szalag-sérülések a térdízület
megcsavarodásával és oldalra
billenésével, esetleg ugrásból
nyújtott térddel való érkezéskor,
túlfeszüléssel következik be
leggyakrabban.
Fáradásos törés következik
be, ha lábszárcsontokra
ható erők meghaladják a
csontok teherbírását, így
állományukban repedés
keletkezik.
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai,
munkaegészségügy
A 0-8 kHz frekvenciájú mechanikai rezgések a test szöveteit, alacsonyabb frekvenciák
esetén pedig az egész testet rezgési állapotba kényszerítik (pl. pneumatikus
munkagépek, járművek rezgései, amelyeket a padlózat is közvetít). Ezek hatásai: látási
zavarok, szövetelváltozások, ideg- és érzészavarok, csont- és ízületi károsodások. A
mechanikai rezgések között különösen rombolóak és súlyos károsodáshoz vezetnek az
infrarezgések (0-16 Hz).
A rezgéseknek kitett munkavállalóknál egészségi és biztonsági kockázatokat jelent a
a) kéz/kar rezgése: különösen érrendszeri, csont-, izom-, ízületi, illetve idegrendszeri
elváltozásokat okozhat (a napi megengedett expozíciós határérték napi 8 órás
referencia-időszakra vonatkoztatva, négyzetes középértékben (rms-ben) mérve 5 m/s2
(22/2005. (VI. 24.) EüM rendelet),
b) az egész testre ható rezgés: gerincelváltozások léphetnek fel (a napi megengedett
expozíciós határérték 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva 1,15 m/s2).
Külső mechanikai rezgéseknek (légkalapácsnak) kitett kőtörők első szisztematikus
orvosi vizsgálatait A. Hamilton végezte 1918-ban.
A mechanikai rezgések orvosi,
egészségügyi vonatkozásai,
természetgyógyászat, ezotéria
„biorezonancia”, lökéshullám terápia, stb.
Nem kell szükségszerűen azt a látszatot kelteni, hogy értjük mi
van a megfigyelések hátterében.
Őszintébb azt mondani, hogy
- nem ismerjük a hatásmechanizmusokat, de
- kizárhatunk bizonyos „fizikai” elveken alapuló értelmezéseket.
Definíciók. Szigorú (matematikai) értelemben rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai
jelenséget, amely az idővel szakaszosan (periodikusan) ismétlődik.
)()( Ttgtg Itt g(t) a fizikai mennyiségnek a t-edik időpontban felvett értékét jelenti. A periódusidő
(rezgésidő, T) az a legkisebb időtartam, amelynek elmúltával a fizikai mennyiség ismét
ugyanezt az értéket veszi fel. A reciprokát frekvenciának hívjuk: f = 1/T, dimenziója 1/idő,
mértékegysége 1/s = 1 Hz.
Tágabb értelemben rezgésről beszélünk akkor is, ha a fizikai mennyiségnek időbeli
ismétléses jellege felismerhető. Pl. a csillapított rezgés szigorúan nem periodikus, mégis
a rezgések közé soroljuk (ha a csillapítás az aperiodikus határeset alatti).
Felosztások. A g(t) függvény konkrét matematikai alakja szerint sokféle rezgés lehet.
Harmonikus rezgés (szinuszrezgés): )sin()( tAtgAnharmonikus rezgések: a fizikai mennyiség egyidejűleg
véges (lásd pl. Lissajous-görbéket) vagy
végtelen sok (lásd a Fourier-tételt) harmonikus rezgést végez.
Típikus példák a relaxációs (fűrészfog) rezgések.
Szabad és kényszerített rezgések
Harmonikus rezgő mozgás
Kinematikai leírás. A hely-idő összefüggésből indulunk ki, és ebből
leszármaztathatók más mennyiségek is.
A kitérés (helykoordináta):
)sin( tAx
A sebesség:
)cos(d
dv tA
t
x
legnagyobb a kezdőponton való áthaladás pillanataiban (t = 0, T/2, T, ...)
és zérus a fordulópontokban (t = T/4, 3T/4, ...).
A gyorsulás:
xtAt
a 22 )sin(d
dv
a kitéréssel arányos, és ezzel ellentétes irányú, vagyis mindig a kezdőpont felé mutat.
Harmonikus rezgő mozgás
Dinamikai leírás. A mozgás gyorsulás-idő függvényét behelyettesítjük a
dinamika alapegyenletébe (Newton II. törvényébe):
xkxmamF 2
A direkciós (irányító) erő: 2
2 2
Tmmk
A harmonikus rezgő mozgás rezgésideje:
k
mT 2
A harmonikus rezgő mozgást
végző test energiájaAz erőtér konzervatív, a teljes mechanikai energia megmarad:
állandó2
1
2
1v
2
1 2222
összes AmkxmE
Harmonikus rezgések összetevése
1. Egy egyenesbe eső (egy irányú) rezgések összetevése.
a) A frekvenciák megegyeznek
)sin(
sin
022
11
tAx
tAx
Az eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összege:
021
2
2
2
1 cos2 AAAAA 021
02
cos
sintg
AA
A
Speciális esetek:
- azonos fázisú rezgéseknél (együttrezgésnél, α0 = 0) az amplitúdók összegződnek: A = A1 + A2, és az eredő fázis az összetevő rezgések fázisával
egyezik meg α = 0. A rezgések (ill. később látjuk, a hullámok interferencia révén) erősítik egymást.
- ellentett fázisú rezgéseknél (α0 = π) az amplitúdók kivonódnak: A =
és az eredő fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha A1 = A2, akkor A = 0, vagyis a rezgések kioltják
egymást (hasonlóan, mint ahogy az ilyen hullámok teszik, lásd később a (fény)hullámok interferencia-jelenségeit).
21 AA
Alapelv: a rezgések egymástól FÜGGETLENÜL fejtik ki hatásukat, azaz, mintha a másik
ott sem lenne.
)sin(21 tAxxx
Harmonikus rezgések összetevése
b) A frekvenciák különböznek:
)sin(
sin
0222
111
tAx
tAx
Az eredő rezgés most nem hozható )sin(21 tAxxx
alakra, és ezért nem harmonikus rezgés, sőt általában nem is periodikus
folyamat, csak akkor, ha a frekvenciák aránya (ω1/ω2) racionális szám. Ekkor
ω1 = n1·ω és ω2 = n2·ω (n1 és n2 relatív prím egész számok), és az
)sin()sin( 02211 tnAtnAx
függvény értéke T = 2π/ω időközönként ismétlődik.
Harmonikus rezgések összetevése,
a lebegésLegyenek megegyezőek az amplitúdók, közel megegyezőek a frekvenciák és
nulla a fáziskülönbség!
tAx
tAx
22
11
sin
sin
Az eredő rezgés
ttAxxx2
sin2
cos2 212121
2121
leb
12
ffT
A lebegési idő
21leb fff
LebegésAz eredő rezgés amplitúdója periodikusan, a lebegési frekvenciával (a két közel egyenlő
frekvencia különbségével) változik, LÜKTET.
Alkalmazás: hangtan (pl. hangszerek hangolása, mert kis elhangolódás is észrevehető a lebegés jelensége miatt).
Egymásra merőleges rezgések összetevése,
Lissajous-görbékA frekvenciák megegyeznek. A rezgés eredője általában „elliptikus rezgés”
(ellipszisben poláros rezgés))sin(sin tBytAx
A frekvenciák különböznek.
)sin(sin ba tBytAx
Példa: ellipszisben poláros rezgés
)sin(sin tBytAx
Kezdőfázis
α
x y Görbe
egyenlete
Ábrázolás
0o A· sin(ωt) B· sin(ωt)
90o A· sin(ωt) B· cos(ωt)
180o A· sin(ωt) -B· sin(ωt)
270o A· sin(ωt) -B· cos(ωt)
A
B
x
y
sincoscossin)sin( ttt
1
22
B
y
A
x
A
B
x
y
1
22
B
y
A
x
x
x
x
x
y
y
y
y
Példa: ellipszisben poláros rezgés,
bármely fázisszögre
Az időt elimináljuk (sin ωt és cos ωt helyére x kifejezéseit írjuk):
sincoscossin)sin(sin tBtBtBytAx
sin1cos2
2
A
x
A
x
B
y 2
2
22
sin1cos
A
x
A
x
B
y
2
2
2
2
2
sincos2
AB
xy
B
y
A
x
A
B
x
y
Ez egy másodrendű görbének, egy ellipszisnek
az egyenlete. Az x,y koordináták csak véges,
legfeljebb A, ill. B értékeket vesznek fel.
Két, egymásra merőleges, egyenlő frekvenciájú
harmonikus rezgés eredője elliptikus rezgés.
Az ellipszis 2A és 2B oldalhosszúságú
téglalapban fekszik, centruma a két rezgés
kezdőpontjában van.
Rezgések felbontása harmonikus
rezgésekre, Fourier tételeFourier-féle tétel: ha g(t) az idő periodikus függvénye, azaz
)()( Ttgtg
akkor egy és csakis egyféleképp szinusz- és koszinusz-függvények összegére
bontható, amelyben az összetevők (felharmonikusok) amplitúdói (Ai és Bi,
i = 0,1,2,...) különbözőek és a frekvenciái egy alapfrekvencia (ω) egész számú
sokszorosai: ωi = i·ω (i = 1,2,...):
g(t) = A0/2 + A1cosωt + A2cos2ωt + ...+ B1sinωt + B2sin2ωt +...
,...)3,2,1,0()sin()(2
)cos()(2
00
idttitgT
BdttitgT
A
T
i
T
i
ahol az Ai és Bi együtthatókat a következő integrálok határozzák meg:
Példa Fourier-analízisre: négyszögrezgés
...)7sin7
15sin
5
13sin
3
1(sin
1)( tttttx
Csillapított rezgő mozgás
F1 = -k·x F2 = -η·v
Rugóerő: Súrlódási
(fékező) erő:
Voigt-test periodikus mozgása
dt
dxxk
dt
xdm
2
2
m
k
m0
2
)sin( teAx t22
0
A mozgás csillapodó amplitúdójú rezgés:A frekvenciát a csillapítás eltolja (a
súrlódás csökkenti a frekvenciát):
A súrlódás kicsiny
Voigt-test aperiodikus mozgása, κ > ω0
Az x(t = 0) = 0 és v(t = 0)= v0 kezdőfeltételekhez tartozó analitikai megoldás
tex t 2
0
2
2
0
2
0 shv
A mozgás aperiodikus, mert a csillapítás
(súrlódás) olyan nagy, hogy a rendszer
csak az egyik irányban tér ki, és csak
(elvileg) végtelen hosszú idő elteltével
fogja az egyensúlyi helyzetét újra felvenni.
Példa: nagy viszkozitású folyadékban (pl.
mézben) kitérített inga mozgása.
2
)exp()exp(sh
xxx
ahol sh (x) az ú.n. szinusz-
hiperbolikusz függvény:
A súrlódás nagy
KényszerrezgésekHa a rendszerre tartósan egy külső, periodikusan változó („gerjesztő”) erő is hat,
akkor az kényszerrezgést fog végezni. A hozzá tartozó mozgásegyenlet a
csillapított rezgésnél megismert egyenletben kiegészül a periodikus gerjesztést
kifejező erővel:
tFdt
dxxk
dt
xdm sin02
2
amelynek általános megoldása κ < ω0 (kis csillapítás) esetében
taetAtx t 22
0sin)cos()(
22
022222
0
0 2tg
4
/
mF
A
ahol Periódikus tag (rezgés) Átmeneti, csillapodó tag, (elég hosszú)
idővel eltűnik.
RezonanciaAmplitúdó Fázis
Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb
(nagyobb amplitúdójú) a rezonancia.
Határesetben ez ú.n. „rezonancia-
katasztrófához” vezethet.
Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb
a fázisváltás a rezonancia-frekvenciánál.
Rezonanciánál π/2 a fáziskülönbség a
gerjesztés és a kényszermozgás között,
azaz egyirányba esnek.
m
k
m0
2
csillapítás
Feladatok
harmonikus rezgőmozgásra
1. Egy vízen úszó fahasábot egy kissé lenyomjuk, majd magára hagyjuk. Határozzuk
meg a fel-le mozgó fadarab rezgésidejét!
2. A négykerekű vasúti kocsik rugói a síncsatlakozásoknál kapott lökések következtében
rezgésbe jönnek. A rugók 1 N erő hatására 1,6 μm-t nyomódnak össze, a kocsi tömege
22 tonna, a síndarabok hossza 18 m. Milyen menetsebesség esetén legnagyobb a
rugók kirezgése (a kocsi „zötykölődése”)?
3. A 100 kg tömegű bedobó kosárlabdázó felugrásnál a tömegközéppontját 1 m
magasra emeli, a talajra való visszaérkezésekor a sebességét 10 cm (rugalmas
landolás) ill. 1 cm (tehetetlen, „krumplis-zsák”-szerű esés) hosszú úton fékezi le.
Mekkora átlagos erő ébred testének tartószerkezetében?
4. A középfül csontjainak (kalapács-üllő-kengyel) szerepét egy olyan modell-lel közelítjük,
amelyben az m = 2 mg tömegű csontocskákat egy k1 = 72 N/m és egy
k2 = 7,2 N/m direkciós erejű rugóval a dobhártyához ill. az ovális ablakhoz erősítjük.
Mekkora lesz a frekvenciája ennek a rendszernek?
Feladatok
csillapított rezgésre és rezonanciára
1. Írja fel a sorosan kapcsolt rugóra és csillapítóra erősített test mozgásegyenletét
(Maxwell-modell)!
2. Mi az oka a „Lépést ne tarts!” vezényszónak, amikor katonai menetoszlop hídon halad
át?
3. A belvárosi hídra egy szúnyog száll, és a lábával a rezonanciafrekvencián ütögeti a
hidat. A tapasztalat szerint a híd nem fog leszakadni, rezonancia-katasztrófa nem
következik be. Miért?
Egyéb feladatok
1) Egy gépkocsi tömege terheletlenül 800 kg. 5 személy (500 kg) beülésével a
karosszéria 6 cm-t süllyed. Mennyi az autó rezgésideje üresen és utasokkal
megterhelve?
2) A járást a Weber testvérek (1836) a nem terhelt láb fizikai ingaként való
viselkedéseként fogták fel, azaz ezen láb izomzatának teljes passzivitását tételezték fel
a hátulról előre való lendítés során („lógó láb” koncepciója). Mekkora az s = 0,8 m
lépéshossz esetén a járás sebessége, ha az l = 1 m hosszúságú szabad lábat a csípő
mint tengely körül mozgó fizikai ingának tekintjük?
3) Demonstráljuk számítógépes grafikai eljárásokkal a rezgések összetevésének
fentebb tárgyalt elemi szabályait! Konstruáljunk egyszerűbb Lissajous-görbéket!
4) Az egységnyi magasságú „háromszög-rezgés” Fourier-sora
...)7sin7
15sin
5
13sin
3
1(sin
8)(
2222 tttttx
Érzékeltessük ezt számítógépes grafikai eljárással (ami messze nem matematikai erejű
bizonyíték, csak „vizuális inspekció”).