Mechanika tuhých telies. Návody na cvičenia.pdf
-
Upload
jakub-zitniak -
Category
Documents
-
view
522 -
download
17
description
Transcript of Mechanika tuhých telies. Návody na cvičenia.pdf
MECHANIKA TUHÝCH TELIES Návody na cvičenia
NAĎ Milan
LABAŠOVÁ Eva
2008
© Ing. Milan Naď, CSc., Ing. Eva Labašová, PhD.
Recenzenti : Prof. Ing. Ctirad Kratochvíl, DrSc.
Doc. Ing. Milan Michalíček, CSc.
Jazyková korektúra : Mgr. Valéria Krahulcová Schválila Vedecká rada Materiálovotechnologickej fakulty STU ako vysokoškolské skriptá dňa 14. februára 2007 pre všetky študijné programy Materiálovotechnologickej fakulty STU v Trnave
ISBN 978-80-8096-050-6 EAN 9788080960506
3
Ú v o d
Skriptá „Mechanika tuhých telies – Návody na cvičenia“ sú určené predovšetkým
študentom Materiálovotechnologickej fakulty STU so sídlom v Trnave. Hlavným cieľom
skrípt je poskytnúť študentom prehľadnú, zrozumiteľnú a efektívnu študijnú pomôcku pri
štúdiu predmetu Mechanika tuhých telies.
Po obsahovej stránke vychádzajú skriptá z prednášok a cvičení predmetu mechanika
tuhých telies, ktoré sú realizované na Katedre aplikovanej mechaniky MTF pre všetky
bakalárske študijné programy akreditované na MTF STU v Trnave.
Náplňou skrípt sú vzorové príklady z oblasti statiky, kinematiky a dynamiky tuhých telies.
V rámci príkladov z dynamiky je zahrnutá aj časť príkladov týkajúcich sa lineárneho kmitania
sústav s jedným stupňom voľnosti. Príklady sú koncipované tak, aby pri ich riešení študent
pochopil základné zákonitosti mechaniky a zároveň spôsob a pravidlá riešenia konkrétnych
problémov mechaniky tuhých telies. Súčasťou skrípt sú okrem riešených príkladov aj
neriešené príklady slúžiace na samoštúdium, pre ktoré sú uvedené výsledky.
Prvú kapitolu – Statika vypracovala Ing. Eva Labašová, PhD. Na vypracovaní druhej
kapitoly – Kinematika sa rovnakým dielom podieľali Ing. Eva Labašová, PhD. a Ing Milan
Naď, CSc. Tretiu kapitolu – Dynamika vypracoval Ing. Milan Naď, CSc.
Prianím autorov je, aby toto skriptum prispelo k interdisciplinárnemu chápaniu všetkých
častí mechaniky vo vzťahu k výrobným technológiám, informatike, materiálovým vedám,
priemyslenému inžinierstvu ako aj k environmentalistike.
Autori si považujú za milú povinnosť poďakovať doc. Ing. Jozefovi Mudrikovi, CSc.
garantovi predmetu Mechanika tuhých telies, za jeho veľmi cenné pripomienky a morálnu
podporu pri spracovávaní skrípt.
Autori
4
1 STATIKA
1.1 SILA A JEJ ÚČINKY NA HMOTNÝ OBJEKT
Sila F je vektorová veličina, ktorá je definovaná veľkosťou, smerom a orientáciou. Vektor sily môže byť vyjadrený ako sila pôsobiaca v rovine alebo priestore. Silu v rovine (obr. 1.1) rozkladáme do dvoch vektorových zložiek Fx a Fy, t.j. potom platí
jiFFF yxyx FF +=+= , (1.1)
kde Fx , Fy sú veľkosti zložiek sily F v smere súradnicových osí x, y. Zložky sily Fx a Fy sú navzájom na seba kolmé. Tieto zložky môžu byť v smere kladných, resp. záporných poloosí x alebo y a ich veľkosti (môžu byť aj nulové) sú všeobecne určené vzťahmi sinαcosα FFFF yx == , (1.2)
kde α je smerový uhol, ktorý zviera nositeľka sily - nF s kladným smerom osi x.
Veľkosť sily je určená pomocou Pytagorovej vety
22yx FFF += . (1.3)
Základnou jednotkou sily je jeden newton [N]. Sila ako vektorová veličina je viazaná k svojej nositeľke nF. Pôsobisko sily možno ľubovoľne posunúť po nositeľke sily a účinok na objekt sa nezmení. Sila vzhľadom na všetky body na svojej nositeľke má posuvný účinok.
Obr. 1.1 Obr. 1.2
Silu v priestore (obr. 1.2) rozkladáme do troch navzájom kolmých zložiek Fx, Fy a Fz
kjiFFFF zyxzyx FFF ++=++= , (1.4)
,cos,cos,cos γ=β=α= FFFFFF zyx (1.5) pričom α , β , γ sú smerové uhly nositeľky sily k príslušným súradnicovým osiam x, y, z. Veľkosť sily je určená zo vzťahu
222zyx FFFF ++= . (1.6)
Kosínusy smerových uhlov sú určené zo vzťahov (1.5)
Fy
x
y
Fx i
j
z
k
Fz
α β
γ
F
0
nF
Fy
x
α
nF
y
Fx
F
i
j
5
FFFzyx F
cos ,F
cos ,F
cos =γ=β=α , (1.7)
pričom platí
1coscoscos 222 =γ+β+α . Ak na objekt pôsobia dve a viacej síl, zložky ich výslednej sily (výslednice R) sú získané vektorovým súčtom príslušných zložiek daných síl
jiRRR yxyx RR +=+= , (1.8)
niFRFRn
iyiy
n
ixix ,.....,2,1 , ,
11=== ∑∑
==
. (1.9)
Okrem posuvného účinku má sila aj otáčavý účinok, ktorý vzniká vzhľadom na ľubovoľný bod v rovine alebo v priestore, ktorý neleží na nositeľke sily. Mierou otáčavého účinku je moment sily. Moment sily je vektorová veličina.
Moment sily M vzhľadom na bod A je vyjadrený vektorovým súčinom
FrM ×= , (1.10)
kde r je polohový vektor pôsobiska sily F vzhľadom na bod A (obr. 1.3a). Veľkosť momentu sily vzhľadom na bod A vyjadrená ako veľkosť vektorového súčinu (1.10), t.j. platí
FdrFM =ϕ= sin , (1.11)
kde ϕ - uhol, ktorý zvierajú smery nositeliek vektorov r a F vychádzajúcich z jedného bodu, d - kolmá vzdialenosť bodu A od nositeľky sily nF .
Základnou jednotkou momentu sily je jeden newtonmeter [Nm]. Moment sily vzhľadom na bod je viazaný vektor, t.j. k rôznym bodom má tá istá sila iný otáčavý účinok. Moment sily je kolmý na rovinu ρ vytvorenú vektormi r, F. Vektory v poradí r, F, M tvoria pravotočivý systém (obr. 1.3b). Prakticky možno vektor určiť pomocou pravidla pravej ruky.
Na riešenie rovinných úloh v statike je zavedená dohoda, že moment sily má kladné znamienko (+), ak otáča objektom proti zmyslu otáčania hodinových ručičiek a naopak má záporné znamienko (−), ak otáča objektom v zmysle otáčania hodinových ručičiek (obr. 1.3c).
Obr. 1.3a Obr. 1.3b Obr. 1.3c
Moment sily vzhľadom na os telesa
Moment sily F vzhľadom na os o je kolmý priemet momentu MB do smeru osi o. MB je moment sily F vzhľadom na ľubovoľný bod B ležiaci na osi o (obr. 1.4). Moment Mo vyjadruje otáčavý účinok sily vzhľadom na danú os a je definovaný vzťahom
A d
F
M
M = − Fd
A d
F
M
M = + Fd
F
r M r
F M nF
ϕ
. d
A ρ
6
eeeFreeMM oo M=⋅×=⋅= ])[()( B , FrM ×=B , (1.12)
kde e je jednotkový vektor v smere osi o. Na základe definície momentu je moment sily vzhľadom na os nulový, ak nositeľka sily nF je s osou o rovnobežná alebo rôznobežná. Moment sily vzhľadom na os je vektor viazaný k danej osi, čiže má vždy smer osi o.
Obr. 1.4 Obr. 1.5
Moment silovej dvojice
Silovú dvojicu tvoria dve rovnobežné, opačne orientované sily rovnakej veľkosti F, ktoré ležia na rovnobežných nositeľkách (obr. 1.5). Kolmá vzdialenosť nositeliek je d, nazýva sa tak rameno silovej dvojice. Výslednica takto definovaných síl sa rovná nule, t.j. posuvný účinok je nulový. Otáčavý účinok takejto dvojice síl je určený momentom silovej dvojice. Moment silovej dvojice je voľný vektor, t.j. má rovnaký otáčavý účinok vzhľadom na ľubovoľný bod v priestore a jeho veľkosť je daná vzťahom:
M = Fd. (1.14)
Vektor momentu silovej dvojice je kolmý na rovinu určenú nositeľkami síl a jeho orientácia je daná pravidlom pravej ruky.
Varignonova veta (momentová veta)
Moment M0 výslednice R sústavy síl (obr. 1.6a) so spoločným pôsobiskom (bod A) vzhľadom na bod 0 sa rovná súčtu momentov jednotlivých síl vzhľadom na ten istý bod 0. Taktiež platí, že moment sily F vzhľadom na bod 0 sa rovná súčtu momentov jednotlivých zložiek tejto sily v smere súradnicových osí vzhľadom na ten istý bod 0 (obr. 1.6b).
r
F MB
nF
.
o
B
e
Mo d
M
M
F1
F2
| F2 | = | F1 | = F F2 = − F1
7
Obr. 1.6a Obr. 1.6b
Príklad 1.1 Určte veľkosť a smerový uhol nositeľky výslednej sily pôsobiacej na konzolu podľa obrázka. Dané: F1 = 100 N, F2 = 300 N, α = 20°, β = 30°
Do bodu A na konzole je zvolený začiatok súradnicového systému. Výslednica síl F1 a F2 má pôsobisko taktiež v bode A. Veľkosti zložiek výslednice sú získané zo vzťahov (1.9)
N6,22530cos.30020sin.100cossin
N97,24330sin.30020cos.100sincos
21
21
−=+=β−α==
=+=β+α==
∑∑
oo
oo
FFFR
FFFR
yiy
xix
Veľkosť výslednice:
( ) N29,3326,22597,243 2222 =−+=+= yx RRR .
r 0 F1
F2
Fi
A
∑∑==
=×=×=n
ii
n
ii
110 ; FRFrRrM
r 0 Fx
F
A
Fy
Fz
zyx FrFrFrFrM ×+×+×=×=0
α
β
F1
F2
A x
y
F1x
F1y
F2x
F2y
Poznámka: Pri použití znaku∑ xiF budeme mať na mysli vždy∑=
n
ixiF
1, ak by sa v ďalšom
texte suma nevzťahovala na všetky sily, bude to pri znaku uvedené.
α
β
F1
F2
A
8
Smerový uhol výslednice αR určíme podľa vzťahu (1.7)
.76,42
,7342,029,33297,243cos
o=α
===α
R
xR R
R
Funkcia kosínus má kladné hodnoty v prvom a štvrtom kvadrante, preto je potrebné určiť aj funkciu sínus
.76,426789,029,332
6,225sin o−=α⇒−=−
==α Ry
R RR
Funkcia sínus má záporné hodnoty v treťom a vo štvrtom kvadrante. Smerový uhol nositeľky nR výslednice potom leží vo štvrtom kvadrante a jeho veľkosť je
ooo 243177642360 ,, =−=α′R .
Výslednicu ako vektor možno zapísať:
- v tvare mnohočlena: jijiR 6,22597,243 −=+= xx RR ,
- v tvare vektora: )6,225;97,243();( −== yx RRR . Príklad 1.2 1. Vertikálna sila F pôsobí na koniec nástrčkového kľúča. Vypočítajte veľkosť momentu
sily vzhľadom na bod 0 (obr.A). 2. Vypočítajte veľkosť momentu, ak na kľúč pôsobí horizontálna sila (obr.B). 3. Vypočítajte veľkosť momentu, ak sila pôsobí kolmo na os kľúča (obr.C). Dané: F = 100 N, α = 60° , l = 0,18 m
Obr. A
Obr. B
Obr. C
1. Kolmú vzdialenosť d nositeľky sily nF vzhľadom na bod 0 vyjadríme z obr. A
m09,060cos18,0cos ==α= old . Veľkosť momentu vzhľadom na bod 0 (1.11) je Nm 909,0.1000 === FdM .
Vektor momentu M0 je kolmý na rovinu nákresu a točí v smere hodinových ručičiek, čiže je záporný. Pomocou vektorového súčinu polohového vektora r a sily F dostaneme
kkjjiFrM 100.60cos18,0.cos)()sincos(0o−=α−=−×α+α=×= FlFll ,
kM 90 −= .
2. Kolmú vzdialenosť d nositeľky sily nF vzhľadom na bod 0 vyjadríme z obr. B d = l sinα = 0,18.sin 60° = 0,156 m.
R
Rx
Ry
Rα′
Α
nR
y
x αR
nF
α
F
0
y
d
. M0
x
α nF
α
F n
0
y
d.
M0 x
nFα
F
0
y
d
.M0
xα
F
0
l
9
Veľkosť momentu vzhľadom na bod 0 je
M0 = Fd=100.0,156 = 15,6 Nm.
Vektor momentu M0 je kolmý na rovinu nákresu a točí proti smeru hodinových ručičiek, čiže je kladný. Pomocou vektorového súčinu polohového vektora r a sily F dostaneme
kkijiFrM 100.60sin18,0.sin.)()sincos(0o+=α+=−×α+α=×= FlFll ,
kM 6,150 += .
3. Kolmá vzdialenosť d nositeľky sily nF vzhľadom na bod 0 sa rovná dĺžke l (obr. C). Veľkosť momentu vzhľadom na bod 0 je M0 = Fd=100 . 0,18 = 18 Nm. Vektor momentu M0 je kolmý na rovinu nákresu a točí v smere hodinových ručičiek, čiže je záporný. Pomocou vektorového súčinu polohového vektora r a sily F dostaneme )cossin()sincos(0 jijiFrM α−α×α+α=×= FFll , kkkkM )5,13()5,4())(sin)(sin()cos)(cos(0 −+−=−αα+α−α= FlFl , kM 180 −= .
Príklad 1.3 Na stĺp pôsobí v lane AM sila F podľa obrázka. 1. Určte polohový vektor pôsobiska danej sily. 2. Zapíšte silu v tvare mnohočlena v karteziánskom
súradnicovom systéme. 3. Určte moment danej sily vzhľadom na začiatok
súradnicového systému.
Dané: F = 1,2 kN; α = 30°; l = 1 m; h = 4,5 m; b = 1,5 m
Obr.A
Obr.B
1. Polohový vektor rA pôsobiska sily F vzhľadom na bod 0 (začiatok súradnicového
systému) predstavuje telesovú uhlopriečku hranola s výškou h. Strany podstavy sú
y
x 0
z
A
M
α
h
l
F rA
rAz
rAx
rAy
H
N
K
x
y
0
z
A
M
α
h
l
F rA
H
nF
rAx
b
β
N K
L
B
C D
Fx
Fz
Fy Fxz
γ
V technických aplikáciách bude veľkosť momentu sily určovaná podľa vzťahu (1.11) a jehoorientácia bude určovaná podľa pravidla pravej ruky.
y
0
z
A . α
hl F
b
H
x
M
10
vyjadrené na základe dĺžky ramena HA a uhla α, ktorý zviera rameno s kolmým priemetom na os x v rovine rovnobežnej s rovinou xy (obr. A).
kjir )()()( 000 zzyyxx AAAA −+−+−= ,
0000 === zyx ,
kjikjir 5,05,4866,0)sin()cos( ++=α++α= lhlA .
2. Nositeľka sily nF leží na telesovej uhlopriečke hranola ABCDKLMN s výškou h (obr. B). Z daných rozmerov vypočítame strany jeho podstavy.
m. 5,0sinADKN m, 634,0cosMN =α===α−= llb
Na určenie veľkosti zložiek sily Fy a jej kolmého priemetu do roviny xz (Fxz) je potrebné vyjadriť uhol β, ktorý je vyjadrený z pravouhlého trojuholníka AKM
.,,arctg
,,,
,,MNKNKMtg
o17101790
179054
634050 2222
==β
=+
=+
==βhh
Potom: β=β= sin,cos FFFF xzy . Na vyjadrenie zložiek sily Fx, Fz potrebujeme vypočítať uhol, ktorý zviera priemet sily
Fxz s kladným smerom osi x (resp. so smerom osi z). V obrázku (obr.B) je tento uhol zakótovaný ako uhol γ v pravouhlom trojuholníku KLM
o27,38789,0634,0
5,0
MN
KN
LK
LMtg =γ⇒====γ
Veľkosti zložiek sily Fx, Fz sú vyjadrené pomocou vzťahov
γ=γ= sin,cos xzzxzx FFFF .
Zápis sily v tvare mnohočlena je y zxF F F= − −F i j k . Po dosadení predchádzajúcich vzťahov získame
.13,018,1166,0,8,273sin)0,171sin(0,171cos2,18,273cos)0,171,2sin1(
,sin)sin(coscos)sin(
kjiFkjiF
kjiF
−−=−−=
γβ−β−γβ=ooooo F
FFF
3. Moment sily vzhľadom na začiatok súradnicového systému je možné vypočítať priamo z definície pre moment sily vzhľadom na bod s využitím predchádzajúcich výsledkov
kjikji
FrM )()()( xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx FrFrFrFrFrFrFFFrrr −+−+−==×= ,
kjikji
M 769,1196,0005,00,13-1,18-0,1660,54,50,866 −+== .
11
Veľkosť momentu je kNm779,1222 =++= zyx MMMM . Príklad 1.4 1. Vypočítajte momenty sily F vzhľadom na jednotlivé súradnicové osi. 2. Vypočítajte momenty sily Q vzhľadom na jednotlivé súradnicové osi.
Obr. A
Obr. B
1. Výpočet momentu sily F vzhľadom na os x (obr. A). Najskôr je vypočítaný moment sily F vzhľadom na ľubovoľný bod ležiaci na osi x – napr. bod 0
jkikjiFrM bFcFFcbaF +−=×++=×= )(0 . Moment vzhľadom na os x je vyjadrený vzťahom 0iijkiiMM =⋅+−=⋅= ])[()( 0 bFcFx .
Nositeľka sily nF je rovnobežná s osou x, preto sila nemá otáčavý účinok vzhľadom na os x. Bod 0 sa nachádza na osiach x, y a z. Moment sily F vzhľadom na bod 0 je použitý na výpočet momentu sily aj k zvyšným dvom súradnicovým osiam. Pre vektor momentu sily v smere osi y platí
jjjjjkjjMM yy MbFbFcF ==⋅+−=⋅= ])[()( 0 .
Veľkosť momentu sily vzhľadom na os možno vypočítať ako súčin veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositeľky sily k danej osi. Orientácia momentu je určená pomocou pravidla pravej ruky.
Nositeľka sily nF a os z sú navzájom mimobežné. Veľkosť momentu sily F vzhľadom na os z podľa predchádzajúcej definície je Mz = cF. Pri pohľade z kladného smeru osi z sila F otáča okolo osi z v smere hodinových ručičiek, takže moment bude záporný. Moment sily F vzhľadom na os z je potom vypočítaný zo vzťahu
kkkkjkkkMM zz McFbFcF =−=⋅+−=⋅= ])[()( 0 .
2. Sila Q (obr. B) nemá otáčavý účinok vzhľadom na os x (nQ a os x sú navzájom rôznobežné) a nemá otáčavý účinok ani vzhľadom na os y (nQ a os y sú navzájom rovnobežné). Nositeľka sily nQ je mimobežná iba s osou z. Kolmá vzdialenosť mimobežiek je a.
kM aQz += . Moment sily Q vzhľadom na os z je potom vypočítaný pomocou (1.12), t.j.
kkkkkkjjikkQrM aQaQQcaQz +=⋅=⋅×+=⋅×= ])[(]))[((])[(
F
z
y
0 x
a b
c rF
i j
k
nF F
z
y
0
Q
x a
b
c
y
0
Q
x a b
c rQ
z
i j
k
nQ
12
Príklad 1.5 Na páku nástrčkového kľúča pôsobia na oboch stranách dve rovnako veľké sily F. Vypočítajtevýsledné momenty síl vzhľadom na os skrutky (bod A) a vzhľadom na os kolesa (bod B).Úlohu riešte ako rovinnú. Dané: a = 0,4 m; b = 0,15 m; F = 200 N
Obr. A
Obr. B
Posuvný účinok oboch síl sa navzájom ruší F + (−F) = 0. Veľkosť momentu od oboch síl vzhľadom na os skrutky (bod A) je vypočítaný ako súčet momentov každej zo síl vzhľadom na bod A Nm)( 1602 == aFM A Úlohu možno riešiť aj vyjadrením veľkosti momentu silovej dvojice (sily tvoria silovú dvojicu) Nm)( 1602 == FaM A . Moment silovej dvojice je kladný, pretože sily otáčajú proti smeru hodinových ručičiek. Moment od oboch síl vzhľadom na os kolesa (bod B)
MB = (a + b)F + (a − b)F = 2aF = 160 Nm.
Z uvedeného je zrejmé, že moment silovej dvojice je rovnaký vzhľadom na ľubovoľný bod telesa. Z tohto dôvodu sa v technických aplikáciách silová dvojica často označuje len smerom otáčania a je daná veľkosťou momentu (obrázok vpravo). Príklad 1.6 Na oceľovú platňu pôsobí v bode A sila F. Vypočítajte moment sily vzhľadom na body B a C. Dané: a = 0,2 m; b = 0,5 m; c = 0,6 m; F = 300 N; α = 20°
Obr.A
Obr. B
a b
c
α F A
B
C Fy
Fx
+x
y
nF d
.
rAB
rAC
a b
c
α F
A
B
C
B
b
a a
AM
Bb
a a F
A F
13
Keďže nie je známa kolmá vzdialenosť d bodu B od nositeľky sily nF, úloha bude riešená pomocou Varignonovej vety. V súlade so zvoleným súradnicovým systémom (obr. B) pre veľkosť momentu sily F vzhľadom na bod B platí
α−α+=−+= sincosB aFcFaFcFM yx ,
Nm 6,14820sin.300.2,020cos.300.6,0B +=−+= ooM .
Vektor momentu je kolmý na danú rovinu: B = + 148,6 M k . Výpočet momentu sily F vzhľadom na bod B pomocou determinantu
kkkji
FrM 614800 ,)cossin(
sincosABB +=α+α−=
αα−−=×= cFaF
FFca .
Podobne je určený moment sily vzhľadom na bod C. Bod C sa nachádza na nositeľke zložky sily Fx. Zložka sily Fx nemá preto otáčavý účinok vzhľadom na bod C. Otáčavý účinok vzniká len od zložky sily Fy. Veľkosť momentu sily F vzhľadom na bod C je vyjadrená nasledovne:
Nm 8,7120sin300).5,02,0(sin)()(C −=+−=α+−=+−= oFbaFbaM y .
Vektor momentu je taktiež kolmý na danú rovinu: C = 71,8−M k . Výpočet momentu sily F vzhľadom na bod C pomocou determinantu
kkkji
FrM 871000 ,]sin)([
sincos)(ACC −=α+−=
αα+−=×= Fba
FFba .
Príklad 1.7
Na mačku žeriava pôsobia sily v lanách. Vypočítajte veľkosť sily v lane 2 tak, aby výslednica R = (Rx, Ry) oboch síl mala len vertikálnuzložku. Zároveň vypočítajte veľkosť výslednej sily. Dané: N1 = 600 N; α = 15°; β = 45° Výsledok: N2 = 819,62 N; orientácia pre N2 Rx = 0 N Ry = 734,85 N; orientácia pre Ry ( )
Príklad 1.8
Vypočítajte moment M0 od sily F vzhľadom na bod 0: 1. pomocou vektorového súčinu pre moment, 2. pomocou vzťahu pre veľkosť vektorového súčinu, 3. použitím Varignonovej vety.
Dané: F = 600 N; α = 40°; l = 2 m; h= 4m Výsledok: M0 = −2609,85 k [Nm]
0
h
l
α
F
α
β
N2 N1
14
Príklad 1.9
Štyri kolíky priemeru 1 mm sú upevnené k doske podľa obrázka. Okolo kolíkov prechádzajú dve laná ťahané silami o veľkosti F1 = F2 = F a Q1 = Q2 = Q. Dané: a = 2 mm, b = 4 mm, c = d = 5 mm, 2r = 1 mm, F = 20 N, Q = 35 N Vypočítajte: 1. veľkosť momentu síl Q1, Q2 vzhľadom na bod D, 2. veľkosť momentu síl Q1, Q2 vzhľadom na bod E, 3. veľkosť momentu síl F1, F2 vzhľadom na bod D, 4. výsledný otáčavý účinok všetkých síl na dosku MV.
Výsledok: 1. MD = − 140 N.mm; MD = − 140k 3. MD = + 140 N.mm; MD = + 140k 2. ME = − 140 N.mm; ME = − 140k 4. MV = 0
Príklad 1.10
Tuhá rámová konštrukcia je zaťažená silami F1, F2. Nositeľkasily nF1 zviera so súradnicovými osami x, y, z uhly α, β, γ. Vypočítajte: 1. moment od sily F1 vzhľadom na body O, A, 2. moment od sily F2 vzhľadom na body O, A, 3. výsledný moment od oboch síl vzhľadom na bod O. Dané: h = 1 m, l = 0,3 m, d = 0,5 m, F1 = 400 N, F2 = 300 N, α = 70°, β = 30°, γ = 25° Výsledok: 1. MO = 535,7i − 177,2j −32,9k; MA = 173,2i −177,2j +103,9k 2. MO = 150i + 90k; MA = 150i + 90k 3. MV = 685,7i − 177,2j + 57,1k
1.2 STATICKÁ EKVIVALENCIA SILOVÝCH SÚSTAV
Množina síl pôsobiacich na ten istý objekt tvorí silovú sústavu. Každú silovú sústavu Fi, ni ÷= 1 možno všeobecne nahradiť ekvivalentnou silou R - výslednicou pôsobiacou v bode 0
a ekvivalentným momentom M0 - výsledným momentom vzhľadom na bod 0. Všeobecne má silová sústava
• posuvný účinok i∑= FR , (1.15) • otáčavý účinok ∑∑ ×== iii FrMM 00 . (1.16)
Dve silové sústavy sú ekvivalentné, ak ich možno nahradiť vzhľadom na ten istý bod rovnakou výslednou silou a rovnakým výsledným momentom. Rovnice (1.15) a (1.16) teda definujú základné nahradenie ľubovoľnej silovej sústavy vo vektorovom tvare. Skalárny tvar týchto rovníc
• tri zložkové (resp. silové) rovnice: ∑ ∑ α== iiixx FFR cos
∑ ∑ β== iiiyy FFR cos (1.17)
∑ ∑ γ== iiizz FFR cos
α
. . .
O
A
β γ
F2
F1
l l d
h
d
x
nF1
z
y
E
d
c
y
x c b b
a
a
a 0≡D
Q1 F1
F2 Q2
15
• tri momentové rovnice silovej sústavy ∑ ∑ −== )( iyiiziixx FzFyMM
∑ ∑ −== )( iziixiiyy FxFzMM (1.18)
∑ ∑ −== )( ixiiyiizz FyFxMM TYPY SILOVÝCH SÚSTAV Tabuľka 1.1
Typ silovej sústavy Nositeľky síl pôsobiace na objekt Základné nahradenie Všeobecná priestorová silová sústava (VPSS)
* ľubovoľne usporiadané v priestore* mimobežky
∑∑∑
=
=
=
izz
iyy
ixx
FR
FRFR
∑∑∑
=
=
=
izz
iyy
ixx
MM
MMMM
Všeobecná rovinná silová sústava (VRSS)
* ľubovoľne usporiadané v rovine * rôznobežky
∑∑∑
==
==
00 iz
iyyixx
MMM
FRFR
Rovnobežná priestoro-vá silová sústava (RPSS)
* rovnobežne usporiadané v priestore * rovnobežky s rovnakým sklonom
k súradnicovým osiam x, y, z
(nositeľky rovnobežné napr. s y) ∑= iFR ∑= ixx MM
∑= izz MM
Rovnobežná rovinná silová sústava (RRSS)
* rovnobežne usporiadané v rovine * rovnobežky s rovnakým sklonom
k súradnicovým osiam x, y
∑= iFR ∑= 00 iMM
Centrálna priestorová silová sústava (CPSS)
* rozložené v priestore prechádzajúce jedným bodom
* výslednica prechádza spoločným priesečníkom nositeliek síl ∑
∑∑
=
=
=
izz
iyy
ixx
FR
FRFR
Centrálna rovinná silová sústava (CRSS)
* rozložené v rovine prechádzajúce jedným bodom
* výslednica prechádza spoločným priesečníkom nositeliek síl
∑∑
=
=
iyy
ixx
FRFR
Priamková silová sústava (PSS)
* všetky sily ležia na jednej priamke ∑= iFR
Príklad 1.11 V otvoroch B, C, D oceľového držiaka sú uchytené laná 1, 2, 3 s veľkosťami osových síl N1, N2, N3. Nahraďte laná v bodoch B, C, D lanami v bodoch A, E tak, aby sily pôsobiace v nich (N4, N5) mali rovnaký účinok na držiak. Dané: N1 = 3 kN; N2 = 2 kN, N3 = 5 kN, α = 30°; γ = 45°; a = 0,1 m; b = 0,2 m; c = 0,25 m
+x
y
Obr. A
c
a
a a
b
B C D
E
α N1
N2
A
N3
0
a b
B C D
E
A αR
R
0 M0
16
Obr. B Sily v lanách N1, N2, N3 tvoria všeobecnú rovinnú silovú sústavu. Najskôr pre danú sústavu síl je vykonané základné nahradenie - tvorené výslednicu R pôsobiacou v bode 0 a výsledným momentom vzhľadom na bod 0 M0 (obr. A). V súlade so zvoleným súradnicovým systémom sú zložky výslednice a veľkosť momentu vypočítané z rovníc
.)2(sincos)(
,cos
,sin
321100
31
21
∑∑∑
−−−α+α+−==
+α==
+α−==
bNNaccNNbaMM
NNFR
NNFR
i
iyy
ixx
Odkiaľ po dosadení: Nm4,1504N;7598N;500 0 −=== MRR yx .
Veľkosť výslednice: N,4761422 =+= yx RRR
a jej smer je definovaný uhlom: °===α 2,864,7614
500arccosarccosRRx
R .
Výsledný moment v zvolenom súradnicovom systéme má záporné znamienko. To znamená, že zmysel otáčania je v smere hodinových ručičiek. Z troch rovníc, ktoré možno zostaviť pre nahradenie pôvodnej silovej sústavy novou sústavou,
,coscos β+γ−=== ∑ 45500 NNFR ixx
,cossin)(,
,sinsin
β−γ+−==−=
β+γ===
∑∑
4500
45
41504
7598
cNNbaMM
NNFR
i
iyy
sú vypočítané tri parametre (veľkosti síl N4, N5 a uhol β, obr. B), t.j. po úprave a dosadení získame: °=β== 4259853546645912 54 ,;N,;N, NN .
Pri osových silách N4, N5 sme dostali kladné znamienko, to znamená, že zvolená orientácia síl v lanách je správna.
c
a
aa
b
B C D
E
A
β
N4
N5
γ 0
c
a
aa
b
B C D
E
α N1
N2 A
N3
β
N4
N5
γ 0
17
Príklad 1.12 Pre zaťaženie rámu podľa obrázka nájdite základné nahradenie. Dané: F1 = 500 N; F2 = 800 N, F3 = 600 N, M = 100 Nm, α = 30°; β = 60°; h1 = 0,8 m; h2 = 0,2 m; l1 = 0,5 m; l2 = 0,2 m; b1 = 0,4 m; b2 = 0,3 m.
Daná silová sústava reprezentuje všeobecnú priestorovú silovú sústavu - VPSS, ktorú možno nahradiť výslednou silou a výsledným momentom k zvolenému bodu. Za vzťažný bod je zvolený začiatok súradnicového systému - bod 0. Podľa tabuľky 1.1 môžno pre VPSS písať podmienky základného nahradenia, t.j. veľkosti zložiek výslednice sú
.N550cossin
,N433cos
,N4,280sin
31
1
32
∑∑∑
=β+α==
−=α−==
−=β+−==
FFFR
FFR
FFFR
izz
iyy
ixx
Vektor výslednice R a jej veľkosť sú
kjiR 5504334,280 +−−=
N1,754)550()433()4,280( 222222 =+−+−=++= zyx RRRR .
Smer nositeľky výslednice vzhľadom na kladný smer súradnicových osí x, y a z je vyjadrený pomocou smerových kosínusov, resp. smerových uhlov
372,01,7544,280cos −=
−==α
RRx
R ⇒ αR = 111,8,
574,01,754
433cos −=−
==βR
RyR ⇒ βR = 125°,
729,01,754
550cos ===γRRz
R ⇒ γR = 43,2°.
Výsledný moment pôsobiaci v bode 0 je určený ako súčet momentov od jednotlivých síl vzhľadom na súradnicové osi
Nm9,96cos)(sincos)( 12111321 =α+−α+β++−== ∑ FllFhFhhMMM ixx ,
Nm3,232)sincos(2
sin 132
113 −=α−β⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++β−== ∑ FFbblFMM iyy ,
α
F2
M
x
y
z
b1
l2
h1
h2
h2
l1 b1
b2
0
F1
. zy
F3 . x
z
β
18
Nm2,42cos2
sin)()( 12
1321221 =α⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−β+−+== ∑ FbbFhhFhhMM izz .
Vektor výsledného momentu a jeho veľkosť
Nm.21,255)2,42()3,232()9,96(
,2,423,2329,96222222
0
0
=+−+=++=
+−=
zyx MMMM
kjiM
Príklad 1.13 Nájdite veľkosť ekvivalentnej sily a polohu jej nositeľky, ktorou možno nahradiť zaťaženie pôsobiace na daný nosník. Dané: F = 1500 N; q = 100 N.m-1; l = 2 m
Obr. A Obr. B
Spojito rozložené zaťaženie je v statike nahrádzané výslednicou, ktorej smer a orientácia sú zhodné so smerom spojito rozloženého zaťaženia. Pôsobisko výslednice je v ťažisku plochy spojito rozloženého zaťaženia a veľkosť výslednice sa rovná veľkosti plochy spojito rozloženého zaťaženia. V technickej praxi sa nahrádza spojité zaťaženie po úsekoch známymi geometrickými tvarmi. Spojité zaťaženie je v riešenom prípade rozdelené na zaťaženie obdĺžnikového tvaru a zaťaženie trojuholníkového tvaru (obr. A). Veľkosť výsledníc spojito rozložených zaťažení a vzdialenosti ich nositeliek vzhľadom na bod A sú (obr. B)
.m66,4
32N100
2
m,32
N200
22
11
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +===
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +===
llxql
Q
llxqlQ
Q
Q
(a)
Sily F, Q1 a Q2 tvoria rovnobežnú rovinnú silovú sústavu, pre ktorú možno napísať dve rovnice základného nahradenia v zvolenom súradnicovom systéme
.:
,:
2Q21Q1RAA
21
xQxQRxMM
QQFRFR
i
i
−−=−=
−−−=−=
∑∑ (b)
Po úprave z rovníc (b) vyplýva
.m,,....
N,
QQR 590
18006641003200
18001002001500
2211
21
=+
=+
=
=++=++=
RxQxQ
x
QQFR
x y
+
F
xQ1
Q1 Q2
xQ2
R
xR
A
q
F
l l/2
Q1 Q2
l/2
l/3 2l/3
q
F
l l l
19
Príklad 1.14
Sila F pôsobí na profil v bode A. Nahraďte túto silu ekvivalentnou silou a momentom v bode C.
Dané: a = 40 mm; b = 96 mm; c = 48 mm; F = 1300 N
Výsledok: Rx = 347,4 N ( ); Ry = 1252,7 N ( ); MC = 16,757 Nm (É)
Príklad 1.15
Určte výslednicu R danej silovej sústavy a výšku h nad bodom B, v ktorej leží nositeľka výslednice.
Dané:
l = 600 mm; F1 = 250 N; F2 = 300 N; F3 = 650 N
Výsledok: R= 100 N; h = 0,9 m
Príklad 1.16
Určte výsledný moment silovej sústavy pôsobiacej na pevnú konštrukciu podľa obrázka vzhľadom na bod 0. Prierezy a hmotnosti jednotlivých častí konštrukcie možno zanedbať.
Dané: a = 0,3 m; b = 0,4 m; l = 0,6 m; r = 0,25 m; F1 = 600 N; F2 = 350 N; q = 45 N/m; α = 45°
Výsledok: M0 = − 129,82 i – 82,2 j + 35,67 k F1
F2 q
r
l
a
b α
z x
y
0
F1
F2
F3 l
l
l
B
a
c
b
b
A
C
B
F
20
1.3 ŤAŽISKO HMOTNÝCH OBJEKTOV Ťažisko hmotného objektu je možné chápať ako stredisko rovnobežných gravitačných síl viazaných k jeho jednotlivým elementom. Do tohto bodu – strediska je sústredená hmotnosť celého telesa, pričom posuvný a otáčavý účinok sa vzhľadom na okolie nezmení.
Obr. 1.7 Obr. 1.8
Pre posuvný účinok platí ( )∫G
GG d= (1.19)
a pre otáčavý účinok platí ( )∫ ××G
GrGr d=T , (1.20)
kde G = mg je tiažová sila pôsobiaca v ťažisku telesa, g je tiažové zrýchlenie. Ťažisko je teda bod, ktorého polohový vektor, resp. jeho súradnice sú vyjadrené v tvare
∫
∫=
)(
)(T
d
d
m
m
m
mr
r , resp. ∫
∫
∫
∫
∫
∫===
)(
)(T
)(
)(T
)(
)(T
d
d
,d
d
,d
d
m
m
m
m
m
m
m
mz
zm
my
ym
mx
x . (1.21)
Ťažisko osovo-symetrických telies leží na osi symetrie. Ťažisko stredovo-symetrických telies leží v strede symetrie. Pre homogénne spojité telesá je elementárna hmotnosť vyjadrená v tvare dm = ρdV, pre homogénne plošné útvary konštantnej hrúbky - h: dV = hdS, pre jednorozmerné homogénne útvary konštantného prierezu - S: dV = Sdl, kde ρ je hustota, V je objem príslušného telesa, S je plocha príslušného útvaru, l je dĺžka príslušného útvaru. Podľa tvaru objektu, ktorého poloha ťažiska je hľadaná, sa vzťahy (1.21) upravia. Polohový vektor ťažiska diskrétnej sústavy hmotných útvarov, resp. jeho súradnice majú tvar
∑
∑
=
== n
ii
n
iii
m
m
1
1T
rr , resp.
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
= === n
ii
n
iii
n
ii
n
iii
n
ii
n
iii
m
mzz
m
myy
m
mxx
1
1T
1
1T
1
1T ,, , (1.22)
G
G1
Gi
Gn
0 x
y
z
ri rn
r1
rT
z
dG r
rT x
y
0 m
dm
m
G
21
kde n je počet hmotných útvarov, ktoré tvoria danú sústavu.
Pappus-Guldinove vety Pappus-Guldinove vety slúžia na výpočet veľkosti povrchu, resp. objemu rotačne symetrického telesa. 1.veta: Plochu povrchu vytvoreného rotáciou tvoriacej krivky dĺžky l okolo pevnej osi rotácie ležiacej v rovine krivky (obr. 1.9) možno vypočítať zo vzťahu lxS Τα= , (1.23) kde xT je vzdialenosť ťažiska rotujúcej krivky dĺžky l od pevnej osi, α je veľkosť uhla (v radiánoch) rotácie krivky okolo danej osi. Veľkosť súčinu Τ α x je dráha, ktorú vykonalo ťažisko krivky pri rotácii okolo osi rotácie.
Obr. 1.9
2.veta: Objem rotačne symetrického telesa vzniknutý rotáciou plochy S okolo pevnej osi ležiacej v jej rovine (obr. 1.10) a jeho veľkosť je možné vypočítať zo vzťahu SxV Τα= , (1.24) kde xT je vzdialenosť ťažiska rotujúcej plochy S od pevnej osi, α je veľkosť uhla (v radiánoch) rotácie plochy okolo danej osi. Veľkosť súčinu Ταx je dráha, ktorú vykonalo pri rotácii ťažisko plochy.
Obr. 1.10
xT y
l
x 0
l
x 0
α y
S
y
xT
x
S T
0
y
xT
x
S
0
V
α
22
Príklad 1.17 Vypočítajte súradnice ťažiska: 1. kruhového oblúka (obr. A) 2. kruhového výseku (obr. B). Dané: R; α1; α2
Obr. A
Obr. B
Obidva geometrické útvary - kruhový oblúk aj kruhový výsek je možné vo všeobecnosti považovať za spojité útvary, ktoré sú definované v rovine. Z toho vyplýva, že poloha ťažísk oboch útvarov je definovaná dvoma súradnicami xT a yT. Súradnica zT je nulová. Na výpočet ťažísk sú vybraté príslušné elementy dl (obr. A), resp. dS (obr. B).
Kruhový oblúk Kruhový výsek Vzťahy na výpočet súradníc ťažiska:
∫
∫=
)(
)(
l
lT
dl
xdl
x ; ∫
∫=
)(
)(
l
lT
dl
ydl
y ,
kde pre oblúk platí
,sin,cos ϕ=ϕ= RyRx
.ϕ= Rddl
Vzťahy na výpočet súradníc ťažiska:
∫
∫=
)(
)(
S
ST
dS
xdS
x ; ∫
∫=
)(
)(
S
ST
dS
ydS
y ,
kde pre výsek platí
,sin32,cos
32
ϕ=ϕ= RyRx
.2
2ϕ= dRdS
Súradnice tažiska oblúka
12
12
2sinsincos
2
1
2
1
α−αα−α
=ϕ
ϕϕ=
∫∫
α
α
α
α RRd
dRxT ,
12
21
2coscossin
2
1
2
1
α−αα−α
=ϕ
ϕϕ=
∫∫
α
α
α
α RRd
dRyT .
Súradnice tažiska výseku
12
12
2
232
32
2
1
2
2
1
2
α−αα−α
=ϕ
ϕϕ=
∫
∫α
α
α
α sinsincosR
d
dRx
R
R
T ,
12
21
2
232
32
2
1
2
2
1
2
α−αα−α
=ϕ
ϕϕ=
∫
∫α
α
α
α coscossinR
d
dRy
R
R
T .
Uvedené vzťahy majú všeobecnú platnosť. Sú použiteľné na výpočet súradníc ťažísk ľubovoľného kruhového oblúka (kruhového výseku) s polomerom R, vzhľadom na stred
R
xT
y
α1 α2
dϕ
dl l
ϕ
x
yT T
R
x
y
α1 α2
dl
ϕ
dS dϕ
T
xT
yT
23
oblúka (výseku). Uhly α1 a α2 sú orientované uhly od kladného smeru osi x proti smeru hodinových ručičiek. Uhol α1 reprezentuje uhol, pri ktorom oblúk (výsek) začína a α2 je uhol, pri ktorom oblúk (výsek) končí. Príklad 1.18 Pre rovinný plošný útvar vypočítajte statické momenty k osiam x, y a polohu ťažiska. Dané: a = 30 mm; b = 90 mm; R= 30 mm; r = 20 mm
Rovinný plošný útvar je vytvorený sčítaním plôch obdĺžnika, trojuholníka, polkruhu a odčítaním plochy kruhu. V zvolenom súradnicovom systéme sú vypočítané veľkosti jednotlivých plôch a súradnice ich ťažiska, výsledky sú uvedené v tabuľke 1.
Tabuľka 1.1
Č. plochy Si [mm2] xTi [mm] yTi [mm] Uxi [mm3]* Uyi[mm3]**
1 90.60 = 5400 30 45 243 000,00 162 000
2 (60.30)/2 = 900 20 - 10 -9 000,00 18 000
3 π 30 2 /2 = 1413,7 30 102,7 145 186,99 42 411
4 π 20 2 = - 1256,64 30 90 -113097,60 -37 699,2
Σ = 6457,06 266 089,39 184711,8
* Uxi – statický moment i-tej plochy k osi x: Uxi = yTi Si.
** Uyi – statický moment i-tej plochy k osi y: Uyi = xTi Si.
Statické momenty daného rovinného plošného útvaru k osiam x, y sú:
.mm8,184711U
,mm39,266089U3
3
==
==
∑∑
yiy
xix
U
U
Súradnice ťažiska celého plošného útvaru sú určené zo vzťahov (1.22) pre dvojrozmerné teleso, t.j.
[mm].2,4106,645739,266089
[mm],6,2806,6457
8,184711
T
T
===
===
∑∑∑∑
i
xi
i
yi
S
Uy
S
Ux
2R x
y
0 a
r
b
− a/3
2R/3
R
x
y
b/2 T1
0
+
T2
0x
y
y3
0
R
x
y
T3
x
y
b
0
T4
R = + −
24
Pri výpočte súradníc ťažiska polkruhu (plocha 3) je potrebné využiť vzťahy (1.21) upravené pre dvojrozmerné telesá (obr. A).
Obr. A
ϕ=ϕ=ϕ=
sinρcosρ
ρρdd
yx
dS
( )
( )
( )
( )
.34
2
ddρsinρ
d
d
,0
2R
ddρcosρ
dS
xdS
20 0
2
T
20
R
0
2
T
π=
π
ϕϕ
==
=π
ϕϕ
==
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
π
π
RRS
Sy
y
x
R
S
S
S
S
Príklad 1.19 Vypočítajte polohu ťažiska objemového útvaru. Dané: l =60 mm; h = 25 mm; R = 15 mm; r = 8 mm; t1 = 10 mm; t2 = 8 mm
Objemový priestorový útvar je vytvorený z konečného počtu jednoduchých objemových útvarov a je vytvorený sčítaním objemov dvoch kvádrov + , objemu polovice valca , a odčítaním objemu valca . V zvolenom súradnicovom systéme sú vypočítané veľkosti jednotlivých objemov a súradnice ich ťažísk, ktoré sú uvedené v tabuľke 1.
ρ
x
y
R dS
dρ
ϕ
dϕ
0
t1
h
2R z
x
y
t1
h
z x
y R
t1
h
r
z x
y
l
t1 t2
x
z
y
2R
l
t1 t2
h
R r
z
x
y
25
Tabuľka 1.2
P.č. Vi [mm3]
xTi [mm]
yTi [mm]
zTi [mm]
1 =π− 12tr −2010,62 =2
1t 5 =h 25 =− R −15
2 =π 12
21 tR 3534,29 =2
1t 5 =+ π34Rh 31,36 =− R −15
3 =12Rht 7500,0 =21t 5 =2
h 12,5 =− R −15
4 =22Rlt 14400,0 =+ 21lt 40 =2
2t 4 =− R −15
∑ == iVV 23423,67
Výpočet súradníc ťažiska vzhľadom na zvolený súradnicový systém:
• smer osi x: 52,264321
44332211
4
1 =+++
+++==
∑=
VVVVVxVxVxVx
V
Vxx i
ii
T mm,
• smer osi y: 1894321
44332211
4
1 ,=+++
+++==
∑=
VVVVVyVyVyVy
V
Vyy i
ii
T mm,
• smer osi z: 0,154321
44332211
4
1 −=+++
+++==
∑=
VVVVVzVzVzVz
V
Vzz i
ii
T mm.
Príklad 1.20 Vypočítajte objem a celkový povrch trojrozmerného telesa pomocou Pappus-Guldinových viet. Dané: a =20 mm; b = 30 mm; c = 35 mm; d = 40 mm; h = 40 mm
Pre určenie veľkosti objemu daného telesa je potrebné poznať veľkosť plochy, ktorá rotuje okolo osi y a x-ovú súradnicu jej ťažiska. Veľkosť plochy lichobežníka je vypočítaná zo vzťahu
2mm1400402
40302
=+
=+
= hdbS
a pre x-ovú súradnicu ťažiska platí
∑
∑=i
iTiT S
Sxx . (a)
ba
y
0 x
c d
h S
xT T
b a
y
0
z x
c d
h
26
Danú plochu vytvoríme z troch plôch, od obdĺžnika odpočítame dva pravouhlé trojuholníky. Pre prehľadnosť údaje potrebné do vzťahu (a) udáva tabuľka 1.3.
Tabuľka 1.3
Č. pl. xTi [mm] Si [mm2] xTi Si [mm3]
2acda −++ (d + c − a)h
1 47,5 2 200
104 500
3aca −+ 2
)( hac− 2
25 − 300 − 7 500
nba 32++
2nh
3 66,66 − 500
− 33 330
xT = 45,45 mm Σ 1 400 63 670
Objem telesa vzniknutý rotáciou danej plochy je
3400063140048452 mm.,. =π= α= Τ SxV .
Na určenie veľkosti povrchu daného telesa potrebujeme poznať veľkosť krivky, ktorá rotuje okolo osi y a x-ovú súradnicu jej ťažiska.
Tabuľka 1.4
P.č. xTi [mm] li [mm] xTili [mm2]
2aca −+ 22 )( ach −+
1 27,5 42,72
1174,8
2dc + d
2 55 40
2 200
2nba ++ 22 nh +
3 62,5 47,17
2 948,13
2ba + b
ba
y
0 x
c d
h
S
xT T
1
3
2
4
n = c+ d − a − b 4
35 30 1 050
Σ 159,89 7372,93
Pre x-ovú súradnicu ťažiska krivky platí (viď. tabuľka 1.4): mm,1146==∑
∑i
iTiT l
lxx .
Povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou danej krivky je 2891592 mm46323,.46,11. =π= α= Τ lxS .
b a
y
0 x
c d
h
S
xT
T
1
2
3
n = c+ d − a − b
n
27
Príklad 1.21 Vypočítajte polohu ťažiska podložky konštantnejhrúbky vzhľadom na zvolený súradnicový systém.
Dané: r = 2 mm, R = 8 mm, l = 5 mm, d1 = 4 mm, d2 = 3 mm, h1 = 5 mm, h2 = 12 mm Výsledok: xT = 18 mm; yT = 8,34 mm.
Príklad 1.22
1. Vypočítajte veľkosť povrchu plášťa S útvaru, ktorý vznikol rotáciou danej krivky okolo osi y o uhol α.
2. Vypočítajte objem V a hmotnosť m útvaru, ktorý vznikol rotáciou danej plochy okolo osi y o uhol α. Pri riešení aplikujte Pappus-Guldinove vety.
Dané: r = 30 mm; h1 = 70 mm; α = 270°; h2 = 80 mm; ρ = 7850 kg.m-3 Výsledok: 1. xT = 40,74 mm; ∑li = 362,56 mm; S = 695,76 cm2 2. xT = 33,08 mm; ∑Si = 64,07 mm2; V = 0,998 dm3; m = 7,84 kg.
x
y
r r
r
h1
h2
α
l l R
2R
d2
h1
h1
R
h2
d1 d2
2r 2r
x
y
28
ŤAŽISKÁ VYBRANÝCH LINEÁRNYCH, PLOŠNÝCH A OBJEMOVÝCH
ÚTVAROV Tabuľka 1.5
Útvar Geometrický tvar xT yT l / S / V
štvrťkružnica rπ2 r2
π
polkružnica
0 rπ
2 rπ
výsek z kružnice
ααsinr 0 rα2
trojuholníková plocha
b32 h3
1 bh21
štvrťkruhová plocha
rπ34 2
4 rπ
polkruhová plocha
0
rπ3
4
22 rπ
štvrťelipsová plocha
aπ34 ab4
π
polelipsová plocha
0 bπ3
4 ab2
π
kruhový výsek
αα
3sin2r 0 2rα
polguľa
r83 0 3
32 rπ
kužeľ
hr 2
31 π
ihlan
h41 0
abh31
0 T T yT
0 xT
r r
0
r T
xT
b
T
xT
0
h h
a
0
xT
r
α α 0
xT
r
Τ
0 T yT
0 xT a
T b
a
TyT
xT b
h
0
α α 0
xT
r
Τ
0
T T yT
0 xT
r r
29
1.4 ROVNOVÁHA HMOTNÝCH OBJEKTOV
Hmotný objekt v rovine alebo v priestore môže byť: voľný - nezviazaný s inými objektmi, viazaný - zviazaný s inými objektmi prostredníctvom väzieb.
Stupne voľnosti hmotného objektu - počet nezávislých parametrov jednoznačne definujúcich polohu objektu. Zároveň vyjadrujú počet jeho možných nezávislých pohybov (posunutí, otočení).
Väzby - konštrukčné prvky viažuce objekt na základný rám (vonkajšie väzby) alebo na iné objekty (vnútorné väzby), ktoré s ním vytvárajú sústavu objektov. Väzby zabraňujú niektorým pohybom objektu - znižujú jeho pohyblivosť. V smeroch, v ktorých väzby obmedzujú pohyb objektu, vznikajú väzbové reakcie. Väzbové reakcie sú sily, ktoré sú vypočítané z rovníc rovnováhy silových sústav pôsobiacich na hmotný objekt.
Nahrádzanie väzieb viazaných hmotných objektov väzbovými reakciami nazývame metódou uvoľnenia. Na uvoľnený hmotný objekt pôsobí sústava síl, ktorú reprezentujú zaťažujúce sily a príslušné väzbové reakcie.
Väzbovú závislosť viazaného objektu n vypočítame zo vzťahu:
n = nv − no, (1.25)
6,...2,1,1
== ∑=
jjrnn
jjo ,
kde n je počet stupňov voľnosti viazaného hmotného objektu, nv - počet stupňov voľnosti voľného hmotného objektu, no - počet stupňov voľnosti odobratých väzbami (vnútornými alebo vonkajšími), j - počet stupňov voľnosti, ktoré odoberá príslušná väzba, rj - počet väzieb odoberajúcich j stupňov voľnosti.
Pri riešení môžu nastať prípady:
n = 0 - úloha je staticky určitá a tvarovo určitá Statická určitosť - jednoznačné matematické riešenie - je možné zostaviť presne toľko rovníc rovnováhy, koľko je neznámych väzbových reakcií. Tvarová určitosť - pohyblivosť objektu - pre n = 0 objekt je nepohyblivý, väzbami sú odobraté všetky stupne voľnosti pohybu objektu.
n > 0 - úloha je staticky preurčená a tvarovo neurčitá Statická preurčenosť - je možné zostaviť viacej rovníc rovnováhy, ako je neznámych väzbových reakcií. Tvarová neurčitosť - objekt sa môže pohybovať.
n < 0 - úloha je staticky neurčitá a tvarovo preurčená Statická neurčitosť - je možné zostaviť menej rovníc rovnováhy, ako je neznámych väzbových reakcií. Tieto úlohy sa nedajú metódami statiky riešiť. Dajú sa riešiť pridaním deformačných podmienok k podmienkam rovnováhy. Tvarová preurčenosť - objekt sa nemôže pohybovať - väzby odoberajú viacej stupňov voľnosti, ako je potrebné.
30
POČET STUPŇOV VOĽNOSTI VOĽNÝCH HMOTNÝCH OBJEKTOV A ZODPOVEDAJÚCA SILOVÁ SÚSTAVA PÔSOBIACA NA OBJEKT Tabuľka 1.6
Hmotný objekt nv
Možné pohyby n Silová sústava Rovnice rovnováhy
bod v rovine 2
2 posunutia
∑=
=
−=2
1
2
jjo
o
jrn
nn
centrálna rovinná
silová sústava
(CRSS) ∑∑
==
00
iy
ix
FF
bod v priestore 3
3 posunutia
∑=
=
−=3
1
3
jjo
o
jrn
nn centrálna priestorová
silová sústava
(CPSS) ∑∑∑
=
==
0
00
iz
iy
ix
F
FF
teleso v rovine 3
2 posunutia 1 otočenie
∑=
=
−=3
1
3
jjo
o
jrn
nn všeobecná rovinná
silová sústava
(VRSS) ∑∑∑
=
==
0
00
0i
iy
ix
M
FF
teleso v priestore 6
3 posunutia 3 otočenia
∑=
=
−=6
1
6
jjo
o
jrn
nn všeobecná priestorová
silová sústava
(VPSS)
∑∑∑
=
=
=
0
0
0
iz
iy
ix
F
F
F
∑∑∑
=
=
=
0
0
0
iz
iy
ix
M
M
M
x
y
z
x
y
x
y
z
x
y
31
NIEKTORÉ DRUHY ROVINNÝCH VÄZIEB A ICH NAHRADENIE
VÄZBOVÝMI REAKCIAMI Tabuľka 1.7
Druh väzby Zobrazenie väzby Uvoľnenie telesa
Počet odobratých stupňov voľnosti
Neznáme väzbové reakcie
lano, prút
j = 1 N
sila pôsobí iba v smere osi lana, prúta
voľné opretie dotyková väzba (hladký povrch)
j = 1 N
sila má smer normály ku kontaktnému povrchu
voľné opretie dotyková väzba (drsný povrch)
šmyková j = 1 N, T = fN
f - faktor šmykového trenia
valivá j = 2 N , T
posuvná väzba krátka objímka (hladký povrch)
j = 1 N
N - sila v smere normály ku kontaktnému povrchu
posuvný rovinný rotačný
kĺb
j = 1 N
sila má smer normály ku kontaktnému povrchu
rovinný rotačný kĺb
j = 2 Rx, Ry
náhrada dvoma zložkami - napr. Rx, Ry
posuvná väzba kulisa
(hladký povrch)
j = 2 N, M
N - normálová sila, M - moment zabraňujúci otáčaniu v rovine väzby
votknutie pevné spojenie
j = 3 Rx, Ry, M
Rx - axiálna sila Ry - priečna silu
M - moment zabraňujúci otáčaniu v rovine väzby
zvar schematickáznačka
schematická značka
schematická značka
T
R
N
normála
kulisa
schematická značka
normála
krátka objímka
schematická značka
α
N
α
lano, prút
Ndotyčnica
normála
dotyčnica
normála
Ry
Rx
R
N
Rx
Ry
M
normála
N
normála
N
M
32
NIEKTORÉ DRUHY PRIESTOROVÝCH VÄZIEB A ICH NAHRADENIE VÄZBOVÝMI REAKCIAMI Tabuľka 1.8
Druh väzby Zobrazenie väzby Uvoľnenie telesa
Počet odobratých stupňov voľnosti
Neznáme väzbové reakcie
voľné opretie dotyková väzba (hladký povrch)
j = 1 N
sila má smer normály ku kontaktnému povrchu
valec alebo koleso s bočnou väzbou
(koleso-koľajnica)
j = 2 N, P
N - sila v smere normály ku kontaktnému povrchu
P - bočná reakcia kolmá na rovinu kolesa
radiálne ložisko (tzv. krátke
vedenie)
j = 2 Ry , Rz
väzba zabraňuje pohybu v rovine kolmej na os
náhrada dvoma zložkami - napr. Ry, Rz
22yy RRR +=
priestorový sférický kĺb
3 Rx , Ry , Rz
náhrada tromi zložkami - napr. Rx, Ry, Rz
radiálno-axiálne naklápacie ložisko
3 Rx , Ry , Rz
náhrada tromi zložkami - napr. Rx, Ry, Rz
votknutie (pevné spojenie)
6 Rx , Ry , Rz , Mx , My , Mz
Rx - axiálna sila Ry , Rz - priečne radiálne sily
Mx , My , Mz - momenty zabraňujúce rotácii okolo
súradnicových osí
x
Ry
Rz
y z
x
schematická značka
y
x
y
z
x
Rx
Ry
Rz
x
y
z x
y
z N
x
y
z
x
y
z N
P
x
y
z
x
y
zRx
Ry
Rz
M x
My
Mz
Rx
Ry
Rz
y
z x
33
Príklad 1.23 Objímka hmotnosti m je vedená po šikmej dokonale hladkej tyči. V rovnovážnej polohe je objímka držaná lanom vedeným okolo dokonale hladkého kolíka v bode A. Vypočítajte silu v lane a reakciu od tyče vzhľadom na objímku. Dané: m = 2 kg; α = 30°; β =45 °
Obr. A
Rozmery objímky sú zanedbané. Na základe toho môže byť objímka nahradená hmotným bodom A (obr. A). Na objímku pôsobí tiažová sila, ktorej veľkosť je
G = mg = 2 kg . 9,81 m.s-2 = 19,62 N.
Rozbor väzieb, v ktorých je objímka uložená - lano odoberá objímke 1 stupeň voľnosti pohybu a medzi objímkou a tyčou je väzba odoberajúca taktiež 1 stupeň voľnosti pohybu. Podľa vzťahu (1.25) je určená statická určitosť
0)0.30.22.1(23
1=++−=−=−= ∑
=jjvov jrnnnn ,
t.j. úloha je staticky aj tvarovo určitá.
Vzhľadom na silové účinky možno konštatovať, že na objímku pôsobí v bode A centrálna rovinná silová sústava. Metódou uvoľnenia sú väzby odstránené a nahradené príslušnými väzbovými reakciami. Väzbové reakcie sú sily, ktorých veľkosť hľadáme. Orientácia neznámych väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne. Rovnice rovnováhy pre CRSS (obr. A)
.0coscos:0
,0sinsin:0
21
2
=−α−β+=
=β−α=
∑∑
GRNNF
NRF
iy
ix
Keďže medzi kolíkom a lanom je dokonale hladká väzba, pre veľkosti síl v lane platí: N1 = N2.
N.,sin
sin
N,,
tgsincos
5257
67401
2
21
=α
β=
=
αβ
−β+==
NR
GNN
α
G
A ≡ 0
α
β
R
N1
N2
x
y
m A
α
β
34
Vzhľadom na kladné znamienka vo výsledkoch vyplýva, že orientácia väzbových reakcií bola zvolená správne. Príklad 1.24 Doska trojuholníkového tvaru je zavesená pomocou troch lán na háku podľa obrázka. Tiažová sila dosky pôsobí v bode 0. Vypočítajte sily v lanách. Dané: G = 3,6 kN; a = 0,8 m; b = 1,6 m; c = 2,4 m
Obr. A
Obr. B
Pomocou metódy uvoľňovania sú účinky lán nahradené väzbovými reakciami, ktorých nositeľky sú totožné s osami lán, pričom orientácie síl - väzbových reakcií sú ľubovoľne zvolené. Nositeľky všetkých síl (N1, N2, N3, G) sa pretínajú v bode D (obr. A), čiže tvoria centrálnu priestorovú silovú sústavu. Každú silu rozložíme do príslušných zložiek v smere osí x, y, z. Potrebné uhly sú vyjadrené z geometrie (obr. B)
cb
=γtg ,69,33arctgγ °==⇒cb
c
22 aaαtg += ,24,25aaarctgα
22°=
+=⇒
c
N1x
N1z N1xz
. β
G
x
z
a
a
a b
D
0
N1 N2
N3
N3y
N3x
γ
N1x
N1y
N1z .
α
y
x
y D
0
N2
z
N2y
N2x N2z
G
x A
y
z
a
a
a b
B
C
D
c
0
N1 N2
N3
G
x
A
y
z
a
a
a b
B
C
D
c
0
35
aa
=βtg .451 arctgβ °==⇒
Sily v lanách sú vypočítame z rovníc rovnováhy.
,0:0
,0:0
,0:0
21
321
321
∑∑∑
=+−=
=−+++=
=−++=
zziz
yyiy
xxxix
NNF
GyNNNF
NNNF
.0sinβ)sinα(sinβ)sinα(:
,0γcosαcosαcos:,0sinγβcos)sinα(βcos)sinα(:
21
321
321
=+−=−++
=−+
NNzGNNNy
NNNx
(c)(b)(a)
Riešením sústavy rovníc (a, b ,c) dostaneme
N1 = N2 = 1326,65 N; N3 = 1442,22 N.
Vzhľadom na kladné znamienka vo výsledkoch vyplýva, že orientácia síl v lanách bola zvolená správne. Laná sú namáhané ťahom. Príklad 1.25 Tuhá konštrukcia je upevnená k základovému rámu pomocou rovinného rotačného kĺbu (bod A) a posuvného rovinného rotačného kĺbu (bod B). Konštrukcia je zaťažená rovnomerným spojitým zaťažením q, sústredenou silou F a momentovým účinkom M. Posúďte statickú určitosť daného objektu a vypočítajte väzbové reakcie v bodoch A a B. Dané: F = 10 kN; α = 30°; h = 3 m; l1 = 1 m; l2 = 2,5 m; M = 20 kNm; q = 5 kNm-1
Obr. A Obr. B Rovinný rotačný kĺb v bode A odoberá rámu 2 stupne voľnosti pohybu, posuvný rovinný rotačný kĺb v bode B odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu (obr. A). Statická určitosť pre dané teleso v rovine je
0)0.31.21.1(333
1=++−=−=−= ∑
=jjov jrnnn .
Úloha je staticky a tvarovo určitá. Metódou uvoľnenia sú odstránené väzby a zároveň sú nahradené príslušnými väzbovými reakciami (obr. B). Orientácia väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne. Na uvoľnené teleso pôsobí všeobecná rovinná silová sústava, pre ktorú je možné zostaviť tri rovnice rovnováhy.
M
A
B
q F
h
l1 l2
α −1°
−2°
M
q F
h
l1 l2
α
Fx
Fy
Q
B
Ax
Ay
xQ
x
y ⊕
M
A
B
q F
h
l1 l2
α
36
V súlade so zvoleným súradnicovým systémom je zaťažujúca sústredená sila rozložená na zložky Fx a Fy, pre ktoré platí α= cosFFx , α= sinFFy . (a) Spojité zaťaženie nahrádzame sústredenou silou, ktorej pôsobisko je v ťažisku plochy spojitého zaťaženia a veľkosť sily sa rovná veľkosti plochy spojitého zaťaženia
22
Ql
x = , 2.lqQ = . (b)
Rovnice rovnováhy sú
.:
,:
,:
A∑∑∑
=+−+−=
=−−=
=−+=
00
00
00
212 MQlFhFhBM
QFAF
BFAF
lyxi
yyiy
xxix
(c)
Po úprave rovníc (c) a dosadení zadaných hodnôt a vzťahov (a), (b) získavame
kN.12,3
kN,5,17
kN,54,5122
−=−=
=+=
=+−+−
=
xx
yy
xyl
FBA
QFAh
hFlFQMB
(d)
Kladné znamienko vo výsledkoch znamená, že voľba orientácie reakcie bola správna. Záporné znamienko vo výsledku znamená, že orientácia sily bola zvolená nesprávne a reakcia v skutočnosti pôsobí opačne (prípad reakcie Ax). Veľkosť výslednej reakcie A podľa (1.3) je:
( ) kN7817517123 2222 ,,,AAA yx =+−=+= .
Smerový uhol αA nositeľky výslednej reakcie A na základe skutočnej orientácie zložiek Ax, Ay v zvolenom súradnicovom systéme leží v druhom kvadrante:
°=⇒−=−
== 37100α1807817123αcos AA ,,
,,
AAx .
Príklad 1.26 Votknutý zakrivený nosník je zaťažený podľa obrázka. Posúďte statickú určitosť daného objektu a vypočítajte väzbové reakcie vo votknutí (bod A).
Dané: F = 500 N; α = 45°; h = 3 m; r = 1 m; M = 100 Nm; q = 200 Nm-1
Obr. A Obr. B
M
A
q
F
h r
α
r
M
A
q
F
h r
α
r
−3 x
y ⊕
M q
F
2h/3
r
α
r h/3 Q
Ax
Ay MA
Fx
Fy α
37
Votknutie v rovine odoberá objektu 3 stupne voľnosti pohybu (obr. A). Väzbová závislosť pre teleso v rovine je daná nasledovne:
0)1.30.20.1(333
1=++−=−= ∑
=jjjrn .
Úloha je staticky určitá. Nosník uvoľníme tak, že votknutie odstránime a nahradíme ho príslušnými väzbovými reakciami (orientácia väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne). Na nosník pôsobí všeobecná rovinná silová sústava. V súlade so zvoleným súradnicovým systémom je zaťažujúca sústredená sila rozložená na zložky Fx a Fy, pre ktoré platí: α= cosFFx , α= sinFFy . (a)
Spojité zaťaženie nahrádzame sústredenou silou 2
qhQ = . (b)
Rovnice rovnováhy potom sú
.0)cos()sin(:0
,0:0
,0:0
32
A∑∑∑
=−α+−α++−=
=−=
=+−−=
hQrrFrhFMMM
FAF
QFAF
yxAi
yyiy
xxix
(c)
Dosadením vzťahov (a), (b) a zadaných hodnôt do rovníc (c) sú väzbové reakcie Nm1,7MN;6,353N;6,53 A −=+=−= yx AA . Väzbová reakcia Ax v skutočnosti pôsobí opačne. Veľkosť výslednej reakcie v bode A
N6,357)6,353()6,53( 2222 =+−=+= yx AAA .
Smerový uhol αA nositeľky výslednej reakcie A na základe skutočnej orientácie zložiek Ax, Ay v zvolenom súradnicovom systéme leží v prvom kvadrante
o62981506357653 ,,
,,cos =α⇒−=
−==α A
xA A
A.
Príklad 1.27 Bremeno hmotnosti m je pomocou lana vedeného cez dokonale hladkú kladku, prichyteného k tuhému nosníku v bode C. Nosník je zaťažený silou F a uložený vo väzbách v bodoch A a B. (väzba A - posuvný rovinný rotačný kĺb, väzba B - štíhla tyč - prút). Posúďte statickú určitosť daného nosníka a vypočítajte väzbové reakcie.
Dané: F = 3 500 N; α = 50°; l1 = 0,4 m; l2 = 0,6 m; l3 = 0,9 m; m = 70 kg
A B
F
l1 l2
α
l3
C
α
α α m
A B
F
α
α
α
α
C RA RB
N
N N
G
N
m
x
y ⊕
l1 l2 l3
38
Posuvný rovinný rotačný kĺb (bod A) a tyč (bod B) odoberajú po jednom stupni voľnosti pohybu. V osi lana (v bode C) pôsobí vzhľadom na hladkú kladku sila, ktorej veľkosť je rovnaká ako tiažová sila pôsobiaca na bremeno (N = G = mg = 686,7 N). Statická určitosť pre teleso v rovine je daná nasledovne
1)0.30.22.1(333
1=++−=−= ∑
=jjjrn .
Z výsledku vyplýva, že úloha je staticky preurčená. Silová sústava, ktorá pôsobí na tuhý nosník, je rovnobežná rovinná silová sústava, pre ktorú platia dve rovnice rovnováhy. Vzhľadom na typ silovej sústavy je teleso v rovnováhe. Z toho vyplýva, že dve silové rovnice rovnováhy vzhľadom na typ silovej sústavy možno zapísať len pomocou jednej rovnice rovnováhy.
0,αcosαcosαcosαcos:0
0,αsinαsinαsinαsin:0
BA
BA
=++−=
=++−=
∑∑
RNFRF
RNFRF
yi
xi
0.:0 BA =++−+=
⇓
∑ RNFRFi (a)
Momentová rovnica rovnováhy vzhľadom na bod B:
0αcosαcosαcos)l(l:0 32A21B =+++−=∑ NlFlRM . (b)
Riešením sústavy dvoch rovníc (a, b) s dvoma neznámymi získame veľkosti reakcií N27,59N;2718,03 BA +=+= RR . Výpočtom boli získané kladné znamienka pri väzbových reakciách, čo znamená, že ich orientácia bola zvolená správne. Tyč v bode B je namáhaná tlakom. Príklad 1.28 Lomený hriadeľ je pripevnený k rámu radiálnym ložiskom (B), radiálno-axiálnym ložiskom (A) a prútom (C) ležiacim v osi rovnobežnej s osou x. V bode D je na hriadeľ pripevnená doska s rozmermi h×h×d. Os hriadeľa prechádza stredom dosky. Vypočítajte veľkosti väzbových reakcií, ak je hriadeľ zaťažený danou sústavou síl. Tiaž hriadeľa a dosky neuvažujte. Dané: F1 = 15 kN; F2 = 13 kN; Q1 = Q2 = Q = 10 kN; α = 20°; β = 30°; γ = 70°, a = 0,5 m; c = 0,25m; d = 0,1m; h = 0,4m; l = 1,2 m; α, β, γ sú smerové uhly nositeľky sily F2 so súradnicovými osami x, y, z
Obr.A
D
C Ax
h
a
c
d
h
a
z
y
xγ
β
α
F2F1
Q1
Q2
l
DAy
Az
Bx
By
Dm
B
C
A h
a
c
d
h
a z
y
x
γ
β
αF2
F1
Q1
Q2
l
D
39
Radiálne ložisko (B) odoberá dva stupne voľnosti pohybu, radiálno-axiálne (A) tri stupne voľnosti a prút (bod C) jeden stupeň voľnosti pohybu. Statická určitosť pre teleso v priestore
0)1.31.21.1(666
1=++−=−= ∑
=jjjrn .
Úloha je staticky aj tvarovo určitá. Po uvoľnení sú účinky väzieb nahradené zodpovedajúcimi väzbovými reakciami (obr. A). Rovnice rovnováhy pre všeobecnú priestorovú silovú sústavu pôsobiacu na uvoľnený objekt v zvolenom súradnicovom systéme 0αcos:0 2 =+++=∑ CABFF xxix , (a)
0cos:0 12 =+−+β=∑ yyiy AFBFF , (b)
0)(cos:0 122 =−++γ=∑ QQAFF ziz , (c)
0A)()(:0 1 =++−−++−=∑ hQclFaclcBM yyix , (d)
0.)()(γcos:0 2 =+++−+++−=∑ hQAclCaclcBaFM xxiy , (e)
0-βcos:0 2122 =+=∑ CFaFM hhiz . (f)
Sily Q1 a Q2 tvoria silovú dvojicu. Posuvný účinok je nulový a otáčavý možno vyjadriť nasledovným momentom silovej dvojice jiM hQhQ +=Q .
Veľkosť momentu sa rovná súčinu veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositeliek
222 QhhhQM Q =+= .
Riešením rovnice (f): C = −13,146 kN. Riešením rovnice (c): Az = −4,446 kN. Riešením rovníc (b, d): Ay = +14,429 kN; By = −10,687 kN. Riešením rovníc (a, e): Ax = +8,733 kN; Bx = −7,803 kN. Záporné znamienka vo výsledkoch znamenajú nesprávne zvolenú orientáciu väzbových reakcií, v skutočnosti reakcie so zápornými znamienkami pôsobia opačne, ako boli zvolené.
40
Príklad 1.29 Dva nosníky profilu I sú zvarené a uchytené pomocou troch lán. Vypočítajte veľkosť uhlu γ a vzdialenosť d, v ktorej pôsobí sila F, aby bola konštrukcia v rovnovážnej polohe a všetky tri laná sa nachádzali v rovinách rovnobežných s rovinou y-z a mali rovnaký sklon γ od zvislej osi. Nosníky AB, OC majú hmotnosť m1, m2. Ťažisko nosníka OC je vo vzdialenosti h od osi y. Dané: l1 = 1200 mm; l2 = 800 mm; l3 = 1 400 mm; h = 725 mm; m1 = 72 kg; m2 = 50 kg; F = 200 N.
Laná odoberajú po jednom stupni voľnosti pohybu. Statická určitosť pre teleso v priestore je
3)3.1(366
1=−=−= ∑
=jjjrn .
Úloha je staticky preurčená a tvarovo neurčitá. Znamená to, že ak chceme, aby objekt bol v rovnováhe, musia byť z rovníc rovnováhy určené veľkosti niektorých prídavných parametrov. V tomto prípade je to vzdialenosť d nositeľky sily F od osi y a uhol γ sklon lán od zvislej osi. Laná sú odstránené a nahradené zodpovedajúcimi väzbovými rekciami. Na objekt pôsobí všeobecná priestorová silová sústava, pre ktorú je možné zostaviť 6 rovníc rovnováhy. Veľkosti tiažových síl pôsobiacich v ťažiskách jednotlivých nosníkov
N.5,490N,32,706
22
11
====
gmGgmG
V súlade so zvoleným súradnicovým systémom sú zložky jednotlivých síl v lanách
.sinγ,sinγ,sinγ
,cosγ,cosγ,cosγ
CCBBAA
CCBBAA
NNNNNN
NNNNNN
zzz
yyy
===
=== (a)
Zostavíme sústavu rovnovážnych rovníc v zvolenom súradnicovom systéme
00:0 ==∑ xiF , (b)
0:0 21CBA =−−++=∑ GGNNNF yyyyi , (c)
0:0 CBA =−++=∑ FNNNF zzzzi , (d)
0:0 C32 =+−=∑ yxi NlhGM , (e)
0:0 A1B2 =−+−=∑ dFNlNlM zzyi , (f)
0:0 A1yB2 =−=∑ yzi NlNlM . (g)
x
y
z
O
l1 F d
l3
h
l2
G1
G2
γ
NA
NB
NC
x
y
z l1 l2
γl3
A B
C
F d
0
41
Vzhľadom na to, že v smere osi x nepôsobí žiadna sila, je získaná sústava piatich rovníc s piatimi neznámymi: NA, NB, NC, d, γ. Do rovníc (c) až (g) dosadíme vzťahy (a). Rovnicu (c) vynásobíme výrazom −sin γ a rovnicu (d) vynásobíme výrazom cos γ a obe rovnice sčítame:
⇒⊕⎭⎬⎫
=++=α−−−++
,0]cosγF-sinγsinγsinγ[,0)sin](cosγcosγcosγ[
CBA
21CBA
NNNGGNNN
.9,49γtgγ
,cossinγ)(0cosγsinγsinγ
21
2121o=⇒=
γ=+⇒=−+
+GGF
FGGFGG
Z rovnice (e) ⇒ N.52,257cosγ
N254cosγ CCCC ==⇒== y
yN
NNN
Z rovnice (g) ⇒ 2
1AB l
lNN = , po dosadení do rovnice (d) vyplýva
.N2,382)(
21
2CsinγA =
+
−=
ll
lNN
F
Dosadením NA spätne do predchádzajúceho vzťahu dostaneme
N.3,573B =N
Nakoniec z rovnice (f) vyjadríme vzťah na výpočet vzdialenosti d pre nositeľku sily F.
0sinγsinγ 2B1A =−
=F
lNlNd .
To znamená, že nositeľka sily F musí pôsobiť v smere osi z, aby bol objekt v rovnováhe a laná zostali v rovine y-z. Príklad 1.30
Objímka hmotnosti m sa môže pohybovať po hladkej tyči. V danej polohe je v rovnovážnej polohe udržiavaná bremenom hmotnosti m1, ktoré je zavesené na lane vedenom cez hladkú kladku. Vypočítajte výšku h, v ktorej je objímka v rovnováhe.
Dané: m = 20 kg, m1 = 25 kg, a = 1,5 m. Výsledok: h = 2 m
Príklad 1.31
Bremeno hmotnosti m je zavesené na nehmotnom lane, ktoré je uchytené vo vrchole V. Vo vrchole sú spojené tri tuhé prúty rovnakého prierezu a zanedbateľnej hmotnosti. Vypočítajte veľkosť síl, ktorými sú jednotlivé prúty namáhané. Dané: m = 25 kg; l = 1 m; d = 1,5 m; h = 1,8 m
Výsledok: prút 3 je namáhaný na ťah N3 = 319,26 N, prúty 1,2 sú namáhané na tlak N1 = N2 = 122,83 N
x
y
z
0
h
l
l
A
B
C
V
md
m
m1
h
a
42
Príklad 1.32
Nosník je uložený a zaťažený podľa obrázka. Posúďtejeho statickú určitosť a vypočítajte väzbové reakcie vo väzbách A, B. Dané: F = 300 N; M = 50 Nm; α = 30°; β = 40°; l = 0,5 m; R = 0,2 m; q1 = 90 N.m-1; q2 = 140 N.m-1
Výsledok: n = 0; Αx = 109,291 N ( ) Αy= 271,878 N ( ) ; B = 234,162 N ( )
Príklad 1.33
Nosník zaťažený tiažovou silou G, spojitým zaťažením q a dvojicou síl F a pomocou lana (bod A) a posuvnéhorovinného rotačného kĺbu (B) je pripojený k základovému rámu. Posúďte statickú určitosť a vypočítajte väzbové reakcie. Dané: F = 100 N; G = 710 N; l = 1,5 m; q = 120 Nm-1
Výsledok: n = 1, na rám pôsobí rovinná rovnobežná silová sústava ⇒ úloha je staticky určitá; RA (↑) = + 510 N; RB (↑) = + 560 N
Príklad 1.34
Rámová konštrukcia je votknutá v bode A a zaťažená podľa obrázka. Hmotnosť konštrukcie je m = 150 kg. Vypočítajte reakcie vo votknutí. Dané: F1 = 650 N; F2 = 500 N; q =120 Nm-1; M = 500 Nm l1 = 0,6 m; l2 = 0,3 m; l3 = 0,9 m; h1 = 0,4 m; h2 = 0,7 m; h3 = 1,3 m; h4 = 0,6 m; α = 50°; β = 45°Výsledok: xT = 0,102 m; Ax = 28,26 N ( ); Ay = 851,48 N ( ); MA = 558,77 Nm (É)
F1
l1 l2
l3 F2
q
β
α h1 h2
h4
h3
A ≡ 0 x
y
M
A B
q
l l l l
F F
G
M
A
B q1
h
l
r
β
F α
r
q2
43
Príklad 1.35 Lomený nosník (AD) spolu s päťstenom tvoria tuhé teleso uložené vo väzbách v bodoch A (priestorový kĺb), B (krátke radiálne ložisko), C (nehmotný prút) a zaťažený podľa obrázka. Vypočítajte väzbové reakcie. Hmotnosť telesa zanedbajte. Uhol α je uhol, ktorý zviera nositeľka sily F1 s kolmým priemetom do vodorovnej roviny. Uhol β je uhol, ktorý zviera daný priemet s osou x. Dané: F1 = 4 kN; F2 = 3 kN; q1 = 0,5 kNm-1; Q = 2,5 kN; l1 = a = 0,4 m; l2 = 0,6 m; l3 = 0,3 m; l4 = 0,5 m; l5 = 0,8 m; α = 35°; β = 60°
Výsledok: Ax = 0,545 kN ( ) Ay = 0,346 kN ( ) Az = 2,155 kN ( ) By = 5,22 kN ( ) Bz = 6,45 kN ( ) C = 1,56 kN ( )
Príklad 1.36
Hriadeľ je uložený v radiálnom (A) a radiálno-axiálnom ložisku (B). V rovnováhe je udržiavaný silou (N) pôsobiacou v lane 1, ktoré je rovnobežné s osou z. Vypočítajte veľkosť síl v lanách, ak pre veľkosti síl pôsobiacich v lane 2 platí: T2 = 0,77T1. Určte taktiež veľkosti väzbových reakcií. Dané: G1 = 1 kN; G2 = 1,5 kN; α = 40°; T2 = 0,8 kN; l1 = 0,45 m; l2 = 0,5 m; l3 = 0,4 m; r1 = 0,4 m; r2 = 0,6 m
Výsledok:
N = 0,36 kN; Ay= 1,02 kN ( ); Az = 0,057 kN ( ); Bx = 0 kN; By= 5,17 kN ( ); Bz = 0,931 kN ( ).
1.5 ROVNOVÁHA ROVINNÝCH SÚSTAV TELIES
Sústava telies je množina telies (objektov, členov), ktoré sú vzájomne spojené väzbami. Väzby medzi telesami sú tzv. vnútorné väzby. Niektoré z telies sústavy sa väzbami viažu na základový rám (vonkajšie väzby). Väzby v rovinnej sústave telies môžu odoberať 1 až 3 stupne voľnosti. Statická určitosť rovinnej sústavy telies je určená zo vzťahu
∑=
−−=3
1)1(3
jjjrtn , (1.26)
kde t je počet telies sústavy vrátane základového rámu, j - počet stupňov voľnosti, ktoré odoberá príslušná väzba, rj - počet väzieb odoberajúcich j stupňov voľnosti pohybu.
Q
Q
F2
A B
.
β α
F1
C
.
l1
.
a
l2 l3
a
l4
l5
q1
x
y
z
AB x
y
z l2 l3 l1
r1 r2
N
T1
T2
α
G1 G2
44
Pri riešení môžu nastať prípady:
n = 0 - úloha je staticky a tvarovo určitá Statická určitosť - jednoznačné matematické riešenie. Tvarová určitosť - sústava telies je nepohyblivá. Nepohyblivé mechanické sústavy sú označované ako rámové konštrukcie.
n > 0 - úloha je staticky preurčená a tvarovo neurčitá Statická preurčenosť - znamená, že z rovníc rovnováhy je možné okrem vnútorných
a vonkajších väzbových reakcií určiť aj niektorý prídavný parameter z vonkajšieho zaťaženia alebo niektorý rozmer danej sústavy.
Tvarová neurčitosť - sústava telies je pohyblivá. Pohyblivé sústavy sú označované pojmom mechanizmus. Mechanizmy obsahujú
pohyblivé časti a sú navrhnuté na prenos a transformáciu vstupných síl alebo momentov na výstupné sily alebo momenty.
n < 0 - úloha je staticky neurčitá a tvarovo preurčená Tak ako pri hmotnom objekte tieto úlohy v statike nevieme riešiť. Vieme zostaviť menej rovníc rovnováhy, ako je neznámych väzbových reakcií.
Pri statickom riešení sústav telies je aplikovaná metóda uvoľňovania, t.j. všetky väzby (vonkajšie aj vnútorné) nahrádzame väzbovými reakciami. Pri uvoľňovaní vnútorných väzieb je potrebné dodržať princíp akcie a reakcie.
Základnou úlohou statického riešenia sústav telies je určenie veľkosti a orientácie väzbových reakcií. Na ich výpočet je potrebné zostaviť príslušné rovnice rovnováhy, pričom ich počet závisí od počtu telies tvoriacich danú sústavu telies a počtu uzlov (bodov), v ktorých sú telesá navzájom spojené. Počet rovníc rovnováhy, ktoré je možné pre danú sústavu telies zostaviť
mtp 23 +′= , (1.27)
kde p je počet rovníc rovnováhy , t′ - počet telies bez základového rámu 1−=′ tt , m - počet vnútorných väzieb, 3 - počet rovníc rovnováhy pre všeobecnú rovinnú silovú sústavu, ktorá pôsobí na
teleso v rovine, 2 - počet rovníc rovnováhy pre centrálnu rovinnú silovú sústavu, ktorá pôsobí na uzol
(bod), v ktorom sú telesá vzájomne spojené.
45
Príklad 1.37 Nosná rámová konštrukcia vytvorená z dvoch telies , je pripevnená k základovému rámu vo vodorovných rovinách. Zaťažená je spojitým bremenom q pôsobiacim na teleso a momentom M pôsobiacim na teleso . Posúďte statickú určitosť danej sústavy. Zostavte rovnice rovnováhy na výpočet vnútorných a vonkajších väzbových reakcií a vypočítajte ich.
Dané: q = 240 Nm-1; M = 30 Nm; l1 = 1,25 m; l2 = 0,85 m; h = 1,0 m
Sústava telies sa skladá z troch telies vrátane rámu. Teleso sa pripája k základovému rámu
v bode A (vonkajšia väzba) - votknutie - odoberá v rovine 3 stupne voľnosti pohybu. Teleso sa pripája k základovému rámu v bode C (vonkajšia väzba) - posuvný rovinný rotačný kĺb - odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu. Telesá a sú navzájom spojené v bode B (vnútorná väzba) - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti pohybu. Statickú určitosť sústavy posúdime podľa vzťahu (1.26)
0)1.31.21.1()13.(3)1(33
1=++−−=−−= ∑
=jjjrtn .
Úloha je staticky určitá, to znamená, že ide o nepohyblivú sústavu telies. Metódou uvoľňovania sú telesá a uvoľnené. Pri vonkajších väzbách sú orientácie väzbových reakcií v jednotlivých telesách zvolené ľubovoľne. Pri vnútorných väzbách v prvom telese, ktoré uvoľňujeme, volíme orientáciu reakcií ľubovoľne, pri susednom telese je pri orientácii reakcií potrebné dodržať princíp akcie a reakcie. Z matematického hľadiska podľa správnosti by označenie vnútorných reakcií malo byť odlíšené, pretože ide síce o vektory rovnakej veľkosti, ale opačného smeru. Označenie reakcií je možné odlíšiť indexmi. Prvý index je index telesa, ktoré na uvoľnené teleso pôsobí. Druhý index je index telesa, ktoré je uvoľňované. Napr. Bx23 predstavuje pôsobenie telesa na teleso . V zvolenom súradnicovom systéme podľa vzťahu (1.27) možno zostaviť nasledovný počet rovníc rovnováhy: 81.22.323 =+=+′= mtp .
Rovnovážne rovnice pre teleso
,)(:
,:
,:
A 020
00
00
321322121
32
32
=−++−=
=−+=
=+=
∑∑∑
hBlBllQMM
QBAF
BAF
xyA
yyyi
xxxi
(c)
(b)(a)
kde Q je veľkosť výslednice spojitého zaťaženia pôsobiaceho na teleso a jej hodnota je
)( 21 llqQ += .
A
B C
h
l2
h
l1
q
M
x
y +
Ax
Bx
Q
h
l2
h
l1
Ay
By
MA
(Bx32)
(By32)
By32
By23
Bx23 Bx32
B C
h
l2
BxBy
(By23) (Bx23)
M
46
Rovnovážne rovnice pre teleso
.0:0
,0:0
,0:0
2B
32
23
=+=
=+−=
=−=
∑∑∑
MlCM
CBF
BF
yyi
xxi
(f)(e)(d)
Rovnovážne rovnice pre bod B
.0:0
,0:0
23322332
23322332
yyyyyyi
xxxxxxi
BBBBBF
BBBBBF
==⇒=−=
==⇒=−=
∑∑
(h)(g)
V prípade, že vnútorné reakcie v bode B nie sú odlíšené príslušnými indexmi, rovnice (g), (h) nie je potrebné zostaviť. Výsledné hodnoty reakcií v bodoch A, B sú
2222yxyx BBBAAA +=+= , .
Rovnice (a) až (h) predstavujú sústavu ôsmich lineárnych algebrických rovníc s ôsmimi neznámymi, ktoré možno zapísať v maticovom tvare.
.
)(A
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
00
00
0
0101000000101000
0000000110000000010000000021000001001000001001
2121
23
23
32
32
2
1
M
llQQ
CBBBBMAA
l
lh
y
x
y
x
y
x
(i)
Riešením sústavy (podmienka riešenia - determinant sústavy D ≠ 0) dostaneme vektor neznámych a jeho transponovaný vektor je:
[ ] Nm)(N;,,,,,T 2935293502935032573295390 −−−=x .
Orientácia reakcií so zápornými znamienkami je v skutočnosti opačná, ako bolo predpokladané. Príklad 1.38 Pre konštrukciu zaťaženú podľa obrázka zostavte rovnice rovnováhy na výpočet vnútorných a vonkajších väzbových reakcií a vypočítajte ich. Posúďte statickú určitosť danej sústavy. Dané: F1 = 3 kN; F2 = 3 kN; M = 0,6 kNm; l1 = 0,5 m; l2 = 0,2 m; h = 0,25 m
A
B C
h
l2
h
l1
M
D E
l2 l1
F1 F2 F1 F2
Ey Ex
Dy
Dx
M
Cy
DxDy
Cx
A
Bx By Cx
Ey
Ex
Cy
x y
+
47
Väzby v bodoch B, C, D, E predstavujú spojenie telies rovinnými rotačnými kĺbmi - každá väzba odoberá 2 stupne voľnosti pohybu. Väzba v bode A je tzv. posuvný rovinný rotačný kĺb, ktorý odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu. Vonkajšie väzby sa nachádzajú v bodoch A, B. Statická určitosť sústavy je posúdená podľa vzťahu (1.26)
0)0.34.21.1()14.(3)1(33
1=++−−=−−= ∑
=jjjrtn .
Úloha je staticky aj tvarovo určitá. To znamená, že ide o nepohyblivú rovinnú sústavu telies. Pri uvoľňovaní pri vnútorných reakciách musí byť dodržaný princíp akcie a reakcie, pričom tieto reakcie nebudú odlišované indexmi - zníži sa počet rovnovážnych rovníc. Pre každé uvoľnené teleso sú potom zostavené iba 3 rovnice rovnováhy. Rovnovážne rovnice pre teleso
.)(:
,:
,:
B 020
00
00
211 =+++−=
=+−=
=+−−=
∑∑∑
hEllElCM
ECBF
ECBF
xyy
yyyyi
xxxxi
(c)(b)(a)
Rovnovážne rovnice pre teleso
.:
,:
,:
020
00
00
=−+=
=−=
=++−=
∑∑∑
hAMhDM
DCF
CDAF
xC
yyyi
xxxi
(f)(e)(d)
Rovnovážne rovnice pre teleso
.02:0
,0:0
,0:0
12212
21
=−+−=
=−−−=
=−−=
∑∑∑
lFlFlDM
FFEDF
EDF
yE
yyyi
xxxi
(i)(h)(g)
Rovnice (a) až (i) predstavujú sústavu deviatich lineárnych algebrických rovníc s deviatimi neznámymi, ktoré možno zapísať v maticovom tvare Ax = b, t.j. platí
.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
+−−
−−
2112
21
2
211
0
00000
002000000101000000
010100000000200000010010000001101002000000
100001010010000101
lFlFFF
M
EEDDA
CCBB
l
hh
llhl
y
x
y
x
y
x
y
x
(k)
Riešením sústavy rovníc je získaný vektor neznámych
[ ] )N(,,,,,,,,T 2582252522254112528136411 −−−−−=x .
Orientácia reakcií so zápornými znamienkami je v skutočnosti opačná, ako bolo predpokladané. Výsledné hodnoty reakcií v bodoch B, C, D, E sú
48
N.,;N,
N,,;N,
5226325
98138812
2222
2222
=+==+=
=+==+=
yxyx
yxyx
EEEDDD
CCCBBB
Príklad 1.39 Rovinný kľukový mechanizmus schematicky znázornený na obrázku je zaťažený silou F. Vypočítajte, aký moment musí pôsobiť na člen , aby bol mechanizmus v danej polohe v rovnováhe. Vypočítajte aj veľkosť reakcií vo väzbách danej sústavy. Dané: F = 500 N; α = 45°; h = 0,5 m; r = 1,4 m; l = 2,5 m; l1 = 1,0 m
Sústava telies sa skladá zo štyroch telies vrátane rámu. Teleso sa pripája k základovému rámu v bode A (vonkajšia väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti pohybu). Teleso sa pripája k základovému rámu v bode C (vonkajšia väzba - kulisa - odoberá 2 stupne voľnosti pohybu). Telesá a sa spájajú navzájom v bode B (vnútorná väzba - rovinný rotačný kĺb). Telesá a sa spájajú navzájom v bode C (vnútorná väzba - rovinný rotačný kĺb). Statická určitosť sústavy je posúdená podľa vzťahu (1.26)
1)4.2()14.(3)1(33
1=−−=−−= ∑
=jjjrtn .
Úloha je jedenkrát staticky preurčená a tvarovo neurčitá, čiže ide o pohyblivú sústavu telies, tzv. mechanizmus. Z toho dôvodu je potrebné určiť jeden parameter z vonkajšieho zaťaženia (moment M pôsobiaci na člen ), ktorý uvádza danú sústavu telies do rovnováhy. Metódou uvoľňovania sú telesá , a uvoľnené. Orientáciu väzbových reakcií volíme ľubovoľne a pre vnútorné väzby je potrebné dodržať princíp akcie a reakcie. Rovnovážne rovnice pre teleso
.sincos:
,:
,:
A 00
00
00
=α−α+=
=+−=
=+=
∑∑∑
rBrBMM
BAF
BAF
xy
yyyi
xxxi
(c)(b)(a)
Rovnovážne rovnice pre teleso
.0)sinβcosβ(cosβsinβ:0
,0:0
,0:0
121
B =+−−=
=−−−=
=+−=
∑∑∑
llFlClCM
CFBF
CBF
yx
yyyi
xxxi
(f)(e)(d)
M
α
r
By
Bx
Ax
Ay
Cy
F
β
l
.
l1
Cx
β
By Bx
S
Cyr
Cy Cx
MC
x y
+
M F
α
r l
l/2 .
l1
h A
B
C
α
49
Rovnovážne rovnice pre teleso
.0:0
,0:0
,0:0
=−=
=−=
==
∑∑∑
C
yryyi
xxi
MM
CCF
CF
(i)(h)(g)
Využitím substitučnej metódy pri riešení rovníc sú vypočítané hodnoty väzbových reakcií N41,398N;59,101;0 −=−====== yryyyCxxx CCBAMCBA .
Všetky zložky reakcií, ktoré majú záporné znamienko, majú v skutočnosti opačnú orientáciu. Na udržanie mechanizmu v rovnovážnej polohe bola z rovníc rovnováhy vypočítaná aj veľkosť momentu pôsobiaceho na teleso , t.j. Nm57,100=M . Príklad 1.40 Rovinný mechanizmus zdvíhacieho zariadenia, znázornený na obrázku je zaťažený silovou dvojicou M. Vypočítajte veľkosť sily F pôsobiacej na člen , aby bol mechanizmus v danej polohe v rovnováhe. Posúďte statickú určitosť sústavy a vypočítajte veľkosti reakcií vo väzbách danej sústavy telies. Dané: M = 50 Nm; r = 0,3 m; α = 30°; l1 = 1,4 m; l2 = 2,8 m ; R = 0,5 m; h1 = 1,8 m; h2 = 1,6 m; h3 = 0,4 m; h4 = 0,25 m;
Sústava telies sa skladá z piatich telies vrátene rámu. Teleso sa pripája k základovému rámu v bode A (vonkajšia väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Teleso
sa pripája k základovému rámu v bode H (vonkajšia väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Teleso sa pripája k základovému rámu v bodoch C a D (hladké dotykové väzby - každá odoberá 1 stupeň voľnosti). Telesá a sa spájajú v bode B (vnútorná väzba - hladká dotyková väzba - odoberá 1 stupeň voľnosti). Telesá a sa spájajú navzájom v bode E (vnútorná väzba - rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Telesá a sa spájajú navzájom v bode E (vnútorná väzba - kulisa - odoberá 2 stupne voľnosti). Statickú určitosť sústavy posúdime podľa vzťahu (1.28):
( ) 1)0.34.23.1()15.(3133
1=++−−=−−= ∑
=jjjrtn .
Teleso
M α
r
R B
Ay
Ax
T32
Teleso
h2 h3
D
C
T23
Ex43 Ey43
F l2
E45
ME45
Teleso
Hx Hy
β
β
Ex34
Teleso
Ey34 E54
ME54
β
M
F
α
r
R
l2
h2
B
h3
A
D
E
h1
H
C l1
h4
50
Úloha je jedenkrát staticky preurčená a tvarovo neurčitá, čiže ide o pohyblivú sústavu telies - mechanizmus. Je potrebné určiť parameter z vonkajšieho zaťaženia (sila F pôsobiaca na člen
), ktorý uvádza danú sústavu do rovnováhy. Na základe princípu akcie a reakcie možno písať rovnice
,
,
3443
2332
xx EETT=
=
(b)(a)
.
,
,
4554
4554
3443
MMEE
EE yy
==
=
(e)(d)(c)
Pomocou metódy uvoľnenia sú jednotlivé telesá uvoľnené a napísané rovnice rovnováhy.
Rovnovážne rovnice pre teleso
,0cos:0
,0:0
,0:0
32A
32
=α−=
=−=
==
∑∑∑
rTMM
TAF
AF
yyi
xxi
(h)(g)(f)
.N45,192)g(rovnicez
N,45,192cos
)h(rovnicez
32
32
==⇒
=α
=⇒
TAr
MT
y
Rovnovážne rovnice pre teleso
,0)sin(
)sin(:0
,0 :0
,0 :0
412
4312E
4323
43
=+−α+++
++−α++=
=−=
=++=
∑∑∑
hhrRhD
hhhrRhCM
ETF
DCEF
yyi
xxi
(k)
(j)(i)
N45,192(a)(j),rovnícz 322343 ===⇒ TTEy .
Rovnovážne rovnice pre teleso
.0:0
,0cosβ:0
,0sinβ:0
54EE
5434
5434
=−=
=−=
=−−=
∑∑∑
MM
EEF
EEF
yyi
xxi
(n)(m)(l)
Uhol β, ktorý vystupuje v rovniciach, určíme z geometrie obrázka
,82,17sinarctgβsinβtg1
12
1
12 o=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −α++=⇒
−α++=
lhrRh
lhrRh
.N26,108N;12,170:získame(b)(k),(i),rovnícriešením
N,86,61sin (l)rovnicez
N,15,202cos
(c)(m),rovnícz
5434
3454
−==−=β−=⇒
=β
=⇒
CDEE
EE
x
y
51
Rovnovážne rovnice pre teleso
,0cosβ)(:0
,0cosβ:0
,0sinβ:0
22
12214545EH
45
45
=+−+−+=
=−+−=
=+−=
∑∑∑
FlhhlEMM
FEHF
EHF
yyi
xxi
(r)(p)(o)
.N,cosβ(p)rovnicez
N,,cosβ
)((n)(e),(r),rovnícz
N,,sinβ(d)(o),rovnícz
285
25107
8661
45
2
212
2145
45
=−=⇒
=−+
=⇒
==⇒
FEHl
hhlEF
EH
y
x
Riešením sústavy 17 rovníc o 17 neznámych sú vypočítané všetky neznáme. Na dosiahnutie rovnováhy daného mechanizmu v je potrebné na člen 5 pôsobiť silou danej orientácie a o veľkosti 107,25 N. Tie väzbové reakcie, pre ktoré vyšlo pri výpočte záporné znamienko, majú v skutočnosti opačnú orientáciu, ako bolo predpokladané. Príklad 1.41 Trojkĺbová konštrukcia podľa obrázka je zaťažená momentom točiacim v smere hodinových ručičiek, ktorého veľkosť je 150 (N m). Vypočítajte zložky reakcií vo väzbách D, E ak: 1. moment pôsobí v bode A, 2. moment pôsobí v bode B. Dané: l = 0,6 m; h = 0,4 m
Výsledok: 1. Dx = 750 N ( ), Dy = 250 N ( ), Ex = 750 N ( ), Ey = 250 N ( ).
2. Dx = 375 N ( ), Dy = 250 N ( ), Ex = 375 N ( ), Ey = 250 N ( ).
Príklad 1.42 Konštrukcia vytvorená z telies , , je pripevnená vertikálne k základovému rámu . Zaťažená je silou F a bremenom hmotnosti m, ktoré je zavesené na nehmotnom lane vedenom cez hladkú kladku. Posúďte statickú určitosť danej sústavy. Zostavte rovnice rovnováhy na výpočet vnútorných a vonkajších väzbových reakcií a vypočítajte ich. Dané: F = 1500 N; m = 200 kg; l1 = 0,8 m; l2 = 0,45 m; l3= h = 0,9 m; α = 60°.
Výsledok: n = 0; A = 1,24 kN ( ); B = 0,32 kN; αB = 322,7°; C = 2,13 kN; αC = 215°; D = 3,08 kN; αD = 27,6°; E = 4 kN; αE = 133°. Poznámka: αi ( i = B, C, D, E) - smerové uhly nositeliek výsledných reakcií.
A
B
C h
l2
h
l1
h
E
l3
α Z
m F D
A
B C
h
h
l
E D
l l
52
Príklad 1.43 Vypočítajte veľkosti väzbových reakcií pri danej polohe konštrukcie. Posúďte aj statickú určitosť danej sústavy. Dané: F = 5 kN; M = 3 kNm; α = 70° a1 = 0,4 m; a2 = 0,5 m; a3 = 0,3 m; a4 = 0,35 m; a5 = 0,2 m; b1 = 0,5 m; b2 = 0,25 m.
Výsledok: n = 0; A = 7,02 kN; αA = 48°; MA (v smere hod. ručičiek) = 5,70 kNm, B = 3,34 kN; αB = 347,4°; C = 4,74 kN; αC = 287,7°; D = 3,51 kN ( ); E45 = 1,76 kN; αE = 35°; M35 = 0; E35 = 1,76 kN; αi ( i = A ,B, C, E) sú smerové uhly nositeliek výsledných reakcií
Príklad 1.44 Mechanizmus je zaťažený silou F. Vypočítajte veľkosť silovej dvojice M potrebnej pre rovnováhu mechanizmu v danej polohe a reakcie vo väzbách C, D. Dané: F = 300 N; α = 45°; h1 = 0,35 m; h2 = 0,1 m; h3 = 0,15 m; l = 0,45 m; r = 0,3 m
Výsledok: M = 63,64 Nm; C = 289,6 N ( ); D = 289,6 N ( ).
E
D
C B A
α F
b2
b1
a4 a3 a2 a1
a5
M
B
A α
F
l
h1
h3
h2
r
M
C
D
h2
53
1.6 ROVINNÉ PRÚTOVÉ SÚSTAVY
Prútová sústava je sústava telies zložená zo štíhlych členov (prútov), ktoré sú v koncových bodoch vzájomne spojené styčníkmi (uzlami). Prúty prútovej sústavy prenášajú sily len v smere svojich osí. Jednotlivé prúty prútovej sústavy sú navzájom spájané len vo svojich krajných bodoch, pričom vzhľadom na charakter zaťažovania prútov sú ich vzájomné spojenia - styčníky považované za kĺby. Prúty prútovej sústavy tvoria tzv. prútové teleso. Zaťaženie prútovej sústavy a jej pripojenie k nepohyblivému rámu je realizované len v styčníkoch. Prútová sústava - prútové teleso je teda zložené z s styčníkov a p prútov. Styčník reprezentuje bod v rovine s dvoma stupňami voľnosti pohybu. Styčníky sú navzájom spojené prútmi, kde každý prút odoberá jeden stupeň voľnosti pohybu. Počet stupňov voľnosti prútového telesa určíme zo vzťahu: nv = 2s − p. Spojenie prútového telesa a nepohyblivého rámu sa realizuje prostredníctvom vonkajších väzieb, ktoré odoberajú telesu 1 až 3 stupne voľnosti pohybu v rovine. Väzbovú závislosť rovinnej prútovej sústavy určíme zo vzťahu:
∑=
−−=−=3
1p)s2(
jjov jrnnn . (1.28)
Pri riešení môžu nastať prípady podobné ako pri rovinnej sústave telies. V ďalších úvahách sa budeme zaoberať len úlohami staticky a tvarovo určitými, čiže n = 0. Úlohou riešenia prútových sústav je určiť veľkosti osových síl v prútoch sústavy, spôsob namáhania jednotlivých prútov (ťah, tlak) a parametre vonkajších väzbových reakcií. Pri riešení pôsobia na každý prút v jeho krajných uzloch dve sily, ktoré majú rovnakú veľkosť, spoločnú nositeľku, ale opačnú orientáciu. Okrem toho medzi styčníkom a prútom pôsobia sily akcie a reakcie, čiže sily rovnako veľké, opačne orientované a majúce spoločnú nositeľku. Základné pojmy prútových sústav sú na obr. 1.11.
Obr. 1.11
F
A
B
C D
a) ÷ prúty sústavy
A, B, C, D styčníky n = (2.4-5) − (1.1+2.1) = 0
b) uvoľnené prútové teleso na výpočet
vonkajších väzbových reakcií
F
A
B
C D
rovnováha styčníka C F + N2 +N5 = 0
F
N2
N5
F N2
N5CN2N2
ťah
C D
N5
N5
tlak
C
B
c) uvoľnený styčník C na výpočet osových síl v prútoch 2, 5
uvoľnené prúty 2, 5 a určený druh namáhania v nich
54
1.6.1 Analytické riešenie prútovej sústavy - styčníková metóda Postup analytického riešenie prútovej sústavy pomocou styčníkovej metódy:
Posúdenie statickej určitosti prútovej sústavy podľa vzťahu (1.28). Uvoľnenie prútového telesa a zostavenie rovníc pre výpočet väzbových reakcií.
Orientácia väzbových reakcií je zvolená ľubovoľne. Silové účinky pôsobiace na prútové teleso (vonkajšie sily, väzbové reakcie) tvoria všeobecnú rovinnú silovú sústavu, pre ktorú je možné napísať tri rovnice rovnováhy. Riešením sústavy rovníc sú vypočítané tri väzbové reakcie. Orientácia väzbových reakcií, pre ktoré je vypočítané kladné znamienko, bola zvolená správne. Reakcie so záporným znamienkom pôsobia opačne.
Postupne sú uvoľňované jednotlivé styčníky sústavy, pre ktoré sú zostavené rovnice rovnováhy na výpočet osových síl v prútoch sústavy. Účinky prútov na styčníky sú reprezentované silami pôsobiacimi v smere osi prútov. Styčník reprezentuje bod v rovine, na ktorý pôsobí centrálna rovinná silová sústava. Z rovníc rovnováhy styčníka sú vypočítané dve neznáme osové sily v prútoch. Pri postupnej styčníkovej metóde riešenia je vždy uvoľňovaný styčník, v ktorom sú len dve neznáme osové sily.
Na základe zvolenej orientácie a znamienka osových síl získaného výpočtom je určený spôsob namáhania prúta na ťah alebo tlak.
Príklad 1.45
Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2, F3. Vypočítajte veľkosť osových síl vo všetkých prútoch sústavy a určte druh namáhania jednotlivých prútov. Dané: F1 = 2 kN; F2 = 3 kN; F3 = 4 kN; a = 1 m; h = 1,5 m
Prútové teleso je k základnému rámu pripojené vo väzbách v bode A (rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti) a v bode C (prút - odoberá 1 stupeň voľnosti). Statická určitosť prútovej sústavy podľa vzťahu (1.28)
0)0.31.21.1()138.2()2(3
1=++−−=−−= ∑
=jjjrpsn .
F1
A B C D
E
h
a
GHI
F2
F3
a a aa
11
10
12 13
K
Ax
Ay
Cβ
α
F1
A B C D
E
h
a
GH I
F2
F3
a a a
a
11
10
12 13
K
tg α = a/a = 1 α = 45°
55
Úloha je staticky a tvarovo určitá - prútová sústavu je nepohyblivá. Uhol β potrebný pre rozklad sily v bode C
( ) o873622 ,arctgββtg ==⇒= ah
ah .
Rovnovážne rovnice na výpočet väzbových reakcií
022:0
0sinβ:0
0cosβ:0
312C
21
3
=−−−−=
=−−−=
=+−−=
∑∑∑
aFaFaFaAM
FFCAF
FCAF
y
yyi
xxi
.kN6kN,33,18kN,66,18
−=⇒−=⇒
=⇒
y
x
ACA
Postupne sú uvoľňované jednotlivé styčníky tak, aby boli v uvoľňovanom styčníku maximálne dve neznáme veličiny (dve osové sily v prútoch) a pre každý styčník sú zostavené rovnice rovnováhy. Pri nahrádzaní účinku prútov osovými silami je potrebné dodržať princíp akcie a reakcie. Uvoľnené styčníky (v poradí riešiteľnosti), rovnice rovnováhy a vypočítané osové sily sú uvedené v tabuľke 1.9.
Tabuľka 1.9
Styčník Uvoľnenie Podmienky rovnováhy Osová sila
A
0sin:0
0cos:0
10
101
=α+=
=α++−=
∑∑
NAF
NNAF
yyi
xxi N1 = 12,66 kN N10 = 8,49 kN
B
0:0
0:0
9
21
==
=+−=
∑∑
NF
NNF
yi
xi N2 = 12,66 kN N9 = 0 kN
I 0sinsin:0
0coscos:0
108
108113
=α−α−=
=α−α+++
=
∑
∑
NNFNNNF
F
yi
xi
N8 = − 8,49 kN N11 = 8 kN
E 0sin:0
0cos:0
42
413
=α−−=
=α−−=
∑∑
NFF
NNF
yi
xi N4 = − 4,24 kN N13 = 3 kN
G
0:0
0:0
51
1213
=−−=
=−=
∑∑
NFF
NNF
yi
xi N5 = − 2 kN N12 = 3 kN
H
0sin:0
0cos:0
67
61211
=α−−=
=α++−=
∑∑
NNF
NNNF
yi
xi N6 = 7,07 kN N7 = −5 kN
C
0βcoscos
:0
382 =−+α−−
=∑CNNN
Fxi N3 = −8 kN
D
kontrolný styčník
00;0sinsin:0
00;0coscos:0
465
463
==α+α++=
==α+α−−=
∑∑
NNNF
NNNF
yi
xi
x
y
N2 N7
N3
N8
α C
β
x y
N5
N13 N12 F1
x
y N5
N3
N4 N6
α α
x y
N11
N7
N12
N6
α
x y
N4
N13 α
F2
x y F3
N10
N11
α N8
α
x
y N9
N2 N1
x
y
Ay Ax
N10
N1 α
56
Vo všetkých prútoch v uvoľňovaných styčníkoch bolo predpokladané ťahové namáhanie. V prípade, že výpočtom bolo pre osovú silu vypočítané kladné znamienko, pôsobí v danom prúte ťah. V prípade záporného znamienka pôsobí v prúte tlak. Na základe výpočtov sú ťahom namáhané prúty: 1, 2, 6, 10, 11, 12, 13. Tlakom sú namáhané prúty: 3, 4, 5, 7, 8. Sila v prúte 9 má nulovú veľkosť, t.j. prút 9 neprenáša žiadnu osovú silu. 1.6.2 Analytické riešenie prútovej sústavy - priesečná metóda Priesečnú metódu je potrebné použiť pre takú prútovú sústavu, ktorú nie je možné riešiť styčníkovou metódou (nenachádza sa v nej dvojprútový styčník, t.j. v každom styčníku sú tri a viacej prútov). Táto metóda je použiteľná aj v prípade, keď je potrebné vypočítať osové sily v niektorých prútoch prútovej sústavy. Pri tejto metóde riešenia je prútová sústava rozdelená mysleným rezom cez tri prúty, pričom musia byť splnené nasledujúce podmienky:
- pri rozrezaní troch prútov je prútová sústava rozdelená na dve časti, - osi všetkých rozrezaných prútov nesmú byť súčasne rovnobežné, - osi všetkých rozrezaných prútov sa nesmú pretínať v jednom bode.
Pre ľubovoľne zvolenú časť rozrezanej prútovej sústavy sú zostavené rovnice rovnováhy. Účinky rozrezaných prútov sú nahradené osovými silami v smere osí rozrezaných prútov. Uvoľňovaná časť rozrezanej prútovej sústavy je zaťažovaná účinkami príslušných väzbových reakcií. Príklad 1.46
Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2. Vypočítajte veľkosť osových síl vo všetkých prútoch sústavy.
Dané: F1 = 600 N; F2 = 500 N; l = 2,1 m.
Obr. A
Obr. B
F1
Ay
C D
E
G
H
F2
l /3
10
l /3
l/3
l/3
l/3
l /3
l/2
By
Bx
N11 N11
N4
N1
N1
α
F1
Ay
CD
E
G
H
F2
l /3
1110
l /3
l/3
l/3
l/3
l /3
l/2
By
Bx
F1
A
B
CD
E
G
H
F2
l/3
11 10
l/3
l/3
l/3
l/3
l/3
l/2
57
Prútová sústava je upevnená na základný rám vo väzbách v bode A (posuvný rovinný rotačný kĺb - odoberá 1 stupeň voľnosti) a v bode B (rovinný rotačný kĺb - odoberá 2 stupne voľnosti). Statická určitosť danej prútovej sústavy podľa vzťahu (1.28)
0)1.21.1()117.2()2(3
1=+−−=−−= ∑
=jjjrpsn .
Úloha je staticky a tvarovo určitá, čiže prútová sústava je nepohyblivá. Väzbové reakcie vypočítame z rovníc rovnováhy uvoľneného prútového telesa (obr. A)
0:0
0:0
0:0
2B
1
2
=−−=
=−+=
=+−=
∑∑∑
lFlAM
FBAF
FBF
y
yyyi
xxi
N.500
N,1100N,500
2
1
2
−=−=⇒
=−=⇒==⇒
FA
AFBFB
y
yy
x
Každý styčník v prútovej sústave má tri prúty. Na výpočet osových síl v prútovej sústave je potrebné použiť priesečnú metódu. Myslený rez je vedený cez prúty 1, 4, 11 (obr. B). Účinky rozrezaných prútov sú nahradené osovými silami, pričom orientácia síl je zvolená ľubovoľne. Pre ľubovoľne zvolenú uvoľnenú časť sú zostavené rovnice rovnováhy (napr. pre pravú časť), z ktorých sú vypočítané osové sily v rozrezaných prútoch, t.j.
0αsincosα:0
0cosα:0
0αsin:0
424311B
41
1141
=++=
=−−=
=−−−−=
∑∑∑
NNlNM
NFBF
NNNBF
ll
yyi
xxi
N,67,666N,03,1118N,33,833
11
4
1
−=⇒=⇒
−=⇒
NNN
kde °=⇒==−
43,63α2tgα32
3ll
l.
Ďalej sú postupne uvoľňované jednotlivé styčníky tak, aby boli v každom uzle maximálne dve neznáme osové sily. Pre každý takýto styčník sú zostavené rovnice rovnováhy. Pri nahrádzaní prútov osovými silami musí byť dodržané, že v protiľahlých styčníkoch toho istého prúta platí princíp akcie a reakcie. Riešenie jednotlivých styčníkov (v poradí riešiteľnosti), rovnice rovnováhy a veľkosť osových síl sa nachádza v tabuľke 1.10. Tabuľka 1.10
Styčník Uvoľnenie Rovnice rovnováhy Osové sily
B
o3,56
23tg
0sin:0
0cos:0
3
2
37
31
=β⇒==β
=β++=
=β−−−=
∑∑
l
l
yyi
xxi
NNBF
NNBF N3 = 600,93 N
N7 = −1600 N
C
o69,3332
0sin:0
2
3
1011
=γ⇒==γ
=γ−−=∑
l
l
xi
tg
NNF
N10 = 1201,85 N
D o451
0sin:0
0cos:0
3
3
98
9112
=δ⇒==δ
=δ+−=
=δ++=
∑∑
l
l
yi
xi
tg
NNF
NNFF
N8 = − 166,67 N N9 = 235,70 N
x
y
Bx
By
N7
N1
β N3
x
y
N10
N11 N7
F1 γ
xy
F2
N8
N11
N9
δ
58
A
°=⇒==
=δ+++=
=+δ+=
∑∑
56,26εtgε
0sinεcos:0
0sinεcos:0
21
268
621
323l
l
NNNAF
NNNF
yyi
xi
N2 = 1414,21 N N6 = −372,68 N
E
0coscos:0 569 =−ε−δ=∑ NNNFyi N5 = 500 N
Vo všetkých prútoch v uvoľňovaných styčníkoch bolo predpokladané ťahové namáhanie. V prípade, že výpočtom bolo pre osovú silu vypočítané kladné znamienko, pôsobí v danom prúte ťah. V prípade záporného znamienka pôsobí v prúte tlak. Na základe výpočtov sú ťahom namáhané prúty: 2, 3, 4, 5, 10. Tlakom sú namáhané prúty: 1, 6, 7, 8, 11. Príklad 1.47
Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2, F3: - posúďte statickú určitosť danej prútovej sústavy, - vypočítajte vonkajšie väzbové reakcie, - styčníkovou metódou vypočítajte sily v prútoch 1÷9.
Dané: a = 2 m; b = 3 m; F1 = 3 kN; F2 = 4 kN; F3 = 2 kN
Výsledok: Ax = 6 kN ( ); Ay = 2,58 kN ( ); Cy = 5,58 kN ( ); veľkosti osových síl v prútoch namáhaných na ťah: N1 = 4,06 kN; N2 = 4,19 kN; N3 = 3,23 kN; N4 = 0,10 kN; N8 = 3,33 kN veľkosti osových síl v prútoch namáhaných na tlak: N5 = 0,10 kN; N6 = 6,98 kN; N7 = 2,13 kN; N9 = 3,33 kN
Príklad 1.48
Prútová sústava je zaťažená silami F1, F2, F3:- posúďte statickú určitosť prútovej sústavy, - vypočítajte vonkajšie väzbové reakcie, - priesečnou metódou vypočítajte sily v prú- toch 2, 3,4.
Dané: a = 0,3 m; b = 0,7 m; β = 30°; F1 = 3,5 kN; F2 = 5 kN; F3 = 5,5 kN
Výsledok: Ax = 2,25 kN ( ); Ay = 0,20 kN ( ); Ey = 8,07 kN ( ); veľkosť osovej sily v prúte namáhaného na ťah: N4 = 0,25 kN; veľkosti osových síl v prútoch namáhaných na tlak: N2 = 2,25 kN; N3 = 0,25 kN
b b
a
β
A
F2
F1
F3B D
C
EG
a
b b
a
a
A
F2
F1
F3
B
D
C
E
G
x
y
N5 N6
N9 δ
ε
x
y
N2 N8 δ
Ay N1
N6
ε
59
1.7 PASÍVNE ODPORY
V predchádzajúcich kapitolách boli uvažované ideálne väzby, čiže väzby s dokonale hladkými dotykovými plochami. V takých prípadoch pôsobili väzbové reakcie iba v smere normály k dotykovým plochám. V skutočnosti väzby hmotných objektov nemajú dokonale hladký povrch a v miestach dotyku vznikajú lokálne deformácie. V mieste dotyku vznikajú trecie sily, ktoré spôsobujú odklon nositeľky výslednej reakcie od normály k dotykovej ploche vzájomne pôsobiacich telies. Trecie sily pôsobia vždy proti smeru relatívnej rýchlosti pohybujúcich sa telies. Súhrnne sú tieto silové účinky nazývané pasívne odpory.
1.7.1 Šmykové trenie pri posuvnom pohybe Dotyková väzba odoberá jeden stupeň voľnosti aj v reálnych väzbách. Nahrádzame ju však dvoma väzbovými reakciami: normálovou (Fn) a trecou (Ft). Veľkosť normálovej reakcie je vypočítaná z rovníc rovnováhy uvoľneného hmotného objektu. Veľkosť trecej sily je určená na základe tzv. Coulombových vzťahov:
• pri relatívnom pohybe nt FfF = , kde f je faktor šmykového trenia, • pri relatívnom pokoji nT FfF 00 = , kde f0 je faktor adhézie, FT0 je adhézna trecia sila.
Pre veľkosť trecej sily v prípade suchého trenia platí, že trecia sila nezávisí od celkovej plochy spoločného dotyku telies. Platí, že faktor adhézie je väčší ako faktor šmykového trenia. Pri výpočtoch možno orientačne uvažovať f0 = (1,1 ÷ 1,8) f.
Obr. 1.12
a) pohybujúci sa hmotný objekt s uvažovaním trenia v dotykovej ploche b) uvoľnený hmotný objekt
Príklad 1.49 Vypočítajte veľkosť sily F potrebnej na posunutie homogénnej tyče s hmotnosťou m, dĺžky l. Tyč je opretá o stenu vysokú 1,8 m. Koniec tyče (bod A) je vo vzdialenosti d od zvislej steny. Faktor šmykového trenia f medzi tyčou, stenou a vodorovnou rovinou je rovnaký. Dané: m = 40 kg; l = 3,6 m; h = 1,8 m; d = 2,4 m; f = 0,6
A
B
h
v
F FnA FtA x
y
FnB
FtB
Gl/2
0 d α
l/2
G
Fn
Ft
Fv tg ϕ = f = Ft/Fn
b)
ϕ
v = konšt.
f
n a)
A
B
h l
F d
60
V bodoch A, B sú dotykové väzby odoberajúce po jednom stupni voľnosti pohybu. Statická určitosť pre teleso v rovine je vypočítaná pomocou vzťahu
1)0.30.22.1(333
1=++−=−= ∑
=jjjrn .
Úloha je staticky preurčená. Z rovníc rovnováhy je možné okrem väzbových reakcií vypočítať aj jeden prídavný parameter - veľkosť sily F. Po uvoľnení tyče sú väzby odstránené a nahradené reakciami. Keďže sú predpokladané reálne väzby, okrem normálových reakcií je potrebné uvažovať aj trecie sily pôsobiace v dotykovej ploche, pričom ich orientácia je proti relatívnemu pohybu. Z geometrických parametrov sú vypočítané doplňujúce údaje potrebné k výpočtu:
• uhol α, ktorý zviera tyč s vodorovnou rovinou: °==α 87,36arctg dh ,
• veľkosť dĺžky v opretého úseku medzi bodmi A, B: m322 =+= dhv . V zvolenom súradnicovom systéme sú zostavené rovnice rovnováhy
.cos:
,sincos:
,cossin:
00
00
00
2 =−α=
=α−α+−=
=α+α++−=
∑∑∑
vFGM
FFGFF
FFFFF
nBl
A
tBnBnAyi
tBnBtAxi
(c)(b)(a)
Rovnice rovnováhy sú doplnené vzťahmi pre trecie sily
.,
nBtB
nAtA
FfFFfF
==
)e()d(
Riešime sústavu piatich rovníc o piatich neznámych: F, FnA, FtA, FnB, FtB.
Z rovnice (c): FnB = 188,35 N , potom z rovnice (e): FtB = 113,01 N.
Z rovnice (b): FnA = 309,53 N a z rovnice (d) FtA = 185,72 N. Nakoniec z rovnice (a) určíme veľkosť sily potrebnej na posuv tyče: F = 389,14 N.
1.7.2 Šmykové trenie rotujúcich telies
Proti zmyslu otáčania čapov uložených v ložiskách vzniká v dotykových plochách medzi čapom a ložiskom trenie - odpor voči otáčaniu, tzv. čapové trenie. Veľkosť odporových síl možno vyjadriť trecím momentom, resp. momentom čapového trenia. Podľa smeru zaťaženia rotujúceho telesa a jeho uloženia sa čapy rozdeľujú na axiálne (zaťaženie pôsobí v smere osi čapu) a radiálne (zaťaženie pôsobí v smere kolmo na os čapu).
Moment čapového trenia pre radiálny čap:
QfrM ččt = , (1.29)
kde rč je polomer čapu, fč je faktor čapového trenia (fč = sin ϕ), Q je veľkosť zaťažujúcej sily.
Moment čapového trenia pre axiálny nezabehaný čap s dotykovou plochou v tvare medzikružia:
61
21
22
31
32
21
22
31
32
32
rrrrQf
rrrrQfM čt
−
−=
−
−= , (1.30)
kde r1, r2 sú polomery medzikružia, f je faktor šmykového trenia , Q je veľkosť zaťažujúcej sily a ffč 3
2= je faktor čapového trenia.
Moment čapového trenia pre axiálny zabehaný čap s dotykovou plochou v tvare medzikružia:
)()(21
2121 rrQfrrQfM čt +=+= , (1.31)
kde r1, r2 sú polomery medzikružia, f je faktor šmykového trenia a pre faktor čapového trenia platí ffč 2
1= .
Obr. 1.13
Rovinný rotačný kĺb - radiálny čap (odoberá dva stupne voľnosti pohybu pre dokonale hladké aj reálne väzby).
a) zobrazenie; b) uvoľnený hmotný objekt pri uvažovaní hladkých dotykových plôch; c) uvoľnený hmotný objekt pri uvažovaní trenia, Mt = rč fčQ, kde 22
yx RRRQ +== Príklad 1.50 Vypočítajte minimálnu veľkosť sily F potrebnej pre rotačný pohyb páky okolo čapu A v smere hodinových ručičiek s uvažovaním čapového trenia. Páku uvažujte nehmotnú. Dané: G = 103 N; a = 1 m; b = 2 m; rč = 10 mm; fč = 0,1
Obr. A Radiálny čap (rovinný rotačný kĺb) odoberá dva stupne voľnosti pohybu. Statická určitosť je vyjadrená pomocou vzťahu
1)0.31.20.1(333
1=++−=−= ∑
=jjjrn .
Úloha je staticky preurčená. Z rovníc rovnováhy okrem väzbových reakcií je vypočítaná aj veľkosť sily F, potrebná pre rovnomerný pohyb páky. Pri uvažovaní čapového trenia v dotykovej ploche medzi čapom a pákou je potrebné uvažovať aj trecí moment Mt (obr. A). Rovnovážne rovnice pre uvoľnenú páku
G
F
b a Ry
Rx
Mt
Rx
RyR
Rx
RyR
pohyb
Mt
a) b) c)
G
F
a b
rč
A
62
.0:0
,0:0
,0:0
=−+=
=−−=
==
∑∑∑
FbGaMM
FGRF
RF
tA
yyi
xxi
(c)(b)(a)
Zaťaženie čapu je v smere kolmom na jeho os, t.j. je uvažovaný radiálny čap a pre moment čapového trenia podľa vzťahu (1.29) možno písať
yččt RfrM = . (d)
Z uvedených rovníc sú vypočítané:
Ry = 1500,75 N; Mt = 1,435 Nm; F = 500,75 N.
1.7.3 Pásové trenie
Vzniká pri šmýkaní vlákien (oceľových pásov, lán, remeňov, reťazí) po povrchu telies s drsnou valcovou plochou. Vlákna sú uvažované ako dokonale ohybné a osové sily, vo vláknach pôsobia (pripájajú sa alebo odpájajú) v smere dotyčnice k danej valcovej ploche. Závislosť medzi veľkosťami síl N1, N2 na koncoch vlákna je daná Eulerovým vzťahom:
α21
feNN = , (1.32)
kde N1 je veľkosť ťahovej hnacej sily, N2 je veľkosť ťahovej hnanej sily, f je faktor šmykového trenia, α je uhol opásania kolesa alebo valca vláknom.
Obr. 1.14
Vlákno odoberá jeden stupeň voľnosti pohybu pri hladkých aj reálnych väzbách, pričom platí • N 1 = N 2 pri uvažovaní dokonale hladkých povrchov, • N 1 ≠ N 2 pri uvažovaní drsných povrchov (N1> N2 pre naznačený smer pohybu vlákna).
N2
α
N1
63
Príklad 1.51 Lano je ovinuté okolo pevnej tyče podľa obrázka. Na jednom konci lana je zavesené závažie neznámej hmotnosti m a na druhý koniec lana pôsobí sila F. Na zdvíhanie bremena smerom hore je potrebné pôsobiť na lano minimálnou silou o veľkosti F = 3 kN. Pri pôsobení sily o veľkosti F = 0,48 kN sa bremeno začína spúšťať smerom dole. Vypočítajte:
1. hmotnosť m zaveseného bremena, 2. faktor šmykového trenia medzi lanom a tyčou, ak veľkosť minimálnej sily pre zdvíhanie bremena je F = 5 mg.
uhol opásania α = 5π/2
1. Výpočet hmotnosti zaveseného bremena:
Sila v lane v mieste upevnenia bremena sa rovná tiažovej sile: G = mg. Veľkosť sily F je rôzna podľa smeru pohybu lana po tyči. • Pre zdvíhanie bremena F > G a platí
α= feGF , (a)
α= femg3000 . (b)
• Pre spúšťanie bremena F < G a platí
α= feFG , (c)
α= femg 480 . (d)
Elimináciou αfe v rovniach (b), (d) dostaneme:
kg3,122480.300081,91
4803000
==⇒==α mmgmg
e f .
2. Výpočet faktora šmykového trenia pre zdvíhanie bremena silou F = 5 mg:
Použitím rovnice (a), dosadením za F platí
2049,0609,15ln5ln5525 =
π=
α=⇒=α⇒=⇒= αα ffeemgmg ff .
Faktor šmykového trenia medzi lanom a tyčou je 20,=&f .
1.7.4 Valivý odpor
Pri valivom pohybe telies po podložke vzniká odpor voči valeniu, ktorý tiež pôsobí proti pohybu. Odpor valenia vzniká v dôsledku toho, že teleso a podložka nie sú dokonale tuhé a pri vzájomnom dotyku sa deformujú. Veľkosť valivého odporu závisí od kontaktných materiálov, kvality povrchu telesa a podložky, polomeru telesa, ktoré sa valí a od veľkosti
zdvíhanie bremena
F
α pohyb
G
spúšťanie bremena
α pohyb
F
G
F
64
zaťažujúcej sily. Proti valivému pohybu telesa pôsobí tzv. moment valenia, ktorý je možné vyjadriť vzťahom
eFM nv = , (1.33)
kde e [mm] je rameno valivého odporu. Valivá väzba odoberá dva stupne voľnosti pohybu (obr.1.15a). V dotykovej ploche medzi telesom a podložkou pôsobí trecia sila. Pri uvoľňovaní telesa je valivá väzba nahrádzaná dvoma väzbovými reakciami Ft a Fn, pričom normálová reakcia Fn je posunutá v smere pohybu o rameno valivého odporu e (obr. 1.15b) alebo reakciami Ft a Fn, pričom odpor voči otáčaniu musí byť zohľadnený momentom Mv (obr. 1.15c). Pre valivý pohyb telesa musí trecia sila spĺňať podmienku
nt fFF ≤ . (1.34)
Obr. 1.15
Príklad 1.52 Valec, na ktorý pôsobí tiažová sila G, sa valí po naklonenej rovine vplyvom pôsobiacej sily F tak, že stred valca má konštantnú rýchlosť v. Vypočítajte veľkosť sily a skontrolujte, či nedochádza k prešmykovaniu valca po naklonenej rovine.
Dané: f = 0,2; e = 4 mm; r1 = 0,2 m; r2 = 0,3 m; G = 100 N; α =15°
Valivá väzba odoberá v rovine dva stupne voľnosti pohybu. Pre určenie statickej určitosti valca valiaceho sa po naklonenej rovine platí vzťah
1)0.31.20.1(333
1=++−=−= ∑
=jjjrn .
Úloha je staticky preurčená. Z rovníc rovnováhy okrem väzbových reakcií je možné vypočítať aj veľkosť sily F, potrebnej pre rovnomerný pohyb valca po naklonenej rovine. Pri uvažovaní odporu voči valeniu je nositeľka normálovej reakcie posunutá v smere pohybu o rameno valivého odporu e. Rovnice rovnováhy pre uvoľnený valec (x-ová os súradnicového systému je zvolená v smere rovnobežnom s naklonenou rovinou a y-ová os má smer kolmý na naklonenú rovinu).
α α
F
S
G
Ft Fn
e
x
y α
α
F
v
r1
r2
G
pohyb r
a)
r
c) Fn Ft
Mv r
b) Fn
Ft
e
65
.:
,αcosαsin:
,αsinαcos:
S 00
00
00
12 =++−=
=−+−=
=−+=
∑∑∑
eFrFrFM
GFFF
GFFF
nt
nyi
txi
(c)(b)(a)
Z rovníc (a), (b) sú vyjadrené veľkosti reakcií
α.cosαsinα,cosαsin
GFFFGF
n
t
+=−=
a následne sú dosadené do rovnice (c), odkiaľ je vypočítaná veľkosť sily F, ktorou musíme pôsobiť na valec na dosiahnutie jeho rovnomerného pohybu po naklonenej rovine
N,)esinααcos(
α)coseαsin( 31112
1 =−+
+=
rrrGF .
Pre valivý pohyb bez prešmykovania musí byť splnená podmienka (1.34), t.j. musí platiť
nt fFF ≤ ,
N,,,N, 9195299209714 =⋅=≤= nt fFF .
Keďže uvedená nerovnica je splnená, nedochádza k prešmykovaniu valca po naklonenej rovine, ale len k valivému pohybu. 1.7.5 Sústavy telies s uvažovaním pasívnych odporov
Uvažovanie pasívnych odporov v sústavách telies je vzťahované k pohyblivým sústavám telies. Pre rovnováhu danej sústavy telies je uvažovaný rovnomerný pohyb a je potrebné vyjadriť veľkosť niektorého prídavného parametra na dosiahnutie rovnovážnej polohy. Metodika riešenia statickej rovnováhy sústav telies s uvažovaním pasívnych odporov je zhodná s riešením sústav telies s ideálnymi väzbami. Rozdiel v riešení je v tom, že je potrebné uvažovať reálne väzby, ktoré sú nahradené príslušnými reakciami. K rovniciam rovnováhy, ktoré sú zostavené pre uvoľnené telesá, je potrebné zostaviť ďalšie doplnkové rovnice, ktoré zohľadňujú príslušný druh pasívneho odporu vyskytujúceho sa v sústave. Vzťah na posúdenie statickej určitosti je zhodný so vzťahom pre sústavy telies s ideálnymi väzbami (1.26).
66
Príklad 1.53 Páková brzda slúži na rovnomerné spúšťanie bremena hmotnosti m. Vypočítajte akou silou je potrebné pôsobiť na jednoramennú páku na dosiahnutie rovnomerného pohybu bremena. Čapové trenie neuvažujte. Dané: f = 0,4; m = 40,77 kg; a = 0,22 m; b = 0,06 m; l = 0,68 m; r1 = 0,2 m; r2 = 0,12 m
Sústava telies sa skladá z páky , brzdového kotúča a základného rámu . Bremeno s hmotnosťou m predstavuje zaťažujúcu silu pôsobiacu na obvode kotúča . Vonkajšie väzby v bodoch A, C sú rovinné rotačné kĺby odoberajúce po dva stupne voľnosti pohybu. Vnútorná väzba medzi telesami v bode B je dotyková väzba, ktorá odoberá 1 stupeň voľnosti pohybu, aj keď tu uvažujeme šmykové trenie. Posúdenie statickej určitosti riešenej sústavy telies
1)2211()13(3)1(33
1=⋅+⋅−−=⋅−−= ∑
=jjrjtn .
Úloha je jedenkrát staticky preurčená. To znamená, že pre rovnováhu je potrebné z rovníc rovnováhy vypočítať jeden prídavný parameter z vonkajšieho zaťaženia. V tomto prípade ide o veľkosť sily F, ktorú je potrebné určiť na dosiahnutie požadovaného stavu. Jednotlivé telesá sú uvoľnené a pre každé z nich sú zostavené príslušné rovnice rovnováhy.
Rovnice rovnováhy pre teleso :
.0:0
,0:0
,0:0
3232A
32
32
=+−−=
=−−=
=+−=
∑∑∑
bFaFFlM
FFAF
FAF
tn
nyyi
txxi
(a)
Rovnice rovnováhy pre teleso :
.0:0
,0:0
,0:0
2231C
23
23
=+−=
=+−=
=−=
∑∑∑
rFGrM
FGCF
FCF
t
nyyi
txxi
(b)
Ax
F
b
Ay
Ft32 Fn32
G = mg
Fn23 Ft23
Cx
Cy G
A
Fa
l
b
r1
m
pohyb C
r2
B
67
Pre princíp akcie a reakcie vo vnútornej väzbe platí ., 32233223 nntt FFFF == )c(
Pre príslušný pasívny odpor - šmykové trenie je použitý vzťah
2323 nt fFF = . (d)
Riešením sústavy 9-tich rovníc (a)-(e) sú vypočítané hodnoty 9-tich neznámych.
[ ][ ] (N)5,12666,6666,6665,16666,6665,16663,4801,11866,666
(N)T
23233232T
−−=
=
x
x yxtntnyx CCFFFFFAA
Sila F vzhľadom na záporné znamienko získané výpočtom musí pôsobiť opačne. Príklad 1.54
Na naklonenej rovine je položený blok s hmotnosťou m, ktorý je ťahaný lanom preveseným cez nehmotnú hladkú kladku, na ktorom visí bremeno s hmotnosťou m0. Faktor šmykového trenia medzi blokom a naklonenou rovinou je f. Pasívne odpory v uložení kladky neuvažujte. Vypočítajte veľkosť hmotnosti m0 tak, aby bol blok v rovnováhe na naklonenej rovine. Dané: m = 100 kg; f = 0,3; α = 20° Výsledok: m0 = 62,39 kg
Príklad 1.55
Pri rovnomernom zdvíhaní bremena hmotnosti m1 je potrebné pôsobiť na čap bubna momentom M. Vypočítajte faktor čapového trenia v klznom ložisku - radiálny čap. Hmotnosť bubna je m.
Dané: m1 = 500 kg; m = 100 kg; M = 1510 Nm; R = 300 mm; rč = 25 mm
Výsledok:
fč = 0,262
m1
M
R
rč
m
α f
m
m0
68
Príklad 1.56 Vypočítajte veľkosť sily F, pôsobiacej na teleso sústavy telies tak, aby sa pohybovala rovnomerne smerom doprava. Tiažová silapôsobiaca na valec je G2, tiažová sila pôsobiaca na nosník je G3. Pri výpočte uvažujte faktor čapového trenia fč, rameno valivého odporu je e, faktor šmykového trenia medzi nosníkom a podložkou f. Poloha sústavy je daná vzdialenosťou a.
Dané: G2 = 200 N; G3 = 300 N; fč = 0,2; f = 0,3; e = 4 mm; a = 300 mm; r = 200 mm; rč = 20 mm; l = 500 mm; h = 50 mm
Výsledok: F = 67,97 N
T
G3 G2
a
l l
r
A
B
F
pohyb
rč h
69
2 KINEMATIKA
2.1 KINEMATIKA BODU
Spojitý sled polôh, ktoré tvorí bod pohybujúci sa v priestore, sa nazýva trajektória. Dráha bodu je veľkosť úseku trajektórie, ktorú bod prešiel za určitý časový interval. Pohyb bodu je definovaný funkciou argumentu času, tzv. polohovým vektorom r
)(trr = . (2.1)
Rýchlosť bodu v danom časovom okamihu v je daná vzťahom
rrv &==dtd . (2.2)
Rýchlosť charakterizuje časovú zmenu polohového vektora. Je to vektorová veličina, ktorá leží na dotyčnici k trajektórii v danom časovom okamihu a je orientovaná v smere pohybu. Jednotkou rýchlosti je ms-1. Rýchlosť bodu sa pri jeho pohybe mení čo do veľkosti aj smeru. Zmena rýchlosti je definovaná zrýchlením. Zrýchlenie bodu v danom časovom okamihu a je dané vzťahom
rvva &&& ===dtd . (2.3)
Jednotkou zrýchlenia je ms-2.
2.1.1 Pohyb bodu v karteziánskej súradnicovej sústave
Poloha bodu v karteziánskej súradnicovej sústave je určená polohovým vektorom
kjikjir )()()()( tztytxzyxt ++=++= , (2.4)
kde x = x(t), y = y(t), z = z(t) sú parametrické rovnice definujúce polohu bodu a i, j, k sú jednotkové vektory. Vektor rýchlosti pohybu bodu
kjikjikjirv zyx vvvzyxdtdz
dtdy
dtdx
dtd
++=++=++== &&& , (2.5)
kde vx ,vy, vz sú zložky rýchlosti v smere osi x, y, z. Veľkosť rýchlosti
222zyx vvvv ++== v . (2.6)
Vektor zrýchlenia bodu
kjikjikjiva zyxzyx aaazyxvvvdtd
++=++=++== &&&&&&&&& , (2.7)
kde ax ,ay, az sú zložky zrýchlenia v smere osi x, y, z. Veľkosť zrýchlenia
222zyx aaaa ++== a . (2.8)
70
Pohyb bodu v rovine Ak sa bod pohybuje iba v rovine x, y, z toho vyplýva, že všetky z-tové zložky kinematických veličín v predchádzajúcich vzťahoch sú nulové, t.j. platí
0,0,0 === zz avz .
2.1.2 Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave
Vo valcových súradniciach je pohyb bodu daný parametrickými súradnicami
).(),(),( tzztt =ϕ=ϕρ=ρ (2.9)
Transformačné vzťahy medzi valcovými a karteziánskymi súradnicami
.,sin,cos zzyx =ϕρ=ϕρ= (2.10)
Obr. 2.1 Obr. 2.2
Polohový vektor bodu vo valcovom súradnicovom systéme je daný zzkir +ρ= ρ . (2.11)
Vektor rýchlosti bodu
zzzz vvvzdtdz
dtd
dtd kjikjik
iiv ++=+ϕρ+ρ=+ρ+
ρ= ϕϕρρϕρ
ρρ &&& , (2.12)
kde platí ϕρ ϕ=ϕϕ+ϕϕ−= jji
i&&& )(cos)sin(
dtd
.
Pre veľkosť rýchlosti platí
222222 )()()( zvvvv z &&& +ϕρ+ρ=++== ϕρv (2.13)
Vektor zrýchlenia bodu
,)2()( 2
zzz
z
aaazdtzd
dtd
dtd
dtd
dtd
kjikji
kj
jji
ia
++=+ϕρ+ϕρ+ϕρ−ρ=
+ϕρ+ϕ
ρ+ϕρ+ρ+ρ
=
ϕϕρρϕρ
ϕϕϕ
ρρ
&&&&&&&&
&&
&&&&
&
(2.14)
kde ρϕ ϕ−=ϕϕ−+ϕϕ−= iji
j&&& )sin()cos(
dtd
,
- radiálna zložka zrýchlenia ρρ ϕρ−ρ= ia )( 2&&& , (2.15) - transverzálna zložka zrýchlenia ϕϕ ϕρ+ϕρ= ja )( &&&&2 . (2.16)
x y
z
z(t)
ρ(t) ϕ(t)
r
L
iρ
jϕ kz = k
i j
kkjij
jii
=
ϕ+ϕ−=
ϕ+ϕ=
ϕ
ρ
z
cossin
sincos
i
j
iρ jϕ
ϕ ϕ
71
Pre veľkosť zrýchlenia platí
222zaaaa ++== ϕρa . (2.17)
Ak sa 0=z , 0=zv , 0=za hovoríme o polárnom súradnicovom systéme s jednotkovými vektormi iρ , jϕ (obr. 2.2). Polárne súradnice sú špeciálnym prípadom valcových súradníc. 2.1.3 Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave
Začiatok tejto súradnicovej sústavy je pevne spojený s bodom pohybujúcim sa po krivke, jeho poloha sa s časom mení. V každej polohe bodu je možné zostrojiť dotyčnicu (t), normálu (n) a binormálu (b). Tieto priamky tvoria osi prirodzenej súradnicovej sústavy a zároveň tvoria tzv sprievodný trojhran priestorovej krivky s jednotkovými vektormi bnt kji ,, (obr. 2.3).
Obr. 2.3
Pohyb bodu je určený rovnicou
),(resp.)( st rrrr == )(kde tss = .
Rýchlosť bodu
tt sv iiv &== , (2.21)
kde dsd
tri = je jednotkový tangenciálny vektor. (2.22)
Zrýchlenie bodu
nnttntt
t aaRvv
dtd
vdtdv
dtd jijiiiva +=+=+==
0
2& , (2.23)
kde R0 je polomer krivosti dráhy bodu,
KnKj = - jednotkový normálový vektor, (2.24)
dsd tiK = - vektor flexnej krivosti,
23
23
])(1[)(
12220 y
y
yx
xyyxR
K′+
′′=
+
−==
&&
&&&&&& - flexná krivosť rovinnej krivky, (2.25)
dxdyy =′ , 2
2
dxydy =′′ - prvá a druhá derivácia podľa súradnice x,
it
jn
i
j
k x
y
z
kb t
n
b
s r
v at
an a
72
vat &= - tangenciálna zložka zrýchlenia,
0
2
Rvan = - normálová zložka zrýchlenia.
Veľkosť výsledného zrýchlenia
22nt aaa +== a . (2.26)
Tangenciálne zrýchlenie charakterizuje zmenu veľkosti rýchlosti a normálové zrýchlenie charakterizuje zmenu smeru rýchlosti. Pohyb bodu sa odohráva v rovine tvorenej dotyčnicou a normálou, v tzv. oskulačnej rovine. Zložka zrýchlenia v smere binormály je vždy nulová ab = 0. Jednotkové vektory bnt kji ,, (vektory sprievodného trojhranu priestorovej krivky) tvoria pravouhlý pravotočivý systém - súradnicový systém, preto platí ntb jik ×= , bnt kji ×= , tbn ikj ×= . (2.27)
Pohyb bodu po priamke Ak je traktóriou bodu priamka, hovoríme o priamočiarom pohybe. Pohyb bodu je určený rovnicou )(ts = (obr. 2.4). Pre pohyb bodu po priamke musí platiť: .konšt=ti Bod má len zrýchlenie tangenciálne, normálové zrýchlenie je vždy nulové, smer rýchlosti sa nemení
Obr. 2.4
a) Pri rovnomernom pohybe konšt.=v a 0==dtdva .
Veľkosť dráhy prejdenú bodom po priamke určíme integráciou rýchlosti v (pri uvažovaní začiatočných podmienok: t = 0, s = s0: 0svts += .
b) Pri rovnomerne zrýchlenom (spomalenom) pohybe konšt.== taa : - rovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - rovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a. Veľkosť rýchlosti bodu určíme integráciou tangenciálneho zrýchlenia at )( vat &= , an = 0 (pri uvažovaní začiatočných podmienok: t = 0, at = a = konšt., v = v0, s = s0: 0vatv += .
Veľkosť dráhy prejdenú bodom určíme integráciou rýchlosti v )( sv &= : 002
21 stvats ++= .
c) Všeobecný pohyb bodu po priamke nastáva, ak: )(ttaa = - nerovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - nerovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a.
Pohyb bodu po krivke Ak je traktóriou bodu krivka, hovoríme o krivočiarom pohybe. Pohyb bodu je určený rovnicou )(tss = . Pre pohyb bodu po krivke musí platiť: .konšt≠ti
a) Pri rovnomernom pohybe konšt.v = a 0,00
2≠===
Rvava nt&
& .
b) Pri rovnomerne zrýchlenom (spomalenom) pohybe 0konšt., ≠= nt aa : - rovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - rovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a.
0
L
s
it
73
c) Všeobecný pohyb bodu po krivke nastáva, ak: 0),( ≠= ntt ataa : - nerovnomerne zrýchlený pohyb: sgn v = sgn a. - nerovnomerne spomalený pohyb: sgn v ≠ sgn a.
Pohyb bodu po kružnici Pohyb bodu po kružnici (obr. 2.5a) je určený pohybom jeho sprievodiča )(tϕϕ = a možno ho skúmať rôznymi spôsobmi. a) V karteziánskych súradniciach je opísaný rovnicou jir yx += , (2.28)
kde ϕ=ϕ= sin,cos ryrx . (2.29)
a)
b)
Obr. 2.5
Vektor rýchlosti bodu
jirv ϕϕϕϕ cossin &&& rr +−== . (2.30)
Veľkosť rýchlosti
ϕ=ϕϕ+ϕϕ−= &&& rrrv 22 )cos()sin( . (2.31)
Vektor zrýchlenia bodu
jijia )sincos()cossin( 22 ϕϕ−ϕϕ+ϕϕ+ϕϕ−=+= &&&&&&&&&& rryx . (2.32)
Veľkosť zrýchlenia
422222 )sincos()cossin( ϕ+ϕ=ϕϕ−ϕϕ+ϕϕ−ϕϕ−= &&&&&&&&& rrrrra . (2.33)
Trajektória bodu je určená z rovníc pohybu x, y (2.29)
2222
2
2
2
22
1
sin
cos
1)(sin)(cos
ryxry
rx
ryrx
=+⇒=+
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=ϕ
=ϕ
=ϕ+ϕ
, (2.34)
t.j. rovnica kružnice s polomerom r a stredom v začiatku súradnicového systému.
b) V prirodzených súradniciach je pohyb bodu daný dráhou prejdenou po kružnici s
x
t
r
L
v
s
n
at
an
a
0x
y
r ϕ
L(x, y)
0
74
ϕrs = . (2.35)
Rýchlosť bodu
tviv = a pre veľkosť rýchlosti ϕ&& rsv == . (2.36)
Zrýchlenie bodu
ϕjia ntt aa += , ⇒ 42 ϕ+ϕ= &&&ra (2.37)
kde ϕ&&& rvat == je tangenciálna zložka zrýchlenia, 22
0
2 )(ϕ=
ϕ== &
&r
rr
Rvan je normálová
zložka zrýchlenia, rR =0 je polomer krivosti dráhy, ktorý sa rovná polomeru kružnice.
Príklad 2.1 Os pohybujúcej sa tyče prechádza stále bodom O a bod B ležiaci na tyči sa pohybuje konštantnou rýchlosťou c po priamke p. Určte rovnice pohybu a vyjadrite vektor rýchlosti bodu M .
Dané: c = konšt; l, l0
v čase t = 0 s: B ≡ B0, os tyče ≡ x, sústava je v kľude
Bod M koná krivočiary pohyb v rovine. Nájsť rovnice pohybu znamená určiť v karteziánskom súradnicovom systéme jeho súradnice xM, yM ako funkcie času. Bod B sa pohybuje po priamke p konštantnou rýchlosťou c, pričom pre dráhu prejdenú bodom B možno písať
B0B = s = ct.
V ľubovoľnom čase je z geometrie trojuholníka OB0B vyjadrený uhol ϕ
lct
lct
larctg
BBtg 0 =ϕ⇒==ϕ . (a)
Pre súradnice bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave možno písať
,arctgsinsin
,arctgcoscos
00M
00M
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=ϕ+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=ϕ+=
lctlctlcty
lctllllx
(b)
kde uhol ϕ je funkciou času (a) a potom polohový vektor bodu M
.arctgsinarctgcos 00MMM jijir ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=
lctlct
lctllyx (c)
Vektor rýchlosti bodu M dostaneme deriváciou polohového vektora (c) podľa času
O
B
B0
M
M0
x
y c
l
l0
p
rM
yM ϕ
ϕ xM
ρ
75
.arctgcos)(
arctgsin)(
220220
MMM
ji
jiv
44444 344444 2144444 344444 21
&&
yx vv
lct
ctlcllc
lct
ctlcll
yx
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+=
Veľkosť rýchlosti bodu M je možné vyjadriť pomocou vzťahu
22M yx vvv += .
Goniometrické funkcie vo vzťahu (b) možno vyjadriť aj pomocou prepony pravouhlého trojuholníka OB0B
22 )(OB ctl += , (d)
2222 )(
cos;)(
sinctl
l
ctl
ct
+=ϕ
+=ϕ .
Dosadením do vzťahov (b) polohový vektor možno zapísať potom aj v tvare
jir ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
220220M)()( ctl
ctlctctl
lll .
Vektor rýchlosti má potom tvar
jiv⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++
+−=
32
32
])([])([ 22
20
22
20
Mctl
cllcctl
tlcl .
Polohu bodu M a jeho pohyb je možné určiť aj v polárnom súradnicovom systéme. Súradnice bodu M v polárnom súradnicovom systéme sú
220 )()(ρ ctllt ++=ρ= ,
lctt arctg)( =ϕ=ϕ .
Polohový vektor bodu M v polárnom súradnicovom systéme
ρρ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++=ρ= iir 22
0M )(ctll .
Vektor rýchlosti možno vyjadriť
ϕρϕϕρρϕρ
ϕρ
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
++
=+=ϕρ+ρ= jijijiv444 3444 2143421
&&
vv
ctl
ctlllc
ctl
tcvv 22
220
22
2
)(
)(
)(
a jej veľkosť
2222 )()( ϕρ+ρ=+== ϕρ &&vvv v .
76
Príklad 2.2
Po ramene o otáčajúcom sa podľa vzťahu tω=ϕ , kde ω = konšt., sa pohybuje bod M
konštantnou rýchlosťou veľkosti c. Vypočítajte veľkosť rýchlosti a zrýchlenia bodu M. Na začiatku pohybu bolo rameno vo vodorovnej polohe a bod M sa nachádzal vo vzdialenosti l0 od bodu 0 (M0).
Dané: c = konšt; ω = konšt., l0
1. spôsob riešenia - v karteziánskom súradnicovom systéme (0, x ,y)
Dráha, ktorú bod M prejde konštantnou rýchlosťou je vyjadrená vzťahom
cts == MM0 .
Parametrické rovnice pohybu bodu M majú tvar
.sin)(sin)(,cos)(cos)(
00M
00M
tctlctlytctlctlx
ω+=ϕ+=ω+=ϕ+=
Veľkosti zložiek vektora rýchlosti bodu M
[ ]
[ ].cos)(sin
sin)(
,sin)(coscos)(
00
00
tctltcdtctld
yv
tctltcdt
tctldxv
y
x
ωω++ω=ϕ+
==
ωω+−ω=ω+
==
&
&
Pre celkovú veľkosť rýchlosti bodu M platí
20
2222 )( ctlcvvv yx +ω+=+= .
Veľkosti zložiek vektora zrýchlenia bodu M
,]sin)(cos2[
]cos)(sin[
,]cos)(sin2[]sin)(cos[
20
0
20
0
tctltcdt
tctltcdva
tctltcdt
tctltcdva
yy
xx
ωω+−ωω=ωω++ω
==
ωω++ωω−=ωω+−ω
==
&
&
a pre celkovú veľkosť zrýchlenia bodu M dostaneme
20
2222 )(4 ctlcaaa yx +ω+ω=+= .
2. spôsob riešenia - v polárnej súradnicovej sústave
Parametrické rovnice pohybu bodu M majú tvar:
.
,0
tctl
ω=ϕ+=ρ
0
M
M0 x
y
c l0 yM
ϕ
xM
ρ
o
77
Veľkosti zložiek vektora rýchlosti bodu M
.)(
,
0 ω+=ϕρ=
=ρ=
ϕ
ρ
ctlv
cv&
&
Veľkosť vektora rýchlosti bodu M je potom vyjadrená v tvare
20
222222 )()( ctlcvvv +ω+=ϕρ+ρ=+= ϕρ && .
Veľkosti zložiek vektora zrýchlenia bodu M
.22
,)( 20
2
ω=ϕρ+ϕρ=
ω+−=ϕρ−ρ=
ϕ
ρ
ca
ctla&&&&
&&&
Veľkosť vektora zrýchlenia bodu M
220
222222 4)()2()( cctlaaa ++ωω=ϕρ+ϕρ+ϕρ−ρ=+= ϕρ &&&&&&& .
Príklad 2.3
Bod koná zrýchlený pohyb po krivke tak, že jeho oblúková súradnica vzhľadom na začiatočnú polohu definovanú bodom 0 je s = bekt [m], a to tak, že vektor výsledného zrýchlenia pohybu bodu zviera s vektorom rýchlosti stále konštantný uhol α. Určte veľkosti nasledujúcich kinematických veličín: v(t), v(s), at(t), an(t), a(t), R0 Dané: konštanty b [m] > 0, k [1/s] > 0
Vzhľadom na to, že je definovaná oblúková súradnica polohy bodu, bude teda pohyb bodu skúmaný v prirodzenej súradnicovej sústave. Veľkosť rýchlosti je vyjadrená v tvare
ktebkstv == &)( ,
resp. ako funkcia súradnice s
sksv =)( .
Veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia je
ktt ebkvta 2)( == & .
Vektor výsledného zrýchlenia a je možné rozložiť pomocou kolmých priemetov do smeru dotyčnice a normály dráhy bodu v príslušnom časovom okamihu.
Vzhľadom na to, že nositeľka rýchlosti a tangenciálneho zrýchlenia je totožná priamka, pre veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia potom platí
α
=α
=⇒α=coscos
cos2 kt
tt
ebkaaaa .
Veľkosť normálového zrýchlenia je vyjadrená podobným spôsobom v tvare
α=αα
=α= tgebkebkaa ktkt
n2
2sin
cossin .
0
s
v t n
α a
at
an
78
Polomer krivosti dráhy je určený v tvare
α
=α
==tgtg
)(2
22
0
kt
kt
kt
n
beebkebk
avR .
Príklad 2.4 Pre zadané parametrické rovnice pohybu bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave je potrebné určiť: 1. kinematické veličiny ako funkcie času: v, v, a, a, at, an, 2. polomer krivosti trajektórie R0.
Dané: x =ktsin(bt) [m], y = ktcos(bt) [m], k = 1,0 ms−1, b = 1,0 s−1 Polohový vektor bodu M vzhľadom na zadané parametrické rovnice má tvar
jir tttt cossin += . 1. Výpočet požadovaných kinematických veličín:
Polohový vektor jir )cos()sin ( tttt += . Vektor rýchlosti
jirv )sincos()cossin( ttttttdtd
−++== .
Vektor zrýchlenia
jiva )cos2sin()sin2cos( ttttttdtd
−−+−== .
Veľkosti vektorov rýchlosti a zrýchlenia sú získané pomocou vzťahov
.4)cos2sin()sin2cos(
,1)sincos()cossin(
22222
22222
tttttttaaa
tttttttvvv
yx
yx
+=−−+−=+=
+=−++=+=
Pre veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia
2
2
11
t
ttdtd
dtdvvat
+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +=== & .
Na základe veľkosti výsledného zrýchlenia a a jeho tangenciálnej zložky zrýchlenia at je možné vyjadriť veľkosť normálovej zložky zrýchlenia an, t.j. platí
2
22222
1
2
t
taaaaaa tnnt+
+=−=⇒+= .
2. Výpočet polomeru krivosti dráhy R0 je určený zo vzťahu pre výpočet normálovej zložky zrýchlenia, t.j. platí
2
2
2
2
22
00
2
2)1(
1
21 2
3
tt
t
tt
avR
Rva
nn
+
+=
+
+
+==⇒= .
79
Príklad 2.5 Pre zadané parametrické rovnice pohybu bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave je potrebné určiť: 1. jednotkové vektory sprievodného trojhranu priestorovej krivky ako funkcie času it, jn, kb, 2. polomer krivosti trajektórie R0.
Dané: )(sin tbkx 12
1= [m], )sin( tbky 22= [m], 1k = 1,0 m, 21
2 =k m, 1b = 1,0 s−1, 2b = 2,0 s−1
1. Výpočet jednotkových vektorov sprievodného trojhranu priestorovej krivky:
Polohový vektor bodu M má tvar
jijir )2sin()(sin 212
MMM ttyx +=+= .
Totálny diferenciál polohového vektora je vyjadrený vzťahom
dtttdttttdtdt
dd ])2(cos)2[(sin])2(cos)cossin2[(M
M jijirr +=+== ,
pričom pre jeho veľkosť platí
dtdtttds =+= 22M )2(cos)2(sin .
Pre jednotkový tangenciálny vektor it platí
jijiv
rri tt
tttv
dtdsdt
d
dsd
t 2cos2sin1
)2cos2()cossin2( 21
M
M
M
M
M
M +=+
==== .
Vektor flexnej krivosti je vyjadrený v tvare
ji
iiiK tt
vdtd
dtdsdtd
dsd
ttt 2sin22cos2
MMM−====
a jeho veľkosť
2)2sin2()2cos2( 2222 =−+=+= ttKKK yx m−1.
Pre jednotkový normálový vektor potom platí
jiKj ttKn 2sin2cos −== .
Jednotkový binormálový vektor je vyjadrený z vektorového súčinu
kkji
jik )2cos2sin(02sin2cos02cos2sin 22 tt
ttttntb −−=
−=×= .
2. Polomer krivosti dráhy R0 je možné vypočítať aj z veľkosti vektora flexnej krivosti, t.j.
211
0 ==K
R m.
80
Príklad 2.6 Bod sa pohybuje po priamke tak, že jeho poloha v čase t je daná vzťahom: txx ω= sin0 [m], kde x0 [m] a ω [rad/s]sú konštanty. Vyjadrite:
1. veľkosť rýchlosti bodu ako funkciu dráhy v(x), 2. veľkosť zrýchlenia bodu ako funkciu dráhy a(x), 3. veľkosť zrýchlenia bodu ako funkciu veľkosti rýchlosti a(v).
1. Výpočet veľkosti rýchlosti ako funkcie dráhy.
0
0 sinsinxxttxx =ω⇒ω= ,
0
0 coscosxvttx
dtdxv
ω=ω⇒ωω== .
Použitím vzťahu 122 =α+α sincos je získaná rovnica
220
2
0
2
0)(1 xxxvv
xx
xv
−ω==⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
,
čo je rovnica elipsy znázornená na obr. A.
2. Výpočet veľkosti zrýchlenia ako funkcie dráhy.
)(sin 20
2 xaxtxdtdva =ω−=ωω−== .
Uvedená rovnica pre a = a(x) predstavuje rovnicu priamky (obr.B).
3. Výpočet veľkosti zrýchlenia ako funkcie rýchlosti.
.coscos
,sinsin
00
020
2
xvttxv
xattxa
ω=ω⇒ωω=
ω−=ω⇒ωω−=
Po dosadení do vzťahu 1sincos 22 =α+α je získaná rovnica
220
22
0
2
02 1 vxa
xv
xa
−ωω=⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ω,
čo predstavuje rovnicu elipsy (obr. C).
Obr. A Obr. B Obr. C
v
a
0 ωx0
ω2x0
x
a
0
a = − ω2x
x
v
0 x0
ωx0
81
Príklad 2.7 Body K a L sú spojené lanom dĺžky l. Bod K sa pohybuje zo začiatočnej polohy K0, v ktorej mal nulovú rýchlosť, konštantným zrýchlením aK po vodorovnej rovine. Určte dráhu, rýchlosť a zrýchlenie bodu L ako funkciu času t. Jeho začiatočná poloha je daná bodom L0. Dané: aK = konšt; l, h
Výsledok:
htahx −+= 42K
221 4
42K
2
32
4
K
tah
tav
+=
23
K
]4[
)12(
42K
2
2242K
2
tah
tataha
+
+=
Príklad 2.8 Pre zadané parametrické rovnice pohybu bodu M v karteziánskej súradnicovej sústave je potrebné určiť: 1. kinematické veličiny ako funkcie času: v, v, a, a, at, an, 2. polomer krivosti trajektórie R0 .
Dané: 21tkx = [m], )ln(btky 2= [m], 1k = 1,0 ms−2, 2k = 1,0 m, b = 1,0 s−1
Výsledok:
jiv tt 12 += 2124t
tv += jia 212t
−= 414t
a +=
14
1442
4
+
−=
tt
tat 14
44 +
=t
an 2
4
04
)14( 23
ttR +
=
Príklad 2.9 Automobil sa pohybuje po priamočiarej ceste rýchlosťou v0. Jeho spomalenie je dané vzťahom kva −= [ms−2] (k je konštanta [s−1]). Počas spomalenia má zablokované všetky kolesá. Vypočítajte: 1. veľkosť rýchlosti automobilu počas brzdenia ako funkciu času v(t), 2. veľkosť brzdnej dráhy ako funkciu času x(t), 3. veľkosť rýchlosti ako funkciu veľkosti dráhy v(x).
Výsledok:
kxvxvvekv
txxevtvv ktkt −==−==== −−0
00 )()1()()(
h
x
s
K0 K
L0
L
H
aK
82
Príklad 2.10 Vypočítajte jednotkové vektory prirodzeného súradnicového systému, ak je pohyb bodu definovaný polohovým vektorom:
kjir tvtbtb 0sincos +ω+ω= ,
kde ][m.s ,][rad.s ,[m] -1-10vb ω sú konštanty > 0.
Výsledok:
kjik
jij
kjii
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ω
ω+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ω
+ω−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ω
+ω=
ω−ω−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+ω+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ω
+ω
ω−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ω
+ω
ω−=
20
2220
220
20
220
20
220
20
2220
22
cossin
sincos
cossin
vb
btvb
vt
vb
v
tt
vb
vt
vb
btvb
b
b
n
t
2.2 KINEMATIKA TUHÉHO TELESA
2.2.1 Posuvný pohyb telesa v rovine
Obr. 2.6
Teleso koná posuvný pohyb (obr.2.6) ak vektor pevne spojený s telesom rBA pri pohybe nemení svoju veľkosť ani smer. Všetky body telesa sa pohybujú po zhodných trajektóriách.
Podľa tvaru trajektórie je posuvný pohyb telesa: • priamočiary - dráhy bodov sú priamky, • krivočiary - dráhy bodov sú krivky.
Pre jednotlivé vektory platí:
konšt.konšt.)(konšt.)(
BA
AA
BB
=≠=≠=
rrrrr
tt
konšt.
konšt.)(
konšt.)(
BABA
AA
BB
==
≠=
≠=
r
tr
tr
rrr
Polohový vektor ľubovoľného bodu B telesa
BAAB rrr += . (2.37)
Rýchlosť bodu B telesa
ABA
AB vrvv
0
=+=321dt
d. (2.38)
Zrýchlenie bodu B telesa
i
j
x
y
krivočiary posuvný pohyb
0
rA
rB
rBA
A
B
rBA
A′
B′
B∗
rBA
A∗
priamočiary posuvný pohyb
83
AB aa = . (2.39)
Všetky body telesa konajúceho posuvný pohyb majú rovnakú rýchlosť a zrýchlenie. Pri posuvnom pohybe telesa stačí skúmať pohyb jeho jediného bodu. 2.2.2 Rotačný pohyb telesa
Teleso koná rotačný pohyb, ak jedna jeho priamka zostáva trvalo v kľude (obr. 2.7a). Táto priamka je stála os rotácie s jednotkovým vektorom e. Všetky body na stálej osi rotácie majú nulovú rýchlosť. Rotačný pohyb telesa je definovaný, ak je známa časová závislosť uhla pootočenia ϕ = ϕ(t), ktorý zviera sprievodič ľubovoľného bodu s pevne zvolenou priamkou p. Časová zmena uhla pootočenia je charakterizovaná uhlovou rýchlosťou
ϕ=ϕ
=ω=ω &dtdt)( [rad/s]. (2.40)
Uhlová rýchlosť je vektorová veličina. Je to vektor viazaný s osou rotácie, t.j. platí eω ω= . (2.41) Časová zmena uhlovej rýchlosti je charakterizovaná uhlovým zrýchlením
ϕ=ϕ
=ω=ω
=ε=ε &&&2
2)(
dtd
dtdt [rad/s2]. (2.42)
Uhlové zrýchlenie je tiež vektorová veličina, t.j. platí eε ε= . (2.43)
a) b) c)
Obr. 2.7
Všetky body telesa sa pohybujú po zhodných trajektóriach (obr. 2.7b), ktoré sú sústrednými kružnicami. Trajektória bodu B je teda kružnica ležiaca v rovine, ktorá je kolmá na os rotácie telesa. Vzdialenosť r ľubovoľného bodu od osi rotácie (bod 0) sa nemení a poloha bodu B je určená polohovým vektorom rBA ( BAr=r ).
Pre jednotlivé vektory platí (obr.2.7c):
konšt.)(
konšt.konšt.)(
BABA
A
BB
≠==
≠=
t
t
rrr
rr
konšt.
konšt.,
konšt.,)(
BABA
AA
BB
==
==
≠=
r
r
tr
rrr
Polohový vektor ľubovoľného bodu B telesa
BAAB rrr += . (2.44)
Rýchlosť pohybu bodu B pri rotačnom pohybe telesa vyjadrená v tvare
A≡0p
ϕ
t
n
vB
aBt
aBnaB
rBA
B
rA
rB
rBA
A
B
0 x
y
x`
y`
ϕ
e
0 ϕ
ω
ε
. p
B
84
{
BABABA
0
ABB rωvrrrv ×==+==
dtd
dtd
dtd ⇒ rv ω== BBv ; )( BAvω⊥ . (2.45)
Zrýchlenie bodu je definované vzťahom
.)(
,)(
BBBABAB
BABABA
BABB
nt
dtd
dtd
dtd
dtd
dtd
aarωωrεa
rωrωrωvva
+=××+×=
×+×=×=== (2.46)
Zrýchlenie je pri rotačnom pohybe telesa rozdelené na dve zložky: • tangenciálne zrýchlenie - leží na dotyčnici k trajektórii bodu B
BAB rεa ×=t ⇒ ra tt ε== BBa ; )( BArε ⊥ , (2.47)
• normálové zrýchlenie - leží na normále k trajektórii bodu B a smeruje do osi rotácie
BABAB )( vωrωωa ×=××=n ⇒ ra nn2
BB ω==a ; )( BAvω ⊥ . (2.48)
Priebeh rotačného pohybu
a) Rovnomerný rotačný pohyb telesa: konšt.=ω , 0ωε == & . Pre začiatočné podmienky: t = 0 s, ϕ = ϕ0 je uhol pootočenia sprievodiča bodu telesa: 0ϕωϕ += t .
b) Rovnomerne zrýchlený (spomalený) rotačný pohyb telesa: konšt.=ε : - rovnomerne zrýchlený rotačný pohyb: sgn ω = sgn ε, - rovnomerne spomalený rotačný pohyb: sgn ω ≠ sgn ε. Pre začiatočné podmienky - t = 0 s, ω(0) = ω0, ϕ(0) = ϕ 0: - uhlová rýchlosť: 0)( ω+ε=ω=ω tt ,
- uhol pootočenia: 002
21 ϕωεϕ ++= tt .
c) Všeobecný rotačný pohyb telesa: .konšt)( ≠= tεε : - nerovnomerne zrýchlený rotačný pohyb: sgn ω = sgn ε, - nerovnomerne spomalený rotačný pohyb: sgn ω ≠ sgn ε.
85
2.2.3 Všeobecný pohyb telesa v rovine
Všeobecný pohyb telesa v rovine je možné rozdeliť na translačný pohyb, charakterizovaný pobybom referenčného bodu - bod A (obr. 2.8) a rotačný pohyb telesa okolo osi rotácie, ktorá prechádza referenčným bodom.
a)
b)
Obr. 2.8
Pre jednotlivé vektory platí:
konšt.)(konšt.)(konšt.)(
BABA
AA
BB
≠=≠=≠=
ttt
rrrrrr
konšt.
konšt.,)(
konšt.,)(
BABA
AA
BB
==
≠=
≠=
r
tr
tr
rrr
Polohový vektor bodu B je vyjadrený v tvare .BAAB rrr += (2.49) Rýchlosť a zrýchlenie bodu B telesa (obr. 2.9) sú určené pomocou prvej, resp. druhej derivácie polohového vektora rB podľa času
BAABAAB
B dtrωvvvrv ×+=+==
d , (2.50)
4434421321
BA
BA
BA
BAABAA2B
2B
B )(dtdt
nt
dd
arωω
arεaaarva ××+×+=+=== . (2.51)
Rýchlosť vA a zrýchlenie aA reprezentujú translačný pohyb telesa vzhľadom na pevný súradnicový systém (0, x, y). Rýchlosť vBA a zrýchlenie aBA reprezentujú rotačný pohyb telesa okolo osi rotácie prechádzajúcej referenčným bodom vzhľadom na pohyblivý súradnicový systém (A, x´, y´).
2.2.4 Okamžitý stred otáčania
Okamžitý stred otáčania - OSO - označený bodom K je bod, ktorého rýchlosť je v danom časovom okamihu nulová. Na základe (2.50) pre rýchlosť bodu K platí
0rωωvv =××+= )( KAAK . (2.52) Odtiaľ pre polohu OSO vzhľadom na pevný súradnicový systém platí
2A
AKAAKω
vωrrrr ×+=+= . (2.53)
Rýchlosť ľubovoľného bodu telesa vzhľadom na OSO je určená vzťahom
LKL rωv ×= ,
kde rLK je vzdialenosť bodu L od OSO (bod K), ω - vektor uhlovej rýchlosti rotácie telesa okolo osi prechádzajúcej OSO (bod K).
rA
rB
rBA
A
B
0 x
y
x´
y´
ϕ
0
rA
rB
rBA
A
B
A´´= A´
B´
B´´
86
Obr. 2.9
Všeobecne je okamžitý stred otáčania definovaný ako priesečník normál k trajektóriám bodov daného telesa v danom okamihu. Rýchlosť každého bodu telesa v danom časovom okamihu vidíme z OSO pod rovnakým uhlom α.
Grafické zostrojenie vektora rýchlosti ľubovoľného bodu telesa ak je známa poloha OSO a vektor rýchlosti jedného bodu, je na obrázku (obr. 2.10). Vektor rýchlosti daného bodu vždy leží na dotyčnici, ktorá je kolmá na normálu daného bodu. Uhol α je orientovaný uhol a je orientovaný od normály bodu vždy rovnakým smerom, t.j. v smere otáčania uhlovej rýchlosti ω. Koncový bod vektora rýchlosti je určený priesečníkom ramena uhla α s dotyčnicou príslušného bodu.
Príklad 2.11
Kľukový mechanizmus schematicky nakreslený na obrázku sa skladá z kľukového hriadeľa , ojnice a z piesta . Kľukový hriadeľ sa otáča okolo bodu 0, pričom uhol jeho rotácie je
kt=ϕ21 , pričom piest koná posuvný pohyb vo vodorovnom smere. Vypočítajte veľkosť rýchlosti a zrýchlenia piesta.
Dané: r [m], l [m], k = 4 rad.s−1
v čase t = 0 s všetky členy sa nachádzajú na osi x. Vzhľadom na väzbu, v ktorej je piest uložený, môže sa pohybovať len vo vodorovnom smere. Súradnice bodov piesta sa v smere osi y nemenia. V smere osi x je poloha piesta daná vzdialenosťou bodov od bodu 0. Vzhľadom na to, že piest koná posuvný pohyb, všetky body piesta majú rovnakú rýchlosť a zrýchlenie. Na výpočet veľkosti rýchlosti piesta teda postačuje vypočítať rýchlosť niektorého bodu piesta, napr. bodu B, čo je x-ová súradnica piesta
ψ+ϕ=+= coscos0 21B lrSBSx .
Pomocný uhol ψ je vyjadrený z pravouhlého trojuholníka ASB, t.j. platí
l
r 21sinsin ϕ=ψ .
Použitím vzťahu
ψ−=ψ⇒=ψ+ψ 222 sin1cos1cossin ,
je možné vzdialenosť xB zapísať v tvare
22221B )4sin(4cossin1cos trltrlrx −+=ψ−+ϕ= .
Veľkosť rýchlosti bodu B piesta
ϕ21
r
0 x
l
y
S B
ψ
xB
A
vL rLK
K
L
nL
α D
α
vD nD
rDK
tD
ω===DK
D
LK
Lαtgrv
rv
87
22
2
BB)4sin(
8sin24sin4trl
trtrxv−
−−== & .
Veľkosť zrýchlenia je získaná ďalšou deriváciou, t.j. platí
23
])4sin([
)8cos1(8cos444cos1622
2222
BBtrl
trtlrtrva−
−+−−== & .
Príklad 2.12
Zotrvačník polomeru R sa otáča tak, že počas doby rozbehu T pri konštantnom uhlovom zrýchlení vzrastie veľkosť uhlovej rýchlosti z hodnoty ω1 [rad.s−1] na hodnotu ω2 [rad.s−1]
. Vypočítajte:
1. veľkosť uhlového zrýchlenia, 2. veľkosť rýchlosti a zrýchlenia bodu B na obvode zotrvačníka na konci rozbehu, 3. počet otočení zotrvačníka počas rozbehu.
Dané: R = 0,9 m; T = 10 s; ω1 = π rad.s-1; ω2 = 2,5π rad.s-1
1. Výpočet veľkosti uhlového zrýchlenia: Všeobecne je uhlové zrýchlenie definované vzťahom
dtddtd
ε=ω⇒ω
=ε . (a)
Vzhľadom na to, že uhlové zrýchlenie ε je konštantné, predchádzajúca rovnica spĺňa podmienky separácie premenných a jej integrovaním v príslušných hraniciach dostaneme
21212
0
rad/s47,02
1
=ω−ω
=ε⇒ε=ω−ω⇒ε=ω ∫∫=
=
ω
ωT
TdtdTt
t
.
2. Výpočet veľkosti rýchlosti a zrýchlenia bodu B na konci rozbehu: V okamihu dokončenia rozbehu má zotrvačník uhlovú rýchlosť ω2. Veľkosť rýchlosti
bodu B je daná vzťahom
12 ms79,05,2 −=⋅π=ω= Rv ,
kde R je vzdialenosť bodu od osi rotácie.
Veľkosť tangenciálneho zrýchlenia bodu B je
2ms423,09,047,0 −=⋅=ε= Rat . Veľkosť normálového zrýchlenia bodu B je 222
2 ms52,559,0)5,2( −=⋅π=ω= Ran . Veľkosť výsledného zrýchlenia bodu B je vypočítaná pomocou
222 ms69,61 −=+= nt aaa .
3. Výpočet počtu pootočení zotrvačníka p počas rozbehu. Počet pootočení je možné vypočítať zo vzťahu
B R
88
π
ϕ=
2Rp , (b)
kde ϕR je uhol otočenia zotrvačníka počas rozbehu. Najskôr je potrebné vyjadriť časovú závislosť uhlovej rýchlosti. Použitím vzťahu (a)
dostaneme
110 1
ω+ε=ω⇒ω−ω=ε⇒ω=ε ∫∫ω
ω
ttddtt
.
Časovú závislosť uhla pootočenia je možné vyjadriť z definície uhlovej rýchlosti, t.j. platí
ttdttdtddtddtd tt
12
01
0021)( ω+ε=ω+ε=ϕ⇒ω=ϕ⇒ω=ϕ⇒
ϕ=ω ∫∫∫
ϕ
Do predchádzajúceho vzťahu je dosadená za čas t doba rozbehu rotora T = 10 s, čím je vyjadrená veľkosť uhla pootočenia zotrvačníka počas rozbehu
rad92,5421
12
R =ω+ε=ϕ TT .
Počet pootočení zotrvačníka počas rozbehu je potom zo vzťahu (b)
74,82
=π
ϕ= Rp otáčok.
Príklad 2.13 Na bubon je navinuté lano, na konci ktorého je zavesené bremeno pohybujúce sa zrýchlením a = konšt. K bubnu sú pevne pripojené ramená dĺžky l, ktoré rotujú spolu s bubnom. V závislosti od dráhy s bremena vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie bodov nachádzajúcich sa na koncoch ramien. Na začiatku pohybu v čase t = 0 s je rýchlosť bremena nulová.
Obr. A
Obr. B
Ramená pripojené na navíjací bubon konajú spolu s bubnom rotačný pohyb. Na zaklade toho body na konci ramien konajú pohyb po kružnici. Rýchlosť pohybu bremena v závislosti od prejdenej dráhy je určená nasledovným postupom:
dsdvv
dsdv
dtds
dsds
dtdv
dtdvkonšta ===== . ,
odkiaľ po separácii premenných a následnej integrácii platí
l
r
l
s
a = konšt.
l
r
l
s a = at = konšt.
A
ω
ε
aA
vA
anA v
89
adsvdv = ⇒ ∫∫ =sv
adsvdv00
⇒ asv=
2
2 ⇒ assv 2)( = .
Rýchlosť pohybu bremena je rovnaká ako obvodová rýchlosť bodov na obvode otáčajúceho sa navíjacieho bubna, t.j. pre uhlovú rýchlosť navíjacieho bubna platí
rωv ×= ⇒ rv ω= ⇒ ras
rsvs 2)()( ==ω .
Zrýchlenie pohybu bremena je rovnaké ako tangenciálna zložka zrýchlenia bodov na obvode bubna a pre uhlové zrýchlenia dostaneme vzťah
rεaa ×=== .konštt ⇒ ra ε= ⇒ ra
=ε .
Veľkosť rýchlosti bodu A možno vyjadriť v tvare
AA rωv ×= ⇒ )(2))(()(A lrraslrssv +=+ω= .
Pre zrýchlenie bodu A platí )( AAAAA rωωrεaaa ××+×=+= nt . Veľkosti zložiek zrýchlenia bodu A
.)(A konštr
lralrat =+
=+ε=
sr
lrasvssaa nn 2AAA 2)()()( +=ω== .
Veľkosť výsledného zrýchlenia
222
2A
2AAA 4)( sr
rlraaasaa nt +
+=+== .
Príklad 2.14 Dve ozubené kolesá s vonkajším ozubením sa otáčajú rovnomerne zrýchlene. Je daná veľkosť uhlového zrýchlenia kolesa 1. Na začiatku pohybu boli obe kolesá v kľude. Vypočítajte: 1. veľkosť uhlovej rýchlosti druhého kolesa ako funkciu času, 2. veľkosť rýchlosti a veľkosť zrýchlenia v závislosti od času pre bod C, ktorý sa nachádza na kolese 2 vo vzdialenosti rC od osi rotácie. Dané: d1; d2 ; rC; ε1 = konšt.
1. Ozubené kolesá konajú rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie, ktorá je kolmá na rovinu
otáčania kolies a prechádza bodmi 01 (koleso 1) a 02 (koleso 2) V zábere zubov (bod D) oboch ozubených kolies musí byť rovnaká rýchlosť a rovnaké tangenciálne zrýchlenie. Zároveň musí byť rovnaká obvodová rýchlosť a rovnaké tangenciálne zrýchlenie pre
D
vD
aD
vC
aCt aCn
aC
ε2 ε1
d1 d2
ε1 ε2
rC D 01
02
90
všetky body nachádzajúce sa na obvodoch oboch rozstupových kružníc. Na základe vzťahu pre tangenciálne zrýchlenie je určená veľkosť uhlového zrýchlenia kolesa 2
konšt.22 2
112
22
11 =ε=ε⇒ε=ε=
ddddat
Všeobecne na vyjadrenie uhlového zrýchlenia platí dt
d 22
ω=ε .
Separáciou premenných a integrovaním v príslušných hraniciach je určená veľkosť uhlovej rýchlosti ω2 ako časová funkcia, t.j.
tdd
tdtddtdt
2
1122
02
0222
2
ε=ε=ω⇒ε=ω⇒ε=ω ∫∫ω
.
2. Veľkosť rýchlosti bodu C je vypočítaná zo vzťahu
C2
11C2C rt
ddrv ε=ω= .
Tangenciálna zložka zrýchlenia a normálová zložka zrýchlenia bodu C sú
C2
11C2C r
ddra t ε=ε= , C
2
2
11C
22C rt
ddra n ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε=ω= .
Veľkosť výsledného zrýchlenia bodu C určíme pomocou vzťahu
12
2
11
4
2
11C
2C
2CC +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛εε=+=
dd
tdd
raaa tn .
Príklad 2.15 Vypočítajte rýchlosť bodu A a uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie tyče AB dĺžky l0. Na začiatku bola tyč v kľude a jej body A a B sa nachádzali v polohe A0, B0. Tyč sa uvádza do pohybu bodom B, ktorý sa začne pohybovať v čase t = 0 s vodorovne konštantnou rýchlosťou veľkosti v.
Teleso koná všeobecný pohyb. Dráha bodu B je v závislosti od času vyjadrená nasledovne:
v
β
B
A
B0
A0
yA
x
y
0
xB
x0 vt
ϕ0 ϕ
i j
× k
v
l0 β
B
A
B0
A0
h
x0
91
0B0
B
0
konšt. xvtxvdtdxvdtdxdtdxv
tx
x
+=⇒=⇒=⇒== ∫∫ .
Parametrické rovnice pohybu bodu A sú vzhľadom na zvolený súradnicový systém vyjadrené v tvare
20
20
2B
20AA )(y0, xvtlxlx +−=−== .
Kinematické veličiny bodu A sú: • polohový vektor
jr 20
20A )( xvtl +−= ,
• vektor rýchlosti
jjrv2
020
02
020
0AA
)(
)(
)(
)(221
xvtl
xvtv
xvtl
xvtvdt
d
+−
+−=
+−
+−== ,
• vektor zrýchlenia
jva23
])([ 20
20
20
2A
Axvtl
lvdt
d
+−−== .
Na začiatku pohybu zvierala tyč s osou y uhol ϕ0, ktorého veľkosť je určená zo vzťahu
0
00
0
00 arctgtg
lx
lx
=ϕ⇒=ϕ .
Uhol sklonu tyče ϕ je počas jej pohybu daný funkciou času a možno ho vyjadriť v tvare 0ϕ−β=ϕ .
Uhol β možno vyjadriť v tvare
0
0
0
0 arctgtgl
xvtl
xvt +=β⇒
+=β
a následne pre uhol ϕ potom platí
0
0
0
0 arctgarctglx
lxvt
−+
=ϕ .
Uhlová rýchlosť tyče je
kω ω=++
=ϕ=ω ;)( 2
020
0
xvtlvl
& ,
kde k je jednotkový normálový vektor kolmý na rovinu a vchádza do roviny. Uhlové zrýchlenie tyče je
kε ε=++
+−=ω=ε ;
])([
)(222
020
02
0
xvtl
xvtvl& .
92
Príklad 2.16 Na valci s polomerom r je navinuté lano, ktorého jeden koniec je pevne uchytený na rám a druhý je upevnený na valec. Valec padá bez začiatočnej rýchlosti, pričom sa lano
rozmotáva. Veľkosť rýchlosti osi valca je .332 gyv = Vypočítajte:
1. rovnice pohybu valca, 2. polohový vektor okamžitého stredu otáčania vzhľadom na pevný a pohyblivý súradnicový systém, 3. rýchlosť bodov D, C nachádzajúcich sa na obvode valca podľa obrázka, 4. veľkosť rýchlosti bodov D, C pomocou okamžitého stredu otáčania.
Obr. A
Obr. B
Obr.C
Obr. D
Obr. E Valec koná všeobecný rovinný pohyb. Príslušné súradnicové systémy sú na obr. B. Pevný súradnicový systém je (T0, x, y, z) s jednotkovými vektormi (i, j, k). Pohyblivý súradnicový systém je (T, x´, y´, z´) s jednotkovými vektormi (i´, j´, k´). Vzhľadom na rovnobežnosť súradnicových osí oboch systémov je možné pre jednotkové vektory písať
i = i´, j = j´, k = k´. 1. Nájsť rovnice pohybu znamená vyjadriť súradnicu yT = yT(t) pre posuvný pohyb referenčného
bodu telesa a uhol pootočenia ϕ = ϕ(t) pre rotačný pohyb telesa okolo osi rotácie prechádzajúcej referenčným bodom. Referenčný bod (stred valca - bod T) sa pohybuje po priamke. Veľkosť jeho súradnice v smere osi x je nulová. Pre veľkosť rýchlosti v smere osi y možno preto písať
gydtdyvv y 3
32
=== .
Separáciou premenných a integrovaním pre nulové začiatočné podmienky dostávame
2T
003
332T
tgydtgy
dy ty
=⇒= ∫∫ .
Časová závislosť veľkosti rýchlosti a zrýchlenia stredu valca je
gdt
dvatgdt
dyv32,
32 T
TT
T ==== .
Uhol pootočenia valca okolo ťažiska je vyjadrený zo vzťahov pre uhlovú rýchlosť
trg
rv
dtd
32T ==
ϕ=ω .
r T
vT
C
D T
vT
T0 x
x´
y ≡ y´
yT
z
z´
ϕ
T
rT
T0 x
x´
y ≡ y´ k
z
z´
ϕ
K
rK
rKT
T0
T
rT
x´
y ≡ y´
K
rDT
D
C
rCT
nT, nDT K DC
vT
α
tD
vD
nC α
tC vC
r r
93
Separáciou premenných a integrovaním pre nulové začiatočné podmienky dostávame
2
0033
2 tr
gtdtrgddtd
t
=ϕ⇒=ϕ⇒ω=ϕ ∫∫ϕ
.
Veľkosť uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia valca je
rg
dtdt
rg
dtd
32
32
=ω
=ε=ϕ
=ω .
Vyjadrené veličiny sú kinematické veličiny charakterizujúce všeobecný pohyb telesa v rovine a pomocou nich možno určiť rýchlosť a zrýchlenie ktoréhokoľvek bodu telesa. Keďže sú to vektorové veličiny, možno ich zapísať v tvare vektorov, t.j.
jjajjvjjr ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
32,
32,
3 TTTT2
TTgatgvtgy ,
kkεkkω ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ε=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=ω=
rgt
rg
32,
32 .
2. Polohový vektor okamžitého stredu otáčania - OSO (bod K) vzhľadom na pohyblivý súradnicový systém (Obr. C) je daný vzťahom
ijkvωr rgtrgt
trg
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
×=
32
32
94
1ω 2
2
22T
KT .
Vzhľadom na pevný súradnicový systém polohový vektor okamžitého stredu otáčania je
ijijrrr rtgry −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−=+= 2
TKTTK 3 .
Body na priamke k sa postupne stávajú okamžitými stredmi otáčania (obr. C).
3. Na základe známych kinematických veličín sú vyjadrené vektory a veľkosti rýchlostí ľubovoľných bodov telesa.
Polohový vektor bodu D vzhľadom na referenčný bod T je
ir r=DT .
Rýchlosť bodu D je
jjjikjrωvv TTTTDTTD 2ω vvvrv =+=×+=×+=
a jeho veľkosť rýchlosti je TD 2vv = .
Poloha bodu C vzhľadom na referenčný bod T je
jr r=CT .
Rýchlosť bodu C je
ijjkjrωvv TTTCTTC ω vvrv +=×+=×+=
a veľkosť rýchlosti bodu C je
2T2T
2TC vvvv =+= .
94
4. Výpočet a zobrazenie vektorov rýchlostí bodov C a D (obr. E). Okamžitým stredom otáčania prechádzajú v danom časovom okamihu normály všetkých
bodov telesa a vidieť z neho koncové body vektorov rýchlosti všetkých bodov pod rovnakým uhlom α. Uhol α možno zostrojiť, ak je známy vektor rýchlosti aspoň jedného bodu telesa - napr. bodu T.
Pre veľkosti rýchlostí bodov C a D (obr. E) možno písať
TDDT 2
2tg vv
rv
rv
=⇒==α ,
2tg TC22CT vv
rr
vr
v=⇒
+==α .
Príklad 2.17 Ozubené súkolie je zložené z dvoch navzájom pevne spojených ozubených kolies s polomermi rozstupových kružníc r a R. Každé z ozubených kolies je v zábere s ozubeným hrebeňom, pričom väčšie ozubené koleso je v zábere s dolným hrebeňom, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v1 a zrýchlením a1 a s menším ozubeným kolesom je v zábere horný hrebeň pohybujúci sa rýchlosťou v2 a zrýchlením a2. Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie bodu T a uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie ozubeného súkolia
Obr. A
Obr. B Vzhľadom na charakter pohybu koná ozubené súkolie všeobecný pohyb. Využitím vzťahov (2.49) a (2.50) sú polohové vektory bodov T a B vyjadrené nasledovne:
BAAB rrr += ,
TAAT rrr += .
Pre rýchlosti oboch bodov potom platí
BAABAAB rωvvvv ×+=+= , (a)
TAATAAT rωvvvv ×+=+= , (b)
kde ω je vektor uhlovej rýchlosti otáčania ozubeného súkolia.
T
B
A
r
R
v1 = vA
v2 = vB a2
a1
OSO
vT vTA
vBA
rTA
rBA
e; |e| = 1
ω
ε
T
B
A
r R
v1
v2
a2
a1
95
Vzhľadom na to, že všetkých päť vektorov rýchlostí vA, vB, vT, vBA, vTA má smer jednej nositeľky, je možné rovnice (a) a (b) pretransformovať do skalárnych rovníc tak, že obidve rovnice sú skalárne vynásobené jednotkovým vektorom e, t.j.
BAAB vvv += /.e ⇒ BAAB vvv += , (c)
TAAT vvv += /.e ⇒ TAAT vvv += . (d)
Pre jednotlivé veľkosti rýchlosti platí
1A vv = ⇒ 1A vv = ,
2B vv = ⇒ 2B vv = ,
BABA rωv ×= ⇒ )(BA Rrv +ω= ,
TATA rωv ×= ⇒ Rv ω=TA .
Po dosadení predchádzajúcich rovníc do (c) a (d)
)(12 Rrvv +ω+= ,
Rvv ω+= 1T ,
odkiaľ sú vyjadrené veľkosti rýchlostí:
• rýchlosť bodu T Rr
Rvrvv++
= 21T ,
• uhlová rýchlosť súkolia Rrvv
+−
=ω 12 .
Veľkosti zrýchlení sú získané deriváciou rýchlosti vT a uhlovej rýchlosti podľa času, t.j.
• zrýchlenie bodu T Rr
Raraa++
= 21T ,
• uhlové zrýchlenie súkolia Rraa
+−
=ε 12 .
Príklad 2.18 Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie zdvíhacieho stola, ktorý je zdvíhaný mechanizmom. Dané: l, v = konšt
Výsledok:
jv⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−= v
vtll
vtl2
02
0
)(
[ ]ja 2
20
2
2
23 v
vtll
l
)( −−−=
v
l/2
l/2
l/2
l/2
l0
96
Príklad 2.19 Zotrvačník koná rotačný pohyb, pričom vzhľadom na súradnicovú sústavu je jeho poloha definovaná uhlom potočenia btkt ln2=ϕ [rad], k = 1,0 rad.s−2, b = 1,0 s−1. Vypočítajte časové závislosti veľkosti uhlovej rýchlosti ω = ω(t) a veľkosti uhlového zrýchlenia ε = ε(t).
Výsledok: ttt +=ω ln2 [rad.s-1], 32 +=ε tln [rad.s-2] Príklad 2.20
Vypočítajte rýchlosť bodu T a uhlovú rýchlosť telesa 3 zdvíhacieho kladkového systému s kladkami s polomermi r1, r2 a r3 . Kladky 1 a 2 sú poháňané a otáčajú sa konštantnými uhlovými rýchlosťami ω1, ω 2.
Výsledok:
22211
Trrv ω+ω
= [m.s-1]
3
11223 2r
rr ω−ω=ω [rad.s-1]
2.3 RÝCHLOSŤ A ZRÝCHLENIE PRI SÚČASNÝCH POHYBOCH
Uvažujme tri telesá T1, T2, T3. S telesom T1 je spojený nepohyblivý súradnicový systém (0, x, y, z). S telesom T2 je spojený pohyblivý súradnicový systém (A, x´,y´,z´). Bod A je bodom telesa T2 a bod B je bodom telesa T3 (obr. 2.11). Vzájomné pohyby telies sú:
• pohyb telesa T3 vzhľadom na teleso T1 - výsledný pohyb, • pohyb telesa T2 vzhľadom na teleso T1 - unášavý pohyb, • pohyb telesa T3 vzhľadom na teleso T2 - relatívny pohyb.
Obr. 2.11
Cieľom je vyjadriť rýchlosť a zrýchlenie bodu B telesa T3 pri pohybe vzhľadom na T1. t.j. výsledného pohybu.Polohový vektor bodu B
32B21A31B rrr += . (2.54)
Výsledná rýchlosť bodu B je získaná deriváciou vektora rB31 podľa času v priestore telesa T1
•••
+= 132B121A131B ][][][ rrr . (2.55)
Vzhľadom na to, že vektor rBA32 je vektorová funkcia definovaná v priestore telesa T2 a časová derivácia má byť v priestore telesa T1, je potrebné túto deriváciu realizovať v súlade s pravidlami na derivovanie funkcií v rôznych priestoroch.
ω1 ω2
r1 r2
r3
T
rA21
rB31
rB32
A
B
0 x
y
x´
y´
z
T1 z´
T2
T3
97
Vo všeobecnosti, ak je časovo závislá vektorová funkcia r(t) daná v priestore telesa Tm, jej derivácia podľa času v priestore telesa Tn je vyjadrená vzťahom
mmnmmnm ][][ rωrr ×+=••
. (2.56)
Vzťah (2.55) potom možno zapísať
32B21232B121A131B ][][][ rωrrr ×++=•••
,
resp. 32B2132B21A31B rωvvv ×++= ⇒ ruv BBB vvv += , (2.57)
kde 31BB vv =v - výsledná rýchlosť bodu B )T T pohyb ,TB( 133 →∈ ,
32B2121AB rωvv ×+=u - unášavá rýchlosť bodu B )T T pohyb ,TB( 122 →∈ , (2.58)
2B3B vv =r - relatívna rýchlosť bodu B )T T pohyb ,TB( 233 →∈ ,
21Av - unášavá rýchlosť bodu A )T T pohyb ,TA( 122 →∈ ,
uωω =21 - unášavá uhlová rýchlosť telesa T2 (pohyb T2 → T1).
Výsledné zrýchlenie pri súčasných pohyboch dvoch telies je získané deriváciou prvej z rovníc (2.57) podľa času v priestore T1
•••••
×+×++= 132B2132B121132B121A131B ][][][][][ rωrωvvv , (2.59)
resp. po použití vzťahu (2.56) a následnej úprave má výsledné zrýchlenie bodu B tvar corruv BBBB31B aaaaa ++== , (2.60)
kde 32B2132B212121AB )( rεrωωaa ×+××+=u - unášavé zrýchlenie bodu B ,TB( 2∈ )T T pohyb 12 → ,
2B3B aa =r - relatívne zrýchlenie bodu B )T T pohyb ,TB( 233 →∈ ,
32B21BB 22 vωvωa ×=×= rucor - Coriolisovo zrýchlenie bodu B,
21Aa - unášavé zrýchlenie bodu A )T T pohyb ,TA( 122 →∈ , uεε =21 - unášavé uhlové zrýchlenie telesa T2 )T T pohyb( 12 → .
Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie pri súčasných pohyboch
Ak sú unášavý pohyb (T2 → T1) a relatívny pohyb (T3 → T2) telesa rotačné pohyby, potom uhlovú rýchlosť ω31 výsledného pohybu (T3 → T1) telies je možné vyjadriť v tvare
213231 ωωω += ⇒ urv ωωω += . (2.61)
Uhlové zrýchlenie výsledného pohybu (T3 → T1) je získané deriváciou (2.61) podľa času v priestore T1
•••••
+×+=+= 1213221232121132131 ][][][][][ ωωωωωωω , (2.62)
resp. 3221213231 ωωεεε ×++= ⇒ resurv εεεε ++= ,
kde 31εε =v - výsledné uhlové zrýchlenie telesa T3 )T T pohyb( 13 → ,
21εε =u - unášavé uhlové zrýchlenie telesa T2 )T T pohyb( 12 → ,
32εε =r - relatívne uhlové zrýchlenie telesa T3 )T T pohyb( 23 → ,
98
3221 ωωε ×=res - Ressalovo uhlové zrýchlenie.
Príklad 2.21
Obr. A
Rúrka dĺžky l rotujúca okolo bodu 0 sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. V rúrke sa konštantným zrýchlením a pohybuje bod B. V čase t = 0 s sa rúrka nachádzala vo vodorovnej polohe a bola v kľude. Bod B bol v čase t = 0 s v začiatočnej polohe vo vzdialenosti s0 od bodu 0. Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie bodu B v závislosti od času vzhľadom na pevný súradnicový systém.
Dané: ω = konšt., a = konšt., l, s0
Úlohu možno chápať ako súčasné pohyby dvoch telies. Rúrka koná rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie - unášavý pohyb telesa T2 → T1. Bod 0 ≡ A je referenčným bodom telesa . Bod B (teleso ) sa pohybuje vo vnútri rúrky – relatívny pohyb telesa T3 → T2. S telesom je zviazaný v bode 0 pevný súradnicový systém (0, x, y, z). S telesom je zviazaný v bode A pohyblivý súradnicový systém (A, x´, y´, z´). Osi x a x´, resp. y a y´ súradnicových systémov sú navzájom pootočené o uhol ϕ, preto platí (obr. A)
kkjijjii =′ϕ+ϕ−=′ϕ+ϕ=′ ,cossin;sincos . (a)
Veľkosť rýchlosti bodu B v rúrke
atvadtdvdtdva
tv
=⇒=⇒== ∫∫00
.konšt
a pre veľkosť dráhy platí
2
00021.konšt atsatdtvdtdsvdtds
dtdsv
tts
=⇒==⇒=⇒≠= ∫∫∫ .
Veľkosť uhla potočenia telesa
tdtddtd t
ω=ϕ⇒ω=ϕ⇒=ϕ
=ω ∫∫ϕ
00
.konšt .
I. spôsob riešenia – pomocou vzťahov pre súčasné pohyby.
Polohový vektor referenčného bodu A telesa vzhľadom na teleso
0r =21A . (b)
Polohový vektor bodu B telesa vzhľadom na referenčný bod A telesa
ϕ
0 = A x
y
a
ω
s0
L l x´
y´ B
s(t)
i
j i´ j´
ϕ ϕ
99
iir ′+=′+= )())((B2
21
0032 atstss (c)
a vektor jeho rýchlosti
)sin(cosB jiiiv ϕ+ϕ=′=′= atatv32 .
Polohový vektor bodu B vzhľadom na teleso
322131 BAB rrr += . (d)
Pre vektor rýchlosti bodu B telesa platí (2.57)
{ 3221322131 BBAB rωvvv0
×++==
, (e)
kde kω ω=21 je uhlová rýchlosť unášavého pohybu. Po dosadení za jednotlivé členy do rovnice (e) je vektor rýchlosti výsledného pohybu bodu B
.]cos)(sin[]sin)(cos[
)],sin)(cos[()sin(cos
,)(
221
02
21
031B
221
031B
221
031B
jiv
jikjiv
ikiv
ϕ+ω+ϕ+ϕ+ω−ϕ=
ϕ+ϕ+×ω+ϕ+ϕ=
′+×ω+′=
atsatatsat
atsat
atsat
.
Pre vektor zrýchlenia bodu B na telese platí (2.60), t.j. platí
][ BBBBAB 32212132213221322131 2 rωωrεvωaaa ××+×+×++= ,
kde 0a =21A , jiia ϕ+ϕ=′= sincosB3 aaa2 , jijikvω ϕω+ϕω−=′ω=′×ω=× cossinB3 atatatat 22222 221 , 0rε =× 3221 B (ω = konšt. ⇒ ε = 0),
)sin)(cos(][ B jirωω ϕ+ϕ+ω−=×× 221
02
322121 ats .
Výsledné zrýchlenie bodu B vzhľadom na pevný súradnicový systém
.]sin)(cos2sin[
]cos)(sin2cos[2
21
02
221
02
1B3
j
ia
ϕ+ω−ϕω+ϕ+
ϕ+ω−ϕω−ϕ=
atsata
atsata
II. spôsob riešenia - vyjadrením polohy guľôčky vzhľadom na (0, x ,y, z) ako funkcie času.
jir ϕ++ϕ+= sin)(cos)( 221
02
21
031B atsats ,
kde uhol pootočenia tω=ϕ je funkciou času. Pre derivácie uhla pootočenia podľa času 0, =ϕω=ϕ &&& .
Deriváciou polohového vektora 31Br podľa času dostaneme: • vektor rýchlosti bodu B vzhľadom na
jiv ]cos)(sin[]sin)(cos[ 221
02
21
031B ϕ+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ−ϕ= atsatatsat && ,
• vektor zrýchlenia guľôčky B vzhľadom na
100
.]sin)(cossin[
]cos)(sincos[2
21
02
221
02
31B
j
ia
ϕ+ϕ−ϕϕ2+ϕ+
ϕ+ϕ−ϕϕ2−ϕ=
atstaa
atstaa
&&
&&
Použitím obidvoch spôsobov riešenia boli získané rovnaké výsledky.
Príklad 2.22 Rameno AL (teleso ) je otočne uložené na vertikálnej tyči (teleso ), okolo ktorej sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou veľkosti ω1. V bode L ramena je otočne uložený disk (teleso ) s polomerom r2. Disk sa otáča okolo osi y´ prechádzajúcej bodom L a kolmej na rovinu disku konštantnou uhlovou rýchlosťou veľkosti ω2. Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie výsledného pohybu bodu nachádzajúceho sa na obvode disku vzhľadom na pevný súradnicový systém x, y, z. Dané: ω1 = konšt., ω2 = konšt., r1, r2
V riešenej úlohe ide o súčasné pohyby telies a , obe telesá konajú rotačný pohyb. Rameno AL koná rotačný pohyb okolo vertikálnej osi (os z) - unášavý pohyb T2 → T1. Bod L je referenčným bodom telesa . Disk koná rotačný pohyb okolo osi rotácie prechádzajúcej bodom L (os y´) - relatívny pohyb T3 →T2. S telesom je pevne zviazaný súradnicový systém (0, x, y, z). S telesom je zase zviazaný súradnicový systém (L, x´, y´, z´). Pre jednotkové vektory súradnicových systémov platí
.
,cossin,sincos
2121
2121
kkjij
jii
=′ϕ+ϕ−=′
ϕ+ϕ=′
(a)
Všeobecne na vyjadrenie (pre pohyb T3 → T1) polohového vektora 31Br , vektora rýchlosti
31Bv a vektora zrýchlenie 31Ba platia vzťahy
).(2
,,
32BL212132BL2132BL2132BL21L31B
2BL3212BL31L21B3
2BL31L21B3
rωωrεvωaaarωvvv
rrr
××+×+×++=×++=
+= (b)
Vyjadrenie potrebných kinematických veličín vo vektorovom tvare
.][ ,cossin
,][ ,
0ωεjijω
0ωεkω
==ϕω−ϕω=′ω−=
==ω=•
•
23232212212232
12121121 (c)
Bod L sa pohybuje (pre pohyb T2 → T1) po kružnici s polomerom r1 a so stredom v bode A. Polohový vektor, vektor rýchlosti a vektor zrýchlenia bodu L
A = 0 y
z
ω1 r2
L
r1
y´
z´
B
ω2
x
x´
z
r2
r1 x
y
x´
y´
z´ k i j
ϕ21
ϕ32
i´
j´ k´
ω21 = ω1
ω32 = ω2
101
.sincos
)(][
,sincos][
,sincos
L
LLLL
LLL
L
ji
rωωrεva
jirωrv
jir
v0
21121211
21
212121212112121
21112111212112121
21121121
21
ϕω−ϕω−=
=××+×==
ϕω+ϕω−=×==
ϕ+ϕ=
==
•
•
rr
rr
rr
4342143421 (e)
Bod B sa pohybuje (pre pohyb T3 → T2) po kružnici s polomerom r2 a so stredom v bode L. Polohový vektor, vektor rýchlosti a vektor zrýchlenia bodu B
,][
,sincossincoscossincos
2BL33222BL32BL3
3223221232212
3223222BL3
rωrv
kjikir
×==
ϕ+ϕϕ+ϕϕ==′ϕ+′ϕ=
•
rrrrr
,cossinsinsincos
sincossincoscos0cossin
][ 323221322122
3232213221
2121222BL3
kji
kjiv
ϕ+ϕϕ−ϕϕ−ω=
=ϕϕϕϕϕ
ϕ−ϕω=
r
r (f)
,)(][2BL3
2BL332322BL33222BL32BL3 443442143421v0
rωωrεva==
××+×==•
.sincossincoscos
cossinsinsincos0cossin
][ 3232213221222
3232213221
21212222BL3
kji
kjia
ϕ+ϕϕ+ϕϕω−=
=ϕϕϕ−ϕϕ−
ϕ−ϕω=
r
r
Ďalšie členy v rovniciach (b) sú vyjadrené nasledovne
,coscoscossin
sincossincoscos100
][ 3221322121
3232213221
212BL321
ji
kjirω
ϕϕ+ϕϕ−ω=
=ϕϕϕϕϕ
ω=×
r
r
,cossincoscos
coscoscossin)(
][
BL3
ji
kjirωω
32213221221
32213221
22122121
0100
ϕϕ−ϕϕ−ω=
ϕϕϕϕ−ω=××
r
r (g)
102
.sincossinsin
cossinsinsincos
][
BL3
ji
kjivω
32213221221
3232213221
221221
2
10022
ϕϕ−ϕϕωω=
ϕϕϕ−ϕϕ−ωω=×
r
r
Po dosadení (c)-(g) do rovníc (b) po úprave dostaneme
kjir 3222132212132211B3 sinsin)cos(cos)cos( ϕ+ϕϕ++ϕϕ+= rrrrr ,
,]cos[]coscossin)sin[(
]cossincos)sin([B3
kj
iv
322232212121322211
322121213222111
ϕω+ϕϕω+ϕϕω−ω+
+ϕϕω−ϕϕω+ω−=
rrrr
rcrr
.]sin[
)]sincoscossin(sin)cos([
)]sinsincoscos(cos)cos([B3
k
j
ia
32222
32211322122221322121
322113221222213221211
2
2
ϕω−+
+ϕϕω+ϕϕωω−ϕϕ+ω−+
+ϕϕω−ϕϕωω−ϕϕ+ω−=
r
rrr
rrr
Pre výsledné uhlové zrýchlenie (pre pohyb T3 → T1) platí
{ {
].sincos[
cossin
jiε
kjiωωεεωωεε
0ε0
212121
212212
132213232212131
000
ϕ+ϕ−ωω=
ϕω−ϕωω=×==+×+=
===
res
res
res43421
2.4 ANALYTICKÉ RIEŠENIE MECHANIZMOV
Cieľom analytického riešenia mechanizmov je určiť polohu, rýchlosť a zrýchlenie ľubovoľného bodu ktoréhokoľvek člena mechanizmu alebo polohu rýchlosť a zrýchlenie niektorého člena mechanizmu v závislosti od polôh, rýchlostí a zrýchlení hnacích členov mechanizmu.
2.4.1 Trigonometrická metóda Mechanizmus je v určitej vzájomnej konfigurácii členov rozdelený na vhodné trigonometrické obrazce, trojuholníky, v ktorých figurujú hľadané dĺžky a uhly ako parametre mechanizmu. Kinematické veličiny (rýchlosti a zrýchlenia, resp. uhlové rýchlosti a uhlové zrýchlenia) bodov, resp. členov mechanizmu sú potom získané podľa vzťahov uvedených v predchádzajúcich kapitolách. Je potrebné nájsť toľko vzťahov medzi polohovými veličinami hnacích a hnaných členov, koľko je neznámych.
2.4.2 Vektorová metóda Štruktúra mechanizmu je nahradená uzatvoreným mnohouholníkom, ktorého strany tvoria vektory ir , navzájom sa nasledujúce a tvoriace uzavretú vektorovú slučku. Pre súčet vektorov vo vektorovej slučke potom musí platiť podmienka uzavretosti, t.j.
103
0jir =+= ∑∑==
n
iii
n
ii yx
11)( . (2.63)
Vektorovú rovnicu (2.63) možno rozpísať do dvoch skalárnych rovníc
,0sin,0cos1111
=α==α= ∑∑∑∑====
i
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii ryrx (2.64)
kde αi sú smerové uhly vektorov a ir sú dĺžky vektorov nahrádzajúcich jednotlivé členy.
Z rovníc (2.64) možno vyjadriť dva parametre na definovanie polohy, resp. uhla pootočenia člena, ktorého kinematické parametre sú počítané.
2.4.3 Metóda komplexných čísel
Postup pri riešení metódou komplexných čísel je podobný ako pri vektorovej metóde. Rovina mechanizmu je považovaná za komplexnú rovinu a kinematickej schéme mechanizmu je priradený uzatvorený mnohouholník. Strany mnohouholníka sú komplexné čísla. Pre súčet komplexných čísel iz musí platiť podmienka uzavretosti, t.j. platí
01
=∑=
n
iiz . (2.65)
Obr. 2.12
Tvar vyjadrenia komplexného čísla:
• karteziánsky iii jbaz += ,
• exponenciálny ijii ez ϕρ= ,
• polárne súradnice )sin(cos iiii jz ϕ+ϕρ= ,
kde 1−=j je imaginárna jednotka, ϕ - meriame od kladného smeru reálnej osi, Re - reálna os, Im - imaginárna os.
Rovnicu (2.65) možno rozpísať do dvoch rovníc
01
=∑=
n
iia 0
1=∑
=
n
iib ,
resp.
0cos1
=ϕρ∑=
i
n
ii .0sin
1=ϕρ∑
=i
n
ii
Z uvedených rovníc, z ktorých sú vyjadrené dva parametre na definovanie polohy, resp. uhla pootočenia člena, ktorého kinematické parametre sú počítané.
Re
Im
0
zi
ϕi
ρi
ai
bi
104
Príklad 2.23 Nájdite súradnice bodu B člena pri jeho pohybe vzhľadom na člen mechanizmu podľa obrázka. Dané: l, h, ϕ = ϕ(t)
Obr. A
Obr. B
Obr. C
1. spôsob riešenia - trigonometrická metóda (obr. A)
Zakreslíme polohový vektor bodu B vzhľadom na začiatok súradnicového systému. Z pravouhlého trojuholníka je určená vzdialenosť 0C
ϕ
=⇒=ϕtg
0C0C
tg hh .
Pomocou vzdialenosti 0C určíme súradnice bodu B
lhlCx +ϕ
=+=tg
0B ,
hy =B . 2. spôsob riešenia - vektorová metóda (obr. B)
Vyjadríme vektory l1 až l3 vzhľadom na zvolený súradnicový systém.
jil hh+
ϕ=
tg1 ,
h
B
l
Re 0
Im
ϕ1
A
C
z1
z2
z3
z4
ϕ3
ϕ4
ϕ2 = 0
h
B
l
x 0
y
ϕ
A
C
yB
xB
l1
l2
l3
h
B
l
x 0
y
ϕ
A
C
rB yB
xB
h
B
l
x0
y
ϕ
105
il l=2 ,
jil BB yx −−=3 .
Musí platiť podmienka uzavretosti
[ ] [ ] 0jiijillll =−−++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ϕ=++=∑
=BB
ii yxlhh
tg321
3
1,
resp. [ ] 0ji =−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
ϕ BB yhxlhtg
.
Vektorovu rovnicu rozpíšeme do dvoch skalárnych rovníc:
.0:0
,tg
0tg
:0
BB
BB
hyyhl
lhxxlhl
yi
xi
=⇒=−=
+ϕ
=⇒=−+ϕ
=
∑∑
3. spôsob riešenia - metóda komplexných čísiel (obr. C)
Vyjadríme komplexné čísla z1 až z4 vzhľadom na zvolenú komplexnú rovinu:
• komplexné číslo z1 (ϕ1 = ϕ)
12
2
12
2
1 sintg
costg
ϕ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
+ϕ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
= hhjhhz ⇒ ,tg1 hjhz +
ϕ=
• komplexné číslo z2 (ϕ2 = 0)
222 sincos ϕ+ϕ= ljlz ⇒ ,2 lz =
• komplexné číslo z3 (ϕ3 = 270°)
3B3B3 sincos ϕ+ϕ= yjyz ⇒ B3 yjz −= ,
• komplexné číslo z4 (ϕ4 = 180°)
4B4B4 sincos ϕ+ϕ= xixz ⇒ B4 xz −= ,
kde 1−=j je imaginárna jednotka.
Opäť musí platiť podmienka uzavretosti,
[ ] [ ] 0][tg4321
4
1=−+−++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ϕ=+++=∑
=BB
ii xjyljhhzzzzz .
Následne pre reálne časti a pre komlexné časti komplexných čísiel dostaneme
.0:0Im
,tg
0tg
:0Re
BB
BB
hyyh
lhxxlh
=⇒=−=
+ϕ
=⇒=−+ϕ
=
∑∑
Poloha bodu B je definovaná polohovým vektorom, ktorého dve súradnice boli určené tromi rôznymi metódami. Polohový vektor bodu B potom má tvar
106
jir hlh+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ϕ=
tgB .
Rýchlosť bodu B
ivϕ
ϕ−= 2B
sin&
h .
Zrýchlenie bodu B
iaϕ
ϕϕ−ϕϕ−= 4
22
Bsin
2sinsin &&&h .
Príklad 2.24
Mechanizmus na obrázku sa dostáva do pohybu otáčaním kľuky okolo bodu 01
konštantnou uhlovou rýchlosťou ω21. Vypočítajte: 1. veľkosť uhlovej rýchlosti člena , 2. vektor a veľkosť rýchlosti bodu L, vektor
a veľkosť zrýchlenia bodu L.
Dané: r, l, d, v čase t = 0 s sa oba členy nachádzajú vo vodorovnej polohe a sú v kľude.
1. Výpočet uhlovej rýchlosti člena . Časová závislosť uhla ϕ21 je vyjadrená zo základnej definície uhlovej rýchlosti
.konšt2121 =
ϕ=ω
dtd
,
odkiaľ po separácii premenných a integrácii
tdtddtdt
21210
210
212121
21
ω=ϕ⇒ω=ϕ⇒ω=ϕ ∫∫ϕ
.
Z pravouhlého trojuholníka je vyjadrený uhol ϕ31, t.j. platí
)cos(
)sin(arctgcos
sinS0
AStg21
2131
21
21
231 trd
trrd
rω+
ω=ϕ⇒
ϕ+ϕ
==ϕ .
Vektor a veľkosť uhlovej rýchlosti ω31 člena vzhľadom na rám dostaneme deriváciou ϕ31 podľa času
kω 3131 ω= , 2121
2221
2
3131)cos(2
)cos(ω
ω++
ω+=ϕ=ω
trddrtrdr
& .
Veľkosť uhlového zrýchlenia člena vzhľadom na rám
ϕ21 r
01 x
y
S
l
ω21
02
ϕ31
d
A
L
i
j
rL
107
kε 3131 ε= , )sin()]cos([
)( ttrddr
rddr21
2212
2122
33
3131312
2ωω
ω++−
=ϕ=ω=ε &&& .
2. Rýchlosť a zrýchlenie bodu L je pre tento prípad možné vyjadriť dvoma spôsobmi:
I. spôsob II. spôsob
Polohový vektor bodu L vzhľadom na 02:
jir 313131L sincos ϕ+ϕ= ll .
Bod L je bod, ktorý je bodom telesa , konájúceho rotačný pohyb okolo stálej osi rotácie prechádzajúcej bodom 02.
Vektor rýchlosti:
.cossin 31313131
31L31L
jirv
ϕϕ+ϕϕ−===
&&
&
ll
Veľkosť rýchlosti:
.,]cos[]sin[
3131L
23131
2313131L
ω=
ϕϕ+ϕϕ−=
lvllv &&
Vektor rýchlosti:
.)cos()sin(
],)sin)cos[(
,
3131313131L
31313131L
31L3131L
jiv
jikv
rωv
ϕ+ϕ−=
ϕ+ϕ×=
×=
lωlω
llω
Veľkosť rýchlosti:
lωωv 3131L3131L 90sin =°= r .
Vektor zrýchlenia:
.]cossin)([
]sincos)[(
3131312
3131L
3131312
3131L
31L31L31L31L
ja
ia
aava
ϕϕ+ϕϕ−=
ϕϕ+ϕϕ−=
+==
&&&
&&&
&
l
l
y
x
yx
Veľkosť zrýchlenia:
431
231
231
231 ω+ε=+= laaa yx LLL ,
kde ,3131 ϕ=ω & 3131 ϕ=ε && .
Vektor zrýchlenia:
),sin(cos )(
),sin(cos
,
31313131
31L313131L
313131
31L3131L
31L31L31L
ijkrωωa
jikrεa
aaa
ϕ−ϕ×ω==××=
ϕ+ϕ×ε==×=
+=
lω
l
n
t
nt
. ]sincos[
]cossin[
312313131
31231313131L
j
ia
ϕω−ϕε+
ϕω+ϕε−=
l
l
Veľkosť zrýchlenia:
431
231
231L
231L31L ω+ε=+= laaa nt
108
Príklad 2.25 Mechanizmus zobrazený na obrázku je uvádzaný do pohybu rotujúcim členom , ktorého uhol pootočenia je definovaný funkciou času 2
21 kt=ϕ [rad]. V čase t = 0 s bol mechanizmusv kľude a člen sa nachádzal na osi x. Vyjadrite: 1. rovnice pohybu bodu B člena vzhľadom na člen , 2. kinematické veličiny: B31B31B31B31B31B31 ,,,,, nt aaav av , 3. polomer krivosti dráhy bodu B, 4. rovnicu trajektórie bodu B. Dané: R [m]; h [m]; l [m]; e [m]; k = 4,0 rad.s−2
Obr. A
Obr. B
Člen mechanizmu koná rotačný pohyb okolo osi prechádzajúcej bodom 0 a kolmej na rovinu. Bod A sa pohybuje po kružnici s polomerom R a je bodom člena aj . Člen vzhľadom na väzbu s členom koná iba posuvný pohyb. Keďže pri posuvnom pohybe sa všetky body telesa pohybujú po zhodných trajektóriách, všetky body člena sa budú pohybovať po kružniciach s polomerom R. Člen koná posuvný pohyb vzhľadom na väzbu v bode D. Všetky jeho body člena sa pohybujú po priamke v horizontálnom smere. 1. V zvolenom súradnicovom systéme je zakreslený polohový vektor bodu B. Pomocou strán
v pravouhlom trojuholníku OCA sú vyjadrené súradnice bodu B člena vzhľadom na člen
.sin
,cos
B31
B31
21
21
ϕ−=ϕ=
RlyRx
(a)
2. Vyjadrenie kinematických veličín: B31B31B31B31B31B31 ,,,,, nt aaav av . Pre bod B sú vyjadrené nasledovné kinematické veličiny:
• polohový vektor jijir )4sin()4cos()sin()cos( 22
2121B31 ltRtRRlR −+=ϕ−−ϕ= , (b) • vektor rýchlosti
jirv 22 4848 tRttRtdt
d cossinB31B31 +−== , (c)
• veľkosť vektora rýchlosti RttRttRtvvv yx 84848 222222 =+−=+= )cos()sin(B31B31B31 [m.s−1], (d)
• vektor zrýchlenia
,]cossin)([
]sincos)([B31B31
j
iva
222
222
4848
4848
tRtRt
tRtRtdt
d
+−+
+−−== (e)
R
h
B
0
l
A
e
x
y
ϕ21
D
R
xB
B
0
l
A
e
x
y
ϕ21 C
rB yB D
109
• veľkosť vektora zrýchlenia
,
,]cossin)([]sincos)([
B31
B31
4
22222222
6418
48484848
tRa
tRtRttRtRta
+=
+−+−−= (f)
• veľkosť tangenciálnej zložky zrýchlenia
Rvdt
dvat 8=== BB31B31
B31 & [m.s−2], (g)
• veľkosť normálovej zložky zrýchlenia 22422
B312B31B31 6464)641(64 RtRtRaaa tn =−+=−= [m.s−2]. (h)
3. Polomer krivosti dráhy bodu B možno vyjadriť na základe vzťahu
RRt
tRav
RR
va
nn ===⇒= 2
22
B31
2B31
0B0
2B31
B3164
64 [m.s−2]. (i)
4. Rovnica trajektórie je vyjadrená z parametrických rovníc pohybu (a)
21B cosϕ= Rx ⇒ RxB
21cos =ϕ ,
lRy −ϕ= 21B sin ⇒ R
ly +=ϕ B
21sin .
Po dosadení do vzťahu 1sincos 212
212 =ϕ+ϕ , dostaneme
12
B2
B =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Rly
Rx ⇒ 22
B2 )( RlyxB =++ ,
čo je rovnica kružnice s polomerom R a so stredom v bode [0, − l].
Príklad 2.26 Mechanizmus schematicky zobrazený na obrázku je uvádzaný do pohybu členom , ktorého uhol pootočenia je nasledovnou funkciou času 2
21 4t=ϕ [rad]. V čase t = 0 s bol mechanizmus v kľude a člen a nachádzal sa na osi x. Vyjadrite: 1. rovnice pohybu bodu M, ktorý sa nachádza na člene , 2. kinematické veličiny: M41M41M41M41M41M41 ,,,,, nt aaav av . Dané: R [m]; h [m]; l [m]; e [m]; k = 4,0 rad.s−2
Výsledok: 1 - 21ϕ−= cosM41 Rhx [m], ey =M41 [m]
2 - iv 2M41 4sin8 tRt−=
2M41 4sin8 tRtv = [m.s−1]
ia ]4sin84cos)8[( 222M41 tRtRt +−=
222M41 4sin84cos)8( tRtRta += [m.s−2]
222M41 4sin84cos)8( tRtRtat += [m.s−2]
02M41
2M41M41 =−= tn aaa [m.s−2]
R
h
M 0
l
A
e
x
y
ϕ21
D
110
Príklad 2.27
Výložník je uvádzaný do pohybu hydraulickým valcom podľa danej schémy. Veľkosť rýchlosti piesta v (bod A) je konštantná. Vypočítajte: 1. vektor uhlovej rýchlosti a vektor uhlového zrýchlenia výložníka, 2. veľkosť rýchlosti a veľkosť zrýchlenia bodu L.
Dané: l, d, v
Výsledok: kω 222 tvdvd
+= kε 2222
3
)(2
tvdtvd
+
−=
222 tvdvdlvL
+=
4
222
2
2222
3
)(2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−=
tvdvd
tvdtvdlaL
Príklad 2.28
Rovinný mechanizmus zdvíhacieho zariadenia schematicky znázornený na obrázku sa uvádza do pohybu otáčaním kruhovej vačky s excentricitou r. Pohyb je daný časovou závislosťou definovanou pre uhol 21ϕ . Vypočítaje veľkosť uhlovej rýchlosti ω51 a veľkosť uhlového zrýchlenia ε51 člena . Na začiatku pohybu bol mechanizmus v kľude. ÚsečkaAB a taktiež člen sa v čase t = 0 s nachádzali vo vodorovných polohách. Dané: ϕ21 = ϕ21(t); l1; l2 ; r; R; h2 ; h1 = h2 + R Výsledok:
51512121
2221
2115151 ϕ=εϕ
ϕ+
ϕ=ϕ=ω &&&& ;
sincos
rlrl
Príklad 2.29
Určte veľkosť rýchlosti a zrýchlenia zdvíhadla , ktoré je zdvíhané excentricky uloženou kruhovou vačkou . Kľuka vačky (0S) sa otáča podľa zákona )(t2121 ϕ=ϕ [rad]. Na začiatku pohybu (t = 0 s) je kľuka vačky vo vodorovnej polohe a je v kľude. Dané: e, r, d
Výsledok: 2121 ϕϕ= cosev &
212121221 ϕϕ+ϕϕ−= cossin eea &&&
e S
r
ϕ x
d
0
y
A h
ϕ21
r
R
l2
h2
B
A
D
h1
C
l1
x
y D0
B0
ϕ5=?
l
x
d
A0
A
0
ω
L v y
ε
111
Príklad 2.30 Kladka spojená s telesom čapom je zasúvaná konštantnou rýchlosťou v0 pod teleso , ktoré koná rotačný pohyb. Vypočítajte: 1. veľkosť uhlovej rýchlosti ω41 a veľkosť uhlového zrýchlenia ε41, 2. veľkosť rýchlosti vA41 a uhlového zrýchlenia aA41 pohybu bodu A telesa vzhľadom na teleso . Začiatočné podmienky: t = 0 s ; B ≡ B0.
Dané: l, h, r, v0 = konšt
Výsledok:
220000
041
)()( rtvhtvh
rv
−−−=ω
20
2200
200
2200
4123
])[()(
)(2rv
rtvhtvh
rtvh
−−−
−−=ε
lv 4141A ω= ; lat 4141A ε= ; lan24141A ω=
441
241
241
24141 ω+ε=+= laaa nt AAA
2200
2200
220000
20
4134rtvhrtvh
rtvhtvhlrva
−−
−−
−−−=
)()(
]))[((A
r
l
v0
h0
A s B0
B
112
3 DYNAMIKA
3.1 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
Pohybová rovnica hmotného bodu
• Newtonov spôsob zostavovania pohybových rovníc (metóda zrýchľujúcich síl)
∑=
==n
iim
1FFa , (3.1)
kde m je hmotnosť a a je zrýchlenie hmotného bodu, Fi - primárne-akčné sily a sily od účinku väzieb - reakcie, získané metódou uvoľňovania (i = 1÷n).
Vyjadrenie pohybových rovníc v karteziánskom súradnicom systéme
. ,,1=1=1=
∑∑∑ ======n
iziz
n
iyiy
n
ixix FzmmaFymmaFxmma &&&&&& (3.2)
• D’Alembertov spôsob zostavovania pohybových rovníc (fiktívna dynamická rovnováha)
0FF =+ ∑=
n
ii
1D , (3.3)
kde aF m−=D je d’Alembertova zotrvačná sila.
Metodika riešenia úloh dynamiky pomocou pohybových rovníc 1. Pohybujúci sa hmotný objekt uvoľniť vo všeobecnom časovom okamihu. 2. Definovať účinky vonkajších zaťažujúcich síl a účinky väzbových síl. 3. Zostaviť základnú pohybovú rovnicu vo vektorovom tvare (prípadne v skalárnom tvare). 4. Vektorovú pohybovú rovnicu rozpísať do skalárnych zložkových rovníc vo vhodnom
súradnicovom systéme. 5. Vyjadriť vzťahy medzi kinematickými veličinami, akciami a reakciami a vzťahy pre
pasívne odpory. 6. Riešenie sústavy skalárnych pohybových rovníc a výpočet hľadaných silových, resp.
kinematických veličín.
Základné vety dynamiky hmotného bodu
• Veta o zmene hybnosti
FH=
tdd , resp. F
tt IFHH ==− ∫
00 d , resp. Fmm Ivv =− 0 . (3.4)
• Veta o zmene momentu hybnosti
ML=
tdd , resp. ∫∫ =
tt
0dd
0
MLL
L, resp. MILL =− 0 . (3.5)
• Veta o zmene kinetickej energie
∫ ⋅=−r
rrF
0
d22
20
2 mvmv , resp. AEEE kkk =∆=− 0 . (3.6)
• Veta o zachovaní mechanickej energie
.00 konštEEEE pkpk =+=+ (3.7)
113
Veličiny uvedené vo vzťahoch: H je vektor hybnosti, L je vektor momentu hybnosti, IF je vektor impulzu sily, IM je vektor impulzu momentu, Ep je potenciálna energia, Ek je kinetická energia, A je práca akčných síl.
Príklad 3.1 Po povrchu dokonale hladkej gule s polomerom R sa pohybuje hmotný bod s hmotnosťou m. Začiatočná rýchlosť bodu je v0. Vypočítajte uhol, pri ktorom sa bod odpúta od povrchu gule.
Obr. A
Obr. B
Obr. C
Obr. D
1. spôsob riešenia Riešenie pomocou pohybových rovníc zostavených metódou zrýchľujúcich síl pre hmotný
bod (HB) vo všeobecnej polohe v smere dotyčnice t a v smere normály n (obr. C), t.j.
ϕ= sinGmat , (a)
ϕ+−= cosGFma nn , (b)
kde Fn je dotyková sila medzi HB a povrchom guľovej plochy v smere normály.
Okamih odpútania sa HB od guľového povrchu nastáva v prípade 0→nF . Pohybová rovnica (b) v smere normály má potom tvar
ϕ= cosGman , resp. ϕ= cosgan . (c)
Pre normálovú zložku zrýchlenia pri pohybe po kružnici platí Rvan )(2 ϕ= . Na základe rovnice (c) je potom minimálna veľkosť obvodovej rýchlosti na odpútanie sa HB od povrchu guľove plochy vyjadrená nasledovne
m
R ϕ
r0
Fn G
ϕ
dr
r´
v0
v(ϕ)
ψ
∆r
r
v0
R
v(ϕ)
m
R
ϕ
n
t
at(ϕ)
an(ϕ)
Fn G
ϕ
v0 m
R ϕ
0
114
mm gRv ϕ=ϕ cos)( . (d)
Dráhu s HB pohybujúceho sa po kružnici je možné vyjadriť pomocou vzťahu ϕ= Rs . Z rovnice (a) vyplýva
ϕ=ϕ
===== singRddvv
dsdvv
dsdv
dtds
dsds
dtdv
dtdvat , (e)
resp. ϕϕ= dgRvdv )sin( .
Integráciou poslednej rovnice v príslušných hraniciach je vypočítaná rýchlosť HB pri jeho pohybe po guľovom povrchu v závislosti od uhla ϕ
∫∫ϕϕ
ϕϕ=0
)()sin(
0
dgRvdvv
v,
resp. )cos1(2)( 20
2 ϕ−+=ϕ gRvv . (f)
Uhol ϕm definujúci polohu HB pri odpútaní od guľového povrchu je vypočítaný zo vzťahov (d) a (f), t.j.
)cos1(2cos 20 mm gRvgR ϕ−+=ϕ ,
odkiaľ gR
gRvm 3
2arccos20 +
=ϕ .
2. spôsob riešenia Riešenie pomocou vety o zmene kinetickej energie (obr. D). Pre tento prípad riešenia platí
∫∫∫ =⋅+=⋅k
k
E
Ekn dEdd
000
)(r
r
r
rrGFrF , (g)
kde r je polohový vektor HB, Ek je kinetická energia v mieste definovanom polohovým vektorom r, Ek0 je kinetická energia na začiatku pohybu v polohe r0. Sila Fn je počas pohybu HB stále kolmá na prírastok polohového vektora dr, z čoho vyplýva, že skalárny súčin Fn . dr = 0. Integráciou vzťahu (g)
00 kk EE −=∆⋅=−⋅ rGrrG )( ,
resp. 20
221)(
21)cos(cos mvmvRRGrG −ϕ=ϕ−=ψ∆ ,
odkiaľ pre rýchlosť pohybu bodu po kružnici platí
)cos1(2)( 20
2 ϕ−+=ϕ gRvv . (h)
Na základe vzťahov (h) a (d) je uhol odpútania sa hmotného bodu od povrchu gule
gR
gRvm 3
2arccos20 +
=ϕ .
3. spôsob riešenia Riešenie pomocou zákona zachovania mechanickej energie, t.j. platí
115
.k00 onštEEEE pkpk =+=+ (i)
V prípade nulovej potenciálnej hladiny umiestnenej na úrovni stredu guľovej plochy (obr. B) možno rovnicu (i) vyjadriť v tvare
,)cos1()(21
21 22
0 konštmgRmvmgRmv =ϕ−+ϕ=+
odkiaľ pre rýchlosť pohybu bodu po kružnici platí
)cos1(2)( 20
2 ϕ−+=ϕ gRvv . (j)
Použitím vzťahov (j) a (d) je uhol vyjadrený v tvare
gR
gRvm 3
2arccos20 +
=ϕ .
Príklad 3.2 Hmotný bod s hmotnosťou m = 0,5 kg je pripojený k nehmotnej vertikálnej tyči s dĺžkou R = 1,0 m. Pohyb je hmotnému bodu udelený začiatočnou rýchlosťou v0 = 0,25 ms-1. Vypočítajte:
a - veľkosť sily v nehmotnej tyči v závislosti od uhla natočenia ϕ, b - rýchlosť hmotného bodu v prípade horizontálnej polohy tyče.
Počas pohybu sa hmotný bod m pohybuje po kružnici s polomerom R. Jeho pohybové rovnice sú zostavené pomocou metódy zrýchľujúcich síl v súradnicovom systéme normála-dotyčnica: ,sin ϕ= Gmat ,sin ϕ=⇒ gat (a)
.cos nn FGma +ϕ= .cosmF
ga nn +ϕ=⇒ (b)
Pre tangenciálnu a normálovú zložku zrýchlenia pri pohybe bodu po kružnici platí
ϕ
===Rddvv
dsdv
dtds
dsds
dtdvat ,
Rvan
2= . (c)
Po dosadení pre at do rovnice (a) a po separácii premenných sú integrované obidve strany získanej rovnice v príslušných hraniciach
∫∫ϕϕ
ϕϕ=0
)(sin
0
dgRvdvv
v, (d)
R ϕ
Fn G
m
t
n
v0
ϕ
an
at v(ϕ)
s
R ϕ
m v0
116
odkiaľ pre rýchlosť hmotného bodu vo všeobecnej polohe platí
)cos1(2)( 20 ϕ−+=ϕ gRvv . (e)
Pre prípad horizontálnej polohy tyče (t.j. 2π=ϕ ) je veľkosť rýchlosti
1220 ms436,40,1.81,9.2)25,0()2)( −=+=+=ϕ gRvv .
Veľkosť sily v tyči je vypočítaná z pohybovej rovnice (b) po dosadení za an zo vzťahu (c)
ϕ−ϕ
= cos)(2mg
RvmFn ,
resp. po dosadení za v(ϕ) a po úprave je veľkosť sily v tyči v závislosti od uhla ϕ vyjadrená pomocou vzťahu
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ϕ−+= )cos32(
20 gRv
mFn .
Sila v tyči sa počas rotácie mení z tlakovej na ťahovú, z čoho vyplýva zmena znamienka sily v uvedenom grafe.
0 30 60 90-6
0
6
12
sila
v tyči
[N
]uhol natočenia ϕ [°]
Príklad 3.3 Z výšky h sa po dokonale hladkej naklonenej rovine pohybuje hmotný bod m. Po zošmyknutí z naklonenej roviny sa hmotný bod dostane na drsnú vodorovnú plochu. Medzi vodorovnou plochou a hmotným bodom je trenie definované faktorom šmykového trenia f. Vypočítajte, akú dráhu vykoná hmotný bod po vodorovnej ploche, až sa zastaví.
Pre pohyb HB po naklonej rovine platí zákon zachovania mechanickej energie v začiatočnej polohe a v polohe, keď sa HB dostane na vodorovnú plochu
konšt.,00 =+=+ pkpk EEEE resp. 0210 2
1 +=+ mghmv . (a)
Rýchlosť HB na začiatku pohybu po horizontálnej rovine
ghv 21 = . (b)
Pomocou d´Alembertovej metódy je pre pohyb HB po naklonenej rovine zostavená pohybová rovnica
m
h s = ?
f
m
G FN
FT
a FD
i
j
117
0FF =+ ∑=
n
iiD
1, resp. 0GFFF =+++ TND . (c)
kde aF mD −= je d´Alembertova zotrvačná sila, ktorej veľkosť je maFD = . Skalárnym prenásobením rovnice (c) jednotkovými vektormi i a j dostaneme
0=−− TD FF , resp. 0=− GFN . (d)
Po dosadení za d´Alembertovu zotrvačnú silu maFD = a za treciu silu NT fFF = dostaneme
fmgfFFma NT −=−=−= , resp. fga −= , (e)
odkiaľ pre zrýchlenie platí
fgdsdvv
dsdv
dtds
dsds
dtdv
dtdva −===== . (f)
Po separácii premenných a integrácii dostaneme
∫∫ −=s
vfgdsvdv
0
0
1
, resp. fgsv−=−
2
21 . (g)
Hmotný bod na drsnej vodorovnej ploche zastaví po prejdení dráhy fhs = .
Príklad 3.4 Z výšky h padá hmotný bod s hmotnosťou m na pružinu, ktorá má konštantnú tuhosť k. Vypočítajte, aké veľké je stlačenie pružiny.
Použitím zákona o zmene kinetickej energie medzi polohami B0 a Bk dostaneme
0kk EEA += , (a)
- práca sily v pružine (Fk = kx) 2
00 21
k
x
kF kxkxdxdAk
k−=−=⋅= ∫∫
rrF ,
- práca gravitačnej sily )( xhGA GG +=⋅= rG ,
- kinetická energia na začiatku 021 2
00 == mvEk ,
- kinetická energia na konci 021 2 == kk mvE .
Bk
B0
h
xk
k
lp0
m
vk = 0
v0 = 0
x
B0
h
m
Fk G
rG
r
Bk
xk
k
lp0
Fk x
dx
x
Fk
x
kx
xk
B0
m
h
k
lp0
118
Veta o zmene kinetickej energie má po dosadení tvar
0021)( 2 −=−+ kk kxxhmg .
Rovnica popisujúca stlačenie pružiny má tvar
0222 =−− hk
mgxk
mgx kk , (b)
odkiaľ deformácia pružiny
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
mghk
kmgxk
211 . (c)
Použitím k
mgxst = - deformácia pružiny pri statickom zaťažení
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++=
ststk x
hxx 211 . (d)
Pre prípad 0→h , je stk xx 2= . Z tohto vzťahu vyplýva, že pri “náhlom” pripojení hmoty m k pružine je veľkosť “dynamickej” deformácie dvojnásobok statickej deformácie vznikajúcej “pomalým” pôsobením gravitačnej sily. Príklad 3.5 Ku dnu oceľovej rúrky dĺžky l0 je pripojená pružina tuhosti k stlačená na dĺžku lp0, na konci ktorej je umiestnený hmotný bod m. Nezaťažená pružina má dĺžku lp. Rúrka je od horizontu sklonená pod uhlom α. Pružina je v čase t = 0 uvoľnená. Hmotný bod sa pohybuje najskôr vo vnútri rúrky a potom je v bode C vymrštený a letí vzduchom uvažovanom ako bezodporové prostredie. Medzi hmotným bodom a rúrkou je uvažovaný faktor šmykového trenia f . Vypočítajte, do akej vzdialenosti od bodu O doletí hmotný bod.
Obr. A
m α
α
lp
x1
lp0 Fk
G
FT
FN
O
A
B a1
119
Obr. B
Obr. C Pohyb hmotného bodu je potrebné riešiť v troch etapách:
• Prvá etapa (obr. A) pohybu hmotného bodu je uvažovaná v úseku od začiatočného stlačenia pružiny lp až po polohu definovanú maximálnou dĺžkou nezaťaženej pružiny lp0 (medzi bodmi A a B). Etapu charakterizuje viazaný pohyb hmotného bodu v rúrke, pričom na hmotný bod počas jeho pohybu pôsobí gravitačná sila G, sila od stlačenej pružiny Fk, normálová sila FN a trecia sila FT. Pohybová rovnica v tomto úseku má tvar
α−−= sin1 GFFma Tk . (a)
• Druhá etapa (obr. B) pre pohyb bodu nastáva v okamihu, keď pružina nadobudne svoju dĺžku lp0 v nezaťaženom stave (nastáva strata kontaktu s hmotným bodom) až po okamih, keď opúšťa rúrku (úsek medzi bodmi B a C). Opäť je to viazaný pohyb hmotného bodu v rúrke ako v prvej etape, pričom na hmotný bod počas jeho pohybu pôsobí gravitačná sila G, normálová sila FN, trecia sila FT, ale prestala pôsobiť sila od stlačenej pružiny Fk. Pohybová rovnica v tomto úseku má tvar
α−−= sin2 GFma T . (b)
Pre obidve etapy možno z rovnice rovnováhy v smere kolmo na pohyb hmotného bodu vyjadriť veľkosť normálovej sily
α=α= coscos mgGFN ,
resp. pre treciu silu platí
α== cosfmgfFF NT .
• Tretia etapa (obr. C) nastáva v okamihu, keď hmotný bod opustí ústie rúrky (bod C) a letí voľne vzduchom až po dopad v bode D. Pohybové rovnice sú potom v tvare
03 =xma ⇒ ,03 =xa (c) mgGma y −=−=3 ⇒ ga y −=3 . (d)
Zrýchlenie hmotného bodu v prvej etape v intervale ⟩⟨∈ 01 , pp llx po dosadení do rovnice (a) za treciu, normálovú a gravitačnú silu je vyjadrené pomocou rovnice
)cos(sin)( 11 α+α−−= fglxmka p . (e)
Z uvedenej rovnice je možné vyjadriť vzťah pre závislosť rýchlosti od dráhy bodu
1
11
1
11
1
1111 dx
dvvdxdv
dtdx
dxdx
dtdv
dtdva ==== .
m
l0 G
α
vC
O
C
D
ax3 ay3
y
x
l0 cosα xD = ?
l0 sinα m α
α
l0
x2
lp
G
FT
FN
O
B
C
a2
120
Po separácii premenných v rovnici (e) a integrovaní v príslušných hraniciach
110
11
0
][ )cos(sin)( dxfglxmkdvv
p
p
B l
lp
v
∫∫ α+α−−= ,
odkiaľ pre rýchlosť hmotného bodu v polohe definovanej v bode B platí
))(cos(sin2)( 02
0 ppppB llfgllmkv −α+α−−= . (f)
Pre zrýchlenie hmotného bodu v druhej etape, t.j. v intervale ⟩⟨∈ 002 , llx p platí
)cos(sin2 α+α−= fga a po úprave podobnej ako v prvej etape
222
0
0
)cos(sin dxfgdvvl
l
v
v p
C
B∫∫ α+α−= ,
je rýchlosť hmotného bodu v polohe C vyjadrená v tvare
))(cos(sin2)( 02
0 pppC llfgllmkv −α+α−−= . (g)
Pohybové rovnice v tretej etape sú riešené nasledujúcim spôsobom:
,033 ==
dtdv
a xx ⇒ ,03 =xdv ⇒ ,0
3
cos3 =∫
α
x
C
v
vxdv
gdt
dva y
y −== 33 ⇒ gdtdvy −=3 ⇒ ,
0sin3
3
∫∫ −=α
tv
vy gdtdv
y
C
odkiaľ po integrácii pre rýchlosti hmotného bodu v tretej etape pohybu v smere x a y
dt
dxvv Cx
33 cos =α= ,
dt
dygtvv Cy
33 sin =−α= .
Po separácii a integrácii sú vyjadrené súradnice polohy bodu počas letu
dtvdxt
C
x
∫∫ α=00
3 cos3
⇒ α= cos3 tvx C , (h)
dtgtvdyt
C
y
∫∫ −α=00
3 )sin(3
⇒ 2
sin2
3tgtvy C −α= . (i)
Po eliminácii času t z oboch predchádzajúcich rovníc je získaný vzťah popisujúci dráhu bodu
α
−α= 22
23
33 2 costg
Cvgxxy . (j)
Poloha bodu D, t.j. miesta doletu je vzhľadom na súradnicový systém x, y
]sin;[D 0 α−≡ lxD .
121
Po dosadení do (j)
α
−α=α− 22
2
0 2 costgsin
C
DD v
gxxl ,
odkiaľ
)2sin(2sin
211
2
20 α
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
α++=
gv
vgl
x C
CD ,
resp. vzdialenosť bodov O a D je
DOD xll +α= cos0 . Príklad 3.6 Na kĺbovo upevnenej nehmotnej tyči dĺžky R = 2 m je pripojený hmotný bod s hmotnosťou m = 3 kg, ktorý je pomocou lana vychýlený od vertikálnej osi o uhol α = 30°. Na začiatku je sústava v pokoji. V čase t = 0 s je lano preseknuté. Vypočítajte silu N v tyči pre nasledovné prípady: a - poloha pred preseknutím lana (N0), b - poloha ihneď po preseknutí lana (N1), c - v najnižšom bode dráhy hmotného bodu (pre α = 0°) (N2).
Obr. A
Obr. B
Obr. C
a - sila v tyči v polohe pred preseknutím Tento prípad (obr. B) je rovnovážny, pričom na hmotný bod pôsobia tri sily - sila v lane S, sila v tyči N0 a gravitačná sila G. Rovnovážne rovnice sú:
∑ =i
xiF 0 ⇒ 0sin0 =α+− NS , (a)
∑ =i
yiF 0 ⇒ 0cos0 =α+− NG . (b)
Z týchto rovníc sú vypočítané neznáme sily:
- sila v lane NmgNS 99160 ,tgsin =α=α= ,
- sila v tyči NmgN 98,33cos0 =
α= .
b - sila v tyči v polohe okamžite po preseknutí
α
G
at
an N1 ϕ
R α R α
N0
GS
122
V tomto prípade nastáva limitný stav medzi rovnováhou a pohybom. Sila v lane prestala pôsobiť a pohyb ešte nenastal, t.j. rýchlosť pohybu je nulová. Na hmotný bod pôsobia dve sily: sila v tyči N1 a gravitačná sila G. Pohybové rovnice sú:
α=α= sinsin mgGmat ⇒ α= singat , (c)
11 coscos NmgNGman +α−=+α−= . (d)
Veľkosť normálovej zložky zrýchlenia pre pohyb bodu po kružnici
Rvan
2= . (e)
Vzhľadom na to, že v okamihu po preseknutí lana je rýchlosť nulová, je aj normálová zložka zrýchlenia nulová, t.j. 0=na . Rovnica (d) po dosadení za normálové zrýchlenia
1cos0 Nmg +α−= ⇒ α= cos1 mgN .
Sila v tyči v okamihu preseknutia lana:
NmgN 49,25cos1 =α= .
c - sila v tyči v polohe v najnižšom bode dráhy hmotného bodu (obr.C, pre α = 0°)
Na hmotný bod v tomto prípade pôsobia dve sily - sila v tyči N2 a gravitačná sila G. Pohybové rovnice sú:
)sin( ϕ−α= mgmat ⇒ )sin( ϕ−α= gat , (f)
2)cos( Nmgman +ϕ−α−= ⇒ 2
2)cos( Nmg
Rvm +ϕ−α−= . (g)
Pre tangenciálne zrýchlenie platí
ϕ
=====Rddvv
dsdvv
dsdv
dtds
dsds
dtdv
dtdvat , (e)
kde je použité vyjadrenie ϕ= Rs - dĺžka oblúka. Po dosadení do (f) dostaneme
)sin( ϕ−α=ϕ
gRddvv ⇒ ∫∫
α
ϕϕ−α=0
0
)sin( dgRvdvv
,
odkiaľ
)cos1(2
2α−= gRv ⇒ )cos1(2 α−= gRv . (f)
Po dosadení z (f) do rovnice (g) dostaneme pre silu v tyči
NmgN 32,37)cos23(2 =α−= .
123
Príklad 3.7
Akou minimálnou nábehovou rychlosťou vmin sa musí pohybovať hmotný bod pred vstupom (bod A) na vertikálne umiestnenú kruhovú dráhu s polomerom r = 2,8 m, aby sa dostal do hornej polohy dráhy (bod B)? Hmotný bod má hmotnosť m = 70 kg. Pasívne odpory zanedbajte.
Výsledok:
vmin = 11,72 m.s-1
Príklad 3.8
Na blok s hmotnosťou 90 kg, ktorý leží na vodorovnej podložke, pôsobí síla F = 1,5 kN podľa obrázku. Faktor šmykového trenia medzi blokom a podložkou je f = 0,25. Vypočítajte veľkosť zrýchlenia bloku.
Výsledok:
a = 9,035 ms-2
Príklad 3.9
Na kruhovom disku rotujúcom okolo zvislej osi leží vo vzdialenosti r0 = 8 cm hmotný bod s hmotnosťou m = 1,5 kg. Faktor šmykového trenia medzi hmotným bodom a diskom je f = 0,5. V čase t = 0 s sa disk roztáča z kľudovej polohy konštantným uhlovým zrychlením ε = 0,5 rad/s2. Vypočítajte čas t, pri ktorom sa začne hmotný bod šmýkať po povrchu disku.
Výsledok:
t = 15,66 s. Príklad 3.10
Hmotný bod o hmotnosti m sa pred nábehom na kruhovú dráhu pohybuje začiatočnou rýchlosťou v0. Vypočítajte rýchlosť v0 tak, aby hmotný bod po odpútaní sa pod uhlom ϕ dopadol do stredu kružnice. Pasívne odpory sú zanedbané.
Výsledok:
pre 3
1cos =ϕ ⇒ 32
1 rgv = , )32(0 −= rgv .
m
F ϕ
f
v0
v1
m
ϕ
r
r
vmin
B
A
124
Príklad 3. 11 Hmotný bod je vymrštený stlačenou pružinou. Pružina má tuhosť k a je stlačená o dĺžku l. Pri riešení uvažujte pasívne odpory.
Výsledok:
gv
h D2
2=
12 2glfl
mkvB −= , 10
2 2 fglvv BC −=
22
22
222
222
4123
241
12 2
ff
gRfef
fgRvv f
CD+
+−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−−= π−
Príklad 3. 12
Vypočítajte, z akej minimálnej výšky h má byť spustený hmotný bod s hmotnosťou m, aby sa dostal do polohy definovanej bodom A. Pasívne odpory zanedbajte
Výsledok:
rh25
min =
Príklad 3.13
Malá guľôčka o hmotnosti m = 0,5 kg je upevnená na kruhovú obruč s polomerom R = 0,15 m, ktorá rotuje okolo zvislej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou ω = 6 rad/s.
Vypočítajte: a) uhol ϕ, ktorým je určená poloha guličky pri rotácii, b) silu, ktorou pôsobí obruč na guľôčku.
Výsledok: o53,65=ϕ
84,11=F N
A B C
D
E
m k
l l0
f1 f2 R
h
R
ω
ϕ
h
r
m
A
125
Príklad 3.14
Guľôčka o hmotnosti m = 3 kg sa kĺže po ráme, ktorý má tvar paraboly
28
2xy −= .
Veľkosť rýchlosti pohybu guľôčky, keď vzdialenosť l = 2 m, je v = 5 m/s a tangenciálna zložka zrýchlenia je a = 3 m/s−2.
Vypočítajte: a - veľkosť tangenciálnej zložky sily, b - veľkosť normálovej zložky sily,
ktorou pôsobí rám na guľôčku.
Výsledok: 32,17=tF N
46,6=nF N
3.2 DYNAMIKA SÚSTAVY HMOTNÝCH BODOV
Kinematické veličiny i-teho HB • polohový vektor
iTTi rrr += , (3.8)
• vektor rýchlosti
iTTi vvv += , (3.9)
• vektor zrýchlenia
iTTi aaa += . (3.10)
Pohybové rovnice SHB
• posuvný pohyb SHB
∑=
=n
i
EiTm
1Fa , (3.11)
• rotačný pohyb SHB
∑=
×=n
i
EiiTTI
1Frε . (3.12)
Hybnosť SHB
T
n
iiTi mm vvH == ∑
=1. (3.13)
h0
l0
l
m
y
x
126
Moment hybnosti SHB
∑∑ ×+×=×=n
i=TiiiTTT
n
i=iii mmm
11vrvrvrL . (3.14)
Kinetická energia SHB
2T
2T
1
22T 2
121
21
21 ωvvv ImmmE
n
i=iTik +=+= ∑ , (3.15)
kde Tr - polohový vektor ťažiska, Tv - vektor rýchlosti ťažiska, Ta - vektor zrýchlenia ťažiska, ε - uhlové zrýchlenie SHB vzhľadom na ťažisko, iTr - polohový vektor pôsobiska i-tej sily vzhľadom na ťažisko, iTiT rωv ×= - vektor rýchlosti i-teho hmotného bodu vzhľadom na ťažisko, iTiTiT vωrεa ×+×= - vektor zrýchlenia i-teho hmotného bodu vzhľadom na ťažisko,
EiF - i-ta vonkajšia akčná sila,
∑=n
i=iTiT mI
1
2r - moment zotrvačnosti SHB.
Príklad 3.15 Bremená o hmotnosti m1 a m2 sú vzájomne spojené dokonale ohybným lanom, ktoré je vedené cez kladku, ktorej polomer a hmotnosť je možné zanedbať. Faktor šmykového trenia medzi bremenom m1 a naklonenou rovinou (α = 30°) je f = 0,15; hmotnosť bremena je m1 = 25 kg. Na začiatku v čase t0 = 0 s je sústava v pokoji v naznačenej polohe (h = 3 m). Po uvoľnení sústavy narazí bremeno m2 na vodorovný povrch za čas t = 3 s. Vypočítajte zrýchlenie a2, hmotnosť bremena m2 a silu v lane počas pohybu.
Úloha bude riešená pomocou pohybových rovníc, ktoré sú pre jednotlivé hmotné body m1 a m2 zostavené pomocou metódy zrýchľujúcich síl: - pohybová rovnica pre m1
α−−= sin111 GFFam T , (a)
- pohybová rovnica pre m2
FGam −= 222 . (b)
Pre hmotný bod m1 zároveň platí rovnovážna rovnica v smere kolmom na naklonenú rovinu
m1
m2
α
h
f
m1 m2
α
h
F
FT FN
G1
a1
F
G2
a2
127
0cos1 =α− GFN ⇒ α= cos1gmFN . (c)
Treciu silu medzi hmotným bodom m1 a naklonenou rovinou možno vyjadriť pomocou
α== cos1gfmfFF NT . (d)
Pre zrýchlenia oboch hmotných bodov platí m1 a m2
aaa == 21 . (e)
Po dosadení rovníc (c)−(e) do (a)−(b) sú pohybové rovníce v tvare
.
),sincos(
22
11
FgmamfgmFam
−=α+α−=
(f)
Elimináciou sily v lane F je po úprave veľkosť zrýchlenia pohybu bodov
21
1221
)sincos(mm
fgmgmaaa+
α+α−=== ,
ktoré je konštantné. Pohyb bodu m2 na dráhe h je charakterizovaný nasledovne:
dtdva = ⇒ ∫∫ =
tvadtdv
00
⇒ atv = ,
dtdsv = ⇒ ∫∫∫ ==
tthatdtvdtds
000
⇒ 221 ath = ⇒ 2
2tha = .
Pre hmotnosť hmotného bodu m2 po vyjadrení z (f) dostaneme
ag
fgamm−
α+α+=
)sincos(12 ,
a pre silu v lane
)(2 agmF −= .
Po dosadení sú hodnoty požadovaných veličín:
N. 18,171
kg, 723,18
,ms 667,0
2
-22
=
=
=
F
m
a
128
Príklad 3.16
Do balistického kyvadla pozostávajúceho z nehmotného tuhého závesu dĺžky l a zberného lapača s hmotnosťou m2 narazí projektil s hmotnosťou m2 vystrelený v horizontálnom smere rýchlosťou v1. Projektil po náraze zostane v zbernom lapači. Balistické kyvadlo sa po náraze projektilu vychýli o uhol ϕ.
Vypočítajte rýchlosť projektilu.
Projektil a zberný lapač tvoria sústavu hmotných bodov. Vzhľadom na to, že v okamihu nárazu projektilu do lapača nepôsobí v horizontálmom smere žiadna vonkajšia sila, je možné konštatovať, že hybnosť sústavy pred nárazom a v okamihu nárazu je rovnaká, t.j. platí
vv )( 2111 mmm += , (a)
resp.
vmmvm )( 2111 += ⇒ 121
1 vmm
mv
+= , (b)
kde v je spoločná rýchlosť projektilu a lapača v okamihu spojenia.
Počas pohybu spojeného projektilu a lapača z polohy definovanej okamihom spojenia po ich maximálne vychýlenie pôsobia na sústavu hmotných bodov iba konzervatívne sily. Z toho dôvodu možné pre ďalšie riešenie úlohy použiť zákon zachovania mechanickej energie, t.j.
konštanta=+=+ pBkBpAkA EEEE , (c)
po dosadení
)cos1()(00)(21
212
21 ϕ−++=++ glmmvmm , (d)
je spoločná rýchlosť vyjadrená v tvare
)cos1(2 ϕ−= glv . (e)
Rýchlosť projektilu je pomocou vzťahov (b) a (e)
)cos1(21
211 ϕ−
+= gl
mmm
v .
v1 m2
l
ϕ
m1
0 A
B
129
Príklad 3.17 Dva hmotné body m1 a m2 vzájomne spojené lanom sú umiestnené na ramene a spolu s ramenom rotujú okolo vertikálnej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Vzdialenosť bodu m1 od osi rotácie je r1 a vzdialenosť bodu m2 od osi rotácie je r2. Ak je trenie medzi rámom a hmotnými bodmi zanedbané, vypočítajte: a – silu v lane spájajúcom hmotné body, b – silu pôsobiacu od hmotného bodu m2 na doraz.
Vzhľadom na to, že dráha obidvoch hmotných bodov pri rotácii je kružnica, ich výsledné zrýchlenie má dve zložky – normálovú a tangenciálnu. V prípade, že sústava rotuje konštantnou uhlovou rýchlosťou ω, potom uhlové zrýchlenie ε = 0 a potom aj tangenciálne zložky zrýchlenia 011 =ε= rat , 022 =ε= rat . Pre každý hmotný bod je zostavená pohybová rovnica pre normálový smer, t.j. platí
.
,
dn
n
FFam
Fam
−=
=
22
11 (a)
Normálové zložky zrýchlení jednotlivých bodov je možné vyjadriť v tvare
1
21
1 rv
an = , resp. 2
22
2 rv
an = . (b)
Pre obvodové rýchlosti v1 a v2 hmotných bodov m1 a m2 sú pre prípad pohybu bodov po kružnici
11 rv ω= , resp. 22 rv ω= . (c)
Po dosadení (c) a (b) do pohybových rovníc (a)
.
,
dFFrm
Frm
−=ω
=ω2
22
211 (d)
Z týchto dvoch rovníc sú vyjadrené: - sila v lane 2
11 ω= rmF ,
- sila na doraz )( 22112 rmrmFd −ω= .
m2
ω
r1
r2
G2 G1
m1
F
F
Fd
an1
an2
m2
m1
ω
r1
r2
130
Príklad 3.18 Dva hmotné body m1 a m2 vzájomne spojené lanom (viď. príklad 3.17), sú umiestnené na ramene a spolu s ramenom rotujú okolo vertikálnej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Vzdialenosť bodu m1 od osi rotácie je r1 a vzdialenosť bodu m2 od osi rotácie je r2. Faktor šmykového trenia medzi hmotným bodom m1 a ramenom je f1 a medzi hmotným bodom m2 a ramenom f2. Vypočítajte: a - silu v lane spájajúcom hmotné body, b - silu pôsobiacu od hmotného bodu m2 na doraz.
Výsledok: a) )( 1
211 gfrmF −ω= ,
b) gfmfmrmrmFd )()( 22112
2211 +−ω−= . Príklad 3.19
Balík s hmotnosťou mz je hodený rýchlosťou vz na plošinu dopravného vozíka, ktorého hmotnosť je mv. Vozík je v okamihu dopadu balíka v pokoji, t.j. jeho rýchlosť je vv = 0. Vypočítajte spoločnú rýchlosť vozíka s balíkom.
Výsledok:
vz
zzmm
vmv+
=
Príklad 3.20
Dva hmotné body m1 a m2 sú pripojené na lano podľa obrázka. V začiatočnom stave je hmotný bod m1 v polohe určenej bodom A0. Zo začiatočnej polohy sú uvoľnené a následne sa obidva hmotné body pohybujú až do zastavenia. Vypočítajte dráhu hmotného bodu m1. Definujte podmienku platnosti formulovaného problému.
Výsledok:
21
22
211
44
mmlmm
s−
= - platn pre 21 2mm <
mv mz
v = ?
mv mz
vz
vv = 0
m1
m2
s1
l0 l0
s2
A0
131
Príklad 3.21 Na nehmotnom ramene rotujúcom okolo zvislej osi sa nachádza hmotný blok m, ktorý je pomocou lana vinúceho sa cez nehmotnú kladku spojený s bremenom m0. V začiatočnom stave (t = 0 s) sa hmotný blok m nachádza vo vzdialenosti l0 a rameno je roztočené na konštantnú uhlovú rýchlosť ω0. Medzi ramenom a hnotným blokom je faktor šmykového trenia f. Uvoľnením sa hmotný blok m postupne približuje k osi rotácie. Vyjadrite časovú závislosť uhlovej rýchlosti ω(t) rotácie ramena.
Výsledok:
22
0
00
20
0
)(2
)(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−
ω=ω
gtmm
fmml
lt
Príklad 3.22 Dva hmotné bloky s hmotnosťami m1 a m1, umiestnené na plošine, sú spojené lanom cez sústavu nehmotných kladiek. Jeden koniec lana je pevne uchytený na rám a na druhom konci lana pôsobí ťahová sila. Medzi blokmi a plošinou, po ktorej sa bloky šmýkajú, sú faktory šmykového trenia f1 a f2. Určte, akými zrýchleniami sa pohybujú hmotné bloky.
Výsledok:
11
12 gfmFa −= 2
22
2 gfm
Fa −=
m1
m2
F
f1
f2
f
l0
m
m0
ω
x(t)
132
3.3 GEOMETRIA HMÔT
Všeobecná definícia momentov zotrvačnosti a deviačných momentov
- pre SHB ∑=n
i=ii rmI
1
2 , (3.16)
- pre tuhé teleso ∫=)(
2dm
mrI . (3.17)
Momenty zotrvačnosti SHB, resp. tuhého telesa k súradnicovým osiam
∑ +=n
i=iiix zymI
1
22 )( ∫ +=)(
22 d)(m
x mzyI ,
∑ +=n
i=iiiy xzmI
1
22 )( ∫ +=)(
22 d)(m
y mxzI , (3.18)
∑ +=n
i=iiiz yxmI
1
22 )( ∫ +=)(
22 d)(m
z myxI .
Momenty zotrvačnosti SHB, resp. tuhého telesa k súradnicovým rovinám
∑=n
1=i
2ii zmI xy ∫=
)(
2dm
xy mzI ,
∑=n
i=iiyz xmI
1
2 ∫=)(
2dm
yz mxI , (3.19)
∑=n
i=iizx ymI
1
2 ∫=)(
2dm
zx myI .
Momenty zotrvačnosti SHB, resp. tuhého telesa k stredu súradnicového systému
∑ ++=n
i=iiiiP zyxmI
1
222 )( ,
∫ ++=)(
222 d)(m
P mzyxI . (3.20)
Deviačné momenty SHB, resp. tuhého telesa
∑=n
i=iiixy myxD
1 ∫=
)(d
mxy mxyD ,
∑=n
i=iiiyz mzyD
1 ∫=
)(d
myz myzD , (3.21)
∑=n
i=iiizx mxzD
1 ∫=
)(d
mzx mzxD .
133
Transformačné vzťahy zxxyx III += , xyyzy III += , yzzxz III += ,
zxyp III += , xyzp III += , yzxp III += (3.22)
yzxyzxp IIII ++= , 2
zyxp
IIII
++= .
Steinerova veta - momenty zotrvačnosti, deviačné momenty k rovnobežne posunutým osiam
,)(22 22 meemzemyeII zyTzTyxx ++−−=′
,)(22 22 meemzemxeII zxTzTxyy ++−−=′
,)(22 22 meemyemxeII yxTyTxzz ++−−=′
,2 2memzeII zTzxyyx +−=′′
,2 2memxeII xTxyzzy +−=′′ (3.23)
,2 2memyeII yTyzxxz +−=′′
,)(222 222 meeemzemyemxeII zyxTzTyTxPP +++−−−=′
,22 meemxemyeDD yxTyTxxyyx +−−=′′
,22 meemyemzeDD zyTzTyyzzy +−−=′′
.meemxemzeDD zxTzTxzxxz +−−=′′ 22
Moment zotrvačnosti ku všeobecnej osi prechádzajúcej stredom súradnicového systému
.coscoscoscoscoscos
coscoscos
αγ−γβ−βα−
γ+β+α=
zxyzxy
zyxo
DDD
IIII
222
222
(3.24)
Všeobecné vyjadrenie momentu zotrvačnosti a deviačného momentu útvaru zloženého z m jednoduchých telies
∑=m
i=iII
1, ∑=
m
i=iDD
1.
z z’
y
x
x’
y’
0
0’
ex
ez
ey
x
y
z
x’ z’
y’
T [xT, yT, zT]
dm
134
Model Momenty zotrvačnosti
)(31 2
22121 llllmI y +−=
221 mrI x = )3(
1222 rhmII zy +==
241 mrII zxxy == 2
121 mhI yz =
)6(12
22 rhmIT +=
)(12
22 cbmI x +=
)(12
22 camI y +=
)(12
22 bamI z +=
212
cmI xy =
212
amI yz =
212
bmI zx =
)(12
222 cbamIT ++=
)2(20
22 hrmII yx +== 2
103 mrIz =
2203 mrII zxyz == 2
101 mhI xy =
)3(10
220 hrmI +=
252 mrIII zyx ===
251 mrIII zxyzxy ===
253 mrIT =
h
r x y
z
0
x
y
z
r
m
T h
x
y
z m
b
a
c
T
x
y
z
l1
l2
m
x
y
z m
r T
135
Príklad 3.23 Vypočítajte moment zotrvačnosti oceľovej súčiastky vzhľadom na os o. Hustota ocele je ρFe.
Moment zotrvačnosti súčiastky vzhľadom k osi o je daný súčtom momentov zotrvačnosti jednotlivých častí, z ktorých je súčiastka zložená, t.j.
ooooo IIIII 4321 +++= , (a)
- moment zotrvačnosti telesa 1:
21
2111 2
1 hmrmI o += , (b)
12
111 lrVm FeFe πρ=ρ= ,
- moment zotrvačnosti telesa 2:
2222 2
1 rmI o = , (c)
22222 lrVm FeFe πρ=ρ= ,
- moment zotrvačnosti telesa 3:
( )2
21
321
2033 212
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++= hhmhbmI o , (d)
tbhVm FeFe 0133 ρ=ρ= ,
- moment zotrvačnosti telesa 4:
( )2
20
420
2044 212
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++= hhmhbmI o , (e)
)( 00044 ttbhVm FeFe −ρ=ρ= .
b0
h0
h2
t0 − t
o
b0
h1
h2
t
o
r2 l2
o
r1 l1
o
h
r1
r2
h
l2
l1 b0
h0
h1
h2
t0
t
o
136
Po dosadení vzťahov (b)-(d) do rovnice (a)
].[][
)(
)(
)()(
)(
)(
02220
20000
12221
2001
21
212
421
41
12412
12412
2
hhhhbttbh
hhhhbtbh
hlrlrlrI
Fe
Fe
Feo
−++−ρ
+
−++ρ
+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π++π
ρ=
Príklad 3.24 Vypočítajte moment zotrvačnosti trojuholníkovej dosky vzhľadom na os o.
Všeobecný vzťah pre výpočet momentu zotrvačnosti k osi o je vyjadrený v tvare
∫ +==)(
22 )(m
xo dmzyII . (a)
Z trojuholníkovej dosky je vybratý element, ktorého hmotnosť je dxdydzdm ρ= . (b) Po dosadení za dm do rovnice (a) je moment zotrvačnosti vyjadrený ako trojný integrál
∫ ∫ ∫ +ρ=b xy t
o dxdydzzxyI0
)(
0 0
22 ]))([( . (c)
Vzhľadom na geometrický tvar dosky je súradnica y funkciou x, t.j. z podobnosti trojuholníkov vyplýva
xbhxy =)( . (d)
Postupnou integráciou rovnice (c) je vypočítaný moment zotrvačnosti dosky k osi o
,33
3))((]))([(
0
33
3
3
0
)(
0
32
0
)(
0 0
22
∫
∫ ∫∫ ∫ ∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+ρ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+ρ=+ρ=
b
b xyb xy t
o
dxxbhtx
hth
dxdytxytdxdydzzxyI
[ ],26
22 thmIo += kde 2
bhtm ρ= je hmotnosť dosky.
y x
dx
dy
b
h
t
o
137
Príklad 3.25
Vypočítajte moment zotrvačnosti anuloidu s hmotnosťou m, polomerom R vzhľadom na zvislú os. Prierez má polomer r.
Výsledok:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += 22
43 rRmIo
Príklad 3.26
Vypočítajte moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os o. Merná hmotnosť ocele je ρFe.
Výsledok:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−
−−
+πρ
= )5()(
510 12
41
20
052
524
2 hhrrr
hrrhrI Fe
o
Príklad 3.27
Vypočítajte momenty zotrvačnosti polgule s polomerom R a hmotnosťou m vzhľadom k osiam prechádzajúcim ťažiskom.
Výsledok:
232083 mRII yx == , 2
52 mRI z =
Príklad 3.28
Vypočítajte moment zotrvačnosti telesa vzhľadom k osi 0 zloženého z dvoch po dĺžke homogénnych tyčí konštantných prierezov s hmotnosťami m1 a m2.
Výsledok:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+++=
2
022
12222
2110 212
131 lllmlmlmI .
m1
m2
l1
l2
l0
0
x
R
y
z
T
o
r0
r1
r2
h0
h
h1
h2
o
138
3.4 DYNAMIKA TUHÉHO TELESA
Hybnosť tuhého telesa
• posuvný pohyb TmvH = ,
• rotačný pohyb ToT mm rωvH ×== (ťažisko T mimo osi rotácie o), (3.25)
• všeobecný pohyb TmvH = .
Moment hybnosti tuhého telesa
• posuvný pohyb TT mvrL ×= ,
• rotačný pohyb ωL oo I= , (3.26)
• všeobecný pohyb ωvrL TTT Im +×= .
Kinetická energia tuhého telesa
• posuvný pohyb 221
Tk mvE = ,
• rotačný pohyb 2
21
ω= ok IE , (3.27)
• všeobecný pohyb 2221
21
ω+= TTk ImvE .
Pohybové rovnice tuhého telesa
• posuvný pohyb ∑=n
i=
EiTm
1Fa , (3.28)
,∑ ×=n
i=
EiiT
1Fr0 (rovnovážna momentová rovnica) (3.29)
• rotačný pohyb ∑=n
i=
Ei
1F0 , (rovnovážna silová rovnica) (3.30)
∑=i
iooI Mε , (3.31)
• všeobecný pohyb ∑=
=n
i
EiTm
1Fa , (3.32)
∑=
×=n
i
EiiTTI
1Frε , (3.33)
kde m je hmotnosť telesa, IT - moment zotrvačnosti telesa k ťažisku, Io - moment zotrvačnosti telesa k osi rotácie, rT - polohový vektor ťažiska, vT - vektor rýchlosti ťažiska, aT - vektor zrýchlenia ťažiska, ω - vektor uhlovej rýchlosti telesa, ε - vektor uhlového zrýchlenia telesa, E
iF - vektor externého silového účinku.
139
Príklad 3.29 Posuvné dvere o hmotnosti m a rozmeroch l0×h sú zavesené na vodorovnom nosníku. Na pravej strane (A) sú dvere zavesené na kladke so zanedbateľnými odpormi a na ľavej strane (B) sú zavesené pomocou šmykového závesu s faktorom šmykového trenia f. V lane pripojenom ku kladke sú dvere ťahané konštantnou silou F, ktorá začne pôsobiť v čase t = 0 s, kedy sú dvere v pokoji. Určte, akým zrýchlením aTx sa budú dvere pohybovat a za aký čas sa dvere presunú tak, aby uzatvorili otvor šírky l0.
V prípade pôsobenia sily F dvere konajú posuvný pohyb. Zrýchlenie dverí Txa a čas t, za ktorý dvere uzatvoria otvor šírky l0, je možné určiť z pohybovej rovnice. Pohybová rovnica pre horizontálny pohyb dverí je zostavená pomocou metódy uvoľňovania, t.j.
AT TFma x −= . (a)
Zároveň platia pre dvere rovnice rovnováhy
0=∑i
iyF ⇒ 0BA =−+ GNN , (b)
0T =∑i
iM ⇒ 0)()( A000B2A1 =++++−+− ThhFhrhNlNl . (c)
Vzhľadom na to, že tri rovnice (a-c) obsahujú štyri neznáme - ABAT ,,, TNNa x , je potrebné z dôvodu riešiteľnosti sústavy rovníc formulovať ďalšiu doplnkovú rovnicu založenú na vzájomnej závislosti trecej (TA) a normálovej sily (NA), t.j.
AA fNT = . (d)
Z rovnice (b) je vyjadrená sila NB
AB NGN −= . (e)
Dosadením (d) a (e) do (c) sú vypočítané normálové sily v bodoch A a B
)()(
021
002A hhfll
FrhhmglN
+−+++−
= ,
)(
)())((
021
0001B hhfll
FrhhmghhflN
+−+++++−
= .
l1 l2
h0
r0
T
l0
B
FA
NB NA
TA
G
aTx
h
h
l1 l2
h0
r0
T
l0
A B
l0
m
h
h
140
Z pohybovej rovnice (a) po dosadení za TA je vyjadrené zrýchlenie
)(
)(
021
2021T hhfll
mgflFfrlla x +−+
−++= . (f)
Vzhľadom na to, že všetky členy na pravej strane rovnice sú konštanty, je zrejmé, že aj zrýchlenie xaT musí byť konštantné. Z toho dôvodu pre uvažované podmienky konajú dvere rovnomerne zrýchlený pohyb. Zrýchlenie dverí možno vyjadriť v tvare
dt
dva x
xT
T = ,
odkiaľ po separácii premenných a následnej integrácii v príslušných hraniciach je vyjadrená rýchlosť posuvného pohybu dverí
dtadv xx TT = ⇒ ∫∫ =t
x
v
x dtadvx
0T
0T
T ⇒ tav xx TT = .
Pre rýchlosť všeobecne platí
dtdxv x =T ⇒ ∫∫∫ ==
t
x
t
x
l
tdtadtvdx0
T0
T0
0 ⇒
2
2
T0tal x= .
Z poslednej rovnice je vyjadrené t
xa
lt
T
02=
a po dosadení za xaT je čas potrebný na uzatvorenie otvoru šírky l0 vyjadrený vzťahom
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+++−+
=mgflFfrll
hhflllt
2021
0210 )(
)(2 .
Príklad 3.30 Teleso s hmotnosťou m je z kľudovej polohy ťahané silou F na naklonenej rovine (obr.A) so sklonom β. Faktor šmykového trenia medzi telesom a naklonenou rovinou je f. Vypočítajte zrýchlenie, akým sa bude teleso pohybovať, časovú závislosť dráhy telesa a väzbové reakcie v prípade, keď bude ťažná sila F konštantná.
Obr.A
Obr.B
141
Teleso vykonáva priamočiary posuvný pohyb. Zostavenie príslušných rovníc je podmienené uvoľnením telesa (obr. B). Teleso vykonáva pohyb iba v smere naklonej roviny a z toho dôvodu bude zostavená iba jedna pohybová rovnica pre smer naklonenej roviny. Ďalšie dve rovnice - smer kolmo na naklonenú rovinu a rotácia okolo ťažiska budú rovnovážne.
Pohybová rovnica pre smer naklonenej roviny (zostavená metódou zrýchľujúcich síl):
β−−−= sinGTTFma BA . (a)
Rovnovážne rovnice:
- smer kolmo na naklonenú rovinu
∑ =i
iF 0 : 0cos =β−+ GNN BA , (b)
- momentová rovnovážna rovnica vzhľadom na ťažisko
∑ =i
TiM 0 : 0)(210 =+−+−− BATBA TThNlNlFh . (c)
Je potrebné uviesť vzťahy pre šmykové sily BA TT , v bodoch A a B
AA fNT = , BB fNT = , (d)
kde BA NN , sú normálové sily v bodoch A a B. Z rovníc (b)-(d) sú vyjadrené normálové sily v bodoch A a B, t.j.
)(
cos)(
21
01ll
FhmgfhlN T
A ++β+
= , (e)
)(
cos)(
21
02ll
FhmgfhlN T
B +−β−
= . (f)
Po dosadení (d) a (e) do pohybovej rovnice (a) je veľkosť zrýchlenia vyjadrená v tvare
)cos(sin β+β−= fgmFa . (g)
Vzhľadom na to, že všetky členy pravej strany rovnice (f) sú konštanty, aj zrýchlenie pohybu telesa po naklonenej rovine bude konštantné, a teda možno konštatovať, že teleso koná rovnomerne zrýchlený pohyb. Rýchlosť pohybu telesa je vyjadrená nasledovným postupom:
dtdva = ⇒ adtdv = ⇒ ∫∫ =
tv
adtvd00
⇒ atv = .
Pre dráhu telesa po naklonenej rovine potom platí:
dtdsv = ⇒ atdtvdtds == ⇒ ∫∫ =
ts
atdtsd00
⇒ 22tas = .
Časová závislosť dráhy je definovaná vzťahom
22
)cos(sin tfgmFs ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ β+β−= .
142
Príklad 3.31 Na vozíku, ktorý sa pohybuje zrýchlením au, je umiestnená tyč, ktorá je v bode A spojená s ložnou plochou kĺbom a v bode B je opretá. Tyč má hmotnosť m a je po celej dĺžke l homogénna. Vypočítajte: a - minimálnu veľkosť zrýchlenia au, pri ktorom nastane strata kontaktu medzi tyčou a
vozíkom v bode B, b - veľkosť sily, ktorou je zaťažovaný čap v bode A.
Obr. A
Obr. B
Pre tyč, ktorá je uložená na vozíku, sú (podľa výpočtového modelu na obr. B) zostavené nasledovné rovnice:
0=∑i
xiF ⇒ 0=−− BDux NFA ,
0=∑i
yiF ⇒ 0=− GAy , (a)
0=∑i
AiM ⇒ 0cos22
=+α− hNlGhF BDu ,
kde ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=α
lharcsin .
V rovniciach (a) je použitá d´Alembertova zotrvačná sila FDu, ktorá pôsobí na tyč a je spôsobená unášavým pohybov vozíka. Pre vektorové vyjadrenie unášavej zotrvačnej sily FDu
uDu maF −= ,
pričom pre jej veľkosť platí
uDu maF = .
Kontakt v bode B medzi tyčou a vozíkom nastane vtedy, keď bude platiť
0→BN .
Na základe tohto konštatovania, ak v tretej rovnici (a) položíme 0=BN , pre minimálnu veľkosť zrýchlenia vozíka platí
α≥ coshlgau .
α
m,IO
l 2
l 2
T
A
NB
G
Ax
Ay
au
B
h
l
h m
au
A
B
143
Pre veľkosť síl pôsobiacich na čap v smere súradnicových osí potom
α= coshlmgAx ,
mgAy = ,
resp výsledný silový účinok na čap
1cos22
22 +α⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+=
hlmgAAA yx .
Príklad 3.32 Hnací moment elektromotora je definovaný závislosťou )1(0 ω−= mh kMM , kde nπ=ω 2 je uhlová rýchlosť, n sú otáčky elektromotora, M0 a km sú konštanty elektromotora. Elektromotor má v celom rozsahu otáčok konštantné straty vyjadrené konštantným odporovým momentom rM . Moment zotrvačnosti rotora elektromotora je mI .
Vypočítajte: a - časovú závislosť otáčok )(tnn = , b - maximálne otáčky rotora elektromotora a čas, za ktorý ich rotor dosiahne.
V rámci tejto úlohy je riešený problém dynamiky rotačného pohybu telesa. Východiskom pre riešenie je zostavenie pohybovej rovnice
rhm MMI −=ε . (a)
Pre vyjadrenie zrýchlenia je použitý vzťah
dtdω
=ε
a po dosadení do rovnice (a) dostaneme
rmm MkMdtdI −ω−=
ω )1(0 ,
resp.
ω−−
=ω
m
m
m
rI
kMI
MMdtd 00 . (b)
Im
Mh Mr
ω ε
144
Po separácii premenných je
dt
IkM
IMM
d
m
m
m
r=
ω−−
ω
00
a následnou integráciou v príslušných hraniciach
∫∫ =ω−
−ω
ω t
m
m
m
rdt
IkM
IMM
d
00 00,
je získaná časová závislosť uhlovej rýchlosti
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=ω=ω
− tI
kM
m
r mm
ekMMM
t0
1)(0
0 . (c)
Časová závislosť otáčok elektromotora je vyjadrená zo vzťahu nπ=ω 2 , t.j. platí
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
π−
=π
ω=
− tI
kM
m
r mm
ekMMMttn
0
122
)()(0
0 . (d)
Maximálne otáčky elektromotora sú vypočítané nájdením extrému funkcie )(tn
0)(=
dttdn . (e)
Pre čas maxt , pri ktorom bude mať elektromotor maximálne otáčky, musí podľa rovnice (e) splniť podmienku
0max
0
=− t
IkM
m
m
e . (f)
Rovnica (f) je splnená iba pre prípad, keď
∞→maxt . (g)
00,0
nmax
Otáčk
y ro
tora
n(t)
Čas t
Obr. A
To znamená, že rotor elektromotora nedosiahne maximálne otáčky v reálnom časovom horizonte, ale iba sa k nim asymtoticky približuje (viď. obr. A).
Asymtotická hodnota maximálnych otáčok, ku ktorým sa blížia otáčky rotora, je vyjadrená z rovnice (d) po dosadení za maxt z rovnice (g), t.j.
m
rkMMM
n0
0max 2π
−= .
145
Príklad 3.33 Lietadlo s hmotnosťou m pristáva pristávacou rýchlosťou v0 na dve kolesá, ktoré sú pri pristávaní v pokoji. Kolesá majú polomer r a moment zotrvačnosti I. Faktor šmykového trenia medzi kolesami a pristávacou plochou je f. Pasívne odpory v ložiskách kolies sú zanedbané. Vypočítajte, za aký čas sa kolesá prestanú šmýkať a začnú sa odvaľovať.
Pri zanedbaní vztlakovej sily je koleso lietadla pri pristávaní na pristávaciu plochu pritláčané silou, ktorá sa rovná polovičnej hodnote gravitačnej sily pôsobiacej na lietadlo, t.j.
Nkk FgmmGGF =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=
221 .
V okamihu dotyku kolesa s pristávacou plochou začne na koleso pôsobiť trecia sila
gmmffFF kNT ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +==
2. (a)
Pohybová rovnica kolesa liedadla pre jeho rotačný pohyb má potom tvar
rFI Tk =ε , (b)
z ktorej pre uhlové zrýchlenie platí
rIfgmmr
IF
kk
k
T ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +==ε
2. (c)
Keďže veličiny nachádzajúce sa na pravej strane rovnice sú konštantné, bude konštantné sj uhlové zrýchlenie ε. Pre časovú závislosť uhlovej rýchlosti ω rotácie kolesa potom platí
rtIfgmmtk
k ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=ε=ω
2. (d)
Koleso sa po pristávacej dráhe prestane šmýkať, ak začne platiť vzťah pre odvaľovanie kolesa
r
v0=ω . (e)
Platnosť rovnice (e) nastane vtedy, ak sa dotykové body na obvode kolesa a body na pristávacej dráhe nebudú voči sebe prešmykovať, t.j. vznikajú podmienky pre odvaľovanie kolesa a dotykové body sú vlastne okamžité stredy otáčania.
Z rovnice (d) je po dosadení rovnice (e) vyjadrený čas, kedy prestane šmýkanie kolies po pristávacej dráhe
)2(
220
k
k
mmfgrI
vt+
= .
mk, Ik
r
F1
FN
FT
v0
ω
146
Príklad 3.34 Homogénny kruhový kotúč je ovinutý nehmotným lankom. Jeden koniec lanka je upevnený na valcovej časti kotúča a druhý koniec je pripojený na nehybný základ. Kotúč sa po uvoľnení začne pohybovať. Vypočítajte zrýchlenie ťažiska kotúča, uhlové zrýchlenie kotúča a silu, ktorá pri pohybe kotúča vznika v lanku. Pasívne odpory zanedbajte.
Obr. A
Obr. B
Obr. C
Kotúč sa po uvoľnení začne pohybovať a koná všeobecný pohyb, t.j. posuvný pohyb smerom dolu a zároveň rotačný pohyb okolo ťažiska. Pohybové rovnice, z ktorých je možné požadované veličiny vypočítať, môžu byť zostavené dvoma spôsobmi:
- metóda zrýchľujúcich síl (podľa obr. B)
NGma −= , (a)
NrIT =ε , (b)
- d´Alembertovou metódou (podľa obr. C)
0FF =+ ∑i
iD ⇒ 0=−− DFNG , (c)
0MM =+ ∑i
TiDT ⇒ 0=− rNM D , (d)
kde aF mD −= - vektor d´Alembertovej zotrvačnej sily - veľkosť je maFD = ,
εTD I−=M - vektor d´Alembertovho zotrvačného momentu - veľkosť je ε= TD IM .
Po dosadení za FD a MD do rovníc (c) a (d) sú získané tie isté pohybové rovnice, ako sú rovnice získané metódou zrýchľujúcich síl, t.j.
NGma −= ,
NrIT =ε .
Vzhľadom na to, že máme zostavené iba dve pohybové rovnice a v týchto rovniciach sú tri neznáme (a, ε, N), ktoré máme vypočítať, je potrebné zostaviť ďalšiu doplnkovú rovnicu medzi uvedenými neznámymi, t.j.
ra ε= . (e)
Riešením sústavy rovníc (a), (b) a (e) sú vyjadrené požadované veličiny
ga32
= , rg
32
=ε , 3
mgN = .
m, IT
r
T
N
G
FD
MD OSO
m, IT r
T
N
G
a ε OSO
m, I r
T
147
Príklad 3.35 Rotačne symetrické teleso s hmotnosťou m je spustené po naklonenej rovine s uhlom sklonu β. Teleso sa valí na polomere r. Dráhu valenia l teleso prejde za čas t. Vypočítajte moment zotrvačnosti IT telesa vzhľadom na os symetrie.
Teleso pri valení vykonáva všeobecný pohyb a pre riešenie úlohy sú zostavené rovnice:
- pohybová rovnica pre pohyb ťažiska telesa v smere naklonenej roviny
TT FGma −β= sin , (a)
- pohybová rovnica pre rotáciu telesa okolo ťažiska
rFI TT =ε , (b)
- rovnica rovnováhy telesa v smere kolmo na naklonenú rovinu
∑ =i
iF 0 ⇒ 0cos =β− GFN . (c)
V uvedených troch rovniciach je päť neznámych veličín:
aT, ε, FT, FN, IT.
Doplnková kinematická rovnica, ktorá je použitá pre riešenie:
raT ε= . (d)
Z rovnice (d) je vyjadrené uhlové zrýchlenie
r
aT=ε
a z rovnice (b) je vyjadrená trecia sila
TTT
T arI
rI
F 2=ε
= . (e)
Po dosadení (e) do pohybovej rovnice (a) je vyjadrené zrýchlenie ťažiska
2
sin
rIm
mgaT
T+
β= . (f)
β
l
vT0 = 0 ω0 = 0
t
r
R
T
T
T
aT
ε
vT
ω
t = 0
FN
FT
G
148
Všetky veličiny na pravej strane rovnice (f) sú koštantné a z toho vyplýva, že aj zrýchlenie ťažiska je konštantné. Na základe toho teleso koná rovnomerne zrýchlený pohyb.
Rýchlosť pohybu ťažiska telesa:
dt
dva T
T = ⇒ dtadv TT = ⇒ ∫∫ =t
TT
v
dtavdT
00
⇒ tav TT = .
Dráha ťažiska telesa po naklonenej rovine:
dt
dsv T
T = ⇒ tdtadtvds TTT == ⇒ ∫∫ =t
TT
l
tdtasd00
⇒ 22t
Tal = .
Po dosadení do poslednej rovnice za aT z rovnice (f)
22
2 2sin t
TImrgmrl
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
β= ,
odkiaľ pre moment zotrvačnosti telesa platí
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
β= 1
2sin2
2l
gtmrIT .
Príklad 3.36 Pre ojnicu kľukového mechanizmu, ktorá má hmotnosť m a je zobrazená na obrázku A, vypočítajte moment zotrvačnosti k ťažisku.
Obr. A
Obr. B
Obr. C
T
lT
l
A B
m
G
NA
NB
r
T
lT
l
A
m
ϕ
T
G
ε
r
T
lT
l
r
149
Ojnica kľukového mechanizmu je tvarovo komplikované, prípadne nehomogénne teleso. Vzhľadom na to je veľmi obťažné vypočítať momenty zotrvačnosti pomocou základných definičných vzťahov. Pre telesá tohto typu je možné vypočítať ich moment zotrvačnosti nepriamo. Podstatou riešenia je tzv. fyzikálne kyvadlo.
Ojnica je kĺbovo uchytená v bode A (obr. C) a po vychýlení o uhol ϕ a následnom uvoľnení bude konať rotačný pohyb okolo bodu A. Jej pohybovú rovnicu možno napísať metódou zrýchľujúcich síl v tvare
ϕ+−=ε sin)( rlGI TA , (a)
kde ϕ=ε && je uhlové zrýchlenie a AI je moment zotrvačnosti ojnice na bod A. Po úprave má rovnica (a) tvar
0sin)( =ϕ++ϕ rlmgI TA && ⇒ 0sin)(
=ϕ+
+ϕA
TI
rlmg&& . (b)
Rovnica (b) je vzhľadom na ϕsin nelineárna diferenciálna rovnica. Pre malé uhly o5<ϕ platí ϕ≅ϕsin (vo vzťahu je ϕ v radiánoch). Na základe tohto predpokladu je diferenciálna rovnica linearizovaná a má tvar
0)(
=ϕ+
+ϕA
TI
rlmg&& ⇒ 02
0 =ϕω+ϕ&& .
Pre vlastnú kruhovú frekvenciu ω0 oscilačného pohybu ojnice platí
0
02)(TI
rlmg
A
T π=
+=ω , (c)
kde T0 je perióda oscilačného pohybu ojnice.
Uvedený postup je možné aplikovať na experimentálne určovanie momentu zotrvačnosti telies, ktoré sú tvarovo komplikované a nehomogénne. Na výpočet momentu zotrvačnosti AI zo vzťahu (c) je potrebné zmerať čas trvania kyvu ojnice, t.j. jednu periódu.
Na vyjadrenie momentu zotrvačnosti AI potom platí
2
20
4)(
π+=
TrlmgI TA . (d)
Veličiny - m, r, T0 vystupujúce v rovnici (d) sú buď zadané, alebo sa dajú zmerať. Poloha ťažiska Tl , ak nie je zadaná, sa taktiež dá zistiť experimentálne podľa schémy na obr. B. Ojnica je na jednej strane podopretá v pevnom bode A a druhý koniec ojnice je podopretý v bode B, ktorý je umiestnený na váhach, pomocou ktorých je odmeraná hmotnosť mB v „podopretí“ – bod B. Na základe schémy (obr. B) je možné zostaviť rovnovážne rovnice
0=∑i
yiF ⇒ 0=−+ GNN BA ,
0=∑i
AiM ⇒ 0)()( =+−+ GrlNrl TB ,
kde gmN BB = a mB je hodnota zmeraná na váhach.
150
Z druhej z rovnovážnych rovníc pre polohu ťažiska Tl vyplýva
rm
mrll BT −+= )( .
Po dosadení za Tl do rovnice (d) je vyjadrený moment zotrvačnosti na bod A
2
20
4π+=
TrlgmI BA )( .
Pre výpočet momentu zotrvačnosti vzhľadom na ťažisko T je použitá Steinerova veta. Moment zotrvačnosti k bodu A, ktorý je posunutý o Tl vzhľadom na ťažisko, je vyjadrený pomocou ťažiska v tvare
2TTA mlII += .
Pre moment zotrvačnosti ojnice vzhľadom na ťažisko platí
22
202
4)( TBTAT ml
TrlgmmlII −
π+=−= ,
resp.
2
2
20 )(
4)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
π+= r
mmrlm
TrlgmI B
BT .
Príklad 3.37
Tyč konštantného prierezu s rovnomerným rozložením hmotnosti po dĺžke má hmotnosť m = 2 kg a dĺžku l = 35 cm. V bode A je upevnená ideálnym rotačným kĺbom a v bode B lanom. Vypočítajte zrýchlenie ťažiska tyče a veľkosť reakcie v bode A v okamihu po preseknutí lana.
Výsledok:
aT = 7,36 ms-2 RA = 4,9 N Príklad 3.38
Homogénna hmotná tyč, ktorej hmotnosť je m = 3,63 kg a dĺžka l = 0,92 m, má konce pripojené k nehmotným objímkam v bodoch A a B. Kĺzanie objímok po tyčiach je uvažované bez trenia. Ak je tyč uvoľnená zo začiatočnej polohy definovanej na obrázku (β = 30°), vypočítajte: a - uhlové zrýchlenie v okamihu po uvoľnení, b - reakcie v bodoch A a B.
Výsledok:
ε = 8,05 rad.s-2, RA = 11,56 N, RB = 28,91 N
m
l0
β
B
A
A B
l
m
151
Príklad 3.39 Po povrchu valcovej plochy s polomerom R sa valí guľa s hmotnosťou m. Začiatočná rýchlosť stredu gule je v0. Vypočítajte uhol, pri ktorom sa guľa odpúta od povrchu valcovej plochy.
Výsledok:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++=ϕ
)(1071
1710arccos
20
rRgv
Príklad 3.40
Bubon s momentom zotrvačnosti I a polomerom R sa otáča otáčkami n0. V čase t = 0 s je na bubon konštantnou silou F pritlačená čeľusť brzdy. Medzi čeľusťou brzdy a bubnom je faktor trenia f. Vypočítajte, koľko otáčok vykoná bubon až do zastavenia.
Výsledok:
Počet otáčok do zastavenia fFRIn2
0π=
Príklad 3.41
Vozík s kruhovou dráhou o polomere R sa pohybuje po vodorovnej rovine konštantným zrýchlením au. Na kruhovej dráhe sa nachádza guľôčka s polomerom r, hmotnosťou m a momentom zotrvačnosti I. V čase t = 0 s sa guľočka nachádzala v najnižšej polohe (bod A). Vypočítajte relatívnu rýchlosť stredu guľôčky, ak sa valec dostane do polohy definovanej bodom B.
Výsledok:
222
mrIgRRa
mrv uB
+
−= pre gau ≥
r
au
B
A
F
R
f I
ω
v0
R ϕ
0
r
m, I0
ω0
152
3.5 DYNAMIKA SÚSTAVY TUHÝCH TELIES
Metóda uvoľňovania Uvoľnením jednotlivých členov sústavy tuhých telies a zostavením pohybových (resp. rovnovážnych) rovníc pre tieto telesá je získaná sústava tzv. vlastných pohybových rovníc vo všeobecnom tvare 0),,,,( =tf jjjAij qqqF &&& , pre j = 1÷ n, (3.34)
kde n je počet stupňov voľnosti sústavy telies a AiF ,(i = 1 ÷ m) sú akčné-pracovné sily pôsobiace na sústavu telies. Riešením tejto sústavy rovníc pre zadané začiatočné podmienky je pohyb sústavy tuhých telies úplne popísaný.
Metóda redukcie
Vlastnú pohybovú rovnicu sústavy tuhých telies s 1° voľnosti (po redukcii)
)(d
)(d21)( 2 qQq
qqmqqm =+
∗∗ &&& ,
(3.35)
kde m*(q) - zovšeobecnená (redukovaná) hmotnosť, Q(q) - zovšeobecnená (redukovaná) sila, q, &q , &&q - zovšeobecnená súradnica, zovšeobecnená rýchlosť, zovšeobecnené zrýchlenie.
Redukcia hmotnosti Rovnosť kinetickej energie pôvodnej sústavy telies a kinetickej energie redukovanej sústavy
∑=n
i=kiredk EE
1, . (3.36)
Redukcia silových účinkov Zovšeobecnená (redukovaná) sila je určená na základe rovnosti okamžitého výkonu pracovných síl pôsobiacich na pôvodnú sústavu telies a výkonu hľadanej redukovanej sily
∑=Fn
j=PjredP PP
1, , (3.37)
kde nF - počet pracovných síl v pôvodnej sústave, n - počet telies v sústave.
Podľa toho, na aký objekt je vykonaná redukcia, hovoríme o redukcii na:
• člen konajúci rotačný pohyb
,)(21
1
2, ∑=ϕϕ=
n
i=kiredredk EIE & ∑=⋅ϕ=
Fn
j=PjredredP PP
1, )( ϕ&M , (3.38)
• člen konajúci posuvný pohyb
,)(21
1
2, ∑==
n
i=kiredredk ExxmE & ∑=⋅=
Fn
j=PjredredP PxP
1, )( xF & , (3.39)
• na bod (bod niektorého telesa sústavy)
,)(21
1
2, ∑==
n
i=kiAAredredk ExxmE & ∑=⋅=
Fn
j=PjAAredredP PxP
1, )( xF & . (3.40)
153
Príklad 3.42 Prevodovka pozostáva z dvoch ozubených kolies, ktoré tvoria čelné ozubené súkolie. Kolesá majú rozostupové kružnice R1, R2 a momenty zotrvačnosti I1, I2. Na koleso 1 pôsobí hnací moment M1 a na koleso 2 záťažný moment M2. Vypočítajte veľkosť sily medzi zubami v zábere.
Úlohu riešime metódou uvoľňovania telies, t.j. uvoľníme jednotlivé ozubená kolesá s tým, že sú pri ich uvoľnení uvažované silové účinky odstránených telies v mieste väzieb. Vzhľadom na to, že v tomto prípade je požadovaný iba výpočet sily medzi zubami, nie je potrebné uvoľňovať jednotlivé ozubené kolesá v ložiskách.
Pohybové rovnice jednotlivých telies sú zostavené metódou zrýchľujúcich síl, t.j.
121111 RFMI −=ε , (a)
212222 RFMI +−=ε . (b)
Uvedené rovnice obsahujú štyri neznáme, t.j. 122121 ,,, FFεε . Neznáme veličiny nie je možné vypočítať vzhľadom na to, že sú k dispozícii iba dve rovnice (a) a (b). Z tohto dôvodu je potrebné sformulovať dodatočné rovnice medzi uvedenými štyrmi neznámymi.
Prvá doplnková rovnica vyplýva zo zákona akcie a reakcie, t.j. pre veľkosti síl medzi zubami ozubených kolies platí
FFF == 1221 . (c)
Druhá dodatková rovnica zase vyplýva zo vzájomného pohybu telies, t.j. uhly natočenia, uhlové rýchlosti a uhlové zrýchlenia sú definované
2211 RR ϕ=ϕ , 2211 RR ω=ω , 2211 RR ε=ε . (d)
Závislosť uhlového zrýchlenie telesa 2 od uhlového zrýchlenia telesa 1
2
112 R
Rε=ε . (e)
R2
ε2
M2
A
F12
I2 A
R2 M2
M1
ε1
ε2
R1
I1 I2
A
R2 M2
M1
ε1
ε2
R1
I1 I2
R1
A
M1
ε1 F21
I1
154
Použitím rovníc (c) a (e) v pohybových rovniciach (a) a (b) dostaneme
1111 FRMI −=ε , (f)
222
112 FRM
RR
I +−=ε . (g)
Po vyjadrení uhlového zrýchlenia ozubeného kolesa 1 z rovnice (f)
1
111 I
FRM −=ε ,
jeho dosadením do rovnice (g) po následnej úprave je silový účinok medzi zubami ozubených kolies vyjadrený vzťahom
212
221
112221
RIRIMRIMRIF
+
+= .
Príklad 3.43 Prívesný dvojkolesový vozík, na ktorom je naložená debna, je ťahaný za automobilom, ktorý zrýchľuje a pohybuje sa zrýchlením a. Hmotnosť prívesného vozíka je m1. Hmotnosť debny je m2. Medzi debnou a povrchom ložnej plochy vozíka je uvažované trenie, ktoré je špecifikované faktor šmykového trenia f. Všetky zakótované rozmerové parametre sú zadané. Vypočítajte veľkosť sily v pripojení vozíka za automobil (silu v bode C) a silu pôsobiacu na nápravu prívesného vozíka.
Obr. A
Obr. B
Obr. C
m1
a T1
b1 + b2
l0
l
h0 h1 A B
C
TA
NA
l1
NB
TB
FCy
FCx
O
FOy
G1 b0 m2
a T2
b2 b1
l0
h0
h2
h1 A B
C
O
b0
l NA
TA
TB NB
b0
m2
m1
a
T2
T1
b2 b1
l0
l
h0
h2
h1 A B C
l1
b0
155
Úloha bude riešená použitím metódy uvoľňovania. Postupne budú uvoľnené telesá - debna (teleso 2) a prívesný vozík (teleso 1). Následne sú pre uvoľnené telesá zostavené pohybové a rovnovážne rovnice.
Rovnice pre teleso 1:
- pohybová rovnica v horizontálnom smere
BACx TTFam −−=1 , (a1)
- rovnovážna rovnica vo vertikálnom smere
01 =−−−−− OCyBA FFNNG , (a2)
- rovnovážna rovnica pre rotáciu okolo ťažiska
.0)(
)()(
0101
01010021
=+−+−−
−+−+−++
CxCyO
BA
FhFlllFl
NbllNllbbb (a3)
Rovnice pre teleso 2:
- pohybová rovnica v horizontálnom smere
BA TTam +=2 , (b1)
- rovnovážna rovnica vo vertikálnom smere
02 =++− BA NNG , (b2)
- rovnovážna rovnica pre rotáciu okolo ťažiska
0)( 212 =−++ ABBA NbNbTTh . (b3)
Pre veľkosť trecích síl v bodoch A a B platí
AA fNT = (c2)
BB fNT = . (c1)
Z riešenia rovníc (b1-b3) a (c) vyplýva pre veľkosti normálových síl v bodoch A a B
21
212 bb
ahgbmN A +
+= ,
21
222 bb
ahgbmN B +
−= .
Použitím síl AN a BN v prvých troch rovniciach (a1-a3) po následných úpravách dostaneme veľkosti síl v pripojení prívesného vozíka k ťažnému automobilu:
ammFCx )( 21 += ,
))((
)(
210
21002112
0
202
0
101 bbll
bllbbbbgm
llhh
amllglah
mFCy ++−−++
−++
++−
= .
Sila pôsobiaca na nápravu prívesného vozíka
CyO FammF ++= )( 21 .
156
Príklad 3.44 Na navíjací bubon s polomerom rb, hmotnosťou mb a momentom zotrvačnosti Ib je pomocou nehmotného lana pripojené bremeno s hmotnosťou m. Bubon je poháňaný momnetom M. Vypočítajte uhlové zrýchlenie ε navíjacieho bubna, zrýchlenie a bremena m, ťahovú silu N v lane, vertikálnu Ay a horizontálnu Ax silu na ložiská bubna (bod A).
Úloha je riešená metódou uvoľňovania, t.j. každé teleso je uvoľnené a pre každé teleso sú zostavené príslušné rovnovážne alebo pohybové rovnice.
Rovnice pre navíjací bubon:
- rovnovážna rovnica v horizontálnom smere
0=− xA , (a)
- rovnovážna rovnica vo vertikálnom smere
0=−− NGA by , (b)
- pohybová rovnica pre rotáciu okolo ťažiska (bod A)
.bb NrMI −=ε (c)
Rovnice pre zdvíhané bremeno m:
- pohybová rovnica pre zvislý smer
GNma −= . (d)
Z rovnice (a) priamo vyplýva, že ložisko bubna nie je zaťažované v horizontálnom smere. Vzhľadom na to, že v ďalších troch rovniciach sú 4 neznáme, je zostavená doplnková rovnica
ra ε= . (e)
Vzájomným riešením sústavy rovníc (b-e) dostaneme:
- uhlové zrýchlenie bubna
2mrImrgM
+
−=ε ,
rb
mb A
m
M
rb
mb O
m
M N
N
G
Gb
Ay
Ax
ε
a
157
- zrýchlenie bremena
rmrImrgMa 2+
−= ,
- silu v lane
2mrIIgMrmN
+
+= ,
- sily v ložisku navíjacieho bubna
0=xA 2mrIIgMrmgmA by
+
++= .
Príklad 3.45 Vypočítajte silu v lane medzi telesami 2 a 3 zdvíhacieho zariadenia, ktoré je poháňané krútiacim momentom M posobiacom na teleso 1. Všetky označené a zakótované rozmerové a hmotnostné parametre sú zadané.
Na výpočet sily v lane budú postačovať iba pohybové rovnice, ktoré budú zostavené metódou uvoľňovania a budú doplnené príslušnými kinematickými rovnicami.
Na získanie riešenia musí byť splnená podmienka - počet zostavených rovníc (pohybové + doplnkové) sa musí rovnať počtu neznámych v týchto rovniciach. Vzhľadom na požadovanú veličinu nie je potrebné zostaviť rovnovážne rovnice pre jednotlivé telesá.
Pohybové rovnice pre jednotlivé telesá:
- teleso 1 (rotačný pohyb):
1111 rSMI −=ε ,
- teleso 2 (všeobecný pohyb):
222122 rSrSI −=ε ,
m3
r2, m2, I2
M
m1, I1, r1
S1
S1 S2
S3
G2
ε1 ε2
a2
a3
G3
S3
m3
r2, m2, I2
M
m1, I1, r1
158
232122 GSSSam −−+= ,
- teleso 3 (posuvný pohyb):
3333 GSam −= .
Uvedeným postupom boli zostavené 4 rovnice, ktoré obsahujú 7 neznámych veličín:
3213221 ,,,,,, SSSaaεε .
Aby bolo možné vypočítať uvedené neznáme, je potrebné zostaviť ďalšie 3 doplňujúce kinematické rovnice, ktoré budú vyjadrovať závislosti medzi vzájomnými pohybmi telies. Doplnkové kinematické rovnice:
32 aa = ,
222 ra ε= ,
22211 22 arr =ε=ε .
Z riešenia sústavy 7 lineárnych algebraických rovníc (4 pohybové rovnice + 3 doplňujúce kinematické rovnice) je vypočítaná sila 3S , ktorá pôsobí v lane medzi telesami 2 a 3
221
212
22
2132
221
212
221
334)()4(2
rIrIrrmmgrIrIrMrmS
+++
++= .
Príklad 3.46 Zdvíhacie zariadenie je poháňané momentom M na telese 1. Metódou uvoľňovania zostavte všetky pohybové a rovnovážne rovnice. Zároveň zostavte všetky doplnkové rovnice potrebné pre zabezpečenie riešiteľnosti úlohy. Všetky označené a zakótované rozmerové a hmotnostné parametre sú zadané.
Pre každé teleso sú zostavené zodpovedajúce rovnovážne a pohybové rovnice, ktoré sú zostavené pomocou metódy uvoľňovania:
m4 a4
G4
S4
m3, I3, r3
S2 S3
S4 G3
ε3
a3
r2
m3, I3, r3
R2
R0
m4
m2, I2 M
m1, I1, r1
m2, I2
r2
R2
R0
S1
ε2
S2
By
S3
Bx
G2
Mm1, I1, r1
S1
G1
Ax
ε1
Ay
159
Teleso 1:
∑ =i
ixF 0 ⇒ 0=xA - rovnovážna rovnica v smere osi x,
∑ =i
iyF 0 ⇒ 011 =−+ GSAy - rovnovážna rovnica v smere osi y,
1111 rSMI −=ε - pohybová rovnica pre rotáciu telesa. Teleso 2:
∑ =i
ixF 0 ⇒ 0=xB - rovnovážna rovnica v smere osi x,
∑ =i
iyF 0 ⇒ 03212 =−−−− SSSGBy - rovnovážna rovnica v smere osi y,
23220122 RSrSRSI −+=ε - pohybová rovnica pre rotáciu telesa. Teleso 3: 433233 SGSSam −−+= - pohybová rovnica pre posuv v smere osi y,
323333 rSrSI −=ε - pohybová rovnica pre rotáciu telesa.
Teleso 4: 4444 GSam −= - pohybová rovnica pre posuv v smere osi y.
Prvé rovnice pre rovnováhy telies 1 a 2 v smere osi x nie je potrebné uvažovať v systéme rovníc, ktoré je potrebné riešiť. Taktiež silové účinky Ax a Bx nie je potrebné uvažovať ako neznáme silové účinky.
Pre vzájomné pohyby telies platí:
- dĺžka oblúkov
21 ss = ⇒ 2011 ϕ=ϕ Rr ,
po derivácii
02011 vRr =ω=ω ⇒ 2011 ε=ε Rr .
- veľkosť posuvnej rýchlosti v3 a zrýchlenia a3
222222220
3ω−ω
=−
=rRvvv ⇒
22222
3ε−ε
=rRa ,
- veľkosť uhlovej rýchlosti ω3 a zrýchlenia ε3
3
2222
3
2203 22 r
rRr
vv ω+ω=
+=ω ⇒
3
22223 2r
rR ε+ε=ε ,
- veľkosť rýchlosti v4 a zrýchlenia a4
34 vv = ⇒ 34 aa = .
Rovnovážne, pohybové a doplnkové rovnice tvoria sústavu 11 lineárnych algebraických rovníc s 11 neznámymi, ktoré možno zapísať v maticovom tvare, t.j. platí
r3
v20
v2
v3
ω3
m4
v4
R0 r1
ϕ1 ϕ2 ω1
ω2 s1 s2 v0
160
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−−−
−−
0000
0
0
1100000000000200000000200000000000000000
000010000000000000000011100000000000000001111000000000000000000101
4
3
2
1
4
3
3
2
1
4
3
2
1
302
02
01
4
332
2
2220
11
G
G
GMG
aa
SSSSBA
rRrRr
Rrm
Irrm
IRrR
Ir y
y
,
resp. v skrátenom zápise
bAx = ,
kde A - matica koeficientov, x - vektor neznámych, b - vektor neznámych.
Sústavu lineárnych algebraických rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej eleminačnej metódy alebo použitím inverznej matice. Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc
bAx = pomocou inverznej matice:
bAx 1−= , pričom platí EAA =−1 ,
kde 1−A je inverzná matica k matici A a E je jednotková matica.
Príklad 3.47 Na hnaciu kladku 4 zdvíhacieho zariadenia začne v čase t = 0 s pôsobiť konštantný hnací moment M, ktorým sa cez sústavu kladiek zdvíha bremeno m1. Vypočítajte rýchlosť bremena m1 v závislosť od jeho výškovej polohy x1. Začiatočné podmienky sú uvažované v tvare: t = 0 s: x1(0) = 0, v1(0) = 0.
Redukovaný systém
m1
R3
r3
I3
R4, I4 M
ω3
ω4
ω2
v1
x1
R2, I2
mr1 x1, v1, a1
Fr1(x1)
161
Úloha bude riešená metódou redukcie hmotných a silových parametrov. Všeobecná pohybová rovnica pre redukovanú sústavu má tvar
)(d
)(d21)( 2 qQq
qqmqqm =+
∗∗ &&& . (a)
Vzhľadom na to, že úlohou je vypočítať rýchlosť v1, redukcia bude vykonaná na teleso 1, t.j. parametre v rovnici (a) sú
1xq = , 1vq =& , 1aq =&& ,
)()( 11* xmqm r= , )()( 11 xFqQ r= .
Po dosadení do všeobecnej pohybovej rovnice dostaneme
)(d
)(d21)( 11
21
1
11111 xFv
xxmaxm r
rr =+ .
Redukcia hmotnosti sústavy telies na teleso 1: Redukcia hmotnosti je založená na základe rovnosti kinetickej energie redukovanej sústavy a kinetickej energie pôvodnej sústavy telies, t.j. platí
∑=
=4
1,1,
iikrk EE ,
244
233
222
211
2111 2
121
21
21)(
21
ω+ω+ω+= IIIvmvxmr ,
odkiaľ
2
1
44
2
1
33
2
1
22
2
1
1111 )( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
vI
vI
vI
vv
mxmr . (b)
Podiely rýchlostí v zátvorkách v rovnici (b) sú vyjadrené zo vzájomných pohybov telies:
221 Rv ω= ⇒ 21
2 1Rv
=ω ,
3322 rR ω=ω ⇒ 31
3 1rv
=ω
, (c)
4433 RR ω=ω ⇒ 43
3
1
4Rr
Rv
=ω .
Po dosadení týchto podielov do rovnice (b) je redukovaná hmotnosť na teleso 1
2
43
34
2
33
2
22111
11)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
RrR
Ir
IR
Imxmr . (d)
Redukcia silových účinkov sústavy telies na teleso 1: Redukcia silových účinkov je založená na základe rovnosti výkonu pracovných síl redukovanej sústavy a výkonu pracovných síl pôvodnej sústavy telies, t.j. platí
∑=
=Fn
jjprp PP
1,1, . (e)
162
V rámci silových účinkov pôsobiacich na pôvodnú sústavu možno za pracovné sily považovať hnací moment M a gravitačnú silu pôsobiacu na teleso 1. Rovnica (e) má potom nasledujúci tvar
114111 )( vGωMvF ⋅+⋅=⋅xr ,
resp. po vyjadrení skalárnych súčinov
1
11
1
411 )(
vv
Gv
MxFr −ω
= . (f)
Po dosadení pomerov rýchlostí z rovnice (c) do rovnice (f) pre redukovanú silu bude platiť
143
311 )( G
RrR
MxFr −= . (g)
Redukovaná hmotnosť 1rm a redukovaná sila 1rF nie sú závislé od súradnice x1, t.j. platí
111 rr Fam =
a po dosadení za 1rm a 1rF dostaneme
143
31
2
43
34
2
33
2
221
11 GRr
RMa
RrR
Ir
IR
Im −=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ .
Pre zrýchlenie telesa 1 potom platí
2
43
34
2
33
2
221
143
3
111
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
RrR
Ir
IR
Im
GRr
RM
a .
Všetky členy na prvej strane sú konštanty aj zrýchlenie a1 je konštantné. Z toho vyplýva, že sústava redukovaná na teleso 1 vykonáva rovnomerne zrýchlený pohyb. Závislosť rýchlosti v1 od výškovej polohy x1 je možné vyjadriť nasledujúcim postupom
1
11
1
11
1
1111 dx
dvv
dxdv
dtdx
dxdx
dtdv
dtdv
a ==== ,
odkiaľ po separácii premenných a integrácii v príslušných hraniciach
1111 dxadvv = ⇒ ∫∫ =11
011
011
xv
dxadvv ⇒ 110
11
21
1
2xadxav
x
== ∫ ,
resp.
2
43
34
2
33
2
221
143
31
11111
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==
RrR
Ir
IR
Im
GRr
RMx
xav .
163
Príklad 3.48 Mechanizmus planétovej prevodovky sa rozbieha vplyvom konštantného hnacieho momentu M, ktorý pôsobí na unášač - teleso 1. Základné ozubené koleso s rozstupovým polomerom R je nehybné. Unášač (1) má hmotnosť m1 rovnomerne rozloženú po dĺžke a moment zotrvačnosti je I1. Satelit (2) má polomer rozstupovej kružnice r, hmotnosť m2 a moment zotrvačnosti I2. Zostavte pohybovú rovnicu mechanizmu planétovej prevodovky metódou redukcie na teleso 1. Vypočítajte uhlové zrýchlenie unášača (1) pre uvedený spôsob zaťaženia.
Sústava bude riešená metódou redukcie, pričom všeobecná pohybová rovnica pre redukovanú sústavu má tvar
)(d
)(d21)( 2 qQq
qqmqqm =+
∗∗ &&& . (a)
Redukcia bude vykonaná na teleso 1, ktoré koná rotačný pohyb a výpočtový model redukovanej sústavy je na nasledujúcom obrázku.
Model redukovanej sústavy na teleso 1 Veličiny v rovnici (a):
1ϕ=q
1ω=q&
1ε=q&&
)()( 11* ϕ= rIqm
)()( 11 ϕ= rMqQ
Po dosadení do všeobecnej pohybovej rovnice dostaneme pohybovú rovnicu pre redukciu na teleso konajúce rotačný pohyb
)(d
)(d21)( 11
21
1
11111 ϕ=ω
ϕϕ
+εϕ rr
r MI
I . (b)
Redukcia hmotnosti sústavy telies na teleso 1: Redukcia hmotnosti je založená na základe rovnosti kinetickej energie redukovanej sústavy a kinetickej energie pôvodnej sústavy telies, t.j. platí
R
r
I2, m2
I1, m1
R
M
G2
G1
ω1
v2
vT1
T
ω2
Mr1 ω1
ε1
Ir1
ϕ1
164
∑=
=2
1,1,
iikrk EE .
Po dosadení dostaneme
222
222
211
2111 2
121
21)(
21 vmIII r +ω+ω=ωϕ ,
odkiaľ
2
1
22
2
1
22
2
1
1111 )( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
=ϕv
mIII r . (c)
Podiely rýchlostí v zátvorkách v rovnici (c) vyjadrené zo vzájomných pohybov telies:
221 )( vrrR =ω=+ω ⇒ r
rR +=
ωω
1
2 ,
)(12 rRv +ω= ⇒ rRv
+=ω1
2 ,
211
rRvT+
ω= ⇒ 21
1 rRvT +=
ω.
Po dosadení týchto podielov rýchlostí do rovnice (c) je po úprave redukovaný moment zotrvačnosti sústavy na teleso 1
22
2
211 )( rRmr
rRIII r ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+= . (d)
Redukcia silových účinkov sústavy telies na teleso 1: Redukcia silových účinkov je realizovaná pomocou rovnosti výkonu pracovných síl redukovanej sústavy a výkonu pracovných síl pôvodnej sústavy telies, t.j. platí
∑=
=Fn
jjprp PP
1,1, . (e)
Na pôvodnú sústavu pôsobia nasledovné pracovné silové účinky: - hnací moment M, - gravitačná sila G1 - pôsobiaca v ťažisku telesa 1, - gravitačná sila G2 - pôsobiaca v ťažisku telesa 2.
Rovnica (e) má potom nasledujúci tvar
22111111 )( TTr vGvGωMωM ⋅+⋅+⋅=⋅ϕ .
Po vyjadrení skalárnych súčinov
)cos()cos()( 1221111111 ϕ−π+ϕ−π+ω=ωϕ vGvGMM Tr
a následnej úprave je redukovaný moment vyjadrený v tvare
11
221
1
11
1
111 coscos)( ϕ
ω−ϕ
ω−
ωω
=ϕv
Gv
GMM Tr .
165
Po dosadení pomerov rýchlostí z rovnice (c) do rovnice (f) pre redukovanú silu bude platiť
121
11 cos)(2
)( ϕ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=ϕ rRgmmMM r . (f)
Redukovaný moment zotrvačnosti 1rI nie je závislý od súradnice ϕ1, t.j. platí
)( 1111 ϕ=ε rr MI ,
resp. po dosadení za 1rI a )( 11 ϕrM je získaná pohybová rovnica sústavy redukovanej na teleso 1
121
12
2
2
21 cos)(2
)( ϕ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=ε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+ rRgmm
MrRmr
rRII .
Pre uhlové zrýchlenie telesa 1, po vyjadrení z tejto pohybovej rovnice potom platí
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
ϕ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=ε2
2
2
21
121
1
)(
cos)(2
rRmr
rRII
rRgmmM.
Príklad 3.49
Na bubon s polomerom r = 0,15 m je navinuté lano v ktorom pôsobí ťahová sila F = 250 N. S bubnom je pevne spojená kladka s polomerom R = 0,25 m, na ktorej je navinuté lano, na konci ktorého je pripojené bremeno s hmotnosťou m1 = 10 kg. Moment zotrvačnosti sústavy kladka + bubon je I2 = 0,512 kgm2. Pomocou metódy uvoľňovania vypočítajte: a - uhlové zrýchlenie telesa 2, b - silu F1 v lane, na ktorom visí bremeno m1.
Výsledok: ε2 = 11,412 rad.s-2 F1 = 126,63 N
Príklad 3.50
Vypočítajte zrýchlenie a1 telesa m1 a silu S1 v lane medzi telesami 1 a 2, ak sústavu telies v určitom okamihu uvoľníme. Rozmerové a hmotnostné parametre sú zadané.
Výsledok:
))(()()(
33332
112
23333333312
21RrmIrmI
RmIfmRrmImgra
−+
−−−=
))(()()(
33332
112
2233
23333332
11RrmIrmI
rmIRfmRrmIIgmS
−+
++−=
r2, I2 R3
r3
I3
m1
f
m1
r
R
F
I2
166
Príklad 3.51 Metódou redukcie vypočítajte zrýchlenie a5 pri zdvíhaní telesa 5. Daný hnací moment Mh pôsobí na teleso 1. Rozmerové a hmotnostné parametre sústavy sú zadané.
Výsledok:
22
3322
22
1
12
4
215
541
21
5
rII
rI
rI
rrrm
gmrrrrM
ah
++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
−+
=
Príklad 3.52 Tyč AB na obrázku rotuje okolo zvislej osi uhlovou rýchlosťou ω = 15 rad/s. V bode C je kĺbovo pripojená štíhla tyč, ktorá má konštantný prierez po celej dĺžke a jej hmotnosť m1 = 2 kg. Na druhý koniec (bod E) štíhlej tyče je pripojená guľa s polomerom r a hmotnosťou m1 = 4 kg. Pomocou lana je štíhla tyč držaná v zvislej polohe.
Vypočítajte: a - silu v lane, b - silu v kĺbe C.
Výsledok:
a - sila v lane = 781,4 N
b - 51,115=xC N
62,268=yC
4,292=C N
l1 l2
h2
h1 r
A C
D
E
ω
B
m5
I4
r4
r2
r1
I2, m2
I3
I1
Mh
167
3.6 ANALYTICKÁ DYNAMIKA
Princíp virtuálnych prác Virtuálny pohyb - myslený možný pohyb sústavy okolo polohy, ktorú vo všeobecnom okamihu môže sústava nadobudnúť a ktorú dovoľujú väzby. Virtuálny pohyb sa odohráva nezávisle od času, t.j. virtuálny pohyb je uvažovaný ako izochrónny.
Všeobencná formulácia princípu virtuálnych prác v dynamike - mechanická sústava sa pohybuje tak, že súčet virtuálnych prác pracovných a zotrvačných síl je v každom okamihu rovný nule
0)(, =δ⋅+=δ ∑i
iDip
iDpA rFF , (3.41)
kde DpA ,δ - virtuálna práca,
piF - vonkajšie pracovné sily,
DiF - d´Alembertove zotrvačné sily, irδ - virtuálne posunutie.
Poznámka: Virtuálna práca väzbových síl viF je v každom okamihu rovná nule, t.j.
0=δ⋅∑i
ivi rF . (3.42)
Lagrangeove rovnice druhého druhu
Sústavy s jedným stupňom voľnosti
Eq
Eq
Edtd pkk =
∂
∂+
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂&
, (3.43)
kde kE - kinetická energia sústavy, pE - potenciálna energia sústavy, q - zovšeobecnená súradnica, q& - zovšeobecnená rýchlosť Q - zovšeobecnená sila,
Sústavy s n stupňami voľnosti
,
,1111
nn
p
n
k
n
k
pkk
QqE
qE
qE
dtd
QqE
qE
qE
dtd
=∂
∂+
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂
∂+
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
&
M
&
(3.44)
kde jq - zovšeobecnená súradnica pohybu j-teho telesa,
jq& - zovšeobecnená rýchlosť pohybu j-teho telesa,
jQ - zovšeobecnená sila pôsobiaca na j-te teleso.
168
Zovšeobecnená sila - vyjadruje rovnosť virtuálnych prác pracovných síl sústavy a virtuálnej hľadanej zovšeobecnenej sily, t.j. platí
∑∑ ∂ϕ∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
+∂∂
=i j
ipi
i j
ipzi
j
ipyi
j
ipxij q
Mqz
Fqy
Fqx
FQ , (3.45)
kde pzi
pyi
pxi FFF ,, , resp. p
iM - zložky pracovných síl, resp. momentov. V prípade, že sú všetky pracovné sily iba potenciálne, t.j. platí
q
EQ p
∂
∂−= ,
(3.46)
majú Lagrangeove rovnice druhého druhu tvar
0=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
qL
qL
dtd
&, (3.47)
kde pk EEL −= - kinetický potenciál. V prípade sústavy, v ktorej sú zabudované konštrukčné prvky s disipatívnymi (tlmiacimi) vlastnosťami, je možné použiť Lagrangeove rovnice v tvare
Eq
Eq
Eq
Edtd pdkk =
∂
∂+
∂∂
+∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂&&
, (3.48)
kde 221 qbEd &= je disipatívna funkcia a b je súčiniteľ lineárneho viskózneho tlmenia.
Príklad 3.53 Pomocou použitia princípu virtuálnych prác zostavte pohybovú rovnicu homogénnej tyče s hmotnosťou m a dĺžkou 2l, ktorá je ťahaná lanom. Hmotnosť lana, kladky a pasívne odpory zanedbajte.
Medzi pracovné sily v tejto sústave patria - sila F, gravitačná sila G a zotrvačný moment MD. Podľa princípu virtuálnych prác musí všeobecne platiť
0)(, =δ⋅+=δ ∑i
iDip
iDpA rFF . (a)
l
l
T
m, I
h
F
ϕ
ϕ ..
ϕ .
G y
ξ
MD
l
l
T m, I
h
F
169
Pre danú sústavu potom podľa princípu virtuálnych prác platí
0=δϕ−δ−δξ− DMyGF , (b)
kde ϕ= &&IM D je veľkosť d´Alembertovho zotrvačného momentu. Za zovšeobecnenú súradnicu je považovaný uhol ϕ. Na základe toho možno z geometrie zostaviť nasledovné závislosti - poloha ťažiska vzhľadom na horizontálnu os
ϕ= sinly ⇒ δϕϕ=δ )cos(ly , (c)
- zmena dĺžky lana je určená pomocou cosínusovej vety
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ϕ−
π−+=ξ
2cos44 222 hllh ,
resp.
ϕ−+=ξ sin44 222 hllh ⇒ δϕ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
ξ−=δξ cos2hl . (d)
Po dosadení (c) a (d) do rovnice (b) a následnej úprave
0coscos2=δϕ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ϕ−ϕ−ϕ
ξ&&ImglhlF .
Táto rovnica musí byť splnená pre ľubovoľné δϕ , a preto výraz v zátvorke musí byť rovný nule, t.j. platí
0cossin44
2cos22
=ϕϕ−+
−ϕ+ϕhllh
hlFmglI && ,
čo je hľadaná pohybová rovnica. Príklad 3.54 Zdvíhacie zariadenie je poháňané konštantným momentom M. Vypočítajte zrýchlenie a1 bremena m1. Úlohu riešte aplikovaním princípu virtuálnych prác, ako aj Lagrangeových rovníc II. druhu.
I2
m1
R3
r2
R2
I3
M
ϕ3 ϕ 2
G1
ω3
ω2
v1
y1
I2
m1
R3
r2
R2
I3
M
170
Zostavenie pohybovej rovnice pomocou princípu virtuálnych prác Podľa princípu virtuálnych prác musí všeobecne platiť
0)(, =δ⋅+=δ ∑i
iDip
iDpA rFF . (a1)
Medzi pracovné silové účinky PiF v tejto sústave patria - hnací moment M, gravitačná sila G1,
zotrvačná sila FD1 a zotrvačné momenty MD2 a MD3.
Pre danú sústavu potom podľa princípu virtuálnych prác platí
0113322113 =δ−δϕ−δϕ−δ−δϕ yFMMyGM DDD , (b1)
kde 222 ϕ= &&IM D - veľkosť zotrvačného momentu pôsobiaceho na teleso 2, (c1)
333 ϕ= &&IM D - veľkosť zotrvačného momentu pôsobiaceho na teleso 3, (d1)
111 ymFD &&= - veľkosť zotrvačnej sily pôsobiacej na teleso 1, (e1)
gmG 11 = - veľkosť gravitačnej sily pôsobiacej na teleso 1. (f1)
Za zovšeobecnenú súradnicu je považované posunutie 1y . Na základe tejto zovšeobecnenej súradnice možno zo vzájomných pohybov telies skúmanej sústavy zostaviť nasledovné kinematické závislosti:
- vyjadrenie natočenia )( 2ϕ telesa 2 vzhľadom na posunutie )( 1y telesa 1
221 ϕ= ry ⇒ 12
21 yr
=ϕ ⇒ 12
21 yr
δ=δϕ , (g1)
- vyjadrenie natočenia )( 3ϕ telesa 3 vzhľadom na posunutie )( 1y telesa 1
3322 ϕ=ϕ RR ⇒ 123
22
3
23 y
rRR
RR
=ϕ=ϕ ⇒ 123
23 y
rRR
δ=δϕ . (h1)
Zrýchlenia 2ϕ&& a 3ϕ&& sú vyjadrené pomocou 1y&& nasedovne:
12
21 yr
&&&& =ϕ , (i1)
123
23 y
rRR
&&&& =ϕ . (j1)
Po dosadení vzťahov (d1-k1) do rovnice (b1) a následnej úprave je vyjadrenie rovnice pre princíp virtuálnych prác
01111
2
23
23
2
2211
23
2 =δ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− yym
rRRI
rIgm
rRRM && .
Na základe tejto rovnice má pohybová rovnica tvar
1123
211
2
23
23
2
22
1 gmrR
RMymrR
RIr
I −=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛&& . (k1)
171
Zostavenie pohybovej rovnice pomocou Lagrangeových rovníc II. druhu Všeobecné vyjadrenie Lagrangeových rovníc II. druhu je
Eq
Eq
Edtd pkk =
∂
∂+
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂&
. (a2)
Pre riešenú sústavu platí: 1y , ( 1y& , 1y&& ) - zovšeobecnená súradnica (rýchlosť, zrýchlenie). Vyjadrenie Lagrangeových rovníc II. druhu má potom tvar
QyE
yE
yE
dtd pkk =
∂
∂+
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
111&. (b2)
Jednotlivé členy v rovnici (a2) sú vyjadrené nasledovne:
- kinetická energia sústavy
233
222
211 2
121
21
ϕ+ϕ+= &&& IIymEk , (c2)
- potenciálna energia sústavy
11gymE p = , (d2)
- zovšeobecnená sila
1
3y
MQ∂ϕ∂
= . (e2)
Závislosti rýchlostí telies 2 a 3 od rýchlosti 1y&
12
21 yr
&& =ϕ , 123
23 y
rRR
&& =ϕ . (f1)
Po dosadení príslušných vzťahov:
- kinetická energia sústavy
21
2
23
23
2
221
121 y
rRRI
rImEk &
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ,
- potenciálna energia sústavy 11gymE p = ,
- zovšeobecnená sila
23
2rR
RMQ = .
Po dosadení do (b2) je získaná pohybová rovnica
1123
211
2
23
23
2
22
1 gmrR
RMym
rRR
Ir
I −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛&& ,
ktorá má rovnaký tvar ako rovnica získaná pomocou princípu virtuálnych prác.
172
3.7 LINEÁRNE KMITANIE
Sústava s jedným stupňom voľnosti
Výpočtový model Schéma výpočtového modelu
• Pohybová rovnica jednohmotnej sústavy
)()()( tubtkutFkxxbxm &&&& ++=++ , (3.49)
kde m - hmotnosť, k - tuhosť pružiny, b - súčiniteľ lineárneho tlmenia (tlmič), F(t) - budiaca sila, u(t) - budiaca výchylka základu, x(t) - výchylka jednohmotnej sústavy.
• Rozdelenie kmitania sústavy s jedným stupňom voľnosti
• 0)( =tF ∧ 0)( =tu - voľné kmitanie,
• 0)( ≠tF ∧ 0)( =tu - vynútené kmitanie so silovým budením,
• 0)( =tF ∧ 0)( ≠tu - vynútené kmitanie s kinematickým budením,
• 0)( ≠tF ∧ 0)( ≠tu - vynútené kmitanie s kombinovaným budením,
• 0=b - netlmené kmitanie,
• 0≠b - tlmené kmitanie.
• Voľné netlmené kmitanie
0=+ kxxm && , resp. 020 =ω+ xx&& . (3.50)
Charakteristická rovnica
020
2 =ω+λ , korene 02,1 ω±=λ i . (3.51) Riešenie )sin()sin()cos( 1010101 ϕ+ω=ω+ω= tCtBtAx . (3.52)
• Voľné tlmené kmitanie 0=++ kxxbxm &&& , resp. 02 2
0 =ω+δ+ xxx &&& . (3.53)
F(t)
u(t)
m
b
k
m
b
k
F(t)
x, . x,
.. x,
u(t)
173
Charakteristická rovnica
02 20
2 =ω+δλ+λ . (3.54) Korene charakteristickej rovnice
20
22,1 ω−δ±δ−=λ . (3.55)
Riešenie pre 0ω<δ (t.j. dii ω±δ−=δ−ω±δ−=λ 2202,1 )
[ ] )sin()sin()cos( 2222 ϕ+ω=ω+ω= δ−δ− teCtBtAex dt
ddt , (3.56)
kde mb 2=δ - pomerné tlmenie, mk=ω0 - vlastná kruhová frekvencia netlmeného kmitania, dω - vlastná kruhová frekvencia tlmeného kmitania.
• Vynútené netlmené kmitanie s harmonickou budiacou silou )sin()( 0 tFtF ω=
)sin()( 0 tFtFkxxm ω==+&& , (3.57)
kde 0F - amplitúda budiacej sily, ω - kruhová frekvencia budiacej sily. Riešenie
)sin()(
)sin()cos( 220
00101 t
mF
tBtAxxx ph ωω−ω
+ω+ω=+= . (3.58)
Rezonancia nastáva v prípade: 0ω=ω .
• Vynútené tlmené kmitanie s harmonickou budiacou silou )sin()( 0 tFtF ω=
)sin()( 0 tFtFkxxbxm ω==++ &&& . (3.59)
Riešenie
[ ]
.2arctansin4)(
)sin()cos(
22022222
0
0
0202
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ω−ω
δω−ω
ωδ+ω−ω+
ω+ω=+= δ−
tm
F
tBtAexxx tph
(3.60)
Rezonancia nastáva v prípade: 20 21 δ−ω=ω .
• Vynútené tlmené kmitanie s budiacou silou )(tF - všeobecná časová funkcia.
)(tFkxxbxm =++ &&& . (3.61)
Riešenie
[ ]
.))(sin()(1
)sin()cos(
0
)(
11
∫ ττ−ωτω
+
ω+ω=+=
τ−δ−
δ−
t
dt
d
ddt
ph
dteFm
tBtAexxx
(3.62)
Konštanty Ai, Bi; resp. 22iii BAC += , )arctan( iii BA=ϕ sú integračné konštanty (i = 1,2),
ktoré je možné určiť zo začiatočných podmienok (napr. 00 )0(;)0( vxxx == & ).
174
Tuhosti pružných elementov Model Ekvivalentná tuhosť
∑=
= n
i i
eq
k
k
1
11
∑=
=n
iieq kk
1
Pozdĺžne kmitajúca tyč
lESkeq =
E - Youngov modul pružnosti v ťahu S - priečny prierez tyče
Torzne kmitajúca tyč
lGJkeq =
G - modul pružnosti v šmyku J - polárny moment prierezovej plochy
3
4
64nRGdkeq =
G - modul pružnosti v šmyku d - priemer drôtu pružiny R - polomer vinutia pružiny n - počet závitov
33lEJkeq =
J - kvadratický moment prierezovej plochy
22)(3
babaEJkeq
+=
)43(
)(1223
3
bababaEJkeq
+
+=
33
3)(3ba
baEJkeq+
=
a
m
b
a
m
b
a
m
b
l
m
R
d
I
l
m
l
kn
m k1
k1 kn
m
175
Príklad 3.55 Vypočítajte dobu kyvu homogénnej guľôčky s hmotnosťou m a polomerom r, ktorá sa pohybuje po kruhovej dráhe s polomerom R. Predpokladá sa, že sa guľôčka po kruhovej dráhe odvaľuje, t.j. nedochádza k jej prešmykovaniu.
Dobu kyvu je možné vypočítať z pohybovej rovnice guľôčky. Pohybová rovnica môže byť zostavená rôznymi spôsobmi – metóda uvoľňovania, metóda redukcie a Lagrangeove rovnice II. druhu. Na zostavenie pohybovej rovnice budú na riešenie tohto príkladu použité Lagrangeove rovnice II. druhu. Základná východisková rovnica má tvar
0=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
qL
qL
dtd
&, (a)
kde - kinetická energia 2221
21
TTk mvIE +ω= ,
- potenciálna energia )cos1)(( ψ−−= rRmgE p ,
- kinetický potenciál )cos1)((21
21 22 ψ−−−+ω=−= rRmgmvIEEL TTpk .
Moment zotrvačnosti guľôčky vzhľadom na ťažisko
252 mrIT = .
Ako zovšeobecnená súradnica môže byť použitá súradnica ψ. Lagrangeova rovnica má po zabudovaní zovšeobecnenej súradnice tvar
0=ψ∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ψ∂
∂ LLdtd
&. (b)
Vzájomný vzťah medzi uhlami ϕ a ψ je založený na rovnosti dĺžky dráhy, ktorá vznikne pri odvaľovaní, t.j.
ϕ=ψ rR ⇒ ψ=ϕrR
R
r
m
ψ
ϕ
ω
vT
R
r
m
ψ
ϕ
176
a pre vzťahy medzi rýchlosťami platí
TT rψrv ×=×= &&ϕ ⇒ )( rRrrvT −ψ=ϕ=ω= && ,
ψ−
=ϕ=ω &&r
rR .
Po dosadení do kinetického potenciálu dostaneme
)cos1)(()(21 22
2ψ−−−ψ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= rRmgrRmr
rRIL T & . (c)
Výpočet jednotlivých derivácií pre rovnicu (b)
ψ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=ψ∂
∂&
&2
2)( rRm
rrRIL
T ,
ψ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ψ∂
∂&&
&2
2)( rRm
rrRIL
dtd
T , (d)
ψ−−=ψ∂
∂ sin)( rRmgL .
Po dosadení má pohybová rovnica tvar
0sin)()( 22
=ψ−+ψ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − rRmgrRm
rrRIT && . (e)
Vzhľadom na predpoklad, že pre malé uhly ψ, t.j. o5<ψ platí ψ≈ψsin (pre ψ v radiánoch). Linearizovaná pohybová rovnica má potom tvar
0)()( 22
=ψ−+ψ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − rRmgrRm
rrRIT && ,
resp. po úprave
0))(( 2
2=ψ
−++ψ
rRmrImgr
T
&& ,
resp. 02
0 =ψω+ψ&& . (f)
Vlastná kruhová frekvencia
))(( 2
2
0rRmrI
mgr
T −+=ω
a doba kyvu je vypočítaná zo vzťahu
2
2
00
))((22
mgrrRmrI
T T −+π=
ωπ
= .
177
Príklad 3.56 Jednohmotná sústava s hmotnosťou m = 2 kg a jedným stupňom voľnosti je k základu pripojená pomocou troch pružín k1 = 2 kN/m, k2 = 3 kN/m, k3 = 2 kN/m. Začiatočné podmienky sú: t = 0 s, x(0) = x0 = 0,005 m, 25,0)0( 0 == vx& m/s. Vypočítajte:
a - vlastnú kruhovú frekvenciu sústavy, b - periódu vlastného kmitania, c - časovú závislosť výchylky x(t) hmoty m.
Obr. A
Obr. B Pre výpočtový model (obr.B) je metódou zrýchľujúcich síl zostavená pohybová rovnica
321 kkk FFFxm −−−=&& , (a)
kde pre sily v pružinách platí
xkFk 11 = , xkFk 22 = , xkFk 33 = .
Po dosadení do pohybovej rovnice
0)( 321 =+++ xkkkxm && , (b) resp. 0=+ xkxm eq&& , resp. 02
0 =ω+ xx&& . (c)
Vlastná kruhová frekvencia
16,592 32100 =
++==π=ω
mkkk
mk
f eq rad/s.
Vlastná frekvencia
42,92
00 =
πω
=f Hz.
Perióda vlastného kmitania
106,021
000 =
ωπ
==f
T s.
Riešením diferenciálnej rovnice (c) je
)sin()sin()cos()( 1010101 ϕ+ω=ω+ω= tCtBtAtx , (d)
pričom rýchlosť pohybu hmoty m je
)cos()cos()sin()( 1001001001 ϕ+ωω=ωω+ωω−= tCtBtAtx& .
Fk1
Fk2
Fk3
x, x, x . ..
178
Integračné konštanty v rovnici sú určené zo zadaných začiatočných podmienok, t.j.
10)0( Axx == ⇒ 01 xA = ,
010)0( ω== Bvx& ⇒ 0
01 ω
=v
B .
Po dosadení za integračné konštanty do (d) dostaneme
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+ω
ω+=ω
ω+ω=
0
0002
0
202
000
000 v
xtvxtvtxtx arctgsin)sin()cos()( ,
resp. )8691,016,59sin(006547,0)( += ttx .
Časový priebeh amplitúdy je na nasledujúcom obrázku.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5-0,008
-0,004
0,000
0,004
0,008
ampl
itúda
C1
[m]
čas [s]
Príklad 3.57 Jednohmotná sústava s hmotnosťou m a jedným stupňom voľnosti je spojená so systémom pružín troch pružín k1, k2, k3 podľa obr. A. Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu sústavy, periódu vlastného kmitania sústavy.
Obr. A
Obr. B
Pre výpočtový model sústavy (obr.B) je pomocou metódy zrýchľujúcich síl zostavená pohybová rovnica
32 kk FFxm −−=&& (a)
Fk1
xA, xA, xA . ..
Fk2
A
k3
k1 k2 A
Fk3
Fk2
x, x, x . ..
179
a pre bod A platí rovnováha síl pôsobiacich v pružinách 12 kk FF = , (b) kde pre sily v pružinách platí Ak xkF 11 = , )(22 Ak xxkF −= , xkFk 33 = . (c)
Po dosadení za 1kF a 2kF do rovnice
AA xkxxk 12 )( =− ⇒ xkk
kxA21
2+
= . (d)
Po dosadení z (c) a (d) do pohybovej rovnice (a) dostaneme
0321
22 =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+ xkxkk
kxkxm && , (b)
resp. po úprave
0)(
21
32321 =+
+++ x
kkkkkkkxm && ⇒ 0=+ xkxm eq&& ⇒ 02
0 =ω+ xx&& , (c)
kde 21
323211132,13
)(1
21kk
kkkkkkkkkkk
eq +++
=+
+=+= .
Vlastná kruhová frekvencia sústavy
)(
)(
21
323210 kkm
kkkkkm
keq
+++
==ω .
Príklad 3.58 Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu systému. Hmotnosti kladiek a pasívne odpory sú zanedbané.
Obr. A
Obr. B
Obr. C
Pre výpočtový model sústavy (obr.B) je pohybová rovnica 212 kk FFxm −−=&& , (a)
x 2x OSO
m x, x, x
. ..
Fk1 Fk1
Fk2
m
k2
x, x, x . ..
k1
180
kde pre sily v pružinách platí
xkxkFk 1111 == , xkxkFk 2222 2== . (b)
Po dosadení za 1kF a 2kF do pohybovej rovnice (a)
0)4( 21 =++ xkkxm && ⇒ 0=+ xkxm eq&& , (c)
resp. 020 =ω+ xx&& . (d)
Vlastná kruhová frekvencia sústavy
m
kkm
keq 210
4 +==ω .
Príklad 3.59 Vypočítajte dobu kmitu mechanického systému na obrázku. Teleso sa valí po vodorovnej ploche. Pohybovú rovnicu zostavte: a - metódou uvoľňovania, b - metódou redukcie, c - Lagrangeovými rovnicami II. druhu.
Obr. A
Obr. B
Obr. C
Obr. D
Metóda uvoľňovania Pohybová rovnica pre výpočtový model sústavy (obr. B):
- posuvný pohyb telesa (ťažisko je v bode A)
TkkA FFFxm −−−= 21&& , (a1)
- rotačný pohyb telesa okolo ťažiska
TkkA RFrFrFI ++−=ϕ 21&& , (b1)
kde FT je trecia sila.
mrA
.. xA, xA, xA
.
FrA krA
mrA
.. xA, xA, xA .
Fk1
I, m
r
R
Fk2
x1
xA
x2
A
ϕ ϕ ..
.
xA . xA
..
FT
G
k1 k2
I, m
R r
181
Sily v pružinách
111 xkFk = , 222 xkFk = . (c1)
Vzťahy medzi posuvmi 1x , 2x a Ax
rR
xRx
rRx A
−==
+21 ⇒ Ax
RrRx +
=1 , AxR
rRx −=2 . (d1)
Vzťah medzi zrýchleniami Ax&& a ϕ&&
RxA ϕ= &&&& . (e1)
Po dosadení (c) a (d) do rovníc (a) a (b) a ich následnej úprave dostaneme pohybovú rovnicu
0)()(2
22
21
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + AA x
RrRkrRkx
RIm && . (f1)
Metóda redukcie Redukcia sústavy (obr. A) bude urobená na bod A (obr. D), pričom všeobecná pohybová rovnica sústavy po redukcii
)(d
)(d21)( 2 qQq
qqmqqm =+
∗∗ &&& . (a2)
Parametre v rovnici (a2) sú Axq = , Axq && = , Axq &&&& = ,
)()(*ArA xmqm = , )()( ArA xFqQ = .
Po dosadení do všeobecnej pohybovej rovnice dostaneme
)(d
)(d21)( 21
ArAAA
ArAArA xFx
xxmxxm =+ &&& . (b2)
Redukcia hmotnosti na bod A:
Pre redukciu hmotnosti na bod A platí
∑=i
ikrAk EE ,, .
Po dosadení dostaneme
22221
21)(
21
AAArA xmIxxm &&& +ϕ= ⇒ mx
ImA
rA +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ϕ=
2
&
&,
odkiaľ po dosadení za RxA ϕ= && dostaneme redukovanú hmotnosť
mRImrA += 2 . (c2)
Redukcia silových účinkov na bod A:
Pre redukciu silových účinkov na bod A platí
∑=
=Fn
jjprAp PP
1,, . (d2)
182
Rovnica (c2) má po dosadení tvar
2211)( xFxFxF &&& ⋅+⋅=⋅ kkAArA x .
Po vyjadrení skalárnych súčinov
2211)( xFxFxxF kkAArA &&& −−= ⇒ A
kA
kArA xxF
xxFxF
&
&
&
& 22
11)( −−= .
Po dosadení vzťahov (c1) a (d1) a po úprave má redukovaná sila tvar
R
rRxkR
rRxkxkF ArArA−
−+
−== 2211 ,
resp. tuhosť redukovanej pružiny
2
2
2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=R
rRkR
rRkkrA . (e2)
Po dosadení (c2) a (d2) do pohybovej rovnice (b2) je pohybová rovnica redukovaného systému (obr. C)
0)()(2
22
21
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + AA x
RrRkrRkx
RIm && . (f2)
Lagrangeove rovnice II. druhu Na zostavenie pohybovej rovnice sústavy sú použité Lagrangeove rovnice II. druhu v tvare
0=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
qL
qL
dtd
&, (a3)
kde - kinetická energia 22
21
21
Ak xmIE && +ϕ= ,
- potenciálna energia 222
211 2
121 xkxkE p += ,
- kinetický potenciál 222
211
2221
21
21
21 xkxkxmIEEL Apk −−+ϕ=−= && .
Ako zovšeobecnená súradnica je použitá súradnica Ax . Lagrangeove rovnice majú potom tvar
0=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
AA xL
xL
dtd
&.
Použitím vzťahov (d1) je kinetický potenciál vyjadrený v tvare
22
22
212
2)()(
21
21
AA xR
rRkrRkxmRIL ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += & (b3)
a po jeho dosadení do rovnice (a3) má pohybová rovnica sústavy tvar
0)()(2
22
21
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + AA x
RrRkrRkx
RIm && . (c3)
183
Z pohybovej rovnice, ktorá bola zostavená rôznymi spôsobmi (f1, f2, c3), je po úprave
0)()(2
22
21 =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−+++ AA x
ImRrRkrRkx&& ,
vyjadrená vlastná kruhová frekvencia v tvare
ImR
rRkrRk+
−++=ω 2
22
21
0)()( .
Príklad 3.60 Kmitajúca sústava má jeden stupeň voľnosti a je zložená z kladky s polomerom R = 0,5 m, momentom zotrvačnosti I = 0,08 kgm2, na ktorú je pevne pripojená homogénna tyč s konštantným prierezom, dĺžky l = 0,8 m a hmotnosti m0 = 0,9 kg. Na sústavu sú pripojené dve pružiny k1 = 5,5 kN/m a k2 = 6 kN/m a tlmič, ktorého súčiniteľ lineárneho tlmenia je b = 12 Ns/m. Začiatočné podmienky sú: t = 0 s, ϕ(0) = ϕ0 = 0 rad, 2)0( 0 =ω=ϕ& rad/s. Vypočítajte: a - vlastnú kruhovú frekvenciu netlmenej a tlmenej sústavy, b - periódu vlastného kmitania netlmenej a tlmenej sústavy, c - časovú závislosť natočenia ϕ(t) systému.
Obr. A Obr. B
Pre kmitajúci systém s jedným stupňum voľnosti (obr. A), ktorý koná rotačný pohyb, je pohybová rovnica zostavená pomocou metódy zrýchľujúcich síl
bkk FRlRFFRlI )()( 210 +−−+−=ϕ&& , (a)
kde - sily v pružinách sú 111 xkFk = , 222 xkFk = ,
- sila v tlmiči 1xbFb &= ,
- moment zotrvačnosti systému vzhľadom na jeho os rotácie
pIII +=0 ,
kde I - moment zotrvačnosti kladky vzhľadom na os rotácie systému,
Ip - moment zotrvačnosti páky k osi rotácie sytému.
184
l + R
R
r
dr
m0
dm
Výpočet momentu zotrvačnosti páky k osi rotácie systému:
∫∫+
==Rl
Rmp drr
lm
dmrI 20
)(
2 ,
3)( 33
0 RRll
mI p
−+= ,
resp.
777,0)33(3
220 =++= RlRlm
I p [kgm2] (b)
Vyjadrenie posunutí 1x a 2x v závislosti od natočenia ϕ systému
Rx
Rlx 21sin =+
=ϕ ,
kde pre hodnoty uhlov o5<ϕ platí
ϕ≈ϕsin ⇒ ϕ+= )(1 Rlx , ϕ= Rx2 , kde ϕ je v radiánoch. (c)
Pre rýchlosť bodu, v ktorom je pripojený tlmič, platí
ϕ+= && )(1 Rlx . (d)
Sily v pružinách a v tlmiči potom možno vyjadriť v tvare
ϕ+= )(11 RlkFk , ϕ= RkFk 22 , ϕ+= &)( RlbFb (e)
a po ich dosadení do pohybovej rovnice a jej následnej úprave dostaneme
[ ] [ ] 0)()()33(3
22
21
2220 =ϕ+++ϕ++ϕ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++ RkRlkRlbRlRlmI &&& ,
resp. 02 20 =ϕω+ϕδ+ϕ &&& , (f)
- pomerný útlm:
832,11)]33(3[2
)(322
0
2=
+++
+=δ
RlRlmIRlb s-1
- vlastná kruhová frekvencia netlmeného kmitania:
23,112)33(3
])([322
0
22
21
0 =+++
++=ω
RlRlmIRkRlk rad/s,
- vlastná kruhová frekvencia tlmeného kmitania:
61,111220 =δ−ω=ωd rad/s,
- perióda vlastného kmitania netlmenej sústavy:
=ω
π=
00
2T 0,0560 s,
185
- perióda vlastného kmitania tlmenej sústavy:
=ω
π=
ddT 2 0,0563 s.
Riešenie diferenciálnej rovnice (f) má tvar
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛δϕ+ϕ
ωϕ−ω⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
δϕ+ϕ+ϕ=ϕ δ−
00
02
0020 &
& dd
d
t tet arctgsin)( .
Časový priebeh natočenia voľne kmitajúceho systému je na nasledujúcom obrázku.
0,0 0,1 0,2 0,3-0,03
-0,02
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
ampl
itúda
[r
ad]
čas [s]
Príklad 3.61 Vypočítajte dobu kmitu mechanického systému pozostávajúceho z dvoch ozubených kolies s momentami zotrvačnosti I1 a I2, hmotnosťami m1 a m2 s rovnakým polomerom R rozstupovej kružnice. Na pravé ozubené koleso je pevne pripojená homogénna tyč s hmotnosťou mp a dĺžkou l a konštantným prierezom po celej dĺžke.
Na zostavenie pohybovej rovnice sústavy je použitá Lagrangeova rovnica II. druhu v tvare pre sústavu s jedným stupňom voľnosti
I1, m1
ϕ1
ϕ2
mp
l
I2, m2 R
R
T
I1, m1
ϕ
ϕ
mp
l
I2, m2
R R
186
0=∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
qL
qL
dtd
&, (a)
kde - kinetická energia sústavy
2222
211 2
121
21
ppk IIIE ϕ+ϕ+ϕ= &&& ,
- potenciálna energia sústavy - nulová potenciálna hladina pre sústavu je uvažovaná v úrovni najnižšej polohy ťažiska T rotujúcej tyče
)cos( ppplgmE ϕ−= 12
,
- kinetický potenciál
)cos1(22
121
21 22
22211 pppppk
lgmIIIEEL ϕ−−ϕ+ϕ+ϕ=−= &&& , (b)
kde 231 lmI pp = - moment zotrvačnosti vzhľadom na os rotácie tyče.
Ak je ako zovšeobecnená súradnica použitý uhol natočenia 2ϕ telesa 2, potom
022
=ϕ∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ∂∂ LL
dtd
&. (c)
Kinematické vzťahy platné medzi jednotlivými telesami
RR 21 ϕ=ϕ ⇒ 21 ϕ=ϕ ⇒ 21 ϕ=ϕ && ⇒ 21 ϕ=ϕ &&&& (d)
a zároveň platí 2ϕ=ϕ p ⇒ 2ϕ=ϕ && p ⇒ 2ϕ=ϕ &&&& p . (e)
Použitím vzťahov (e,d) je kinetický potenciál vyjadrený v tvare
)cos1(22
)()(21
2212221 ϕ−−+−ϕ++=
lgmlgmmIIIL pp &
a po jeho dosadení do rovnice (c) má pohybová rovnica sústavy tvar
0sin2
)( 22221 =ϕ+ϕ++
lgmIII pp & . (f)
Rovnica (f) je vzhľadom na druhý člen )(sin 2ϕ nelineárna. Uvedenú diferenciálnu rovnicu je
možné linearizovať s ohľadom na predpoklad, že pre malé uhly 2ϕ , t.j. o52 <ϕ platí
22sin ϕ≈ϕ (pre 2ϕ v radiánoch). Linearizovaná pohybová rovnica má potom tvar
02
)( 22221 =ϕ+ϕ++
lgmIII pp & ,
odkiaľ môžeme po úprave písať
0)(2 2
21
22 =ϕ
+++ϕ
p
p
IIIglm
& ,
pričom vlastnú kruhovú frekvenciu je možné vypočítať zo vzťahu
)(2 21
0p
p
IIIglm
++=ω ,
187
doba kmitu tohto systému je potom
glm
IIIT
p
p )(222 21
00
++π=
ωπ
= .
Príklad 3.62 Rotujúca homogénna tyč s hmotnosťou m a dĺžkou l1 + l2, ktorá má na voľnom konci pripojený hmotný bod s hmotnosťou m0, je uložená na sústave pružina-tlmič (k-b). Na hmotný bod pôsobí harmonická budiaca sila )sin(0 tFF ω= , kde ω je kruhová frekvencia budiacej sily a 0F je amplitúda budiacej sily. Jednotlivé parametre sú:
m = 1,0 kg m0 = 0,3 kg k = 24,0 kN/m b = 60,0 Ns/m l1 = 0,4 m l2 = 0,3 m F0 = 35,0 N ω = 20,0 rad/s Začiatočné podmienky: t = 0 s ϕ(0) = ϕ0 = 0,01 rad =ϕ=ϕ 0)0( && 2,0 rad/s
Vypočítajte: a - vlastnú kruhovú frekvenciu netlmenej a tlmenej sústavy, b - periódu vlastného kmitania netlmenej a tlmenej sústavy, c - časovú závislosť natočenia ϕ(t) tyče, d - rezonančnú frekvenciu, e - zostrojte amplitúdovo-frekvenčnú charakteristiku a fázovo-frekvenčnú charakteristiku.
Obr. A
Obr. B
Kmitajúci systém má jeden stupeň voľnosti (obr. A) a vykonáva rotačný pohyb. Pohybová rovnica zostavená pomocou metódy zrýchľujúcich síl
)sin()( 021110 tFllFlFlI bk ω++−−=ϕ&& , (a)
kde - sila v pružine 1kxFk = , (b) - sila v tlmiči 1xbFb &= , (c)
- moment zotrvačnosti systému vzhľadom na jeho os rotácie
2210
2210
22110 )(
3)()(
31 llmmllmllmIII +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+++=+= , (d)
kde I - moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os rotácie systému, I1 - moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom na os rotácie sytému.
I, m
l1 l2
m0
F Fk
Fb
x1 x2
ϕ
ϕ
0
. ϕ ..
x1
.
x2
.
k
b
I, m
l1 l2
m0
F
188
Vzťahy medzi posunutiami 1x , 2x a natočením tyče ϕ sú definované nasledovne
ϕ= 11 lx ⇒ ϕ= && 11 lx , (e)
ϕ+= )( 212 llx ⇒ ϕ+= && )( 212 llx . (f)
Po dosadení rovníc (b-f) do pohybovej rovnice (a) má pohybová rovnica tvar
)sin()()(3 021
21
21
2210 tFllklblllmm
ω+=ϕ+ϕ+ϕ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + &&& ,
resp.
)sin())(3(
32
210
020 t
llmmF
ω++
=ϕω+ϕδ+ϕ &&& , (g)
kde 2210
21
))(3(23
llmmbl
++=δ - pomerný útlm,
2210
21
0))(3(
3llmm
kl++
=ω - vlastná kruhová frekvencia pre netlmenú sústavu,
220 δ−ω=ωd - vlastná kruhová frekvencia pre tlmenú sústavu.
Riešenie diferenciálnej rovnice (g)
• Homogénna časť riešenia diferenciálnej rovnice
02 20 =ϕω+ϕδ+ϕ hhh &&& ,
riešenie má tvar
[ ]hdht
h tCet ϕ+ω=ϕ δ− sin)( .
• Partikulárna časť riešenia diferenciálnej rovnice
)sin())(3(
32
210
020 t
llmmF
ppp ω++
=ϕω+ϕδ+ϕ &&& ,
riešenie má tvar
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ω−ω
δω−ω
ωδ+ω−ω
++=ϕ 22
0222220
210
0
2arctansin4)(
))(3(3
)( tllmm
F
tp .
• Celkové riešenie diferenciálnej rovnice (g)
)()()( ttt phc ϕ+ϕ=ϕ .
Integračné konštanty hhC ϕ, sú určené pomocou začiatočných podmienok.
Jednotlivé časové priebehy sú zobrazené na nasledovných obrázkoch (obr. 1 - obr. 3). Z obr. 1, resp. z obr. 3 je zreteľné, že homogénna časť riešenia s narastajúcim časom postupne zaniká a dominantnou sa stáva iba partikulárna časť riešenia, t.j. časť spôsobená budiacim silovým účinkom.
189
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
ϕ h [ra
d]
čas [s]
Obr. 1 Časová závislosť natočenia tyče (homogénne riešenie) pri voľnom kmitaní
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,008
-0,004
0,000
0,004
0,008
ϕ p [ra
d]
čas [s]
Obr. 2 Časová závislosť natočenia tyče (partikulárne riešenie) pri vynútenom kmitaní
s budiacou silou )sin(0 tFF ω=
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
ϕ c [ra
d]
čas [s]
Obr. 3 Časová závislosť natočenia tyče (homogénne + partikulárne riešenie) pri vynútenom
kmitaní s budiacou silou )sin(0 tFF ω=
190
Vplyvom zmeny budiacej frekvencie sa bude meniť amplitúda partikulárnej časti riešenia
22222
0
210
0
4)(
))(3(3
)(ωδ+ω−ω
++=ω
llmmF
C p ,
0 50 100 150 200 2500,00
0,05
0,10
0,15
ampl
itúda
[ra
d]
frekvencia [Hz]
b = 0,0 Ns/m b = 10,0 Ns/m b = 20,0 Ns/m b = 40,0 Ns/m b = 60,0 Ns/m
Obr. 4 Amplitúdovo-frekvenčná charakteristika )sin(0 tFF ω=
Príklad 3.63
Vypočítajte dobu kmitu mechanického systému pozostávajúceho z dvoch ozubených kolies s momentami zotrvačnosti I1 a I2, hmotnosťami s rovnakým polomerom R rozstupovej kružnice. Kolesá sú na polomere r navzájom spojené pružinou s tuhosťou k.
Výsledok:
krIIT
42 11
0+
π=
Príklad 3.64
Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu ω0 homogénnej tyče s konštantným prierezom po celej dĺžke, ktorá koná rotačný pohyb. Hmotnosť tyče je m a jej dĺžka je l1 + l2. Tyč je pripojená na sústavu dvoch pružín k1 a k2.
Výsledok:
221
2212
211
0)(
)(3llm
llklk+
++=ω
k1
k2
m
l1 l2
I1
ϕ ϕ
I2
k
R R
r r
191
Príklad 3.65 Vypočítajte vlastnú kruhovú frekvenciu mechanického systému pozostávajúceho z vozíka na dvoch kolesách a hmotnosťami m1 = m2 = m3 = m. Kolesá majú rovnaké polomery r1 = r2 = r a rovnaké momenty zotrvačnosti I1 = I2 = I = 22mr . Vozík je pripojený k základu dvoma pružinami radenými za sebou, ktoré majú rovnaké tuhosti k1 = k2 = k.
Výsledok:
mk
80 =ω
r1, m1, I1
k1 k2
r2, m2, I2
m3
192
Zoznam bibliografických odkazov [1] BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Vector Mechanics for Engineers : Statics and
Dynamics. 5th ed. New York : McGraw-Hill, Inc., 1988, 1026 s. ISBN 0-07-079923-7
[2] BRÁT, V. Příručka kinematiky s příklady. Praha: SNTL/ALFA, 1976, 273 s. 04-203-76
[3] BRÁT, V., BROUSIL, J. Dynamika. Praha: ES ČVUT, 1983, 306 s.
[4] JANČINA, J., PEKÁREK, F. Mechanika II: Kinematika. Bratislava: ALFA/SNTL, 1987, 331 s. 063-556-87 MIK
[5] KRATOCHVÍL, C., MALENOVSKÝ, E. Mechanika pevných a tuhých těles : Sbírka úloh z dynamiky. Brno : Akademické nakladatelství CERM, 2006. 164 s. ISBN 80-214-3228-4
[6] MERIAM, J. L., KRAIGE L. G. Engineering Mechanics : Statics. 4th ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1998, 524 s. ISBN 0-471-24164-4
[7] MUDRIK, J. a i. Mechanika tuhých telies. Bratislava: Vydavateľstvo STU, 1999, 272 s. ISBN 80-227-1181-0
[8] PEKTORYS, K. a i. Přehled užité matematiky I. 7. vyd. Praha: Prometeus, 2000, 720 s. ISBN 80-7196-180-9
[9] PEKTORYS, K. a i. Přehled užité matematiky II. 7. vyd. Praha: Prometeus, 2000, 874 s. ISBN 80-7196-181-7
[10] TIMOSHENKO, S. P.,YOUNG, D. H., WEAVER, W. Колебания в инжинерном деле. Москва : Машиностроение, 1985, 472 s.
[11] ZÁHOREC, O..MICHALÍČEK, M., ŽIARAN, S. Dynamika : Zbierka príkladov. Bratislava: ALFA, 1991, 287 s. ISBN 80-05-00718-3
[12] ŽIARAN, S. Technická mechanika. Statika. Bratislava: Vydavateľstvo STU, 2003, 357 s. ISBN 80-227-1863-7
193
Obsah
Úvod 3
1 STATIKA 4
1.1 Sila a jej účinky na hmotný objekt 14
1.2 Statická ekvivalencia silových sústav 14
1.3 Ťažisko hmotných objektov 20
1.4 Rovnováha hmotných objektov 29
1.5 Rovnováha rovinných sústav telies 43
1.6 Rovinné prútové sústavy 53
1.6.1 Analytické riešenie prútovej sústavy - styčníková metóda 54
1.6.2 Analytické riešenie prútovej sústavy - priesečná metóda 56
1.7 Pasívne odpory 59
1.7.1 Šmykové trenie pri posuvnom pohybe 59
1.7.2 Šmykové trenie rotujúcich telies 60
1.7.3 Pásové trenie 62
1.7.4 Valivý odpor 63
1.7.5 Sústavy telies s uvažovaním pasívnych odporov 65
2 KINEMATIKA 69
2.1 Kinematika bodu 69
2.1.1 Pohyb bodu v karteziánskej súradnicovej sústave 69
2.1.2 Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave 70
2.1.3 Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave 71
2.2 Kinematika tuhého telesa 82
2.2.1 Posuvný pohyb telesa v rovine 82
2.2.2 Rotačný pohyb telesa 83
2.2.3 Všeobecný pohyb telesa v rovine 85
2.2.4 Okamžitý stred otáčania 85
2.3 Rýchlosť a zrýchlenie pri súčasných pohyboch 96
194
2.4 Analytické riešenie mechanizmov 102
2.4.1 Trigonometrická metóda 102
2.4.2 Vektorová metóda 102
2.4.3 Metóda komplexných čísel 103
3 DYNAMIKA 112
3.1 Dynamika hmotného bodu 112
3.2 Dynamika sústavy hmotných bodov 125
3.3 Geometria hmôt 132
3.4 Dynamika tuhého telesa 138
3.5 Dynamika sústavy tuhých telies 152
3.6 Základy analytickej dynamiky 167
3.7 Lineárne kmitanie 172
Zoznam bibliografických odkazov 192
Obsah 193
EDÍCIA VYSOKOŠKOLSKÝCH SKRÍPT
Autori: Ing. Milan Naď, CSc. Ing. Eva Labašová, PhD.
Názov: MECHANIKA TUHÝCH TELIES. Návody na cvičenia.
Miesto vydania: Trnava Vydavateľ: AlumniPress Rok vydania: 2008 Vydanie: prvé Rozsah : 194 strán Edičné číslo: 2/AP/2008 ISBN 978-80-8096-050-6 EAN 9788080960506
zverejnené na https://is.stuba.sk