Fakultastrojni

GESKE VYSOKE UGENi TECHNICKE V PRAZE

MECHANIKATEKUTIN

Prof. Ing. Jan Jezek, DrSc.

Ing. Blanka Varadiova, esc.

Ing. Josef Adamec, esC.

Prof. Ing. Jan Jezek, DrSc.

Ing. Blanka Varadiova, esC.

Ing. Josef Adamec, esc.

MECHANIKA TEKUTIN

2000Vydavatelstvf CVUT

PREDMLUVA

V kazdem vednirn oboru roste rok od roku rnnozstvi poznatku. Protoze bylo obtizneseznamit studenty se soucasnyrn stavem oboru v jedinem pfedmetu zakladniho studia, zavedlase ph reforme studia dvoustupiiova vyuka vetsiny zakladnich ptedrnetd a tedy i mechanikytekutin. Neni to novinka, nebot' jiz drive rada specializaci, jako napr. technika prostredi(vetrani, topeni, klimatizace), spalovaci motory, vodni stroje, chemicke a potravinarske strojea j., mela ve vyssich rocnicich nadstavbove predmety. V zakladnim studiu se pak mohouprobrat dukladne zaklady predrnetu, tak, aby posluchac vnikl do fyzikalni podstaty jew. Novalatka je vykladana jako aplikace obecne platnych fyzikalnich zakonu, s nimiz se studentseznarnil v predchozim studiu. Pritom se poukazuje na souvislost s ostatnimi predrnety, jakonapi. fyzikou, mechanikou atd. V nadstavbovych predrnetech, ve vyssich rocnicich, se pakz ohromneho mnozstvi Iatky vyberou jen partie dulezite v prislusnem oboru, phcemz sezpravidla pouziva i jineho matematickeho aparatu, napr. tenzorovy pocet.

Tato skripta jsou urcena pro predmet "Mechanika tekutin" prednaseny v jednomsemestru zakladniho studia v rozsahu tf hodin prednasek a dvou hodin cviceni tydne. Skriptajsou uvodem do mechaniky tekutin a klademe si za cil, aby student sam umel spravneaplikovat zakladni fyzikalni zakony, jako napr. zakony zachovani hmotnosti, hybnostia energie ina pohyb tekutin. Zvladne-li zaklady mechaniky tekutin tak, ze umi spravneaplikovat zakladni zakony jako rovnici kontinuity, Bernoulliovu rovnici atd. v nejnlznejsichprikladech, je pravdepodobne, ze se i v praxi dokaze vyporadat s problemy, ktere nelze resitpodle norrny ci osvedcenych a vyzkousenych podkladu. A to by melo byt tou pravou naplniprace inzenyra - neustale hledat nove, dokonalejsi, ucinnejsi a ekonomictejsi Iesenf. Solidniznalost zakladu navic usnadni orientaei ve stale narustajicirn mnozstvi informaci, umozni mutyto informace samostatne, kriticky a fundovane hodnotit a v nove situaci volit nejspravnejsiresp. nejvhodnejsi postup vypoctu.

Pfi vyberu a volbe latky jsme vychazeli ze soucasnych potreb znalosti strojnihoiuzenyra, Neuvadime vsak navody na vypocet napr. hydraulickych stroju ani nizne praktickeinformativni udaje jako napr. optimalni rychlosti v potrubi ap., nebot' se domnivame, ze tatolatka patfi do monografii nebo pfirucek urcenych pro konstruktery, u nas vydavanych jakotzv. .Technicky pruvodce". Rovnez latku, jiz je nutno se ucit nazpamet' (nizne rovnice,vzorce a j.) jsme se snazili omezit na minimum. Dale jsme se snazili oprostit obsah odsloziteho matematickeho aparatu, ktery je nezbytny pri vykladu teoreticke mechaniky tekutinv nadstavbovern predrnetu. Neuvadime tu proto zakladni rovnice mechaniky tekutinv diferencialnim tvaru pro ruzne ptipady proudeni jako napt. Navierovy - Stokesovy rovnice,Prandtlovy rovnice mezni vrstvy nebo Reynoldsovy rovnice pro turbulentni proudeni. Duvodupro jejich vypusteni bylo nekolik, napr., ze jejich pornerne dlouhe odvozovani odvadipozornost studenta od fyzikalni stranky proudeni a ph zkousce se soustredi na jen namaternatickou stranku - formalni odvozeni, nebo pouhe nauceni vysledne rovnice nazpamet',Resem techto rovnic je velmi obtizne a ve cvicenich v zakladnim studiu se neprovadi, nebot'studenti se behem zakladniho studia vubec neseznami s resenim parcialnich diferencialnichrovnic. Dornnivame se proto, ze je zcela na miste jejich odvozeni i aplikaci na ruzne pripadyuvest az v nadstavbovem predmetu.

Ph vykladu jsme postupovali od jednodussiho ke slozitejsimu. Tato volba ovsem nenijednoznacna. Lze napr. postupovat takto: uvazovat nejprve jen model nevazke tekutiny a pronej resit nejprve stacionarni proudeni od jednorozmernych po prostorova a pak pronestacionarni proudeni od jednorozmernych az po prostorova. Totel: pot-adi pak lze votit i provazke teklltiny. Pro techniky se nam zdalo vhodnejsi postupovat od jednorozmerneho

-proudeni nevazke a vazke tekutiny nejprve stacionarniho a pak nestacionarniho proudenik proudeni vicerozmernemu, V tete casti se umyslne dopoustime urcite nesystematickosti,nebot' Iaminarni a turbulentni proudeni v potrubi (coz je pripad prostoroveho proudeni vazketekutiny) predbiha rovinnemu potencialnimu proudeni. Duvod je ryze prakticky. Proudenivazke tekutiny potrubim rna pro inzenyra velky prakticky vyznam a mel by si ze studia odnestrealnou predstavu 0 rozlozeni rychlosti a tlaku v potrubi a to i tehdy, je-li nutno z niznychduvodu vyuku v semestru zkratit. Rovinne potencialni proudeni je obsazeno v temef kazdemdalsim stupni vyuky mechaniky tekutin, je-li pro obor nutne.

Uvedomujeme si, ze nase prace neni prosta nedostatku a budeme vdecni vsem zainiciativni upozomeni, vedouci k jejich odstraneni.

Zaverem autofi dekuji vsem, ktefi nam pornahali a to prof Ing. J. Nozickovi, DrSc.,prof Ing. V. Brozovi, CSc. a doc. Ing. K. Bradovi, CSc. za peclive procteni rukopisu a radupodnetnych pripcminek a dale Ivanu Pressovi, posluchaci 4. rocniku za peclive provedeniobrazku a pfedloh pro tisk.

Praha 1. cervna 1982 Jan JezekBlanka Varadiova

PREDMLUVAKE 3. VYDANi

Prvni vydani vyslo asi pred patnacti lety a od te doby se mnoho zmenilo. V te dobeu nas prakticky nebylo mozno resit ulohy mechaniky tekutin na pocitacich proste proto, ze jernelo k dispozici jen nekolik vypocetnich stredisek nebo ustavu v cele republice. Programovanibylo obtizne, pfistup k pocitacum terner zadny. V soucasne dobe se slozitejsi ulohy resivyhradne na pocitacich a k dispozici jsou i komercni resice napr. FLUENT ap. Uzivatel se pakseznamuje s navodem na uzivani softwaru aniz by byl nucen se zabyvat zakladnimi rovnicemimechaniky tekutin, jez jsou reseny. Ma-li posoudit zda ziskane vysledky jsou realne nebonerealne teprve pak zjist'uje, ze mu chybi zakladni znalosti 0 vlivu jednotlivych sil atd. Protobyla pfidana nova kapitola pojednavajici 0 zakladnich diferencialnich rovnicich mechanikytekutin: Navierovych - Stokesovych rovnicich. Zmensil se i rozsah vyukovych hodina mechanika tekutin byla prevedena do druheho rocniku. Vsechny tyto okolnosti nas vedlyk prepracovani skript. Upravy nejsou zasadniho razu, stale se klade duraz na jasny vyklad, abystudenti pochopili fyzikalni podstatu mechaniky tekutin. Proto jsou na konci vetsiny kapitolpripojeny ilustracni pfiklady, kde se aplikuji odvozene vztahy. Je zadouci se nad uloharnia ziskanymi vysledky zamyslet. Chcete-li u zkousky a pak iv zivote uspet, nestaci naucit senazpamet' nizne vzorecky a rovnice, ale je dUlezite urnet a vedet kdy a jak je spravne pouzit.Techto par pfikladu vsak nestaci k osvojeni probirane latky, s dalsimi priklady se rnuzeteseznamit ve skriptu: 1. Adamec, M. Lisal, B. Varadiova: Mechanika tekutin - Sbirka prikladu.Nektere partie, jez maji rozsirit zakladni znalosti, jsou vytisteny odlisnym typem pisma. Phpraci na tomto vydani byl kolektiv autoru rozsiren.

Praha, prosinec 1996 Jan JezekBlanka VaradiovaJosef Adamec

4

f

OBSAH

PREDMLUVAOBSAHSYMBOLIKA1. tJVOD') zAKLADNi POJMY

2.1 Tekutina2.2 Stavove veliciny2.3 Fyzikalni vlastnosti tekutin

357

1011111113

3. HYDRO STATIKA3.1 Hydrostaticky tlak3.2 Eulerova rovnice bydrostatiky3.3 Hladinove plochy3.4 Rozlozeni tlaku v tekutine

19192022')')

4. TLAKOVE SiL Y4.1 Dno nadoby4.2 Rovinne steny4.3 Zakrivene steny4.4 Hydrostaticky vztlak

3131313334

5. POTENCIAL INTENZITY HMOTOVYCH SIL 39

HYDRODYNAMIKA 436. STACIONARNi JEDNOROZMERNE PROUDENI IDEALNI NESTLACITELNE

TEKUTINY 446.1 Zakladni rovnice 4462 Mereni rychlosti 496.3 Mereni prutoku 506.4 Stacionarni proudeni nevazke tekutiny potrubirn 50

7. VYTOK Z NADOB. PREP ADY 57

~7.1 Stacionarni vytok kapaliny malyrn otvorem 57

-~~ 7.'2 Metoda korekci 57e~58f 73 Natrubky~

t: 7.4 Vytok zatopenyrn otvorem 597.5 Vytok velkym otvorem 597.6 Prepady 60

I~

STACIONARNi PROUDENI VAZKE TEKUTfNY POTRUBiMi 8. 65I~ 8.1 Zakladni rovnice pro vazke tekutiny 66~. 8.2 Hydraulicke ztraty 67"

83 Heel ztraty v potrubi 698.4 Mistni ztraty 72

9. NEST ACIONARNi PROUDENi 79~. 9.1 Diferencialni tvary zakladnich rovnic 79t 9.2 Kvazistacionarni proudeni 81

93 Vynucene nestacionarni proudeni 83

5

9.4 Sarnovolne nestacionarni proudeni 849.5 Zavirani potrubi 87

10. RELATIVNI PRUTOK 9410.1 Zakladni rovnice relativniho pnitoku 9410.2 Primocary unasivy pohyb 9410.3 Rotacni unasivy pohyb 95

11. DYNAMICKE (ICINKY PROUDU TEKUTINY 10111.1 Desky v klidu 10111.2 Pohybujici se desky 10211.3 Optimalni otacky Peltonovy turbiny 1031l.4 Uzavrene kanaly 10411.5 Propulse 10411.6 Zachovani momentu hybnosti - tocivosti 105

12. LAMINARNi PROUDENI 10812.1 Trubice kruhoveho prurezu 10812.2 Paralelni desky 11012.3 Stekani po st(~ne 11212.4 Klinova mezera 113

13. TURBULENTNIPROUDENi 11513.1 Vznik turbulence 11513.2 Charakteristiky turbulentniho proudeni 11513.3 Matematicky popis turbulentniho proudeni 117

14. OBTEKANI TELES 12114.1 Mezni vrstva 12114.2 Odpor teles F.x 12414.3 VztlakFy 127 ~14.4 Lopatkove mfize 128

.'i",{sIt",~

IS. FYZIKALNI PODOBNOST A TEORlE MODELOV ANi 129 §

J15.1 Mechanicka podobnost ph proudeni tekutin 129 .;

15.2 Odvozeni podobnostnich cisel z rovnic 130 I15.3 Dimenzionalni analyza 131 I15.4 (Ipina a castecna podobnost 133

~

I16. ROVINNE POTENCIALNI PROUDENi 13416.1 Zakladni rovnice 134 .16.2 Proudova funkce ~x.y) 13616.3 Rychlostni potencial ~x.y) 13716.4 Zakladni pfipady potencialniho proudeni 13816.5 Skladani proudeni 139

17 SOUSTA VA ROVNIC PRO NEWTONSKE NESTLACITENE. TEKUTlNY 14417.1 Rovnice kontinuity 14417.2 Navierovy - Stokesovy rovnice 145

LITERATURA 150

6

fSYMBOLlKA

a (m/s'') zrychlenia (m/s) rychlost zvukub (m) sifka, rozpetiG (m/s) absolutni rychlostcl' (J/kgK) merna tepelna kapacita ph stalem tlakuGil (1) tlakovy soucinitelCy (J/kgK) merna tepelna kapacita pfi stalem objernud (m) prumer

"'. (m) hydraulicky prumere (J/kg) merna energieg (m/s'') gravitacni zrychlenih (m) vyska, hloubkak (m) absolutni drsnostI (rn) delka111 (kg) hmotnost,i, (kg/s) hmotnostni tok() (rn) smoceny obvodI' (Pa) merny tlak, pretlakpa (Pa) absolutni tlakPh (Pa) barometricky tlakPd (Pa) dynarnicky tlakPh (Pa) hydrostaticky tlakpo (Pa) tlak okoli, pocatecni tlakP, (Pa) staticky tlakq (Pa) kineticky tlakq (J/kg) merne teplo,. (m) radiusvektor, polomerI'h (m) hydraulicky polomers (1) korekcni soucinitel dynarnickeho tlakus (m) draha, vzdalenost

(s) casII (n/s) obvodova rychlostII (J/kg) merna vnitrni energiev (m3/kg) merny objem11 (rn/s) rychlost, relativni rychlostw (J/kg) merna pracex (m) souradnicey (m) souradnice- (m) souradnice-

A (Pas) zdanliva viskozitaA (m2

) plochao; (m") deviacni moment plochy k osam xyE (J) energieEll (1) Eulerovo cisloF (N) silaFr (I) Froudeho cisloG (N) tiha

7

•

H (m) vyska, hloubkaH (kgm/s) hybnostif (N) tok hybnosti

Iy (m") kvadraticky moment plochy k ose yK (Pa) modul objernove pruznostiK (1) konstantaK (N/kg) intenzita hmotovych sil (vnejsi zrychleni)L (kgmvs) moment hybnosti - tocivostM (Nm) moment silyp (W) vYkonQ (J) teploQ (m2/s) prutok kiivkou ph rovinnern potencialnim proudeniR (m) polomerRe (1) Reynoldsovo cisloSh (1) Strouhalovo cisloSy (m3

) linearni moment plochy k ose yT CC,K) teplotaU (J) vnitrni energieU (m2/s2) potencial intenzity hmotovych silV (rrr') objemV,Q (m3/s) objernovy tokW (J) vnejsi prace

a (1) uhel,a (1) kontrakcni soucinitelf3 (1) uhelf3 (IlK) soucinitel objernove roztaznosti0 (11K) stlacitelnost0 (m) tloustka mezni vrsty6 (1) intenzita turbulence17 (1) bezrozmerna souradnice17 (1) ucinnost17 (Pas) dynamicka viskozitarp (1) uhelrp (1) rychlostni soucinitel1( (1) Coriolisova konstanta1( (1) porner mernych telepnych kapacit cp/c,

:\ A (1) soucinitel trecich ztratA (1) modul, mefitkoJ.J (1) vytokovy soucinitelp (kg/rrr') hustotaa (N/m) povrchove napetiT (Pa) tecne napeti

~i v (m2/s) kinematicka viskozita~ (J) (l/s) uhlova rychlost

If! (1) uhelS (1) ztatovy soucinitel

8

(/J (1) bezrozmerna rychlost(/J (11)2/S) rychlostni potencialr (nrvs) cirkulaceII (1) bezrozmerny argumente (1) uhel'1' (m2/s) proudova funkce

Za nekterymi kapitolami jsou uvedeny:

a) pod titulkem Vite, ie ruzne zajimavosti a to na strankach:16,27,29,35,56,61,64,78, 100, 107,114, 128, 133, 143, 148, 149

b) obsahle kornentovane pfiklady, nekdy trochu neobvykleho zadani, ilustrujici jak siroke jsoumoznosti aplikace znalosti mechaniky tekutin:

Stranap 2.1 Vyska atmosfery ph p = konst. 17p 2.2 Kinematicka viskozita krve 18p 3.1 Tlak vody na dne more 28p 3.2 Tlak vzduchu ve vysce 8,4 km 30p 4.1 Sila na zatkovou tyc lici panve 36p 4.2 Prace potrebna k posuvu pistu 37P 5.1 Potencial hmotovych sil pri rotaci nadoby 40p 5.2 Teoreticke zplosteni Zeme 41p 6.1 Dostrik vodniho paprsku 52p 6.2 Meteni rychlosti v sani ventilatoru 53p 6.3 Perpetuum mobile 54p 7.1 Doba vyprazdneni sudu 62p 7.2 Doba vyprazdneni lici panve 63p 8.1 Hltnost Peltonovy turbiny 75p 8.2 Vetrani dulni chodby 76p 9.) Stoupnuti tlaku pfi uzavirani potrubi 92P 10.1 Srner vetru v atmosfete 99P 17.1 Smer geostrofickeho vetru 149

9

r

MECHANIKA TEKUTIN

1. DYOD

Mechanika tekutin je casti fyziky, zabyvajici se pohybem a rovnovahou tekutin zaucinku vnejsich sil. V technicke praxi slouzi mechanika tekutin ke stanoveni vzajemnehoucinku tuhych sten na tekutiny a naopak i dalsich ukolu jako napr. mereni rychlosti a prutokutekutin atd. Jejim ukolem je vysvetlovat jevy vznikajici v tekutinach pomoci fyzikalnichzakonu a pfedvidat chovani tekutin v urcitych podminkach, tj. stanovit rozlozeni tlaku,hustoty, teploty, rychlosti a pripadne zrneny techto velicin s casem v ruznych mistech uvnititekutiny. Na zaklade techto znalosti pak lze poskytnout podklady konstruktennn.

Mechaniku tekutin lze rozdelit podle niznych hledisek napr. na:1. statiku tekutin,2. kinematiku tekutin,3. dynamiku tekutin.

Podle druhu tekutin na:1. mechaniku kapalin tj. hydrornechaniku,2. mechaniku plynu tj. aeromechaniku,3. magneto- aero- hydromechaniku elektricky vodivych tekutin,4. mechaniku vicefazovych tekutin.

Podle vysetrovacich metod na:1. teoretickou,2. experimentalni.

S mechanikou tekutin a aplikaci jejich zakonu se setkavame nejen v praxi strojnihoinzenyra ve strojirenstvi, deprave, energetice, ale i jinych oborech jako chemickem,papirenskem, potravinarskem, sklafskem, baiiskem a hutnim prumyslu, ve stavebnictvi,zemedelstvi, medicine, biologii, hydrologii, meteorologii, astrofyzice a cele rade dalsich oboru.

V praxi se setkavame s proudenim tekutin, jejichz vlastnosti se mohou znacne lisitzvlaste tehdy, nachazeji-li se v extremne vysokych Ci nizkych teplotach nebo tlacich.V chernickem a potravinarskem pnimyslu je rada latek, ktere se i za normalniho tlaku a teplotychovaji jinak nez voda nebo vzduch, jejichz chovani povazujeme za normalni. Nekteretekutiny se vlastnostmi podobaji vice elastickym ci plastickym latkam, tak vyrazne je jejichanomalni chovani. Studiem proudeni takovych latek tzv. nenewtonskych tekutin se zabyvareologie.

V techto skripteeh se budeme zabyvat ptevazne proudenim nestlacitelnychnewtonskych tekutin.

10

F

2. ZAKLADNI P01MY

2.1 Tekutina

Tekutina je latka, ktera se ucinkem vnejsich sil nevratne deformuje. Nema vlastni tvar.Je slozena z molekul, ale v nasem pfipade nedbame molekularni struktury a budeme tekutinupovazovat za spojite prostredi - kontinuum, abyehom mohli pouzit k reseni uloh meehanikytekutin diferencialniho a integralniho poctu. Za pusobeni i nepatrnych tecnych sil se casticetekutiny snadno uvedou do pohybu (vyjimkou jsou nektere nenewtonske tekutiny).

T ekutiny delime na:I. ne~tla~itelne, tj. takove, ktere za pusobeni rostoueiho tlaku rneni jen malo svuj objem, sem

patf kapaliny, jez jsou praktieky nestlacitelne. Male objemy kapalin tvofi kapky. Zaujimajitvar nadoby, vypliiuji jeji spodni cast (s ohledem na vysledne zrychleni, resp. vektorintenzity siloveho pole) a vytvareji volnou hladinu.

2. ~tI(l~i_te.II).ea tedy i rozpinave, ktere vyplnuji vzdy cely objem nadoby. PodIe toho, zda jejichstay je blizky ci vzdaleny bodu zkapalneni, je delime na pary a plyny. Spolecny nazevuzivany pro oba druhy je vzdusiny.

Vedle stlacitelnosti je dalsi dulezitou vlastnosti tekutin viskozita. Uvazujerne-Ii obevlastnosti, pak reseni proudeni tekutin vede na reseni soustavy nelinearnich parcialnichdiferencialnich rovnic druheho radu tzv. Navierovych - Stokesovych rovnie. Exaktni resenilze nalezt jen pro velmi jednoduche pripady, jako napr. pro paralelni proud. I priblizne Ieseni -pro vsechny ostatni pripady - je velmi obtizne a bez pouziti pocitacu je vetsinou nelze pro vest.Proto misto s realnou tekutinou pocitame s urcitym matematickym modelem tekutiny, jehozvlastnosti jsou idealizovany (viz predpoklad 0 spojitern rozlozeni hmoty). Aby vysledkyvypoctu byly pro praxi pouzitelne, je dulezita volba stupne idealizaee tekutiny - modelu.Mame-li na zreteli viskozitu a stlacitelnost tekutiny muzeme vytvorit tyto ctyfi modely:

I . idealni kapalina tj. nevazka nestlacitelna tekutina,:2. idealni plyn tj. nevazka stlacitelna tekutina,3. vazka kapalina tj. vazka nestlacitelna tekutina,4. vazky plyn tj. vazka stlacitelna tekutina.

'I Posledni dva modely byvaji take oznacovany jako realna kapalina a realny plyn.eh 2.2 Stavove veliCinya

Stay tekutiny nachazejici se v rovnovaze muze byt urcen tlakem, hustotou a teplotou.

dFp=-

dACPa).

y\ <!).F p _.9..E..- dA

AI

X

h a) M~rI1Ytl.ai<.p(v praxi zpravidla oznacovan jen tlak)je roven pomeru elementarni tlakove sily dFpusobici kolmo na elementarni plosku dA(obr.l):

/1/_y

z

Obr. I Stanoveni lokalni hodnoty merneho tlaku

11

•Mensi hodnoty tlakii Ize merit pomoci sioupce kapaliny piezometrickou trubici (obr. 2).

Obr. 2a Mereni tlaku piezometrickou trubici je-li v nadobe tlak vetSi nez je tlak barometrickyObr. 2b Schema mereni barometrickeho tlaku Pb rtut'ovym barometrem, p,,1' je tlak

nasycenych parObr. 2c Absolutni tlak pa , pretlak a podtlak se odecitaji od barometrickeho t1aku.

Je-li nad hladinou kapaliny v uzavrene nadobe tlak Pa vetSi nez barornetricky tlak l'b- pusobicina hladinu kapaliny v otevrenem konci piezornetricke trubice, pak hladina v trubici se ustali vevysce h. Pusobi-li na kapalinu jen gravitacni zrychleni, vytvori se vodorovna hladina, C02 jesoucasne geometricke misto bodu se stejnyrn tlakem rovnym barornetrickemu tlaku. Vsechnyvodorovne roviny budou take izobaricke plochy, ale protoze na castice nize polozene budoupusobit svou tihou castice kapaliny nachazejici se nad nimi, bude tlak s hloubkou narustat. Navodorovne rovine prochazejici hiadinou v nadobe, obr. 2a, je vsude tlak roven Pc" alesoucasne je ten to tlak i v piezometricke trubici v hloubce h pod hladinou, tj. v mistech, kde jizminena vodorovna rovina protina. Uvolneme si nyni tento sloupec kapaliny. Z rovnovahy silpusobicich na sloupec kapaliny 0 vysce h a 0 prurezu A nachazejici se v trubici:

PI>. A + gphA = P. . Aplyne, ze absolutni tlak

(I)resp. pfetlak

p = l', - Pb = gph . (2)Absolutni tlak se odecita od nulove hodnoty tlaku, pretlak a podtlak se odecitaji odbarometrickeho tlaku (obr. 2c). Na obr. 2b je naznaceno mereni barometrickeho tlaku Pbrtut'ovyrn barometrem: vzduch pusobi na hladinu rtuti v nadobce manometru tlakem Pha vytlaci do evakuovane trubice rtut'ovy sloupec do vyse h. Nad hladinou rtuti v trubici je tlakrovenjejimu tlaku nasycenych par (viz odst. 2.3.e).

b) Hustota p (merna hmotnost) je rovna porneru hmotnosti elementarni castice tekutiny dm kujejimu elementarnimu objemu dV, obklopujicimu bod v nemz hustotu urcujeme

dmp= dV

3(kg/m ).

Prevratna hodnota hustoty je merny objem v

12

1 dl'v =-=-

p dm(m3/kg).

Hustota kapalin se rneni s tlakem a teplotou jen nepatrne a budeme ji povazovat za konstantni:p= konst.Hustota plynu je funkci stavovych velicin tj. tlaku p a teploty T (v K). Pro jeji vypocet budemepouzivat jednoduehou stavovou rovniei idealniho plynu

P ruv= - =r. ,p

kde r (lkgO'.K') je merna plynova konstanta, jejiz velikost zavisi na druhu plynu.

c) T~pI9t~T (c, K). V nasem pripade budeme proudeni povazovat vzdy za izotermni T =

konst. Udaj teploty bude slouzit jen pro piesne urceni parametru tekutiny jako je hustotaa viskozita.

2.3 Fyzikalni vlastnosti tekutin

a) Viskozita je schopnost tekutiny prenaset tecna napeti. Je take pricinou odporu protivzajemnernu posunu castic tekutiny a vzniku tecneho napeti r na rozhrani mezi tekutinoua stenou. Pfi laminarnim proudeni newtonskych tekutin napr. mezi dverna deskami, obr. 3,plat!

d v"(=11'-l dy~

(Newtonuv zakon) (3)

Obr. 3. Tecne napeti vznikajicimezi vrstvami newtonsketekutiny, pohybuji-li serozdilnymi rychlostmimezi dvema deskami.

h

kde '1 (Pas) je dynamicka viskozita a dv dy je rychlost smykove deform ace, ph rovmnemproudeni nazyvana rychlostni gradient. V rovnicich mechaniky tekutin se caste vyskytujepomer dynamicke viskozity '7 delene hustotou p a nazyva se kinematicka viskozita u = 11/ P

1

(m/s). Viskozitaje silne zavisla na teplote. rnU kapalin s teplotou klesa a u plynu roste, .Lobr.4.

Obr. 4 Zavislost viskozityna teplote.

kapalinyplyny

~-------------T

U c'asol'c! nezavislych nenewtonskych tekutin ncplatl lincarni zavislost (3) tuezi tecnym napetitn a rychlostlsmykove deforntace, jak je ukazano na obr. 5 pro pseudoplasticke, dilatantni a bighatnske tekutiny. U casove::l/I'is(vch nenewtonskvch tekutin tixotropnich a reopektnichjsou vlastnosti zavisle ilia case (delce piisobenisily) tj. no historii mechanickeho nanuihani. Visko-elasticke tekutiny [sou dalsint typent nenewtonskychtekutin. je= energii dissipuji i akumulujl. C' nettewtonskych tekutin pouzivame misto Newtonova zakona (3) t:v.

13

konstitutivnlch rovnic. Pro smykove toky casove nezavislych nenewtonskych tekutin I:e napr. pocltats obecnejslm vztahent

()"dvt = K dy +"to

idealni dv~--~--------~~----dyObr. 5 Zavislost tecneho napeti na rychlosti deformace pro ruzue druhy tekutin.

b) .S.~l~9.iJ~J.n..9.~ttekutiny charakterizuje schopnost zrneny jejiho objemu a tim i hustotyp s tlakem. Plyny a pary se vyznacuji velkou stlacitelnosti, zatim co kapaliny lze do tlaku 10MPa povazovat v technicke praxi za nestlacitelne. Soucinitel stlacitelnosti, nebo kratcestlacitelnost 8, zavisi na pocatecnim objemu f' a na ryehlosti zmeny objemu s tlakemav / ap < 0:

1 (av\ 16=-va) = KP T=/.;ollsl

(4)

kde K je modul objemove pruznosti.

U plynu, tj. stlacitelnych tekutin, jsou hodnoty techto koeficientu zavisle na druhuzrneny. Ze stavove rovnice idealniho plynu lze napr. urcit pro izotermiekou zmenu K = Po.kde p» je pocatecni tlak.

U kapalin, tj. nestlacitelnych tekutin, jsou hodnoty (j resp. K znacne zavisle namnozstvi nerozpusteneho plynu v kapaline, tj. na pritomnosti bublinek vzduehu.

Stlacitelnost lze rovnez charakterizovat rychlosti zvuku a, tj. rychlost, kterou se vestlacitelnem prostredi siri nekonecne male zmeny tlaku:a~~~J!. (5)

(Uvazujeme zmenu izoentropickou, coz v tomto pripade znamena bez privodu resp. odvodutepla).

Teorie hydromechaniky je jednodussl nez teorie oeromechaniky, proto:e lze zprovidla brat p = konst.Jsou-li zmeny tlaku v plynu relativne male LJpipu « I, budou i ;;lJIe/~Y hustotv mal« a l' techto pripadech lieipro plyn pouzit zakony hydromechaniky. Jedna se 0 pripady, kdy za nonualnich podminek je rychlostvzduchu mens' net 70 m/s, nebo vyska I'rst1:V vzduchu ntensl net 100 III. Stlacitelnost kopalin nelze zanedbatv prlpadech, kdy dochazl k velkynt zmenam tlaku, nebo rychlostl, 110pf. ve vstrikovacim potrubi naftovychmotoru, ptt nahlem uzavreni potrubi, u hydrostatickych pievodu (hydraulickych mechanismu) s pracovnimitlaky oleje 40 MPa a vysslm).

14

-c) T.~pIQmj..r:9.z.~~z.n.Q.~ttekutin charakterizuje zmenuSoucinitel objemove roztaznosti:

1 (av)~ = v aT

pe konst,

objemu a hustoty tekutiny s teplotou.

(6)

V nasem pripade se budeme zabyvat prevazne izotermnim proudenim (T = konst.)nestlacitelnych tekutin a uvedeny vztah bude uzivan napf. pro korekci na zmenu teploty phmereni tlaku, kdy lze brat soucinitel objemove roztaznosti konstantni.

d) Povrchovenapeti (J" u kapalin je zpusobeno koheznimi silami pusobicimi mezi molekulami,jez se snazi zrnensit povrch kapaliny na minimum, jako by na hladine byla tenka pruznamembrana. Na zakrivenem povrchu kapaliny pak vznika rozdil tlaku, obr. 6, odkudz rovnovahy sil pusobicich na elernentarni plosku ds, ds, plyne:

I1n = 1) - 1), = 0"(_1 + _!_) (7)or j .: R

j1(, '

kde R, a R'2 jsou polomery kfivosti ve dvou k sobe kolmych rovinach, kolmych k tecne rovine.

Obr. 6 Rovnovaha silpusobicich naelernentarni castzakrivenehopovrchu kapaliny.

Velikost povrchoveho napeti je dulezita na rozhrani tekutin, kdy dochazi ke stykudvou nebo tfi nemisicich se tekutin, pi'ipadne s tuhou stenou.

Ph styku tfi tekutin mohou nastat dva pripady, bud' se na hladine vytvori "cocka"druhe kapaliny (mastne oko na polevce), obr. 7, nebo se druha kapalina roztece po povrchuprvni kapaliny a vytvori velmi tenkou vrstvu (mineralni oleje na vode)

Obr. 7 Povrchove napeti na rozhrani tiitekutin v pripade, ze se nemisi a zeCTu < (CTI2+CT23).

15

a) b)

Ph vypuklem povrchu kapaliny se tlak v kapaline zvetsi a ph vydutem se tlak zmensi,viz obr. 8. Tim lze vysvetlit i kapilarni elevaci (smacive kapaliny) obr. 8a a kapilarni depresiobr. 8b (nesmacive kapaliny) v trubickach maleho pnimeru.

Obr. 8 Kapilarni jevy:a) kapilarni elevaceb) kapilarni deprese.

e) Il~~..nasycenych ..p..:)r je hodnota t1aku par nad hladinou kapaliny, ph nemz nastavarovnovaha mezi poctem molekul opoustejicich kapalinu a vracejicich se zpet.U jednoslozkovych kapalin zavisi pouze na teplote a roste s teplotou. Cim je tlak nasycenychpar kapaliny ph dane teplote vyssi, tim je kapalina tekavejsi. Tlak nad hladinou kapaliny musibyt vyssi, nez je tlak nasycenych par, jinak by mohlo dojit k prudkemu odpareni (varu).Klesne-li tlak uvnitf kapaliny pod hodnotu tlaku nasycenych par dochazi ke vzniku kavitace,viz odstavec 9.3. Vynucene nestacionarni proudeni.

Otazky ke kapitolam 1. a 2.:

1) Jak rozdelujeme mechaniku tekutin?2) Jak rozdelujeme tekutiny?3) Kterymi velicinami urcujeme stav tekutiny? (uved'te jednotky).4) Ktere vlastnosti tekutin jsou v mechanice tekutin dulezite?5) Jaky je rozdil mezi dynamickou a kinematickou viskozitou?6) Jak zavisi viskozita na teplote a tlaku?7) Co jsou to nenewtonske tekutiny?8) V ktere latce je rychlost zvuku nejvetsi: ocel, vzduch, voda?9) Proc pouzivame k mereni tlaku sklenenych trubic 0 prumeru 6 111m a vice?

10) Jak se meri absolutni tlak, barometricky (atmosfericky) tlak, pretlak nebo podtlak?

Vite, ie

- nejlehtf ze vsecn latek je vodik (v plynnem i kepelnem stavu ). Za normelntci: podmfnek je jehohustota p = 0,09 kglm3.

- DruM nejlehti plyn je helium. Za stejnych podmfnek me hustotu asi avojnesobnou p = 0, 18 kg/m3.

- Helium je inertnf plyn, zatim co vodik tvot! se vzduchem tfaskavou smes, jet byla ptfcinou tadykatastrof bal6nu a vzducholodf. Teckou za trenssttentickymi lety vzducl1olodf byla katastrofanemeck« vzducholodi H','"'JDENBVRGna tetisti v Lakelwrstu 5. kvetne 1937.

- Bal6nove /etan! v CechBch me sve zacatky v minuiem stoiett. Vi v roce 1892 vznikla v Praze Ceskaspoletnost aeronauticka pod vedenfm Ferdinanda Wandase a Frantiska Hulky. Spolecnostzakoupila ba/6n nazvany pozdeji .Resset: Podnik/a s nlm pfes seomaeset (Jsp~snycl1 startu. Poroce 1900 se klub rozpadl a vzduchoplavby ustaly. Pozd~ji koupi/ Frantisek Hulka novy bal6n"Praha" a podnika/ s nlm usptMne votne lety. V roce 1908 ve tinencni tisni spachal sebevreidu.

- V "psi jeskyni" u Neapo/e neustete vznikB oxid uhlicity, kte,y je asi 1,5x teUf net vzducti, a vytekBpo dn~ jeskyn~ v nfzke vrstve ven. Proto se clov~k muie v jeskyni pohybovat bez rizika, ale propsy mute navst~va jeskyn~ koneit tragicky.

- Nej/ehti kapalinou je kapa/ny vod!k p == 70 kglm3 (pfi teptote T==- zerc;- NejtM.sl kapalinou je rtut p == 13 590 kglm3

.

16

I). Rozbor (schema):,e,

fa:t.:hlSI

~ho

3

ady'ora

ska10StPo

31611

Ptiklad P 2.1

Tak jako v oceanech s rostouci hloubkou pod hladinou tlak pribyva (viz roy. (1», takv atrnosfere tlak s vyskou ubyva. Na rozdil od vody je vzduch stlacitelny - s tlakem se meniostatni stavove veliciny jako merny objem a hustota.

Stanovte do jake ryse nad povrchem Zeme by sahala atmosfera, kdyby se hustota vzduchus vyskou nemenila a byla konstantni, rovna hustote pri y = Om (hladine more): po =1,225 kg/m', odpovidajici tlakpu = 1 013,25 hPa (toto jsou hodnoty prevzate ze "Standardniatmosfery" tj. modelu atrnosfery pouzivaneho ph vypoctu vykonu letadel, kalibraciryskomeru a p.)

po = 1,225 kg/m'pro p" = ° Pa

Ph = p« ~ 1,013.105 Pa g = 9,81 rn/s'Dano: pro y = °Urcit: Yk = ? m

Absolutni tlak jJ" u nestlacitelnych tekutin (p = konst.) klesa podle prirnky Po = Po - pgy.S vyskou y se tlak vzduchu p, zmensuje, ale soucasne se zmensuje i hustota p.Proto prubeh tlaku nebude linearni, tak jakje tomu v nestlacitelnych tekutinach a absolutnitlak vzduchu s vyskou klesa asymptoticky k nule. 4

Yisttccitetno

nestlccitelncPo-Po

Pi'edpoklady:I. Konstantni hustota vzduchu po.2. Konstantni teplota vzduchu.3. Atmosfera konci ve vysce,

kde absolutni tlak je roven nule.

PoZa uvedenych predpokladu plati rovnicePo - P. = pgy po dosazeni za p" = °

Y' Pi 1,013.105 8400urclme)\ = _' ;::; == 111.gpo 9,81.1,225

Obr. P 2.1

Diskuse vYsledku:Za nasich nerealnych predpokladu nam vysla vyska atrnosfery 0 neco vetsi nez 8 km (~. menenef je vyska Mount E verestu, jehoz vrcholu dosahli horolezci i bez kyslikovych pristroju, cozpotvrzuje, ze atmosfera saha do vetsich vysek). Za horni hranici cele atmosfery je povazovanaryska 35000 km, kde vzduchove castice jeste rotuji se Zemi (tedy jine kriterium nez nase).

Vlivem pocasi se hodnoty Po meni asi 0 ± 5%. S vyskou tlak klesa asi na polovinu na kazdych5,5 km.

17

Dano: T= 37°C,Urcit: v =? (m2/s)

17 == 0,004 Pas,v/v* =?

p = 1 050 kg/rrr'

Ptiklad P 2.2

Ph teplote T= 37°C je dynarnicka viskozita krve 1]= 0,004 Pas. Hustota krve p= 1050 kg/m'.Stanovte kinematickou viskozitu krve. Porovnejte ji s kinematickou viskozitou vody v· priteze teplote.

Rozbor (schema):

Kinematicka viskozita je rovna dynamicke viskozite delene hustotou: \) = ~ .p

zavislost v· (vody) na teplote:177510-6

u" = ,. (111~/s ; °C)1+0,0337. T + 0,00022l. 1'2

Predpoklady:

1) Krev je homogenni tekutina

Rv V , k 11 0,004 3810-6 2/esem: rev u37 =-=--= ,. In sp 1050

voda • 1,775.10-6

069610-(' 2/u = = . 111 S1+ 0,0337.37 + 0;000221.372 '

(kinematicka viskozita vody ph teplote mistnosti ~ 20°C je u ~ 1.1 O-()m~Is)

u = 3,8.10-6 = 55u" 069610-6 ,., .

Diskuse:Kinematicka viskozita krve je pfi teplote 37°C asi petkrat vetSi nez viskozita vody. Tento uda]je nutno brat s rezervou, nebot' dynamicka viskozita krve 17 byla zadana jen pfiblizne na jednodesetinne misto a z reologickeho hlediska je krev nenewtonskou tekutinou a jeji viskozitazavisi i na velikosti tecneho napeti. Krev je suspense, jez obsahuje 40 az 50 %deformovatelnych castic v krevni plazme, hlavne cervene krvinky - erytrocyty, jejichz stiedniprumer je asi 8 urn. Srdecne - cevni system je slozitou soustavou tepen a zil 0 niznychprumerech (aorta rna prumer asi 26 mm, kapilary asi 3 urn) zajist'ujici transport krve a kyslikua zpet metabolicky .xxlpad". Celkovy objem krve je asi 5 aZ 5,5 litru, z toho v srdci byva asi10%, v tepnach asi 15%, v kapilarach asi 5%, v malych a velkych zilach asi 60% a v plicichasi 10%. V cevach 0 0 0,1 mm a vetslm lze krev ovazovat za newtonskou tekutinu.

18

3. HYDROSTATIKA

3.1 Hydrostaticky tlak

'i Na zadnou castici tekutiny, ktera se nachazi v rovnovaznem stavu (klidu) nemohoupusobit tecne sily, nebot' by ji uvedly do pohybu, jak plyne z definice newtonskych tekutin. Toplati pro castice uvnitr objemu tekutiny i pro castice na rozhrani napr. v kontaktu s tuhoustenou. Z toho plyne, ze na tekutinu nachazejici se ve stavu rovnovaznem mohou pusobit jennormalne sily resp. napeti. V technicke praxi se bude jednat vzdy 0 tlak, nebot' jen dokonaleciste a odvzdusnene kapaliny mohou odolavat tahu. Pevnost v tahu specialne neupravenychkapalin je pfiblizne rovna nule a ve vypoctech predpokladame, ze k poruseni kontinuitykapaliny dojde v mistech, kde t1ak klesne pod hodnotu tlaku nasycenych par a dojde zdek varu - zmene faze, viz poznamka 0 kavitaei v odstavei 9.3.

.idajdnoizita

%ednitychslikuit asiicich

Velikost merneho t1aku v urcitem miste uvnitf kapaliny tj. hydrostaticky tlak Ph,nezavisi na smeru a je tedy skalarni velicinou.

Obr. 9 Sily pusobici na vytknutouelementarni castici tekutinynachazejici se v klidu. Y__x

z

Dukaz: vytkneme z tekutiny elementarni hranol - prisma, obr. 9 s trojuhelnikovouzakladnou s odvesnarni dx, dy a vyskou d: a napisme pro nej podminky rovnovahy. Na hranolbudou pusobit sily povrchove - tlakove a objernove napr. tiha. SHy objemove jsou vsak 0 jedenfad mensi sil povrchovych a lze je tedy zanedbat. Kdyby hydrostaticky t1ak nebyl skalar, jehovelikost by zavisela na smeru a oznacme proto tlaky indexy oznacujici smer. Napisme nynirovnice rovnovahy sil pro smery x a y :

p,dA, = pdA sill a

p,.dA,. = pdAcosa

ale dA<= dA sill a , dAy = dAcosa a po uprave dostaneme (ddto Ize pro vest I pro smer

z pootocime-li hranolek 0 90° kolem osy y)

Pc = Pl' = Po (8)COl znamena, ze hydrostaticky tlak je nezavisly na smeru a je to tedy skalar.

Pozruunka: dukaz ncnl z hlediska tuatetuatiky presne [orntulovan. Spravny postup vviaduje vytknutl hranolku(nebo ctyistenu) () hranach Llx. Llv. L1:. urceni strednich hoc/not Px, py. jJz, P na prlslusnych plochach, vypocetpovrchovych a objemovych sil, napsani rovnovainych rovnic a jejich limitovani k nIlIOl:.~·1II rozmerumhranolku. Vysledek by byl fj!:. Tento zkraceny i kdy: formalne nepiesny postup budetne uiivat i (tale. aby sejv:ikatni stranka nezantliova!a matenunickytn poptsent.

Tekutina se muze nachazet bud'to v absolutni nebo relativni rovnovaze, obr. 10, podletoho, zda je nadoba v klidu nebo pohybu vzhledem k absolutnimu prostoru.

19

a} 9 b)9

Obr. lOa) Absolutni rovnovaha tekutiny - nadoba i kapalina jsou v klidu vzhledemk absolutnimu prostoru.

b) Relativni rovnovaha tekutiny - kapalina je v klidu vzhledem ke stenamnadoby, ktera se vsak vzhledem k absolutnimu prostoru pohybuje.

V technicke praxi se caste povazuje za absolutni prostor (s postacujici presnosti)prostor charakterizovany souradnicerni spojenymi se zemskyrn povrehem. Neni-Ii uvazovanypohyb nadoby pfimocary a rovnomerny, pak musime uvazovat, ze na tekutinu, pokud zustalav klidu vzhledem k nadobe, pusobi i setrvacne sily od unasiveho pohybu viz odst. 3.4 c).V tomto pfipade nemusi nastat vzdycky rovnovazny stay.

3.2 Eulerova rovllice hydrostatiky

Obecnym ukolem hydrostatiky je urceni tlaku v libovolnem miste tekutiny, ktera jev rovnovaze, tj. stanoveni skalarniho pole: p = p(x, y, z). Ukol rozlozime do dvou etap.Pomoci Eulerovy rovniee hydrostatiky urcime pfirustek tlaku v nekonecne blizkem sousednimbodu a integraci techto rovnie podel krivkoveho integralu stanovime pak konecny prirustektlaku mezi pocatecnim a konecnyrn bodem ki'ivky.

20

Uvazujeme pfipad relativni rovnovahy, kdy na tekutinu pusobi vnejsi silycharakterizovane vektorem relativniho zrychleni K nebo presneji receno intenzitouhmotovych sil K, nebot' K predstavuje velikost sily pusobici na jednotkovou hmotu.(V pfipade absolutni rovnovahy je K = g tj. gravitacnimu zrychleni a hmotnostni sila je tiha).Zaved'me si dale souradny system pevne spojeny s pohybujici se nadobou. V bode A je tlakp a v bode B vzdalenem 0 di' bude tlak p + dp, viz obr. 11. Pfirustek tlaku mezi obema bodybude zavisly na hustote tekutiny p, intenzite hmotovych sii K a vzdalenosti bodu dr .Hledame tedy zavislost dp = p(p, K , di' ).

Vektor intenzity hmotovych sil muzeme rozlozit do slozek, jez jsou dany jako funkcesouradnic:

Kx = KJx,y,z), Ky = K,.{x,y,z), K, = KJx,y,z).

Rovnez vektor di' rozlozime do slozek dx, dy, dz.

Velikost pfinistku tlaku dp odvodime jako soucet pnrustku ve smeru souradnych os.Pfinistek tlaku resp. rychlost zmeny 8p/ ax ve smeru osy x odvodime z rovnovahyelementarniho hranolku tekutiny 0 hmotnosti dm = p dx dy dz, obr. ] 1.

F

sti).nyalac).

L Je.ap.limstek

silyitouotu.ha).tlakiodydr .

nkce

.h os.rvahy

ObI'. 11 SHy pusobici na vytknutyelementarni hranolektekutiny.

Yf

I

Ii

Ii

dxdfCdx,dy,dz)dm=~dxdydz

X

z

srner x :

ObI'. 12 Rovnovaha sil pusobicichna elementarni hranolektekutiny ve smeru x.

pdydz (p+~ dx)dydz

Rovnovaha sil ve smeru osy x, obr. 12:

pdyd: + K,dlll - (I' + ~.p. dX)dyd: = (i ,c·x

01'P(0/d::: + K txlxdyd: - pdyd: - -' dxdyd: = () ,., axcp _ Kux - p x

Cyklickou zamenou obdrzime pro smery y a zap-=pK"" IC)' .

Celkovy pfirustek tlaku na draze dF bude roven:op cp cp

dp = -dx + -dy + -d:::ex 0/ c::;Vyraz v zavorce je skalarni soucin vektoru K a di , svirajicich uhel 'II, a tento soucin muzemezapsat t pomoci modulu vektoru

Kidx + K,.(0/ + K,.I d: = K cos \lldr = KdF

op-=pK_C::: -

a po dosazeni dp = p(K,dx + K,.dy + Ksdz ), (9)

a dostavame jiny tvar teto rovnicedp = pK coswdr . (10)

Pfinistek tlaku je umerny praci vektoru intenzity hmotovych sil, pi'icemz konstantou umernostije hustota tekutiny.

Ukazky integrace tech to rovnic budou uvedeny v dalsich odstavcich.

21

3.3 Hladinove plochy

Hladinove plochy jsou mista s konstantni hodnotou skalarni veliciny, tj. v nasempripade s tlakem p = konst. Ptirustek tlaku mezi dvema body lezicimi na stejne hladinove plosemusi by! roven nule, coz plati i pro soumezne body, dp = O. Dosazenim do rovnice (9)dostaneme obecnou rovnici hladinovych ploch v diferencialnim tvaru:

KJx,y,z)dx + K_Jx,y.z)dy + K.Jx,y,z)dz:::: 0 . (11)

Hladinove plochy jsou vzdy kolme k vektoru intenzity hmotovych sil K. Dukaz: lezi-livektor di na hladinove plose, napf. v obr. 13 pro bod C, pak rozdil tlaku dp = O.

Dosazenim do roy. (10) dp= 0 ::::pK cos wdr plyne, ze cos Ifl =~o. a tedy If! = Jri2 nebot' p,K a dr jsou od nuly rozdilne,

Ve smeru vektoru K, ktery je shodny se smerem normaly k hladinove plose, roste tlaknejrychleji, nebot'

Obr. 13 Rez soumeznymihladinovymi plochami,jez jsou kolme k vektoruintenzity hmotovych sil K.Ve smeru normaly k hladinovymploch am roste tlak nejrychleji,protoze I dnl < I drBI , kde B jelibovolny bod na soumeznehladinove plose.

3.4 Rozlozeni tlaku v tekutine

&Q.>9.2.dn dr

a) ~~?;t~~~y.~~.~yje charakterizovan hodnotou K = o. Z rovnic (9) a (10) pak plyne, zedp = 0 a po integraci p = konst. tj. tlak uvnitf tekutiny je vsude stejny. U malych objemukapalin - kapicek - to neplati presne, nebot' se uplatni povrchove napeti.

Zvysime-li v urcitem miste tlak, tfeba na rozhrani kapaliny s jinou fazi, zmeni se tlaki v celem objemu kapaliny, coz je obsahem Pascalova zakona: tlak v kapaline se sii'irovnomerne vsemi smery. Toho se vyuziva napr. u hydraulickych zvedaku a lisu, obr. 14.Pusobime-li na maly pist silou Fi, vyvolame na velkern pistu silu J;~ >}~.

Obr. 14 Princip hydraulickeho lisu.

"'-A 2

22

rn:e»

·Ii

p,

ak

:, zeemu

tlaksii'i14.

b) .AJ?~91~tni...~9Y!1Q.Y~h~tekutin nastava tehdy, je-Ii tekutina v kIidu vzhledem kestenam nadoby jez je v klidu, nebo vykonava piimocary rovnomerny pohyb vzhledemk absolutnimu prostoru, viz obr. 10. Pokud povazujerne povrch Zeme za absolutni prostor,pak K = g a slozky vektoru intenzity hmotovych sil nabyvaji tech to hodnot:

K, = 0, K)" = - g, K, = o. (12)

Hladinove plochy jsou vodorovne roviny a nejvetsi prirust tlaku je ve svislem smeru. Lze jejvypocitat po dosazeni roy. (12) do Eulerovy roy. (9):

dp= -gpdy .

Pro kapaliny je hustota p = konst. a v bezne technicke praxi lze brat i g = konst. Mistosouiadnice y zavedeme hloubku h pod hladinou, majici opacny smysl, obr. 15 a pak dy = - dh.Pretlak vypocteme integraci rovnice

Po hf dp = gpf dhPh II

I' po - jJb = gph , (2)

kdeP« je absolutni tlak v hloubce h pod hladinou kapaliny 0 hustote p a Ph je barometricky tlakpusobici na hladine, kde h ~ o. Prubeh absolutniho tlaku i pi'etlaku je nakreslen na obr. 15.Posledni rovnice (2) byla ziskana jiz drive jinym zpusobem, viz odst. 2.2 a) Merny tlak.

y

-hl'·I I _

h

pf et lo k

I p=g~h

Technicke aplikaceObr. 15 Prubeh tlaku v kapaline.

1) S.p\)ji~~.nM()l:>Y, obr. 16. Jsou-Ii nadoby otevrene a kapalina v klidu, musi byt hladiny stejnevysoko, nebot' nad hladinami je stejne velky tlak - barometricky tlak Pb, resp. nulovy pretlaka podle rovnice (2) jsou pretlak p a vyska h spolu jednoznacne svazany. Spojitymi nadobami jei hadicova vodovaha, pouzivana pro prenaseni vysek (hladin) ve stavebnictvi.

Obr. 16 Spojite nadoby.

2) M~f~n.U\~.~.Vv kapalinach obr.2, v plynech obr. 17. Je-li v nadobe plyn 0 hustote p a v U-trubici kapalinao hustote A pak plati rovnice, vyplyvajici z rovnovahy sil pusobicich v rovine

spodni hladiny v U-trubici: P a + goh, = Ps + gp kh .

Absolutni tlak v ose nadoby bude roven P; = Pb + gp kh(l - PhJ) . Protoze P«A a h, == h lzep,)l

druhy clen v zavorce zanedbat. Je-li v nadobe jina kapalina, napi'. voda, a v U-trubici rtut', paknelze druhy clen v zavorce zanedbat.

Pb Pe ~

fe>~s

fl<Obr. 17 Mereni tlaku plynu U-trubici.

s:

Obr. 18 Yznik tahu v komine

3) Komin, obr. 18. Neuvazujeme-li pokles tlaku, ktery nastava ph pohybu, je v ohnisti kamennebo kotle barometricky tlak Pb, nebot' kamna musi byt otevrena, aby byl v dostatecnemmnozstvi privaden vzduch potfebny pro horeni (ptesneji kyslik).

Vne komina plati P, + gPeh = Pb' kde p; je tlak ve vysce h, kde je vyusteni otvoru kominaa je Pe hustota vnejsiho vzduchu. Do vysky h = 100 m lze hustotu pc brat konstantni. Uvnu!komina bude s hloubkou tlak rust pomaleji, protoze hustota spalin PI je mensi nez hustotavnejsiho studeneho vzduchu Pe. Zjednodusime si ukol a uvazujeme, ze komin je nahofeuzavren a rychlost plynu je nulova. Tlak v urovni ohniste bude pak roven

Pi =Pe+gPsh(Pb'

Odstranime-li uzaver komina, vlivem rozdilu tlaku 6p = Pb - P, = g(p" - Pi)hktery je pficinou proudeni v komine.

c) Relativnirovnovaha tekutin nastava tehdy, jestlize tekutina je v klidu vzhledem kestenam nadoby a nadoba se vzhledem k absolutnimu prostoru pohybuje. Je-Ii unasivy pohybnadoby zrychleny je souradny system spojeny s nadobou neinercialni a je treba zavest vlivsetrvacnych sil podle D' Alembertova principu. Intenzita hmotovych sil K je pak rovnavektorovemu souctu absolutniho zrychleni if a dopliikoveho zrychleni a, jez je stejne velikejako zrychleni a", ale rna opacny smysl a = - a" a

K=g+a.

1) J>ljmQ.¢~ry..~n~~j:vY. JqYn.Qmem~. :?ry.chJ~n.Y.P.9.l1yP.vevodorovnem ~I11~rll,obr.zrychleni au = konst. Slozky a modul vektoru intenzity hmotovych sil budou rovny K, = - a,

K; = - g, K, = 0 a K = ~a2 +s' . Rovnice hladinovych ploch, po dosazeni do rovnice

(11), bude rovna -a dx - g dy = 0 a po integraci y = - a x + konst., coz je rovnice roving

paralelnich s hladinou, obr. 19.

24

~nm

h"< ,

, kehybvliv

13)

lsive-a,

vnice

rovm

y

Obr. 19 Relativni rovnovaha kapalinyv nadobe pohybujici se pfimo-care vodorovne s konstantnimzrychlenim.

x

au= konst.

A

B«s:

Tlak v libovolnem bode vypocterne integraci Eulerovy rovnice (9) jez po dosazeni za slozkyK je rovna dp = p( -ady - gdy + 0) .Zvolime-li integracni drahu AB, tj. svislou usecku, pak x = konst. a dx = 0 (p.l "" Pb)

PB 0f dp = - gp f dyP.I h.1

/) IJ - PI> = gph I . (14)

V tomto pilpade tlak roste linearne s hloubkou podle stejne zavislosti jako pfi absolutnirovnovaze, nebot' unasive zrychleni nema slozku do svisleho smeru Ovsem hodnoty tlaku seproti absolutni rovnovaze zrneni, protoze se zrneni poloha hladiny a tim i mistni hloubky.

~) ~ril11Q.¢(lr.Y..u.J.1.~.siyYr.Qyn.()lll~fI1~. ;zry(;111~I1Ypohyb ye syi~.I~I11.<Sl11cru,obr. 20.Smeiuje-li konstantni unasive zrychleni vzhuru, pak dopliikove zrychleni a smeruje dolua slozky vektoru K a modul jsou rovny K, = (I , K, = - (a + g), K; = 0,

IKI = IK,·I = a + g .

llladinove plochy budou vodorovne roviny. Tlak u dna vypocteme po dosazeni do roy. (9)integraci rovnice

PI! of dp = - (g + a)p f dy .II

PietlakP bude po celem dne stejnya

P = P/I - /\ = ( J + - )gph <

gvtomto pripade narusta tlak s hloubkou rychleji nez ph absolutni rovnovaze.

v

( 15)

xObr.20 Relativni rovnovaha kapaliny v nadobepohybujici se pnrnocare vzhuru, ve svis-lem srneru, s konstantnim zrychlenim.

-a3)NacfQ.b<a. rotujici <kolen: ..syis.1.e..osy konstantn] ~h..IQY()lJ.rychlosti, obr. 21.Unasivezryehleni je dostredive zrychleni. Doplnkove zrychleni je fiktivni zrychleni odstredivea = (J) 2 x. Pro castici tekutiny nalezajici se v rovine xy, obc 21 jsou slozky a modul vektoru

K rovny K,. = (!)] X, K,< = - g, K; = 0, K = ~((!)) x/ + g-'. Po dosazeni do obecnerovnicehladinovych ploch (11) dostaneme:

25

a po integraci:(l) 2xdx - gdy = 0

(l) 2 X2

---gy=C2

-Meridianovy rez hladinovou plochou je parabola. Hladinove plochy jsou rotacni paraboloidy .

(16)

(.J=konst

Obr. 21 Relativni rovnovaha kapalinyv nadobe rotujici kolem svisleosy konstantni uhlovou rychlosti.

s:

R

(l)2X2 112

Y---+y --+y2g "2g "

\

Ah .1AH2

Obr. 22 Rovnost vysrafovanych objemu,jez kapalina zaujala pfed rotaci a zarotace.

26

Pro hladinu lze integracni konstantu C stanovit tim, ze dosadime do rovnice (16)soufadnice nektereho bodu hladiny napr. x = 0, y = Yo , pak C = -gyo a rovnice hladiny buderovna

(17)

kde u = QlX je mistni obvodova rychlost. Pokud vrchol teto paraboly neni pod dnem nadobya nevytekla-li behem rotace z nadoby zadna kapalina, pak z rovnosti objemu kapaliny predrotaci a za rotace vypocteme, ze puvodni hladina puli vysku rotacniho paraboloidu. Uvazujme,ze vyska rotacniho paraboloidu je H , obr. 22. Objem rotacniho paraboloidu je jak znarnoroven 112 HA, kde Aje prufez nadoby. Kapalina, jez se za klidu nachazela ve valci hA, tj.objem nad tecnou rovinou k vrcholu paraboloidu, vyplriuje pfi rotaci prostor mezi valcema hladinou a jeji objem je roven rozdilu objemu valce HA a objemu rotacniho paraboloidu - 7JI2HA. Z rovnosti objemu JI2HA = hA plyne h = H12. (18)

Ph vypoctu tlakii dosadime do Eulerovy rovnice (9) prislusne slozky vektoru K:dp = p( (l) 2 xdx - gdy ) . Vhodnou volbou integracni cesty, obr. 21, stanovime tlak v bode B (x - f

= konst., dx = 0)

( " )(l) - x-P B - Pb = gp 2g + Yo = gpy . (19) - v,

4. rfi..fQJ~.~j..n.~qQJ?Y..kQJ~m..:VQQ.9.rq:vt).e.11~P9.Ji.k.111(.9.~Ynenastane relativni rovnovaha. Phvysokych otackach, jako je tomu u odstredivek, je (l) 2 r > > g a hladinove plochy jsou souosevalcove plochy.

6)je

')

byedae,notj.

emidu I8) I~(x I

t!r

9) IPh t

lOSe I1

t!

I:~l

Otazky ke kapitole 3.:1) Je hydrostaticky tlak velicinou skalarni ci vektorovou? Jak to dokazeme?2) Jaky je rozdil mezi absolutni a relativni rovnovahou?3) Jak muzeme vysvetlit Eulerovu rovnici hydrostatiky?4) Co jsou to hladinove plochy?5) Ve kterern smeru roste hydrostaticky tlak nejrychleji?6) Jak narusta tlak s hloubkou v oleji ve srovnani s vodou za pusobeni zemske tize?7) Jak se vyuziva Pascalova zakona v praxi?8) Proc v lete kamna "koui'i" rozdelame-li chen az v polednich hodinach?9) Jak zavisi hydrostaticky tlak u dna nadoby, jez kona unasivy zrychleny pohyb srnerem

dolu, na velikosti unasiveho zrychleni?10)Jak se zmeni rozlozeni hydrostatickeho tlaku u dna valcove nadoby, ktera byla v klidu

a zacala se otacet kolem svisle osy?II) Jake je rozlozeni hydrostatickeho tlaku v kapaline u odstredivek s vodorovnou osou

rotace?

Vite, ie. sizpravidla ani tieuvedomujeme, te iijeme na dne vzdU~f1(!Jhooceenu - etmostery. i kdyi vzduch je pruzracny a tedy neviditelny, byl jako "Iatka" znam jii ve steroveku. Napt.

Aristoteles (384 - 322 pt. Kr.) v trektet« "Fyzika" otse, te sttela je tmene vpted vzduchem, kteryvyplnujeprostor za letfcf stretou a narazf na jeji zadnf stenu (tedy ptedstava analogicka plachetnicihnane vetrem). Podle teto domnenky by byllet sttely ve vzducnoprezdnu nemotny, nebof by zdenebylo nmotne prosttedf, ktere by t/acilo sttelu vpted. K tomuto zeveru aosoe! na zakladenespravne hypotezy, te ptiroda ma strach z prazdnoty - "horror vacuf" - a take proto, te je~tenebylazneme setrvecnost.

Existence vzduchu byla tedy vzata na veoomt jii ve steroveku, ale oasteoe«, ie vzduchpusobf na vsechne tetese a jejich povrch tlakem bylo nutno dlouho dokazovat. Je~te vestfedoveku se te~iI Aristoteles a jeho ucent vetk« veinosti. Co bylo pseno v biblia v Aristostotelovych kniMch bylo povetoveno za absolutnf pravdu a tedy i dtive zminene "horrorvacui". Tfm se vysvetloveio, oro: voda s/eduje pist cerpadla na sect strene. Kdyi ale v 17. stoletfchtelvevoae toskansky zavlaiovat sve vy~e pototen« zahrady ukazalo se, ie cerpadla nenesevel«voduvy~e net do 18 florentinskych loktu (asi 9 m), potom se pfst vzdaloval od vody - vytvotila se"prazdnota". 0 vysvettent tohoto jevu byl poteden tehdy jii stary ale slavny fyzik Galileo Galilei(1564- 1642), ale teprve jeho iak Jan Evangelista Torricelli (1608 . 1647), ktery nekolik mestct:o~etfovaloslepleho Galilea, navrhl pokus, ktery v roce 1643 provedl jeho ptftel Viviani: naplnil rtutisklenenou trubici vice nei dva lokte dlouhou a na jednom konci zatavenou. Po uzavtenfotevfeneho konce prstem trubici obratil a ponotil do nadoby se rtuti a potom prst uvolnil. Hladinartutipokaide klesla, ale vidy jen do vy~ky 760 mm. Nad hladinou vznikl podtlak a ttut byla drienav trubici atmosferickym tlakem, ktery pusobil na hladinu rtuti v nadobce. Vtip pokusu spot/valv tom, te votiu nahradil mnohem tei~i kapalinou a nepruhlednou trubici sklem.

· Torricelliho vysvettent zahady pumpy toskans/<eho vevoay a zavedenl pojmu etmostenck» tlaknezvltezilo rezem. Mel tadu odpurcu driicich se nejen Aristotela. Nektetf se pokouset; i 0 jinavysvetlenf. Teprve Francouz Blaise Pascal (1623 - 1662) nadany a jii v mtedem veku vynikajicfmatematik a fyzik, ptesvedcil v~echny Torricelliho oapiuce. Opakoval pokus nejen se rtuti, aleis vodou a cervenym vinem v trubici atoune 13 m. Voda dosahovala do vy~ky cca 10 m.

· Padnym dukazem existence etmostericeeno tlaku byl pokus, ktery prokazal, ie s vy~kouatmosfericky tlak ubjva. V rovinate patiiske krajine jej nebylo moino provest a proto potMalsveho~vagra Periera, byd/fciho v Clermontu, aby vystoupil na horu Puy de D6me 975 m vysokou,zatimco by nekdo zaznamenal tlak na (Jpati kopce. Pokus byl proveden v roce 1648.

· Vroce1654 nazorne demonstroval (Jcinek tlaku vzduclw magdebursky (devinsky) starosta Otto vonGuericke. Nechal vyrobit dve medene polokoule 0 prumeru 37 cm, jedna byla opattenakohoutkem. Mezi ne vloiil koiene tesneni a vycerpal vzducll Zacl10vai se popis pokusu, vydany r.1672 latinsky v Amsterodamu v nemi se lici, ie ani 16 konf nedokazalo polokoule odtrhnout, alevpustil-Iise kohoutem vzduch, mO/1/je oddelit tlovek pouze rukama. Tah osmi kon/ (nebof osmkoni na druM strane mohl nahradit dobte zapu~teny kul) nestacil k oddeleni "devfnskychpolokou/f"i kdyz je "nic" nespojovalo, pouze vzduch.

27

Vypocitejte tlak a hustotu vody na dne Marianskeho pfikopu v hloubce H = 10912 ma) bez uvazovani stlacitelnosti,b) s uvazovanirn stlacitelnosti vody.Predpokladejme, ze se s hloubkou nerneni teplota, slanost vody imodul objernove pruznosti,Hustota morske vody na hladine po= 1 030 kg/nr', modul objemove pruznosti K = 2,1.109 Pa.

Dano: pro h = 0, po = 1 030 kg/rrr' Po = 1,013.105 Pa, K = 2,1.109 Pa

Pnklad P 3.1

Urcit: a) PH = ? Pab) PH = ? Pa

Rozbor (schema):

t

pro p = konst.pro p:t:- konst.

- Pretj

- WiJ

tl

Uvazujeme-li nestlacitelnou kapalinu, bude p = Alkonst. a tlak narusta podle primky.

U stlacitelne tekutiny se bude s tlakem tj.s hloubkou, zvetsovat i hustota, viz roy. (4)

P,tr,s'up<RI(n2CJa,dotj.

Predpoklady:1) ad a)p= konst., ad b) K = konst.2) Teplota je konstantni.3) Slanost je konstantni.

a) PH - Po = go.H> 9,81.1030.10912 = 1,103.108 Pa,PH= 1,104.108Pa= 110,4MPa.

b) dp --". f" d'h -_ K fP dp__dp = gpdh = K- _.", ,P (I g !'IIP

po integraci a uprave

-h

Obr. P 3.1

Reseni:

Hustota v hloubce H:

_ dv = dp = dpv P K

b) H

Drna

Vi1- r(

= 1030 . 2,1.109

= I 087 kg/m''.P 2,I.I0Y

- 9,81·1030·10912

"- v,- V

I~

- V,L

- Va

.E. = 1,055 rozdil cini 5,5%.Po

28

Zavislost tlaku I' na hloubce h:

P K=> p - Po = Kln- = Kin ,Po K - gPoh

tlak v hloubce HK ,. 2 J . lOy

PH = Pll +Kln = 1,013·10' +2,1·109In-----' -----K - gp"H 2,1.109

- 9,81·1030·10912

PIJ = 1,134· 108 Fa = 113,4 Mra tj. 0 2,7% vetSi nez ad a).

DiskusevYsledku:

Podleocekavani vysel tlak pri respektovani stlacitelnosti vetsi, ale rozdil byl mensi nez 3%. Jeneba si uvedomit, ze i ph uvazovani stlacitelnosti jsme neuvazovali zmeny teploty vodyshloubkou (teplota hladiny je zavisla na rocnim obdobi). Vlivem vetru a proudeni jeu hladiny vrstva vody promichavana a jeji teplota je temer konstantni, pak nasleduje prudkypoklesteploty asi do hloubky 400 m, kde je teplota priblizne 10 "C a pozdeji pomaly pokles.Rovnez jsme neuvazovali, ze modul objemove stlacitelnosti vody je zavisly na teplote a tlaku(napr. pro T = ooe je pfi rnalych t1acich do 5 l'v1PaK ~ 1,9.109 Pa, ph velkych tlacich kolem200 MPa K ~ 3,5.109 Pa. Ph T = 400e a tlacich do 5 l'v1Paje K;::;; 2,2.109 Pa). V lednu 1960Jacques Picard a Don Walsh se v batyskafu "Trieste" ponofili na dno Marianskeho prikopudohloubky se kterou pocitame a narnerili teplotu vody + 3°e a tlak 1 187 at tj. 1,164.108 Patj. 02,6 % vice, nez jsme spocitali s uvazovanim stlacitelnosti.

One24. brezna 1995 japonska dalkove rizena ponorka bez lidske posadky KAiKO dosedlanadno Marianskeho piikopu v hloubce 10 9 J J,4 metru.

Vite, ie· raku 1578 sestrojil dtevenou ponorku Anglican Wiliam Bourne. Prvni (Jspe~ny pokus s arevenou

ponorkou provedl roku 1624 Holand'an Cornelius van Drebbel v Anglii, kdyi plavbou pod vodoupfekonal vzaetenost mezi Westminsterem a Greenwichem asi za tti hodiny. V roce 1771zkonstruoval v Americe ponorku David Buschnell a jiny American, puvodne malft Robert FultonzkouSelve Francii v letech 1797 ponorku "Nautilus" s lodnlm sroubem, pohanenym stale je~te jenlidskou si/ou. Kdyi pokusy na Seine a v Le Havru skoncily (Jspe~ne, mel roku 1800 ptedvestNapoleonovi jejf pouiitl na mori a ptiblfiit se ke kotvfcf anglicke lodi. Ova muii v ponorce v~aknebyli schopni ptekonat motsky ptfliv a Napoleon ztratil zajem i 0 (JspeSnej~f torpedovy clun z roku1801 se sroubem poMnenym 24 muii. Po nevretu do Ameriky zaMjil v roce 1807 parnlkem"Clermont" prvni vetejnou paroplavebni dopravu na rece Hudson.

· Vroce 1817 chtel pledvadet Josef Bozek, mistr z df/en prazske polytechniky, ve Stromovce naVltavevlastnl konstrukci parnfho ctunu. Pro nedostatek penez musel s pokusy pte stat.

· V kvetnu 1841 byl spu~ten na Vltavu kotesovy parnfk "Bohemia" postaveny v pratsM tovemeRustonce. S/ouiil pro osobni dopravu z Prahy do Draicfan. Protoie ve vneve byval nfzky stavvodymuseli bjt peseten dopraveni z Prahy do Obtfstvf dostavnfkem.

· Vroce 1857 byl na Vltavu spu~ten da/~f parnfk "Mecsery", ktery 11I1edpti prvnf plavM v cervenciuvizlna me/cine a 14. srpna tehoi roku se potopil u vreneno nad Vltavou.

· V roce 1865 zaMjil pravide/nou osobnf dopravu z Prahy do Stec/lOvic kolesovy parnlk .Prene"dlouhy 42 m a Siroky 4,6 m pro 600 cestujfcfch.

· PraisM paroplavebnl sootecnost proifva/a obdobf konjuktury i stagnace. oorezov« dokumentacetykajlci se praiske parop/avby je umistene v odbocce Muzea h/avnfho meste Prahy Na vyton:

· Wilhe/mBauer zkou~e/ v /etech 1848-56 tadu ponorek , jei se po prvnlct: jfzdach vetsinou potopily.

29

p y

a muzeme integrovat f dp = - af dyPO P (I

I P (JI'n- = -ay => p = poe' .Po

Priklad P 3.2

Stanovte velikost tlaku P a hustotu p vzduchu ve vysce Yk = 8,4 km za predpokladu, ze sejedna 0 idealni plyn a ze teplota je konstantni. Porovnejte vysledek s pfipadem, kdy jsmeneuvazovali stlacitelnost vzduchu - priklad P 2.1. Zadane hodnoty jsou stejne jako v pfikladuP 2.1.

Dano: pro y = 0, Po = 1,013.105 Pa, po = 1,225 kg/nr', To = 15°C = 288 K,r = 287 J/kgK, g = 9,81 m/s"

Ureit: p =? Pa pro y = 8 400 m.

Rozbor:U stlacitelnych tekutin - vzduchu - bude tlak a hustota s vyskou klesat nelinearne. Tentopnibeh vsak bude zavisly i na dalsi stavove veliCine - teplote.

Pfedpoklady:1) Vzduch se ridi stavovou rovnicip/p = rT2) Teplota vzduchu je konstantni T = To.

Reseni:

Z Eulerovy rovnice hydrostatiky plyne pro absolutni rovnovahudp = =gpdy.

Ze stavove rovnice dosadime za p a upravime

dp = -_K_dYP rT

Pro izotermickou zmenu a = g/r'F» = 9,81/(287.288) = 1,187.10-4111-

1 se rovna konstante

Ze stavove rovniee dostaneme pro izotermickou zrnenup P=- takze - ,-o.)'k - 'I ""5. ,-O.997lJ~ = 045" ku/ 3P k - poe - ,-- e , - b m .

Po P Po Po

Diskuse:

Za predpokladu, ze teplota vzduehu je konstantni, jsme dostali vysledek, ze ve vysce 8,4 km(kde podle pfikladu P 2.1 byl absolutni tlak roven nule) je tlak roven asi jedne tretine tlakuu hladiny more. Ve skutecnosti u povrehu Zeme do vysky eea 11 km (troposfera) teplotas vyskou ubyva (pokud neni teplotni inverze). Ve standardni atrnosfere se pocita pokles6,5°C na 1 km v)rsky, takze na hraniei troposfery je teplota -56,5 °C ave spodni castistratosfery asi do vyse 20 km je teplota konstantni. Skutecne hodnoty teplot se mohou odtechto teplot opet lisit a to dosti znacne.Podle standardni atmosfery je ve vysce y = 8 400 m teplota T = -39,5°C, t1ak p, = 33 640 Paa hustota p = 0,502 kg/nr'.

30

r

o

4. TLAKOVE SiLY

Pro technickou praxi je dulezita znalost sil, kterymi tekutiny pusobi na tuhe steny.Zname-li rozlozeni tlaku P po povrchu steny muzeme sily vypocitat integraci po celempovrchu A:

l = Sf pdA . (20)

Proved'me vypocet tohoto integralu pro nektere pripady absolutni rovnovahy.

4.1 Dno midoby

Ph vypoctu sily na rovinne dno nadoby, obr. 23, vidime, ze barornetricky tlak P»pusobi na volnou hladinu a na dno v opacnem smyslu a jeho ucinek se rusi.

Pb

p

Obr. 23 Vypocet silyna dno nadoby

APocitarne proto dale jen s pretlakem P a nikoli s absolutnim tlakem. Pretlak u dna P = gph. Naelementarni plosku dA pak pusobi sila dF = P dA ~, gph dA . Soucin h dA = dV, coz jeelementarni objem nad ploskou, v obr. 23 vysrafovany. Pak dF gpdi' -;~ g dm '--= dG tj. siladFje rovna tize kapaliny dG nad ploskou dA. Celkova sila na dno je dana souctem tech to silpo celeplose dna A a je rovna tize kapaliny G obsazene v nadobe (mame-li svisle steny):

nte F '; G gphA. (21)Kestejnemu vyrazu dojdeme integraci rovnice (20), po dosazeni za pretlak p :

F = gphSf dA = gphA ... 1

~kmtlakuplotaoklescasti

IU od

40 Pa

Hydrostaticke paradoxon. V obr. 24 jsou nakresleny tri nadoby ruzneho tvaru, obsahujiciruznemnozstvi kapaliny, ale majici stejnou velikost dna A a vysku hladiny v nadobe h . Jak

h

ObI'. 24 Hydrostaticke paradoxon

vyplyvaz roy. (21) bude sila na dno ve vsech pripadech stejna, i kdyz je v kazde tiha obsazenekapalinyjina. Sila na dno nezavisi na tvaru nadoby

4.2 Rovinne stellY

Pocitame opet s pretlakem, nebot' ucinek barometrickeho tlaku se rusi, jak vidimeZ obr. 25, na nemz je znazorneno viko kryjici otvor ve stene nadoby.

Ji

•

(y)

Obr. 25 Urceni velikosti sily a pusobiste sily na rovinnou stenu.

Zvolme stejny postup jako u predchozl ulohy. V hloubee II je pfetlak p = gph= gpsinax, ktery vyvola na plose dA silu

dF = pdA = gphdA = gpdV = dG = gp sin oxdA (22)

Tato sila je: opet rovna tize kapaliny dG v elementarnim objemu dV .= hdA, v obr. 25vysrafovanern, ktery dostaneme sklopenim hloubky h do smeru norrnaly k dA. Soucet techtoelementamich sil po cele plose A je pak roven tize kapaliny G v zatezovacim obrazci, knakreslenem V obr. 25 nad plochou A:

F=G (23) 4Tento zpusob vypoctu lze pouzit ma-li ploeha A jednoduchy geometricky tvar - ctverec, kruha p. Dosadime-Ii do roy. (20) za tlak p ze vztahu (22) pak

F = go sino. If xdA = gpsinaS,. , (24) ")A

kde S, je linearni (staticky) moment plochy A k ose y, ktery lze vyjadrit jako S,. = x]A, kde Xr

je vzdalenost teziste T ploehy A od osy y. Po dosazeni do roy. (24) za S\. 0F = gpsinoxTA = gphTA = PTA, (25)

dostavame jednoduchy vzoree, kde hr je hloubka apr tlak v tezisti ploehy A. Sila na rovinnoustenu je rovna soucinu: tlak v tezisti Pr krat plocha A.Pfiklad 1: Stanovte silu, kterou pusobi voda na stavidlo konstantni sirky b, obr. 26 a:

A = bh , Pr = gph / 2

F = PrA = !_gpbh2

2

h

(26) v-kf

h

b h

ZV}xd

Obr. 26

a)a) Stavidlo - svisla stena.

b)b) Zatezovaci obrazec.

32

h

22)

. 25chtoazci,

:23)kruh

(24)

de xr

(25).nnou

t(26) ~

IIt

~II,(

Ke stejnemu vysledku dojdeme, urcime-li silu F jako tihu kapaliny v zatezujicim obrazci obr.26 b, jehoz objem V = 112 h. h. b

F = gpV = !_gpbh2 .2

Protoze hydrostaticky tlak s hloubkou roste bude pusobiste sily F lezet nize nez tezisteplochy A. Abychom stanovili souradnice pusobiste vytknerne si elementarni plosku dx.dy, naniz pusobi elementarni sila dF. Z momentove podminky k ose y :

FYF = Sf xdFA

dostaneme s pouzitirn vztahu (22) a (24)Sf xdF go sino: Sf x2dA..-'.",---/__ = A = I,.

xF = F gpSiJ1USf xdA S,'./

kde I, je kvadraticky moment plochy A k ose y. Je-Ii plocha A symetricka k ose jdouci tezistema paralelni s osou x pak sila F lezi na ose symetrie. Je-Ii plocha A nesyrnetricka, pakz momentove podminky k ose x

Izepouzitim vztahu (22) a (24) urcitSf ydF gosino. Sf xydAA A Dxy

YF=~F-<'-=-g-}P-S-'iJ-'U~Sf~x-d-~-=

.1

S '."

kdeDn· je deviacni moment plochy A k osam x a y.

4.3 Zakfivene steny

V tomto pripade si nejprve integraci rovnice (20) stanovime slozky F, a F, sily F, obr.~7. dV

.~~·dFy/dA

~dAxdAy

Obr.27 a) Urceni slozek F, a F"sily pusobici na zakrivenoustenu .b) Elementarni ploska sesilami na ni pusobicimi.

a) b)Vytkneme si elementarni plosku dA obr. 27a. Na ni pusobi elementarni sila dF, obr. 27b,kterourozdelime do slozek

dF, = dF cos<.p = pdA cos<.p = pdA\. ,dF,. = dF sin <.p = pdA sin <.p = pdn, .

Z rovnie vidime, ze slozky jsou rovny soucinu pretlaku a pfislusneho prurnetu plosky dA.Vysledne slozky dostaneme opet integraci po cele plose A. Promitnutim steny ve smeruxdostaneme svislou stenu - obr. 27a, pak vodorovna slozka

F, = Sf pdAx = PTA, ,.1

JJ

L

kde Pi je tlak v tezisti a Ax je velikost prumetu Hive steny ve smeru x. Vypocet sily na svisloustenu je uveden jako pfiklad 1).Svisla slozka f: = If pdAy =gpJJhdAy= gpIf dV = If dG = G je tedy myna tize kapaliny

A A A A

nad kfivou plochou, coz lze odvodit stejnyrn postupem jako pro dno s tim rozdilem, ze nyni jeh promenne. Vysledna sila a smer se urci z rovnic

I 2 2 FI"F = VFx + F; , tgc: = F ..c

Poznamka: neni-li nad krivou plochou kapalina. Jako je tomu 1I obr. 28, pak svisla sloiku se pocita opel jako(tho kapaliny nad krivou plochou (neb of tlak I' urcitetn ntlsu: zavisl no hloubcc II pod hladinoul), ale F,. nynlsmeiuje vzhuru jako vztlak.

(27)

V nekterych pripadech je vyhodne pocitat silu na krivou stenu metodou nahradniroviny. Oddelme kapalinu nachazejici se v zakrivenem viku obr. 29a od kapaliny v nadobe

'57 I sz I

1 /

}JG

Obr. 28 Zakrivena stena nad niz nenikapalina je vystavena vztlaku.

Obr. 29 Metoda nahradnirovmy.

a)1

b)nahradni rovinou. Ucinek kapaliny v nadobe nahradime silou na nahradni rovmu F; C~ IJjA .- -Pficteme-li k ni vektorove tihu kapaliny G nachazejici se ve viku dostavame vyslednici F.Neni-li ve viku kapalina, obr. 29b, musime tihu vektorove odecist.

4.4 Hydrostaticky vztlak

Je-li do kapaliny ponoreno teleso obr. 30,kde pro jednoduchost je nakreslen valecek

Obr. 30 SHypusobici na ponoreneteleso.

v

!~A .......s:::::.

A/N

fT s: s:

~

h~A2

konstantniho pnirezu A (coz nemeni nic na obecnosti vysledku), pak ucinek ve vodorovnemsmeru je nulovy, nebot' hydrostaticky tlak je ve vodorovnych rovinach konstantni (pusobi jennamahani tlakem). Stanovme vyslednou silu pusobici ve svislem smeiu:

F = P2A - PIA = gp(h2 -hl)A = gphA = gpV = gm = G , (28)

34

kde p je hustota kapaliny, h je vyska telesa apr je hustota telesa, jez se v rovnici (28) vubecnevyskytuje. Rov. (28) dokazuje Archimeduv zakon: teleso ponorene do tekutiny jenadlehcovano silou rovnou tize tekutiny telesem vytlacene. Pusobiste vztlaku je v tezistivytlaceneho objemu tekutiny.

Je-li hustota telesa PI p, pak teleso pIave na povrchu kapaliny v takove rovnovaznepoloze, aby tiha telesa byla rovna hydrostatickemu vztlaku. Rovnovazny stav muze bytstabilni, indiferentni, nebo IabiIni, podIe toho, zda ph male vychylce z rovnovazne polohy serychylka bude zrnensovat nebo zvetsovat U pIovoucich teles muze nastat stabiIni rovnovahaitehdy, je-li teziste telesa nad pusobistem vztlaku, obr. 31, podminkou vsak je, aby pnisecikplavebni osy p s nositelkou vztIaku, tzv. metacentrum M, lezel nad tezistem telesa T. V tomtopripade tiha G a vztlak F vytvareji stabilizujici moment, ktery s vychylkou telesa zpravidlanejprve roste a pfi vetsich vychylkach klesa az nakonec nabyva zapornych hodnot. Plovoucikouleje v indiferentnim stavu.

Obr 31 Plovani teles. a) Stabilni poloha - metacentrum M lezi nad tezistem T,b) labilni poloha - ph vychyleni vznikne destabilizujici moment,

lezi-li metacentrum pod tezistem,c) indiferentni poloha.

Otazkyke kapitole 4.:I) Na cern zavisi velikost tlakove sily na dno nadoby?2) Co nazyvame .Jiydrostaticke paradoxon"?3)Jak poe itame t1akovou silu na rovinnou stenu? Je nutno pocitat slozky?4) Jak stanovime pusobiste sily ad 3)?5)Jak pocitame sily na zakrivenou stenu? (2 metody).6) Jak pocitame vodorovnou a svislou slozku tlakove sily na zakrivenou stenu?7) Jakse v praxi vyuziva Archimeduv zakon?

Vite, ie- Archimedes(kofem r. 287 - 212 pf Kr.) pattif k nejveWm matematildlln, fyzikum a konstrukterum

staroveku.Prvnf vypotftaf pometne presn« pomer obvodu krutnice ku orcmeru a dokazaf, te jehohodnotafelf v intervalu 3 10171 < 1[ < 3 117 . Sestrojil cerpeato na kapaliny a sypke latky -Archimeduvsrout), kladkostroj, vojensk« metacf stroje aj. K objevu Arcl7imedova zakona se vazetatofegenda: Byf ooveren vieacem Syrakus Hieronem zjistit. zda si z/atnfk pti vyrobe koruny vetvaruvence neponechal cast zlata a nenahradil je sttfbrem. (Hustota sttfbra je 10 500 kglm3

a z/ata19 300 kglm3). Tiha koruny odpovfdala tize kusu zlata. Pti vstupu do vany zcete neptnene

tast vody vytekla a kdyi se ponofil ucftil vztlak. S vyktikem .heureke" (nese! jsem) betelpfekontrolovattinu koruny a zlata ve vzduchu a ve voae.

35

p

Kruhovy otvor ve dne Iici panve je uzavren tzv.zatkovou tyci obr. P 4.1a. Pro jednoduchostpredpokladejme, ze jeji konec rna tvar kuzele.Jak velkou silou pusobi roztavena ocel nasmocenou cast kuzele F~)I? Jakou silou I~ jezatkova tye tlacena do sed la, je-li jeji hmotnost111 = 600 kg a je-li H = 3 In, h = 0,3 In a R = 0,1In.

Dano: III = 600 kg, R = 0,1 m, h = 0,3 m,H=3mUrCit: Fpl = ? NFt=?N

Ptiklad P. 4.1

~! i

• I. I

: /. \iI

i.

--=

Rozbor (schema):Vysledna vodorovna slozka sily, kterou pusobiroztavena ocel na plilSt' kuzele je rovna nule(to plati i pro celou zatkovou tyc) (viz obr.P 4.1.b).

Svisla slozka sily, kterou pusobi roztavenaocel na smoceny plast' kuzele se da vyjadritjako tiha kapaliny nad uvazovanou plochou obr.P 4.Ic. Sila, kterou je tye stlacena do sedla jerovna rozdilu tihy tyee a ferrostatickeho vztlaku.Predpoklady:1. Kuzelove zakonceni tyee (skutecne je polokulove).2. Kuzel doseda do otvoru prave v polovine sve vysky h.3. Hustota roztavene oceli p = 7 000 kg/m".

H

Obr.P4.la

*- b)

Reseni: ObI'. P4.1 bSHu na smocenou east plaste kuzele spocitamejako tihu oceli ve vysrafovanem rotacnimobjemu V, obr. P.4.I.c slozeneho z duteho valceo objemu: Po

objemu vzniklemu rotaci pravouhleho trojuhelnikas odvesnami hl2 a R12, resp. polovine objemu duteho

valce 0 vysce h12: V2 = .2_1tR2h16

V = v: + v = J._rcR2(H _!2) + .2_rcR2h = 3rcR2 (H - !...h)

I 2 4 2 16 4 4

36

ObI'. P 4.1 c

j- r~ 9 3X,( 1 ~'pI =gpr = ,81.7000.4.0,1" 3-4°,3) =4732 N.

Sila, kterou je tye tlacena do sedla , je-li panev naplnena:F, = G - J~}I = gm - FI'I = 9,81· 600 - 4732 = 1154 N.

Diskuse rysledku:Ke stejnemu vysledku lze dospet matematicky narocneji integraci elementarnich tlakovych silpo povrehu srnocene casti plaste kuzele, resp. tyee. Silu na zatkovou tye nelze pocitat jakotihu kapaliny vytlacenou celym telesem, nebot' na spodni cast, zakryvajici otvor 0 polorneruRI'2, obr. P 4, 1c, pusobi tlak po, ktery je mensi nez tlak u dna.

Priklad 4.2

Dve otevrene valcove nadoby 0 stejnem prumeru /) jsou spojeny potrubim 0 prumeru d, vekterem se nachazi pist, ktery muze byt ruzne tvarovan. Obe jsou naplneny rtuti do stejne vyse.Jak velkou praci W musime dodat, aby se pi sty posunuly 0 delku I ') Jak velka sila pusobi napisty na konei posuvu?

Dano: D = 40 mm, d= 20 mm, S = 40 mm, 1= 0,1 m, H = 60 mm, p= 13600 kg/rrr'UrCit: praci W = '), sily F, = ?, Fb = '), F; = ')

Rozbor (schema):Mezi stenou pistu a potrubim je vule(i kdyz velmi mala), proto na pocatkupusobi na pist pouze svisla slozka,vodorovne slozky sily jsou v rovnovaze,bez ohledu na tvar pistu. Posune-li sepist doprava hladina v leve nadrziklesne a v prave stoupne - proti pohybubude pusobit vysledna vodorovnaslozka tlakove sily, kterou je nutnoptekonat.

o ovi

II \7

5 l If----·-I-'----i H,

~t- -r9)~-'--,~ _l ! L_l x

C~ft_d/1_Pfedpoklady:Pohyb pistu je velmi pornaly, bez treni, prutokvUHmezi pistem a stenou potrubi je zanedbatelny.Silypocitarne jako v hydrostatice.

P 4.2

Reseni:

P' I d ,h posuvu pistu 0 x se hladiny vychyli z rovnovazne polohy 0 ±..I' = x( J))-' Vysledna

vodorovna slozka sily na pist nezavisi na tvaru pistuxd' " d4

F, = flP-i = gp[(H + Y) - (H - y)] ~- = 2gpy ~- , dosazenim zay: F, = ; gp D: x

se Ill,elli.ad nuly v pocateeni poloze (x = 0) do maxima na konci posuvu (x = I). Praci proto

37

stanovime integraci. Pro posunuti pistu 0 dx, nachazi-li se v odlehlosti x od pocatecni polohyjepocatecni prace dW= Fxdx.

(TrIP 1 rrd3) nd? ( 1d) (1 00")b) Fyb= gp -s+-- = gp-s 1+-- = F. 1+-.~ = [68·1167 = 196 N.4 2 6 4 3 s .'" 3 0,04 ' , ,

Ivysledna sila na pist je prakticky nezavisla na tvaru pistu (±3%). Hladiny v nadobkach kolio ± 25 mm. Kdyby byl pist pohanen klikovyrn mechanismem, konal by vratny pohybsetrvacne sily, zavisle na otackach, by uz nebyly zanedbatelne, viz. kap. 9 Nestacionarnproudeni.

.c~l!w.v~.pr~~~pakje:

fl 1[ d4fl 1[ d4. 1[ 00,,4

W= F.dx=-gp- xdx=-op_/2 =-981·13600·-'---0 [2 =0105Jo x 2 D2 0 4° D2 4' 0,042"

.S.~IY.IJ:~..p.~~~na konci posuvu:

Vsechny vodorovne slozky jsou stejne:

xd? 0 0'"2 (0 0") 2 ( I) 2Fx=-2gpy= 1[, - 9,81·13600· _:___.::.0,1=2,10N,kdey= !:_ I.4 2 0,04 D

Svisle slozky (Archimeduv zakon):

nd? 1[0,022

a) Fya= gp-s = 9,81· 13600· 0,04 = 1,68 N.4 4

Fa= ~Fx2+ Fy:= ~2,102 + 1,682 = 2,69 N.

r; = ~2,102 + 1,962 = 2,87 N.

c)

[red2 xd? d 1 red

3] red 2 1 dId .. I dF =gp -s+----- =gp-s(1+-----) = l' (1+--)=

ye 4 4 2 2 6 4 2 s 3 s .''' 6 s

= 168(1 +.!... 0,02) = 182N, 6 004 ',

Fe = ~2,102 + 1,822 = 2,78 N.

Diskuse:

38

5."POTENCIAL INTENZITY HMOTOVYcH SIL

Chceme-li stanovit tlak v bode B, obr. 19, pak integrujeme Eulerovu rOVI1lCIhydrostatiky podle kiivky spojujici body A a B:

Pllf dp = Pll - PI = P f (K,dx + K,.dy + K=u=).JliI .Ill

Z teorie krivkovych integralu vime, ze vysledek integrace nezavisi na draze, je-li vyrazV Z3YOrCeuplnyrn diferencialern skalarni funkce U(x,y,=)

dU = K,ux + K,.(6: + K=d= = up .. p

(29)

Tuto funkci nazyvame potencialem intenzity hmotovych sil (resp. potencialem relativnihozrychleni).

a) Je-li dana potencialni funkce U = (l(x,Y,=), pak lze prirustek tlaku stanovit snadno jakopiirustek potencialu nasobeny hustotou, aniz bychom museli resit krivkovy integral, nebot'

JIB (IBf dp =P/I - VI =P f dU =p(U /J - U;). (30)1'.1 C·.(

Slozky intenzity hmotovych sil pak vypocteme z rovniee

a{/K =-

.v ....... 'eX"au

K,=(~)-'

a{/K = (31 )

"'c=nebot' plati

dl} = up = K,ux + K,.L6/+ K=u=p .

a soucasne~(f ~ll ~llau (. I (. I oi. d=-(X+-(I/+- =ex (~I" C::

Rovnice (31) dostaneme porovnanim obou poslednich rovnie.

b) Jsou-li dany slozky vektoru intenzity hmotovych sil

K = K (x ): =).x x'" K, = K, (x,y, =); K = K (x )! c)= = .. , ,-ptame se, zda v tomto piipade existuje potencial Utx.y.z). Je-Ii UU uplnym diferencialem, pakpro smisene derivace plati rovniee

(32)=~ ~ ,c:ycx "" 'c,=cy

Vezmeme-Ii v uvahu roy. (31) dostavame pro existenei potencialu i relativni rovnovahy tyto ti'ipodminky:

oK, = oK,.oy ox (33)

3K_ (~K.v--_--

e= oy ex "'c::

39

x

Ptiklad P. 5 .1

Stanovte potencial intenzity hrnotovych sil pro pfipad relativni rovnovahy, kdy nadoba rotujekolem svisle osy uhlovou rychlosti OJ = konst., za pusobeni zrychleni zernske tize g.

Reseni:Slozky intenzity hmotovych sil

K = au = 0) 2 X K = au = _ g K _ = au = 0) c.: =>x Ox )' ay 0=

dU=alxJX - gdy + OJ2zdz. Integraci dostaneme potencial ve tvaru (pro x = y =: = 0 U = [fo).(J)2 ~ ~ (J)2r2

U - Uo = -:;-(x- +:-) - gy = -,,- - gy.... -

Dano: OJ = konst., g = konst.

Rozbor (schema):

Na kapalinu rotujici spolecne s nadobou jakotuhe teleso pusobi vedle sily tize jesteodstrediva sila. Ph rotaci kolem svisle osyrnuze nastat relativni rovnovaha a tedy existujepotencial intenzity hmotovych sil. Vzajemnavazba je dana rovnicerni (31):

Predpoklady:1) OJ = konst., uvazujeme uz ustalenou rotaci(castice kapaliny v relativnirn klidu).2) g = konst.3) p= konst.

2.wx

Obr. P 5.1

Na velikosti integracni konstanty pfilis nezalezi, nebot' vzdy pocitarne s rozdily potencialu.

V tornto pripade se potencial sklada ze dvou slozek Uf!. = -gy coz je potencial zrychleni2 2

zemske tize a U(i) = 0)2 (X2 + Z2) = 0)2 ,.2, coz je potencial odstredive sily.

Protoze plati roy. (29) dU = dplp budou ekvipotencialni plochy U = konst. shodnes hladinovymi plochami p = konst. V tornto pripade dostanerne nap f'. rovnici volne hladiny vetvaru:

Diskuse yYsledku:

" "e=r:y = -,.,- +Yo, tj, rotacni paraboloid,

...g

40

p

a

Priklad P.5.2

Jaky je stabilni tvar rotujiciho velkeho objemu stejnorode kapaliny (p = konst.), jsou-li jejicastice pritahovany ke sttedu gravitacni silou neprimo umernou kvadratu polorneru R.

Potencial gravitacnich sil, vztazen k jednotce hmotnosti, lze vyjadtit rovnici VI = K 111 , kdeR

xje gravitacni konstanta, 111 celkova hmotnost kapalin a R je vzdalenost castice od streduceleho objemu (je pocatkem souradneho systemu). Pro potencial odstredive sily jsme

, ,

v prikladu P 5.1 odvodili vztah U2 = (J) ~.- , kde 0) = konst. je uhlova rychlost rotace a r je

kolma vzdalenost od osy rotace y. Porovnejte dosazenevysledky s tvarem Zeme.

. Kl1IDano (II =-- R

(J) =r:U; =--.- ..,

Urcit: U - 1I/ I lIJ = konst., porovnat s tvarem Zeme.

Rozbor (schema):Tvar rotujiciho objemu kapaliny stanovimejako hladinovou plochu potencialuhmotnostnich sil U = konst. Abychom mohliporovnat nas teoreticky vysledek prohomogenni kapalinu (Zeme neni homogenni I)uved'rne, ze poloosy Zeme Ro = 6 356 km, Rill",= 6378 krn, go = 9,832 m/s" a (i) = 7,2910-5 S-I.

(poznamka: hvezdny den ma 86 164 s. col: jemene nez soucin 24.60.60).

y~wI....

go~

Ror=Rcos'f c.,}r

~

Rmax X

Obr. P 5.2

Predpoktady:I) (1) = konst. je relativne mala.~)p= konst.3)male zplosteni.

Reseni:

..., ..., .., ..., ...,

U l ! T / K 117 (J) - r: K /11 cos (j) (J) - r: K 111 (J) - 1:J' , C-' k,= I + l , = -,- + -- = + -- = -- +- '-- cos - <p = = OI1Sf"- R 2 r 2 R 2

tj. rovnice osove syrnetrickeho telesa - sferoidu. Konstantu C urcime z teto rovnice napsane

pro .severni pol" kde tp =, 7r2 a cos cp = 0, R - Ro: C = K 111 .

R"Protoze nername danu hmotnost 11/ vyjadrime si zrychleni na potu ,\!,o (kde r = 0) jako derivacipotencialu U, ve smeru R

KI11 ,- -,- => K 111 = g.J(~

R,~

41

Rovnice povrchu rotujici kapaliny budeR2 2gl) n ()) 0 '--- + - R- COS" en = g RR 2 'Y 0 U

a upravime ji na takovy tvar, abychom mohli urcit Rlllax: (/) = 0, COS(/) = 1

tj. kubicka rovnice pro RIII(lx,

Lisi-li se sferoid jen malo od koule pak lze vyjadrit R,,"v/Ro ~ 1+ ,1a A stanovime z rovnice

()) 2 Ro1+--(1+df = 1+d

2gooznacme

())~1(,a=---

2gn

protoze A « 1 lze zanedbavat cleny s ,12 a .13, pak

1+ a(J + 3,1) ~ 1+ Ad

1+ 3.1 ~-a

Rmax ~ Ro(1 + 1 ) .(l/a)-3

Zplosteni sferoidu s = Rmax - Ro = 1Ro (l/a)-3

Diskuse yYsledku:

Z los v iZ v 6378-6356 1 000346P ostem erne c = - = -- = ,6356 288,9

Za nasich predpokladu je zplosteni Zeme asi polovicni nebot'a = ())2Ro = (7,29.10-5

)2 .6,356.106 = _1_ = 00017182go 2·9,832 582,1'

a teoreticke zplosteni c = 1 = 1 = 11/a-3 582,1-3 579,1

Tento pomerne znacny rozdil je zpusoben tim, ze jadro Zeme (NiFe) rna mnohem vetsihustotu nez zemska kura (SiAl) a tim, ze jsme neuvazovali vzajemne pritazlive sily mezicasticemi.

42

p

HYDRODYNAMlKA

Zakladni pojmy.

Pohyb tekutiny nazyvame tecenim, tokem nebo proudenim Proudeni je ve skutecnostivzdy prostorove (3 rozmerne), ale v nekterych pripadech pro usnadneni reseni je povazujemeza ro\,il1l1~ (2 rozmerne), nebo dokonce za 1 rozmerne, prevazuje-li jeden rozrner nadzbyvajicimi dvema, jako je tomu ph proudeni v potrubi.

Kazdy pohyb tekutiny nekdy zacina a nekdy konci, tj. meni se s casem. Takoveproudeni je neustalene tj. nestacionarni. Jestlize v prubehu nami uvazovaneho kratsihocasoveho intervalu se proudeni nemeni nebo se meni jen nepatrne, Ize je povazovat za ustaJenetj. stacionarn] nebo v druhem pripade za kvazistacionarn!

Budeme-li sledovat pohyb urcite east ice tekutiny, COl .Ie analogicke vysetrovanipohybu hmotneho bodu v mechanice tuhych teles, pracujeme tzv. Lagrangeovou metodou.U teto metody narazime zpravidla na neprekonatelne matematicke potize. Proto se castej:pouziva Eulerova metoda, jez sleduje proudeni v urcitem miste (napi zmenu rychlosti, tlakua p.) jimz protekaji stale jine castice tekutiny.Trajei<t()[ie.isou cirahy. eilstic. tekutiny Ziskali bychom je fotograiovanim .ioznacenych' castictekutiny dlouhodobou expozici. .Uznacene " castice se ziskaji bud tak. ic v urcitem miste napr.obarvime casttct kapaliny. nebo ohrejeme vzduch (zmeni se index /011111 svetla) ClP, Trajektorie Izeziskat i zavedenltn castic odlisujicich se nejak od proudlci tekutiny. jako napi: jemne bukove piliny.nebo nenapenene polystyrenove kulicky ve vode. nebo olejove par)' - ,. bili ((\''/11'' - zavedeny doproudu vzduchu v kourovem tunelu.Proudnicejevektorova ~cira \' rychlostnim poli - vektory rychlosti .ISO II k proudnici v kaidem bodetecne. obr. 32. Proudnice ziskame fotografovanim .oznacenych" castic tckutiny kratkou expozici.pfiGbnz pocet takovych castle v proudovem l'" li 1I111sibit dostatecne vclikv. Nedostaneme spojitoucaru.!1_vbrzvelky pocet kratkych tisecek. [e: pak plynule spojime. Trajektorie a proudnice jsou vidyshodne ph stacionarnlm proudeni. Ph nestacionarnim proudeni .lSOIl trajektorie zpravidla rozdilneod proudnic. V1

Obr 32 Proudnice

"2El11isni ~~ra. PI)'nul):'111pfivodem barviva v urcitem miste proudoveho flU le (viz Reynoldsuv pokus.kup. 8), nebo plynulym zavadenlm casticjinych vlastnosti net ma tekutina. 1701)/'. dym do vzduchu. sevyvot! spojue vlakno. zretelne se odlisujicl od okolni tekutiny - emisni C/IrO. Emisni cara spojujepolohy vsech castic tekutiny. jei postupne prosly urcitym bodem proudoveho pole,Ph stacionarnlm proudenl jsou trajektorie. proudnice CI emisnt c<alY shodne. PPi nestacionarnlmprouden! jsou obecne (VIa cary rozdilne. v.l!iimkoll jsoll zviastni pNp(/(~\' nesf(/cionarniho prolldeni,kely smer tychlasti je stale sfejni 0 meni se pOllze jeii velikosl napF /Jo/'olelni proud. pralldeni pokoncenfrickj'ch kruznicich - vir ap.Proudoya trlllJi<;~je pomysina trubice v proudovem poli, jejiz pIa!;t' Je tvoren proudnicemi, jezprochazeji uzavfenou kfivkou, obc 33. Protoze je rychlost teena k proudnicim, jsou normalne

ObI'.33 Proudova trubice

V,=Onslozky rychlosti 1'" na plasti proudove trubice vsude rovny nule a plastem tedy neproteka zadmitekutina, Tato fiktivni trubice ma z hlediska proudeni stejne vlastnosti jako realna trubices tuhymi nepropustnymi stenami.PX()llc1ove,yia.k.nqje hmotny obsah proudove trubice,

4.3

6. STACIONAANI JEDNOROZMERNE PROUDENI IDEALNINESTLACITELNE TEKUTINY

V teto casti se budeme zabyvat pouze jednorozmernyrn proudenim tekutin za pusobenivnejsich sil. Ph proudeni musi byt splneny zakladni fyzikalni zakony: zachovani hmotnosti,hybnosti a energie. V mechanice tekutin se tyto zakony pouzivaji ve zeela urcitem tvaru,integralnim nebo diferencialnim, ktere si v dalsim odvodime.

6.1 Zakladni rovnice

Integralni tvary:

Uvazujeme pnitok nestlacitelne tekutiny (p = konst.) elementarni proudovou trubici,obr. 34. Nebudeme sledovat pohyb urcite castice tekutiny, nybrz si z proudove trubicevytkneme urcitou cast - kontrolni oblast - vyznacenou cerchovane a pomoci bilancni rovnicesi popiseme prutok touto oblasti. Protoze stena proudove trubiee je tvorena proudnicemi(ryehlost je v kazdem bode tecna), neproteka plastern proudove trubice zadna tekutina (jakou tuhe steny potrubi). Tekutina priteka do kontrolni oblasti pouze vstupnim prurezem A,a vyteka pouze vystupnim prurezem A]. Ve vstupnim prurezu 0 velikosti A, je rychlost I'"

kterou s ohledem na to, ze predpokladame idealni tekutinu a maly prurez, muzeme povazovatza konstantni po celem pnifezu. Podobne predpokladame, ze i vystupni rychlost I'] jerozlozena rovnomerne po celem vystupnim prurezu A].

kantr In!'ablest--- - --- .

.-'

e)

V1

'l!:._ ._.b}

Obr. 34 Cast proudove trubiee, jez tvofi kontrolni oblast pro odvozeni integralniho tvarurovnice kontinuitya) plynula zmena prurezu b) nahla zmena prurezu.

Za jednotku casu protece oberna prurezy stejne mnozstvi nestlacitelne tekutiny tj. hmotnostnitok je stejny

(kg/s)rill = ti12 ,

pAjVj =pA::,V] ,

Ajll/ = A2V] = ~T. (m3/s) (34)Z posledni rovniee tzv. rovnice kontinuity plyne, ze soucin prurezu a ryehlosti je pro vsechnyprurezy stejny a je roven objemovernu prutoku 1;' .

I Ve velkem prui'ezu bude tedy mala rychlost a v malem prurezll velkit Iyehlost, Iobr. 34. Je-li proudeni stacionarni je pnitok nezavisly na case tj. 1:' = konst. a rovnieikontinuity lze psat ve tvaru

44

A . I' =~;. = konst. (35)Ph nestacionarnim proudeni, jez je naznaceno na obr. 35, kde pist vykonava vratny

pohyb a jeho rychlost a tedy i objemovy prutok jsou funkci casu I' c= l~'(I) plati rovnice (35)jen pro urcity okamzik, resp.

v

Obr 35 Rovnice kontinuity plati ph nestacionarnim proudeni jen pro urcity okamzik.

Poznamka: pi! odvozettl rovnice kontinuity jstue IIIId-y picdpokhulali, ~e niezi obeiua prurezv A) a A:; ~iulnlihtnotnost 11e1'::lIik(1 alii nezanika, ze necxistuji ~lil"/(; jil1l! nioinosti pritoku uebo odtoku tekutinv ne:uvuzovanvnti pruiezv a I' pripade, ze se jednt) (i kapalinu, ::e nedojdc k pretrieni proudu a ke vzniku par(kavern). Dale piedpokkukune, ze I' UI'u::lJI'l1IleJII objemu tuezi prurezy . J I a .1: uedojde k akumulaci (neboubvtku) htuotnosti, co:: II nestlacitelnvch tekutiu niu:e nastat ncni-li prure: zccla vvplneu kapalinou 0 hladina.II' ::I'ec/li(nebo klesa), obr. 36a. U stlacitelnvch tekutin se mu:e hustota p tuezi obema prurezy menit a tedyik((v:je prure: tekutinou I).plnCI1, mu:e dojit k akutnulaci jestli:e rOSIe hustota s casem tj. cp / ct ) 0 obr.

36h. I' obou pripadech naznacenych na 01,1'. 36 bude vvtekajici mnozstvi liI,IIIeII,() ne: piitekajlci tit.

()lunotnost L.\ Iii, je: se akumuluje inez! vstupnim a vvstupnitn prurezem.

a)Obr. 36 Mezi vstupnim a vystupnim pnlrezem dochazi k akumulaci tekutiny:

a) zvedanim hladiny kapaliny, b) rust em hustoty plynu.

b) 2~k.()I1.~(lclWY~I~i.energie. .13.~rll()ll.lIi()ya. rovnice ';Zakon zachovani energie je ve fyzice formulovan jako prvni veta termodynamiky.

Aplikujeme ji na stacionarni prutok nevazke nestlacitelne tekutiny kontrolni oblasti, obr. 37.

Obr. 37 Soustava potrubi, cerpadla a vymeniku tepla uvnitf kontrolni oblasti pro odvozeniintegralniho tvaru zakona 0 zachovani energie.

45

(36)

V ni je tekutine za jednotku casu dodavana mezi vstupnim prutezem 1 a vystupnim prutezern2 mechanicka energie cerpadlem Wa tepelna energie Q ve vyrneniku.

Zmena celkove energie soustavy L1E = E2 - E, je rovna souctu privedene tepelne energieQ >0 (odvedene teplo < 0) a pfivedene rnechanicke energie W. V technicke praxi se dodavanaprace (napr. cerpadlem, kompresorem a p.) bere jako zaporna, nebot' u plynu se ph stlaceniobjem zmensuje. Proto dodavana energie W < 0 je zaporna a musime ji brat se znamenkemminus:

Celkova energie tekutiny E se sklada z energie vnitrni U, polohove Fp, tlakove Es a kinetickeEK:

E = U + Ep + Es + EK. (37)Uvedene rovniee (36) a (37) se vztahuji na celkove mnozstvi tekutiny III protekajici systemem.

Pfi vypoctech se vsak vetsinou praeuje s mernou energii I!, coz je podil energietekutiny E a jeji hmotnosti m

e = Elm = it + ep + I!s + I!K ,

kde u je merna vnitrni energie, ep merna polohova energie, es merna tlakova energie a eKmerna kineticka energie ve vysetrovanem bode. Vnitrni energie je u kapalin a idealnich plynuzavisla pouze na teplote u = Cv T, kde Cv je merna tepelna kapacita tekutiny pri stalem objemuaT termodynamicka (absolutni) teplota. Merna polohova energie el' je rovna praci potrebnek premisteni castice tekutiny 0 hmotnosti 1 kg ze zakladni roviny do vysetrovaneho bodu.Y gravitacnim poli je ep = gy, kde y je svisla vzdalenost bodu nad zvolenou vodorovnouzakladni rovinou. Merna tlakova energie je rovna praci potrebne k protlaceni casticeo hmotnosti 1 kg idealnim pistem (bez treni a netesnosti) do prostoru s tlakem p. Prace jerovna soucinu sily F a drahy pistu I: Ws = F.l = p.A.l = p. V, kde silu F jsme vyjadrih jakosoucin statickeho tlaku P a prurezu A. Soucin pnirezu A a drahy I je roven objemuV protlacene castice 0 hmotnosti m = 1 kg = pV. Z teto posiedni rovnice plyne, ze f' ~ 1 kg.pa tedy merna tlakova energie es = Wsll17 = p. J:/(p. V) =, p/p. Merna kineticka energie eK .~ I'.? 2.

Samozrejme zavedeme i merne dodane teplo q a mernou dodanou praci IV <0.Dosazenim vyse uvedenych vztahu do rovnie (36) a (37) dostaneme:

(38)

Pro izotermni proudeni bez pfivodu tepia ( q = 0) a mechauicke energie (H' = 0) budeteplota T = konst. (u, = U2) a dostavame Bernoulliovu rovniei pro castici tekutiny 0 hmotnosti1 kg:

(39a)

Delime-li rovruci gravitacnim zrychlenim g, dostavame Bernoulliovu rovruci pro casticitekutiny 0 jednotkove tize a kazdy clen rna rozmer delky:

P \)2 p,,,~Yl +_1 +_1 =Y2 +-< +_-_.=h: =kollst.

pg 2g pg 2g(39b)

Prvni clen nazyvame polohovou vyskou, druhy tlakovou a treti rychlostni (kinetiekou) vyskou.

Pri stacionarnim proudeni idealni nestlacitelne tekutiny v homogennim gravitacnim poli jesoucet polohove, tlakove a ryehlostni vysky konstantni.

46

Prj proudeni ve vodorovnem smeru je y, = Y2 a polohova energie se nemeni, Phproudeni plynu, jez maji malou hustotu, je polohova energie zanedbatelna vzhledemk zbyvajicim clenum. V obou pripadech pak zustava v Bernoulliove rovnici jen tlakovaa rychlostni vyska. Vynasobirne-li nyni roy. (39b) clenem gp dostaneme Bernoulliovu rovnicipro castici tekutiny 0 jednotkovem objemu a kazdy clen rna rozrner tlaku:

,,2 I'~

PIS + pf = P2S + p-;- = Pc ' (39c)

kde Pc je celkovy tlak a ps je staticky tlak v uvazovanem miste. Staticky tlak se meii tak, zeusti otvoru odberu tlaku je paralelni s proudnicemi, obr. 39a a neni zavisly na pohybu tekutiny.Velicina pv2 /2 = q je kineticky tlak. Ve starsi ceske literature byla oznacovana jakodynamicky tlak. Podle doporuceni CSN 01 13 03 z r. 1979 je nyni tennin dynamicky tlak p» =

pc - Ps = q.s rezervovan pro rozdil celkoveho a statickeho tlaku. U stlacitelnych tekutin je Pd> q nebot' s rostoucim tlakem roste i hustota p. Koeficient s korigujici vliv stlacitelnosti jevzdy vetsi nez 1, pouze pro nestlacitelne tekutiny je s c= I a kineticky tlak je totoznys dynamickym. 0 rneteni celkoveho tlaku viz odstavec 6,2 Mereni rychlosti. V dalsim textubudeme staticky tlak vetsinou oznacovat pismenem l' bez indexu v, stejne jako v rovnicich(38), (39a) a (39b).

Poznatnka: niodelu nevazke tekutiny tnuienu: prt vvpoctech pouiit vsude lam, kde je disipace energie mala.itechto pripadech se vypoctene hodnotv nebudou pNIi,I; lisit od hoduot skutecnych a hodnoty opravnychsoucinitelu jimi: korigujente teoreticke hodnoty budou blizke jet/niece. Jedna se napi: a nterenl rychlostitekutiuy pontoci Pitotovy nebo Prandtlovy trubice a jim podobnych sond. nebo vytok otvorem v tenke stenetuuloby - urcenl vytokove rychlosti a p. Tento model neni vhodny pro vysetrovan! proudenl realm! (vazke)tekutiny I'potrubi, nebo pro vysetrovani obtekani teles napr. pro urceni odporu. I' techto pripadech nenidisipace energie zancdbatelna, odchvlky skutecne rychlosti od teoreticke bv bvlv :::III1C'17e, korekcni soucinitelhv se znacne lisi! od jednc. Je-ll korekce Padm'e stejne velka jako skutectut velicina. ttebo dokonce vetsi,srec/ci 10 0 ncvhodnosti pouiiteho ntodelu tekutiny (viz. kap. 8), U obtekauvch ieles nevazkou tekutinoubvchotu dostali nulovy odpor, co: odporuje nasi zkusenosti. I'c vetslch vzdalettostech od povrchu telesa (1./.tuimo iuezni vrstvu vi: kap. 1-1)jc vliv viskozitv tual». takie rozloieni tlaku /:;1' Opel pocitat poutoci iuodeluuevazke tekutiny.

c) 2~~ClI1 zachovani hybnosti .. 1mpulsova v~t(l,.Bernoulliova rovnice

Jestlize na teleso 0 hmotnosti 111 pusobi sila F pak podle Newtonova druhehopohyboveho zakona se teleso bude pohybovat se zrychlenim a = dv / dt = l~ / 111 resp. za dobu.1t pusobeni sily se zmeni rychlost z VI na v::

F ' .11 = m( V-" - VI) ,

kde P11 je impuls sily a 111.1 v je zmena hybnosti.

(40)

U tekutin aplikujeme tuto vetu 0 zmene hybnosti, nazyvanou take impulsova veta,nikoli na castici tekutiny, nybrz na tekutinu protekajici vhodne zvolenou kontrolni oblasti zajednotku casu Iii = /11/ L1 t = pAl 1'1 = pA21'], Za pfedpokladu stacionarniho proudeni pak budeplatit

P = Ii/(V] - VI) = pA/I'/(V2 - VI) = pA]v:(v] - VI)'

kde F je rysledmi sila pusobici na tekutillu v kontrolni oblasti a Iii hl11otl1ostl1itok.

(41)

Zatimco rovnice kontinuity (34) a rovnice energeticka (38) byly rovnice skalaI'lli, jeimpulsova rovnice (pohybova rovnice) rovnici vektorovou a pouze pro jednorozmerneproudeni se zuzi na jednu rovnici. V pfedchozim odstavci 6,1,b byIa odvozena Bernoulliovarovnice pro jednorozmerne stacionarni proudeni nevazke nestiacitelne tekutiny v integniinimtvaru, tj. rovnice (39 a, b, c), z energeticke rovnice za predpokladu, ze neni ph vaden a zadnamechanicka prace ani teplo v uvazovane kontrolni oblasti omezene vstupnim a rystupnim

47

prurezem. Bernoulliova rovnice je pohybovou rovnici a mela by se tedy odvodit z Newtonovapohyboveho zakona (viz odstavec 9.1 b, kde dostaneme rozsirenou Bernoulliovu rovnicio vliv tecnych sil nejprve v diferencialnim tvaru a teprve integraci dostaneme integralni tvar).

Odvodime nyni integralni tvar Bernoulliovy rovnice pro nevazkou kapalinu prirno,ovsem za zjednodusujicich podminek. Uvazujme proudove vlakno, ktere se nahle nepatrnerozsiri obr. 38. Zvolme si kontrolni oblast omezenou vstupnim prufezem A,. stenamiproudoveho vlakna a vystupnirn prurezem A2, obr. 38 a.

Obr. 38 a) Cast proudoveho vlakna vyznacena cerchovane vymezuje kontrolni oblastomezenou vstupnim a vystupnim prurezem a stenarni proudoveho vlakna,

b) sily pusobici na tekutinu nachazejici se uvnitf kontrolni oblasti.

Napisme si pro tekutinu nachazejici se v kontrolni oblasti vetu 0 zmene hybnosti, roy. (41).V idealni nevazke kapaline nepusobi tecna napeti a proto budeme uvazovat PoUZ(;; silynormalove - tlakove, Protoze uvazujerne stacionarni proudeni tj. hmotnostni tok Iii = pAl VI =

konst. je zrychleni nulove a tlak se bude menit jen tehdy, zrneni-Ii se prurez proudovehovlakna, V casti vlakna 0 prurezu A, je tlak p, a na vstupni prurez pusobi okolni tekutina,nachazejici se mimo kontrolni oblast, silou p,.A,. V sirsim pnirezu A] bude tlak P> Vevystupnim pnirezu bude tekutina nachazejici se mimo kontrolni oblast pusobit na tekutinuv kontrolni oblasti silou P2.A2 v opacnern smyslu nez je smysl tlakove sily pusobici vevstupnim pnirezu. V miste nahleho rozsireni prurezu pusobi podle principu akce a reakcetekutina na stenu proudoveho vlakna a naopak stena pusobi stejne velikou silou opacnehosmyslu na, tekutinu, viz obr. 38 b. V tomto rozsirenem prurezu budeme uvazovat ze tlak P2pusobi na plochu rnezikruzi rovnou rozdilu prufezu ( A2 - A,) ve smeru proudeni. V tomtovelmi zjednodusenem modelu proudeni vznika ve zbyvajici casti pnirezu 0 velikosti A,diskontinuita v rozlozeni tlaku: PI se skokem meni na 1'2, coz ve skutecnosti je nerealne.Protoze uvazujeme malou zmenu pnifezu bude i zrnena tlaku mala a ve zbyvajici casti prurezuo velikosti.zl, bude vysledna tlakova sila zanedbatelna, nebot' tlaky pusobi proti sobe. Tim jsmeprobrali vsechny sily pusobici na tekutinu uvnitr kontrolni oblasti, Vsechny vektory sili rychlosti lezi na stejne nositelce a proto nemusime v dalsim oznacovat vektory sipkou.Dosadime do impulsove rovnice (41):

PI Al + P2 (A2 - AI) - P2 A2 = pAI!'1 (V2 -1',) ,PI AI + 1'2 A2 - P2A, -Ih A2 = pAl (V,"2 -1'/)

po uprave dostaneme(PI - P2 ) A, = pAl (VIV2 -v/ ) .

Ze vztahu (VI -V2/ vypocteme VIV2 = 1/2 (v/ + v/ - (VI -vz/ ) == [/2(1'12 + v;) . Jelikoz jsmepredpokladali malou zmenu prurezu, pak s ohledem na rovnici kontinuity bude rozdil rychlostimaly a ctverec rozdilu rychlosti bude proti souctu ctvercu rychlosti zanedbatelny. Po dosazeniza VIV2do impulsove rovnice dostaneme

12'" 2 2 2 2) 'vPI- 1'2 = P IVI + V2 - VI apo uprave2/2 - 2/2PI+PV)/ -P2+PV2 ,

48

pz

tj. Bernoulliova rovuice (39 e) ve tvaru pro proudeni ve vodorovnem smeru. Takto jsmeodvodili integralni tvar Bernoulliovy rovniee aniz byehom integrovali, tj. stejne jako jsmeodvodili rovniei kontinuity a energetiekou rovnici.

6.2 Mereni rychlosti

Je-li ve vodorovnem potrubi pretlak ps (staticky tlak), pak voda vystoupiv piezometricke trubici pripojene k otvoru navrtanemu kolmo ke stene a bez otrepu, obr. 39a,do vysky jJSigP. Hladina v Pitotove trubiei, zahnute proti smeru proudeni, se bude nachazetvYsea bude zavisla jak na pretlaku jJs tak i na ryehlosti proudici tekutiny I' . V usti trubiee budemistni ryehlost kapaliny rovna nule 1'1 0 a tedy tlak PI bude roven tlaku celkovemu pc.Rozdil techto tlaku pc - Ps c= pJ je roven tlaku dynamickemu, ktery u nestlacitelnych tekutin jeroven kinetickemu tlaku pl']/2 jak plyne z Bernoulliovy rovniee psane pro body 0 a 1:

\\ Ps + ~ 1,2 ~!.L~.g_ .~- -Rozdil hladin fr - Ps = v;:-.~ roven rychlostni vysce 1'= a zmerime-li h muzeme

pg pg :2g/ :2g

y2_\,-- '<Z

29 ~ .Ec__ Ps 1_ =.__--t l-+_q_9__

® v «g CD~ __ . -. ~.---___.,~ . - _-

/P1PsI

V=O1

vypocitat I'.

a) b)ObI'. 39a Mereni statickeho tlaku

piezometrickou trubici acelkoveho tlaku Pitotovoutrubici.

Obr. 39b Prandtlova trubice.Rozlozeni tlaku popovrchu trubiee.

Prandtlova trubice, obr. 39b, je tvorena dvema souosymi trubickami se vzduchotesneoddelenymi prostory a umoziiuje odber celkoveho tlaku PI a statickeho tlaku jJ] ve dvoublizkych bodech. Odbery statickeho tlaku jsou urnisteny ve vzdalenosti minimalne tfi vnejsichpnimeru od usti trubiee. Teprve v teto vzdalenosti je tlak 1'] opet temef roven tlakunerozruseneho proudu Po

Z Bernoulliovy rovniee napsane pro body 0 a 1 a :2 pak plyne, zePI) I'I~ PI 0 P2 1';-+-=-+ =-+-pg :2g pg pg:2

a pro po = pJ je tedy i I'] ~,1'0 a

P" ~ J2 fI, ~ fI, .

Ph beznych rychlosteeh se vypoctena hodnota ryehlosti lisi od skutecne 0 mene nez1%. Tyto trubice, urcene pro stanoveni mistni rychlosti se nazyvaji tlakove sondy nebo takepneumometricke.

(42)

49

A,nebo

A\' =1' _I

c . 1 A] ,

6.3 Mereni pnltoktl

Mereni objemoveho pnitoku tekutiny potrubim se velmi caste prevadi na rneremtlakoveho rozdilu mezi dvema pnirezy, z nichz jeden je zuzen. Jako priklad si ukazemeVenturiho vodomer (trubici), obr. 40, skladajici se ze vstupniho (a take kratsiho) konfuzoru,kratke valcove casti se zuzenym prurezem a z delsiho difuzoru, ve kterem se ve smeruproudeni prurez zvetsuje. V uzkem pnitezu je vetSi rychlost a mensi tlak, jak plyne z rovnicekontinuity a rovnice Bernoulliovy.

Obr. 40 Venturiho vodomer V1--.

Stanovme teoretickou zavislost mezi merenym rozdilem tlaku iJp PI - p: a objemovymprutokem V.

Predpokladame proudeni vodorovnym potrubim s rovnomeruym rychlostnim profilema beze ztrat. Napisme Bernoulliovu rovnici a rovnici kontinuity mezi prurezy 1 a 2:, ,

vi v2PI +P2= P2 +P2

vIAl = vJA) = l~r- - t

Rozdil tlaku PI - P2 = ~ (v~- vn = goh ,

jak plyne z Bernoulliovy rovnice ajak vidime z obr. 40, nebot' PI pghl' PJ=pgh] a h=h, - 11].Z rovnice kontinuity lze dosadit

V =V _-I :2 A

1

pak V, = KJh tj. nelinearni zavislost, kde K = A,A,JA/! A;Protoze u realne tekutiny neni rychlost konstantni po celem prutezu a protoze mezi

pnirezy 1 a 2 dojde vlivem viskozity k disipaci energie bude se skutecna konstanta Venturihovodomeru od teto teoreticke lisit a je nutno ji urcit kalibraci. Normalizovany tvar Venturihoprutokomeru i prutokovy soucinitel lze nalezt v norrne CSN 25 77 10, kde jsou popsany i jinemetody mefeni prutoku.

6.4 Staciomimi proudeni nevazke teklltiny potrllbim

Pouzijeme nyni model nevazke a nestlacitelne tekutiny k vysetrovani porneru phpnitoku potrubim. V poznamce v kap. 6.1 b) jsme se zminili 0 tom, ze tento model je v tomtopripade nevhodny, nebot' velikost a rozlozeni tlaku a rychlosti bude ve skutecnosti dostiodlisne. Bude se jednat 0 typicky skolni ulohy, jez maji za ukol ukazat na velmizjednodusenych phpadech postup Ieseni, tj. pracovni metodu aplikace zakladnich rovnica vypestovat navyky pouzitelne pro resen! slozitejsich ukolu.

50

Ph prutoku nevazke tekutiny potrubim predpokladame, ze na stene je pouze slozkarychlosti normalova (tj. slozka kolma k nepropustne stene) rovna nule. Slozka tangencialni(rovnobezna se stenou) bude od nuly rozdilna, obr. 33. Nevazka tekutina nelpi na stenea rychlost je po celem prurezu rozlozena rovnornerne.

Pokud neni nevazke tekutine mezi uvazovanymi prurezy dodavana nebo odbiranaenergie bude konstanta Bernoulliovy rovnice stala (tj. soucet polohove, tlakove a kinetickeenergie).

Napr. obr. 41 pfedstavuje vytok z nadoby potrubim prornenneho prurezu. Chcerne-listanovit tlak nebo rychlost v libovolnem prurezu potrubi, pak nejprve napiseme Bernoulliovurovnici (nejlepe ve smeru proudeni), pricemz v jednom miste musime znat stay napr. nahladine, z niz vychazime.

Po

z.r.

Obr. 41 Vytok z nadoby potrubim.

Na hladine je polohova energie dana vyskou h., nad zvolenou (libovolnel) zakladni rovinou,tlakova energie je dana tlakem P» a hustotou kapaliny p a kineticka energie je na hladinezanedbatelna, jak plyne z rovnice kontinuity, je-li pnirez nadrze znacne vetsi nez prurezpotrubi: 1'0 :::::() . Druha strana Bernoulliovy rovnice se pak pise pro misto, kde nezname jednuvelicinu napf. rychlost ve vystupnim prurezu I'.~(predpokladame ze zname P_:, napr. p~= Po) :

p I) 1'"'.!,h + _(l + ()= () + _j_ + _i_ = C<. 0 p P 2 "'

Z teto rovnice vypocteme neznamou 1'3 Chceme-li vypocitat rychlost v jinem prurezu, napr.I,pouzijeme rovnice kontinuity

A.l' = I'. _J

, J A ,Chceme-li stanovit i tlak PI v tomto prutezu pak napiseme Bernoulliovu rovnici mezi mistemkde zname vsechny veliciny napr. hladinou a neznamym mistem (ve smeru proudeni), nebo Izeuzit konstantu C,":

nebo mezi mistem I a vytokempI.': p. v:C - vh + _' + _, = _J + _J-m -l"'t JP 2 P 2

I'oznantka:psat Bernoulliovu rovnici stale I'e stueru proudeni je ucelne ncbot' .I{' pozdej! vyhneme chybam pfireseninestacionarniho proudeni 1Ipr! proudeni vazkc tekutinv. kdy nektere clenv budou [en no jedne strane.

Tlak V llIisle I nel:e pocitat prinio z Beruoulliovy rovnice PSlIl1<: pro hladinu a misto l , nebotneznauie lll't! veliciny PI a 1'1 a nuune jen jednu rovnici. Jedina III isla, kdeje predetn znam tlak je zpravidlahladina a vystupni prurez.

51

1

dl 2 (-I)y+(H - y)_- -0dy - 2 ~(H - y)y -

H - 2y = 0,H

)' =-=')ITIopt -.')

Priklad P.6.1

Z rozlehle nadrze vyteka peti stejnymi otvory rovnomerne rozmistenymi ve svisle stene, obr.P 6.1, vodorovnyrn smerem voda a dopada na podlahu. Stanovte z ktereho otvoru dostriknevoda nejdal. Zanedbejte vliv viskozity a odporu vzduchu. Paprsky zustavaji kompaktni.

Dano: H = 4 m = konst., 11= 5

UrCit:Yopt pro lrnax-

Rozbor:

Pfipad fesime jako vodorovny vrh: ve smerux je pohyb rovnomerny, ve svislem smerurovnomerne zrychleny. Vytokova rychlost jezavisla na poloze otvoru nad hladinou.Z nejvyssiho otvoru vyteka voda nejmensirychlosti, ale pada nejdele. U nejnizsiho otvoruje rychlost nejvetsi, ale doba padu je nejkratsi.Optimalni poloha otvoru bude asi mezi nimi.

Predpoklady:1) Nevazka kapalina.2) Nulovy odpor vzduchu.3) Proud vody se nerozpadne.

Reseni:

Zvolme libovolny otvor a stanovme vytokovou rychlostV = ~2g(H - y) .

Draha paprsku ve smeru x se rovna 1= v-t, cas t stanovime z rovnice pro svisly pad

1 ff"yY = - gt 2 => t = -.2. g

Dosadime za t a v do rovnice pro I

1= ..j2g(H - y). ff = 2..j(H - y)y.Optirnalni y najdeme jako extrem

Diskuse:

Za v)'se uvedenych predpokladu dopadne nejdale paprsek z prostredniho otvoru.

52

1) Hustota vzduchu p = konst.2) Yzduch je idealni tekutina - nevazka.3) Rychlost v je rozlozena rovnomerne po prurezu potrubi.

Obr. P 6.2

Priklad P. 6.2

Jak velky bude rozdil hladin v U-trubici naplnene vodou, jestlize merime rychlost vzduchuv sacim potrubi ventilatoru Pitotovou trubici. Pnimer potrubi je d a ventilator dodava IiI

vzduchu za minutu. Hustota vzduchu a vody je o e p; .

Dano:Iii = 21 kg/min, p = 1,23 kg/nr', p., = 1000 kg/rrr', d = 120 mm.

UrCit: &7 (mm)

Rozbor:

Pi'edpoklady:

Ventilator, na razdil od kornpresoru, jestroj, ktery dopravuje vzduch aniz bydochazelo k vyznamnejsirn zmenamtlaku, takze muzeme povazovat hustotuvzduchu za konstantni.

Reseni:

Rychlost v potrubi 41il 4·21 ')516 / V" Pi biII = -- = , = _, 111 S. usn ItotOVY tru Ice Jeottd ' 60·1,23· 7(·0,12-

rychlost VI = 0 - kineticka energie se zrneni v tlakovou. Napisme Bernoulliovu rovnici mezimistem dostatecne vzdalenern od vstupu do saciho potrubi kde je vzduch v klidu (vo = 0)a tlak je raven tlaku okoli p« a ustim Pitotovy trubice

protoze v(I = 1'1 .:c: 0,

bude PI = P». ale v druhem rameni U-trubice pusobi rovnez tlak okoli po a rozdil tlaku je O.Proto i &7 = L1p/pg bude roven nule.

Diskuse:

V sacim potrubi bychom stredni rychlost mefili tak, ze bychorn merili staticky t1ak otvorem ve

stene p pak P« ~ l' + pv' => l' ~ J2 p" - p Vlivem viskozity nebude rychlost v potrubi2 p

rozlozena rovnomerne a na U-trubici dojde k vychylkam hladin. Z jejich rozdilu vsaknernuzerne stanovit mistni rychlost vzduchu, nebot' rozdil hladin je zavisly i na tlakove ztrate,jez vznika ph proudeni vazke tekutiny potrubim, viz kapitolu 8. Mistni rychlosti - tj.rychlostni profiJ bychom zrnefili Prandtlovou trubici.

53

Priklad P 6.3

Na obr. P 6.3a je nakreslen hydrostaticky stroj, na ktery podal patentovou prihlasku v r. 1865pan Hermann Leonhard ze St. Gallen jako na novy hnaci motor. Jedna se 0 realizaci odvekehsnu vvnalezcu - perpetuum mobile. Mezi dvema tvarovanyrni unaseci je napnut nekonecnvfetez stejnych plovaku. Cast plovaku prochazi nadrzi naplnenou kapalinou - vodou, zbyvajiciplovaky se nachazeji ve vzduchu. Na temze obrazku je nakreslena ijina varianta.

Obr.6.3a

Na plovaky v kapaline pusobi hydrostaticky vztlak podle Archimedova zakona, ktery by meudrzet retez v pohybu proti smeru rucicek hodinovych. Aby nedochazelo k uniku kapaliny jvstup ve dne nadoby konstrukcne upraven. Dokazte, ze toto perpetuum mobile nebudfungo vat ani pfi zanedbani trecich sil. Vysetrete silove pomery, z nichz lze usoudit na chovanitohoto zarizeni, jez je opatrene kulovymi plovaky (kvuli vzpficeni).

Dano: hustota kapaliny p, prumer plovaku d, pocetplovaku v nadrzi 11, vyska hladiny v nadrzi h.

Urcit: velikost rnechanicke energie na hfideli unasece Wa silovy ucinek na plovaky

Rozbor:

Cele zafizeni umistime do kontrolni oblasti, ze kterevychazi pouze hfidel unasece, obr. P 6.3 b, ktery bypredaval mechanickou praci W a na tuto oblast aplikujemezakon 0 zachovani energie. Protoze uvnitr kontrolni oblastise nemeni ani vnitmi, ani polohova, ani kineticka, anitlakova energie, nebot' kapalina je v klidu a neni dodavanoteplo, musi by! mechanicka energie na htideli W = o.

Reseni:

a) Z rovnice (38) dostaneme~ 0v- v;

W=UI -U2+g(YI-Y2) + (PI-P2)/P+ -' _.-.2..+q =0:2 :2

I = 2 ,VI = V2 = 0 ,(, = O.

54

1-·-I

Obr. P 6.3b

protoze

V tom pfipade plati h = 11 d -t- d12. Yztlak pusobici na ponorene plovaky je podle Archimedovazakona roven F " g P ( nst (l/ 6 + ]'2.J[ .r. 6) a na kouli, jez utesiiuje vytok, pusobsmerem dolu tlakova sila, rovnajici se tize kapaliny nad povrchem teto koule F; = g P (m//.J. h - 112. J[ cf/ 6). Sila pusobici na Ietez plovaku smerem dolu je tedy vetsi nez sila vztlakovapusobici smerem vzhuru a retez by se zacal otacet prave opacnym smerem nez predpokladavynalezce.

Ze zakona 0 zachovani energie plyne, ze i ph zanedbani trenl nernuze toto zarizeni piedavatmechanickou energii. Podrobnejsi analyzou jsme zjistili, ze plovaky se budou pohybovatopacne, ale v tom pripade by ph ustalenem pohybu z nadoby unikala kapalina jejiz mnozstvi jezavisle na velikosti objemu mezi dverna plovaky jez se nachazeji v trubici jez rna slouzitk utesneni vytoku. Nyni by zarizeni mohlo fungovat, nebot' vytekajici voda zmensuje svoupolohovou energii , pak se uz ovsem nejedna 0 perpetuum mobile. Y soucasne dobe znamevodni turbiny, jez maji mnohem lepsi ucinnost a vetSi vykon nez toto monstrum.

zkratime gprrd 3 / 6

h 1dosadime za - = II + -

d ')

pro II > 1

b) Silovy ucinek na plovaky:Energeticka rovnice uvazovala ustaleny stay.Pokud nebudou sily pusobici na plovakyv rovnovaze, uvedou se do pohybu - autorpredpokladal, ze se budou pohybovat ve smerupusobeni hydrostatickeho vztlaku. Abychom sivypocet zjednodusili predpokladejme, zekulove plovaky jsou k sobe tesne primknuty,obr. P 6.3 c, ze pod hladinou se prave nachazi11celych plovaku a jeden plovak prave utesnujevytokovy otvor.

Diskuse rysledku:

Matematicky dukaz, ze}~> F:

~ red 2 1 nd' tid ' 6 h 1F =gp(-h---)=gp-(----)

p 4 2 6 6 4d 2nd' 1 nd' red 3 1

F = gp(/l-+--) = gp-(n+-)6 2 6 6 2

1h = lid + d /2 = d(11+ -)

')

F ) 17p

6 h 1 1----)11+-4 d 2 23 3 1 1-11+---)11+-2 4 2 23 1 1-11 +- > n +-242

u I'I n

d h

I"""1-

Obr. P 6.3c

55

Mechanicka prace na hrideli bude tim vetSi cim vetsi je rozdil sil:

F = F _ F = gp rrd3

[(~ h _~) _ (II+~)] = gp nd3 [~(Il +~)_~-1I-~]

v p 6 4d 2 2 6 2 2 2 2

Vysledna sila bude tim vetsi, clm bude prumer koule d vetSi (3. mocnina!), cim vetSi budehustota kapaliny p (rtut'l) a cim vetsi pocet plovaku 11 bude ponofen.

Vykon zavisi i na rychlosti plovaku, jez bude mensi nez teoreticka VI = ~2gh ,

nd' 1/ I 1Teoreticky vykon P = F.,VI = gp-6-(2 - 2)V2gd(I1+2)·V =I

12gd(n.+ -) .

2

Ze sestrojeni 'perpetua mobile je nemozne se objevilo jiz predtim nez byl forrnulovan zakon 0

zachovani energie - Francouzska akademie ved ve svem prohlaseni z r. 1775 rozhodlanepfijimat zadny projekt perpetua mobile k posouzeni a vyzkouseni.

Vite,ie- Leonhard Euler se narodil roku 1707 v Basileji, ve SvYcarsku. Otec byl ministr, zabjvajicf se

matematikou ve volnycn chvillch. Ve 13 letech zacal studovat na univerzite v Basileji, kde tehdybylo 19 profesoru a 100 stuaenu: Otec Daniela Bernoulliho mu pfedncHel matematiku. Za tfi rokyobdriel akademicky titul Mistr ve filozofii.

Euler a D. Bernoulli byli pfatele a kdyi roku 1725 Daniel odjel do Petrohradu ucit a studovat,pfesvedcil hodnostafe v tamnf Akademii, aby pozvala i Eulera, Mery se do Svycarska nevrem aido konce iivota. Euler zavedl pfedstavu, te tlak je veticine, jei se ment od mista k mistu a odvodilzname diferencialnf tovnice, Mere pak integroval po proudnici a obdriel Bernoul/iovu rovnici vetvaru, jak ji dnes pouttveme. Po odjezdu D. Bernoulliho 1733 pfevzal po nem vyuku fyziky.Pracovnf podmfnky v Akademii byly pfiznive, takie do roku 1741 pfipravil k publikaci 90 clankua napsal dvoudilnou knihu l1Mechanica". V roce 1740, Mhem neklidne politicke situacev Petrohrade se Euler pfemisti! do Ber/ina, kde Bedfich Veliky prave ustavil Berlfnskou akademiivea a stravil zde 25 let a piipravil 380 clanku k publikaci. Za Eulerova tivote se k pohonu mlynua hamru Mtne poutfvala vodnf kola na spodnf nebo horni vodu. Vyjimkou bylo Segnerovo kolo,prototyp vodnf reekcn: turbfny (viz odst. 10.3c) s nfmi Jan Andreas Segner, rodak z Bratislavy,konal v letech 1750 - 1754 v Nemecku pokusy. Tento vodnt stroj upoutal Eulerovu pozornost te«,ie 0 jeho teorii napsal tfi publikace v nichi podal linearizovanou teorii turbfn a vlastne ji vytvofilo tii ctvrtiny stoletf dffve net byla sestrojena prvnf prumyslova vodnf turblna. Pfestoie byl teoretik- matematik - prokBzal i inienyrske schopnosti, kdyt neznecl! nepsen; Segnerova kola pouiitfmvet~fho mnotstvf trubic resp. kanalu, zafazeni rozveoectho ustroji a tak umotnit pfftok po cetemobvodu rotoru.

V roce 1766 vse« kvuli financnf nesnodem s Bedfichem Velikym opoustt Berlin a vracl se doPetrohradu. Je~te Mho! roku oslepl na jedno oko a po operaci roku 1771 os/epl uplne, pfestopokracoval v praci - polovina jeho clanku byla nepsen« po roce 1765. 18. zafi 1783 na pfedna~cez matematiky pocltal let bal6nu a pak diskutoval s pfateli 0 prave objevene planete Uranu, kdyiv 5 hodin odpoledne utrpel mozkovou mrtvici a poslednl jeho slova byla l1Umfram". Skonal za sesthodin.

56

PROUD~NivAZK~TEKUTINY

7.VYTOK Z NADOB. PREPADY

Ph vytoku tekutiny otvorem ve stene nadoby nebo kratkym natrubkem, kdy je styk sestenou maly a tedy i disipace energie mala, Ize povazovat tekutinu za nevazkou a takto ziskaneteoreticke vysledky opravit ruznymi korekcnimi souciniteli,

7.1 Staciomimi vYtok kapaliny malym otvorem

Aby bylo zajisteno stacionarni proudeni musime nadobu opatht prepadem a pnvadetvetsi mnozstvi nez ktere odteka otvorem A2, obr. 42.

- P1 A1~'\l

+V1 h'./ A2-

Obr. 42 Stacionarni vytok z nadobyotvorem ve dne.

Marne stanovit teoreticke hodnoty vytokove rychlosti V2t a objemoveho toku r:', je-Ii pnireznadoby AI, vyska hladiny nad zakladni rovinou hi a tlak v nadobe Pr Otvor se nachazi vevysce /72 a vnejsi t1ak je /)2. Napiserne-li opet mezi prurezy 1 a 2 Bernoulliovu rovnici

, ,P v: p, v~

u. h + s: + .L = vh . + _" +-.:C!_0' P 2 C>" P 2

a rovnici kontinuity Alvi ccc A21'21 pak dosazenim za VI ·cc A.?v2/A I dostaneme teoretickouvytokovou rychlost

2g(h+J!~12 )

""~~ 1-(~:r (43)

Pro teoreticky prutok pak plati (', = 1'-'1 A]Bude-Ii nadoba otevrena bude PI ,.C P2 a pro maly otvor A2 « AIzjednodusi na znarny Torricelliho vzorec

1'], =J2gh .U maleho otvoru ve stene dosazujeme za h hloubku teziste otvoru, obr. 43.

(44)se vzorec pro rychlost

(45)

7.2. Metoda korekci

Objemovy tok vazke kapaliny bude ve skutecnosti mens! nez udava roy. (44) protoze:I) Skutecna vytokova rychlost 1'] bude v dusledku disipace energie mensi nez teoreticka V2 <1'21. Pro tekutiny s malou viskozitou zavedeme rychlostni soucinitel (jJ:

57

If = 0,82 \1<===-fJ. = 1

------_._

Obr.44 fJ. =0,82 ((Md ja) Otvor v tenke stene,b) Valcovy natrubek, "-c) Konoidalni natrubek, 'f=O,97

d. :: 1--_._--

P. :0,97 (

b)

1'2 :::: (j)V2t ::::(j)~2gh . (46)2) Proud kapaliny rna v miste kde jsou uz rychlosti rovnobezne mensi prurez nez je prurezotvoru, nebot' proudnice jsou vzhledem k hmotnosti castic tekutiny cary se spojitou kfivosti,obr.43.

h

Obr. 43 Vytok z nadoby malymotvorem ve st(~ne.

Pomer pnifezu proudu A; a prurezu otvoru Al nazveme soucinitelem kontrakce a, takzeskutecny prufez proudu je

A;=a.A1. (47)Soucinitel kontrakce je silne zavisly na tvaru vstupni hrany otvoru. Pfi dokonalem zaobleniteto hrany nedochazi ke kontrakci (nebo pfi velmi pomalern proudeni u velmi vazkychkapalin) a pak je a = 1.

Skutecny objernovy tok je pak roven soucinu skutecneho prurezu A~ a skutecne

rychlosti V2

V ::::A;V2 = aA2(j)l'2f ::::a(j)A2J2gh = ~l~;'f ' (48)

kde f.1 = a. rp je vytokovy soucinitel. Hodnoty korekcnich soucinitelu zavisi nejen na tvaruotvoru, ale i na Reynoldsove cisle (viz kap. 15).

7.3 Natnlbky

Natrubky jsou kratke trubice ruzneho tvaru usmerriujici proud tekutiny tak, aby proudsplfioval urcite pozadavky. Chceme-linapr. ph stejnem spadu h dosahnout phdanem prumeru otvoru co nejvetsi vytokmuzeme pouzit valcoveho (jednoduchya levny), nebo konoidalniho natrubku,obr. 44.

I(' :: 0,97~.-id~ , a)d. = 0,64

t" =0,62

c)

58

U spravne navrzenych natrubku nedochazi ke kontrakci a :c, 1. Delka valcoveho natrubku,obr. 44b) nesmi byt prilis kratka, protoze by proud nepfilnul ke stene (a < 1), ani pfilis dlouha,nebot' trenim 0 steny roste disipace energie a klesa <p i vytokova rychlost. Optimalni delka jeasi 3d az 4d.

7.4 Vytok zatopenym otvorem

Zatopenym otvorem nazyvame otvor lezici pod oberna hladinami, obr. 45.

Obr. 45 Vytok malym zatopenym otvorem.

Abychom stano viii teoretickou rychlost v otvoru "]t napisme Bernoulliovu rovnici mezi hornihladinou 1 a otvorem 1. Za predpokladu, ze otvor ve stene je dostatecne maly je rychlosthladiny VJ zanedbatelna. Zakladni rovinu umistime do urovne otvoru (h] = 0):

/\ 1', ";gh, + P = -;- + 2'

Za predpokladu, ze i prava cast nadrze za stenou je rozlehla, Ize rychlosti v nipovazovat za zanedbatelne ( s vYjimkou blizkeho okoli otvoru) a tlak p: urcit jakohydrostaticky tlak v hloubce h-' pod hladinou:

fJ:: = goh; + 1'" .Po dosazeni tlaku 1'] a rozdilu vysek hladin h h/ - h]' dostavame pro teoretickoua skutecnou rychlost

v]t =~2gh resp. 1'] =(p~2gh, (49)

kde II je rozdil vysek hladin. Vytokova rychlost u zatopeneho otvoru nezavisi na polozeotvoru pod hladinou, ale pouze na rozdilu vysek hladin.

7.5 Vytok velkym otvorem

Pro kvalifikaci otvoru - velky, resp. maly - marne na mysli porner jeho vysky k polozepod hladinou, nikoli sifku otvoru.

Pfi vytoku kapaliny do atmosfery velkym otvorem, jehoz horni hrana se nachazi blizkohladiny a pomer vysky otvoru ke hloubce teziste otvoru je blizky jedne, obr. 46, je trebauvazovat nelinearni rozlozeni rychlosti po otvoru (cerchovana parabola).

Obr. 46 Vytok velkyrnotvorern do atmosfery.

59

z(h) dA

Elementarni tok dV ploskou dA = z(h) dh nachazejici se v hloubce h je rovenav, = v2tdA = ~2ghz(h)dh .

Celkovy teoreticky objemovy prutok pak dostaneme integraci"2

~ = f ~2ghz(h)dh (50)

Skutecny objemovy pnitok ~;r = J.1~~ ,pricernz vytokovy soucinitel bude v sobe zahrnovat nejen vliv disipaee energie a kontrakceproudu, ale i vliv pfitokove rychlosti Va.

V odstavci 7.1 jsme u maleho otvoru ve stene pocitali s konstantni rychlosti v otvorurovnou rychlosti v tezisti. Pfi vypoctu pnitoku velkyrn otvorem by pouzitim teto metody (bezintegrace) vznikla tim vetS! chyba, cim vetSi je nelinearnost rychlostniho profilu.

U zatopeneho otvoru je rychlost pouze funkci rozdilu vysek hladin a teoretickarychlost je konstantni po celem pnirezu, bez ohledu na jeho vysku (neuvazujeme zde vlivviskozity).

7.6 Ptepady

Prepady lze povazovat za zvlastni pfipad velkeho otvoru sahajiciho az k hladine. Promereni prutoku v koryteeh se pouziva prepadu ostrohrannych, dobre vetranych, aby v celemproudu byl barometricky tlak (obr. 47).

min.3H_.:...:._:_o------

H

Obr. 47 Dokonaly prepad.

Vysku hladiny pred prepadovou hranou musime merit v dostatecne vzdalenosti piedprep adem, nebot' nad prepadem je hladina nize (cast polohove energie se jiz zmenilav kinetickou). Pro vypocet teoretickeho prutoku lze opet pouzit rovnici (50), pricemzdosadime tyto meze: h, = 0 a h2 = H.

Skutecny prutok bude opet mensi v dusledku kontrakee proudu a viskozity kapaliny.Podrobnosti lze najit v normach CSN.

Otazky ke kapitolarn 6 a 7.:

1) S jakymi velicinami pocitame v rovnici kontinuity pfi proudeni nestlacitelne tekutiny ?

2) Jaky je rozdil mezi rovnici kontinuity pro stacionarni a nestacionarni proudeni ?

3) Napiste rovniei Bernoulliovu pro vytok z nadoby, vysvetlete vyznam jednotlivych clenua odhadnete jejieh velikost (relativni).

4) Jaky je rozdil mezi celkovym, statickym, kinetickym a dynamickyrn tlakem?5) Jakymi zpusoby merime ryehlost tekutiny?6) Jakymi metodami mefime pnitok tekutiny potrubim?1) Jaky je rozdil mezi Torrieelliho vzoreem a vzoreem pro ryehlost volneho padu telesa ve

vakuu?2) Co je rychlostni, kontrakcni a vytokovy soucinitel?

60

3) K cemu pouzivarne natrubky ?4) Na cem je zavisla vytokova rychlost v zatopenem otvoru ?5) Jake je rozdeleni rychlosti ph vytoku kapaliny velkyrn otvorem do atmosfery ?6) Jaky je prubeh rychlosti v kapalnem paprsku tekouciho pres prepad?7) Jake je rozdeleni rychlosti ve velkem zatopenem otvoru ?8) Dophite v obr. 41 prubeh statickeho tlaku v potrubi. Dokreslete si piezometricke trubice

v ruznych prufezech.

Vite, ie- Isac Newton v .Principiicn" vydanych v roce 1687 stano viI jako prvni zevislost mezi sllou, hmotnostf

a zrychlenfm, resp. hybnosti, ale neaplikoval ji na proudtJni tekutin. Za zakladatele teoretickemechaniky tekutin se povaiuji Daniel Bernoulli, Leonard Euler a Jean Le Rond d'Alembert.

- Daniel Bernoulli se narodil v Groningen, v Holandsku (1700 - 1782). Pociieze! z rodiny jejft ctenovena poeatku 18. stoleti patfili k vymemnym evropskym metemeuucm a fyzikum. Jeho stryc Jakobbyl profesorem matematiky na Universite v Basileji (Svycarsko), zavedl term in "integral". JanBernoulli, otec Daniela byl profesorem matematiky v Groningen, a po smrti Jakoba (1705) pfeSeldo Basileje. Rovnei' oba bratfi Daniela - MikulaS a Jan a synovci Jan a Jakub by/i vybornymimatematiky a fyziky. Daniel studoval na Universite v Basileji filosofii a logiku. Pokrecovet studiemmediciny v Heidelbergu a Strasburgu a v roce 1721 obdriel aoktoret. Benem studia se zajfmali 0 matematiku a v roce 1724 publikoval praci .Exercltetiones Mathematicae" jet vzbudila znecnoupozornost a byla mu uaetene cena Patiiske akademie - prvni z deseti dalSich jet ziskal benemsveho iivota. V roce 1725 byl pozven do Petrohradu. Osm let strevenycn v tamni Akademii bylovelmi plodnych. Napsal tam ventesne dflo "Hydrodynamica", jei dokoncl! roku 1734, ale publikovalai v roce 1738. V roce 1733 se vretit do Basileje na katedru anatomie a botanikya v roce 1750byla pro nej ztizena katedra fyziky.

Daniel Bernoulli byl cienem snad vsecn ucenyct: spotecnosti a akademii existujfcich v teaob«. Zavedl do literatury termin "hydrodynamika". Ve sve knize se zabyval jak praktickymiproblemy jako prouaentm v potrubf, propulsi a p., ale i problemem teoretickym - snaiil se ziskatvztah mezi rychlost! tekutiny a tlakem. Jetio odvozeni je klopotne, povaioval tekutinu tak jak tobylo v te oooe Mine, za soubor cestic. Jejich polohova energie se p!i pohybu zmen! v kinetickouenergii a mfsto flaku pocit« s jakousi manometrickou vYSkou. Bernoulliovu rovnici, ve tvaru jak seoouiiv« dnes, v knize nenalezneme. Jeho otec Jan vydal v roce 1743 knihu "Hydraulica" v nfi uipoefta s tlakem jako silou pusobici na tekutinu. Tuto knihu antidatoval - uoevs! rok vydani 1732aby pry vznikl dojem, te on byl prvni kdo tuto rovnici odvodil. Nekter! eutot! zabyvajfcf se historifvedy ptedhazuji otci nekorektnf jednent k synovi. Jsou i jini, kteti se snail toto tvrzeni vyvretit.Ziistene asi pravdou, ie tvar rovnice jaky nynl utiveme, odvodil at Euler a nazval ji Bernoulliovouna jeho pocest.

Obrovsky vyznam Bernoulliovy rovnice sooctve ve vysvetien! jevu, kterY byl v minulem stoletinazyvan "hydrodynamicke paradoxon". V mySlenkach lidi je zetixoven nezor ziskany ze iivota - pfiobtekBni ptekaiky tekutinou napf. lodni plachty vzduchem tj. vetretn je tlak na plachtu tim vets!elm je vets! rychlost vetru a tim rychleji se lod' pohybuje. Podle Bernoulliovy rovnice musi vse« bYtv mfste s velkou rychlosti maly flak a naopak. Mezi obeme tvrzenimi neni ve stanecnosti rozporjen si musime uvedomn, ie v Bernouuiove rovnici se jedna vidy 0 rychlost a flak ve stejnemmiste, nap!. v uzkem prufezu potrubi zatimco pti ueinku vetru na plachtu se hovoti 0 rychlostivetru, kterou muteme zmeti; daleko od plachetnice, ale soucesne novortme 0 flaku na plachtu,kde je rychlost vzduchu pcastetne mens! a kineticke energie se zment v flakovou.

- Na podzim roku 1912 plul na volnem moti jeden z tehdy nejvetS!cl1 osobnlch parnlku "Olympic",vyroben» v roce 1911 0 aetce 269 m a vytieku 45 300 BRT. K nemu se velkou rychlost! pfiblfiiltnensl kfiin/k "Hawke". Kdyi se vzdetenost zmenSila asi na stovky metro poce! plout paralelne s"Olympicem" a v tom se stalo neco neocekeveno - "Hawke" semovolne prudce zmeni; kurs, ototilse ptidi k "Olympicu" navzdory ooecnemu pohybu kormidla se zatizl do jellO boku a vezne jejpoSkodil. Nemornt soud uznal vinnym kapitana "Olympicu" protote neuvolnil cestu kfiiniku, 0

eemi svedtila dira v boku lode. Rozsudek byl dlouho diskutovan a kapitan "Olympicu" se hajil, ieje nevinny. Pravdepodobnou ptieinou bylo to, ie mezi rovnoMine bllzko sebe plujicimi lodemivznika zuiujici se kanal, kterym proudi voda rychleji net na vnejSfcl1 stral1aCl1 lodi, kde je prostorprakticky neomezeny. Mezi lodemi bude tlak menSi (hladina poklesne) nei tlak vody pusobici l1avl1ejSfboky lodi. Vysledny efekt je takovy, ie se paralelne plujfci lode budou pfitahovat a to timvice eim bude jejich rychlost vetS! a vzdalenost mensi. Mensi lod' se bude ptirozel1e pfibliiovatrychleji.

61

Priklad P 7.1

Plechovy sud 0 prumeru d, je naplnen do vysky h vodou. Za jak dlouho se vyprazdni, jestlizeotvor ve dne rna prumer d a vytokovy soucinitel je fl a soucinitel kontrakce a. Kolik vodyvytece za dye hodiny?

Dano:d, = 0,8 m, d= 4 mm, h = 1,1 m, fl = cap= 0,78.

UrCit: cas to = ?, tj. doba vyprazdneni a objem V = ? tj. objem vytekly za dye hodiny.

Rozbor:Vytokova rychlost V zavisi na vysce hladiny, ktera se phvyprazdfiovani sudu stale zrnensuje. Uvazujme tedy vytokv urcitem okamziku t kdy hladina je ve vysce y nade dnem.V tomto okamziku plati rovruce kontinuity

A nd] rrd2. If kd A' k ~, 0 ~VI I = VI -- = va -- = V.tt, e je s utecny prurez

4 4rrd2

vodniho paprsku A = a --, kde a je kontrakcni4

J 'iJ

,hI

v' • I dy .soucirnte a VI = - - Jedt

rychlost klesani hladiny v sudu (znamenko minus jsme ObI'. P 7.1zavedli proto, ze rychlost VI povazujeme za kladnouvelicinu.ale dy je velicina zaporna - hladina klesa, y se zmensuje s casem t). Vytokova rychlostv tomto okamziku zavisi na okarnzite vysce hladiny y: v = q>~'2gy . Po dosazeni do rovnicekontinuity a uprave dostaneme diferencialni rovnici popisujici klesani hladiny, kterou pakbud erne integrovat.

Predpoklady:1) Zmeny rychlosti jsou male, muzeme zanedbat setrvacne sily, proudeni je kvazistacionarni,2) Hodnoty soucinitelu jsou konstantni,3) Pfi nizkych polohach hladiny se nevytvofi vir.

Resent:

Dosadime do rovnice kontinuity

2 (dl)2 Jh 2 ( 0,8)2 Jlj . . / h dito = - - h":: = -- -- ~ ::: 2 430 s, tJ. aSI 6 3 4 0 my.f..l d "\j2g 0,78 0,004 2·9,81

62

fI

II

nadoba vyprazdnila kdyby rychlost byla konstantni a rovna rychlosti pocatecni a v nasem

pnpade T' = •• rrd2

~2gh = 0787!0,0042

..j2.981.11 =0,0000455 m3/s. t= 2·0,553rna" r-- 4 '4 " 00000455,

.JY = 1,049 - 0,311 = 0,738 m'"

Vysledny vzorec muzeme upravit nasobenim a delenim Jh pak v citateli dostanemepocatecni objem vody VI = A/I = 0,553/113 ave jmenovateli "max = ~2gh je pocatecni

vytokova rychlost. Pak to = ~:,,'VI tj. doba vytoku je dvojnasobkem doby za kterou by semax

= 24300 s.

Abychom stanovili objem vody, ktery vytece za 2 hodiny musime znat jak se rneni vyskahladiny s casem. Budeme nasi diferencialni rovnici integrovat od pocatecniho stavu t = 0,Y = h do obecneho stavu: v okarnziku t je hladina ve vYsiy. Pak

2(dl)2 1t = J..l d jig (Jh -.JY) .

Odtud .JY = Jh - J..l~ ( .!!__) 2 t = .JG _ 0,78.j~.9,81lf0,004) 2 .2.3600 ,

- ,dl _ 0,8

Za dye hodiny je hladina ve vysce y = 0,545 m.rrd2

Ze sudu vyteklo za dye hodiny V = __ I (h - y) = 0,2791113 vody.4

Diskuse:

Voda vyteka pomalu, takze nemusime uvazovat vliv setrvacnych sil. Vytok presto nenirovnomerny, polovina obsahu sudu vytece za mene uez 1/3 celkove doby vyprazdneni.Jak se zmeni pornery bude-li prumer otvoru ve due lOx vetsi, tj. d = 40 mm? Protoze celkovadoba vytoku je neprirnoumerna kvadratu prumeru otvoru, bude nyni 10 = 243s, tj. asi4 minuty.

Rozbor (schema):Pnirez panve se s vyskou y meni. Za cas dt poklesne hladina 0 dy a tento objem vyteceotvorem ve dne. Pred integraci musime vyjadrit zavislost pnimeru D na vysce y.

Priklad P 7.2

Lici panev, viz priklad P 4.2, je naplnena do ryse H roztavenou oceli. Stanovte, za jak dlouhose vyprazdni, jsou-li dany rozmery DJ, D2, H, pnimer otvoru ve dne d a vytokovy soucinitel u.

Dano: DJ = 2m, D2 = 1,5m, H = 3m, d = 0,06m, II = 0,8.

Urbt: dobu vyprazdneni to = ? (neni-li vytok skrcen).

63

Resent:

rrJ)2 nd?--dy = J.1-~2gydt

4 4

dt = _ 1 (D) 2 dy .. J.1.J2i d .JY'

D = D2+(D, -D2)L ;H

to 1 1 0 [ y ] 2 dyJdt=- .J2i 2J D2+(D,-D2)- r::o J.1 2g d H H Vy

Obr. P 7.2

- -J3 ["'.152 ~15.05 ("'_15)22]- ~ ~,+, ,+-, ,08· °062 2·9 81 3 5" ,

to = 135,77(4,5 + 1+ 0,1) = 760,3 s tj. 12,7 minut.

Vite, ie- vedle stunecntcr: hodin slouiity ut za davnych 6asu vodni hodiny - klepsydry. Nejstarsf nalezy

pochBzejf z Babyl6nu. Mely tvar dute krychle 0 deice hrany asi 0,5 m, ve dne by/ maly otvorvyvrtany v achBtu nebo jinem tvraem mineralu. Protoie vytokov« rychlost taes« s poklesemhladiny byla krychlova klepsydra neivezovene kuielovcu, obracenou vrcholem dotU. Klesanfhladiny pak bylo rovnomemeist. Vodni hodiny meli i Cit'lane, tnaove a Egypfane. Indicke hodinytvofila lastura s malym otvorem, plujici na vodni hladine. Za hodinu se lastura naplnita a klesla kednu.

- ve star em Egypte pottebovali knetf urcove: nocnt cas, aby mohli ~~;:;;~;;;~;:;~~~vykonavat ve eorevnou dobu obtady, nebof vet iii, te Horus, bUhS/unce, kaidou noc umtte, aby reno qIJet oii/. Za jasnych nocfmohli urcif ces podle nvezc: Kdyi bylo zataieno, s/ouiity k uroentspravneho casu k ooetoven: chrsmove klepsydry. Nejstarsiegyptske dosud objevene pochBzejl z cnremu boha Re v Karnaku(fragmenty byly nalezeny v r. 1905) a mely tvar kvetinace.Stupnice byla vyznecene uvnitt nedoby. PochBzejl z doby vladyfara6na Amenhotepa III. (asi 1417 - 1379 pf. Kr.). Za jejichvynetezce, nebo konstruktere, se podle neotsu na netuobkupovazuje Amenemhet (asi 1556 - 1515 pt. Kr.), dvornl (Jtednikv ThebBch.

xa rnacke vodni hodiny

64

8. STACIONAANI PROUDENI VAZKE TEKUTINY POTRUBlM

Pti vytoku vazke kapaliny otvorem z nadoby se ptevazna cast jeji pocatecni energiezmeni v energii kinetickou - viditelnou, nebo rnefitelnou beznymi pfistroji - a jen nepatrnacast, dye az pet procent se premeni v teplo - disipuje, zmeni se v kinetickou energii pouhymokem neviditelneho pohybu molekul tekutiny. Pri proudeni velmi vazke tekutiny potrubim jetomu prave naopak. Prevazna cast pocatecni energie kapaliny disipuje a jen mensi cast sezmeni v energii kinetickou. Znamena to tedy, ze se ph proudeni meni - roste - vnitrni energievazke tekutiny a je pak nutno s jeji zmenou v energeticke rovnici pocitat. Kineticka energietekutiny a tedy i rychlost proudeni bude u vazke tekutiny vzdy rnensi nez rychlost vypoctenaza stejnych podminek pro nevazkou tekutinu

Realna tekutina na stenach Ipi, rychlost na stene je rovna nule. Tedy nejenomnorrnalova, ale i tangencialni slozka rychlosti je rovna nule.

Pokusy se zviditeliiovanim proudeni provedene v druhe polovine minuleho stoletiukazaly, ze vazka tekutina proudi ve stejne trubici ph stejne teplote ve vrstvach - l~min~m~,obr 48a), je-li rychlost mala, nebo chaoticky, neusporadane - turbulentne, je-li rychlost velika,obr. 48b).

a)

Ll b)~--.-. - --- . ---- - _--. - ----

Obr. 48 Reynoldsuv pokus. a) Laminarni proudeni. b) Turbulentni proudeni.

Reynoldsovy systernaticke pokusy s barvou obr. 48 ukazaly, ze k prechodu laminarnihoproudeni v turbulentni dochazi v potrubi kruhoveho prufezu zpravidla pfi urcite hodnotepomeru vd/o , kde v je sttedni rychlost, d prumer potrubi a u kinematicka viskozita tekutiny.Pozdeji byl tento porner pojmenovan Reynoldsovo Cislo a znaci se Re. Nejnizs] hodnota pri nizdochazi k ptechodu proudeni laminamiho v turbulentni tj. ke vzniku turbulence, se nazyvadolni kriticke Cislo a pro potrubi kruhoveho prurezu je Re, = 2 300. Ph vytvoi'eni vhodnychpodminek (uklidnena kapalina, dobfe zaobleny vstup do potrubi atd.) lze laminarni proudeniv laboratori udrzet i pri Re ~ 10" a vyssim. V tete oblasti vsak je laminarni proudeni nestabilnia ph nepatrne po ruse se meni v turbulentni.

Pfi laminarnim proudeni je rozlozeni rychlosti zcela jine nez ph proudeni turbulentnim.V obou pripadech je rychlost na stene nul ova a rychlost maximalni je na ose. Ph Iaminarnimproudeni je rychlostni profit mnohem stihlejsi, obr. 49a nez ph proudeni turbulentnim, obr.49b.

0)Obr. 49 Rychlostni profily. a) Laminarni proudeni.

b)b) Turbulentni proudeni.

65

8.1 Zakladni rovnice pro vazke tekutiny

Pfi pnitoku realne tekutiny trubici konecneho pnirezu je rychlost V(I} po prurezurozlozena nerovnorneme, obr. 50. V tom to pfipade pocitame se stredni rychlosti v tj. takovarychlost, konstantni po celem pnirezu, ph niz je stejny prutok obr. 50.

Obr. 50 Stanoveni stfednirychlosti podleobjemoveho pnitoku.

Objemovy pnitok V lze vyjadfita) jako soucet elementarnich pnitoku

V = If av = If vCr )dA , (51)A A

kde v(r) je mistni rychlost na elementarni plosce dA, nebob) pomoci stredni rychlosti (v = konst.)

V = If vdA = vIf dA = vA .A A

Z posledni rovmce lze vypocitat stredni objemovou rychlost zname-li objemovy prutoka prurez

(52)

Pfi laminarnim proudeni je stfedni rychlost rovna polovine maximalni rychlosti, phturbulentnim proudeni je stredni rychlost rovna asi 0,75 aZ 0,8 maximalni rychlosti.

Ph stacionarnim proudeni vazkych nestlacitelnych tekutin je objernovy tok ~;.stejny vevsech prurezech V = konst. Dosadime-li do rovnice kontinuity tj. misto integralu, rov. (51),~tr.~qp..i..rychlosti, roy. (52), bude mit rovnice kontinuity shodny tvar pro nevazke i vazketekutiny.

(35)

66

Uvazujerne proudeni vazke tekutiny mezi dverna prurezy I a 2, obr. 41, bez prlvoduYn.~j~Um~fgj~(mechanicke nebo tepelne). Mezi obema pnirezy vsak dochazi vlivem disipaceke zmene vnitrni energie u. Zakon zachovani energie pak lze psat ve tvaru

PI v{ h P2 v% ( 3ul +ghl +-+Kl-=U2 +g 2 +-+K2- . 5 )p 2 p 2

Je-Ji vlivem disipacniho procesu U2 > 111, doslo v prufezu 2 ke snizeni mechanicke energiekapaliny. Vznikly pfirustek vnitfni energie - tepla - rna nizky potencial a nelze ho prernenitv uzitecnou praci, Proto se v praxi oznacuji tyto cleny (jez opet mohou byt vyjadreny i jakovysky nebo tlaky) jako ztraty:

h p.112 - til = ez = g z = -" ,

pkde ezje merna ztratova energie, hz ztratova vyska a jJz tlakova ztrata.

Bernoulliova rovnice rozsirena pro stacionarni proudeni realnych nestlacitelnych tekutino ztraty bude pak mit tvar:

(54)

nebo

h + l!.;_ + K v; =I gp I 2g (55)

V Bernoulliove rovnici pro vazke tekutiny (53) az (55) se u kineticke energie objevilkorekcni clen K. Tento soucinitel zavisi na tvaru rychlostniho profilu a muze se podel potrubimen it, pokud se bude menit rychlostni profit. Tim respektujeme nerovnomerne rozdelenirychlosti po prurezu i kdyz do Bernoulliovy rovnice dosazujeme stredni rychlost v pod Ieobjemu, roy. (52). Spravne by vsak bylo dosazovat stredni rychlost podle kineticke energie Ve

v2 [v(r))" [v(r)fi~'J: = tit ~ = If 2 dm = If 2 pv(r )dA = If ~[v(r) Y dA

Coriolisuv soucinitel je porner teto skutecne energie proudu pri danem rychlostnimprofilu ku kineticke energii proudu s obdelnikovym rychlostnim profilern

K = ,i";k = fI[v(r)]3 dA ,v- v A-pvA A")

kde v = ~~/ A je stredni rychlost podle objemu. Pro kruhovy prurez, obr. 50 je dA = 2ITrdra A = ITR2. Oznacime-li bezrozmernou (relativni) rychlost (/) = v(r) / I' a bezrozrnerny(relativni) polorner '7 = r/R dostaneme po uprave

I

K = 2I (/)31ldll .a

Pro larninarni proudeni, po dosazeni relativni rychlosti z rovnice rychlostniho profilu(viz kap. 12), dostaneme K= 2. Pro turbulentni proudeni bereme ptiblizne K;::j 1.

8.2 Hydraulicke ztnlty

a) Disipace ...energie, zpusobena vazkosti tekutiny (tj. hydraulicke ztraty zpusobeneprekonavanim hydraulickych odporu) je zavisla na rade parametru napr. viskozite tekutiny,geometrii potrubi a jeho drsnosti, ale hlavne na rychlosti proudeni. Ph vypoctu se ztratyvyjadfuji jako nasobek kineticke energie (vztazene na stredni objemovou rychlost): "

p_ v2 ::; )~~/-e = gh = _- = l:- , .I (56)

z z p 2 " 1.

kde Sje ztratovy soucinitel, zavisly na druhu ztrat. Hodnotu ztratoveho soucinitele Snajdemev ruznych pfiruckach, vztazenou vzdy na mistni rychlost. U dlouhych potrubi prevazuji ~.r~c.i:ztr~ty, umerne deice, u kratkych se uplatni ztraty zpusobene virenim tekutiny v tzv. mistnjchztr~t~9.h napr. v ohybech, ph zrnene prurezu a pod., obr. 51.

Zpravidla predpokladame, ze se kazdy hydraulicky odpor projevuje nezavisle naucinku ostatnich odporu. Celkova ztrata je pak dana souctem jednotlivych ztrat zpusobenychkazdym odporem samostatne:

67

ezcelk= IeZi resp. hzeelk = Ihz; resp. P=celk = IPzl/ . (57)Pri vypoctu slozitejsich soustav potrubi, s menicimi se prumery a rychlostmi, je vhodne

prepocitat hodnoty ztratovych soucinitelii na urcitou referencni rychlost Vr , ve zvolenemmiste, pomoci rovnice kontinuity, obr. 51.

h

z.r._._ --------

Obr. 51 Vytok z nadrze potrubim. Vystupni pnifez zvolen jako referencni prui'ez.

vA = vA'J r r=r =>Av =_r V

I Aj"

J (J"' ,v: A v., , v"e - _,_- _r _r _ _rzi - l:i 2 - l:; A 2 - l:; 2,

(58)

,l:i je tzv. redukovany ztratovy soucinitel.

b) Srovnani metody ztratovych soucinitelu s metodou korekci. Uvazujme ptipad, kdyk nadobe je pfipojeno potrubi, obr. 51. Pak za pfedpokladu, ze je nadrz rozrnerna je rychlostna hladine VI ~ 0 aje-li nadoba otevrena a vytok z potrubi jde do atmosfery, bude PI ,~ P2 ~c

Pb . Ph turbulentnim proudeni bude K = 1. Napiseme-li pak BernoulJiovu rovnici se ztratarnimezi pnirezy 1 - 2 muzeme vypocitat prime skutecnou vytokovou rychlost, zname-li celkovy

I

ztratovy soucinitel l:e (redukovany):

P P V2 v2

gh + _I + 0 = 0 + _2_ + _' + l:~.L:p p 2 2

2ghv =r

Kdybychom pouzili Bernoulliovy rovnice pro nevazkou kapalinu vypocetli bychomteoretickou rychlost ~2gh. Vynasobime-li ji rychlostnim soucinitelem (/J dostaneme opet

skutecnou vytokovou rychlost (viz kap. 7) v, = <.p~2gh .Porovnanim obou vyrazu dostaneme vztah, ktery plati mezi rychlostnim a ztratovym

soucinitelem:

resp.

Poznamka: metoda korekcnich soucinitelu se zpravidla pouziva jen ph vytoku tekutiny z nadoby otvorem nebonatrubky. Je-li k nadobe piipojeno potrubl pouiivame metody ztratovych soucinitelu.

68

8.3 Ired ztnity v potrubi

a) Potrubi ....~J1l11.9'yeh.Q.... pr.M~z;v. Ti'eci ztraty jsou zavisle jednak na tekutinedopravovane potrubim (na mnozstvi, hustote, viskozite, koncentraci primesi), jednak napotrubi (na jeho deice, prumeru, drsnosti). Protoze tyto veliciny se mohou behem pouzivani -exploatace - potrubi menit, (napi. pnimer se muze zrnensovat vlivem zanistani potrubi,drsnost zvetsovat vlivem koroze), budou i ztraty zavisle na case. Behern 200 let senashrornazdilo asi tisic vzorcu pro vypocet trecich ztrat, nektere uzce specializovane pro urCitydruh tekutiny, potrubi, teplotu a p., jine s obecnejsi platnosti. Dnes v Evrope se nejvice pocitas Weisbachovym vzorcem

h __ Po __ '1_/ 1'2ez = g z /I. d ') ,

P -(59)

kde "(m/s) je stredni objemova rychlost, / (m) delka potrubi, d (m) prumer potrubi, A. (1) jesoucinitel trecich ztrat.

Je-li dan objemovy prutok, delka a prumer potrubi, lze roy. (59) prepsat na tvar:16 / (,2

e . =A---7(2 dO 2 .

Z tete rovnice vidime, ze pro ptesne urceni ztrat je dulezite spravne stanovit prumerpotrubi, jehoz relativni chyba rna na stanoveni chyby ztrat 5x vetsi vahu nez napr. chyba vestanoveni delky potrubi.

Pro presne urceni ztrat je dulezite i spravne stanoveni soucinitele trecich ztrat A., kterybude funkci stredni rychlosti v, viskozity v, prumeru a delky potrubi d a l, jeho absolutnidrsnosti k, casu, koncentrace primesi atd.

A = ts».».d.l.k ], ...... ) .U dostatecne dlouhych potrubi ld > 100 je zavislost ztrat na deice linearni, roy. (59)

a pak soucinitel A. uz na deice nezavisi, coz neplati pro kratka potrubi.Pomoci teorie podobnosti, kap. 15, Ize pocet nezavisle prornennych dale snizit, Pokud

nebudeme uvazovat zmenu drsnosti a prumeru s casem, Ize pocet snizit na dye a toReynoldsovo cislo Re = I'd va relativni drsnost kd :

A. cc·f(Re. kd).Teoreticke odvozeni teto zavislosti lze provest pouze v laminarni oblasti, kap. 12.

Proto byla provedena systernaticka mei'eni nejprve s umelou drsnosti (napr. Nikuradse)a pozdeji s prirozenou drsnosti s kornercnim potrubim ve velkem rozsahu Reynoldsovych cisela relativnich drsnosti. Tato zavislost je naznacena na obr. 52 v logaritmickych souradnicich.

log .it

log Re

Obr. 52Zavislost soucinitele trecich ztrat naReynoldsove cisle. V turbulentnioblasti zavrsi A. i na relativnidrsnosti kid. Pro urnelou drsnostplati cerchovane cary, proprirozenou drsnost pine cary .

. I

69

V laminami oblasti zavisi It jen na Re a klesa s rostoucim Re. Pii

pfechodu It roste prudce s Re (asi mezi Re = 2 000 az 3 000). V turbulentni oblasti (nad5 000) je It zavisle na Re ik/d.Pro hladke potrubi

pro Re < 80 000.

Zatimco u potrubi s pfirozenou (ostrohrannou) drsnosti It monotonne klesa s rostoucim Re(pina cara) u umele drsnosti (cerchovane) se v pnibehu It na Re objevuje "sedlo". Pfi velkychReynoldsovych cislech zavisi It jen na drsnosti kid a to tak, ze cim vetsi drsnost, tim vetsi It.

b) Hyqnt:~hY.~.~..hladkost. Z diagramu It = f(Re,k/d) obr. 52 vyplyva, ze pfi mensichdrsnostech dojde k odchylce od krivky platne pro hladke potrubi teprve nad urcitou hodnotuReynoldsova cisla. Pfi nizsich hodnotach Re se chova toto drsne potrubi jako hladke.

Tento jev se vysvetluje zmenou charakteru turbulentniho proudeni v blizkosti stenyv tzv. vazke podvrstve vznikajici u steny, jejiz tloust'ka se s rostoucim Re zmensuje a prestaneprekryvat nerovnosti povrchu, viz kap. 13.

c) P.QtD:l.1;>j ..m~~h9.Y.~h9..pmf~.~.l:l.Ph proudeni potrubim nekruhoveho prufezu, jake sepouziva napf. ve vzduchotechnice, musime do Weisbachova vzorce (59) misto pnimerupotrubi dosadit jiny rozmer charakterizujici geometrii potrubi. Muze to byt napr. hydraulicky

o V d _ 4A (60)prumer " -o

kde A je pnifez proudu tekutiny a 0 smoceny obvod, tj. ta cast obvodu prufezu potrubi, kterase styka s proudici tekutinou. Proudi-li potrubim plyn, ktery je rozpinavy, styka se vzdy sestenou po celem obvodu prurezu.

Pro potrubi kruhoveho prurezu, zcela zaplnene tekutinou, obr. 53a) dostavamend ' 1

rovnost hydraulickeho a geometrickeho prumeru: d; = 4---- = d .4 rrd

TId 2 1dh=4 _._= d .4 TId

a

Obr. 53a) Ph pnitoku zcela zaplnenym potrubim kruhoveho pruiezu je hydraulicky prurner d"roven geornetrickemu prumeru d.

b) Hydraulicky prumer d, je pouzivan jako charakteristicky rozmer ph proudenipotrubim nekruhoveho prurezu.

Poznamka: v nektere literature se zavadt misto hydraulickeho prameru hydraulicky polomer definovany jako

A mo2 I'pruiez proudu deleny smocenym obvodem 1'" = - = -,,- = -;::. V 1011110 pripad« hydraulicky a geotnetricky

o .!.1U' .:

polomer jsou rozdilne veliciny a dochazelo k zamenam a omylum.

70

Pro potrubi obdelnikoveho pnirezu, obr. 53 b) naplnene kapalinou do urcite vYse hbude hydraulicky prumer

d = 4A = 4bhII a 2h +b

Dalsi postup vypoctu tfecich ztrat je pak stejny jako pro potrubi kruhoveho prurezu, tj.stanovime nejprve Re = vd./u a pak z diagramu obr. 52 urcime pro danou drsnost potrubi A,jez pak dosadime do Weisbachova vzorce

I v2

e =A--d" 2

Tento pfiblizny vypocet, vyuzivajici hodnot A urcenych pro potrubi kruhovehoprurezu, je vhodny jen pro turbulentni oblast. Pfi larninarnim proudeni nekruhovymi prutezybychom touto metodou dostali vysledky zatizene pi'ilis velkou chybou. Krome toho se dajiztraty pri laminarnim proudeni nekruhovymi prurezy spocitat pfesne analyticky.

,;>. / d) Tr~f1i.yJ<..u.z~I():v¢m..potrubi. Marne stanovit vypoctem ztraty vznikajici napr. ptipnitoku difuzorem, obr. 54, pritom chceme vyuzit udaju zjistenych pro potrubi konstantnihoprurezu tj. soucinitele trecich ztrat, Celkova ztrata difuzoru pak bude rovna souctu trecichztrat a pridavnych ztrat zpusobenych zmenou prurezu.

Podle stupne pozadovane presnosti, podle hloubky znalosti matematiky (a pfipadnedalsich okolnosti) muzeme stanovit ruzne hydraulicke resp. maternaticke modely tohotopiipadu proudeni.

Nejjednodussi model povazuje difuzor za potrubi s konstantnim prumerem rovnymaritmetickemu prumeru ds ,= (d, + d2) 2. Pro tento prumer stanovime Re, Ai trecl ztraty.

Ponekud slozitejsi model vyzaduje jiz znalosti integralniho poctu. Vytknerne sielementarni cast difuzoru 0 deice dx, obr. 54, pricernz rnistni prumer d(x) a stredni objemovarychlost vix) jsou funkci souradnice x.

x---- dx

Obr. 54 Priblizny vypocettrecich ztratv difuzoru.

l21------------ ---.---.-- ....-.-~

Treci ztraty tohoto elernentarniho difuzoru budou rovnydx [v(x)f

de = A ---=---=-01 d(x) '2

Z podobnych trojuhelniku Ize vyjadrit/,

=d(x) d • x

a z rovnice kontinuity

I'(x) = "t~J= I't)'Heel ztraty pak dostanerne integraci po dosazeni poslednich dvou zavislosti do vyrazu

de.; Zavedeme-li dalsi zjednoduseni A. == konst., pak

12 I~ I'~ '2dx A I [(d,)4 lv~e 01 = f de 01 = Ad- -;;:-f 5 = '4 d d d- - 1 -;;:- .

II 2 - II X 2 - I 1 -

71

Samozrejme lze vytvorit modely jeste slozitejsi, napr. i pro prostorove proudeni.Casova narocnost feseni roste s komplikovanosti modelu a je treba najit optimum mezimoznostmi fesen! a pozadovanou presnosti vypoctu. Stejnym zpusobem se postupuje phreseni vsech problema mechaniky tekutin.

Poznamka: uvedena resen! se nebudou prilis lisit od skutecnosti pouze 1'10111 pripade, ze v difuzoru nedojdek odtrzent proudu tekutiny od sten. To lze ocekavat v pilpadech, kdy uhel rozsiieni difuzoru je mensi ne: 8°.Rychlostni profily V jednotlivych prurezech difuzoru vsak maji jiny tvar //L':: rychlostni profily II potrublkonstantnlho prutezu. Tim vznikne ro:::dil mezi vypoctenymi tiecimi a skutecnymi ztratami v difuzoru i kdy:nedojde k odtrzeni proudu. Tento rozdll lze pak zahrnout do ntlstnl ztraty I' difuzoru.

8.4 Mistni ztnity

Mistni ztraty jsou pridavne ztraty k trecim ztratam, zpusobene zmenou velikostipriirezu potrubi nebo zmenou smeru, coz rna za nasledek vznik viru v tekutine. Kinetickaenergie techto vim se odebira z energie hlavniho pohybu proudu tekutiny tj. energie se zmeniv tepio - dissipuje.

Velikost mistni ztraty se pocita ze vztahu,

v-e =r_os" ,

kde ztratovy soucinitel t; je zavisly na geometrii mistni ztraty, ale ph nizsich hodnotachReynoidsova clsla i na Re . Ztratovy soucinitel se urcuje vetsinou experimentalne a jehohodnoty Ize nalezt v niznych priruckach.

Uved'me si pro informaci nektere mistni ztraty:

a) Y~t~m..QQ..p.Q~mpj,obr. 55. Pfi velkych hodnotach Re > 10' budou hodnoty ztratovychsoucinitelu zaviset jen na geometrii vstupu.

Pro dokonale zaobleny vstup, (obr. 55a) t; = 0,03, pro ostrohranny pravouhly vstup(obr. 55b) t;= 0,5 a pro Borduv natrubek, tj. potrubi zasunute do nadrze, muze byt (obr. SSe)t; > 1. Protoze ph bezne vyrobe nikdy nelze docilit dokonalou geometriekou podobnost, jetreba u vsech mistnich ztratovych soucinitelu pocitat s pornerne velkym rozptylem.

~--.--- _ezvl

C)

-<z.zZ2P"---.--_IIb)

_ .--_Obr. 55 Riizne usporadani vstupu do potrubi.

a) Zaobleny, b) ostrohranny, e) Borduv natrubek.

b) Zm~n~.~m~.I1l.p.r~mQ~(koleno, ohyb). Vzhledem k nerovnomernemu rozlozeni rychlosti vevstupnim prurezu (max. rychlost je v ose potrubi) a vIivern ucinku odstredivych sil budeproudeni v techto pfipadech vzdy prostorove. Castice tekutiny se pohybuji v ohybeeh posroubovici, obr. 56. Za ohybem dochazi na vnitfni strane k odtrzeni proudu. Ztratovysoucinitel bude zavisly na velikosti zmeny smeru proudu a na relativnim polorneru zakfiveniRid.

72

Obr. 56 Proudeni v ohybu. ObI'. 57 Usmeniovaci lopatky snizuji mistniztraty pfi proudeni v ohybu.

U ostrohrannych ohybu se vytvafi viry i na vnejsi strane. Ke snizeni ztrat se do techtoohybu vkladaji usmeniovaci lopatky, obr. 57.

Nasleduji-li dye mistni ztraty tesne za sebou ovliviiuji se navzajern. Proudove polepied, resp. za nimi je jine, nez kdyby se nachazely osamocene v primem potrubi, coz je pripadpro ktery byly hodnoty ztratovych soucinitelu urceny experimentalne.

-- 11 2J;

a) b)Obr. 58 Prutok dvema mistnimi ztratami (ohyby) umistenyrni za sebou,

a) ve vetsi vzdalenosti - neovliviiuji se b) blizko za sebou - dochazi k interakci

V ptipade, ze dochazi k interakci nelze stanovit vyslednou ztratu jako soucet jednotlivychztrat. Na obr. 58a) jsou dva ohyby daleko za sebou, pak celkovy ztratovy soucinitel SC= 2;'.Jsou-Ji vsak tesne za sebou, obr. 58b) vteka tekutina do druheho pod sikmym uhlem a SC< 2;'a ztratovy soucinitel SC musime stanovit zvlast' pro celek tvoreny temito dvema blizkymiohyby.c) Nahl¢ f()zsifeI1iprM.e;Zll, Bordovaztrata. Ph nahlem rozsireni prurezupotrubi, obr. 59, by se teoreticky, P1podle rovnice kontinuity, mela <r9 r - - - i

okamzite zmensit stredni rychlost na ! IA 2 Ihodnotu v.? = vJ(dl'd.?).? a tlak _V_1"---__ __[_ __j__. __l__

d, ~kontrolni obtest

ft~stoupnout 0

P"I--------- -----p,.-.--_._._-_- p 2tI- 2,!

ii!L ~_~. ~V2I

Obr. 59 Nahle rozsireni prurezu se skutecnym a teoretickym rozlozenim tlaku a rychlosti.

73

Ve skutecnosti nebude proud sledovat steny potrubi, dojde k odtrzeni proudu, ktery sebude rozsirovat postupne a u sten se vytvofi viry, jez pro nas predstavuji disipaci energie.Skutecne stoupnuti tlaku bude tedy nizsi nez odpovida teoretickemu a vypocteme je z vetyo zmene hybnosti psane pro kontrolni oblast ve tvaru valce 0 zakladne A2, obr. 59. Ve smeruproudeni pusobi tlakove sily na cela. Treci silu na plast' zanedbame:

Z rozsirene Bernoulliovy rovnice psane mezi pnifezy 1 a 2 Ize urcit ztratu nahlym rozsirenimpnirezu - Bordovu ztratu

o 1

v~ - v;ez =

2kde prvni clen charakterizuje teoreticke a druhy skutecne stoupnuti tlaku. Po dosazeni z vetyo zmene hybnosti

(61)

kde c,+-~r(l resp. ~1 = (Ac - 1): > ~• A II

Otazky ke kap. 8.:

1) Jake jsou rozdily pri Ieseni proudeni potrubim konstantniho prurezu pouzijeme-li modelnevazke nestlacitelne tekutiny oproti proudeni realne tekutiny.

2) Jak se projevi disipace energie ph proudeni realne tekutiny vodorovnym potrubimkonstantniho prufezu, nebo pri vytoku z nadoby svislym potrubim konstantniho pnirezu?

3) Kdy nastane laminarni resp. turbulentni proudeni a jaky je mezi nimi rozdil?4) Jaky je rozdil v zapisu rovnice kontinuity pro nevazkou a realnou nestlacitelnou tekutinu?5) Cim se lisi rozsirena Bernoulliova rovnice pouzivana pro nestlacitelnou vazkou tekutinu

od Bernoulliovy rovnice pro nevazkou nestlacitelnou tekutinu? "6) Co je pricinou hydraulickych ztrat? Jak je delime?7) Za jakych predpokladu lze jednotlive ztraty scitat, takze celkova ztrata je rovna souctu

ztrat?8) Na cern zavisi tteci ztraty?9) Jak pocitame tfeci ztraty v potrubi nekruhoveho pnirezu pri turbulentnim nebo

laminarnim proudeni?10) Nakreslete zavislost soucinitele trecich ztrat na Reynoldsove cisle a drsnosti sten.11) Jak se pocitaji pfiblizne treci ztraty v difuzoru?12) Na cern zavisi velikost mistni ztraty?13) Jak lze zmensit ztratu pfi vstupu do potrubi?14) Popiste proudeni pfi zrnene smeru proudu a jakym zpusobem Ize tuto ztratu zmensit?15) Jak se pocita ztrata pfi zmene prurezu potrubi?16) Jak lze zrnensit ztratu ph rozsireni prurezu potrubi?

74

Predpoklady: Obr. P 8.1

Priklad P 8. 1

Tlakove potrubi 0 prumeru D a deice I privadivodu do hydroelektrarny na Peltonovu turbinuopatrenou jednou tryskou 0 prumeru d, obr. P8.1. Dan geodeticky spad H, ekvivalentnidrsnost sten potrubi k, soucinitel vstupni ztraty(-, ohybu So a ztratovy soucinitel trysky St(vztazen na rychlost ve vystupnim prurezu).Urcete prutok Q (111~/s), vykon proudu vody,tj. kinetickou energii vody ve vystupnimprurezu, hydraulicke ztraty v privodnimpotrubi a ucinnost piivodniho potrubi.

Dano: H = 250 m, D = 0,6 m, 1= 1500m, k = 0,2 111m,d = 0,1 m, S; = 0,5, S:, = 0,1, St = 0,04.

UrCit: hltnost turbiny (} (1113/s), hydraulicke ztraty h; (m), ucinnost potrubi '71" vykon prouduvody P (MW).

Rozbor (schema):

Pnimer potrubi privadece se urcijako optimalni a to tak, zez hlediska hydraulickych ztrat H Ivolime co mozno nejvetsi, nebot' II

pak je rychlost v ne111mala (ztraty Izavisi na kvadratu rychlosti),z hlediska porizovacich nakladu je Jzase vyhodnejsi - levnejsi - maly "prumer.

1) Proudeni v piivadeci spada do kvadratickeho rezimu. Soucinitel trecich ztrat

A = 0,1 {~) 1/4

2) Na vystupu z trysky je obdelnikovy rychlostni profil.")U'.· bi H-h_ 1,212g) cmnost potru I 'llp = H· = H

Reseni:

Z Bernoulliovy rovnice napsane pro hladinu a vystupni prurez trysky urcime vystupni rychlost

75

2gH 2 .9,81· 250~= = ,

~ (~" + k ~ + 21;0 )(~r + (I+~,) , (0,5 + 0,0151~,~0 +2 O,I)(~:~r+ 1+ 0,04

kde A = 0,11( 0,2) 114 = 0,015 , pak "2 = 67,7 m/s a hltnost 6 = mJe. v, = ~0,12 .67,7=0,53600 - 4 - 4

(d)2 (01)2Rychlost v potrubi VI = "2 D = 67,7 0:6 = 1,88 m/s

a Reynoldsovo CisloRe = vlD = 1,88.~,6 = 1,13.106.\) 10-

Hydraulicke ztraty v pfivadeci

h =(r'+Ai+2r )~+r v~ =(°5+0,0151500 +2.01) 1,882

+004 67,72 =z ~\ D ~o 2g ~t 2g , . 0,6 ' 2·9,81 ' 2.9,81

= 6,88 + 9,34 = 16,22 m.

U'V. v· dVV H-h_ 250-16,22 01 9'"'50/cmnost pnva ece TJp = = ·100/0 = .), /0.H 250

2 e.V 'k d ih d P O·v~ , 67,7 My on vo ru 0 prou u = p_ 2 = 10- .0,53.~ = 1,21 W.

Diskuse:Turbina nevyuzije cely vykon vodniho proudu a i elektricky generator I1Ul ucinnost rnensi nezjedna. Vysledna ucinnost je pak dana soucinem vsech tfi ucinnosti.

Ptiklad P 8.2

Pro vetrani dulni chodby dlouhe l se privadi hladkyrn potrubim 0 prumeru d cerstvy vzduchv mnozstvi 00. Stanovte v jakem pomeru budou tlakove ztraty v privodnim potrubi, jestlize:a) vsechen cerstvy vzduch privadime az na konec chodby, obr. P 8.2a.b) vzduch rozdelujeme rovnomerne po cele deice potrubi, obr. P 8.2b: CL = o, (1- xll).Nakreslete prubeh statickeho tlaku podel potrubi pro oba pripady.

Dano:d= 0,2 m, /= 1 km, 00= 1 m3/s, hladke potrubi, p= 1,25 kg/nr', v= 15.10-6 m2/s.

Urcit: pz (Pa), nakreslit p =j{x) (pro a) ibj).

76

Pfedpoklady:I) Yzduch Ize povazovat za nestlacitelnou

tekutinu.2) Soucinitel trecich ztrat

A = 0,0054+0,396Re-O•3 = konst. Obr. P 8.2a, P 8.2b)

3) Chodba rna velky prurez, tlak v chodbe je ptiblizne konstantni.4) Zanedbame ztraty odbocenim proudu vzduchu.

4Q" 4·1 Iv = -- = , = 31,8 m s." tid : rr'O,2-

Kontrola predpokladu nestlacitelnosti vzduchu

Me V" 31,8 9 03 dmi ka i I Va = - = -- = 0,0 < , ; po mm a Je sp nena.a 340

R ldsovo ci 1 v"d 3 1,8 . 0,2 '\eyno dsovo cislo ?e = - = . = 4,24.10".u 15. ]o'

Soucinitel trecich ztrat A = 0,054+0,396(4,24.1 05rO.3= 0,0135.Tlakova ztrata v privodnirn potrubi

_ ='A!_ V,~ =00135100012531,8: =427kPaP." I P ,., , 0""'" , ,

(- ,--d 'doh r; 42700 4-'5 dnil Itomu 0 POVI a _ = _-' = = ,.) m vo 11110 S oupce.

_,I gp 9,81· 1000

b) Ph rovnomernern rozdelovani vzduchu jeprutok o, a rychlost Vx funkci x. Mistni tlakovaztrata zpusobena trenim se stanovi proelementarni usek potrubi 0 deice dx obr. P 8.1 c.

I v~. 1 P . 2 ( x) - I6 _dp ; = A-p-dx = A--QI) 1--. -'-4 dx ,d 2 d 2 I rr-d

Rozbor (schema):Nejdrive stanovime rychlost vzduchu v potrubiVo a je-li Machovo cislo Ma = vola < 0,3zanedbame stlacitelnost (a ~ 340 m/s je rychlostzvuku). V piipade a) je rychlost konstantni pocele deice potrubi a ztraty urcime beznymzpusobem. Y pripade b), kdy rychlost v potrubise ve smeru proudeni zmensuje, urcime ztratyjen pro elementarni cast potrubi 0 delce dx a tutorovnici pak integrujeme pres celou delkupotrubi. Prubeh statickeho tlaku stanovimepomoci Bernoulliovy rovnice.

Reseni:a) Stredni rychlost v potrubi

na useku 0 deice potrubi x bude tlakova ztrata rovnaPzt»: o: x ( , )_.. P_,7 x x-fdp;/) =8A-, -, f 1-2-+-., dx ,tcd: . I I-

t) II

77

c)

Obr. P 8.2c

a)

b)

d)

1 xl

_ pQ; ( x2

1 X3) A p 2( x2 1 X

3)P-b· -SA- x--+-- =--v x--+--

• x n2d5 1 3 12 d 2 u / 3 /2 .

Tlakova ztrata pro celou delku potrubi X = 1

P b = SApQ; !_ = A'!_I2v2 ~ = Pza = 142 kPaZ rc2d5 3 d 2 '.1 3 3 '

je rovna jedne tretine tlakove ztraty pza.

Pnibeh statickeho tlaku podel potrubi:

B.r. O-x:

) V W dX k = _. = _ 'I pQ,; x = ) _ 'I!_ v~a tornto pnpa c Vx = Vo = onst.: Px Pa PZel Pel r; rc2d5 I" fI.. d p 2 '

kde P« =Pza = 42 700Pa je pretlak v prurezu x == 0 a tlak ve smeru proudeni klesa podle pfimxy.

b) V tornto pripade ve smeru proudeni rychlost klesa podle primky F, = V,.(l - ;).

P, =r, +~V;[l-(:J]-p", = p.

= P + P V2[1- (1- 2 x + X2) _ A (x _ x2+~)] [kPa]

b 2 0 1 /2 d /2 3/2 ,.

kde Pb = Pzb - P v; = 13,6 kPaje pretlak. 2

v prurezu x = 0, staticky tlak klesa ve smeruproudeni nelinearne, viz obr. P S.2d.

o

Diskuse: Obr. P 8.2d

Vite, ie- flmske vodovody patfily k technickym diviJm steroveku? Za ctsere Konstennn« zesobovek: Rlm 19

vodovodiJ. Tfetf v pofadf "aqua Marcia" pfivad~1 vodu ze vzaetenost! 91 km. Vodovod cisafeClaudia z poloviny 1. sto/etf by/ 69 km d/ouhy a z tono 13 km d/ouhy ase« ved/ po mohutnychob/ouclch. Voda se odebfra/a v kaSnach, nebo ji za mfmy poplatek donesli nosici. Ty soukromebyty, ktere byly napojeny pffmo na vodovod, m~/y (Jfednf} urceny velikosti bronzovych trysek, abymonte byt orcene spotfeba vody. Nf}kteff si zv~tSovali pfftok tim, te k trysce pfidali natrubek vetvaru difuzoru (viz lit. Fox, Mc Donald str. 354), takte vytokovy priJfez byl vf}tSf net priJfezkalibrovane trysky. V roce 97 byla proto vydana smemlce, te trubice pfipojena k trysce musf mitnejmen~ 15 delkovych metriJ od vefejneho vodovodu konstantnl priJfez, stejny jako tryska.

- prvnl vodovod pro zesooovent prazskych aomecnosn by/ zflzen roku 1337, ale opevn~na mlsta jakoPratsky hrad a VySehrad mete vodovody starSI, asi z 11. stoletl. V roce 1430 byla vyouaoven«

Starom~stska voaeme, dflve net ve velkych zapadoevropskych mestecn.- v soucasne doM je delka prazske vodovodni stt« asi 3000 km, z toho je 1/6 za hranici tivotnosti.

N~ktere useky jsou v provozu osmdeset a dokonce i vtce net sto let. Proto se ztraty ve vodovodnlslti odhadujf na 40%.

78

9. NESTACIONAANI PROUDENi

Pfi nestacionarnim proudeni se veliciny charakterizujici proudeni tekutiny, jako napr.tlak nebo rychlost, mohou obecne rnenit nejenom s drahou, ale i s casem. Jsou tedy funkcidvou nezavisle promennych a proto pocitame s parcialnimi derivacemi.

Tyto po me me slozite ulohy lze v nekterych pfipadech zjednodusit, napr. jsou-li zmenys casern velmi pomale neni treba uvazovat vliv setrvacnych sil a resime je jako kvazistacionarniproudeni, viz priklad 7.1 a odstavec 9.2. V pripade, kdy se pruiez proudu s drahou nemeni,lze misto parcialnich diferencialnich rovnic pracovat s obycejnyrni diferencialnirni rovnicemi.

Pf velmi rychlych zrnenach rychlosti vsak muze nastat tak velke stoupnuti tlaku, ze jenutno uvazovat i stlacitelnost kapalin a pruznost potrubi, viz odst. 9.5.

9.1 Diferencialni tvary zakladnich rovnic

Diferencialni rovnice popisuji proudeni elementarni castice tekutiny. Pokud se nampodaf je Iesit, dostaneme mnohem vice informaci nez z integralnich tvaru.

a) R().vD.i~~..kontinuity ...prQ ..jednorozmerne ...nestacionarn! ..prouden] .. stl(l~it~ln,~...tekutiny(p 1:. konst.). V tomto pripade rozdil hrnotnosti vtekajici a vytekajici za dany casovy intervalz kontrolni oblasti, obr. 60, muze, ale nemusi byt roven nule (p I 1'1 AI - Pc v 2 A2 )dt ~ 0 .

Obr. 60 Kontrolni oblast pro odvozenirovnice kontinuity pro nestacionarnijednorozmerne proudeni stlacitelnetekutiny.

Je-Ii tento rozdil odlisny od nuly dochazi uvnitf kontrolni oblasti k akurnulaci neboubytku hmotnosti s casem a tedy ap / at 1:. 0 .

Uvazujme nejprve prutok elernentarni casti kontrolni oblasti 0 deice ds. Za casovy usekdt vtece vstupnim prurezem hmotnost pAvdt. Ve vystupnim pnirezu. vzdalenem od vstupnihoo elementarni drahu ds, lze tok hmotnosti vyjadfit jako soucet hmotnostniho toku ve vstupnimpruiezu a elementarni zrneny tohoto toku na draze ds.Vystupnim prufezem tedy za cas dt vytece

[PAl' + ~~~.(PAV)dS]dt

U stlacitelnych tekutin musime jeste vyjadfit zmenu hrnotnosti tekutiny obsazene ve zvolenekontrolni oblasti s casem. Obsahuje-li element v case 1 tekutinu, jejiz hmotnost je pAds, pakv case t+dt bude hmotnost tekutiny uvnitf elementu rovna

(p + cp dl) Ads .al

79

Napisme nyni bilancni rovnici pro hmotnost tekutiny v uvazovanem elementu:odtok - pfitok + akumulace = 0, resp.

[PAl' +!(pAvJdsft- pAvdt + [(p+ : dt)Ads- PAdS] ~ 0

po upravea op

-(pAv)ds + -Ads= 0 .as at (62)

Chceme-li ziskat rovnici pro celou kontrolni oblast budeme roy. (62) integrovat mezivstupnim a vystupnim pnifezem po draze I :

'0 '0f-(pAv)ds + f _£Ads = 0oOs (lot

'apP2A2V2 -p,A,v, + f-Ads=O (63)

(J ctPh stacionarnim pnitoku stlacitelne tekutiny bude op / at = 0 a rovnice se zjednodusi na

P2A2V2= p,Alv, .Po stacionarnim i nestacionarnim proudeni nestlacitelne tekutiny je PI = P2 = P = konst. a tedy

Av =Av =('" 2 2 ,

pricemz VI, V2 a V jsou pfi nestacionarnirn proudeni funkci casu.

b) 'p'qhy9.QY~..rQ.Y.I)..i.<!~.Z druheho Newtonova pohyboveho zakona lze dostat rOVnICl projednorozmerne nestacionarni proudeni realne, tj. stlacitelne a vazke tekutiny proudovymvlaknem:

,,- dvL....dF=dm- .dl

V urcitem casovem okamziku pusobi na elementarni castici tekutiny, obr. 61, sily objernove(hmotnostni) a povrchove - tlakove a treci. Uvazujme, ze na castici tekutiny, pohybujici sev neinercialnim souradnem systemu, pusobi hrnotova sila charakterizovana vektorem intenzityhmotovych sil K, viz kap. 3 a. Jeji slozka pusobici ve smeru s je rovna K cos \I,dm.

pdAt

PA. ;5 (p A) dsObr. 61 Elementarni castice tekutiny

vytknuta pro odvozeni pohybove rovnicepro jednorozmerne nestacionarniproudeni tekutiny.

RpA 1JI_,__-~-~- ----

dm = )L'AdsA/ VdA

1-1. =d=s~d~cr::::=tj

Vysledna tlakova sila piisobici ve smeru pohybu na castici je rovna souctu sil pusobicich nacela castice a slozky tlakove sily pusobici na plast' castice, jez je dana (ph zanedbaninekonecne malych velicin vyssiho radu) soucinem tlaku p a velikosti prumetu plaste do rovinykolme ke smeru s, viz kap. 4, coz je prave rovno pfinistku prurezu

oAdA=-dsas

80

pA - [PA + ~ (PA)dS] + P oA ds = - op d~A .as OS os

ned sily pusobici na plast' castice lze priblizne vyjadtit jako soucin tecneho napeti 7: a plochyplaste (pusobi proti pohybu, proto minus)

- iods ,kde 0 je obvod prurezu castice.

Pfi nestacionarnim proudeni je zrychleni castice zavisle na draze i na casedv Oil Oil ds ov all-=-+--=-+v-dt at as dt at as '

nebot' ds = vdt. Prvni clen ov I at je lokalni zrychleni, druhy VOl! I as konvektivni zrychleni.Dosadime-li vsechny tyto vyrazy do Newtonova zakona dostaneme

op all allK cos wdm - - d~A - xods = (- + v -- )dm .os at asDosadime-li hmotnost castice dm "'"pAd~' a podelime rovnici clenem (-pA) dostaneme

op 1 T. U av 01'-K cos \l/d~'+ -d~'- + --d'S + -ds + v-ds = 0 ,

cs p p A ot osoznacme dp = (Cp I cs)ds , dv = (ell I es)d~' a skalarni soucin vektoru K a as napismepornoci slozek:

- (K .dx + K dy + K_d=) + dp + d(V2) + all ds + de: = 0 , (64)x .1 • P 2 at -

kde d(v2/2) = vdv a de: = (7:p)(oA)ds je mozno povazovat za energii disipovanou vlivemviskozity tekutiny, kterou jsme v kap. 8 vyjadrili jako (v2/2. Vsimneme si, ze oA = ilr, tj.hydraulicky polomer.

Ph proudeni nestlacitelne vazke tekutiny za pusobeni jenom zemske tize (p = konst.,K.~= K = 0, K; = -g) muzeme roy. (64) integrovat mezi dverna prurezy a dostaneme (proproudove vlakno)

v"" 1 p'" ,'"'I .., I a e :gf dy + - f dp + f d( \; ) + f ~s + Ide: = 0.vI p PI \'1 II I)

J ' JP - P 1'- - II- fOilg(Y2 - YI) + 2 1 + 2 ") 1 + ~at s + e: = 0

p - o·

Pro realnou trubici konecneho prurezu by se u kineticke energie objevil korekcnisoucinitel K. Lokalni zrychleni all I ot byva oznacovano at .

Pro stacionarni proudeni nevazke tekutiny dostaneme Bernoulliovu rovnici

(65)

P V2 P ,,2gy + _1 + _1 = 01.', + __2.. + ___2_ •

1 ") O"T~ ")P - p-

(39a)

9.2 Kvazistacionanli proudeni

V nekterych pfipadech nestacionarniho proudeni, jako napr. ph vytoku z nadob viz pr.P 7.1 a ph vyrovnavani hladin malymi otvory je clen obsahujici zrychleni resp. zpozdeni01' I at v urcitych stadiich proudeni zanedbatelne maly proti ostatnim clenum rozsireneBernoulliovy rovnice (65). Pripad pak resime, jako by proudeni bylo sice s casem pro menne,ale v kazdem okamziku ustalene - stacionarni, coz samoziejme neplati v pocatecnim stadiu,kdy se rychlost rneni z nulove hodnoty na hodnotu odpovidajici stacionami rychlosti. Chceme-Ii vsak sledovat napf. okarnzite polohy hladin, dostavame zcela vyhovujici vysledky. Jakopiiklad si uved'me vyrovnani hladin ve spojitych nadobach rnalym otvorem, obr. 62.

81

AU' 1

h10 \7 A2

A h2~

Q>dh1(t)r~ :" h(t}

h1(t)•dV-0) b)

Obr. 62 Vyrovnani hladin ve spojitych nadobach (kvazistacionarni).a) pocatecnt stav,b) poloha hladin v case t a t+dt (pro sestaveni diferencialni rovnice popisujici dej).

Zname-li prufezy nadob a otvoru AI. A2 »A, pocatecni polohu hladin hio. h20 (v case t = 0),obr. 62a, resp. pocatecni rozdil hladin h., = hlO - h20 a vytokovy soucinitel u, muzeme stanovitpolohy hladin v libovolnem okamziku a dobu za kterou se hladiny vyrovnaji. Abychom mohlisestavit diferencialni rovnici popisujici dej, musime uvazovat polohy hladin v obecnemokamziku t, kdy jsou hladiny v polohach h1(t). h2(t), resp. rozdil hladin h(t) = hI(t) - h2(t), obr.62b. Pro reseni pouzijeme nyni jinou metodu, nez tu kterou jsme postupovali v pfikladu P 7.1.Napiseme si nyni bilancni rovnici pro objemove toky, viz kornentovany piiklad P 7.'2. Zacasovy interval dt klesne hladina v leve nadrzi 0 dhitt) a v prave stoupne 0 dhsit). obr. 6'2b.Pro nestlacitelne kapaliny musi platit rovnost objemu

av = - A,dh, (I) = A2dhz (t). (66)

Znamenko minus na leve strane musime zavest proto, ze dhJ(t) < 0, hladina s casem klesa,zatimco dh2(t) > O.

Z obr. 62 vidime, ze plati h(t) = hl(t) - h2(t).Diferencovanim teto rovnice dostaneme dh(t) = dh.tt) - dh2(1). (67)Objem dV musi z leve do prave nadrze proteci otvorem za cas dt

dV = d~j-dt= JJA~2gh(t)dt . (68)

U zatopeneho otvoru je rychlost zavisla na rozdilu hladin h(t). Z rovnic (68) a (66) lze stanovit

dh, (t) = - JJA~2gh(t)dt; dh, (I) = JJA~2gh(t)dtAl A,

a po jejich dosazeni do rovnice (67) dostaneme

-'T dh(t) = JJAfii Al + A2 Idt ,'-) ~h(t) A,A2 0

kterou integrujeme od pocatecniho stavu t = 0, kdy rozdil hladin byl ho do obecnehookamziku t, kdy rozdil hladin je roven h(t):

2(Fo -~h(t))= JJAJ2iA, +A2 t . (69)A,A2

Dobu uplneho vyrovnani hladin vypocteme, polozime-li h(l) = 0:

t; = 2 A, A2 [h;. (70)r JJA..[ii A, + A2 0

Z teto rovnice lze jako zvlastni pfipad vypocitat dobu vyprazdneni nadoby konstantnihoprufezu, pfiklad 7.1, polozime-li h« = h aA2 »A!. V tomto pfipade

82

AJ _:_ AA - J

_I +1A2

Rozsirenim prave strany .Jh: dostaneme t - '2Alhl)v - 11A)2gho .

Kdybychom meli stanovit dobu za kterou se naplni plavebni komora, pak budemepredpokladat, ze AI » A2 »A, obr. 63a. Kdyby prurez nadoby Al nebyl konstantni, jakonapr. u lici kokily naplnene tekutou oceli, obr. 63b, museli bychom vyjadiit zavislost AI(h)a integrace je pak slozitejsi viz priklad P 7.'2.

a

Obr. 63a) Nacrt plavebni komory Obr. 63b) Lici panev - komoly kuzelb)

9.3 Vynucene nestaciol1Clnli proudeni

U pistovych cerpadel Ize drahu, rychlost a zrychleni pistu stanovit jako funkci casuz kinematiky hnaciho mechanismu. Pokud kapalina sleduje pohyb pistu muzeme tyto velicinydosadit do pohybove rovnice a reseni pripadu se tak zjednodusi.

Na priklad u pistoveho cerpadla pohaneneho klikovym mechanismem, obr. 64, lze zapredpokladu nekonecne dlouhe ojnice vyjadrit drahu xp, rychlost 1'1' a zrychleni ap rovnicemiharmonickeho pohybu

x p = R - R cosoiz = R(1- COsCO() ,

v = ax / ct = coRsinco(p p ,

a p = av p / at = co~R coscot .Chceme-li pak vypocitat tlak na stene pistu P» napiseme pohybovou rovnici mezi hladinoua stenou pistu

P ,,2 11+1 "p

0+ Pb +O=gh+-P +-f-(l+s~,)+ fasds+ fapds.p p - (I {,

Derivaci rovnice kontinuity podle casuc a

-(vsA.,,) = -(v/,Ap)at alzjistime, ze plati i pro zrychleni

pak

83

pp =Pb -gPh-~V~(l+l;;~)-ap[(h+/)Ap +Xr]P'- As

Vyraz v zavorce se oznacuje jako redukovana delka potrubi I.ed .

,wt1/

Obr. 64 Pistove cerpadlo

I

....Xp\•

z.r.l Vo= a

.L-I __ --'-

Klesne-li hodnota tlaku v kapaline pod hodnotu tIaku nasycenych par p' vznikajiv tomto miste bublinky pary (kapaIina vre za studena), ktere jsou rozpinave. Pfi mensimmnozstvi parnich bubIinek dochazi nejprve ke zhorseni ucinnosti cerpadla, pri vetsirn mnozstviby mohIo dojit k preruseni funkce, nebot' kapalna faze prestane sIedovat pohyb pistu, Tim jeomezena ~~9J..yY.~k~.~~~p'~ql~,jiz pak Ize stanovit z rovnice

Vi dime, ze zavisi na barometrickem tIaku Pb, ktery s nadrnorskou vyskou klesa, na tlakunasycenych par p', ktery roste s tepIotou kapaliny, na kineticke energii udelene kapaline, na

zrychleni kapaIiny a velikosti ztrat.

Jev, ph nemz dochazi ke vzniku bublinek pary, ktery jsme zjednodusene popsali, senazyva kavitace a projevuje se jeste navic erozi materialu v mistech, kde dochazi kekondenzaci parnich bublinek, coz je zvlast' nebezpecne u Iopatek vodnich stroju - cerpadela turbin. Kavitace muze vzniknout i pf stacionarnim proudeni.

9.4 Samovolne nestaciominli proudeni

V pfipadech, kdy kapalina je uvedena do pohybu silou tize jsou zrychleni, rychlosta draha nezname, coz vede na diferencialni rovnice. Ukazme si reseni uloh na zjednodusenychmodeIech:

a) .YYt.9.l.\ .. ~.n~g9PY...pf.i .. )1~hl~m...9.~~yr~Ili .P.9~fl:1.l:>i. Necht' je k rozsahle nadrzi pripojenovodorovne potrubi konstantniho prufezu, obr. 65, 0 delce I a vyska hladiny je h. Kdybychomvysetrovali jiz ustalene proudeni, pak vyska hIadiny h = konst. a tedy i rychlost

v = ~ 2ghst 1+l;;c viz odst. 8.2 b (71)

84

II

fII.,

!I·

f!

xa)

vtt:Vst

1

I

b)Ke stejnemu vysledku bychom dospeli, kdybychom ph nahlern otevreni potrubi zanedbali vlivsetrvacnych sil a fesili pripad jako kvazistacionarni. Pro 1 ::s; 0 by rychlost byla rovna nule. Prot> 0 by rychlost skokem vzrostla na konstantni hodnotu VsI. To ovsem odporuje skutecnosti,nebot' rychlost bude rust z nulove hodnoty na VSI plynule - spojite, obr. 65b. Zavislost okamzitehodnoty rychlosti na case dostaneme z pohybove rovnice napsane pro hladinu a vytokovy

avJIL atat -Obr. 65 Nestacionarni vytok pfi nahlem otevreni

potrubia) Rozlozeni energetickych vysek podel

potrubi v urcitem okamziku I,b) zmena relativni rychlosti s casem.dt t

otvor

gh > v2(t)(1+~ )+ 0,,(/) I .2 c 01

Z rovnice (71) Ize vypocitat a dosadit do roy. (72),

v-gh=(l+~c)-;- ,

pak po uprave a po nahrazeni symbolu parcialni derivace obycejnou derivaci, nebot' rychlostse meni pouze s jednou nezavisle promennou t:

j dl = .».'T ,dv(I!o l+~c I) ";1 -V"(I)

(72)

protoze

1 1 (1 1)v2 - v2 (I) = 2v v + 1'(/) + V - \1(1)

st sf sf st

I v + v(/)1 = In 51 ,

(1 + ~c )"51 VSI - v(/)resp.

1 + v(/)I v

1 = In 51

(1 + ~c )1'51 I_v(t)"SI

(73)

coz Ize upravit na tvar

1'(1) = Igh (1+~c Sh)V'I 2

kde Sh = Vsrl/I je tzv. Strouhalovo cislo, nazvane podle ceskeho fyzika, ktery se v minulemstoleti zabyval trecimi tony ("zpivani telefonnich dratu") a ve sve praci publikovane v roce1878 poprve tento bezrozmerny komplex pouzil. Z prubehu rychlosti resp. z roy. (73) plyne,ze k ustaleni proudeni tj. 1'(1) = I'll dojde teoreticky za nekonecne dlouhou dobu.

85

v2 (t) V2 (t)

gy + -- = - gy + -- + k vet) + a.l .,., ,.,- ....(74)

Cheeme-li vysetrit pnibeh tlaku podel potrubi napiseme si pohybovou rovniei mezihladinou a pnirezem potrubi ve vzdalenosti x od nadoby

gh = p(x) + (1 +l:x) v2

(1) + atx .p 2

Z teto rovniee vidime, ze okamzity prubeh tlaku je linearni funkci x (vii vern trecich ztrata setrvacnych sil), obr. 65. S pnibehem casu, takjak roste ryehlost v potrubi, obr. 65b, se budesklon teto pfimky zmensovat.

b) Km.i~@.i..~JQ.l;lP.~.~..kapalinyv .V...-trubici. Kapilarni U-trubice konstantniho priirezu se svislymirameny je naplnena sloupeem vazke kapaliny 0 celkove deice l, obr. 66.

y

h z.r.y. -----~-------

l

Obr. 66 Kmitani sloupee kapaliny v U-trubici. U realne kapaliny muze byt pohyb tlumenyaperiodicky (b ~ ill ) nebo periodicky (OJ > b > 0), u nevazke kapaliny (b = 0) jepohyb harmonicky.

V case t = 0 je kapalina v klidu a hladiny nejsou ve stejne vysce, pocatecni rozdil je h,zpusobeny pocatecnlm rozdilem tlakii. Otevrenim obou ramen budou nad hladinami stejnetlaky a kapalina se uvede do pohybu. Stanovrne rovnici urcujici okamzitou polohu hladin zapredpokladu, ze proudeni bude laminarni a treci ztraty lze pocitat stejnym zpusobem jako pristacionarnim proudeni: ..

e, = 64u !__ ,," (I) = k v(t).• v(t)d d 2

Polozme pocatek souradneho systemu do rovnovazne polohy a predpokladejme, zev obecnem case t se hladiny nachazeji v poloze ± y. Napisme pohybovou rovnici mezi obemahladinami

Protoze draha, kterou hladiny probehnoubude ryehlost a zryehleni rovno

() as .vt = at =-y,

s = hl2 - Y

a2s ..a=-=-yat2 .

Po dosazeni do predchazejicl rovniee a po up rave dostaneme obycejnou diferencialni rovnicidruheho radu s konstantnimi koeficienty a nulovou pravou stranou.

y + 2by + ill 2Y = 0kde

b = k 12fObecny integral teto rovnice je

a ill 2 = 2g If .

86

kde Al a A2 jsou koreny charakteristicke rovnice

A2 + 2bA + co2 = 0

Au = -b ± .Jb2 _co2

Ph proudeni velmi visk6zni kapaliny, kdy b > 0 a soucasne b 2 OJ bude pohyb tlumenyaperiodicky. Pfi proudeni mene viskozni kapaliny, kdy b > 0 a 0 < b < OJ budou korenykornplexne sdruzena cisla, pohyb bude periodicky tlumeny a obecny integral lze upravit natvar

kde (75)

Pro model nevazke tekutiny je b =~ 0 aY = ci cos( cof + <j» , (76)

coz je rovnice harrnonickeho pohybu (OJ > OJ,). Integracni konstanty C, a rp stanovimez poeatecnich podminek pro: 1= 0 je y z-: 11-2, a jl = 0, pak rp = 0 a C, = 11'2.

9.5 Zavinlui potrubi

Pfi regulaci prutoku tekutiny potrubim napi'. ventilem nebo jinym skrticim organemvznika take nestacionarni proudeni. Pred ventilem se ph skrceni tj. zmensovani pnitokuvytvati vyssl tlak nez za nim. U dlouhych potrubi dopravujicich kapalinu a rovnez pri velmirychlem havarijnim uzavreni kratsich potrubi muze vzniknout tak velke stoupnuti tlaku, zel11uzedojit k peruse potrubi. U plynu toto nebezpeci nehrozi vzhledem k jejich male hustote.

a) Pomale ..uzaviranipotrubi, Uvazujrne, ze mezi dvema nadrzemi s rozlehlymi hladinami,spojenymi vodorovnym potrubim konstantniho prutezu, obr. 67a, se ustalil prutok. Potencialnienergie kapaliny v leve nadrzi, dana rozdilem hladin, se spotrebuje na prekonani trecicha mistnich ztrat a na vytvoreni kineticke energie kapaliny, ktera se vsak pfi vtoku do pravenadrze zmafi v teplo - (ztrata na vystupu):

( r + /" ) v;,h = ho - h2 = 'A, d + ~"Sl + ('elll + ~'~"SI 'lg = h;edk

Z teto rovnice lze ze znamych velicin h, iL, I ~I'~ d, c;.·Sh c;.·eTl( a c;.:I'SIurcit rychlost v potrubi "sl .

Napiserne-li pohybove rovnice mezi hladinou a nekterym prurezem potrubi lze vypocitatmistni tlak napr. mezi misty 0 - 1 ' (K = 1):

h = PI'sl + ":1 (1 + r + 'A,!:_)(I pg 2g '-,,"1 d

nebo mezi misty 2' - 2 (V2 = 0):I,. ,,2 v2

(/" )~+_._\I =h, +_E_ 'A,_+r ....pg 2g - 2g d '-,,~.\I

Prurezy I' a 2' jsou tesne pred a za ventilem. V obou rovnicich pocitame s pietlaky.

87

Po ®

a)

2--L.--+---------- -I--~. V It)~~~~~~~~~~~~29

~ll9

b)Obr. 67 Rozlozeni tlakfi podel potrubi, (Svst« 1)

a) pfi stacionarnim proudeni,b) pfi pomalem uzavirani potrubi tj. nestacionarnim proudeni.

Carkovane cary odpovidaji stacionarnirnu proudeni.

Chceme-li zmensit prutok kapaliny potrubim muzeme privrit nahle nepatrne regulacniventil. Jeho odpor i soucinitel odporu (,V tim vzrostou a rychlost kapaliny tj. jeji kinetickaenergie resp. rychlostni vyska se zmensi - porovnejte na obr. 67a a 67b V~t /2g a ,/ (I) / 2g .Ponechame-li priskrceny ventil v nove poloze, vytvoi'i se novy ustaleny stav proudeni s jinymihodnotarni Svent, It, vst, Pl'st -Pr« nez byly pocatecni hodnoty. Tento novy ustaleny stavnenastane okamzite po regulacnim zasahu, nebot' setrvacne sily rnaji snahu zpomalit dosazeninoveho ustaleneho stavu. V prechodove fazi rnezi obema ustalenymi stavy proudeni serychlost kapaliny, resp. prutok, zrnensuje plynule i kdyz zmena polohy ventilu byla rychla,temei' skokem. Aby se kapalina v potrubi zpornalila, musi na ni pusobit sila proti jejimupohybu. Sledujerne nyni tu cast potrubi, jez se nachazi pred ventilem. Pfi priskrceni prutoku sepred ventilem vytvoi'i vetSi tlak PI' (t) nez odpovida stacionarnimu prutoku Pl'sc' viz obr. 67.Toto stoupnuti tlaku zalezi v prvnirn okamziku na setrvacne sile sloupce kapaliny v potrubi:/11' at, kde m = ol'tui? /4 je hmotnost kapaliny v potrubi a a, = a" / at < 0 je retard acekapaliny. Ponekud jina je situace v potrubi za ventilern, nebot' na konci potrubi, jez usti donadrze, bude tlak prakticky konstantni, roven hydrostatickemu tlaku ogh.: Aby vznikla silapusobici proti pohybu kapaliny musi tesne za ventilem tlak klesnout a tento pokles zalezi vprvnim okamziku opet na velikosti setrvacne sily, tj. 111· Cl, = ol'txd? / 4 ·a" / at.V prechodove fazi se vytvoi'i u ventilu rozdil tlaku PI' (t) - P2' (t) ) ktery je vetsi nez odpovidastacionarnimu pnitoku, kdy je tento rozdil tlaku pouze funkci hydraulickeho odporu. Tentorozdil tlaku se postupne zmensuje tak jako lav / atl ' jez pfi ustalenem stavu je rovno nule.Kdybychorn znali okamzite hodnoty rychlosti v(t) a zrychleni at = av / at < 0 mohli bychomprubeh tlaku vypocitat z pohybovych rovnic napsanych

88

a) mezi hladinou a prurezem pred ventilem 0 - I' :

h =Pl,(t) + v2

(t)(1+r +'A!:_)+~/'(I pg 2g ":,"s, d g

b) mezi prurezern za ventilem a hladinou v druhe nadrzi 2' -2:P2, (1) 1'2 (I) 1'2 (I) (I" ) (/1--+--;:;::.h +-- 'A-+~. +-1"pg 2g 2 2g d ')'S' g

Pti stacionarnim proudeni je tlakovy spad, tj. rozdil tlaku, na ventilu zavisly jen naodporu ventilu:

(77)

ph nestacionarnim proudeni vsak tlakovy spad zavisi 1 na vlivu setrvacnych sil, ktery jev pocatecni fazi nejvetsi a postupne se zmensuje:, ,

( ) () r: I'-(t) 1 1(/' I") r v:,PI' t - P2' t ;:;::.":,"entP2 ;:;::.a, . +. P + ":,l'eI1'P1piicemz ph uzavirani ventilu je zrychieni at < 0 (tj. vlastne zpozdeni).

(78)

b) RYt:hI¢ 1.J?:~.Yir4I1i.\l~11tiJ~:..Y9.9.11i_r4z;.Pfi velmi rychlem zavirani ventilu by se casovy interval.1/ ~ 0 a zpozdeni 1 at 1 ~ 1 Ll viLlt I----? 00. Podle rovnice (78) by v tomto pripade stoupnuti tlakubylo L1p --t 00. Experimenty vsak bylo zjisteno, ze stoupnuti tlaku je konecne, i kdyz dosazenehodnoty tlaku jsou vysoke, takze musime uvazovat i .~t!~~i.~~h.19~t..k(lp~lilla prl.J~llQ~tP9.~mpj.Cast kineticke energie kapaliny se nyni akumuluje, podobne jako u pruziny a ve vhodnycasovy interval se opet uvolni. V znikne tedy v kapaline tlumeny krnitavy dej, analogickykmitani pruziny, ktery nazyvame vodni raz. Totalni raz je pfipad odpovidajici okamzitemuzastaveni pohybu kapaliny v potrubi. Ve skutecnosti probiha zmensovani rychlosti proudeni vurcitem konecnem casovem intervalu. V kap, 2.3 jsme konstatovali, ze male tlakove poruchyse v pruznem prostredi siri rychlosti zvukua~!~~Pro vodu (neobsahujici vzduchove bublinky) je modul objernove stlacitelnosti K == 2.109 Paa a::':: 1450 m/s.

Stoupnuti tlaku v kapaline ph nahlem uzavreni potrubi muzeme stanovit pomoci vetyo zmene hybnosti, Tlakova sila jez zabrzdi kapalinu a jez je tedy zavisla na stoupnuti tlakuu uzaviraciho organu lip musi byt rovna zrnene hybnosti kapaliny, ktera se zabrzdi za jednotkucasu. Protoze stoupnuti tlaku (tlakova porucha) se jako tlakova vlna pohybuje proti proudicikapaline rychlosti zvuku, obr. 68, bude hmotnost zabrzdena za jednotku casu rovna tit = pAa .

Obr. 68 Stoupnuti tlaku ph nahlem uzavrenipotrubi. Tlakova vina se siri rychlostia proti proudu tekutiny.

a--- p

lip

89

Puvodni rychlost v se zmensila na nulu. Z very 0 zmene hybnosti- L1pA = li1( 0 - v) (79)

(80)lze stanovit stoupnuti tlaku L1p = pav .

Za predpokladu, ze kapalina s nulovou viskozitou vyteka z rozlehle nadrze rychlosti v,bude se ph nahlem uzavreni potrubi v miste A v okamziku t = 0 jev vyvijet takto, obr. 69:

'V

prUbe~_!l<!~ 0 tl1

) B. •..PPo t=0c

sz

b}

SZObr. 691ednotlive

faze C)zidealizovanehohydraulickeho SZritzu.

d)v

e)

sz

f)

Avo~ ~p

_ ~~;;;;;~ ~pov=D A

9§;~~~~~:;;I;~;~APov=O

91 _a7!~~!;~APo--X----41 v v = 0

_ IPoB~.------~------~----~~----~v--------~A

91

lt=-20v

lt=-c

t=ll.20

t =1.!...c

va) Kapalina, ktera je v primem styku s uzaverem je brzdena a jeji tlak stoupne z P« 0 L1p roy.(80). Tlakova vlna se bude rychlosti a siht proti proudu. Ostatni kapalina v potrubi se vsakstale pohybuje rychlosti v k uzaveru A.

b) V case t = 112a je tlakova vina prave v polovine delky potrubi, cast kapaliny mezi tlakovouvlnou a uzaverem je v klidu v = 0, cast kapaliny mezi nadrzi, bod B, a tlakovou vinou se jestepohybuje rychiosti v.

c) Dosahne-li tlakova vina vstupu do potrubi, bod B, v okamziku I = l/a, je kapalina v celempotrubi v klidu a rna vetsi tlak nez je tlak v nadrzi. Protoze mnozstvi kapaliny v nadrzi jemnohem vetsi nez mnozstvi kapaliny v potrubi, nermize se zrnenit tlak kapaliny v nadrfucinkem tlakove vlny. Vstupni pnifez do potrubi je hranici na niz se stykaji dye prostiedis rozdilnymi tlaky. Vlivem tohoto rozdilu tlaku zacne kapalina stlacena v potrubi proudit opetdo nadrze, tj. opacnym srnerem, nez pred uzavfenim potrubi a tlak v potrubi opet klesne nahodnotu po. Tato expanzni tlakova vlna se bude pohybovat potrubim rychlosti a opacnymsmerem tj. od bodu B k bodu A.

d) V case t = 3112a bude tlakova vlna opet v polovine potrubi.

90

e) V case t = 2//a dosahne tlakova vlna uzaveru, bodu A. Kapalina v celern potrubi rna nynitlak po a ryehiosti II vyteka z nadrze. Vzhledem k setrvacnosti hmoty se v kapaline objevitendenee odtrhnout se od uzaveru A. To rna za nasledek dalsi pokles t1aku u uzaveru. Pokudtlak neklesne pod hodnotu tlaku nasycenych par, zustane kapalina lpet na uzaveru, jeji ryehlostbude opet rovna nule a tlak v teto oblasti nyni kiesne 0 hodnotu LJp pod hodnotu normalnihotlaku p». Tato expanzni tlakova vlna se ryehlosti a pohybuje zpet k bodu B.f) V case t = 5/12a je opet v polovine delky potrubi. Mezi tlakovou vlnou a uzaverem A jekapalina v klidu a je v ni podtlak, pfed vinou je tlak normalni a kapalina vyteka z potrubi donadrze.

Dosahne-li nyni tlakova vlna bodu B, bude v eelem potrubi podtlak a kapalina v klidu(l = 3//a). Protoze tlak v nadrzi je vetSi zacne opet proudit kapalina z nadrze do potrubia v case t = -ll/a se dosahne puvodniho stavu, zobrazeneho na obr. 69a a cely eyklus se budeopakovat.

Tento znacne zidealizovany model totalniho razu se od skutecnosti lisi. Vlivempruznosti potrubi a vzduehu obsazeneho v kapaline se ryehlost sii'eni tlakove vlny zrnensi.Vlivem viskozity se krnitavy dej tlumi.Otazky ke kap. 9.:

I) Odvod'te rovniei kontinuity v diferencialnim tvaru pro jednorozmerne nestacionarniproudeni stlacitelne tekutiny, proved'te zjednoduseni pro stacionarni proudenistlacitelne tekutiny a pro proudeni nestlacitelne tekutiny.

2) Z ktereho zakona vychazime ph odvozeni pohybove rovniee a ktere sily uvazujeme?3) Jak eharakterizujeme kvazistacionarni proudeni?4) Vypoctete dobu kvazistacionarniho vyprazdneni varaku - nadoby ve tvaru koule.5) Jaky je rozdil mezi vynucenym a samovolnyrn nestacionarnirn proudenim?6) Cim je omezena saci vyska cerpadla?7) Za jakou dobu vznikne stacionarni proudeni pii nahlem otevreni potrubi konstantniho

prurezu. Dokazte.8) Nakreslete, jak se rneni pnibeh tlaku s casem podel potrubi ph nahlem otevreni potrubi za

predpokladu, ze kapalina je nevazka.9) Jak je velke Strouhalovo cislo v okamziku, kdy je vytokova ryehlost rovna polovine

rychlosti stacionarni?10) Jaky je rozdil mezi krnitavym pohybem nevazke a vazke kapaliny v U-trubiei?

Na cern zavisi uhlova frekvenee krnitaveho pohybu vazke tekutiny?11) Jak se meni tlak pted a za ventilem pri jeho pornalem zavirani?12) Co je to vodni raz ?13) Na cern zavisi resp. nezavisi stoupnuti tlaku ph totalnim razu ?

14) Co je to kavitaee? Jak se projevuje?Vite, te- nazev kavitace (prezanote) pocnezt od anglickeho ucence a konstraktere lodi Williama Frouda

(1810 -1879)? Moinost vznlku kavitace pfedpovedel ut v roce 1754 Euler a v roce 1873 Reynolds.V technicke praxi se vyznemne projevila v roce 1893, kdy byla spu~tena na vodu anglicka valetnalod' "DERING", kter« byla opatfena lodnim sroubem a mete mit dvojnesotmou rychlost nettehdej~f lode. Kdyt spustili stroje na pIny vykon voda ze lodl se vzpenila anii by rychlost vzrostla ata byla znatne menst net pfedpokladana rychlost. Podobny osud stil1l i prvnf lod' opatfenou pamfturbfnou "TURBINIA" na nfi se bezvysledne zkou~elo sedm ruznycl1lodnfcl1 ~roubU. Teprve kdytbyla opatfena tfemi lodnlmi ~rouby tiosenl« rychlosti 32 uzlu (asi 59 km/h).

- prvnf exoerimentetnt vyzkum kavitace na specialnlm vodnlm kanalu provedl konstrukter pamfturbfny Charles Parsons (1854-1931) v roce 1895 po neasoecnu , Turbime".

- Pro tecnniouou praxi je nejduletitej~i kavitatnf eroze, ke ktere oocnezt v mfstech kondenzacebublinek. Ta problhala nekdy tak rychle, te po nekolikatyuennlm provozu bylo nutno vymenit lodnfsrouo nebo rotor vodntho stroje. Napf. na Diacharovske vodnf elektrame v Armenii se naruSilykavitacl rozveoec! lopatky (urbiny za 10 dni do hloubky 25 mm.

91

Ptiklad P 9.1

Z velke nadrze, obr. P 9.la vyteka voda vodorovnym ocelovym potrubim 0 pnimeru d,tloustce steny t a delce l. Stacionarni pnitok je ~T . Relativni drsnost sten potrubi je kid. Modulpruznosti potrubi je E, modul pruznosti vody je K.Stanovte:I) ztraty ph stacionarnim proudeni zname-li soucinitel vstupni ztraty ~. a ztratovy soucinitel

otevreneho soupatka (s.2) stoupnuti tlaku pred soupatkem ph jeho zavirani, jestlize je tok rovnomerne zpozdeny

a potrubi se uzavre behem casoveho intervalu Ill. Porovnejte stoupnuti tlaku piedsoupatkem pri jeho uzavirani a pfi uplnem zavreni potrubi.

3) stanovte stoupnuti tlaku IIp pred soupatkem ph nahlern uzavreni soupatka - totalni ritz -s uvazovanim pruznosti potrubi. Jak velky vliv rna pruznost potrubi na vzrust tlaku phtotalnim razu?

4) nakreslete pnibehy tlaku pri uzavrenem soupatku, pti stacionarnim vytoku, ph "pomalem"uzavirani a ph nahlem uzavreni soupatka.

Dano: ~T = 56,52 lis, d = 0,2 m, t = 10 mm, 1= 1200 m, k/d = 0,002, u = 10,6 m/s, III = 2s,E = 2,06.IOllpa, K = 2,05.109 Pa, Sv = 0,5, (s = 0,02.

UrCit: h = ? m, Sp = ? MPa.

Rozbor (schema):Ztraty pfi proudeni a kineticka energie vytekajici vodyjsou kryty spadem h. Ph "pomalem" uzavirani potrubizavisi stoupnuti tlaku na deice potrubi I zpozdenitekutiny at a hustote p. Ph nahlern uzavreni potrubizavisi stoupnuti t1aku na pruznosti soustavy tekutina -potrubi, coz je charakterizovano rychlosti zvuku a,rychlosti proudeni v a hustotou tekutiny p.

-

h.d T

~-

t _L ____-~_--

ObI'. P 9.1aReseni:I) Stanovime nejprve rychlost stacionarniho proudeni v potrubi

V = 4vT = 4·0,05652 = 18 m/snd? 7t.O,22 ' ,

kR Id ~'I R vd 1,8·0,2pa eyno sovo ClS 0 e = _ = _ = 360 000,u lO-b

soucinitel tfecich ztrat A = 0,11(! + 68) lI.25 = 0,11(0,002 + 68 ) 11.25 =d Re 360000

= 0,11(0,002+0,00019)°·25 = 0,024.Z Bernouliovy rovnice psane pro hladinu v nadrzi a vystupni pnirez urcime spad h

h = ~2 + hz = ~(I +l;;,. + Ai + l;;s) = ') 1,82

(I + 0,5 + 0,024 12~0 + 0,02) =...g 2g d ...·9,81 0,_

= 0,165 (1+0,5+144+0,02) = 24,0 m.

2) Pfi stacionarnim proudeni je ve vystupnim prurezu opatrenem soupatkem nulovy pretlak. Phpostupnem zavirani soupatka pusobi brzdena kapalina se zpozdenim at na soupatko urcitousilou F.

92

Z ~d~' d v 1,8 0 9 "I kpoz em vo Y a, = - = - = , m" s = onst.1).1 2

Hmotnost vody v potrubi, jez je zpozd' ovana III = p A -l = 1000· ~ 0,2 ~ . 1200 = 37 680 kg.4

Setrvacna sila pusobici na soupatko F = 111 . 0, = p . A .] .a, = 1000· 1( 0,22• 1200· 0,9 =33912N

4

Prirustek tlaku u soupatka Sp = F = pAlo, = oa.l = 1000.0,9.1200 = 1,08 MPa.A A

Ke stejnemu vysledku lze dojit pfimo z Bernouliovy rovnice rozsirene 0 nestacionarni clenSp = oa.l . Pfi uplnem uzavreni soupatka bude voda v potrubi v klidu (hydrostatika) a tlak u

soupatka bude zavisly na vysce hladiny v nadrzi h, obr. P 9.1b l' = gph = 9,81.1000.24 =235440 Pa, tj. 0,235 MPa, tj. temef petkrat mensi t1ak nez ph zavirani.3) Pfi nahlem uzavreni potrubi je stoupnuti tlaku zavisle na pruznosti soustavy kapalina +potrubi. Kdyby bylo potrubi absolutne tuhe a voda bez bublinek vzduchu pak rychlost zvuku -rovnice (5) - bude rovna:

2,05.109

a = = = 1 432 m/s.103

Uvazujeme-li pruznost potrubi, rychlostsifeni tlakove vlny se zmensi a lze jistanovit z rovnice, kterou uvedeme bezodvozeni

\,t

Obr. P 9.1b4) Pfi uzavrenem potrubi bude podel potrubi vsude tlak stejny dany vyskou hladiny v nadrzi,obr. P 9.1 b. Pfi stacionarnim vytoku bude ve smeru proudeni tlak klesat podle ptirnky. Pfipornalem zavirani bude naopak tlak stoupat podle primky. Ph razu vznikne v potrubi kmitavydej, prubeh tlaku v zavislosti na case zavisi na poloze prurezu potrubi od vstupu. Na obr.P 9.1 b jsou nakresleny idealni prubehy tlaku v zavislosti na case pro prurezy x = 0, x = /12 ax=l.Diskuse:Pri prutoku dlouhym potrubim jsou mistni ztraty zanedbatelne. Skutecne pnibehy tlaku phvodnim razu budou dany spojitou krivkou a amplituda se bude s casern zmensovat vlivemvazkosti (tlumeny krnitavy dej).

(1= =p(__l__ + __.tj~)

K i.t:

100{2,05~1O9 + 0,01~2~6'10Ii)

= 1 307 m/s.Uvazujeme-li pruznost potrubi je

rychlost zvuku asi 0 9% mensi. 0 tolikbude nizsi i stoupnuti tlaku - rovnice(80):Sp = pav = 1000·1307 ·1,8 = 2352600

Pa, tj. 2,35 MFa, tj. asi dvojnasobne nezph pomalem zavirani.

p

p

x=o

p p

X= .L x=l2 __ --__ --

\t

\\

\t

93

10. RELAIIVNl PROIOK

Jiz v hydrostatice jsme se zabyvali pripady, kdy se tekutina nachazela v klidu vzhledemke stenam nadoby, jez vykonavala unasivy pohyb, kap. 5. V techto pfipadech jsme souradnysystem spojovali s pohybujici se nadobou a tyto pfipady jsme nazyvali relativni rovnovahou(kdyz nastal rovnovazny stay). Pokud byl unasivy pohyb nadoby a tim i souradneho systemuustaleny a pfimocary (inercialni souradny system) nevznikly od unasiveho pohybu zadnepfidavne sily a pripad se resil stejne jako pripad absolutni rovnovahy. Jestlize vsak pohybnadoby byl nestacionarni nebo rotacni (neinercialni souradny system) bylo nutno uvazovati vliv setrvacnych sil. Tyto uvahy budou platit i pro relativni prutok s tim, ze relativni rychlostnebude nulova a feseni techto pripadu bude slozitejsi.

10.1. Zakladni rovnice relativniho pn1toku

Nyni budeme za absolutni souradny system uvazovat system spojeny se zemskympovrchem a rychlosti k nemu vztazene oznacovat jako absolutni c . Relativni souradny systemspojeny s nadobou bude vykonavat unasivy pohyb rychlosti Ii a relativni rychlost v buderychlost tekutiny vztazena k tomuto pohybujicimu se souradnernu systemu, Pro rychlost musiplatit, ze absolutni rychlost se rovna vektorovemu souctu rychlosti unasive a relativni, obr. 70.

Obr. 70 Vytok z pohybujici se nadoby:c absolutni rychlost, U unasivarychlost, v relativni rychlost, ggravitacni zrychleni, all unasivezrychleni, d, relativni zrychleni.c=u+v.

Podobne pro zrychleni bude platit, ze absolutni zrychleni (v nasem pripade zrychleni zemsketize) je rovno vektorovemu souctu zrychleni relativniho a, a zrychleni unasivehoau a v pripade, ze unasiry pohyb je rotacni a relativni rychlost V "F 0 i zrychleni Coriolisovaac = 2(00 xv): g = d, + au + ac , takze relativni zrychleni vztazene k souradnemu

systemu spojenemu s nadobou d, = g - au - ac .

Ph vypoctu relativniho proudeni dosazujeme do rovnice kontinuity relativni rychlosti:VI Al = v2A2 . (81)

Rovnez do pohybove rovnice dosadime lokalni relativni zrychleni a relativni rychlosti

_ Kcoewds+ dp +d(V2) + av ds+de . = O. (82)

p 2 ot _Za intenzitu hrnotovych sil K dosadime vyslednou silu pusobici na castici tekutinyo jednotkove hmotnosti danou vektorovym souctem sily od vnejsiho siloveho pole (tjgravitacniho pole) a vysledne sily setrvacne od unasiveho pohybu vcetne Coriolisovy sily a pakK=Gr·

10.2 Pfimocary lma~ivY pohyb

Ph rozjezdu a ph brzdeni niznych dopravnich prostredku (letadla, rakety, auta,kluzaky, letecke modely atd.) se mohou vyskytnout po urcity casovy interval dosti velkazrychleni, resp. zpozdeni, jez mohou nepriznive ovlivnit proudeni kapalin napr. v regulacnich,

94

f

ru

-9

v jl~ ...... K= Qr-0u

mrazicich, chladicich ci palivovych systemechzvlaste tam, kde pohyb kapalin neni vynucencerpadlem. Pomery ph startu rakety jsounakresleny na obr. 71.

Obr. 71 Vytok plynu z raketoveho motoru.

Absolutni rychlost zplodin vytekajicich z motoru c je maximalni v okamziku, kdy Ii = 0

a s casem postupne klesa, tak, jak roste rychlost rakety ii . Relativni zrychleni d, = K je vetsi

nez zrychleni zemske tize g. (V hydrostatice jsme zavadeli dopliikove zrychleni a = - all' jez

charakterizovalo vliv setrvacnych sil, pak K = g +a tj. rovnice (13».

10.3 Rotacni unasiy)r pohyb

a) Rq~.l:lj.i.<;U~~~~~I.. Uvazujeme stacionarni proudeni tekutiny kanalem rotujicim kolem svisleosy stalou uhlovou rychlosti (J), obr. 7'2. Kdybychom pouzili souradny system spojenys povrchem zemskym, bylo by proudeni vzhledem k tomuto inercialnimu souradnemusystemu nestacionarni, nebot' napf. na obvodu kruznice r:ve vysce h: by byla rychlost v kazdem bode rovna nules vyjimkou okamziku, kdy timto bodem prochazi rotujicikanal. Spojime-li vsak souradny system s kanalem, takze ses nim bude spolecne otacet (neinercialni souradny system),bude proudeni vzhledem k tomuto systemu stacionarni, aleje nutno navic uvazovat setrvacne sily. Nap!'. na casticitekutiny nachazejici se na polorneru x, jejiz relativnirychlost je V, pusobi vedle zrychleni zemske tizeK; = - g dopliikove zrychleni od rotacniho pohybu

K, = (J) 2 X a od Coriolisova zrychleni K;; = - ac' kde

ac = '2(cO x v). Vektor ac je kolmy k rovine tvorene

vektory ro a v a nema tedy do smeru v a tim i do smeruproudnice zadnou slozku. (Vektor Coriolisova zrychleninerna do smeru proud nice zadnou slozku i tehdy, kdyzkanal neni radialni jako na obr. 7'2).

Obr. 7'2 Prutok rotujicim kanalem.

yt

Rozepiseme-li skalarni soucin K cos wds v roy. (8'2) pomoci slozek na

Kidx + Kvdy+ Ksd: dostaneme v nasem pripade rovnici (dz = 0 pro radialni kanal)

dp (1'2J 0"-(J)2xdx+gdy+0+-+d -' +-ds+de_ =0.P '2 01 _

95

Po integraci mezi vstupnim a vystupnim prurezem kanalu dostaneme pro stacionarni prutok«(}vI at = 0)

0)2(r2_r2) po-p V;_)l21 2 + g(ho _ h ) + ~ 1 +. 1 + e, 0 = 0 ,2 • 1 P 2 ,1-

kde UI = rIO) a U2 = 'iO) jsou obvodove rychlosti ve vstupnim a vystupnim pnirezu a rovnicilze po dosazeni za

u; - ll~

22

prepsat do tvaru (83)

Clen (u; - u~) 12 Je roven praci odstredive sily mezi vstupnim a vystupnim prurezema predstavuje zvyseni energie castice tekutiny 0 jednotkove hmotnosti vzhledem k rotujicimusouradnemu systemu.b) .o.(:l~tr.~9.iy.~...9.~r.p~<JJ9..Princip odstrediveho cerpadla si objasnime na modelu cerpadlavytvoreneho jednim kanalem konstantniho prurezu A = konst., obr. 73b. Sklada se ze sacihopotrubi l' - 1, ktere je v klidu a rotujiciho kolena 1 - 2. Z rovnice kontinuity vyplyva, zerelativni rychlost VI = v2 = V = konst . Unasiva rychlost roste se vzdalenosti od osy rotacelinearne (mezi pnirezy 1-2). Absolutni rychlost je mezi prurezy 0-1 shodna s relativni, ale meziprurezy 1-2 roste nelinearne. Tlak v sacim potrubi je nizsi nez t1ak atrnosfericky (a toi v prurezu 1", ktery lezi v urovni hladiny!). Nejvyssi podtlak je v miste 1, kde konci sadpotrubi a odkud zacina tlak stoupat vlivem energie dodavane na hridel rotoru.

Po 3

a

Yv

1

o v po

0)

Obr. 73a Schema odstrediveho eerpadla.

1" 1 2 ,. s

P~1I1"1 ." S" 2

Obr. 73b Stylizovane odstredivecerpadlo s prubehem rychlostia tlaku po draze s mezi vstupnimprurezem 1" a vystup. prurezem 2.

96

p

Pnitok sacim potrubim lze popsat rovnici mezi prurezy 0-1 :,

Po = gh +.f!J__+ Cj + eI .vl .

P P 2(84)

Saci potrubi je v klidu Ul = 0 a tedy CI = VI. (85)Priitok rotujicim kolenem mezi prurezy 1-2 popiseme rovnici pro relativni prutok (P2 > Po) :

P V" I 2 ,2 2hi I 'I h 1'2 \ 2 112g +-+---=g, +-+---+e_,.

I ,.,,.," ,., 2 _LP - - p-

(86)

Po dosazeni rovnice (84) do (86) a eliminaci tlaku PI dostaneme~ 2 ' 2Uz -III P -1' v--v--=--_.:.... = gh, + 2 (I +" I

2 P 2

C2

+ _' + c_,')' ,,., . "(87)

coz dokazuje vetu napsanou v zaveru predchoziho odstavcc, nebot' (11~ - 1I~) /2 je rovnozvyseni polohove, tlakove a kineticke energie a disipaci energie mezi prurezy 0-2, vztazene nacastici tekutiny 0jednotkove hmotnosti (zde je III = 0 a I VI I = I CI I ).Z uvedenych rovnic lze dospet k ternto zavenim:protoze mezi pnirezy 0 az 1 neni v sacim potrubi dodavana kapaline zadna energie, jek vstupnimu otvoru rotoru kapalina vytlacena ucinkern atrnosferickeho tlaku Pv . Musime vsakv prurezu 1 vytvorit podtlak, u odstrediveho cerpadla rotaci kapaliny (spolu s rotorem). Z

rovnice (86) lze stanovit J' = 1', + P[(I(h, - h) + v; - v;]_ P II~ -If; + pe_ (88)I " 0"' 2 2 _'.2

Rozmery odstrediveho cerpadla jsou zpravidla mnohem mensi nez je vyska do ktere kapalinucerpame a polohove vysky vystupniho a vstupniho prurezu rotoru jsou priblizne stejne h2 ~ hia jejich rozdil je ~ O. Rovnez relativni rychlosti ve vstupnim a vystupnim pnirezu se nebudou 0

mnoho lisit (to zalezi na volbe velikosti vstupniho a vystupniho prui'ezu rotoru) a lze jejichrozdil v nasich dalsich uvahach polozit roven nule. Posledni clen v rovnici (88) ezL;!

predstavuje disipaci energie pfi pnitoku kapaliny rotorem. U dobre navrzeneho cerpadla by phjmenovitem pnitoku (tj. prutoku na neji bylo cerpadlo navrzeno) mel byt i tento clen maly.Podtlak PI je tedy hlavne zavisly na clenu, ktery se odecita. Zvysovanim If'2 tj. otacek neboprumeru kola, roste podtlak. Pokud by ale v kanalech rotoru nebyla kapalina, ale vzduch,ktery rna mnohem mensi hustotu, pvzd. « p, nedosahne se dostatecneho podtlaku ani pfivysokych otackach a cerpadlo nenasava - nepracuje. Pokud odstredive cerpadlo nenikonstruovano jako samonasavaci (tj. specialni konstrukce), je nutno saci potrubi opatritzpetnou klapkou a pred zahajenim provozu cerpadla naplnit kapalinou - .zalit".

Napiseme-li nyni energetickou rovnici pro model cerpadla, obr. 73b pro souradnysystem spojeny se zemskym povrchem, pak musime dosazovat absolutni rychlost Co a C2. Meziprurezy 0-2 je kapaline dodavana merna prace w < 01

. 2P· p, c;-I) -lv=gh +-" +-'-+e_,2 ,., -uzp p-

"J), - Po C~- w = gh, +. . + _. + e_ ,_ ,., _D.

P -

Z rovnice (87) vyplyva, ze.., ., " ., ")

h P2 - Po > If; - IIi c1 v; - "Ig , + + e -0' = ~-.;_ - - -- p -- ,., ,., 2

Spojenim poslednich dvou rovnic lze vyjadiit mernou praci cerpadla,p, - Po c2 ui - u; . ci - c,c- w = gh, + - . + _- + e_II' = + -=-_.;_

- P 2 -- :2 :2(89)

Ph radialnim vytoku, je ci = IIi + vi . S uvazenim I \'1 I = I CI I a If] == 0 pak dostaneme pro

stylizovane cerpadlo:..., ~ ..., ..., c: v2 v:2 /(2 u:

_ 11' = II; - IIi + _II.;_:;_+_\1_:; __ ' __ 2 + _' = _'_-+ __2 = 1I~') ,., :2"'''':2 2 -

97

Poznamka: " literature zabyvajici se cerpadly se bere dodana prace w kladna, pak znamenko II \I' je opacne,tj. +. Skutecna cerpadla maji rotor vytvoren jako kotouc s nekolika zakrivenymi kanaly promenliveho pruiezu,viz schema na obr. 73a.

c) YQ.9.D:~J~~p~n~.Cerpadla (hydrogeneratory) dopravuji kapaliny do mist ryse polozenychnebo s vyssim tlakem a musi kapaline dodavat energii. Turbiny (hydromotory) naopakodebiraji vode (oleji) energii a predavaji ji napf. na hfidel elektrickeho generatoru. Principvodni turbiny si opet ukazerne na modelu s jednim kanalern konstantniho prurezu tzv.Segnerovym kolem, obr. 74b; tohoto principu se napr, pouziva ph zavlazovani postfikem.

e- po Po 0

C ::00

I

h Ih I

h U1 = 0

po

Obr. 74a Schema vodni turbiny Obr. 74b Segnerovo kolo

Pfi prutoku vody se polohova energie vody na hladine v nadrzi zrneni na kinetickouenergii vody odtekajici z turbiny, uzitecnou praci, ktera se odvadi htidelem a cast energiedisipuje - tj. spotrebuje se na prekonani hydraulickych ztrat. Napiseme-li energetickou rovnicimezi prufezy 0-2 v souradnem systemu spojenern se zemi (abs. rychlosti) pak

P c2

gh + Po _ W = _0 + _2 + e (90)p P 2 .02'

kde w > 0 je merna prace odebrana kapaline. Napiseme-li zvlast' energetickou rovnici pro

pfivadeci potrubi mezi pnirezy 0 - 1: (91)

a rotujici cast tj. mezi prurezy 1 - 2, kdy P2 = P» (rovnice pro rotujici kanal !):22. 2. 2

PI VI UI _ Po V2 U2- +- - - _ - + - - - +e.,2 2 ') ') .1.P P ~ ~

(92)

pak merna prace turbiny, kterou lze z rovnice (90) vyjadrit jakoc2

1V = gh - e. __ 2_=U2 2

se eliminaci vyrazu gh - ez02 z roy. (91) a (92) da napsat pomoci rozdilu ctvercu rychlosti:

(

U2_U2

C;-C2 V2

_V2J

W=- 2 1+ ~ 1_ 2 I') ') ')~ ~ ~

(93)

coz je Eulerova turbinova rovnice.Poznamka: v kap. J J Dynamicke licinky proudu se budeme touto vetou jeste zabyvat.

98

p

Rozbor (schema):Spolu se Zemi se otaci i jeji atmosfera, obr. P IO.la. Zeme je zahrivana slunecnimi paprsky, jezblizko rovniku na ni dopadaji temei' kolmo a proto se tam jeji povrch a od nej i vzduch zahrivana vyssi teplotu nez na zbyvajici casti Zeme.Teply vzduch rna mensi hustotu a proto tam stoupavzhuru a bude tam i rnensi tlak nez dale od rovniku.Ph znacne idealizaci muzeme povazovat rovnobezky(nebo alespon jejich cast) za izobary. Rozdilem tlakuse uvede vzduch do pohybu - z mist s vyssim tlakemdo mist s nizsim tlakem - vznika vitro

,t/~O::t

Pfiklad P 10.1

Urcete smer proudeni vzduchu v atmosfere, jestlize tlak vzduchu neni konstantni:a) bez uvazovani vlivu vazkosti vzduchu (geostroficky vitr),b) s uvazovanim viskozity vzduchu tj. v atmosfericke mezni vrstve.

Dano: tlakove pole, ill = konst.

UrCit: smer vektoru rychlosti v.

Obr. P IO.Iaad a) Na castici vzduchu pusobi v tecne rovine k povrchu Zeme (vodorovne) tlakova sila Fp,

obr. P 10.1 b, dana rozdilem tlaku P: - P» a uvede ji v prvnim okamziku do pohybu rychlosti 17"kolmou na izobary.Protoze se Zeme otaci uhlovou rychlostiill zacne na pohybujici se castici vzduchupusobit Coriolisova sila, kt~ra Je umerna ~ -vektorovemu soucinu 2( ill x 17) a pusobi ve _ ~P

F -V V1smeru kolmem k rychlosti 17 a vychyli castici c 2z puvodniho smeru 17, do smeru 172 (na V ,,?t Po= konst < P1severni polokouli doprava, obr. P 10. 1b, na --~,,~",f-"-=---.:......::!.---"'_----""'r-'o-v-n-fk-jizni doleva). Toto vychylovani zpusobuje FpCoriolisova sila Fc tak dlouho, pokud nebude

v rovnovaze s tlakovou silou Fp = I~..Obr. P 10.lb

V tomto ustalenem stavu bude smer rychlosti ii shodny se smerem izobar nebot' 17 .L Fc a tedyizobary budou shodne s proudnicemi. Toto proudeni vzduchu se v meteorologii nazyvag~Q.~tr.9.fi~~Y.YHr Smer proudeni je vzdy takovy aby byl nizsi t1ak po leve ruce vane-li narn vitrdo zad. Na synoptickych rnapach obr. P 10.ld meteorologove pridelavaji k izobaram sipky a tou tlakove nize (cyklony) proti smeru pohybu rucicek hodinovych, u tlakove ryse (anticyklony)ve smeru pohybu hodinovych rucicek.

b) V blizkosti povrchu Zeme se vlivem viskozity - treni - rychlost zmensuje. Tato vrstva byvanazyvana atmosfericka mezni vrstva a jeji tloust'ka se pohybuje od nekolika stovek metro (nadhladkym povrchem - more) do nekolika kilornetru. Proti pfikladu a) pusobi nyni proti pohybucastice vzduchu odpor F

T, obr. P 10. 1C.

99

Tlakova sila Fp musi nyni byt v rovnovaze

s vyslednici sil Fc a Ft' Rychlost V uz nyninema smer shodny s izobarami, ale svira s nimiurcity uhel, ktery je tim vetSi, cim vice seblizime k zemskernu povrchu, kde je tfeninejvetsi.

p=konst

-V FpObr. P IO.Ic

Vitr se tedy s vyskou staei (Ekmanova spirala). V blizkosti rovniku vznikaji pravidelne vetry -pasaty - vanouci na severni polokouli od severovychodu a na jizni od jihovychodu.

Reseni:

Pfi reseni techto uloh musime vychazet z diferencialnich rovnic mechaniky tekutin, jez proinercialni soufadny system jsou odvozeny az v kap. 17. Tam je bez odvozeni uvedena idiferencialni pohybova rovnice ve vektorovem tvaru pro souradny system, ktery rotuje spoluse Zemi (neinercialni souradny system). Jako pfiklad P 17.1 je dokazana uloha a).

Diskuse:

Samotna velikost barometrickehotlaku neni rozhodujici velicinou, jezurcuje vyvoj pocasi. Mame-li nabarometru v domacnosti - aneroidu- u nizsich tlaku pripsano .Dest"au vyssich tlaku .Pekne", je ttebabrat to s rezervou. Kdybyexistovala tato prima souvislost,nepotrebovali bychom meteorologypro predpovldani pocasi. Na vyvojpocasi rna vliv rada faktoru jakotlakove pole - tj. rozlozeni tlaku,teplotni pole - teplotni zvrstveni svyskou, vlhkost vzduchu atd.

a..a..a tepla fronta ...... okluzni fronta N tlakova nize~ studena fronta ~ izobary a smer proudenl V tlakova vySe

Obr. P lO.ld

S dalsimi podrobnostmi 0 proudeni v atmosfere a rozptylu skodlivin se posluchaci mohouseznamit v prednaskach .Prenosove jevy v ekologii" ve vyssich rocnicich.

Vite, ie- renesencnt umeiec a technik Leonardo da Vinci (1452-1519) se zabyval konstrukcl risznych zatfzenl,

je1. v~Wnou nerealizoval, napf. odsffedive Cerpadlo (ale fake padak, helikopfera, letadlos mavavymi kfidly - ornitoptera - atd).

- prvnl pou1.itelne odstfedive Cerpadlo zkonstruoval roku 1689 Denis Papin (1647-1712?).- prvnl prumyslovou vodnl pfetlakovou turblnu 0 vykonu 4,5 kW a uCinnosti asi 80% sestrojil roku

1827 Benoit Fourneyron. Tuto turblnu zdokonalil AngliCan James Bicheno Francis (1849) tim, ierotor je uvnitf rozvad~cfho kola. Viktor Kaplan (1876 - 1934) za sveho pissobeni v Bm~ navrhlaxialnl vrtulovou turblnu.

100

11. DYNAMICKE UCINKY PROUDU TEKUTINY

Na zacatku dynamiky tekutin v kapitole 6.1 odst. c, byla odvozena vedle rovnicekontinuity a energeticke rovnice i impulsova veta - veta 0 zmene hybnosti. Lze ji v inzenyrskepraxi vyhodne pouzit vsude tam, kde nas zajima jen vysledny silovy ucinek tekutiny na stenu(integralni veliciny). Uved'me nekolik ukazek z velkeho a rozrnaniteho mnozstvi aplikacitohoto zakona,

11.1 Desky v klidu

Uvazujme, ze proud tekutinyobdelnikoveho prurezu A = b. h , kde b jesifka a h vyska proudu, dopada tecne nadesku, obr. 75, a je deskou odklonenz puvodniho smeru a, do smeru a2.Zanedbejme ucinek zemskeho zrychleni ga disipaci energie. Proud i deska jsouobklopeny vzduchem a na povrchu proudui desky stykajici se vzduchem bude vsudeatrnosfericky tlak P» Predpokladejme, zev celem pnirezu proudu je rychlost stejna.

Obr. 75 Dynarnicke ucinky proudu tekutiny na desku.

Zvolme si nyni kontrolni objem ohraniceny vnejsim povrchem desky, vstupnim a vystupnimprurezern proudu a volnyrn povrchem proudu (na obr. 75 vysrafovan). Silovy ucinek odkonstantniho tlaku P» na kontrolni objem je roven nule a (stejne jako ph vypoctu sil na stenuv hydrostatice, kap. 4) budeme pocitat pouze s pretlakem. Na vnitmim, smacenem povrchudesky, bude pfetlak, ktery je zavisly na zrnene smeru proudu. Deska pusobi na kapalinu silouF: a podle principu akce a reakce pusobi kapalina na stenu silou stejne velikou, ale opacneho

smyslu F = - F, .

Napisme vetu 0 zmene hybnosti pro tekutinu uvnitf kontrolniho objemu:F, = H2 - HI .

V teto rovnici velicina oznacena H = dT'p neni hybnost, ale tokhybnosti, nebot' rychlost v

[m/s] je nasobena hmotnostnim tokem Iii [kg/s] a mela by se spravneji oznacovat u .V praxije zvykem nerozlisovat je a oznacovat obe veliciny stejne jednodussim symbolem.

Za predpokladu, ze se velikost tj. modul vektoru rychlosti nemeni 11'1= hi = hi, sila na desku

se pak rovna

Tato rovnice je znazornena graficky, viz vektorovy polygom na obr. 75.

101

Resime-li pfipad analyticky, rozlozime vektory do slozekFx =H,x -H2X =pAv2(cosa, =cosu .)Fy = H,y - H2y = pAv2(sinal - sinaz)

a vysledna sila

F=~Fx2 +F'_v2 =pAv2J(cosal-cosa2)2 + (sinal -sinaJ2

F = kpAv2

kde k = ~2[1- cos(al - (2)] , zavisi na tvaru desky, tj. na uhlu ohybu proudu.

(94)

Poznamka: pro tote moduly vektoru hybnosti jsou stejne IH,I = IH21. je vyslednice F kolnui k ose uhlu (a: -

aJ).obr. 75.

F F· U, +al F'x = SIn - = SIn a

2U2 +alFy = F cos 2 = F cos a .

V tomto pfipade vyslednice F svira uhel a s osou y !

Pak

Jestlize se rovinny proud po dopadu na desku deli symetricky na dva proudy, obr. 76,pak slozka Fy = 0 a vysledna sila bude rovna vodorovne slozce (pro at = 0)

F = F.~= H!x - H2x = pAV2 (1- cosc .) = kpAv2coz je zvlastni tvar roy. (94) pro sin a, = 0 a clen sina2 odpada z duvodu symetrie k ose x.

F

b) c)

Obr. 76 Ucinek proudu kapaliny na a) velkou kolmou desku,b) klin nebo malou desku kolmou k proudu,c) rovinnou lopatku Peltonovy turbiny.

Soucinitel k = 1 - cosec, je tedy opet zavisly na tvaru desky. U desky kolme k proudu, obr.76a). je u2 = nl 2 a k = l. Pro a2 < 7r/2 je cosrz, > 0 a k < 1, obr. 76b). Je-Ii uhel u2 > Jd2jako je tomu u lopatky Peltonovy turbiny, obr. 76c), je cos a2 < 0 a k > I! Pro p = 0 resp.a2 = n by k = 2 a sila dvojnasobna nez u kolme desky.Poznamka: u Pe/tonovy lopatky lze zavest doplitkovy uhel fJ pak k = 1+ cos ~ I

11.2 Pohybuiici se desky

Lopatky Peltonovych turbin se vsak spolu s rotorem otaceji, obr. 77. Jejich unasivarychlost u je rovna obvodove rychlosti turbiny.

102

f

Sila na lopatkuustupujici piedproudem bude mensioproti sile pusobici nastojici lopatku, nebot'voda dopada na nipouze relativnirychlosti I' = c - II

a i mnozstvi vody Iii,

ktere na lopatkudopadne za jednotkucasu bude mensi, budezavisle na relativnirychlosti 1': 111 = pA v .

----:/

I/

II

~J'-'I

p

b)

a)

c)o

._Uopt U=C U

Obr. 77 a) Schema Peltonovy turbiny,b) pohybujici se lopatka Peltonovy turbiny,c) zavislost vykonu turbiny na obvodove rychlosti.

Chceme-li stanovit silu F pusobici na pohybujici se lopatku, uvazujeme kontrolni oblastpohybujici se spolu s lopatkou, obr. 77b, do niz tekutina vstupuje relativni rychlosti VI = c - ua vystupuje relativni rychlosti hi = 1"11· Pak

F = pAl'] (VI - 1'2 coso ~)F = pACe - If)" (1- cosc.,) = kpAv2 ,

kde soucinitel k je stejny jako pro desky v klidu.(95)

Vykon jedne lopatky je dan soucinem sily a rychlosti lopatkyP = F'II = kpA(c - 1f)~'11 . (96)

Je-li unasiva rychlost If = c tj. vytokove rychlosti vody z natrubku, bude vykon nulovy, nebot'sila na lopatku bude rovna nule (voda nemuze dohonit lopatku). Zabrzdime-Ii turbinu budeIf = 0 a vykon bude opet nulovy. Mezi temito hodnotami bude lezet optimalni rychlost (tj.otacky) pri ktere bude vykon maximalni Pmax :

oP- = kpA(c -If)(C - 311) = 0allodtud

/lop( = c /3 a4Pm•x = kpA-c.1 .27

'111.3 Optimaini otacky Peltonovv turbinyI

I

Protoze na skutecne Peltonove turbine neni jen jedna lopatka, vyuziva se energieveskere vody jez vytece z natrubku za jednotku casu, tj. 111 = pAc. V tomto pfipade lze vykonturbiny vyjadrit vztahem

P = kpAc(c - If)/I , (97)

coz je kvadraticka zavislost, znazornena v obr. 77c a stejnym postupem jako v predchozimodstavci dostaneme pro optimalni rychlost vztah

1101'1 = c /2 a

103

1 3P =kpA-C·.max 11'1 4

;' 11.4 Uzavtene kanftly

Irnpulsovou vetu lze aplikovat i pfi prutoku tekutin uzavrenymi kanaly, v torntopripade je vsak nutno uvazovat i vliv tlakovych a pripadne trecich sil. V kap. 8 byla tak urcenatlakova ztrata ph nahlem rozsireni pnifezu potrubi.

Podobne lze stanovit silove ucinky na potrubi ph deleni a slevani proudu, napr. propotrubni tvarovku, obr. 78 (H3., = 0, HI)' = 0, Fp3x = 0, FpIJ' = 0) :

F, = HI - H2x + FpI - Fpzx = pAl v; - pA2 v; cosa. + PI Al - 1'2 A2 cosa.

Fy = - (-IHzy 1-IH31) + Fp2y + F~3 = pAz v; sin a. + pA3 v_~+ 1'2 A2 sin a. + 1'3 A3

Obr. 78 Stanoveni siloveho ucinku proudu tekutiny na potrubni tvarovku, bez uvazovani silytize.

Poznamka: pti zvolenem souradnem systemu jsou H2y a H3 zaporne a ph vypoctu sily na stenu se hybnostivytekajicl z kontrolni oblasti berou se zapornym znamenkem. Pro kontrolu zuatnenko je vhodne si nakreslitvektorovy polygon, obr. 78.

11.5 Propulse

Pornoci impulsove very lze take vypocitat tah vrtule, tryskoveho a raketoveho motorua p. Ve vsech techto pfipadech vznika tah zmenou hybnosti.

SNapr. vrtule 0 prumeru d urychliproud vzduchu v ohranicene oblasti, obr.79, z rychlosti VI na V4. Tyto rychlosti jsoumereny v dostatecnych vzdalenostech preda za vrtuli, kde tlak PI = P4 je rovenbarometrickernu tlaku a tedy pfetlak, resp.podtlak je roven nule. Tesne peed vrtulivznika podtlak P2 a za vrtuli pretlak P3,nebot' ph pnichodu vzduchu plochouvrtule je rnu udelena energie.

--0--X

p

Obr. 79 Schematizovany obrazproudeni pro stanoveni tahu vrtule.

104

Tah vrtule (vzhledem ke zvolenemu souradnemu systemu vychazi zaporny)F=-F; =H1-H4 =lh(VI -v ..)=pAV(VI -).'4)' (98)

kde F, je sila uryehlujici vzdueh, A = m.:f/.J je ploch a disku vrtule a l' je zatim neznamaryehlost vzduehu v rovine vrtule. Tah lze take vyjadrit pomoci tlaku:

, nd"F = A(pl - P_J = -4-(1'2 - 1'3) . (99)

Zanedbame-li viskozitu a stlacitelnost tekutiny lze napsat Bernoulliovu rovniei mezi prufezy1 a 2 a 3 a 4 (polohove vysky YI =: Y:! = Y3 = Y" =: 0)

1'J + £. v2 = 1', + P v21 2 1 - 2

(100)

P . p(' ')ro PI =: 1'4 Je 1'2 - 1'3 =:;- v; - v; .Z rovnie (98), (99) a (l01) lze stanovit ryehlost vzduehu v rovine vrtule

" + VV = 1 ..')

(101)

(102)

coz je aritrneticka stredni hodnota rychlosti na vstupu a vystupu z kontrolni oblasti a tah

(103)

Poznanika: I' praxi bychotn pocitali s absolutnl hodnotou, proto:e zname Siller slly

IFI=£..l(l'~ -1'12) >0.2

11.6 Zachovani momentu hybnosti - tocivosti

U rotacnich stroju je vyhodnejsi praeovat s momenty sil a s momentem hybnosti Lnazyvanym tez tocivosti. Moment vsech vnejsich sil if vztazeny k urcitemu bodu nebo ose serovna casove zmene momentu hybnosti vsech castic tekutiny v uvazovanem objernu,vztazenych ke stejnernu bodu nebo ose

Lif = dI/dt

L(P x F) =.!!__ L(P x mv).dt

(104)

Pro stacionarni prutck rotorem turbiny, obr. 80, lze odvodit zvlastni tvar rov. (104).Uvazujme proudove vlakno pohybujici se po stene lopatky (ridce vysrafovano). Za cas dt seuvazovany objem tekutiny v proudovem vlaknu posune 0 elementarni drahu zavislou na mistniryehlosti ds =: vdt . Tim dojde ke zrnene momentu hybnosti tekutiny protekajici proudovymvlaknem k ose rotaee, nebot' castice jez za cas dt vstoupi resp. vystoupi z proudoveho vlaknana vstupu a vystupu z rotoru (viz huste srafovane objemy v obr. 80a) maji stejnou hmotnostdm = pAldsl = pA2ds2 = pA1v.dt = pAl "'2dt = p('dt, ale rozdilne ryehlosti a vzdalenosti od

osy rotaee. Zmena momentu hybnosti je ph stacionarnim proudeni dana rozdilem momentahybnosti elementarnich hrnotovych castic ve vstupu a vystupu z rotoru (ostatni castice tekutinynachazejici se mezi temito dvema casticemi ph stacionarnim proudeni zrnenu momentuhybnosti neovlivni):

LOS

Po dosazeni do roy. (104) dostaneme pro moment sil vyvolany vsemi casticemi protekajicitekutiny (za predpokladu, ze rychlosti ve vstupnim a vystupnim pnifezu jsou rozlozenyrovnomerne, coz u cerpadel neni splneno)

M, = pJi'(cI cosu.r, - c2 cosai'2)·

Oznacime-li slozky absolutnich rychlosti do smeru obvodovych rychlosti C'" = c, cosec,a CZu = Cz coso., , pak teoreticky vykon turbiny Ize vyjadrit vzorcem

P = M,» = p':"(c,/', -CZ,l2)ro = pV(c'ull, -C:,,llz)

nebot' ul = (i) Ir, a lI2 = ro 2'2 .

0) b)

Obr. 80 a) Schema rotoru turbiny. Proudove vlakno (ridce srafovane) je kongruentni(stejneho tvaru) s Iopatkou.

b) Rychlostni trojuhelniky ve vstupnim a vystupnim prurezu ..

Merna prace, tj. prace castice tekutiny 0 hmotnosti 1 kgP

w = -. = cI Il, - Coullo ,pV II ~-

coz je Eulerova turbinova rovnice.

(105)

Zavederne-li do drive odvozene Eulerovy turbinove rovnice (kap. 10.3c)

relativni rychlosti vyjadfene z rychlostnich trojuhelniku, obr. 80 pomoci kosinove vety

dostaneme opet roy. (l05)

106

Otazky ke kap. lOa 11.:

1) Ph kterych unasivych pohybech je tieba uvazovat i vliv setrvacnych sil?2) eim se lisi rovnice pro relativni prutok rotujicim kanalcm od Bernoulliovy rovnice?3) Vysvetlete princip odstrediveho cerpadla!4) Odvod'te Eulerovu turbinovou rovnici !5) Popiste prutok cerpaci stanici - obr. 73 a !6) Popiste prutok vodni turbinou (vcetne pfivadece a savky) obr. 74a !

1) Na cern zavisi silovy ucinek proudu tekutiny dopadajiciho na desku ?2) Ktery vodni zdroj lepe vyuzije vodni energie vodni kolo, nebo vodni turbina ?

3) Vysvetlete vznik propulsniho ucinku tryskoveho a raketoveho motoru !

Vite, ie- prvnf pamf reekcn: turbfnu - hracku - sestrojil Her6n Alexandrijsky asi v 1. stoletl pf. Kr. Z dute

otocne utoten« koule vychezete dveme zahnutymi truotckem: para a roztecete ji. Her6n popsal vesvych spisech i jine mechanizmy, jako rame pumpy, jefaby, v~tmy mlyn. Bjva pokladan zavynalezce ozabeneho pfevodu (podle jinych pramenu se vynetez ozubeneno soukolf pfipisujeArchimedovi).

- 0 prioritu uzitf lodniho ~roubu (spravn~ji vrtule) k pohonu plavidel se v minulem stoletf ucnezete fadavynalezcu. Napf. v letech 1819 - 1833 konal pokusy Skot B. H. Wilson. Stejnym problemem se jizasi od roku 1812 zabjval i cl1rudimsky roae« Josef Ressel (1793 - 1857). Jako lesmistr byl roku1821 pfelozen do Tersta, kde v roce 1829 pfedvad~1 zkuSebnf jfzdu s pamfkem "Civettau

• Byladlouha 60 stop, 11 stop ~irok8 a 6 stop vysoka. Sroub byl umisten pod vodou do tzv. vnutovenookna mezi zad' plavidla a kormidlo. Pami stroj z rakouskych strojiren v Sankt Stephanu, jeznemely s touto vyrobou zkusenost', me! vykon asi sest! konskych sil (asi 4,5 kW). Rychlost lodebyla asi sest mofskych mil za hodinu (tj. asi 11,1 kmlh). Lod' se v~ak zastavila pro poruchupamfho stroje, i protoie pffvod pary byl pfipajen jen mekkou pajkou. Terstske policejnf fedite/stvfpak zakazalo v zajmu vefejne bezpecnost! v~echny da/Sf pokusy. Ressel poslal svoje nacrty tfemttencouzskym podnikatelum Picardovi, Malorovi a Rivierovi, ktefi 110pozvaJi do Paflze a nechalivyrobit a vestevet do lod~ sroab. 0 veJikonocich Ressel (Js~Sn~ pfedvedl svuj vynetez na Sein~,ale protote s temno podnikateJi neme! uzavfenou smlouvu, nedostal teanou tinencn; odmenua zustal v Paffti v obtitne situaci - bez prostfedku. V roce 1836 zlskal Anglican Francis PettitSmith patent na lodnl srouo a jeho umtstent, ktere ui util Josef Ressel. V roce 1838 posta viiispolu John Ericsson a F. P. Smith Sroubovy pamik ,,Archimedes", kte,y usp~~ne zavr~iI dlouhoufadu pokusu, spojenych s da/Simi jmeny jako Samuel Brown (Sroub pohan~ny plynovymmotorem), Cummerow, Dal/ery aj. oomene 20 tistc fiber ~terfinku, kterou anglicka vlada vypsalapro skutecneho vyneiezce lodnlho sroubu, byla pry nakonec rozaetene, nebof bylo spome, kdo jevynetezcem a kdo jen zlep~ovatelem. Josef Ressel sice koncem listopadu 1852 vypsal dopodrobnosti svuj nero« na odmenu a po sIal doporucen~ kresby, spisy a zpravy z novin kralovskeadmiralit~ v Londyn~, ale spisy se ztratily. Zemfel v bfd~ na tyfus kdesi u Lublan~. Po smrti mu bylve Vldni postaven pomnlk, na neji sam ciser venovs! jako prvnf 525 z/atYeh.

- jii asi ve stfednl doM kamenne (8 ai 5 tistc let pf. Kr.) si vyraMIi k rybolovu fide muny vydlabanez kmene stromu a pffpadne vory svezene z rekos; podle dostupneho materialu na bfehu.K pohonu se pouifvala vesla, nebo bidla k odstrkovent na melke voae. V mladSf doM kemenne(4.- 3. tisicllet! pf. Kr.) se zecete rozvijet doprava po tekach a snad i po morton. V Mezopotamii sevedle vesJic zacaly objevovat i plachetnice. Fenicane ve Stfedozemnfm moti poutlvaJi plaehetnicese ctvereovou plachtou, cot umotnovalo plout jen s vetrem v zadech. Kolem roku 500 se zacalyv Reeku stav~t sttedozemnl galery - namotni lod~ s vfce tadami vesel. Kolem roku 1000 seobjevujl trojuhelnfkove podelne plachty umoinujief plout i proti v~tru (kfiiovanf). Vjvoj pOkracovalaz ke ~tfhlym ctyfst~Zt'iovym clipperum pro ryehlou ptepravu caje z Dalneho vyehodu. V 18. stoletlbylo lod'atstvl ovlivneno vynalezem pamlho stroje a hromadnou vyrobou ieleza. Zm~na oddfevenyeh trupu k zeleznym a od v~tru k pate probfhala pomalu. V roce 1807 vykonal AmericanRobert Fulton usp~~nou dalkovou plavbu se svym kolesovym pamlkem "Clermont" po teceHudson z New Yorku do Albany tj. asi 150 mil za 32 hodin. V roce 1858 byl na vodu spuSMn obr -plovoucl m~sto - Great Eastern 0 deIce 207m a vjtlaku 27 000 tun pro 4 000 cestujlclch a 500C/enu posadky. Vykon dvou parnleh stroju byl asi 6 100 kW Mel 6 st~it'iu, neeD pfes sest set m2

plachet, pet komfnu a kolena. Konstruktery byli Isambard Kingdom BruneI a John Scott Russel.

107

12. LAMINARNI PROUDENI

Ai. dosud jsme ph vypoctu proudeni s viskozitou tekutin pfimo nepocitali. Dosazovalijsme ji jen do Reynoldsova cisla. Pouze jsme se zminili, ze je pricinou disipace energie, vznikuturbulence a nerovnomerneho rozlozeni rychlosti v kanalech. Pii jednorozrnernem proudenijsme vsak neuvazovali ani tvar rychlostniho profilu a pocitali jsme se stredni rychlosti podleobjemu. V dalsich kapitolach uz nebudeme uvazovat jednorozmerne proudeni, coz namumozni stanovit vice informaci 0 proudici tekutine, napi'. tvar rychlostniho profilu atd.Uvazujme nejprve pfipady jednodussi, tj. pripady laminarniho proudeni.

12.1 Tnlbice kruhoveho pn1tezu

Uvazujme stacionarni laminarni proudeni (paralelni proudnice) trubici kruhovehopnifezu 0 polomeru ro, obr. 81.

p

}

T(r) V(r)

Obr. 81 Laminarni proudeni trubici kruhoveho prutezu.

Uvazujme castici tekutiny - valecek 0 polomeru r a deice dx v dostatecne vzdalenosti odvstupniho a vystupniho pnifezu, aby byl splnen predpoklad, ze tlakovy spad je konstantnia rychlost v zavisi pouze na polomeru r. Stanovime nyni postupne radu velicincharakteristickych pro toto proudeni.

Rq;z;Jq~~ni.t~~n¢lw.mm~tj;Ph stacionamim pohybu musi by! sily pusobici na vytknutou castici tekutiny ve srneruproudeni v rovnovaze, Abychom zduraznili, ze rychlost i tecne napeti nejsou konstantni, nybrzjsou zavisle na souradnici - polomeru r - budeme je v dalsich rovnicich oznacovat vtr) e ttr},zatimco tlakp je v urcitern prurezu (x = konst.) v celem prurezu stejny, nezavisly na polomerur:

t(r)2rtrdx = dpnr? ,dp rt(r) =--d ') ,x_

coz je Iinearni zavislost, obr. 81.Protoze tlak ve smeru proudeni (tj. ve smeru x) klesa dp/dx < 0 vychazi t < 0 tj. sku teenysmysl je opacny, nez jsme zvolili v obr. 81. Zaved'me velicinu nazyvanou tlakovy spad i jakokladne cislo i > 0

i = _ dp = _ /)p = _ P2 - PI = konst.,dx I I

paki

t(r) = --r2

(106)

108

To je rovnice prirnky. V ose potrubi, kde r = 0 je tecne napeti rovno nule a maximalni tecne

napeti je na stene 't(r ) =- .!_ r. = PI - P2 r(I 2 II 2/ 0

R.y~hlQ~tn~.pr9.m:Pro newtonske kapaliny lze tecne napeti vyjadrit rovmci (3) (viz kap. 2.3 a) Fyzikalnivlastnosti tekutin), v niz musime zavest souradnici r misto y:

dl'(r)'t(r) = 11-- . (3)

drProtoze realna tekutina Ipi na stenach, obr. 81, je dvtrl/dr < 0 a pro '7> 0 je ttr) < 0 jakov roy. (106). Po dosazeni do roy. (106) a separaci promennych

idv(r) = --rdr

211i 1

v(r) = - 411r~ +K ,

tj. rovnice rotacniho paraboloidu. lntegracni konstantu urcime z okrajove podminky na stene:Pro I' = 1'0, vtr} = 0,

K = il;; .411

Rovnice rychlostniho profilui .., ...,

v(r) = 411 (r(~ - r~)

pro I' = 0 dostavame maximalni rychlost v ose potrubi

(107)

ir~II

\I =max 411 (l08)

Prutok:Objemovy prutok je mnozstvi tekutiny, jez protece kazdyrn prurezern za jednotku casu a jeroven soucinu stredni objemove rychlosti a prurezu. Protoze zde je rychlost funkci polomerur musime prutez rozdelit na elementarni plosky dA, stanovit v nich lokalni rychlost vir) a jejichsoucin nam da elernentarni mistni pnitoky, jez musime secist po celem prurezu

II) • • ~I

~:'= ff vCr)dA = f -« -r 2)2 nrdr = :: f (r,;:' r - r 3 )dr,J 1)411 -110

~T = !!!_r4 = _!!j_d4 (109)811 I) 12811 '

kde dA = 2m'dr ad = 2ro . To je tzv. Hagenuv - Poiseuilleuv zakon. Vidime, ze pnitok jepfimoumerny tlakovemu spadu i a ctvrte rnocnine pnimeru d a nepfimoumerny viskozite.

Stredni objernova rychlost 1', s niz jsme pocitali ph jednorozrnernem proudeni v roy.Bernoulliove a v roy. kontinuity:

~T rei 4 1V=-=-1rl --,

A 811· TCr(;

ir2 id: I'(I 'm;lX1'=-.=--=--

811 3211 2(110)

To znamena, ze stredni rychlost je rovna polovine rychlosti maximalni.

109

.S.9.4~~l)it~t.tf.(f~h:*.~tf.M.~:Tlakova ztrata zpusobena trenim se vypocita z Weisbachova vztahu (59)

f v2

t1.p="'dP 2 '

do nehoz dosadime 1t1.p1 = if a za rychlost z roy. (110) pak

if = "'!_P~( id2

)d 2 3211

'\ _ 6411 _ 64u _ 641\ - vdp - vd - Re .

odkud

(Ill)

Ph vyvinutem stacionarnim izotermnim Iaminarnim proudeni je soucinitel trecich ztratA nepfimo umerny prvni mocnine Reynoldsova cisla. Tento vztah nelze pouzit pro kratkapotrubi, nebot' v blizkosti vstupniho pruiezu se parabolicky rychlostni profil teprve vyviji,proud nice nejsou paralelni primky a tlakovy spad neni konstantni, obr. 82.

Obr. 82 Vyvoj rychlostniho profiluza vstupnim pnirezem potrubi.Tlakovy spad zde neni konstantnia je vetSi nez u stabilizovanehoproudenL

Delka potrebna k vyvinu rychlostniho -profilu je pod le niznych autoru x, = (0,03 -+- 0,065)Re.d. U kratsich potrubije A> 641Re.

12.2 Paralelni desky

Stejnym zpusobem a za stejnych predpokladu jako u predchoziho pfipadu budemepostupovat i nyni. Mezi dvema paralelnimi deskami je vazka tekutina, obr. 83, ktera v pfipadea) je uvedena do pohybu tlakovym spadem ve smeru osy x a obe desky jsou v klidu. V pripadeb) je tlak konstantni, ale horni deska se pohybuje rychlosti v" . Protoze diferencialni rovnicepopisujici toto proudeni jsou linearni, lze tyto pripady superponovat.

Ph stacionamim proudeni budou sily pusoblc! na vytknutou castici tekutiny (uvazujmejednotkovou sirku ve smeru z) v rovnovaze.

[p - (p + dp)]dY·l + [(t(y) + dt(y»)]dx.l - 'C(y)dx·1 = °dp = d'C(y)dx dy

dp .dt(y) = -dy = -Idy .

dx

(112)

Po integracit(y) = - iy + to ,

110

tj. opet linearni zavislost, kde TO je tecne napeti na pevne dolni stene (y = 0). Dosazenim za T

z Newtonova zakona dostaneme

dv(y) == .i.ydy + ~dy11 11

a po integraci s okrajovou podminkou v(y) = 0 pro y = 0i 2 r (I\I(y)= --y +-y.

211 11(113)

Zatim nezname Tt) urcime z podminky, ze rychlost horni desky pro y -~II je rovna vth) = I'h

(I' i)"til = 11 _" + -h ,

h 211coz po dosazeni do roy. (113)

I , YI'(y) == -;:;- (hy - y) + 1'" h

-11(114)

Je-Ii rychlost I'h = 0 je rychlostni profil parabola, tj. pfipad na obr. 83a. Je-li dp/dx = 0 jerychlostni profil primka, obr. 83b.

b=1

rh

y~~~~~~~~~~~

b)Obr. 83 Laminarni proudeni mezi paralelnimi deskami zpusobene

a) tlakovym spadem,b) pohybem horni desky.

Ruznou volbou velikosti a smeru tlakoveho spadu i a rychlosti I'h

rychlostnich profilu, obr. 84. ... ...

~Vh ~T

lze dostat ruzne tvary

:\:+.,. Vh = 0 i > 0

Obr. 84 Ruzne tvary prubehu rychlostia tecneho napeti mezi deskamiv zavislosti na velikosti a smeru rychlostihorni desky a tlakoveho spadu.

Vh >0 i > 0

rObjemovy tok (b = sii'ka)

." ih'b v libV' = bI I'(y)dy = -. - + -'-' - .

n 1211 2(115)

111

Odvozene vyrazy se caste pouzivaji pro vypocet prutoku mezerou ve tvaru mezikruzi, jezvznika napf. mezi stenou pistu a valce, pficemz h je vyska spary a b = nd, obr. 85.

Obr. 85 Kanal ve tvaru mezikruzi.

12.3 Stekalli po stene

Uvazujme, ze tenky film vazke kapaliny steka stacionarne po svisle stenea predpokladejme, ze rychlostni profil je uz vyvinuty, obr. 86. Tlak uvnitf filmu kapaliny budevsude steiny a bude roven atmosferickemu tlaku, resp. tlaku okoli Pli.Vysledna tlakova sila navytknutou castici tekutiny bude tedy rovna nule. Pfi vypoctu rovnovahy sil budeme uvazovattihu a treci sily:

dG + [("C(y) +d"C(y)]bdx- "C(y)bdx = 0,

kde tiha dG = gpbdxdy. Pakd"C(y) = - gpdy . (116)

Z Newtonova zakona dostanemed2v(y)

d"C(y) = rt dy .dy'Dosazenim roy. (117) do (116) a dvoji integraci dostaneme

v(y) = - "')g y2 +K1y+K2_uIntegracni konstanty stanovime z okrajovych podminek: Na stene y = 0 je v(y) = 0 a tedyK2=O. Na hladine, kde y = 8 je tecne napeti prakticky nulove (dynamicka viskozita vzduchu jevelmi mala) a tedydv(y)ldy = 0 odtud KI = gfJ/u . Rychlostni profil je opet parabolicky

~g yv(y) = -(fJy - -) . (118)

u 2

(117)

Objemovy prutok. s gbO y2 gbfJ3

V =bfv(y) =-f (fJy--)dy = - .o U (l 2 3u

(119)

b = 1

dxObr. 86 Stekani filmu vazke kapaliny

po svisle stene.

112

p

r12.4 Klinova mezera

V predchozich prikladech jsme ukazali vliv viskozity na rychlostni pole a na disipacienergie, zpusobene tangencialnimi silami - viskozitou. Pro praxi velmi dulezity pripad je vzniksily kolrne ke smeru proudeni v zuzujici se mezere, obr. 87. Uvazujme rovinne proudeni (vz =0), sirka b = 1. Z rovnovahy sil pusobicich ph stacionarnim proudeni na elementarni castici,obr. 87, dostaneme jako u paralelnich desek

dp(x) = de(y)dx dy

tj. roy. (112)

Dosadime za d t z roy. (117). Za predpokladu, ze uhel a ~ (hI - h2)/L je maly a vyska mezeryh, < L bude tlakp zavisly jen na souradnici x a nezavisly nay (misto parcialni derivace lze psatdp/dx a dostavame obycejnou diferencialni rovnici pro rozlozeni t1aku p). Rychlostni profilypak budou parabolicke, jako u paralelnich desek a dostaneme je dvoji integraci rovnice

dp d~v(y)-=ll , ;dx dy:

do f f J" v()J)-dl" dy = 11 d' dy + K, 'x y-(ph integraci po prurezu je dp/dx povazovano za konstantni) a po druhe integraci

dp y"-d -;- = llv(y) + K,y + K2 .X _

Integracni konstanty stanovime z okrajovych podminek vth) = 0 pro y=h a v(O) = Vo pro y = O.Pak

1 dp > yv(y) = -;;--()r -l1y) + v,,(I--)

-lld'( h(120)

dp = 0dx

tr-dndx

PdyDp -dpi dy

TdxObjemovy tok ~T musi byt ve vsech prurezech stejny, (nezavisle na odlehlosti x)

. fl! V h dp h3

V = v(y)dy = -'-' - --- .(I 2 dx 1211

Vznik vztlaku v patnimlozisku.

LObr. 87 Pnitok klinovou mezerou.

(121)

113

Z teto rovnice Ize vypocitat zatim neznamy tlakovy spad, ktery je funkci x, proto dosadimeh =hc=ax: (122)

1211"T(hi - ax) 3

'

po integraci

P = J~x = 6rp'o - 611 V 0 + C .dx a(hl -Cl..x) a(hl +ox)"

V teto rovnici neznarne pnitok V a integracni konstantu C. Protoze ve vstupnim a vystupnimprutezu musi byt stejne tlaky napr. rovny nule, urcime V a C pomoci podminek p = 0 pro x =o a p = 0 pro x = L :

c = -611"0a(hl +hs)

kde h: = hi - aL,

pak611"0 xth - h2 )p= .

hi +h, h2

Mezi x = 0 a x = L nabyva p kladnych hodnot pro h > hi, viz obr. 87. Dosadime-li za h z roy.(122) do roy. (123) lze vypocitat vztlak:

F = JL d = 611110L2 (I !!J..... _,., hi - h2 )J' px 2 n - .

(I (hi - h2 ) h2 hi + h2

(123)

(124)

Poznamka: pro iesenl slozitejsich ptlpadu proudeni vazke tekutiny je nutno pouzit 1=1'. Navierovy-Stokesovyrovnice, viz kap. ]7, a rovnice kontinuity. Jed11l1 se 0 soustavu parcialnich nelinearnich diferencialnlchrovnic, jejichz analyticke teseni je velmi obtizne.

Otazky ke kapitole 12.:

1) Jaka je vazba mezi pnibehem tecneho napeti a rychlostniho profilu ph laminarnimproudeni?

2) Co je to Hagenuv-Poiseuilluv zakon?3) Jak lze pomoci kapilarnich viskozimetni urcit dynamickou viskozitu a jakou korekci

musime pfitorn uvazovat?4) Jaky je rozdil ve tvaru rychlostniho profilu mezi dverna deskami, a) je-li pohyb tekutiny

vyvolan pouze unasivyrn pohybem jedne desky ph nulovem tlakovem spadu b) neboje-li pohyb zpusoben tlakovym spadem a obe desky jsou v klidu?

5) Jake je rozlozeni tlaku v tekutine, ktera steka v tenke vrstve po svisle stene?

Vite, ievltavskou kasktldu tvofl 7 ptehrad a to:

Mfsto Spad Hltnost Turbfny Celkovy Rok Zafazenfpfehrady m m3/s pocet, druh vykon MW vystavby pfehrady

1) Upno I 162 2x46 2 Francis. 120 1959 Spi~kova2) Lipno II 9,6 20 1 Kaplan. 1,6 1957 prufoCna3) Orlfk 69,1 4x150 4 Kaplan. 364 1961 §piCkova4) Kamyk 15,50 4x90 4 Kaplan. 40 1960 polo§piCkova5JSlapy 56 3x100 3 Kaplan. 144 1954 §piCkova6) St~chovice 1 20 2x75 2 Kaplan. 22,5 1943 _Qolo§piCkova

St~chovice 2 220 2x12,5 2 Francis. 42 1946 §RiCk.pfeCerp.7) Vran~ 11 2x75 2 Kaplan. 12,5 1936 prufoCna

114

13. TURBULENTNI PROUDENI

13.1 VZllik turbulence

liz v polovine minuleho stoleti Reynolds zjistil, ze se tekutina muze pohybovat dvemakvalitativne zcela odlisnyrni typy proudeni, ktere pak byly nazvany laminarni a turbulentni.Rozhrani mezi obema druhy proudeni nam udava Reynoldsovo kriticke cislo, s nimz jsme seseznamili v kap. 8. Jeho hodnota je zavisla na fade pararnetru jako napr. na geometrii proudu,tlakovem spadu atd. Pro potrubi kruhoveho prurezu je spodni mez asi 2 000. Pro ustalenelaminarni proudeni je charakteristicke, ze se castice tekutiny pohybuji po paralelnich drahach,jednotlive vrstvy se navzajem nemisi (neuvazujerne molekularni difuzi). Laminarni proudvytekajici z vodovodu rna hladky povrch jako sklenena tyc, Pro turbulentni proudeni jsoutypicke pulsace vsech velicin jako napt. rychlosti. Trajektorie castic tekutiny jsou nepravidelne,dochazi k intenzivnimu promichavani celeho objemu proudici tekutiny. Povrch turbulentnihoproudu vody vytekajiciho z vodovodu je proto nepravidelny, "drsn)'" a proud je nepruhledny.Okamzite hodnoty velicin jako napr. rychlosti neustale kolisaji kolem stredni hodnoty. Protechnicke vypocty v praxi jsou vetsinou dulezite stredni hodnoty zjistene za dostatecne dlouhycasovy interval jako napi'. rychlostni prom - tj. zavislost stredni rychlosti na vzdalenosti odsteny potrubi - pro vypocet prutoku. Odchylky okamzitych hodnot od strednich muzemerozdelit na periodicke a nahodile, ktere nazyvame fluktuace. Napr. fluktuace rychlosti phvyvinutem turbulentim proudeni v potrubi dosahuje asi 10 % stredni rychlosti.

Prechod laminarniho proudeni do turbulentniho je jeste neuzavreny problem. Zapficinu vzniku turbulentniho proudeni se povazuje nestabilita laminarniho proudeni ph vyssichReynoldsovych cislech. Je-li Reynoldsovo cislo proudu Re vetsi nez Re kriticke neznamena tovsak jeste, ze by laminarni proudeni nemohlo existovat, ale je nestabilni a i male poruchyproudeni, vznikajici napr. ve vstupnim prurezu temei' neustale, mohou byt pticinou.zhrouceni" laminarniho proudu (analogicky jev je stihla tyc namahana na vzper) nebot' tytoodchylky od stredni hodnoty exponencialne nanistaji, Je-li Reynoldsovo Cislo mensi nez Rekriticke jsou tyto poruchy viskozitou tekutiny utlumeny.

Pfi postupnern zvysovani Reynoldsova cisla, napi'. zvysovanim rychlosti proudeniv potrubi, nedochazi zpravidla ke zrnene proudeni nahle - skokem. nybrz v urcitem, i kdyzrelativne malern intervalu Reynoldsovych cisel - v potrubi kruhoveho prutezu asi od 2 000do 4 000. Ph urcitych hodnotach Reynoldsova cisla se v potrubi objevuji zprvu kratke usekyturbulentniho proudu vystridane delsimi useky laminarniho proudeni (turbulentni zatky).Tento typ proudeni se nazyva intermitentni proudeni. S rostoucim Re jsou useky turbulentnihoproudu stale delsi a laminarniho kratsi az postupne laminarni useky zcela zmizi. Ph pnitokupotrubim se celo turbulentni zatky pohybuje rychleji nez jeji tyl a zatka se s rostoucivzdalenosti od vstupniho prurezu stale vice prodluzuje az se v dostatecne vzdalenosti odvstupu do potrubi objevuje jen turbulentni proudeni i kdyz se Reynoldsovo cislo proudeninemeni.

S laminarnim a turbulentnim proudenim se setkame nejen pri pnitoku tekutin potrubim, tj. pfivnitrnich ulohach mechaniky tekutin, nybrz i ph obtekani teles tj. pfi vnejsich ulohachmechaniky tekutin, viz kap. 14.

13.2 Charakteristiky turbllientniho prolldeni

Siovo turbulence znamena zmatek, nepokoj, neukaznenost, nepravidelnost, nahodilost,divokost, bouflivost. Zatim neni jednotna definice turbulentniho proudeni, v jednotlivych

115

definicich se zdurazriuji zpravidla jen nektere znaky. Turbulentni proudeni je trojrozmerny,casove prornenny pohyb tekutiny, pfi nernz kazda velicina napr. rychlost, tlak, hustota, teplotaap. (pokud neni z nekterych duvodu konstantni) se meni vice mene nahodile. Nekteri badateleoznacuji turbulenci za "stav kontinualni nestability". Vzdy, kdy dojde ke zrnene v dusledkunestability je nase rnoznost pfedem urcit detaily proudeni snizena. Nahodne (chaoticke,stochasticke) rysy turbulentniho proudeni jsou dominantni. Nelze vsak asi definovatturbulentni proudeni za .zcela nahodile", jednak i turbulentni proudeni je popisovanozakladnimi rovnicemi pro prostorove proudeni, viz kap. 17, jednak turbulentni proudeniobsahuje usporadane sku piny vim zvane .Jcoherentni struktury". K temto poznatkum sedospelo behern poslednich nekolika desitek let, diky stale se zdokonalujicim experimentalnimmetodam. Vyvstava nyni otazka zda je nahodilost fluktuaci postacujici k tomu, aby turbulentniproudeni bylo popisovano statistickymi metodami nebo zda lze najit jine vhodnejsi metody. Vpraxi se mohou vyskytnout proudeni u kterych budeme na rozpacich zda je zaradit dokategorie turbulentniho nebo neturbulentniho proudeni. Periodicka proudeni (napr. vlny navodni hladine) se nepovazuji za turbulentni proudeni.

Pro turbulentni proudeni jsou, strucne shrnuto, charakteristicke:

1) Fluktuace rychlosti, tlaku a pfipadne dalsich velicin.2) Yjry 0 niznych velikostech, od nejvetsich s rozmery srovnatelnyrni s velikosti proudu

tekutiny jako napt. polornerern potrubi, jez se deformuji, promichavaji a rozpadaji azpo nejmensi 0 pnimeru setin mm, jez jsou silne tlumeny viskozitou tekutiny a kinetickaenergie se pfemeiiuje ve vnitrni tepelnou energii.

3)_N~49.Q.i.l.9.~~(stochasticnost, chaoticnost) zmen je dominantni i kdyz i ve vyvinutemturbulentnim proudeni bylo prokazano ze existuji usporadane skupiny virovychstruktur, vyznacujici se nahodnyrni fluktuacemi fazoveho posunu.

4) .S.~m9.Q~?;~n~-,Jednou vznikle turbulentni proudeni se dale udrzuje sarno tim, ze vytvafi noveviry, ktere nahrazuji viry jez jsou vlivem viskozity disipovany.

5) rrqmj.C!4~Y~ni (difuzivita) je mnohem intensivnejsi nez ph larninarnim proudenusmesovanizpusobene pohybem molekul), nebot' turbulentni smesovani je zpusobeno velkymi viry,pohybujicimi se ve vsech trech smerech na mnohem vetSi vzdalenosti nez je strednivolna draha molekul.

Pro mereni casove prornennych velicin bylo treba vyvinout specialni pristroje s malousetrvacnosti, nebot' spektrum fluktuaci se pohybuje od 1 do 100 kHz. Napr. pro mereniokamzitych rychlosti resp. slozek nelze uzit Prandtlovu trubici (meri stredni hodnotu), nybrztermoanemometr se zhavenyrn dratkem, nebo laserovy anemometr. Tyto pristroje prevadejirychlost na elektricky mefitelne veliciny. Na oscilografu pak ziskarne napr. zaznamokamzitych hodnot slozek rychlosti ve smeru x ay v urcitem miste jako fuokci casu, obr. 88.

v

t

Obr.88

Prubeh Vx a Vy povazujeme za nahodny a muzeme ho charakterisovat temito velicinami:

116

a) .S.tr~~n~.np'c,i.~qtq!-:lv" resp. V:" za cas T napr.T

V. = _!_Iv .dt .x T X

<_,

(125)

Okamzitou hodnotu v~lze pak vyjadrit jako soucet hodnoty stredni Vx a fluktuacni v.~(nyni povazujeme periodickou slozku rovnu nule)

(126)-

Z rovnice (125) plyne, ze stredni hodnota stredni hodnoty je rovna stredni hodnote Vx = v~a pak stredni hodnota fluktuaci je rovna nule

T- II1". == - v'idt == 0.\ T _\ (127)

nebot' v' = v~- V, a po dosazeni do roy. (127) dostaneme dva integraly a po integraci

b) lntenzitaturbulence charakterizuje relativni velikost amplitud tluktuaci rychlosti vzhledemke stredni hod note rychlosti napr. pro smer x

RE" = --=-. (128)

v x

lntenzita turbulence ph vyvinutern proudeni v potrubi kruhoveho prurezu je zavisla na smeru- podelne fluktuace jsou vetsi nez pficne, v ose maji minimum, maximum je v tesne blizkostisteny a na stene jsou rovny nule.

Obr. 89 Rozlozeni intenzity turbulence v potrubi,x-ova slozka je podelna - axialni,y-ova slozka je radialni.

lntenzita turbulence je definovana stejne jako variacni koeficient v maternaticke statistice.

c) Korelace je stupeii statisticke zavislosti velicin. U stochastickych jew neni jednoznacnazavislost mezi dvema nebo vice velicinami .jako je tomu u deterministickych zavislosti, coz seprojevuje jako v detailech odlisne vysledky opakovanych experimentu. Existuje vsak urcitapravdepodobnost, ze hodnote jedne veliciny odpovida urcita hodnota druhe veliciny. Tatozavislost muze byt tesna nebo volna, pfipadne zadna. Stupeii zavislosti udava korelacnisoucinitel. Z pnibehu korelacnich soucinitelu Ize pak urcit ruzna meritka turbulence. Napf.delkove makromeritko charakterizuje efektivni rozmer viru atd.

13.3 Matematicky popis turbulentniho proudeni

Pokud uznavame, ze rovnice kontinuity a Navierovy - Stokesovy rovnice, viz kap. 17,Ize aplikovat i na turbulentni proudeni je mozne je resit pomoci pocitacu. V soucasne dobe aniv dohledne budoucnosti vsak nebudou k disposici tak vykonne pocitace, aby v rozumne dobe

117

provedly feseni tak komplikovane ulohy jakou je turbulentni proudeni. Emmons v roce 1970uvedl, ze vypocet jemnych detailu turbulentniho proudeni v potrubi by si vyzadalo ph pouzitidnesnich superpocitacu nejmene stovky, ale spise tisice let.

Ph resent turbulence se postupovalo dvema smery:

1) Statisticke teorie. Prenosove jevy v turbulentnim proudu maji dominantni nahodnycharakter a bylo pfirozene pouzit k jejich popisu aparat matematicke statistiky. Jiz v minulemstoleti Reynolds upravil Navierovy - Stokesovy rovnice pro turbulentni proudeni tak, zenahradil okamzite hodnoty velicin jejich strednimi hodnotami a fluktuacemi. Dostal tak tfinove rovnice, nazyvane po nem Reynoldsovy rovnice, se sesti novymi neznarnyrni typu

1:li) = pl(v;V;)I, (129)

kde indexy i aj postupne nahradime symboly pro souradne osy x, y, z, Vyraz (v:v; )je strednihodnota soucinu fluktuacnich slozek rychlosti. Prave strany rovnice (129) maji rozmer napetia nazyvaji se Reynoldsova (zdanliva) turbulentni napeti. Protoze nyni pocet neznamychprevysuje pocet rovnic neni soustava rovnic uzavrena a hledaji se stale nove rnoznosti uzavrenisoustavy. Timto smerem se zde nebudeme vice zabyvat.

2) Serniempiricke modelovani strednich turbulentnich velicin. Tento smer se soustred'uje nastanoveni velicin jez maji vyznam pro inzenyrskou praxi jako napr. pole strednich rychlosti,tecna napeti ap. Prvni pokus reseni turbulentniho proudeni predlozil Boussinesq (1877), kteryzavedl zdanlivou (virovou) viskozitu A , jez je analogii dynamicke viskozity tekutiny. Narozdil od ni neni zdanliva viskozita latkovou vlastnosti, nybrz je funkci soutadnic a je zavislana geometrii a dalsich charakteristikach proudoveho pole. Pro rovinne turbulentni proudenilze pak zdanlive tecne napeti vyjadfit rovnici

1: =AdVxt dy

a vysledne tecne napeti v turbulentnim proudu bude rovno souctudfi

1: = (11 + A)_x.dy

(130)

(131 )

Ve sve dobe mel velky vyznam model pfenosu hybnosti (Prandtl, 1925), vychazejici z analogies kinetickou teorii plynu. Analogii stfedni volne drahy molekul byla tzv. smesovaci delka,kterou bylo nutno urcit experimentalne. I tate velicina byla funkci souradnic resp. geometrieproudoveho pole. Fluktuace rychlosti resp. zdanlive tecne napeti bylo umerne soucinusmesovaci delky a mistniho gradientu stredni rychlosti. I pies velmi hrube predpoklady bylziskan vyznamny a dodnes uznavany vysledek - logaritmicky rychlostni profil, obr. 90·a obr.91:

(132)

kde v. = J1:o / p = konstante pro dany pripad proudeni. 1:l)je tecne napeti na stene, p jehustota tekutiny. Druha odmocnina z podilu techto dvou velicin rna rozmer rychlosti a nazyvase treci rychlost v.. y je odlehlost od steny potrubi , K je tzv. Karrnanova konstanta jejizhodnota se pohybuje kolem 0,4 a KJ je integracni konstanta. Tento tzv. logaritmicky zakonneplati v blizkosti steny, nebot' na stene, pro y = 0, dava nekonecne velikou rychlost. Aniintegracni konstantu nemuzeme stanovit jako obvykle z podminky, ze na stene tekutina lpi arychlost je nulova, Prandtl a Karman proto rozdelili turbulentni proud v blizkosti steny na tfioblasti, obr. 90

118

vazkou ..PQq.yp~t.Y\l,v tesne blizkosti hladke steny, kde prevazuje viskozni tecne napeti nadzdanlivyrn turbulentnim napetim, nebot' pricne slozky fluktuacnich rychlosti jsou stenoutlumeny. Tato vrstva byla puvodne nazyvana Iaminarni podvrstvou, ale experimenty byloprokazano, ze se v ni vyskytuji fluktuace. Tato vrstva je velmi tenka, zlomky milimetru, ale rnavelky vyznam pfi prestupu tepla. Rychlostni profil je pfimkovy:~.l:I.rlJ~h.'mmjj~.d.r().m()~Q.I,l,v urcite vzdalenosti od steny uz tecne napeti zpusobene viskozitoutekutiny je zanedbatelne male ve srovnani se zdanlivym turbulentnim napetim. V teto oblastiplati logaritmicky zakon v teto forme zvany zakon steny;prechodova ..:Vr.~~:v~je ta cast proudu, kde obe tecna napeti zpusobena viskozitou neboturbulentnim smesovacim pohybem jsou radove stejne velika a rychlost plynule prechazlz prirnkoveho na logaritmicky zakon.

Na zaklade experimentu provedenych v hladkych trubicich byly stanoveny neznamekonstanty v logaritmickem zakone:

Vx = 5,75 log V,.y + 5,5 (133)v. v

V literature zabyvajici se turbulenci se zavadi bezrozrnerna rychlostV

v+ =~v.

(134)

a bezrozmerna odlehlost od steny+ v.yy =-

II(135)

Logaritmicky zakon rna pak tvarv+ = 5,75logyt + 5,5

aje znazornen v semilogaritmickych souradnicich na obr. 90.

+ Vxv =---..vObr. 90 Turbulentni

rychlostni profil.U steny (male

odlehlosti y+) tj. v prechodovevrstve a vazke podvrstveIogaritmicky zakon neplati.Poznamka: y + je vynasenov Iogaritmicke stupnici a proto jeoblast u steny roztaiena.

vazka podvrstvaprechodovcl vrstva

turbulentni jadrov'*yy. =-::;-

v*=Vf't

305

Jestlize integracni konstantu K, v rovnici (132) urcirne z podminky pro osu trubice pro niz jeodlehlost od steny rovna polomeru trubice y = 1'0 a rychlost je zde rovna maximalni rychlostiF, = "rna." dostaneme po uprave rovnici pro tzv. deficit rychlosti (take defekt rychlosti)Fmax - Vx coz je ubytek rychlosti vzhledem k rychlosti v ose:

V -F rmil" x = 5,751og-2.. . (136)

II. YZ rovnice vidime, ie deficit rychlosti nezavisi na drsnosti, coz bylo potvrzenoiexperimentalne,

Zname-li rovnici rychlostniho profilu strednich rychlosti F(r) a dokazeme-li integraci

po pnirezu stanovit objemovy prutok J~, stredni objemovou rychlost po prurezuv = v'r I A a porner maximalni rychlosti na ose pnirezu ku stredni objemove rychlosti V, tj.

119

rychlost, kterou jsme dosazovali do rovnice kontinuity a do Bernoulliovy rovnice a stejne jakodrive ji budeme oznacovat prostym pismenem v, pak muzeme teoreticky odvodit i souciniteltrecich ztrat ph turbulentim proudeni. Z podminky rovnovahy psane pro elernentarni casticitekutiny ve tvaru valecku 0 pnimeru rovnem pnnneru potrubi d a deice dx

m}2'tom} dx= dp--

4(odkud muzeme vypocitat i tree! rychlost jako funkci tlakoveho spadu dpdx) a z upravenehoWeisbachova vzorce (59)

kde v je stredni objemova rychlost po prutezu, obdrzime vyraz udavajici zavislost souciniteletrecich ztrat na velicinach jez zavisi na tvaru rychlostniho profilu

8 'to :

A = ~ = 8(V+)2v- v

Poznamka: Misto logaritmickeho zakona se v turbulentnim proudeni pouziva take starsihoempirickeho mocninoveho zakona, obr. 91

Vx (y) III!

vma.'\ = "') ,kde Vmax je maximalni rychlost tj. rychlostv ose potrubi, jehoz polomer je roo Exponentn neni konstanta, ale meni se s Reynoldsovymcislem od 7 do lOa s drsnosti potrubi.

(137)

Vmax

yObr. 91 Turbulentni rychlostni profil

v obycejnych souradnicich.

Vyse uvedene dva modely turbulence mohou poskytnout pouze stredni hodnoty slozekrychlosti, pripadne soucinitel turbulentnich trecich ztrat. Nedokazi stanovit dalsi duleziteveliciny, jez charakterisuji turbulenci jako jsou napr. Reynoldsova napeti, kineticka energie- - -turbulentnich fluktuaci K = 1/ 2( If;+ v'~+ l)~) atd. Bourlivy rozvoj modernejsich modelunastal s prichodem pocitacu po roce 1968, kdy se konala prvni konference 0 turbulentnichmeznich vrstvach ve Stanfordu.

Otazky ke kapitole 13.:I) Jake jsou rozdily mezi laminarnim a turbulentnim proudenim?2) Jak charakterizujeme turbulentni proudeni?3) Na cern jsou zalozeny teorie turbulence?4) Jaky rna tvar a rovnici turbulentni rychlostni profil?6) Existuje souvislost mezi trecim ztratami a tvarem rychlostniho profilu?

120

14.QBTE~iTELES

Ph obtekani teles tekutinou, nebo ph pohybu telesa (napr. letadla) tekutinou, lzevyslednou silu a moment rozlozit obecne na tfi slozky: odpor l'~, vztlak F_\, a bocni silu F,a moment klopivy Mz, klonivy M.,_ a zatacivy Mi, obr. 92.

Nachazi-li se teleso v rozlehlem proudu tekutiny nelze jiz tak snadno urcit rychlostnia tlakove pole kolem telesa (jako tomu bylo v kap. 11., kdy proud tekutiny byl omezeny)a teoreticke stanoveni napr. odporu a vztlaku je velmi obtizna uloha. Jestlize provadimevypocet s modelem nevazke tekutiny dostavame nulovy odpor, coz je v rozporu s nasizkusenosti (D' Alembertuv paradox), nebot' i ph obtekani teles vzduchem, ktery rna velmimalou viskozitu, vznika vzdy odpor tj. slozka paralelni s vektorem rychlosti. Experimentalnebylo zjisteno, ze pri velkych Reynoldsovych cislech saha vliv viskozity jen do male vzdalenostiod povrchu telesa a tato cast proudu se nazyva mezni vrstva; uplav je odplavovana mezni

vrstva, obr. 93. ~ ~ = O:¢> r = a

VCD Y.

Obr. 92 SHy a momenty pusobici naobtekane teleso.

Ph symetrickem obtekani teles pakbudou nektere z techto slozekrovny nule (bocni sila a klonivy azatacivy moment).

Obr. 93 Mezni vrstva - m. v. -natenke desce. Uplav je odplavenamezni vrstva.

14.1.Mezni vrstva

-

Uvazujme nejjednodussi pripad - mezni vrstvu na tenke desce paralelni s proudemtekutiny. Tlak je v celern objemu tekutiny konstantni. Tekutina na stene lpi l'o = O. Vlivemviskozity se zabrzdi nejblizs; vrstvy tekutiny u povrchu desky. Rychlost s odlehlosti od stenynarusta aZ na hodnotu rychlosti nenaruseneho proudu v-, Tato tloust'ka .zabrzdene' tekutiny£\ je u nabezne hrany nulova a na odtokove hrane je maximalni. V mezni vrstve a oblastikolem desky nejsou proudnice paralelni primky, ale tvofi mime se rozbihajici svazek. Slozkarychlosti kolma k desce ''y « V'1. a lze ji zanedbat. Hranice mezni vrstvy neni shodna sproudnicemi. Mimo mezni vrstvu je vsude rychlost phblizne konstantni, tedy 171'/ oy = 0 aproto i tecne napeti je zde rovno nule, bez ohledu na viskozitu tekutiny. Mimo mezni vrstvumuzerne tedy pocitat s Bernoulliovou rovnici pro idealni tekutiny. V mezni vrstve vsakmusime viskozitu uvazovat a proudeni zde muze byt bud' laminarni nebo turbulentni.

121

Odvod'me pomoci vety 0 zmenehybnosti vztah udavajici rust tloust'ky meznivrstvy ~ se vzdalenosti od nabezne hrany X,

obr.94.

b= 1

Obr. 94 Idealizovana mezni vrstva na desce. L

Zvolme kontrolni oblast OAB, ohranicenou deskou, hranici mezni vrstvy a useckou AB.Uvazujme jednotkovou sifku desky b. Pro zjednoduseni nahrad'me rychlostni profit pfimkou,jez da pro Iaminarni mezni vrstvu vcelku vyhovujici vysledek:

V=V L.oc' 8

x

(138)

Ve smeru proudeni pusobi na tekutinu v uvazovane oblasti pouze treni 0 stenu:x

Fx = f "Codx, (139)I)

kde "Coje tecne napeti na stene

"Co = ~(~v) . = n~'~.~ y=Ll x

(140)

Z kontrolni oblasti vyteka pnirezern ABOx V 8

111 = p f vdy = p "',.,x .

I) -

Toto mnozstvi tekutiny priteka do kontrolni oblasti plochou OA konstantni rychlosti 1'"", takzehybnost pfitekajici tekutiny

(141)

1 ,H] = rilv", = - pv;,8., '2 -.' (142)

Hybnost tekutiny vytekajici pnirezem AB z kontrolni oblastiOx Ox 1

H2 = f vdm = pf vidy = -pv~8x . (143)o 0 3

Dosadime-li roy. (139), (140), (142) a (143) do vety 0 zmene hybnosti napsane proelementarni cast mezni vrstvy 0 delce dx:

()dF = dtH, - H2) = -(H] - H2)d'( ,

Oxdostaneme

d v"'d 1 ,ao'd"Co X = ~ 8,~ x = '6pv;, 0;' x.

Protoze ao x dx = dOx upravime diferencialni roVJ1lCI separaci promennych na tvarOx

8xdO.~ = 6~ a po integracipVoo

5:2 -1"'~ KUx -.... x + ,vw

(144)

122

coz je parabola druheho stupne, kde K = 0 nebot' pro x = 0 'je 5x = O. Zavedeme-li do rovnice(144) Reynoldsovo cislo, v nemz charakteristickou delkou bude vzdalenost od nabezne hranyx:

" xR -_,,_.ex - ,\)

(145)

bude

(146)

Pomoci presnejsich vYpoctu potvrzenych experimenty dostaneme stejny vyraz, jen konstantaje vyssi: 5,8.

Chceme-li vypocitat odpor, dosadime z roy. (140) za pouziti roy. (144)L 1 15 'r, = bf T "dx = .ft:;: bLp \;. , (147)(I ReL-

tj. odpor jedne strany desky, jejiz plocha A z , b.L . Prvy zIomek se zpravidla oznacuje jakosoucinitel odporu Cx a piesnejsim vypoctem dostaneme opet stejny vztah s vyssi konstantou

C = 1,33 (148)x ..JReL

Odpor desky se pak pocita z rovnice

(149)

kde pv;, /2 = Pd' tj. dynamicky (resp. kineticky) tlak.

Jestlize nabihajici proud tekutiny je turbulentni, nebo jestlize je proud laminarni, ale preddesku umistime turbulizator, nap!'. sito, drat, pak tloust'ka mezni vrstvy bude nanistat rychleji aodpor bude vyssi:

0,074c =--==-

.\ ~~'\IKe/.

8 = 0,37x.v ifRe L

(tj. stredni hodnota tloust'ky, nebot' 5x kolisa s casem, viz obr. 95).

(150)

(151 )

Ale i kdyz je proud tekutiny laminarni a nepouzijeme turbulizatoru, pak laminarni meznivrstva po dosazeni urcite tloust'ky se stane nestabilni a v urcite vzdalenosti od nabezne hranyse zmeni v turbulentni a dostavame tzv. smisenou mezni vrstvu, obr. 95.

Obr. 95 Srnisena mezni vrstva na desce.V pfedni casti je m. v. laminarni, v zadni

turbulentni, mezi nimi prechodova oblast.Okamzita hranice turbulentni m. v. - plnanepravidelna kiivka - se s casem meni. Strednitloust'ka turbulentni m. v. je zakreslenacarkovane.

-~"-__, ,/ ~ ;::r""--'----- -c====~ ~-~-"-~-----.::::-

lam.J 1 ... turbo

123

Kriterium pro stanoveni tohoto prechodu je opet kriticke Reynoldsovo cislo, jehoz hodnota semeni se stupnem turbulence proudu. Zpravidla se udava

v xRe k = ~ = 5· 105

,\)

ale muze by! vetsi (az 2.106) i mens). Soucinitel odporu pro smisenou mezni vrstvu lze vyjadfit

0,074 Ac = -- (152)

x VRe ReL'L

kde pro ReK = 5.105 je A = 1 700.

Zavislost soucinitele odporu Cx tenke desky na Reynoldsove cisle je na obr. 96. Protozeje diagram vynesen v logaritmickych souradnicich je zavislost soucinitele odporu laminarnimezni vrstvy, roy. (148), znazornena pfimkou L stejne jako soucinitele odporu turbulentnimezni vrstvy pro hladkou desku, roy. (150) carkovanou pfimkou T s mensim sklonem.Skutecne hodnoty soucinitele odporu v turbulentni mezni vrstve budou ph vyssich hodnotachRe (nad 107

) vyssi a jsou v obr. 96 znazorneny plnou kiivkou. V turbulentni oblasti je odporzavisly i na drsnosti desky a s rostouci drsnosti roste i soucinitel odporu. Krivky pro smisenouvrstvu S (je jich vice podle velikosti Rek) se asymptoticky blizi krivkam soucinitele odporuturbulentni mezni vrstvy, nebot' pfi rostoucich Reynoldsovych cislech je cast plochy desky slaminarni mezni vrstvou stale mens).

1~--~~------=-----~----~~--~105 106 107 108 109 Re

RekObr. 96 Zavislost soucinitele odporu tenke desky na Reynoldsove cisle:

L - laminarni mezni vrstvaS - smisena mezni vrstva,T - turbulentni mezni vrstva.

14.20dpor teles F,

Pfi obtekani realnych teles konecne tloust'ky, symetrickych k vektoru rychlosti 1''>:', jsouvsechny slozky krome odporu nulove:

(149)

Ph obtekani teles mensimi rychlostmi (aby se neuplatnil vliv stlacitelnosti) si celkovy odporrozkladame na odportrec! (vliv viskozity) dany integralern tecnych sil po povrchu a t.l.f:lk9yY,zpusobeny nesymetrickym rozlozenim tlaku po povrehu telesa. Podle toho, ktera slozkaodporu pfevlada, coz zavisi na tvaru, muzeme telesa rozdelit do tfi skupin: deskovita paralelnis proudem, deskovita kolma k proudu a spojite zakfivena s relativne velikou tloust'kou.a) Oeasni plochy letadel, a p. jsou typickymi priklady profilovanych desek u nichz prevladatreci odpor. Do roy. (149) se vsak obycejne nedosazuje smocena ploeha, jako u tenke de sky,nybrz ploeha pudorysu nebot' se urci snadneji.

124

Poznantka: kdybychoiu 1I tenke desky obtekane oboustranne dosazovali jako charakteristickou plochu A do/'VI'. (1./9) utlsto smocene plochy 2bL plochu pudorysu bL, jet je polovicni, pak hodnota soucinitele odporu Cxtnusl by: dvojnasobna abychom dostali spravnou hodnotu odporu. Napr. pro 100IIi11arni tuezni vrstvu konstantav citateli se zmeni z 1,33 no 2,66. Tento zpusob 1:~1)(}(l1i se pouiiva napr. ph srovnavani otlporu tenke desky sprofilovanou deskou.

Soucinitel odporu zavisi na tvaru profilu desky, Reynoldsove cisle, drsnosti povrchu aturbulenci proudu. Prubeh soucinitele odporu v zavislosti na Reynoldsove cisle je podobnyjako pro tenkou desku, jen 0 neco vetsi vlivem maleho tlakoveho odporu. Uplav je maly.Protoze prechod laminarniho proudeni v turbulentni je silne zavisly na tlakovem spadu, lzevhodnym tvarovanim snizit odpor v urcite oblasti Re. Jedna se 0 tzv. laminarni profily, u nichzje maximalni tloust'ka posunuta do vzdalenosti 40 az 60% od nabezne hrany, zatimcou klasickych profilu byla asi 30%, obr. 97.

ObI'. 97 Srovnani hodnotsouciniteleodporu ph ruznych Re pro:a) tenkou desku (souc.odporu vztazen na plochupudorysu desky),b) klasicky profilc) laminarni profil.

b) U deskovitych teles postavenych kolmo k proudu, obr. 98, nebo u teles s ostryrni hranamina zadni casti, dochazi k odtrzeni proudu na hranach.Proto bod odtrzeni nemeni svou polohu.

ObI'. 98 Obtekani desky kolme k proudu.

Pted telesem je ptetlak, za telesem podtiak (nevhodne rozlozeni tlaku). Uplav je veliky.Soucinitel odporu zavisi hlavne na tvaru telesa, jen pro mala Reynoldsova cisla Re < 103 jezavisly ina Re, nebot' roste vliv viskozity, obr. 99.

Obr. 99 Zavislost souciniteleodporu niznych telesna Reynoldsove cisle:

koule,valec,elipsoid,deska.

koule/

10 l\ .,.,.

1

. l J;;Ovalec (f.?C 5

O.\+---1~0-1-+-0-2-1--0-:-3-1 0>-:4-10+-:5:----106 R e

Hodnoty soucinitelu pfi Re > 103 jsou zavisle hlavne na tvaru napr. kruhova a ctvercova deskamaji Cx = 1,1 ; obdelnikova deska (s teoreticky nekonecnyrn rozpetim) Cx = 2. Jakocharakteristickou plochu A dosazujeme v tornto pripade do roy. (149) plochu prumetu doroviny kolme k rychlosti Vet) - celni prumet.

125

e) Pro telesa spojite zakfivena (kouIe, elipsoidy, valce a p.) je charakteristicke, ze pfi urcitychhodnotach Reynoldsovych ciseldochazi k pronikavym zrnenam soucinitele odporu ex, napr. naobr. 99, ph Re :::; 105

. Pficinou je posunuti bodu odtrzeni mezni vrstvy smerem dozadu pfiprechodu proudeni v mezni vrstve z laminarniho na turbulentni. To rna za nasledek zmenseniuplavu i odporu. K odtrzeni mezni vrstvy dochazi zpravidia tehdy, kdyz tekutina proudi domist s vyssim tlakem napr. na zadni casti koule, valce, ale i v difuzoru a p. Tlakove a trecl silypusobici proti pohybu castice, jsou prekonavany setrvacnosti castice tekutiny, jeji rychlostproto klesa, aZ v urcitem rniste na povrehu telesa rna ryehlost nulovou, obr. 100.Rychlostni profil v tomto miste rnainflexni bod. Za timto mistem majiryehiosti u steny opacny smysl, nezje tomu u hlavniho proudu. U stenyvznika zpetne proudeni.

inflexnibod

Obr. 100 Proudeni v okoli bodu odtrzeni

V turbulentni mezni vrstve maji castice u steny vetSi kinetiekou energii, protoze ryehlostniprofil je pInejsi nez ph Iaminarnim proudeni, To je pricina posunu bodu odtrzeni dozadua zmenseni uplavu pri prechodu Iaminarniho proudeni v mezni vrstve v proudeni turbulentni.Proto pfi Reynoldsove kritickem cisle dojde k poklesu soucinitele odporu, jak jsme driveuvedli. (obr. 99).

Ph velmi malych Reynoldsovych cislech, mensich nez 1, prevlada vliv vazkych sil nadtlakovymi. U koule a valce je bod odtrzeni posunut daleko dozadu - nedochazi temef kodtrzeni. Soucinitel odporu je silne zavisly na Re. Pro kouli odvodil Stokes F.x = 3mlv<rP.Srovnanim s roy. (149) ph dosazeni A = mI/.; dostaneme ex = 2·./Re. Pii techto obtekanich(tzv. plizive proudeni) neize hovofit 0 mezni vrstve, nebot' vliv viskozity saha velmi daleko odtelesa,

U valcu dochazi v oblasti 40 <Re < 500 k pravidelnemu stridavemu odtrhavani viru a zavalcem vznika tzv. Karmanova virova stezka. Tento jev je nutno respektovat u ruznychstavebnieh konstrukci, dbat na to, aby nedoslo k rezonanci frekvenee odtrhavani vim a vlastnifrekvence konstrukce. Tento jev je take pficinou .zpivani" telefonnich dratu - tzv.Strouhalovych trecich tonu. Do Reynoldsova kritickeho cisla, jez pro kouli nabyva hodnot

Re, = vcx.,d = (1,5 - 4).105

U

je proudeni v mezni vrstve laminarni - podkriticke, bod odtrzeni mezni vrstvy je jeste predmaximalnim pnifezem, obr. lOla. Ph nadkritickem obtekani je bod odtrzeni za rnaximalnimprurezem.obr. 101 b.

Obr. 101 Odtrzeni proudu pfi obtekanikoulea) podkriticke obtekani -

laminami mezni vrstva,b) nadkriticke obtekani -

turbulentni mezni vrstva.

126

14.3 Vztlak Fy

Jestlize obtekani telesa je nesyrnetricke vzhledem k rychlosti v, napf. tim, ze symetrickyprofilovana deska je k Voo sklonena pod urcitym uhlem nabehu a, nebo proto, ze deska je sarnanesymetricky profilovana, obr. 102, vznika vedle odporu F; i vztlak J~. Vztlak nevznika tim,ze by se vzduch pod kfidlern stlacoval - predpokladame, ze rychlost vzduchu je mensi nez 1/3rychlosti zvuku, takze zmeny hustoty jsou zanedbatelne a vzduch se chova jako nestlacitelnatekutina. Vznik vztlaku pfi nizkych podzvukovych rychlostech si lze vysvetlit pomociBernoulliovy rovnice. Nad horni stranou profilu jsou rychlosti vetsi nez pod spodni stranoua kde je vetsi rychlost bude mensi tlak a naopak. Horni strana profilu se proto nazyva sacia spodni tlakova. Vztlak pocitame z podobne rovnice jako odpor jen soucinitel odporu jenahrazen soucinitelem vztlaku cy ,

\' -F" = c,.Ap_,_f' .

. , ')(153)

Vysledna sila se pocita ze vzorce v nemz vystupuje soucinitel vysledne sily CF

(154)

kde cll = ~c.:+ c;' , nebot' F = ~ F,2 + F,2 a vsechny soucinitele CF, ex, cy vztahujeme na

~tejI19~ charakteristickou plochu, tj. plochu pudorysu kfidla, Vztlak je slozka vysledne silykolma na smer vektoru rychlosti nerozruseneho proudu \)'1) (tj. dostatecne daleko od profilu,v jehoz blizkosti se velikost i smer rychlosti castic vzduchu meni. Ve stagnacnim bode nanabezne hrane je rychlost rovna nulel).

Obr. 102 Obtekani profilu: a - uhelnabehu je uhel mezi vektoremrychlosti voY) a tetivou profilu(spojnici nabezne a odtokovehrany)

~ ~f--'--+.!~

Voo --I-~~~_

Zavislost soucinitele vztlaku cy na uhlu nabehu je linearni az temer do uhlu, kde dojde kodtrzeni proudu na sad (tj. horni) strane desky, obr. 103 a.

Cy

b)Obr. 103 a) Zavislost soucinitele vztlaku c, odporu Cx na uhlu nabehu pro nesymetricky

profil. Ph velkych uhlech nabehu dojde k odtrzeni proudu a poklesu vztlaku.b) Polara profilu je zavislost soucinitele vztlaku Cy na souciniteli odporu cx. Kazdemu

bodu polary odpovida urcity uhel nabehu napr. an.

127

V ternze obrazku je vynesena i zavislost soucinitele odporu c, na uhlu nabehu. Jeho hodnotyvsak byvaji radove stokrat rnensi nez hodnoty soucinitele vztlaku. V praxi se easteji pouzivatzv. polara profilu, coz je zavislost cy = .[(cx), obr. 103b. Polara zavisi na tvaru profilu,Reynoldsove cisle a u kfidel konecneho rozpeti i na stihlosti, tj. porneru rozpeti ku hloubceprofilu.

14.4 Lopatkove mtize

U rady stroju (axialnich turbin, kornpresoru a cerpadel) jsou lopatky usporadany dovence, blizko sebe, takze se navzajem ovlivriuji a toto tesne usporadani nazyvame lopatkovamnz. Charakteristiky profilu nachazejiciho se v mrizi jsou jine nez u osamoceneho profilu.Napr. soucinitel vztlaku pfi stejnem uhlu nabehu je u profilu v mfizi vzdy vyssi.

Rozlisujeme lopatkove mfize rovnotlake, turbinove a kornpresorove. Ph prutokutekutiny rovnotlakou mnzi dochazi pouze ke zmene smeru proudeni, rychlost a tlak se pripnitoku mrizi nerneni. Ph pnitoku tekutiny turbinovou rnfizi, kdy je strojem tekutineodnimana energie, se prurez mezi lopatkami - kanal - ve smeru proudeni zmensuje, takzetekutina meni svUj smer proudeni, zvetSuje rychlost a zrnensuje tlak. U kornpresorovych mrizise pnifezy kanalu mezi lopatkarni ve srneru proudeni zvetsuji, takze se rychlost tekutinyzmensuje a tlak zvetsuje, Zpravidla je pred mtizi obeznych lopatek pripevnenych k rotoruumisten venec rozvadecich lopatek spojeny se statorem. Tete dvojici lopatkovych mrizi se fikastupeii.

Otazky ke kap. 14:1) Jake sily a momenty pusobi na obtekana telesa a jak se urcuji?2) Co je to mezni vrstva?3) Co je to dAlemberniv paradox?4) Na cern zavisi odpor teles? Jak se vypocte?5) Kdy dochazi k prechodu proudeni v rnezni vrstve?6) Kdy dochazi k odtrzeni proudu tekutiny od povrchu telesa?7) Popiste obtekani koule, resp. valce!8) Jak vznika vztlak? Jak se vypocte?9) Co je polara profilu?

10) Jake lopatkove rnrize se v praxi pouzivaji?

Vite, ie- 1. cervence 1940 byl otevren visuty most pfes uiinu u Tacomy 0 rozpetl 854 m. Pfi mtmem vetru se

jeho vozovka vInita - zvedala se a klesala, proto se stal atraktivnfm cflem automobilistu touifcfchpo dobrodruzstvf. 7. listopadu 1940, pfi rychlosti vetru asi 65 km/hod., se vozovka zata/a nejenohybat, ale i kroutit a asi za hodinu se stfednf cast ztfti/a, cot bylo netumoveno.

- na Orlicke pfehrade byl vybudovan most u Zd'akova 0 aetce 540 m, rozpett oblouku 330 m, vy~kaklenby oblouku nad dnem uaott 110 m. Pfi rychlosti vetru asi 30 km/tiod se aut« spojky (roury 0prumeru 0,9 m a aetce 36,6 m) rozkmitaly tak, te amplituda kmitanf ve stfedu spojky byla asi 130mm. Pfftinou bylo per;odicke odtrMvanf vfru - Kennenove vlrove stezka - a rezonance s vlastnfmikmity. Spojky pak byly naplneny ptskem, tfm se snfi.ita vlastnf frekvence spojky z 1,6 Hz na0,73 Hz a kriticka rychlost vetru klesla na 18 km/nod. Budfcf sfly jsou amem« ctverc! rychlosti a

tedy se tak zmen~ily, te amplituda kmitani ve stfedu mostni spojky se zmen~ila 20x.- na Eiffelove vei; vybudoval jejf stavitel ve vy~ce 300 m laboratof a v r. 1889 namefil pfi rychlosti

vetru 29 m/s (as; 100 kmlhod), ie amplituda kmitu ve smeru vetru je 8 em a v pfftnem smeru jevet§1 - 11 em.

128

15. FYZlKALNI PODOBNOST A TEORlE MODELOvANt

Zatim jsme se zabyvali teoretickym fesenim uloh spadajicich do mechaniky tekutin.V obecnem pripade jde 0 resen! Navierovych - Stokesovych diferencialnich rovnic. Jejichexaktni reseni je mozne jen ve velmi prostych pfipadech. Hledaji se proto alespoii pfibliznareseni tak, ze se sestroji model daneho pfipadu, popsany jednodussimi rovnicemi ve kterychjsou zanedbany nektere cleny, napi. ph velmi malych Reynoldsovych cislech setrvacne sily,nebo misto prostoroveho proudeni povazujeme proudeni za jednorozmerne a mistoNavierovych - Stokesovych rovnic pocitame s rovnici Bernoulliovou. Informace takto ziskanenejsou uz tak podrobne (napr. misto rychlostniho profilu v potrubi uvazujeme pouzekonstantni stredni rychlost po celem prufezu) a maji omezenou platnost. Jsou vsak i pripady,ktere neumime resit ani priblizne a dokonce nektere ani nedokazeme popsat rovnicemi. Vevsech techto pfipadech prikrocujeme k experimentu, ktery nam rna ukazat meze platnostivysledku pribliznych reseni, coz je nutne i pro numericka resenl provadena na pocitacich,piipadne poskytnout udaje ktere jinak ziskat neumime.

15.1 Mechanicka podobnost pri proudeni tekutin

Experiment Ize provadet na hotovem dile, nebo na modelu. Studium prirodnich dejuna modelech je dnes velmi rozsireno, nebot' rna fadu pfednosti: vysledky jednoho pokusu Izezobecnit na celou radu podobnych pripadu. Model byva zpravidla mensi nez dilo a je Ievnejsi,lehci a manipulace s nim je snadnejsi, vlastni vyroba modelu je kratsi, Ize s nim experimentovatna zafizenich umistenych v laboratorich nezavisle na rusivych vlivech pocasi. S ohledem namensi naklady Ize vysetrovat i nekolik alternativ, po pripade provadet ruzne upravy behemexperimentovani. Prenaseni vysledku experimentu z modelu na dilo je opravnene jen tehdy,jsou-li model a dilo fyzikalne podobne.

Dva jevy jsou fyzikalne podobne kdyz charakteristiky jednoho jevu vypocitamez charakteristik druheho jevu nasobenim konstantou - meritkem, modulem - podobne jako priprechodu z jedne soustavy jednotek do druhe.

Vyjmenujme si nyni zakladni priznaky podobnosti:1) podobne jevy maji stejne diferencialni rovnice a jsou stejne fyzikalni podstaty. Jsou-li

rovnice stejne, ale fyzikalni podstaty ruzne, jedna se 0 analogii.2) Podobne jevy musi byt geometricky podobne a musi mit podobne podminky

jednoznacnosti, tj. pocatecni a okrajove podminky.3) Podobne jevy musi mit stejna podobnostni cisla.

Ph proudeni tekutin musi byt splnena:1) geornetricka podobnost tzn. model je vyroben v urcitem mehtku

I bAI =: I=: b =: konst.,

II/ HI

kde veliciny s indexem m ptislusi modelu.2) Kinematicka podobnost tj. podobnost rychlosti v odpovidajicich SI (homologickych)bodech:

)I )I1 =: _ = _, =: konstIt.\' ~ .

I' I'IJJ 1m

3) Dynamicka podobnost tj. podobnost si!. Vysledna sila pusobici napr. na vytknutou casticitekutiny nebo na stenu telesa je slozena ze sil tlakovych Fp, trecich I'~,tihy FG atd.

129

Pro vyslednici i pro jednotlive jeji slozky by opet melo platit jedine meritko silF F F F

AF = - = -P_ = _t = _Q_ = konst .Fm r ; r: FGm

Volbou meritek zakladnich jednotek (delky At, casu At, hmotnosti A.p) jsou urcena i meritkavsech odvozenych jednotek napr. ploch, zrychleni, napeti a p. Nelze tedy volit libovolnevsechna meritka ! Vzajemny vztah mezi meritky se nazyva indikator podobnosti, z nehoz lzestanovit zbyvajici moduly. Z indikatoru podobnosti lze odvodit i podobnostni cisla, jez propodobne jevy musi mit stejnou hodnotu. Mnohem casteji se podobnostni cisla odvozuji bud'z rovnic popisujicich dej, nebo pomoci dimenzionalni analyzy.

15.2 Odvozeni podobnostnich eisel z rOVllic

Odvod'me si podobnostni cisla pro nestacionarni proudeni vazke nestlacitelne tekutiny.Toto proudeni je pro jednorozmerny pfipad popsano Bernoulliovou rovnici

dp (1'2) av-Kcoswdl + - + d - + -dl + de; = O.P 2 at _

Oznacme F = - K cos I{I slozku hmotove sily ve smeru proudeni a diferencial disipovaneenergie vyjadrime

de = dr = 11 a2v dl

z P P al2 .

Upravena Bernoulliova rovnice popisujici proudeni v dile rna nyni tvar

dp (V2) av ·11 a2vFdl+-+d - +-dl+--2 dl=O.P 2 at P al

Vsechny veliciny vystupujici v teto rovnici nyni vyjadiime pornoci meritek a velicinpfislusnych obtekani modelu:

F = AFFn" I = A/In" P = A pPm' V = A,Ym, t = A,tm, 11 = AI] 11"" P = A.pPm·Dosad'me vsechny tyto veliciny do roy. (155) a soucasne delme celou rovnici A.~. :

AFA/ F dl + ~ dPm + d(v;'J + ~ aVm dl +J 1.'1 11111c2v", .n = 0 (156)

'12m m 'I 'I 2. 'I 'I a m 'I 'I A. ~f III •r-: I\pl\v p; 2 /\',.1\, tm 1\p/\' v , p, C m

Podle prvniho priznaku podobnosti jsou oba jevy podobne, budou-Ii rovnice POPISUJICI

obtekani dila (155) a modelu (156) stejne. Tuto podminku splnime tehdy, jestlize koeficienty(indikatory podobnosti) slozene z mefitek jez jsou temef u kazdeho clenu v roy. (156) budourovny jedne, tak jak je to v roy. (155).Polozme

(155)

vlo »J»:=> -=_::.:......::.:.;_::;:_

11 11m=> Re = Re = idem

m '

tj. oba jevy budou podobne, budou-li mit stejna Reynoldsova cisla (coz se oznacuje idem).Podobne

~=1 => 1'1 = vlllt",AvA, I I",

kde Sh je Strouhalovo cislo.Ap

--=1A.pA~,

kde Eu je Eulerovo cislo.

=> Sh = Sh = idemm ,

=> _l!_ = ~ => Ell = Elf = idem.,.., m'pv: P v~'" m

130

AI'A, = 1 => v2= v;,

A2v

kde Fr je Froudeho cislo.Vsechna podobnostni cisla jsou bezrozrnerna, nebot' jsou to v podstate pornery sil.

Napr. Reynoldsovo cislo predstavuje pomer setrvacnych a trecich sil, Eulerovo cislo pornertlakovych a setrvacnych sil a p.

V teorii podobnosti se dokazuje, ze kazdy matematicky vztah mezi velicinami (i Iesenidiferencialnich rovnic) Ize vyjadrit funkcni zavislosti mezi podobnostnimi cisly.

gl (J Icx rn m

=> Fr = Frill = idem,

15.3 DimenziomUni analyza

Nemuzerne-li stanovit diferencialni rovnice reseneho problemu, muzeme podobnostnicisla stanovit pomoci dimenzionalni analyzy (uziva se tez nazvu analyza rozmeru, analyzarozrnerovosti). Vyuziva se dimenzionalni homogenity fyzikalnich rovnic, coz znamena, ze vefyzikalni rovnici jednotlive veliciny ruznych dimenzi nesmi v rovnici vystupovat osamocene,nybrz ve skupinach stejnych dimenzi, napr. v rovnici

,v-

gph+p+p-=pc')

rna kazdy clen dimenzi tlaku. Delime-li nyni rovnici jednim ze clenu dostaneme vsechny clenybezrozmerne, coz je charakteristicke pro podobnostni cisla. Obecny vyraz pro vytvarenibezrozmernych skupin lze zapsat napr.

pu"fl pi = 1 ,kde exponenty a, fJ, r najdeme z podminky, ze prava strana je bezrozmerna.

Ph pouziti dirnenzionalni analyzy volime tento postup pro odvozeni podobnostnichcisel:1) vytkneme veliciny jez se v danem problemu vyskytuji a jejich pocet necht' je n.~) Urcime pocet zakladnich jednotek - dimenzi p. V mechanice tekutin P == 3 (L, T, M).3) Sestavime soustavu p Iinearnich rovnic pro jednotlive zakladui dimenze.4) Zkontrolujeme, zda rovnice jsou nezavisle (determinant soustavy p-te hodnosti ~ 0).5) Urcime (n-p) bezrozmernych argumentu - tj. podobnostnich cisel.6) Upravime nasobenim nebo delenim jednotlive argumenty, aniz bychom zmensili jejichpocet.

Priklad:Stanovme podobnostni cisla pro stacionarni proudeni vazke tekutiny hladkym potrubimkruhoveho pnifezu.

1) V problemu vystupuji tyto veliciny:tlakovy rozdil .:1p (Pa) na deice potrubi I (m) 0 prumeru J (rn) stredni rychlost v (m/s),viskozita 17(Pas) a hustota tekutiny p (kg/m''). Poeet promennych 11 == 6.

~) Pocet zakladnich jednotek p == 3 metr, sekunda, kilogram, ktere oznacme obecne L, T, M.Vyjadrime dimenze jednotlivych velicin pomoci tech to jednotek:

~p L'!T2M v ... LTII... L L-1rIM11 ...d... L p... ML-3

3) Sestavime 3 ( == p) rovnic pro stanoveni 11 - P == 3 bezrozmernych argumentu TIl, TI2, TI3 (tj.podobnostnich cisel)

eat; Ih, II_J = 0e(.:1pu ·/D .JY '1'& 'l1': .plP) = O.

(157)(158)

131

Dosadime do vztahu dimenze jednotlivych velicin(L-Ir-IMt· ·(L)P ·(L)Y .(Lr-I)8 . (L-IT-IM)e . (ML-3),P = MULoro

proL: - a + f3 + y + 0 - E - 3<p = 0T: -2a 0 - E 0M: a + E + <p = 0

(l58a)

4) Determinant-1 1 -1

-2 -1 -1 = 1 :;t: 0,

1 0 1

rovnice nejsou linearne zavisle.5) Protoze je pocet neznamych a, /3, y, S, 6, rp vetSi nez pocet rovnic vypocteme a, /3, <5z rovnic (I58a) jako funkce zbyvajicich neznamych

a = - E - <p; f3 = - E - y; 0 = +E + 2<.p .Po dosazeni tech to hodnot do roy. (158) dostaneme

e[(;J t;r tr] = o6) Bezrozmerne argumenty:

TIl = 11v TI, = pv2

= _1_ TI = dSpl ~ Sp Ell 3 I

TIl a TI2obsahuji zpravidla predem neznamy rozdil tlaku Sp. Bude vhodne upravit je tak, abynovy argument tuto neznamou velicinu neobsahoval a navic abychom dostali v praxi beznepouzivane Reynoldsovo cislo

Funkcni vztah mezi podobnostnimi cislyo (Re, Eu, lid) = 0

je nutno urcit experimentalne (pro jednodussi pripad laminarniho proudeni s vyvinutymrychlostnim profilem jej lze urcit i teoreticky).Pro vypocet tlakovych ztrat vyjadrime

Eu = el (Re, //d)./).p = el (Re, l/d)pl . (159)

Porovnanim rov. (159) s Weisbachovym vzorcemI v2

/).p = A_(Re) d P"2 (59)

vidime, ze

eI

1 I(Re, / / d) = -A_(Re)- .2 d

Pfiklad ukazal, ze misto puvodnich n = 6 prornennych jsme po uprave dostali funkcni zavislostmezi 11 - P = 3 bezrozmernymi argumenty, cimz se zmensil pocet promennych. To je v souladus tzv. Buckinghamovym TI - teoremem: fyzikalni zavislost mezi II promennymi lze prepsat nazavislost mezi (n - p) bezrozmernymi I1 argumenty, jestlize p je pocet zakladnich dimenzi.

Zmensenim poctu prornennych se zmensi ph experimentovani pocet mereni a topfinasl sebou zlevneni pokusu.

132

Dimenzionalni analyza mit i nektere nevyhody, napr. problem je nutno dukladneprostudovat, aby nebyla opomenuta zadna dulczita velicina (zavedeni vice velicin opel zvetsipocet experimentu). Protoze stanoveni Il - argurnentu je neurcita uloha, vyzaduje jeji reseni(takove, abyehom z Iady rnoznych kombinaei nezavislych bezrozmernych argumentu dostalivzite tvary) urcitou zkusenost.

15.4 Uplml a castecmi podobnost

Na proudici tekutiny pusobi ruzne druhy sil jako napr. tlakove, treci, tiha a pod. Prokazdy druh sily jsme odvodili zvlastni podobnostni cislo. Ph modelovani byehom meli zajistitrovnost vsech techto cisel pro model a dilo. Na jednoduchern piikladu si ukazeme, ze splnenipodminek uplne podobnosti neni moine. Napr. vysetiovani odporu vytlakove lode na modeluve vlecnem kanalu pomoci modelu zhotoveneho v mefitku AI = 1/11/1 . Celkovy odpor lode sesklada z odporu treciho, coz vyzaduje rovnost Rem= Re a odporu vlnoveho, coz vyzadujerovnost Fr., = Fr nebot' ve VIlle se voda zveda proti ucinku gravitacniho zrychleni. Stanovmejakou rychlosti je nutno vleci model, je-li kanal take naplnen vodou (ullt =u).

"I vl v IZ Re dostaneme: '" III => III =v I",

=> l~~1 = IiZ Fr dostaneme jinou podminku (gilt = g)

=u'" U

1 1v- v-III =

g I glm m

Obe podminky vsak nelze spIn it soucasne, nebot' podle prvni by mel a byt ryehiost vlecenimodelu Vm tim vetsi, cim mensi je model, podle druhe prave naopak.

V takovych pfipadech je tfeba rozhodnout, ktery druh sil je rozhodujici - hlavnia vyhovime pouze podmince podobnosti hlavnich sil - tj. modelujeme ph castecne podobnosti.

Otazky ke kap. 15.:1) V jakych pripadech pouzivame podobnost ?

2) Jake jsou vyhody a rizika pfi modelovani ?3) Jake jsou pripady podobnosti ?4) Kdy je splnena mechanicka podobnost ph proudeni tekutin ?

5) Odvod'te nektera podobnostni cisla z rovnic !6) Jaky je princip dirnenzionalni analyzy ?

7) Stanovte pomoci dimenzionalni analyzy podobnostni cisla pro obtekani telesa (napr.kouIe) vazkou tekutinou !

8) Co je to I1- teorem ?9) Odvod'te pomoci dimenzionalni analyzy Weberovo Cislo, ktere zavisi na povrchovem

napeti 0', hustote p, rychlosti v a deice I.10) Co je to castecna podobnost ?

Vite, ie- velmi dulezity pfedpoklad pro experimentalnf stanoveni sil jimiz pusobf tekutina na teteso, bylo

Newtonovo tvtzent, ie stejne zakony plat! pro vodu i pro vzduch.- Edme Mariotte (1620 - 1684) mefil sflu, kterou pusobf vodni proud na ponofenou desku.- Jean Charles de Borda (1733 - 1799)(ve vode) a Benjamin Robins (1707 - 1751) (ve vzduchu) metili

odpor teles ruznych tvaru upevnenych na rotujicim rameni.- Jean Ie Rond d'Atembert (1717 - 1783) a (ada da/~ich badatelu zji~tbvali odpor moaeu: toot ve

viecnem kanale. Zvla~rvyznamny je pfinos Williama Fraude (1810 - 1879); v race 1872 vybudovalvlecny kanal 0 delce 110m, menct usek mel delku 60 m, ~ffku na hladine 11 m a hloubku 3 m.

- Francis Herbert Wenham (1824 - 1908) postavil prvnf aeradynamicky tunel v race 1871.Modelovanfm a merentm v tunelech se zabyvali i bratfi Wrightove, N. E. Zukovsky, Gustave Eiffel,Ludwig Prandtl a jinf.

133

16. ROVINNE POTENCIALNI PROUPENI

Stacionarni rovinne potencialni proudeni nestlacitelne, nevazke tekutiny je sice znacnezidealizovane, presto rna velky prakticky vyznarn ph resen! obtekani stihlych teles jako kfidla,lopatky turbin a p., obr. 104.

Obr. 104 Rovinne potencialniproudeni.

y MY Va;, Vx

~VyV

Vx X

~VyV

XVzdalenost rovin xy necht' je rovna jedne, Slozka rychlosti vz == O.

16.1 Zakladnf rovllice

a) R~.:?:Yn.jq~..k9.Qtim~jty. Uvazujme elementarni kontrolni objem, obr. 105, 0 rozmerech dx, dya jednotkove vysce. 3v

~~tVl~dYvx+ay 2,....-';"_'--,

Obr. 105 Elementarni kontrolni objemvytknuty z rovinneho proudove pole -kinernaticke pomery.

Podle zakona 0 zachovani hmotnosti se rozdil vytoku a pritoku rovna nule (p = konst.)

~[(v" + a;; dx) -V}l + [(1', + ~dY) -".}Xl}~0,

odkudOll av .._x +_. =0ax ay

cozje rovnice kontinuity pro rovinne proudeni nestlacitelne tekutiny.

(160)

b) ()fl'\\:l:\~W~.Rychlost otaceni element ami castice tekutiny kolem sve osy lze charakterizovatstredni uhlovou rychlosti rotace (0 nebo cirkulaci r definovanou krivkovym integralern pouzavrene kfivce

r = fvcosads ,kde a. je uhel, ktery sviraji vektory v ads, obr. 106

(161)

r = cj_ v cosctdsc

Obr. 106 Definice cirkulace. vc

134

Kladny smysl obihani je takovy, aby pii obihani byla plocha uzavrena krivkou c po leve ruce.Stanovme cirkulaci pro elementarni castici, obr. 105

df' = (Vx - 01,\ dY)dX + (VI' + 01,\ dXJdY _ (1\ + OV, dY)d'( _ (V" _ OV",, dX)dYry 2 . cr 2 cy 2 . fu 2

df = (01,,'-" _ OV')dXdY ,ex ry (162)

V potencialnim - nevirivem proudeni vykonavaji cast ice tekutiny pouze translacnipohyb (s vyjimkou singularnich bodu), tj. neotaceji se kolem sve osy a proto dl"= 0 a

(OVv _ ~'x) = O. (163)ax C)-'

Krome techto kinematickych vztahu si odvod'me jeste dynamicke rovnice.c) Eulerovy pohybove .rQ.vl1.i.c~,Napisme pohybovou rovnici pro elementarnicastici tekutiny, obr. 107, na niz v idealninevazke tekutine pusobi pouze siJy tlakove

Obr. 107 Elernentarni kontrolni objemvytknuty z rovinneho proudovehopole - silove pornery.

IP+"*dY

Ky R on0. ~~dxKx

k'dy dx

tp

a objemove.

Pro smer x napr. (dm = plxdyl)D" dvK xpdxdy + pdy - (p + _. dx )dy = _x odxdy. cr dt

a po up rave dostaneme Eulerovy rovnice pro smer x a podobne i pro smer y:I (1) dvK . - x

.v - P fu - dt '

(164)

K _~ aJ' = dv,_\' p oy dt

dv, / dt = 8l'; /ot + I-'jOV; / ox j je substancialni zrychleni a ph stacionarnim proudeni je lokalni

zrychleni 01'; / at = 0, Konvektivni zrychleni je nelinearni clen a proto obecne reseni techtorovnic je obtizne.

Upravme rov. (164) tim, ze zavedeme potencial objernovych sil: K" = au / Ox;K" = au / cy a na pravou stranu k prvni rovnici pricteme a odecteme I'"CV" / ax a k druhe

V,al'x / ay

au 1 op aI'". Ol'x 01'" 01'" a v,~+ I'~ a"" aVe----=1' -+1' -+1' --I' -=-( )-" (---)ax p ax .v ax ." Cy - ." Ox "ax ax 2 'ax ay ,

au 1 Cp av" 01'" al'x ov,. a ".~+ v~ 01'" av,----=1' -+1',-+1-' --I' -=-( )+1' (---).ay p oy x ax "Cy ., Dy x cy cy 2 x ax oy

Posledni cleny na prave strane jsou v potencialnim proudeni rovny nule, viz rov. (163).

135

Vynasobime-li prvni rovnici dx, druhou rovnici dy a secteme (v~+ "~ = 1'~) dostaneme

(oUdx oUdy) l(oPd oPd)_o(v2/2)d OI'~/2)d- +- -- - x+- ~ - x+ ~Ox ay pax cy ax ay'

coz lze zapsat

resp.P 1'2

d(-+--U) = 0 .P 2

rovruciPusobi-li pouze gravitacni zrychleni, pak U = - gy a po integraci dostaneme Bernoulliovu

P v2

gy + - + - = konst .P 2

pficemz konstanta je stejna pro vsechna proudova vlakna.

16.2 Proudova funkce \fJ (x,y)

Uvazujme proudeni mezi dvema paralelnimi rovinami xy 0 jednotkove vzdalenosti, jako naobr. 104 a zvolme na urcite proudnici pevny bod M.V tesnem sousedstvi zvolme pohyblivy bod N, Ycoz je zvetseno na obr. 108. Plochou MNIresp. kfivkou MN protece za jednotku casuurcity objem dQ. Zmeni-li bod N polohu,premisti-li se napf. do bodu P zmeni se iprutok. Vx

xObr. 108 Rovinne proudeni (k definici proudove funkce a proudnic)-

- kartezsky souradny system.

Prutok dQ kfivkou MN oznacme d'P :dQ=(-vy)dx+vxdy=d'J'. (165)

Integraci roy. (165) podel kfivky MP dostanerne pnitok krivkou (rozmer [Q] = rn2/s)

QAfP = Id'J' = '¥ p - 'PAl . (166)AIP

Proudova funkce 'P(x,y) pfedstavuje mnozstvi tekutiny protekajici za jednotku casulibovolnou kfivkou prochazejici body MaP. 'P(x,y) je skalarni funkce souradnic, kazdernubodu roviny xy lze pfipsat urcitou hodnotu 'P. Vynasime-li tyto hodnoty 'I' ve smeru z vytvofinad rovinou xy urcitou plochu.

V kinematice jsrne si zavedli proudnice, coz jsou vektorove cary vektoru rychlosti.Rychlosti jsou v kazdem bode tecne k proudnici. Stanovrne rovnici proudnic: kdyby bodyPaP], obr . 108, lezely na stejne proudnici 'f/p pak by prutok kfivkou PPI byl roven nule, vizroy. (165), tj.

Rovnice proudnice pak buded'I'> O.

'P = kOIlSI. = C. (167)Proudnice jsou fezy plochy 'f/(xy) rovinou 'P= C, paralelni s rovinou xy (analogie vrstevnicena mape),

136

Pomoci proudove funkce Ize stanovit i rychlostni pole, tj. slozky rychlosti v kazdem bode.Vyjadrime-li

8\fJ o\fJd'P = -dx+-dyax oy ,

pak porovnanim rovnic (165) a (168) dostaneme8':P 8\fJv =- v =--

r .., y~.. C)' VA.

Dosazenim vztahu (169) do podrninky nevirivosti (163) dostaneme82 \fJ 82 ':P--+--=0ax2 ay2

tj. Laplaceovu rovnici a tedy proudove funkce rovinneho potencialniho proudeni jeharmonickou funkci.

Protoze je v nekterych pripadech vhodnejsi pouzit polarnich souradnic mistokartezskych, odvod'me si jeste vyrazy pro radialni a tangencialni slozku rychlosti. Prutokkrivkou MN Ize pod Ie obr. 109 vyjadrit

d\.fl = I' rd0 - v dr (170)r t

(168)

(169)

a8\.f1 8\.f1

d':P = -de + -dr.oe cr (171)

Porovnanirn obou rovnic18\.f1 8\.f1

v =--I ..,or(172)v =

r r aey N

rd8

Obr. 109 Rovinne proudeni (k odvozenivztahu pro vypocet radialnia tecne slozky rychlosti).

x

16.3 Rychlostni potencial <l>(x,Y)

Krome proudove funkce tp Ize rovinne potencialni proudeni popsat i jinymi funkcemi,napt. potencialem rychlosti It(x,y). Podminka nevirivosti (163) bude splnena, bude-li mitvektor rychlosti potencial, pak

ac}) a<l>I' =.v ax V =... ay (173)

Dosazenim do (160) dostanemea2<l> a2<l>-+-=0 (174)ox2 0/2

coz je opet Laplaceova rovnice a rychlostni potencial cP je opet harmonickou funkci.Pro slozky rychlosti v polarnich souradnicich plati

8<l> 18<1>II =- V =-- (175)

r ar I rae·Cary It(x,y)= konst. jsou ekvipotencialni cary a jsou kolme na proudnice.

137

16.4 Zakladlli ptipady potencialniho proudeni

a) p.~HI:\~\~Cp.f.9.~q,obr. 110 je charakterizovan rychlosti a stejnou co do velikosti a smeru vevsech bodech proudoveho pole.

t t Y • f1

I 1 21 1

: ,I 1 1.0 11 1

I : 1 T >-'1f'

I 1 1 0I 1 1 1I I 1 I - 1~ 1 1 I

-21 -11 a 11 21 -2\. .) '"

y

x

'P - av1 - '..T (176)

Obr. 110 Paralelni proud rovnobeznyS osou x. (a= 1)

-- proudnice- - - - ekvipotencialni cary.

Proudova funkce

a potencial rychlosti <t> 1 = ax .Rychlost

a<I> 8'Pv = - = - = a = konst,x ax 8y , v = 0y .

Proudnice 'P= konst. jsou primky paralelni s osu x, ekvipotencialni cary (/J = konst.jsou primky paralelni s osouy.

Kterakoli proudnice muze predstavovat tuhou stenu (normalna slozka rychlosti jerovna nule).

b) Rq:vjnnY..pr~w~~ (zdroj,zfidlo), obr. Ill,pfedstavuje radialniproudeni tekutinyz bodu do roviny.

Y

Obr. III Rovinny pramen.

Pramen je charakterizovan vydatnosti (mohutnosti) Q coz je objem tekutiny vytekly zajednotku casu

Q = 21tv,.r = kOI1SI., (177)odkud plyne pro rozlozeni rychlosti

v r = ..!2._ = konst . (178)r ')

....1t

Rychlostni potencial ~ a proudova funkce 'P2pramenu:

<t> =JLlnr 'P = Q 0 (179)2 2' 2 ')1t ....1t

Proudnice jsou radialni primky 0 = konst., ekvipotencialni cary jsou soustredne kruznice.

138

Radialni slozka rychlostia<D

V = =r or1 0'P Q=I' 00 2TCr'

(180)

tangencialni slozka VI = O.

Poznamka: centralnl bod praniene je singularni bud, rychlost je III nekonecne velika.

Rovinnypropad (nor) se od pramene lisl opacnym smerem proudeni tekutiny.

c) .P.9t~n~~?lt:l~y~r,obr. 112 (virove vlakno).Castice tekutiny se posouvaji po kruhovychdrahach (soustrednych kruznicich), aniz by seotacely kolem sve osy. Castice konaji translacnipohyb, pfi kterem se deformuji.

Obr. 112 Potencialni vir - castice tekutiny se pokruhovych drahach posouvaji (translacea deformace), aniz by se otacely kolemsve osy (s vyjimkou jadra).

Rychlost otaceni je charakterizovana cirkulaci F; definovanou rovnici (161), ktera jeu potencialniho viru rovna

odtud dostaneme vztahr = 2TCI"I'( = konst., (181)

rv ,. = - = kOlH'1I ..2TC

V ose viru vychazi opet rychlost nekonecne velika (singularni bod). Zavadime proto jadroviru 0 polomeru 1'0, v nemz se tekutina otaci jako tuhe teleso, obr. 112. Rychlostni potencial([J a proudova funkce potencialniho viru P:

r<l> =-03 ')_TC

(182)

r'J:I = --Inr3 ')_TC

(183)

Proudnice, jak jsme jiz fekli, jsou soustredne kruznice, ekvipotencialni cary jsou radialniprimky. tangencialni slozka rychlosti, v oblasti mimo jadro viru, ubyva s polomerem

10<1> 0'P r ,<":/ /, y/JshV = -- = - - = - / "; (184)

t rae or 2rva radialni slozka rychlosti V, = O.

Rychlostni potencial (/J a proudovou funkci P lze u rovinneho potencialniho proudeninavzajem zamenit (jak 0 tom svedci posledni dva pfipady), nebot' obe musi vyhovovatLaplaceove rovnici.

16.5 Skladani proudeni

Rovinne potencialni proudeni je popsano diferencialni Laplaceovou rovnici. Zname-Iidye reseni teto diferencialni rovnice qJt a (/>2, bude i jejich soucet tp, + (/>2 novym resenim.Timto zpusobem lze nalezt reseni slozitejsich pnpadu proudeni.

139

a) Rq.yjQP.~..pqfqt.~}~~.9.(deska). Slozenirn paralelniho proudu a pramene dostaneme obtekanidesky rozprostirajici se az do nekonecna, obr. 113.

Obr. 113 Rovinne poloteleso, tj. deskarozprostirajici se do nekonecna. Naobr. je nakresleno obtekani malecasti telesa.

Proudova funkce

(185)

b) Rqyippy ..<;i.i.p9.tobr. 114, dostaneme tak, ze slozime pram en a propad stejne mohutnosti Q,jestlize se vzdalenost mezi nimi 21 blizi nule a mohutnost k nekonecnu tak, aby moment dipolumel konecnou hodnotu M = 2QI.

Obr. 114 Zmensovanim vzdalenosti 21 mezipramenem a propadem jez jsou

symetricky umisteny vzhledemk pocatku dostaneme 9.iP.9J jehozproudnice jsou na obr. zakresleny.

Proudova funkce dipoluM y M sin O

\}Is =--. ') ..,= ----27t x~ +y 27t r

(186)

Proudnice jsou kruznice se stredy na ose y a dotykaji se pocatku.

c) Y.4.J~~..kruhoveho ...PfM~.z.l.l. Slozenim paralelniho proudu a rovinneho dipolu dostavameprakticky velmi dulezity pfipad obtekani valce kruhoveho pnirezu.

Proudova funkce je rovna (R2 = MI27ra)R2

\f6 ::: a(r - -) sin E>r

(187)

Polozime-li ~ = 0 dostavame e= 0 tj. osa x a rovnici kruznice r = R obr. 115.

140

Obr. 115 Potencialni obtekanivalce kruhoveho prurezu.

Slozky rychlostiR2

V, = acos0(1--,) ,r- (188)

R2V, = -asinE> (1+-,). (189)

r:Na povrchu valce r = R je radialni slozka nulova a tangencialni

1',=-2asin0. (190)pro $= 0 all' je I', = 0 (stagnacni body A a C) maximalni rychlosti I', = ± 2a jsou v bodechO> ± 1l'12tj. body BaD.

Stanovme rozlozeni tlaku na povrchu valce (v nevazke tekutine jsou treci sily rovnynule). Napisme Bernoulliovu rovnici mezi bodem v nekonecnu a bodem na povrchu valce

, ,a: v:J) + p- = p + p-' .

'f· 2 2 (191)

Rozlozeni tlakoveho soucinitele cJl (bezrozmerneho tlaku) dostaneme dosazenim za v, z roy.(190)

jJ - jJ". 1', ,C = ,= I - (.s.)- = 1 - 4 sin' 0

P a: ap_.

')

Ve stagnacnich bodech A a C je tlak nejvetsi cJl = 1. Y bodech BaD je nejmensi tlakcp = -3. Rozlozeni tlaku je symetricke vzhledem k osam x a y. Integraci tlakovych sil popovrchu valce dostaneme Fx = Fy = 0 a vysledna sila je rovna nule (D' Alambertuv paradox).Obtekani valce realnou tekutinou souhlasi s potencialnim obtekanim pouze na predni stranevalce.

(192)

d) R()t.lJji.Gi..v~I~~.Slozenim paralelniho proudu, dipolu a potencialniho viru dostavame rovnezprakticky dulezity pripad obtekani rotujiciho valce, obr. 116.Potencialni vir rna zde opacny smyslotaceni nez na obr. 112 a proto seu proudove funkce viru meniznamenko - na +.

Obr. 116 Obtekani rotujiciho valce.Yznik vztlaku.

141

Proudova funkeeR2 r

"1'7 = a(r --)sin0 +-Inr . (193)r 21t

Analogieky jako v predchazejicim pfipade urcime slozky ryehlostiR2

v = aeos0 (1- -) (194)r r2 '

. R2 rv = - a sm 0 (1 + =« ) - - (195)

t r : 2nr

Na povrehu valce r = R je radialni slozka VI' = 0 a tangencialni slozka

v = v=-2asin0-_i__. (196)t 2rrR

Body nulove ryehlosti (stagnacni body A, C) lezi nyni pod osou X, VIZ obr. 116 (pror-: 47rRa).

Cirkulace r narusuje symetrii proudeni vzhledem k ose x: nad osou x, kde jsou vyslednerychlosti dane vektorovyrn souctem rychlosti paralelniho proudu a potencialniho viru vetSi nezv symetrieky lezicich bodech pod osou x, budou vzhledem k Bernoulliove rovnici tlaky mensi,Tim vznika tlakova sila, jez pus obi na rotujici valec ve smeru kolmem k rychlosti a tj. vztlakFy. Abychom mohli vypocitat jeho velikost stanovme nejprve pomoci Bernoulliovy rovnieerozlozeni tlaku na povrehu valce:

a' p . t:\ r,p = p + p- - -(-2a Slll~ - --)" . (197)

00 2 2 2rrR

Na povrehu valce 0 jednotkove delce vytkneme elementarni plosku, obr. ] 17 dA = Rd0Y

dFx 8; dF.de I Y

Obr. 117 Elementarni tlakova sila d Fpusobici na povrch valce. X

a vyslednou tlakovou situ na ni pusobicirozlozime na slozky

dF = - pdA

dFx = dF cos0 = - pR cos0d0 ,dFy = dFsin0 = - pR sin 0d0 .

Integraci po povrehu valce dostaneme po dosazeni za p z roy. (197)271

F" = If F" = -R f pcos0d0 = 0 , (198)o

tj. nulovy odpor, nebot' proudeni je symetricke vzhledern k ose ya vztlak

271

r, = II ~11 = - RIp sin 0d0 (199)I)

142

Po dosazeni za p z roy. (197)2 271 R271 r

F. = - R(p . + :!__p)fsin0d0 + £'_f(-2asin0 __ )C sin0d0.' a; ') ') '") R '

- 0 - (I _IT \

protoze21l

f sin0d0 = 0 ;2nf sin ' 0d0 = 0 ;

271f sin0cd0 = ITo o o

dostavame pro vztlak tzv. Kutta-Zukovskeho vzorecktery tvofl zaklad teoreticke aerodynamiky.

(200)

Otazky ke kapitole 16.:1) Co je to potencialni proudeni?2) Odvod'te rovnici kontinuity pro dvourozmerne proudeni!3) Co je to cirkulace ?4) Odvod'te Eulerovy pohybove rovnice !5) Odvod'te Bernoulliovu rovnici z Eulerovych pohybovych rovnic!6) Co je to proudova funkce?7) Jak stanovime rychlostni pole pornoci proudove funkce?8) Co je to rychlostni potencial? Jak urcime rychlost v urcitem bode pomoci potencialu?9) Ktere zakladni pfipady potencialniho proudeni znate?

10) Jak se rneni rychlost se souradnicemi u pramene?11) Jak se meni rychlosti a tlak s odlehlosti od stredu potencialniho viru?12) Jaky je princip skladani proudeni?13) Jak Iesime obtekani rovinneho polotelesa?14) Co je to dip6l?15) Jak se resi obtekani valce kruhoveho prutezu?16) Jak reslme obtekani rotujiciho valce?

Vite, ie- potencialni vir je jen velmi pfibliinym modelem proudeni se kterjm se setkeveme bud' v pflrode -

viry ve vode nebo v etmostere - prachovy vir, tornado tropicu« cykl6ny (huriktm, tajfun), nebov technicke praxi jako napf. v odlueovaefcl1 prachu - cykl6nech, hydrocykl6nech atp.

- malstrom je nebezpeeny vir vznikajfcf v motskem prulivu Moskenstraumen v Lofotskych ostrovechu severozepeantno pobfetl Norska. Beine roz~ffena pfedstava, te zde odtekB voda otvorem vedne vycnezet« ze zku$enosti, te pfi vytoku vody z umyvadla se take vytvoff vtokovy vir. Vesianecnost! pruliv nenl bezeoo», nejvet~f hloubka je 36 m. Pruliv, kterym tece voda pfi pfflivu dozalivu Vestfjorden je (Jzkym hrdlem se skalnatym a plseitym dnem, kter« stoupe od zapaduk vycnoau. Ai do jedne ctvrtiny vy~ky pfflivu tece v prulivu v~echna voda na vvcnoa. Kdyt. je pfflivest v jedne polo vine okreiov« proudy na severu a jihu se obratf a tecou na zapad, zatlmco vestfedu voda stale proudl na vychod. Na rozhranf techto protismernycl1 proudu pak vznikajf divokevfry a vysok« vlny. Je-li vy~ka pfflivu ve SVYCl1tfech etvrtinacl1 obracf se i stfednl proud a jakovelky vir staeejfcf se ve smeru hodinovych rucice« se pfipoji k proudeni zepeantm smerem. ZvlaSfnebezpecne situace, zvlaSte pro menst lode nastavaji pfi kombinaci Spatneho poces; s mofskymdmutfm.

- ve dvacatych letech tohoto stoletf se objevi/y plachetnice bez plachet. Holandsky int.enYr A. Flettnervyut.i1Magnusova efektu a dal si v roce 1923 patentovat lod', jei mele rotujlcf vetce mfsto ptecnet.Z plachetnice .Bucksu", kterou pfejmenoval na "Baden Baden" snal plachty a nahradil je dvemerotujfclmi valci 0 prumeru 3 m a vysce 13 m, otaeely se rychlostf 750 11min motorem 0 vykonu asi4,5 kW Lod' plula rychlostf asi 15-18 kmihod. V roce 1926 pfeplul Atlantik. Pak posta vii novou lod'"Barbara" se tfemi rotory a dopravoval s nf citrusove plody ze Stfedozemnfho more. Behem tonotoprovozu se ukBzaly nevyhody - motory i rotujfci vetce vyiadovaly (Jdrtbu, bylo nutno vezt seboupalivo, to zvet~ovalo naklady a zmensoveto nakladovy prostor oproti plachetnicfm, pfieemt. zustalazecnovene nevynoae plachetnic - neaodrtovent jfzdnlho fadu pfi slaMm vetru nebo bezvetfl,nebof sIaM motory nestaeily na pohon cele lode. Kdyi ve tficatych letecl1 nastala krize, skoneilaexistence rotorove lode. Tento princip pohonu lodl popularizoval i Albert Einstein.

143

17. SOUSTAVA ROVNICTEKUTINY

PRO NEWTONSKE NESTLACITELNE

V teto kapitole si odvodime podrobneji zakladni rovnice mechaniky tekutinv diferencialnim tvaru pro prostorove nestacionarni proudeni nestlacitelne newtonske tekutinys obsahlejsim kornentarem, nez tomu bylo pfi odvozovani zakladnich rovnic potencialnihoproudeni v kap. 16.

17.1 Rovnice kontinuity

Vytkneme si elementami kontrolni objem ve tvaru hranolku 0 rozmerech dx, dy, dz,ktery se nepohybuje, obr. 118. Vsemi sesti stranami proteka tekutina - tremi vteka a tremivyteka. Rozmery hranolu jsou tak male, ze povazujeme rychlost po cele plose stran zakonstantni.Vzhledem k rozmenim molekul a jejichstredni volne draze jsou rozmery hranolkudostatecne velike, aby obsahoval tak velkemnozstvi molekul tekutiny, ze ji muzemepovazovat za kontinuum. Pak lze vsechnyjeji vlastnosti a veliciny popisujici proudenitekutiny vyjadfit spojitou funkci souradnica casu napr, Vi( = vx(x, y, z, t).

I-->- I dy

~-/'

/'

Vx+ ~~dX--4----x

dxz

Obr. 118 Elementarni kontrolni objem. Naobrazku je znazornen jen pritok a odtoktekutiny ve smeru x.

Na male vzdalenosti napr. dx se muze zmenit velicina, nap!'. \lx, jen 0 maly prirustek,ktery rmizeme povazovat za linearne zavisly na rychlosti zmeny veliciny v pfislusnem smeru,coz je rovno prislusne parcialni derivaci, napr. Ovx / ox a na vzdalenosti na ktere pfirustekstanovujerne napf. dx. Napr. pfirustek slozky rychlosti Vx na vzdalenosti dx mezi vstupnim

a vystupnim prurezem kontrolniho objemu, obr. 118, bude dan soucinem Ol'~dx. Jestlize seOx

rychlost Vx v kladnem smeru x zvetsuje bude Ovx / Ox > 0, jestlize se Vx v kladnem srnerux zmensuje, bude ov x / Ox < O. Pro zbyvajici smery y a z se budou nase uvahy opakovat.

Vyjadieme si nyni prehledne hmotnostni toky jednotlivymi stranami kontrolnihoobjemu jako soucin hustota p krat normalova slozka rychlosti knit velikost plosky:

SMER PRiTOK VYTOK

x pv.dydz PC-x + OV~dX) dyd:ex

( m', Jy p'vizdx p v, +_' dy dzdx, oy

z pv-dxdz p(v= + ~; d=)dXdZ

144

Aby byl splnen zakon 0 zachovani hmotnosti musi se u nestlacitelnych tekutin pfitok rovnatvytoku z kontrolni oblasti (nestaci napsat tuto bilancni rovnici jen pro jeden smer). Zpravidlase celkova bilance toku pise slovy ve tvaru

L vytoku - L: vtoku = O.

Secteme-li zvlast' vytoky a pfitoky a pak je odecteme dostaneme po zkraceni hustoty p protinule

01' 01', 01'__ x +_'_' + __0 =0.Ox 0' 0=

(201)

To je diferencialni tvar rovnice kontinuity pro prostorove stacionarni i nestacionarni proudenivazke i nevazke nestlacitelne tekutiny. Pfi rovinnem proudeni je l'z i Ol'z / oz rovno nulea dostaneme rovnici (160).

-0 -0 -0Poznamka: zavedenim symbolickeho vektoru (Hatniltonuv operator nabla) V = i - + j - + k - l:e rovniciox C!v i);;

(10 I) zapsat jako skalarnl soucin vektoru Va ii, ktery se oznacuje jako divergence Vii = divv ;::O. Projednoroznterne proudenl dostaneme z rovnice (201) zvlastnl tvar rovnice kontinuity v = konstante, nebot jsmezvotili u kontrolniho objemu stejne velike vstupni 0 vystupni prurezy. U stlacitelne tekutiny se mil:e meniti hustota p nejen v prostoru, ale i s casem a jestliie se uvnitr kontrolniho objetuu bude hustota zvetsovatop I ot > 0 bude se cast phtekajici tekutiny uvnitr akumulovat a pritok bude vetsi ne: vytok. Bilancni rovnicebude nyni mil tvar

I vytoku - I pritoku + akutnulace = 0, resp.v(pv) + op I at = O.

Jeste s/o::itejsi situace naslava ph vicefazovetu proudeni, kdy nektere slozky ntohou vznikat a jine zanikat.

17.2 Navieroyy - Stokesoyy rovnice

Navierovy-Stokesovy rovnice odvodime stejnym zpusobem jako Eulerovy pohyboverovniee kap. 16 odstavec l c, ale nove visk6zni cleny nam trochu zkomplikuji odvozeni.

Vytkneme si opet kontrolni castici ve tvaru hranolku dx, dy, dz, jako pfi odvozenirovnice kontinuity, odst. 17.1 a podle Newtonova zakona L.dF = dm- dV / dt napiseme

pohybove rovnice pro vsechny tfi smery. Tekutinu pokladame opet za kontinuum. Na casticitekutiny pusobi sily hmotnostni (objemove) a povrchove. Hmotnostni sily stanovime jakosoucin vektoru mistni intenzity hmotnostnieh sil K, se slozkami K", Ks, K, a hmotnosti casticedm = pdx dy dz, viz tez kap. 3 odst. 2. Slozka hmotnostni sily ve smeru x bude rovna K; dm =K; pdx dy dz .

Jestlize v idealni nevazke tekutine pusobi na steny castice pouze tlakove sily tj. pouzenormalove slozky, pak stejne jako v hydrostatice bude tlak P v urcitem miste nezavisly nasmeru a bude urcen pouze svou velikosti ( zde je tlak P skalar). Ph proudeni vazke tekutinybudou na jednotlive steny castice pusobit nejen normalove, ale i tangencialni slozkypovrchovych sil. To znamena, ze smer vysledne povrchove sily pusobici na stenu casticenesouhlasi se smerem normaly a tu pak rozkladame do tfi slozek. Delime-li tyto slozkyvelikosti ploehy dostavame napeti, jak je naznaceno na obr. 119.

145

Kvlili pfehlednosti jsouvsechny til slozky silynakresleny pouze naleve svisle steneo velikosti dydz. Kazdaslozka napeti rna dvaindexy. Prvnicharakterizuje smernormaly uvazovaneplosky a druhy indexudava smer napeti.Tille napeti pusobicina vyse zminenou Zlevou svislou ploskujsou oznacena vsechnaprvnirn indexern x.

(Gyx+*dY)dXdZ

vzxdxdy

( ()aG"xx+W dx )dydz

x

Obr. 119 Elementarni castice tekutiny s vyznacenymi povrchovymi silami ve smeru x. Jen naleve stene jsou nakresleny vsechny tfi slozky povrchove sily pusobici na tuto stenu.

Normalove napeti rna smer osy x a je oznaceno O"x."((vsechna normalova napeti rnaji obaindexy stejne). Tecne napeti pusobici na teze plosce ve smeru y je oznaceno O"xy a tecne napetive smeru z je oznaceno O"xz (tecna napeti maji rozdilne indexy). Obvykle jsou napeti pusobicina trech stranach prochazejicich pocatkem souradneho systemu (nebo blizsl k pocatku)orientovana zaporne a na zbyvajicich trech stranach jsou napeti (zvetsena 0 elementarnipfinistky) orientovana v kladnem smeru souradnych os. Abychorn napsali pohybovou rovnicive smeru x, musime uvazovat vsechna napeti jejichz druhy index je x, obr. 119. Zacnemes normalovymi napetimi: na levou plochu pusobi sila (-O"x. xdydzs, na pravou plochu sila

(o ; + Ocr xx dx )dydz a protoze rnaji opacny smysl je vysledna sila rovna oO-xxdxdydz .ax oxZ tecnych napeti je treba uvazovat 0- yx a 0- zc : Na zadni plosku pusobi ve smeru x tecna sila

(-O"zxdxdy)a na predni (ozx + Ocr:.~ dz)dxdy a jejich vyslednice je rovna Ocrzx dxdydz.8z 8z

Podobne vysledna tecna sila pusobici na dolni a horni plosku ve smeru x bude rovnaOcr___!!_dxdydz . Dosadime-li nyni do pohyboveho zakona napsaneho pro smer xoy

s:« =dmdvx~ x dt

za hmotnostni i povrchove sily, dostaneme

K pdxdydz + (Ocr xx + Ocr .Ix + Ocr zx JdxdYdZ = odxdyd: dl'x .x ax 8y 0= dt

Zkratime-li objem castice dxdydz dostaneme pohybove rovnice v napetich - analogickybychom odvodili i rovnice pro smer y a z:

146

K acr .... acr vx acr _, (Ol'. OV ov.. av )p +_'_" +_._. +-"-' =p _-' +v _x +v _., +v _xx ax oy oz at x ax .v Oy z az

acr x~· acr Y.Y acr :;.. ( OV" ov,. ov v a" ,.JpK +--.' +-_'-+--_'=p _. +v _'-+V _. +1' _..v ax oy oz at x ax Y Oy z az

K acr ..- acr ,:;; acr __ ( a" _ ov _ Ov _ av -)p +-'--. +-'-+-"_" =p -." +v -" +v _. +v -.--

z ex ay az at" ax .v ay :; cz .

(202)

Abychom dostali N. S. rovnice musime dosadit za jednotliva napeti tzv. konstitucni rovnice,jez charakterizuji chovani tekutiny za pusobeni sil - resp. napeti. Pro jednoduche pfimocaresmykove toky platila jednoducha konstitutivni rovnice - Newtonuv zakon roy. (3). Proprostorova proudeni tento zakon zobecnil Stokes. Pro newtonske viskozni nestlacitelnetekutiny plati:

tecna napeti (all. all)" .\'

o'.lJ' =0'", = 11_+-. ex ay

a normalova

(a,,_ 0'1',.)

O'y: =0':,.= 11-a· +-a'. :y.:

(all, all_)o; = O'.t:: = 11~ + a;

av0' = - P + 211-""', (]x

ovan' = - p + 211--"cy (204)

(203)

cvO'z: =-p+211-= .

D.:Konstitutivni rovnice (203) a (204) vyjadruji linearni zavislost napeti na rychlosti deformacecastice. Pri jednorozmernem proudeni ve smeru x (Vy = Vz = 0) dostaneme z horni rovnice(203) Newtonuv zakon (3). Secterne-li rovnice (204) a vezmeme-li v uvahu rovnici kontinuity(201) dostaneme

cr.",+crw +cr:=u=: ..3

(205)

tj. za staticky tlak v proudici vazke tekutine je mozno povazovat aritmetickou stredni hodnotunormalovych napeti pusobicich ve trech libovolne orientovanych vzajernne kolmych rovinachprochazejicich jednim bodem, vzatou se zapornym znamenkem.

Po dosazeni rovnic (203) a (204) do (202) dostaneme napr. pro smer xan . 02V. (c2

VI' a2v. a2v. c:v_J dv.PK - _r_ + "n--'\ + n __ . +__ " +__ .t +__ - =p-"

r ~. -'I ., 'I .,., "" d. u..\ ax~ cxOy cy- a.:- axe.: t

a,) (a2l'. a211. a2.v.) a (a" av, a'..J_) dv:pK - _I_ + 11__ .t +__ ,\ + __ ., + 11- _x +_. +_" =p_.t"ax ax2 ay2 cz2 ax ax cy Cz dt'

Posledni clen na leve strane obsahuje rovnici kontinuity (201) a proto odpada. Podobnympostupem dostaneme rovnice i pro smer y a z:

147

(206)

To jsou zakladni diferencialni pohybove rovnice pro vazke newtonske nestlacitelne tekutinynazyvane Navierovy - Stokesovy rovnice. Spolu s rovnici kontinuity (201) tvofi soustavu ctyfrovnic pro ctyi'i nezname tlak p a tfi slozky rychlosti 1\, "y, I'z. Ph reseni konkretni ulohy musibyt zadany okrajove a ph nestacionarnim proudeni i pocatecni podminky.

Poznamka: jestlize rov. (206) delime hustotou P pak ntlsto dynatnicke viskozity '1 se bude pocitats kinetnatickou viskozitou u. Viskozita je funkci tlaku a hlavne teploty, ale pokud jsou zmeny techto velicinmale povazujeme viskozitu za konstantu, zvlaste u kapalin. Jsou-Ii O$Y x a z orientovany vodorovne a osa ysvisle vzhuru, pak za pusobeni pouze zetnske tlie budou 1(,. = K; = 0 a Ky = -g. Jestliie rovnice (206) postupnevynasobime jednotkovymi vektory T, J. k a secteiue IIIiizem I! je zapsat jednou vektorovou rovnici

- ,dvpK - Vp + llV-v = (,-,

cil(207)

kde vektor Vpje gradient tlaku.

Okrajovymi podminkami (kinentatickymi) jsou zadany sloiky rychlosti: 110 Slelle musi by! nornuilovaslozka relativnl rychlosti rovna nule (neprostupnost steny plati i pro idealni nevazkou tekutinu). Je-Ii sienav klidu je norma/ova stozka rychlosti rovna mile. Pro tangencialni slozku relativni rvchlosti u vazke tekutinyplati lotet co pro normalovou - je rovna nule (tekutina na sten« lpi, II idealnl uevazke tekutiny jS()U

tangencialni slozky rychlosti na stene rozdllne od nuly). N. ,<0;. rovnice jsou nelinearni parcialni dtferencialnirovnice druheho iadu a s vyjimkou jednoduchych pripadu fen obtline analyticky iesitelne. Byla provedenarada piibliinych resent. V posledni dobe se resent provadi vyhradne nuutericky potuoci pocltacu. Cifelliuvodniho kurzu mechaniky tekutin je rozvinout 1I studentu ..cit" pro spnivn« reseni libovolne inzenyrskeulohy.

V mnoha pripadech je vyhodnejsi pouiit k resent uloh N. S. rovuicc nikoli v kanezskych alev cylindrickych nebo sferickych souiadnicich.

Vite, ze- Josef a Etienn Montgolfierove vypustili 15. listopadu 1782 v Avignonu model bal6nu plnene/1o

teplym vzductiem.- Pilatre de Rozier vystupuje 15. tfjna 1783 v Pafiti do vzduchu s upoutenou montgolfierou a 21.

listopedu 1783 spolu s markyzem d'Arlandem Llskutetnil prvni volnou p/avbu z Muette doGobe/ins za 25 minut. 0 nekolik dni pozdeji vykonali mnohem de/sf plavbu (asi 15 km) J. A. C.Charles a M. N. Robert v bal6nu naplnenem vodfkem, trvajlcf tn a pull1odiny.

- r. 1809 George Cayley uvetejnuje projekt /etadla s nosnou ptocnou, vrtulf, vyskovym a smerovymkormidlem.

- Otto Lilienthal kon« pokusy se zavesnymi k/uzaky v tetecti 1890 - 96, zavadi polaru profilu, vykona/asi 100 letiJ at 350 m dlouhych net smrte/ne havaroval.

- bratfi Wilbur a Orville Wrightove provedli 17. pro since 1903 v Kitty Hawk, Sevemi Karoline, prvnf lets motorovym letadlem ffzenym pi/otem, trvajicf asi 13 vtetin po 12 metrovem rozjezdu. Vyska letu3 m, de/ka 36 m. Rozpetf /etad/a 12,25 m, vaha 338 kg, motor asi 12 kW

- 25.7.1909 pte/ete/ L. B/eriot kanal La Manche Siroky 40 km za 37 minut rychlostf 65 kmlhod.- 20.5.1927 pteletel Ch. Lindbergh na /etadle "Spirit of St. Louis" At/anticky ocean z New Yorlw do

Paffte za 33 hodiny 31 minut rychlostf 187 km/hod.- 14.10.1947 ptekonal Ch. Yeager (USA) na letadle Bell X-1 s raketovym motorem rych/ost sffenf

zvuku.

148

Dalsf podrobnosti z historie letectvf se dovite v ptednaskach Dejiny tecl1t1il<y- /etectvf.

2[ffixv]=-_!_Vpp

Z teto rovniee Ize udelat zaver: Coriolisovo zryehleni je vektor kolmy k vektoru ryehlosti vProtoze leva strana rovniee se musi rovnat prave strane musi byt i Vp kolme k Ii. Alei izobary jsou kolme k Vp. To znamena smer geostrofickeho vetru je shodny se smerem teenyk izobare a ze izobary jsou shodne s proudnieemi, viz pfiklad P 10.1.

priklad P 17.1

Dokazte, ze smer geostrofickeho vetru Ii je shodny se smerem teeny k izobaram (viz teipfiklad P 10.1). Zerne se otaci uhlovou ryehlosti ffi a zname mistni tlakovy gradientgrad p == Vp.

Dano: grad p, ffi

UrCit: smer Ii

Rozbor:

Spojime-li souradnym system s rotujicim povrchem Zeme musime vzit v uvahu i sily vznikajiciod unasiveho pohybu tj. odstredivou silu pl(J) ~1'1 a Coriolisovu silu 2p[ffi xv], takze rovniee

(207) bude mit tvar

K- '0 - [- -] ,... [- -] '0" - dlip - v p - p(J) X (J) X r -..;p (J) xv + 11 v "v = p - ,dt

kde prvni clen na leve strane je hmotnostni sila - tiha, ktera nema slozku do vodorovnehosmeru. Druhy clen je tlakovy gradient, je to vektor kolmy na izobary. Tteti clen je odstredivasila v nemz vystupuje uhlova ryehlost rotaee Zeme (JJ v kvadratu a protoze je (JJ velmi male «(JJ

= 7,29.10.5 S-I) je zanedbatelny proti ostatnim clenum. Ctvrty clen je Coriolisova sila a patyclen predstavuje treci silu. Geostroficky vitr se urcuje pro vYsky nad atmosferickou meznivrstvou, kde je vliv viskozity zanedbatelny, zanedbame i tento clen. Ph rovnomernema ustalenem proudeni bude i prava strana rovnice rovna nule. Po uprave dostanemevektorovou rovniei

Vite,ie- slovo cykl6na znemene v recun« hada stoceneho do klubka.- /<ruhovy pohyb vzduchu v etmostete byva take oznecoven cykl6na. Zvlasf nebezpeCne jsou tropicke

cykl6ny, jet majf nizne mistni nazvy; v karibske oblasti a Stfednf Americe huriktm, v jihovychodnfAsii tajfun, na severozepednlm pobfeii Australie willy-willy. Na pocatku cyficatych let vzniklatradice oznecovet je jm{my, do roku 1979 tenskymi, pozdeji i mutskym; Na Zemi vznika rocnevice net 100 tropickych cyklon. Z toho asi polovina se pohybuje nad sirym oceanem. Vznikajlv pesmu pasatU, tj. mezi ur a 2(f zemeoisne sffky ne obou polokoulfch. Na podzim vznikajfdvakrat tasteji net v lete a v zim« tivecetkret mene net na podzim, kdy je teplota vody na povrchuoceenu nejvetsi. Siuncem otvtven« voda se vypafuje, vlivem orouaent se tvort nust« mraky, znicht vydetn« prsf, pfi kondenzaci pary se uvolfluje vypem« teplo a asi 3% jako kineticka energie,jet pfedstavuje tropickou cykl6nu. Prumer hurikanu mute bYt at 500 km a asi desetinu prumeruzaujima tzv. "oko" - tistne v jeho stfedu (analogie ieare potencialnfho vfru), kde vanou jen steb«vetry a mraky jsou ffdke. Ko/em oka je spira/ovite roziotene nuste vrstva mraku sahajicfch at dovysky 16 km. Ve stfedu vlru byva nfzky tlak, cesto at 0 5% nitsf net ne okraji. Rychlost vzduchubyva 120 at 240 km/noa. Nad pevninou huriken steane.

149

LITERATURA

Adamec, 1., Lisal, M., Varadiova, B.: Mechanika tekutin. Sbirka pfikladu. (VUT Praha,1993, 1996

Jezek, J.: Hydromechanika v prikladech. CVUT Praha, 1975, 1988

Jezek, 1., Varadiova, B.: Mechanika tekutin pro petilete obory. CYUT Praha, 1983, 1991

Jirsak, M.: Experimentalni zarizeni a metody v mechanice tekutin, tVUT Praha, 1977

Kocab, 1., Adamec, 1.: Letadlove pohonne jednotky. NADAS Praha 1990

Mastovsky, 0.: Hydromechanika, SNTL Praha 1956, 1963

Noskievic, 1. a kol.: Mechanika tekutin. SNTLI ALFA Praha 1987

Nozicka, 1.: Mechanika a termodynamika. CYUT, Praha 1991

Tesar, v.: Mezni vrstvy a turbulence. (VUT Praha 1984

Valenta, 1. a kol.: Biomechanika srdecne cevniho systemu, (YUT Praha 1992

V nemcine:

Albring, W.: Angewandte Stromungslehre Steinkopf, Dresden 1961, 1966, 1970

Prandtl, L., Oswatitsch, K., Wieghardt, K.: Fuhrer durch die Strornungslehre Vieweg,Braunschweig, 1969

Spurk, 1. H.: Strornungslehre, Springer, Berlin 1989

Szabo, I.: Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkhauser, Basel, 1979

V anglictine:

Fox, R. W., Mc Donald, A. T.: Introduction to Fluid Mechanics, J. Wiley & sons, New York,1994

Streeter, V. L.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1971

White, F. M.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1986

150

Technicke vysoke skoly nesou hlavni zodpovednost za vychovu technicke inteligence a tim vyznamne pomahajivyrvaret perspektivu hospodarske prosperity. Krome garantovane statui podpory je tieba hledat dalsi zdroje - mirno

jine i zakladanirn nadaci. V roce 1993 byla na strojni fakulte rvur v Praze zalozena a i"{)(jne zaregistrov ana

ZVONicKOVA NADACE FAKULTY STRO,INi {VUT.Spravnl rada nadace touto cestou podava zakladni informace 0 Zvonickove nadaci a hledri vhodne sponzory procinnosti. ktere smeluji ke zvyseni urovne studia a pro reseni projektu, ktere se uchazeji 0 podporu 7 vonickovynadace.

Financn] prostfedky Z"unickuvy nadace Iakulty strujni jsou urcenv predevsim na podporu \ )-cho\} studentu.doktorandu a mladych perspektivnich pedagogu a na podporu jcjich ucasti ria tuzemskych i zahranicnich vcdeckychkonferencich a seminarich. na ocenovani Studentske tvurci cinnosti. diplomovych praci. na ieseni vybianychprojektu nebo tematickych ukolu, podporovanych sponzory. na poradrini picdnasck vvznaumycl: odborniku a nazkvalitneni technickeho vybaveni laboratori fakulry.

Sponzoritm nadace nahizime poradenskou a konzultacni cinnost. jejich propagaci na fakulte a z\ crejneni jejichpodpory tematickych vedeckych projektu, dale spoluvlastnictvi vysledku. prlp reulizaci praktickvch projekcnichvystupu a kontakt se studenty, zejrnena vyssich rocniku. Vedecky a odhorny potencial strojni fakulty nenizanedbatelny a je sponzonun k dispozici. Cilenymi financnirni prostfedky se vytvai'i potrebny prostor pro hmotnezabezpeceni ucelne a funkcni spoluprace fakulty 5 jejimi parmery z pnunyslu. vyzkumu a obchodu. pro vychovunastupujici generace a pro budouci prosperitu podporovanych oboru.

Kontaktni adresa:ZVONicKOVA NADACE. Fakulta strojni (VUT v Praze.Techuicka 4. 16() 07 Praha (1

TEL.: (+42 2) 24352564 (predseda spravni rady ZN Prof.Ing. Pavel Zitek. DISc.), 2435 2503 ( tnjemnik ZNDoc.Ing. Pavel Baumruk. CSc.),

FAX: (+42 2) 24310292,E-MAIL: ZITEK@fsid.cvut.cz.BAUMRUK@fsid.c\ut.cz

Bankovni spojeni:

Komercni banka, a.s. pobocka Praha 6. Dejvicka 5. PSC- 160 59, cislo uctu 196021100227/0 100

Prof. Ing. Jan Jezek, DrSc., Ing. Blanka Varadiova, esc" Ing. Josef Adamec, esc.

MECHANIKA TEKUTIN

Vydalo Vydavatelstvi C:YUT, Zikova 4, 16636 Praha 6,v cervnu 2000 jako svou 9620, publikaci.Vytisklo Edicni stredisko C:YUT, Zikova 4, Praha 6.150 stran, 139 obrazku,Dotisk tretfho prepracovanebo vydani. Naklad 500 vytisku, Rozsah 14,96 AA, 15,29 VA.

xe 85,·

PLU

[:]