Mecha Nika 12
-
Upload
szymon-szozda -
Category
Documents
-
view
234 -
download
2
Transcript of Mecha Nika 12
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 1
wyjaśnienie praw Keplera
krzywe rotacji galaktyk – ciemna materia, hipoteza MOND?
związek momentu pędu z prędkością kątową
główne osie bezwładności (tylko I xx, Iyy oraz Izz różne od zera)
POPRZEDNI WYKŁAD
∑=j
jiji ωIL
zmienny moment bezwładności
moment pędu swobodnego ciała (d – odległość najmniejszego zbliżenia)
moment pędu i środek masy
rozpraszanie cząstek
ruch względny – masa zredukowana
εINr
r
≠
*cm LLL
rrr
+=
dtLd
N
r
r
=
pdL z ====
21 m1
m1
µ
1 +=212
2
12 dtrd
µFr
r
=
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 2
GŁÓWNE OSIE BEZWŁADNO ŚCI - PRZYKŁAD
⊥+= ωωω | |
rrr
r
αααα
oś obrotu
ω
r
| |ωr⊥ω
r
Lr
| || || | ωILr
r
=⊥⊥⊥ = ωIL
r
r
dla głównych osi bezwładności
==
⇒=⊥⊥⊥ ωIL
ωILωIL | || || |
r
r
r
r
r
r
22||
| || || |
MR41
IMR21
I
ωIωILLL
==
+=+=
⊥
⊥⊥⊥rr
rrr
moment pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 3
PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE W OBRACAJ ĄCYMSIĘ UKŁADZIE WSPÓŁRZ ĘDNYCH
tttt
tttt
sinωωy'cosωdtdy'
cosωωx'sinωdtdx'
dtdy
cosωωy'sinωdtdy'
sinωωx'cosωdtdx'
dtdx
−++=
−−−=
tttt
cosωy'sinωx'ysinωy'cosωx'x
+=−=
x
y
x’
y’(t)'r(t)r
rr
=
ω
r ωωωωt
(((( )))) (((( ))))'rωω'vω2'a'rωωdt
'rdω2
dt'rd
dtrd
a 2
2
2
2rrrrrrrrr
r
r
rr
r
××××××××++++××××++++====××××××××++++××××++++========
tttttt
tttttt
cosωy'ωsinωdtdy'
2ωcosωdt
y'dsinωx'ωcosω
dtdx'
2ωsinωdt
x'ddt
yd
sinωy'ωcosωdtdy'
2ωsinωdt
y'dcosωx'ωsinω
dtdx'
2ωcosωdt
x'ddt
xd
22
22
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
−−+−+=
+−−−−=
przyspieszenie dośrodkoweprzyspieszenie Coriolisa
'rω'v'rωdt
'rddtrd
vrrrrr
rr
r ××××++++====××××++++========
'vr
'rωrr
××××prędkość w obracającym się układzie
prędkość w układzie spoczynkowym związana z obrotem
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 4
POCHODNA PO CZASIE W OBRACAJĄCYMSIĘ UKŁADZIE WSPÓŁRZ ĘDNYCH
(((( )))) (((( ))))'rωω'vω2'a'rωωdt
'rdω2
dt'rd
dtrd
a 2
2
2
2rrrrrrrrr
r
r
rr
r
××××××××++++××××++++====××××××××++++××××++++========
'rω'v'rωdt
'rddtrd
vrrrrr
rr
r ××××++++====××××++++========
wyniki te można uogólnić na liczenie pochodnej po czasie dowolnej wielkości
'Aωdt
'Ad'Aω
dtd
dtAd r
r
r
r
r
××××++++====
××××++++====
sprawdzamy dla przyspieszenia
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))'rωω'vω2'aa
'rωω'vωdt
'rdω
dt'vd
a
'rω'vdtd
'rdtd
dtd
dtrd
a 2
2
rrrrrrr
rrrrr
r
r
r
r
rrrrrrr
r
r
××××××××++++××××++++====
××××××××++++××××++++××××++++====
××××++++
××××ωωωω++++====
××××ωωωω++++
××××ωωωω++++========
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 5
RÓWNANIA EULERA
prawdziwe w nieinercjalnym układzie odniesienia'Lωdt
'LdN
r
r
r
r
×+=
współczynniki bezwładności I ij najwygodniej jest obliczać w układzie związanymz obracającym się ciałem – ale jest to układ nieinercjalny
'Lωdt
'LddtLd r
r
rr
×+=
prawdziwe w inercjalnym układzie odniesieniadtLd
N
r
r
=
osie układu współrzędnych w obracającym się układzie są wzdłuż osi głównych
( )
( )
( ) 312123
3
231312
2
123231
1
NωωIIdt
dωI
NωωIIdt
dωI
NωωIIdt
dωI
=−+
=−+
=−+
( ) 12233321
123321
11 NωIωωIω
dtdω
I'Lω'Lωdt
'dL'Lω
dt
'dL =−+=−+=×+r
r
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 6
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 7
PRECESJA SWOBODNA
1
2
3 bąk symetryczny I1 = I2 ≠≠≠≠ I 3
rozwiązanie równań Eulera (A=const.)
t
t
ΩAsinω
ΩAcosω
2
1
==
oznaczenie: 31
13ω
III
Ω−=
wtedy równania Eulera mają postać
( )
( )
const.ω
0ωω
III
dtdω
0ωω
III
dtdω
0dt
dωI
0ωωIIdt
dωI
0ωωIIdt
dωI
3
311
132
321
131
33
31312
1
23131
1
=
=−−
=−+
⇒
=
=−+
=−+
składowa prędkości kątowej prostopadła do osi 3obraca się ze stałą prędkością kątową ΩΩΩΩ
wektor pr ędkości kątowej podlega precesjidookoła wektora momentu pędu - nutacja
3
ω
r
3ωr
⊥ωr
ω
r
const.L =r
const.ω
Lω =•r
r
Żyroskop - nutacja
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 8
PRECESJA WYMUSZONA
CM
gmFr
r
=
ωILr
r
=
αααα
mgRsinαNgmRN =⇒×=r
rr
moment siły jest prostopadły do momentu pędunie zmienia się wartość momentu pędu ale
zmienia się jego kierunektzn. moment pędu (i jednocześnie oś obrotu)
zataczają stożek o kącie 2αααα
dθθθθ
αααα
Lsinαααα
dtNLdrr
=
LrL
r
LmgR
LsinαmgRsinα
LsinαN
dtdθ
Ω ====
dθLsinαNdtdL ⋅==ΩΩΩΩ
częstość precesji ΩΩΩΩ nie zależy od kąta αααα
Żyroskop - precesja
Rr
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 9
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 10
ŻYROSKOP
ωωωωg
mg
d
Precesja
koła row erow ego
LN
Ω
LΩdtdθ
LdtdL
dtdL
N=⇒
==
=
Iωmgd
ΩIωL
mgdN=⇒
==
L(t)
L(t+dt)dL dθθθθ ( ( ( (
widok z góry
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 11
PRECESJA OSI ZIEMIsiły grawitacji Ksi ężyca i Słońca
powodują wymuszoną precesję osi Ziemioś obrotu Ziemi zakreśla stożek
o rozwartości 470 w czasie 25770 lat (rok platoński)biegun północny wskazuje na różne gwiazdy
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 12
PRECESJA SPINU PROTONU
precesja spinu wokół osi wyznaczonejprzez kierunek pola magnetycznego
z polem magnetycznym
zBr
x
y
z
bez pola magnetycznego
zγBω =
1Br
ppp 2m
eµgdzieµ
gγ
h
h==
częstość precesji ωωωω – częstość Larmorazależy od współczynnika giromagnetycznego
e – ładunek elementarny
mp – masa protonudla protonu g = 5.585694701
2π=h
stała Planckasłabe pole magnetyczne
o częstości ωωωω
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 13
MAGNETYCZNY REZONANS J ĄDROWY (NMR lub MRI)
rejestrowany sygnał w cewce indukowanyprzez zmienne pole magnetyczne
pozycja
pole magnetyczne B0 zależy od pozycjiczęstość precesji zależy od pozycji
częstość
częstość
transformata Fouriera
odpowiednio silne pole magnetyczneustawia spin prostopadle do pola B0
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 14
RUCH W NIEINERCJALNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
( )'rωω'vω2'rεa'aa 0
rrrrrrrrrr
××+×+×++='rωv'vv 0
rrrrr ×++=
x’
y’
z’
'vr
Car
przyspieszenie dośrodkowe( )'rωωad
rrrr
××=
0aω||'v
0'vC =⇒
=
r
rr
r
x’
y’
'rωrr
×dar
z’
przyspieszenie Coriolisa'vω2aC
rrr
×=
( )'rωωm'vω2m'rdtωd
mamFdt
'rdm 02
2rrrrrr
r
r
r
r
××−×−×−−=
– prędkość i przyspieszenie w układzie inercjalnym– prędkość i przyspieszenie w układzie nieinercjalnym– prędkość i przyspieszenie układu nieinercjalnego względem układu inercjalnego– prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe układu nieinercjalnego
względem układu inercjalnego
a,vrr
'' a,vrr
00 a,vrr
ε,ω
rr
siła Coriolisa siła odśrodkowasiła styczna
OFr
CFr
SFr
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 15
SIŁA ODŚRODKOWA
M artw a pętla
W irow nica
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 16
ZIEMIA JAKO UKŁAD ODNIESIENIAZiemia jest nieinercjalnym układem odniesienia ponieważ obraca się
0F0dtωd
const.ω S =⇒=⇒=r
r
r
przyjmujemy układ współrzędnych znajdujący się w środku Ziemiciało znajdujące się w położeniu i poruszające się z prędkością
w układzie związanym z Ziemią doznaje przyspieszenia Coriolisa i odśrodkowego
( )'rωωm'vω2mFdt
rdm 2
2rrrrr
r
r
××−×−='
obserwowalne efekty związane z obrotem Ziemi
nie ma wpływu siły Coriolisana kierunek wirowania wody
obrót płaszczyzny wahańwahadła Foucault
wpływ sił Coriolisana kierunek wiatrów
'rr
'vr
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 17
SIŁA CORIOLISA
K ulka na
obracającej się
tarczy
pasatycyklon
antycyklon
górne warstwyatmosfery
dolne warstwyatmosfery
równik – ni żzwrotnik – wyż
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 18
WAHADŁO FOUCAULTA
szybkość obrotu punktu środkowego wahadłavO = ωωωωRcosϕϕϕϕ
szybkości obrotu punktu północnego i południowegovN = ωωωωRcosϕ ϕ ϕ ϕ – ωωωωrsinϕϕϕϕvS = ωωωωRcosϕ ϕ ϕ ϕ + ωωωωrsinϕϕϕϕ
różnica każdej z tych prędkości względempunktu środkowego wahadła wynosi
∆∆∆∆v = ωωωωrsinϕϕϕϕróżnica prędkości ∆∆∆∆v powoduje obracanie się
płaszczyzny wahań z okresem
sinφT
ωsinφ2π
ωrsinφ2π
∆v2π
T ZF ==== rr
ω
2πTZ = okres obrotu Ziemi
M odel w ahadło F oucaulta
na biegunie płaszczyzna wahań obraca się o 360o w ciągu doby (TF=TZ)na równiku płaszczyzna wahań nie zmienia się
w Krakowie w kościele św. Piotra i Pawła (ul. Grodzka 54) – TF ~ 31 godzin
Rrównik
S – biegunpołudniowy
N – biegunpółnocny
oś o
brot
u
Rcosϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕvS
vN
rrsinϕϕϕϕ
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 19
CIECZEciecze to substancje nie podlegające odkształceniu postaci
przy odkształcaniu warstwy cieczy ślizgają się po sobiepozwala to cieczy płynąć i zmieniać kształt
dzięki temu ciecz zawsze przyjmuje kształt zbiornikacząsteczki cieczy poruszają się swobodnie
nie ma długo zasięgowych korelacji pomiędzy pozycjami cząsteczekdo opisu cieczy używamy parametrów makroskopowych
∆A∆F
p = T – temperatura∆V∆m
ρ = – gęstość – ciśnienie
zmiany objętości i ciśnienia powiązane są przez moduł ściśliwości∆V/V∆p
κ −=
105 106 107 108 109 1010 1011104
moduł ściśliwości (Pa = N/m2)
wodastal
gaz ołów
gaz – łatwo ulega ściskaniu (gęstość silnie zależy od ciśnienia)ciecz – trudno jest ścisnąć (gęstość prawie stała)
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 20
ZALE ŻNOŚĆ CIŚNIENIA OD GŁ ĘBOKOŚCI
y1 y2
A
p1
p2
F1
F2mg
p0 p0 – ciśnienie powietrza nad powierzchnią cieczyp0 ≈≈≈≈ 105 N/m2
wybieramy sześcian ze ścianamio polu powierzchni A
w warunkach równowagi suma sił działających nasześcian musi wynosić zero
na sześcian w kierunku pionowym działają siły:mg – ciężar ciała
F1 – siła od ciśnienia na górną powierzchnięF2 – siła od ciśnienia na dolną powierzchnię
)yρg(ypp)Agyρ(ymg
ApApFF1212
12
1212 −+=⇒
−=−=−
ρgypp 0 +=
na powierzchni cieczy y1=0 mamy ciśnienie p0, więc dla dowolnej głębokości y mamy
12 FmgF +=
dla wody wzrost ciśnienia o jedną atmosferę jest na głębokości2.02⋅⋅⋅⋅105 Pa = 1.01⋅⋅⋅⋅105 Pa + 103 kg/m3 ⋅⋅⋅⋅ 9.8 m/s2 ⋅⋅⋅⋅ d ⇒ d = 10.3 m
Z ależność ciśnienia
od głębokości
P ływ ak K artezjusza
y
y=0
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 21
CIŚNIENIE CIECZY W RÓ ŻNYCH WARUNKACHw każdym zbiorniku dla zadanej głębokości
jest takie samo ciśnienie niezależnie od kształtu zbiornikapoziom cieczy we wszystkich zbiornikach jest taki sam
wyobraźmy sobie rurk ę łączącą dwa zbiornikijeżeli ciśnienie byłoby różne to przez rurkę przepływałaby ciecz
ale to oznacza że układ nie jest w równowadze
ρρρρ1
ρρρρ2 dd2
d1
a) ρ ρ ρ ρ 1< ρρρρ2 c) ρρρρ1 > ρρρρ2
jaka jest relacja między gęstościami cieczy
b) ρρρρ1 = ρρρρ2
te same ciecze znajdują się w:rurkach o powierzchni A – różnica poziomów cieczy dI
rurkach o powierzchni 2A – różnica poziomów cieczy dIIjaka jest relacja między różnicą poziomów cieczy dI oraz dII
a) dI < dII c) dI > dIIb) dI = dII
III12
12
22
11
ddρ
1
ρ
1
g
∆pddd
gρ
∆pd
gρ
∆pd
=⇒
−=−=⇒
=
=
b) dI = dII
p
w punkcie styku cieczy ciśnienie musi być takie samoponieważ z lewej strony jest więcej cieczy niż z prawej to ρρρρ1 > ρρρρ2
c) ρρρρ1 > ρρρρ2
p(y)
y
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 22
PRAWO ARCHIMEDESAW2?W1
ciało zważone w powietrzu ma ciężar W1ciało zanurzamy w wodzie, jaki jest teraz jego ciężar W2
ciśnienie na dnie ciała jest większe niż na górzewięc na ciało działa wypadkowa siła wyporu
gMVgρF cieczcieczcieczW ==
( ) ( )AyygρAppF 12ciecz12W −=−=
np. aby zanurzyć w wodzie piłkę plażową o promieniu r = 50 cm
musimy użyć siły F = ρρρρciecz g 4ππππr3/3 = 5131 N = 523 kg⋅⋅⋅⋅gFW mg
y
jaka część ciała zanurza się w cieczy?
%90kg/m1024kg/m917
ρ
ρ
VV
3
3
woda
lód
lód
woda ===
ciecz
ciecz
cieczciecz
W
ρ
ρ
VV
ρgVVgρ
mgF=⇒
==
jaka część góry lodowej jest zanurzona?
Praw o A rchim edesa
siła wyporu jest równa ciężarowi cieczy przesuniętej przy zanurzaniu ciała
p2
p1
13 grudnia 2013 Mechanika - A. Magiera 23
PRAWO ARCHIMEDESA - PRZYKŁADY
styropian
Pb styropian obciążony ołowiem pływa całkowicie zanurzonyjeżeli ołowiany klocek znajdzie się na dole to:
a) zatonie c)b) styropian
Pbstyropian
Pb
c)
jeżeli ciało pływa to również odwrócone musi pływaćale po odwróceniu ołowiany klocek wypiera wodę, więc styropian musi wypierać mniej wody
I II
poziom wody w szklankach jest taki samale do szklanki II wrzucone są plastikowe piłeczki
która szklanka waży więcej?
a) I c) IIb) tyle samob) tyle samo
piłeczki wypierają tyle wody ile ważąwięc z prawa Archimedesa wynika, że obie szklanki ważą tyle samo