Mécanique des fluides

Guy Gauthier ing. Ph.D.

SYS-823 - Été 2013

LE BILAN MATIÈRE

Comme en comptabilité, il faut que ça balance.Rien ne se perd, rien ne se créé…

Cours #1 - SYS-823 Page 3

Le bilan matière 

Équation de ce bilan : 

m asse d e liq u id e

d an s le rése rv o ir

à t t

m asse d e liq u id e

d an s le rése rv o ir

à t

m asse d e liq u id e

en tran t d an s le rése rv o ir

d e t à t t

m asse d e liq u id e

so rtan t d u réserv o ir

d e t à t t

V V F dt F d tt t t i

t

t t

t

t t

dV

dtF Fi

Cours #3 - SYS-823 Page 4

Le bilan matière [2] 

Or :

Si la densité est constante :

Bilan :

dV

dtV

d

d t

dV

dt

dV

dt

dV

dt

dV

dtF Fi

dV

dtF Fi

Cours #1 - SYS-823 Page 5

Équation différentielle linéaire ordinaire

Pour résoudre cette équation différentielle:

Il suffit de connaître: Les entrées : Fi(t) et F(t); Le volume initial : V(0).

dV

dtF Fi

Variable d’état

Entrées

Cours #1 - SYS-823 Page 6

Solution

La solution de cette équation différentielle est :

V F F d Vi

t

( ) ( ) ( ) 0

0

Cours #1 - SYS-823 Page 7

Exemple avec réservoir cylindrique

Pour un réservoir cylindrique : V = Ah

Si le débit de sortie est proportionnel à la racine carrée de la hauteur de liquide:

dV

dtA

dh

d tF Fi

F h

Cours #1 - SYS-823 Page 8

Équation différentielle non-linéaire

L’équation différentielle à résoudre pour la hauteur est :

dh

d t

F

A Ahi

Variable d’état

Entrée

Paramètres

Cours #1 - SYS-823 Page 9

Solution – vidange d’un réservoir s’écoulant par gravité

La solution de cette équation est (en supposant que Fi = 0) :

dh

d t Ah

dh

h Adt

dh

h Adt

h

h

t

t

o o

Cours #1 - SYS-823 Page 10

Solution (2)

Donc :

Si to = 0 :

2 2

2

h hA

t t

h hA

t t

o o

o o

h t hA

to( )

2

2

Ballon-tampon de gaz(Gas surge drum)

Soit: V : volume du ballon-tampon (m3); n : quantité de gaz (moles); MW : poids moléculaire du gaz

(kg/mole); qi : débit molaire entrant (moles/s); q : débit molaire sortant (moles/s);

Ballon-tampon de gaz

La masse s’accumulant dans le ballon est:

Si poids moléculaire constant:

Wi Wi W

d nMq M qM

dt

i

dnq q

dt

Loi des gaz parfaits

La relation pression-volume est caractérisée par la loi des gaz parfaits:

Ainsi:

PV nRT

PVn

RT

Loi des gaz parfaits

Donc:

La température T (en kelvins) et le volume V (en m3) sont assumés constants.

R est la constante des gaz parfaits (en J/(k.mole)).

8.314472 J/(k.mole).

i

d PV RTdn V dPq q

dt dt RT dt

Bilan

Finalement:

Le stockage de gaz dans un réservoir change la pression.

i

dP RTq q

dt V

Exemple:

Réservoir de 5 m3, Température de 300 kelvins, Pression initiale du réservoir de 101300 Pa.

Débit entrant de 10 moles/min; Pression en aval de 101300 Pa; coefficient d’écoulement de 0.35 mole/(Pa.min).

Exemple:

n = 203.06 moles, quantité initiale de gaz – évalué à partir de la loi des gaz parfaits.

Puis:

i

i av

dP RTq q

dt VRT

q P PV

PVn

RT

Exemple:

Avec les valeurs numériques:

7

498.87 0.35 101300

498.87 174.60 1.77 10

i

i

dPq P

dt

q P

Exemple:

Simulation:

Loi de Bernoulli

Équation correspondant à cette loi:

Fluide incompressible; Fluide parfait (viscosité négligeable et

pas de pertes de charges).

2

constante2

v pz

g g

Exemple

Réservoir qui se vide par gravité:

Exemple

Selon Bernoulli:2 21 1 2 2

1 22 2

v p v pz z

g g g g

v1 = 0 m/s

p1 = 1 atm. p2 = 1 atm.

Exemple

Ce qui mène à:

Donc:

Et:

22

1 22

vz z h

g

2 2v gh

2 2 2 2 2Q A v A gh

Exemple

Dans le réservoir:

Ce qui mène à:

Ressemble à:

2 1

dhQ A

dt

2

1

2A ghdh

dt A

dhh

dt A

Car le réservoir se vide

Exemple

Dans le réservoir:

Ce qui mène à:

Ressemble à:

2 1

dhQ A

dt

2

1

2A ghdh

dt A

dhh

dt A

Car le réservoir se vide

Bilan énergétique d’une ligne de fluide

Énergie cinétique:

Énergie potentielle:

Énergie élastique:

2 21 1 12 2c VE mv v

1z VE mgz gz

1p VE pV p

Corresp

ond à

chaque te

rme

Loi de Bernoulli (fluide compressible)

Équation correspondant à cette loi:

Avec g le rapport des capacités calorifiques du fluide donné par:

2

constante2 1

v pz

g g

p

v

C

C

1.67 pour gaz monoatomique

1.40 pour gaz diatomique

Tableau de Cp et Cv pour divers gaz

Cp J/kg/k Cv J/kg/k

Air 1005 718

O2 917 653

N2 1038 741

Vapeur d’eau 1867 1406

He 5234 3140

Ne 1030 618

Propane (C3H8) 1692 1507