Mecanica Vectorial Para Ingenieros Estatica - Beer 9th

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  • Bola Superficie sin friccin

    Fuerza con lneade accin conocida

    (una incgnita)

    Fuerza con lneade accin conocida

    (una incgnita)Cable

    FF

    Rodillo sobresuperficie rugosa

    Superficie rugosa

    Juntao unin universal

    Bisagra y cojinete que soportan slo carga radial

    Rueda sobre rielDos componentes de fuerza

    Tres componentes de fuerza

    Tres componentes de fuerza y un par

    Tres componentes de fuerza y tres pares

    Dos componentes de fuerza(y dos pares; vase la pgina 192)

    Dos componentes de fuerza(y dos pares; vase la pgina 192)

    Fy

    Fx

    Fx

    Mx

    Fz

    Fy

    FzFx

    Fy

    Fz

    Fy

    Fz

    Fy

    Fz

    My

    (Mz)

    (My)

    (Mz)

    (My)

    Mz

    Rtula (bola y cuenca)

    Apoyo fijo

    Bisagra y cojinete que soportanempuje axial y carga radialPasador y mnsula

    Fx

    Mx

    Fy

    Fz

    Reacciones en los soportes y conexiones para una estructura tridimensional

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  • MECNICA VECTORIALPARA INGENIEROS

    Esttica

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  • REVISIN TCNICA

    ARGENTINA

    Ricardo Bosco Universidad Tecnolgica Nacional, Buenos Aires

    COLOMBIA

    Carlos Eduardo Muoz Rodrguez Pontificia Universidad Javeriana, BogotJaime Guillermo Guerrero Casadiego Universidad Nacional de ColombiaRubn Daro Arboleda Vlez Universidad Pontificia Bolivariana, MedellnWilson Rodrguez Caldern Universidad de la Salle, Bogot

    MXICO

    Antonio Rubn Bentez Gasca Universidad VeracruzanaCarlos Mellado Osuna Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,

    campus La MarinaConstantino Anaya Hill Instituto Tecnolgico de CuliacnDanelia Hernndez Surez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,

    campus Ciudad ObregnEduardo Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus SinaloaFrancisco Tern Arvalo Instituto Tecnolgico Regional de ChihuahuaGerardo Gaytn Guerra Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Gladys Karina Ruiz Vargas Universidad Anhuac, campus NorteIgnacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus HidalgoJos Antonio Corona Lpez Instituto Tecnolgico de VeracruzJos Luis Carranza Santana Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,

    Instituto Politcnico NacionalJuan Abugaber Francis Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,

    Instituto Politcnico NacionalJuan Ocriz Castelazo Universidad Nacional Autnoma de MxicoKlara Goiz Hernndez Universidad Autnoma de SinaloaLuis Adolfo Torres Gonzlez Universidad Iberoamericana, campus LenMartn Daro Castillo Snchez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,

    Instituto Politcnico Nacional Ral Escalante Rosas Universidad Nacional Autnoma de MxicoRal Soto Lpez Universidad de Occidente, campus CuliacnRoberto Carlos Tinoco Guevara Universidad Iberoamericana, campus Ciudad de Mxico

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  • Novena edicinMECNICA VECTORIAL

    PARA INGENIEROSEsttica

    FERDINAND P. BEER (finado)Late of Lehigh University

    E. RUSSELL JOHNSTON, JR.University of Connecticut

    DAVID F. MAZUREKU.S. Coast Guard Academy

    ELLIOT R. EISENBERGThe Pennsylvania State University

    Revisin tcnica:Javier Len Crdenas

    Universidad La Salle, campus Ciudad de Mxico

    Felipe de Jess Hidalgo CavazosInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey

    campus Monterrey

    MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULOAUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI

    SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

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  • Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo Eduardo Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha M.Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga GutirrezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

    Traduccin: Jess Elmer Murrieta Murrieta

    MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROSESTTICANovena edicin

    Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

    DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

    Corporativo Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa FeDelegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

    La seccin de crditos de este libro comienza en la pgina 603 y es considerada como una extensin de la pgina legal.

    ISBN-13: 978-607-15-0277-3(ISBN: 970-10-6103-9 edicin anterior)

    Traducido de la novena edicin de Vector mechanics for engineers. Statics, ninth edition. Copyright 2010 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.ISBN: 0-07-352923-0

    1234567890 109876543210

    Impreso en Mxico Printed in Mexico

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  • Acerca de los autores

    Los au to res de es ta obra con fre cuen cia son cues tio na dos acer ca dec mo fue que, es tan do uno en Le high y otro en la Uni ver sity of Con -nec ti cut, em pe za ron a es cri bir sus li bros jun tos y c mo lo gran se guirco la bo ran do en las re vi sio nes sub se cuen tes.

    La res pues ta a es tas pre gun tas es sen ci lla. Russ Johns ton ini cisu ca rre ra aca d mi ca en el de par ta men to de in ge nie ra ci vil y me c -ni ca de Le high Uni ver sity y all co no ci a Ferd Beer, quien ha ba co -men za do a tra ba jar en ese de par ta men to dos aos an tes y es ta ba acar go de los cur sos de me c ni ca.

    Ferd se sin ti muy com pla ci do al des cu brir que el jo ven con tra ta dopa ra im par tir cur sos de in ge nie ra es truc tu ral a ni vel de pos gra do no s -lo es ta ba dis pues to, si no tam bin an sio so por ayu dar lo a reor ga ni zar loscur sos de me c ni ca. Am bos crean que di chos cur sos de be ran im par -tir se a par tir de unos cuan tos prin ci pios b si cos, y que los dis tin tos con -cep tos in vo lu cra dos se ran me jor com pren di dos y re cor da dos por loses tu dian tes si se les pre sen ta ban en for ma gr fi ca. Jun tos es cri bie ronapun tes pa ra las cla ses de es t ti ca y di n mi ca, a los cua les pos te rior -men te agre ga ron pro ble mas que su pu sie ron re sul ta ran in te re san tespa ra los fu tu ros in ge nie ros, y po co des pus pro du je ron el ma nus cri tode la pri me ra edi cin de Me c ni ca pa ra in ge nie ros.

    Al pu bli car se la se gun da edi cin de Me c ni ca pa ra in ge nie ros y lapri me ra de Me c ni ca vec to rial pa ra in ge nie ros, Russ Johns ton es ta baen el Wor ces ter Poly tech nic Ins ti tu te y pa ra las edi cio nes sub se cuen- tes en la Uni ver sity de Con nec ti cut. Mien tras tan to, Ferd y Russ ha banasu mi do fun cio nes ad mi nis tra ti vas en sus res pec ti vos de par ta men tos yse de di ca ban a la in ves ti ga cin, la con sul to ra, y a ase so rar es tu dian tesde pos gra do Ferd en el rea de pro ce sos es to cs ti cos y vi bra cio nesalea to rias y Russ en la de es ta bi li dad els ti ca y en di se o y an li sis es -truc tu ra les. Sin em bar go, su in te rs por me jo rar la en se an za de loscur sos b si cos de me c ni ca no ha ba dis mi nui do y con ti nua ron im par -tin do los mien tras re vi sa ban sus li bros y co men za ban a es cri bir el ma -nus cri to de la pri me ra edi cin de Me c ni ca de ma te ria les.

    La colaboracin entre estos dos autores ha abarcado muchos aosy muchas revisiones exitosas de todos sus libros, y las contribucionesde Ferd y Russ a la educacin en ingeniera los han hecho acreedo-res de numerosas distinciones y reconocimientos. Recibieron el Wes-tern Electric Fund Award por parte de sus respectivas secciones re-gionales de la American Society for Engineering Education por suexcelencia en la instruccin de estudiantes de ingeniera y, adems,el Distinguished Educator Award de la divisin de mecnica de esamisma asociacin. A partir de 2001, el reconocimiento denominadoNew Mechanics Educator Award de la divisin de mecnica ha sidonombrado Beer and Johnston en honor a estos autores.

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  • viii Acerca de los autores Fer di nand P. Beer. Na ci do en Fran cia y edu ca do en Fran cia y Sui -za, ob tu vo una maes tra en La Sor bo na y un doc to ra do en cien cias enel rea de me c ni ca te ri ca en la Uni ver si dad de Gi ne bra. Emi gr aEs ta dos Uni dos des pus de ser vir en el ejr ci to fran cs du ran te la pri -me ra par te de la Se gun da Gue rra Mun dial, e im par ti cla ses por cua -tro aos en el Wi lliams Co lle ge en el pro gra ma con jun to de in ge nie -ra y ar tes Wi lliams-MIT. Des pus de su ser vi cio en el Wi lliamsCo lle ge, Ferd in gre s al pro fe so ra do de Le high Uni ver sity don de en -se du ran te 37 aos. Ocu p va rios pues tos, in clu yen do el de pro fe -sor dis tin gui do de la uni ver si dad y di rec tor del de partamen to de me -c ni ca e in ge nie ra me c ni ca. En 1995 re ci bi un gra do ho no ra rio deDoc tor en In ge nie ra por la Le high Uni ver sity.

    E. Russell Johnston, Jr. Nacido en Filadelfia, Russ posee un ttulode ingeniero civil de la University of Delaware y un doctorado enciencias en el rea de ingeniera estructural del Massachusetts Insti-tute of Technology. Imparti clases en Lehigh University y en Worces-ter Polytechnic Institute antes de ingresar al profesorado de la Uni-versity of Connecticut, donde ocup el puesto de director deldepartmento de ingeniera civil y ense durante 26 aos. En 1991recibi el Outstanding Civil Engineer Award, seccin Connecticut,que otorga la American Society of Civil Engineers.

    David F. Mazurek. Posee una licenciatura en ingeniera ocenica yuna maestra en ingeniera civil del Florida Institute of Technology,adems de un doctorado en ingeniera civil de la University of Con-necticut. Fue empleado por la Electric Boat Division of General Dy-namics Corporation e imparti clases en Lafayette College antes depertenecer a la U. S. Coast Guard Academy, en donde ha estado desde1990. Ha prestado sus servicios en American Railway Engineering yMaintenance of Way Associations Committee 15Steel Structuresdurante los ltimos 14 aos. Su inters profesional incluye la inge-niera de puentes, torres esbeltas, ciencia forense estructural y diseoresistente a explosiones.

    Elliot R. Eisenberg. Posee una licenciatura y una maestra en in-geniera, ambas de la Cornell University. Elliot ha enfocado sus ac-tividades en el servicio profesional y la enseanza; en 1992 su trabajofue reconocido por la American Society of Mechanical Engineers aldistinguirlo con la medalla Ben C. Sparks por sus contribuciones a laingeniera mecnica y a la educacin en tecnologa de la ingenieramecnica, as como por sus servicios en la American Society for En-gineering Education. Elliot imparti clases durante 32 aos, in-cluyendo 29 en Penn State donde se le han otorgado premios por en-seanza y asesora.

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  • Contenido

    Prefacio xivLista de smbolos xxi

    1INTRODUCCIN

    11.1 Qu es la mecnica 21.2 Conceptos y principios fundamentales 21.3 Sistemas de unidades 51.4 Conversin de un sistema de unidades a otro 101.5 Mtodo para la solucin de problemas 111.6 Exactitud numrica 13

    2ESTTICA DE PARTCULAS

    152.1 Introduccin 16

    Fuerzas en un plano 162.2 Fuerza sobre una partcula. Resultante de dos fuerzas 162.3 Vectores 172.4 Adicin o suma de vectores 182.5 Resultante de varias fuerzas concurrentes 202.6 Descomposicin de una fuerza en sus componentes 212.7 Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios 272.8 Adicin de fuerzas sumando sus componentes x y y 302.9 Equilibrio de una partcula 352.10 Primera ley del movimiento de Newton 362.11 Problemas relacionados con el equilibrio de una partcula.

    Diagramas de cuerpo libre 36Fuerzas en el espacio 45

    2.12 Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio 452.13 Fuerza definida en trminos de su magnitud y dos puntos sobre su

    lnea de accin 48

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  • x Contenido 2.14 Adicin de fuerzas concurrentes en el espacio 492.15 Equilibrio de una partcula en el espacio 57

    Repaso y resumen del captulo 2 64Problemas de repaso 67Problemas de computadora 70

    3CUERPOS RGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES

    DE FUERZA73

    3.1 Introduccin 743.2 Fuerzas externas e internas 743.3 Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes 753.4 Producto vectorial de dos vectores 773.5 Productos vectoriales expresados en trminos

    de componentes rectangulares 793.6 Momento de una fuerza con respecto a un punto 813.7 Teorema de Varignon 833.8 Componentes rectangulares del momento de una fuerza 833.9 Producto escalar de dos vectores 933.10 Producto triple mixto de tres vectores 953.11 Momento de una fuerza con respecto a un eje dado 973.12 Momento de un par 1073.13 Pares equivalentes 1083.14 Adicin o suma de pares 1103.15 Los pares pueden representarse por medio de vectores 1103.16 Descomposicin de una fuerza dada en una fuerza

    en O y un par 1113.17 Reduccin de un sistema de fuerzas a una fuerza

    y un par 1223.18 Sistemas equivalentes de fuerzas 1233.19 Sistemas equipolentes de vectores 1243.20 Otras reducciones de un sistema de fuerzas 124

    *3.21 Reduccin de un sistema de fuerzas a una llave de torsin o torsor 127

    Repaso y resumen del captulo 3 146Problemas de repaso 151Problemas de computadora 154

    4EQUILIBRIO DE CUERPOS RGIDOS

    1574.1 Introduccin 1584.2 Diagrama de cuerpo libre 159

    Equilibrio en dos dimensiones 1604.3 Reacciones en los puntos de apoyo

    y conexiones de una estructura bidimensional 1604.4 Equilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensiones 1624.5 Reacciones estticamente indeterminadas.

    Restricciones parciales 1634.6 Equilibrio de un cuerpo sujeto a dos fuerzas 1824.7 Equilibrio de un cuerpo sujeto a tres fuerzas 183

    Equilibrio en tres dimensiones 1904.8 Equilibrio de un cuerpo rgido en tres dimensiones 190

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  • xiContenido4.9 Reacciones en puntos de apoyo y conexiones para una estructuratridimensional 190

    Repaso y resumen del captulo 4 211Problemas de repaso 213Problemas de computadora 216

    5FUERZAS DISTRIBUIDAS : CENTROIDES

    Y CENTROS DE GRAVEDAD219

    5.1 Introduccin 220

    reas y lneas 2205.2 Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional 2205.3 Centroides de reas y lineas 2225.4 Primeros momentos de reas y lneas 2235.5 Placas y alambres compuestos 2265.6 Determinacin de centroides por integracin 2365.7 Teoremas de Pappus-Guldinus 238

    *5.8 Cargas distribuidas en vigas 248*5.9 Fuerzas sobre superficies sumergidas 249

    Volmenes 2595.10 Centro de gravedad de un cuerpo tridimensional.

    Centroide de un volumen 2595.11 Cuerpos compuestos 2625.12 Determinacin de centroides de volmenes por integracin 262Repaso y resumen del captulo 5 274Problemas de repaso 278Problemas de computadora 281

    6ANLISIS DE ESTRUCTURAS

    2856.1 Introduccin 286

    Armaduras 2876.2 Definicin de una armadura 2876.3 Armaduras simples 2896.4 Anlisis de armaduras mediante el mtodo de los nodos 290

    *6.5 Nodos bajo condiciones especiales de carga 292*6.6 Armaduras en el espacio o espaciales 2946.7 Anlisis de armaduras por el mtodo de secciones 304

    *6.8 Armaduras formadas por varias armaduras simples 305

    Armazones y mquinas 3166.9 Estructuras que contienen elementos sujetos

    a fuerzas mltiples 3166.10 Anlisis de un armazn 3166.11 Armazones que dejan de ser rgidos cuando se separan

    de sus soportes 3176.12 Mquinas 332

    Repaso y resumen del captulo 6 345Problemas de repaso 348Problemas de computadora 350

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  • xii Contenido 7FUERZAS EN VIGAS Y CABLES

    353*7.1 Introduccin 354*7.2 Fuerzas internas en elementos 354

    Vigas 362*7.3 Diferentes tipos de cargas y apoyos 362*7.4 Fuerza cortante y momento flector en una viga 363*7.5 Diagramas de fuerza cortante y de momento flector 365*7.6 Relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector 373

    Cables 383*7.7 Cables con cargas concentradas 383*7.8 Cables con cargas distribuidas 384*7.9 Cable parablico 385*7.10 Catenaria 395Repaso y resumen del captulo 7 403Problemas de repaso 406Problemas de computadora 408

    8FRICCIN

    4118.1 Introduccin 4128.2 Leyes de la friccin seca. Coeficientes de friccin 4128.3 ngulos de friccin 4158.4 Problemas que involucran friccin seca 4168.5 Cuas 4318.6 Tornillos de rosca cuadrada 431

    *8.7 Chumaceras. Friccin en ejes 440*8.8 Cojinetes de empuje. Friccin en discos 442*8.9 Friccin en ruedas. Resistencia a la rodadura o rodamiento 4438.10 Friccin en bandas 450

    Repaso y resumen del captulo 8 461Problemas de repaso 464Problemas de computadora 467

    9FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA

    4719.1 Introduccin 472

    Momentos de inercia de reas 4739.2 Segundo momento, o momento de inercia, de un rea 4739.3 Determinacin del momento de inercia de un rea

    por integracin 4749.4 Momento polar de inercia 4759.5 Radio de giro de un rea 4769.6 Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner 4839.7 Momentos de inercia de reas compuestas 484

    *9.8 Producto de inercia 497*9.9 Ejes principales y momentos principales de inercia 498*9.10 Crculo de Mohr para momentos y productos de inercia 506

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  • xiiiContenidoMomentos de inercia de masas 5129.11 Momento de inercia de una masa 5129.12 Teorema de los ejes paralelos 5149.13 Momentos de inercia de placas delgadas 5159.14 Determinacin del momento de inercia de un cuerpo

    tridimensional por integracin 5169.15 Momentos de inercia de cuerpos compuestos 516

    *9.16 Momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje arbitrarioque pasa por el punto O. Productos de inercia de masa 531

    *9.17 Elipsoide de inercia. Ejes principales de inercia 532*9.18 Determinacin de los ejes y los momentos principales

    de inercia de un cuerpo de forma arbitraria 534

    Repaso y resumen del captulo 9 545Problemas de repaso 551Problemas de computadora 554

    10MTODO DEL TRABAJO VIRTUAL

    557*10.1 Introduccin 558*10.2 Trabajo de una fuerza 558*10.3 Principio del trabajo virtual 561*10.4 Aplicaciones del principio del trabajo virtual 562*10.5 Mquinas reales. Eficiencia mecnica 564*10.6 Trabajo de una fuerza durante un desplazamiento finito 578*10.7 Energa potencial 580*10.8 Energia potencial y equilibrio 581*10.9 Estabilidad del equilibrio 582

    Repaso y resumen del captulo 10 592Problemas de repaso 595Problemas de computadora 598

    ApndiceFUNDAMENTOS PARA LA CERTIFICACIN EN INGENIERA

    EN ESTADOS UNIDOS601

    Crditos de las fotografas 603ndice analtico 605Respuestas a problemas 615

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  • xiv

    Prefacio

    OBJETIVOSEl ob je ti vo prin ci pal de un pri mer cur so de me c ni ca de be ser de sa -rro llar en el es tu dian te de in ge nie ra la ca pa ci dad de ana li zar cual -quier pro ble ma en for ma l gi ca y sen ci lla, y la de apli car pa ra su so -lu cin unos cuan tos prin ci pios b si cos per fec ta men te com pren di dos.Se es pe ra que es te tex to, di se a do pa ra un pri mer cur so de es t ti ca,as como el libro complementario, Mecnica vectorial para ingenieros:Dinmica, permitirn que el pro fe sor al can ce es te ob je ti vo.

    ENFOQUE GENERALEn la parte inicial del texto se introduce el anlisis vectorial, el cualse utiliza en la presentacin y exposicin de los principios funda-mentales de la mecnica. Los mtodos vectoriales se usan tambinpara resolver diversos problemas, especialmente en tres dimensiones,donde estas tcnicas permiten obtener la solucin de un modo msconciso y simple. Sin embargo, el nfasis del libro se mantiene en el correcto aprendizaje de los principios de la mecnica y su aplica-cin para resolver problemas de ingeniera, por lo que el anlisis vectorial se presenta, primordialmente, como una herramienta prc-tica.

    Se in tro du cen apli ca cio nes prc ti cas des de una eta pa ini -cia l. U na de las ca rac te rs ti cas del en fo que usa do en es tos to mos esque la me c ni ca de par t cu las se ha se pa ra do en for ma cla ra de la me -c ni ca de cuer pos r gi dos. Es te en fo que ha ce po si ble con si de rar apli -ca cio nes prc ti cas sim ples en una eta pa ini cial y pos po ner la in tro -duc cin de los con cep tos ms avan za dos. Por ejem plo:

    En Esttica, la esttica de partculas se estudia primero (captulo2), despus de haber presentado las reglas para la suma y restade vectores, y el principio de equilibrio de una partcula se aplicainmediatamente a situaciones prcticas que involucran slofuerzas concurrentes. La esttica de cuerpos rgidos se consideraen los captulos 3 y 4. En el captulo 3 se introducen los produc-tos escalar y vectorial de dos vectores y se utilizan para definir elmomento de una fuerza con respecto a un punto y a un eje. La

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  • xvPrefaciopresentacin de estos nuevos conceptos es seguida por la exposi-cin rigurosa y completa de los sistemas de fuerzas equivalentesque conducen, en el captulo 4, a muchas aplicaciones prcticasque involucran el equilibrio de cuerpos rgidos bajo la accin desistemas generales de fuerzas.

    En Di n mi ca se ob ser va la mis ma di vi sin. Se in tro du cen los con -cep tos b si cos de fuer za, ma sa y ace le ra cin, de tra ba jo y ener -ga, y de im pul so y mo men tum, y se apli can en pri me ra ins tan ciaa la re so lu cin de pro ble mas que s lo in vo lu cran par t cu las. Dees ta for ma, los es tu dian tes pue den fa mi lia ri zar se por s mis moscon los tres m to dos b si cos uti li za dos en di n mi ca, y apren dersus res pec ti vas ven ta jas an tes de en fren tar las di fi cul ta des aso cia -das con el mo vi mien to de cuer pos r gi dos.

    Los con cep tos nue vos se pre sen tan en tr mi nos sim ples .Co mo es te tex to es t di se a do pa ra un pri mer cur so so bre es t ti ca,los con cep tos nue vos se pre sen tan en tr mi nos sim ples y ca da pa sose ex pli ca en for ma de ta lla da. Por otro la do, es te en fo que al can za unama du rez de fi ni ti va al ana li zar los as pec tos ms re le van tes de los pro -ble mas con si de ra dos, y al am pliar los m to dos de apli ca bi li dad ge ne -ral. Por ejem plo, los con cep tos de res tric cio nes par cia les y de in de -ter mi na cin es t ti ca se in tro du cen al prin ci pio del tex to pa ra serusa dos en to do el li bro.

    Los prin ci pios fun da men ta les se ubi can en el con tex to deapli ca cio nes sim ples. Se en fa ti za el he cho de que la me c ni ca es,esen cial men te, una cien cia de duc ti va que se ba sa en al gu nos prin ci -pios fun da men ta les. Las de ri va cio nes se pre sen tan si guien do su se -cuen cia l gi ca y con to do el ri gor re que ri do a es te ni vel. Sin em bar -go, en vir tud de que el pro ce so de apren di za je es pri mor dial men tein duc ti vo, las apli ca cio nes ms sim ples se con si de ran pri me ro. Porejem plo:

    La es t ti ca de par t cu las an te ce de a la es t ti ca de cuer pos r gi dos,y los pro ble mas que in vo lu cran fuer zas in ter nas se pos po nen has -ta el ca p tu lo 6.

    En el ca p tu lo 4 se con si de ran pri me ro los pro ble mas de equi li -brio que in vo lu cran s lo a fuer zas co pla na res, y se re suel ven porme dio del l ge bra or di na ria, mien tras que los pro ble mas que in -vo lu cran fuer zas tri di men sio na les, los cua les re quie ren el usocom ple to del l ge bra vec to rial, se ex po nen en la se gun da par tede di cho ca p tu lo.

    Se em plean dia gra mas de cuer po li bre pa ra re sol ver pro -ble mas de equi li brio y ex pre sar la equi va len cia de sis te mas defuer zas. Los dia gra mas de cuer po li bre se in tro du cen al prin ci pioy se en fa ti za su im por tan cia a lo lar go de to do el tex to. No s lo se em -plean pa ra re sol ver pro ble mas de equi li brio si no tam bin pa ra ex pre -sar la equi va len cia de dos sis te mas de fuer zas o, de mo do ms ge ne -ral, de dos sis te mas de vec to res. La ven ta ja de es te en fo que se vuel veevi den te en el es tu dio de la di n mi ca de cuer pos r gi dos, don de seuti li za pa ra re sol ver pro ble mas tri di men sio na les y bi di men sio na les. Sepu do lo grar una com pren sin ms in tui ti va y com ple ta de los prin ci -

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  • pios fun da men ta les de la di n mi ca al po ner ma yor n fa sis en las ecua -cio nes de dia gra mas de cuer po li bre en lu gar de en las ecua cio nesal ge brai cas es tn dar de mo vi mien to. Es te en fo que, in tro du ci do en1962 en la pri me ra edi cin de Me c ni ca vec to rial pa ra in ge nie ros, haob te ni do has ta la fe cha una am plia acep ta cin en tre los pro fe so res deme c ni ca en Es ta dos Uni dos. Por tan to, pa ra la re so lu cin de to doslos pro ble mas re suel tos de es te li bro, se pre fie re su uti li za cin en lu -gar del m to do de equi li brio di n mi co y de las ecua cio nes de mo vi -mien to.

    Se uti li zan pre sen ta cio nes en dis tin tos to nos pa ra dis tin -guir los vec to res. El co lor se ha usa do no s lo pa ra me jo rar la ca -li dad de las ilus tra cio nes, si no tam bin pa ra ayu dar a los es tu dian tesa dis tin guir en tre los di ver sos ti pos de vec to res que pue den en con -trar. En vir tud de que no ha ba in ten cin de es ta ble cer un c di go deco lor pa ra el tex to, en un ca p tu lo da do se uti li za el mis mo co lor pa -ra re pre sen tar el mis mo ti po de vec tor. Por ejem plo, a lo lar go del to -mo de Es t ti ca, el ro jo se uti li za en for ma ex clu si va pa ra re pre sen tarfuer zas y pa res, mien tras que los vec to res de po si cin se mues tran enazul y las di men sio nes en ne gro. Es to vuel ve ms f cil pa ra los es tu -dian tes iden ti fi car las fuer zas que ac tan so bre una par t cu la o cuer -po r gi do da dos y com pren der los pro ble mas re suel tos y otros ejem -plos pro por cio na dos en el li bro.

    Se man tie ne, en for ma con sis ten te, un cui da do so ba lan ceen tre las uni da des SI y uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni -dos . De bi do a la ten den cia que exis te en la ac tua li dad en el go bier -no y la in dus tria es ta dou ni den ses de adop tar el Sis te ma In ter na cio nalde Uni da des (uni da des m tri cas SI), las uni da des SI que se usan conma yor fre cuen cia en me c ni ca se in tro du cen en el ca p tu lo 1 y se em -plean en to do el li bro. Apro xi ma da men te la mi tad de los pro ble masre suel tos y 60 por cien to de los pro ble mas de ta rea es tn plan tea dosen es te sis te ma de uni da des, mien tras que el res to se pro por cio na enlas uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos. Los au to res creen quees te en fo que es el que se ade cua r me jor a las ne ce si da des de los es -tu dian tes, quie nes, co mo in ge nie ros, ten drn que do mi nar los dos sis -te mas de uni da des.

    Tam bin se de be re co no cer que el uso de am bos sis te mas de uni -da des sig ni fi ca ms que apli car fac to res de con ver sin. Co mo el sis -te ma de uni da des SI es ab so lu to ba sa do en el tiem po, la lon gi tud y lama sa, mien tras que el sis te ma in gls es un sis te ma gra vi ta cio nal ba -sa do en el tiem po, la lon gi tud y la fuer za, se re quie ren di fe ren tes en -fo ques pa ra la so lu cin de mu chos pro ble mas. Por ejem plo, cuan dose usan las uni da des SI, por lo ge ne ral, un cuer po se es pe ci fi ca me -dian te su ma sa ex pre sa da en ki lo gra mos; en la ma yo r parte de los pro -ble mas de es t ti ca se r ne ce sa rio de ter mi nar el pe so del cuer po ennew tons, pa ra lo cual se re quie re un cl cu lo adi cio nal. Por otro la do,cuan do se apli can las uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos, uncuer po se es pe ci fi ca me dian te su pe so en li bras y, en pro ble mas dedi n mi ca, se re que ri r un cl cu lo adi cio nal pa ra de ter mi nar su ma saen slugs (o lb . s2/ft). Por tan to, los au to res creen que los pro ble masque se les asig nen a los es tu dian tes de ben in cluir am bos sis te mas deuni da des.

    xvi Prefacio

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  • xviiPrefacioEn las secciones opcionales se tratan temas avanzados oespecializados. En el libro se incluye un gran nmero de seccionesopcionales identificadas mediante asteriscos y, por tanto, se distinguenfcilmente de aquellas que constituyen la parte fundamental de uncurso bsico de esttica. Estas secciones pueden omitirse sin perju-dicar la comprensin del resto del texto.

    En tre los te mas cu bier tos en las sec cio nes adi cio na les se en cuen -tran la re duc cin de un sis te ma de fuer zas a una lla ve de tor sin, apli -ca cio nes a hi dros t ti ca, dia gra mas de fuer za cor tan te y mo men to flec -tor, equi li brio de ca bles, pro duc tos de iner cia y cr cu lo de Mohr, lade ter mi na cin de los ejes prin ci pa les y mo men tos de iner cia de uncuer po en for ma ar bi tra ria, y el m to do del tra ba jo vir tual. Las sec -cio nes so bre vi gas son es pe cial men te ti les cuan do el cur so de es t -ti ca es se gui do in me dia ta men te por un cur so de me c ni ca de ma te -ria les, mien tras que las par tes que tra tan acer ca de las pro pie da desde iner cia de cuer pos tri di men sio na les fue ron pen sa das pri mor dial -men te pa ra los es tu dian tes que des pus es tu dia rn, en di n mi ca, elmo vi mien to tri di men sio nal de cuer pos r gi dos.

    El material presentado en el libro y la mayor parte de los pro-blemas no requieren conocimiento matemtico previo superior al l-gebra, la trigonometra y el clculo elemental; todos los conocimien-tos de lgebra elemental necesarios para comprender el texto sepresentan con detalle en los captulos 2 y 3. En general, se pone mayornfasis en la comprensin adecuada de los conceptos matemticosbsicos incluidos que en la manipulacin de frmulas matemticas. Alrespecto, se debe mencionar que la determinacin de los centroidesde reas compuestas precede al clculo de centroides por integracin,lo cual posibilita establecer firmemente el concepto de momento deun rea antes de introducir el uso de integrales.

    ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOSY CARACTERSTICAS PEDAGGICASIn tro duc cin del ca p tu lo. Ca da ca p tu lo co mien za con una in tro -duc cin que es ta ble ce el pro p si to y los ob je ti vos del mis mo, y endon de se des cri be en tr mi nos sen ci llos el ma te rial que se r cu bier -to y sus apli ca cio nes en la re so lu cin de pro ble mas de in ge nie ra. Losli nea mien tos del ca p tu lo pro por cio nan a los es tu dian tes una vi sinpre via de los t pi cos que s te in clu ye.

    Lec cio nes en el ca p tu lo. El cuer po del tex to es t di vi di do enuni da des, ca da una de las cua les con sis te en una o ms sec cio nes deteo ra, uno o va rios pro ble mas re suel tos, y una gran can ti dad de pro -ble mas de ta rea. Ca da uni dad co rres pon de a un te ma bien de fi ni doque, por lo ge ne ral, pue de ser cu bier to en una lec cin. Sin em bar go,en cier tos ca sos el pro fe sor en con tra r que es de sea ble de di car msde una lec cin a un t pi co en par ti cu lar.

    Pro ble mas re suel tos . Los pro ble mas re suel tos se plan tean dema ne ra muy si mi lar a la que usa rn los es tu dian tes cuan do re suel vanlos pro ble mas que se les asig nen. Por tan to, es tos pro ble mas cum plenel do ble pro p si to de am pliar el tex to y de mos trar la for ma de tra ba -

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  • jo cla ra y or de na da que los es tu dian tes de ben cul ti var en sus pro piasso lu cio nes.

    Re so lu cin de pro ble mas en for ma in de pen dien te. En tre lospro ble mas re suel tos y los de ta rea, pa ra ca da lec cin se in clu ye una sec -cin ti tu la da Re so lu cin de pro ble mas en for ma in de pen dien te. El pro -p si to de es tas sec cio nes es ayu dar a los es tu dian tes a or ga ni zar men tal -men te la teo ra ya cu bier ta en el tex to y los m to dos de re so lu cin de lospro ble mas re suel tos, de ma ne ra que pue dan re sol ver con ma yor xi tolos pro ble mas de ta rea. Ade ms, en es tas sec cio nes tam bin se in clu yensu ge ren cias y es tra te gias es pe c fi cas que les per mi ti rn en fren tar de ma -ne ra ms efi cien te cual quier pro ble ma que se les asig ne.

    Se ries de pro ble mas de ta rea . La ma yo ra de los pro ble masson de na tu ra le za prc ti ca y de ben lla mar la aten cin del es tu dian tede in ge nie ra. Sin em bar go, es tn di se a dos pa ra ilus trar el ma te rialpre sen ta do en el tex to y pa ra ayu dar a los es tu dian tes a com pren derlos prin ci pios de la me c ni ca. Los pro ble mas se han agru pa do deacuer do con las par tes del ma te rial que ilus tran y se pre sen tan en or -den de di fi cul tad cre cien te. Los pro ble mas que re quie ren aten cines pe cial es tn se a la dos con as te ris cos. Al fi nal del tex to se pro por cio -nan las res pues tas co rres pon dien tes a 70 por cien to de los pro ble maspro pues tos; y aque llos pa ra los cua les no se da res pues ta se in di can enel li bro es cri bien do su n me ro en cur si vas.

    Re pa so y re su men del ca p tu lo . Ca da ca p tu lo fi na li za conun re pa so y un re su men del ma te rial cu bier to en el mis mo. Las no tasal mar gen se uti li zan pa ra ayu dar al es tu dian te a or ga ni zar su tra ba jode re vi sin, ade ms se han in clui do re fe ren cias cru za das pa ra ayu dar -los a en con trar las par tes de ma te rial que re quie ren aten cin es pe cial.

    Pro ble mas de re pa so. Al fi nal de ca da ca p tu lo se in clu ye ungru po de pro ble mas de re pa so. Es tos pro ble mas pro por cio nan a loses tu dian tes una opor tu ni dad adi cio nal de apli car los con cep tos msim por tan tes pre sen ta dos en el ca p tu lo.

    Pro ble mas de com pu ta do ra . Ca da ca p tu lo in clu ye un gru pode pro ble mas di se a dos pa ra ser re suel tos me dian te pro gra mas decom pu ta do ra. Mu chos de es tos pro ble mas son im por tan tes pa ra elpro ce so de di se o. En es t ti ca, por ejem plo, pue den im pli car el an -li sis de una es truc tu ra pa ra di fe ren tes con fi gu ra cio nes y car gas o la de -ter mi na cin de las po si cio nes de equi li brio de un me ca nis mo quepue de re que rir un m to do ite ra ti vo de so lu cin. El de sa rro llo del al -go rit mo ne ce sa rio pa ra re sol ver un pro ble ma de me c ni ca da do be ne -fi cia r a los es tu dian tes en dos for mas di fe ren tes: 1) les ayu da r a lo -grar una me jor com pren sin de los prin ci pios de la me c ni ca in vo lu -cra dos; 2) les pro por cio na r la opor tu ni dad de apli car sus ha bi li da descon la com pu ta do ra pa ra en con trar la so lu cin de un pro ble ma re le -van te de in ge nie ra.

    MATERIALES DE APOYO

    Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen losprocesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de stos,

    xviii Prefacio

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  • xixPrefaciomismos que se otorgan a profesores que adoptan este texto para suscursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entregade estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

    CONEXIN CON LA INGENIERA DE McGRAW-HILLLa conexin de McGraw-Hill con la ingeniera (McGraw-Hill Con-nect Engineering) es una plataforma de tareas y evaluacin que pro-porciona a los estudiantes los medios para conectarse de mejor ma-nera con su curso, sus profesores y los conceptos importantes quenecesitarn conocer para su xito en la actualidad y en el futuro. Me-diante la Conexin con la Ingeniera, los profesores pueden entregarcon facilidad tareas, tests y exmenes en lnea. Los estudiantes pue-den practicar habilidades importantes a su propio ritmo y de acuerdocon su propio programa.

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    OPCIONES DE LIBRO ELECTRNICOLos libros electrnicos son una forma innovadora de ahorrarle dineroa los estudiantes y al mismo tiempo crear un medio ambiente msverde. Un libro electrnico puede ahorrarles a los estudiantes cercade la mitad del costo de un libro de texto tradicional y ofrece carac-tersticas nicas como un poderoso dispositivo de bsqueda, texto re-saltado y la capacidad de compartir notas con compaeros de claseque usan libros electrnicos.

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    AGRADECIMIENTOSLos autores desean agradecer de manera especial a Amy Mazurek delWilliams Memorial Institute que verific las soluciones y respuestasde todos los problemas de esta edicin y despus prepar las solu-ciones del Manual para el instructor y de soluciones adicional al texto;Yohannes Ketema de la University of Minnesota; David Oglesby dela University of Missouri-Rolla; y Daniel W. Yannitell de la LousianaState University.

    Es un placer reconocer el trabajo de Dennis Ormond de FineLine Illustrations por las artsticas ilustraciones que contribuyen engran medida a la efectividad del texto.

    Los autores agradecen a las diferentes compaas que propor-cionaron fotografas para esta edicin. Tambin desean reconocer elesfuerzo determinado y la paciencia de Sabina Dowell, quien selec-cion las fotografas.

    Un agradecimiento tambin a los miembros de la organizacin deMcGraw-Hill por su apoyo y dedicacin durante la preparacin de

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  • xx Prefacio esta nueva edicin. En particular se agradecen las contribuciones deleditor responsable Bill Stenquist, la editora de desarrollo Lora Neyensy la gerente de proyecto Sheila Frank.

    Por ltimo, los autores desean expresar su gratitud por los nu-merosos comentarios y sugerencias que han sido proporcionados porlos usuarios de las ediciones anteriores de Mecnica vectorial para in-genieros.

    E. Russell Johnston, Jr.David F. MazurekElliot R. Eisenberg

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  • xxi

    Lista de smbolos

    a Constante; radio; distanciaA, B, C, . . . Reacciones en apoyos y unionesA, B, C, . . . Puntos

    A reab Ancho; distanciac Constante

    C Centroided Distanciae Base de logaritmos naturalesF Fuerza; fuerza de friccing Aceleracin de la gravedad

    G Centro de gravedad; constante de gravitacinh Altura; flecha de un cable

    i, j, k Vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenadosI, Ix, . . . Momentos de inercia

    I Momento de inercia centroidal Ixy, . . . Productos de inercia

    J Momento polar de inerciak Constante de un resorte

    kx, ky, kO Radios de girok Radios de giro centroidal l Longitud

    L Longitud; clarom MasaM Momento par

    MO Momento con respecto al punto OMOR Momento resultante con respecto al punto O

    M Magnitud de un par o de un momento;masa de la Tierra

    MOL Momento con respecto al eje OLN Componente normal de una reaccinO Origen de coordenadasp PresinP Fuerza; vectorQ Fuerza; vectorr Vector de posicinr Radio; distancia; coordenada polar

    R Fuerza resultante; vector resultante; reaccin

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  • R Radio de la Tierras Vector de posicins Longitud de arco; longitud de un cableS Fuerza; vectort Espesor

    T FuerzaT TensinU TrabajoV Producto vectorial; fuerza constanteV Volumen; energa potencial; cortantew Carga por unidad de longitud

    W, W Peso; cargax, y, z Coordenadas rectangulares; distanciasx, y, z Coordenadas rectangulares del centroide

    o centro de gravedad, , ngulos

    Peso especfico Elongacinr Desplazamiento virtualU Trabajo virtual Vector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia Coordenada angular; ngulo; coordenada polar Coeficiente de friccin

    Densidad ngulo de friccin; ngulo

    xxii Lista de smbolos

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  • MECNICA VECTORIALPARA INGENIEROS

    Esttica

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  • A finales del siglo XVII, Sir Isaac Newton estable-ci los principios fundamentales de la mecni-ca, los cuales constituyen la base de gran partede la ingeniera moderna.

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  • 1 1CAP TULO

    Introduccin

    1

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  • CAPTULO 1 INTRODUCCIN

    1.1 Qu es la mecnica?1.2 Conceptos y principios

    fundamentales1.3 Sistemas de unidades1.4 Conversin de un sistema de

    unidades a otro1.5 Mtodo para la solucin de

    problemas1.6 Exactitud numrica

    1.1. QU ES LA MECNICA?La me c ni ca se pue de de fi nir co mo la cien cia que des cri be y pre di celas con di cio nes de re po so o mo vi mien to de los cuer pos ba jo la ac cinde fuer zas. Se di vi de en tres par tes: la me c ni ca de cuer pos r gi dos, lame c ni ca de cuer pos de for ma bles y la me c ni ca de flui dos.

    La me c ni ca de cuer pos r gi dos se sub di vi de en es t ti ca y di n mi -ca; la pri me ra es tu dia los cuer pos en re po so y la se gun da los cuer pos enmo vi mien to. En es ta par te del es tu dio de la me c ni ca se su po ne que loscuer pos son per fec ta men te r gi dos. Sin em bar go, las es truc tu ras y lasm qui nas rea les nun ca lo son y se de for man ba jo las car gas a las que es tn so me ti das. Es tas de for ma cio nes ca si siem pre son pe que as y noafec tan de ma ne ra apre cia ble las con di cio nes de equi li brio o de mo vi -mien to de la es truc tu ra en con si de ra cin. Pe ro son im por tan tes cuan dose tie ne en cuen ta la re sis ten cia de la es truc tu ra a las fa llas y se es tu dianen la me c ni ca de ma te ria les, que es una par te de la me c ni ca de cuer -pos de for ma bles. La ter ce ra par te de la me c ni ca, la de flui dos, se sub -di vi de en el es tu dio de los flui dos in com pre si bles y el de los flui dos com -pre si bles. La hi dru li ca es una sub di vi sin im por tan te en el es tu dio delos flui dos in com pre si bles y tra ta pro ble mas re la ti vos a los l qui dos.

    La me c ni ca es una cien cia f si ca pues to que es tu dia fe n me nos f -si cos. Sin em bar go, al gu nos la aso cian con las ma te m ti cas, mien tras queotros la con si de ran un te ma de in ge nie ra. Am bos pun tos de vis ta se jus -ti fi can par cial men te. La me c ni ca es la ba se de la ma yo ra de las cien -cias de la in ge nie ra y es un re qui si to in dis pen sa ble pa ra es tu diar las. Sinem bar go, no tie ne el ca rc ter em p ri co pro pio de al gu nas cien cias de lain ge nie ra, es de cir, no se ba sa s lo en la ex pe rien cia u ob ser va cin; porsu ri gor y la im por tan cia que da al ra zo na mien to de duc ti vo se pa re ce alas ma te m ti cas. Pe ro tam po co es una cien cia abs trac ta, ni si quie ra unacien cia pu ra; es una cien cia apli ca da. Su pro p si to es ex pli car y pre de -cir los fe n me nos f si cos y po ner las ba ses pa ra apli car las en in ge nie ra.

    1.2. CONCEPTOS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALESAun que el es tu dio de la me c ni ca se re mon ta a los tiem pos de Aris t -te les (384-322 a.C.) y de Ar qu me des (287-212 a.C.), se tu vo que es -pe rar has ta New ton (1642-1727) pa ra en con trar una for mu la cin sa tis -fac to ria de sus prin ci pios fun da men ta les, los cua les fue ron ex pre sa dosdes pus en for ma mo di fi ca da por dA lem bert, La gran ge y Ha mil ton.Su va li dez per ma ne ci in c lu me has ta que Eins tein for mu l su teo rade la re la ti vi dad (1905). Si bien aho ra se han re co no ci do las li mi ta cio -nes de la me c ni ca new to nia na, s ta an es la ba se de las ac tua les cien -cias de la in ge nie ra.

    Los con cep tos b si cos que se em plean en la me c nia son es pa cio,tiem po, ma sa y fuer za. Es tos con cep tos no pue den ser de fi ni dos en for -ma exac ta; de ben acep tar se so bre las ba ses de nues tra in tui cin y ex -pe rien cia y em plear se co mo un mar co de re fe ren cia men tal en el es -tu dio de la me c ni ca.

    El con cep to de es pa cio se aso cia con la no cin de po si cin de unpun to P. La po si cin de s te pue de de fi nir se por tres lon gi tu des me -di das des de cier to pun to de re fe ren cia u ori gen, en tres di rec cio nes da -das. Es tas lon gi tu des se re co no cen co mo coor de na das de P.

    Para definir un evento, no es suficiente con indicar su posicin enel espacio sino que debe darse tambin el tiempo del evento.

    El con cep to de ma sa tie ne la fun cin de ca rac te ri zar y com pa rarlos cuer pos con ba se en cier tos ex pe ri men tos me c ni cos fun da men ta -

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  • les. Por ejem plo, dos cuer pos que ten gan la mis ma ma sa se ran atra -dos por la Tie rra de igual for ma; tam bin pre sen ta rn la mis ma re sis -ten cia a un cam bio en su mo vi mien to tras la cio nal.

    Una fuer za re pre sen ta la ac cin de un cuer po so bre otro y pue deejer cer se por con tac to real o a dis tan cia, co mo en el ca so de las fuer -zas gra vi ta cio na les y mag n ti cas. Una fuer za se ca rac te ri za por su pun -to de apli ca cin, mag ni tud y di rec cin y se re pre sen ta con un vec tor(sec cin 2.3).

    En la me c ni ca new to nia na, es pa cio, tiem po y ma sa son con cep -tos ab so lu tos e in de pen dien tes en tre s (es to no es as en la me c ni care la ti vis ta, don de el tiem po de un even to de pen de de su po si cin y lama sa de un cuer po va ra con su ve lo ci dad). Por otra par te, el con cep -to de fuer za no es in de pen dien te de los otros tres. En rea li dad, uno delos prin ci pios fun da men ta les de la me c ni ca new to nia na, que se enun -cian ms adelante, in di ca que la fuer za re sul tan te que ac ta so bre uncuer po se re la cio na con la ma sa de s te y con la for ma en que va ra suve lo ci dad en el tiem po.

    Se es tu dia rn las con di cio nes de re po so o mo vi mien to de par t cu -las y cuer pos r gi dos a par tir de los cua tro prin ci pios b si cos que se hanex pues to. Por par t cu la se en tien de una pe que si ma can ti dad de ma -te ria que ocu pa un pun to en el es pa cio. Un cuer po r gi do es la com bi -na cin de un gran n me ro de par t cu las que ocu pan po si cio nes fi jasen tre s. El es tu dio de la me c ni ca de las par t cu las es un re qui si to pre -vio al de los cuer pos r gi dos. Ade ms, los re sul ta dos ob te ni dos pa ra unapar t cu la pue den usar se di rec ta men te en mu chos pro ble mas que tra -tan de las con di cio nes de re po so o mo vi mien to de cuer pos rea les.

    El es tu dio de la me c ni ca ele men tal des can sa so bre seis prin ci piosfun da men ta les ba sa dos en la evi den cia ex pe ri men tal.

    La ley del pa ra le lo gra mo pa ra la adi cin de fuer za s. Es ta -ble ce que dos fuer zas que ac tan so bre una par t cu la pue den ser sus ti -tui das por una so la fuer za lla ma da re sul tan te, que se ob tie ne al tra zarla dia go nal del pa ra le lo gra mo que tie ne los la dos igua les a las fuer zasda das (sec cin 2.2).

    El prin ci pio de trans mi si bi li da d. Es ta ble ce que las con di cio -nes de equi li brio o de mo vi mien to de un cuer po r gi do per ma ne ce rninal te ra das si una fuer za que ac ta en un pun to del cuer po r gi do sesus ti tu ye por una fuer za de la mis ma mag ni tud y la mis ma di rec cin,pe ro que ac te en un pun to di fe ren te, siem pre que las dos fuer zas ten -gan la mis ma l nea de ac cin (sec cin 3.3).

    Las tres le yes fun da men ta les de New ton . Fue ron for mu la -das por Sir Isaac New ton a fi na les del si glo XVII y pue den enun ciar seco mo si gue:

    PRI ME RA LEY . Si la fuer za re sul tan te que ac ta so bre una par -t cu la es ce ro, la par t cu la per ma ne ce r en re po so (si ori gi nal men te es -ta ba en re po so) o se mo ve r con ve lo ci dad cons tan te en l nea rec ta (siori gi nal men te es ta ba en mo vi mien to) (sec cin 2.10).

    SE GUN DA LEY . Si la fuer za re sul tan te que ac ta so bre una par -t cu la no es ce ro, la par t cu la ten dr una ace le ra cin pro por cio nal a lamag ni tud de la re sul tan te y en la di rec cin de s ta.

    Co mo se ve r en la sec cin 12.2 es ta ley pue de ex pre sar se as

    F ma (1.1)

    1.2. Conceptos y principios fundamentales 3

    La alusin a la seccin 11 y posteriores corresponde al tomo Dinmica, del mismo autor.

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  • 4 Introduccin don de F, m y a re pre sen tan, res pec ti va men te, la fuer za re sul tan te queac ta so bre la par t cu la, la ma sa de s ta y la ace le ra cin de la mis ma,ex pre sa das en un sis te ma consistente de uni da des.

    TER CE RA LEY . Las fuer zas de ac cin y reac cin de cuer pos encon tac to tie nen la mis ma mag ni tud, la mis ma l nea de ac cin y sen ti -dos opues tos (sec cin 6.1).

    La ley de gra vi ta cin de New to n. Es ta ble ce que dos par t cu -las de ma sa M y m se atraen mu tua men te con fuer zas igua les y opues -tas F y F (fi gu ra 1.1), de mag ni tud F da da por la fr mu la

    F G (1.2)

    donde r la distancia entre las dos partculasG la constante universal llamada constante de gravitacin

    La ley de gra vi ta cin de New ton in tro du ce la idea de una ac cin ejer -ci da a dis tan cia y ex tien de el al can ce de apli ca cin de la ter ce ra ley: laac cin F y la reac cin F en la fi gu ra 1.1 son igua les y opues tas y tie -nen la mis ma l nea de ac cin.

    Un ca so de gran im por tan cia es el de la atrac cin que la Tie rra ejer -ce so bre una par t cu la si tua da en su su per fi cie. La fuer za F ejer ci da porla Tie rra so bre la par t cu la se de fi ne co mo el pe so W de la par t cu la. To -man do M igual a la ma sa de la Tie rra, m igual a la ma sa de la par t cu la,y r igual al ra dio R de la Tie rra e in tro du cien do la cons tan te

    g (1.3)

    la mag ni tud W del pe so de una par t cu la de ma sa m pue de ex pre sar- se co mo

    W mg (1.4)

    El va lor de R en la f rmu la (1.3) de pen de de la ele va cin del pun tocon si de ra do; tam bin de pen de de su la ti tud, pues to que la Tie rra noes real men te es f ri ca. As que el va lor de g va ra con la po si cin delpun to en cues tin. Mien tras el pun to per ma nez ca so bre la su per fi ciede la Tie rra, en la ma yo ra de los cl cu los de in ge nie ra es su fi cien te -men te pre ci so su po ner que g es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2.

    Los prin ci pios que se aca ban de enun ciar se irn ex pli can do en elcur so del es tu dio de la me c ni ca con for me sea ne ce sa rio. El es tu diode la es t ti ca de par t cu las se rea li za en el ca p tu lo 2 y se ba sa s lo enla ley del pa ra le lo gra mo pa ra la adi cin y en la pri me ra ley de New -ton. El prin ci pio de trans mi si bi li dad se ex pon dr en el ca p tu lo 3, alco men zar el es tu dio de la es t ti ca de cuer pos r gi dos, y la ter ce ra leyde New ton se ex po ne en el ca p tu lo 6, cuan do se ana li cen las fuer zasejer ci das en tre los di fe ren tes ele men tos que for man una es truc tu ra. Enel es tu dio de la di n mi ca se in tro du ci rn la se gun da ley de New ton yla ley de gra vi ta cin. All se mos tra r que la pri me ra ley de New ton esun ca so par ti cu lar de la se gun da ley (sec cin 12.2), y que el prin ci piode trans mi si bi li dad po dra de ri var se de los otros prin ci pios y por lo mis -

    GMR2

    Mmr2

    Figura 1.1

    Una definicin ms precisa del peso W debe tomar en cuenta la rotacin de la Tierra.

    M

    F

    F

    m

    r

    Fotografa 1.1 Cuando estn en la rbitaterrestre, se dice que las personas y los objetosno tienen peso, aun cuando la fuerzagravitacional que acta sobre ellos esaproximadamente 90% de la que se experimentaen la superficie de la Tierra. Esta aparentecontradiccin se resolver en el captulo 12,cuando se aplica la segunda ley de Newton almovimiento de partculas.

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  • 1.3. Sistemas de unidades 5mo que dar eli mi na do (sec cin 16.5). Por aho ra, las pri me ra y ter ce rale yes de New ton, la ley del pa ra le lo gra mo pa ra la adi cin y el prin ci -pio de trans mi si bi li dad pro por cio na rn las ba ses ne ce sa rias y su fi cien -tes pa ra el es tu dio com ple to de la es t ti ca de par t cu las, de cuer pos r -gi dos y de sis te mas de cuer pos r gi dos.

    Co mo se di jo an tes, los seis prin ci pios fun da men ta les enun cia dosantes se ba san en la evi den cia ex pe ri men tal. A ex cep cin de la pri me raley de New ton y el prin ci pio de trans mi si bi li dad, to dos son prin ci pios in -de pen dien tes y no se pue den ob te ner ma te m ti ca men te de los de ms nide cual quier otro prin ci pio f si co ele men tal. En ellos des can sa la ma yorpar te de la in trin ca da es truc tu ra de la me c ni ca new to nia na. La apli ca -cin de es tos prin ci pios fun da men ta les ha per mi ti do re sol ver, por msde dos si glos, un gran n me ro de pro ble mas re la cio na dos con las con di -cio nes de re po so y mo vi mien to de cuer pos r gi dos, cuer pos de for ma blesy flui dos. Mu chas de las so lu cio nes ob te ni das pue den com pro bar se me -dian te ex pe ri men tos que pro por cio nan una ve ri fi ca cin ul te rior de losprin ci pios en que se ba sa ron. Fue s lo has ta el si glo pa sa do que se en -con tr que la me c ni ca de New ton tie ne de fi cien cias en el es tu dio delmo vi mien to de los to mos y en el de cier tos pla ne tas, y que de be com -ple men tar se con la teo ra de la re la ti vi dad. Pe ro en la es ca la hu ma na oen la es ca la de la in ge nie ra, don de las ve lo ci da des son mu cho ms pe -que as que la ve lo ci dad de la luz, la me c ni ca de New ton an no ha si -do re fu ta da.

    1.3. SISTEMAS DE UNIDADESCon los cua tro con cep tos fun da men ta les in tro du ci dos en la sec cin an -te rior se aso cian las lla ma das uni da des ci n ti cas, es de cir, las uni da desde lon gi tud, tiem po, ma sa y fuer za. Es tas uni da des no pue den es co ger -se de ma ne ra in de pen dien te si la ecua cin (1.1) ha de sa tis fa cer se. Tresde ellas pue den de fi nir se en for ma ar bi tra ria; se les lla ma uni da des b -si cas. La cuar ta uni dad, en cam bio, de be es co ger se de acuer do con laecua cin (1.1) y se le iden ti fi ca co mo uni dad de ri va da. Se di ce que lasuni da des ci n ti cas as se lec cio na das for man un sis te ma consistente deuni da des.

    Sis te ma In ter na cio nal de Uni da des (Uni da des del SI). Enes te sis te ma, que se r de uso uni ver sal cuan do Es ta dos Uni dos com -ple te su con ver sin, las uni da des b si cas son las de lon gi tud, ma sa ytiem po, y se lla man, res pec ti va men te, me tro (m), ki lo gra mo (kg) y se -gun do (s). Las tres es tn de fi ni das de ma ne ra ar bi tra ria. El se gun do,que de ma ne ra ori gi nal se eli gi pa ra re pre sen tar 1/86 400 del da so -lar me dio, se de fi ne aho ra co mo la du ra cin de 9 192 631 770 ci closde la ra dia cin emi ti da en la tran si cin en tre dos ni ve les del es ta dofun da men tal del to mo de ce sio-133. El me tro, de fi ni do en for ma ori -gi nal co mo la diez mi llo n si ma par te de la dis tan cia del ecua dor a unpo lo, se de fi ne aho ra co mo 1 650 763.73 lon gi tu des de on da de la lu zna ran ja-ro ja co rres pon dien te a cier ta tran si cin en un to mo de crip -tn-86. El ki lo gra mo, que es apro xi ma da men te igual a la ma sa de 0.001m3 de agua, se de fi ne co mo la ma sa de un pa trn de pla ti no-iri dio quese con ser va en la Ofi ci na In ter na cio nal de Pe sos y Me di das en Sv res,cer ca de Pa rs, Fran cia. La uni dad de fuer za es una uni dad de ri va da yse lla ma new ton (N). Se le de fi ne co mo la fuer za que pro por cio na una

    SI significa Systme International dUnits (francs).

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  • 6 Introduccin ace le ra cin de 1 m/s2 a una ma sa de un ki lo gra mo (fi gu ra 1.2). A par -tir de la ecua cin (1.1) se es cri be

    1 N (1 kg)(1 m/s2) 1 kg m/s2 (1.5)

    Se di ce que las uni da des del SI for man un sis te ma ab so lu to de uni da -des; es to sig ni fi ca que las tres uni da des b si cas se lec cio na das son in -de pen dien tes del lu gar en don de se uti li cen las me di das. El me tro, elki lo gra mo y el se gun do se pue den usar en cual quier lu gar de la Tie rra;in clu so pue den usar se en otro pla ne ta y siem pre ten drn el mis mo sig -ni fi ca do.

    El pe so de un cuer po, o la fuer za de gra ve dad ejer ci da so bre l,de be ex pre sar se en new tons, co mo cual quier otra fuer za. De la ecua -cin (1.4) se ob tie ne que el pe so de un cuer po de ma sa 1 kg (fi gu ra1.3) es

    W mg (1 kg)(9.81 m/s2) 9.81 N

    Los ml ti plos y sub ml ti plos de las uni da des fun da men ta les del SIse pue den ob te ner con el uso de los pre fi jos que se de fi nen en la ta -bla 1.1. Los ml ti plos y sub ml ti plos de las uni da des de lon gi tud, ma -sa y fuer za de ma yor uso en in ge nie ra son, res pec ti va men te, el ki l -me tro (km) y el mi l me tro (mm); el me ga gra mo (Mg) y el gra mo (g);y el ki lo new ton (kN). De acuer do con la ta bla 1.1, se tie ne

    1 km 1 000 m 1 mm 0.001 m1 Mg 1 000 kg 1 g 0.001 kg

    1 kN 1 000 N

    La con ver sin de es tas uni da des a me tros, ki lo gra mos y new tons, res -pec ti va men te, pue de rea li zar se con s lo re co rrer el pun to de ci mal treslu ga res a la de re cha o a la iz quier da. Por ejem plo, pa ra con ver tir 3.82 km en me tros, se re co rre el pun to de ci mal tres lu ga res a la de re -cha:

    3.82 km 3 820 m

    En forma semejante, 47.2 mm se convierten en metros recorriendo elpunto decimal tres lugares a la izquierda:

    47.2 mm 0.0472 m

    Con el uso de la notacin cientfica, se puede escribir

    3.82 km 3.82 103 m47.2 mm 47.2 103 m

    Los mltiplos de la unidad de tiempo son el minuto (min) y la hora(h). Puesto que 1 min 60 s y 1 h 60 min 3 600 s, estos mlti-plos no pueden convertirse tan fcilmente como los otros.

    Con el uso del ml ti plo o sub ml ti plo ade cua do de cier ta uni dad,se pue de evi tar la es cri tu ra de n me ros muy gran des o muy pe que os.

    Figura 1.2

    Figura 1.3

    Tambin conocida como tonelada mtrica.

    a = 1 m/s2

    m = 1 kg F = 1 N

    a = 9.81 m/s2

    m = 1 kg

    W = 9.81 N

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  • 1.3. Sistemas de unidades 7

    Por ejem plo, por lo ge ne ral se es cri be 427.2 km en lu gar de 427 200m, y 2.16 mm en lu gar de 0.002 16 m.

    Uni da des de rea y vo lu men . La uni dad de rea es el me trocua dra do (m2), que re pre sen ta el rea de un cua dra do de 1 m de la -do; la uni dad de vo lu men es el me tro c bi co (m3), que es igual al vo -lu men de un cu bo de 1 m de la do. Pa ra evi tar va lo res nu m ri cos ex -ce si va men te pe que os o de ma sia do gran des en el cl cu lo de reas yvo l me nes, se usan sis te mas de su bu ni da des que se ob tie nen ele van -do, res pec ti va men te, al cua dra do y al cu bo no s lo el mi l me tro si notam bin dos sub ml ti plos in ter me dios del me tro, lla ma dos de c me tro(dm) y cen t me tro (cm). En ton ces, por de fi ni cin,

    1 dm 0.1 m 101 m1 cm 0.01 m 102 m

    1 mm 0.001 m 103 m

    los submltiplos de la unidad de rea son

    1 dm2 (1 dm)2 (101 m)2 102 m2

    1 cm2 (1 cm)2 (102 m)2 104 m2

    1 mm2 (1 mm)2 (103 m)2 106 m2

    y los submltiplos de la unidad de volumen son

    1 dm3 (1 dm)3 (101 m)3 103 m3

    1 cm3 (1 cm)3 (102 m)3 106 m3

    1 mm3 (1 mm)3 (103 m)3 109 m3

    Tabla 1.1. Prefijos del SIFactor multiplicativo Prefijo Smbolo

    1 000 000 000 000 1012 tera T1 000 000 000 109 giga G

    1 000 000 106 mega M1 000 103 kilo k

    100 102 hecto* h10 101 deca* da0.1 101 deci* d

    0.01 102 centi* c0.001 103 mili m

    0.000 001 106 micro 0.000 000 001 109 nano n

    0.000 000 000 001 1012 pico p0.000 000 000 000 001 1015 femto f

    0.000 000 000 000 000 001 1018 ato a

    *Debe evitarse el uso de estos prefijos, excepto en las medidas de reas y volmenes y parael uso no tcnico del centmetro, como en las medidas referentes a la ropa y al cuerpo.

    De be ob ser var se que cuan do se usan ms de cua tro d gi tos a am bos la dos del pun to de -ci mal pa ra ex pre sar una can ti dad en uni da des del SI (co mo en 427 200 m o en 0.002 16 m)de ben usar se es pa cios, no co mas, pa ra se pa rar los d gi tos en gru pos de tres. Es to es con el fin de evi tar con fu sio nes con la co ma, que se usa en mu chos pa ses en lu gar del pun to de -ci mal.

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  • 8 Introduccin De be no tar se que cuan do se mi de el vo lu men de un l qui do, el de c -me tro c bi co (dm3) se co no ce en for ma usual co mo un li tro (L).

    En la ta bla 1.2 se mues tran otras uni da des de ri va das del SI, quese usan pa ra me dir el mo men to de una fuer za, el tra ba jo de una fuer -za, et c. Aun que es tas uni da des se in tro du ci rn en ca p tu los pos te rio -res con for me se va yan ne ce si tan do, es ne ce sa rio des cri bir una re gla im -por tan te en es ta fa se: cuan do se ob tie ne una uni dad de ri va da con ladi vi sin de una uni dad b si ca en tre otra uni dad b si ca, de be usar se unpre fi jo en el nu me ra dor de la uni dad de ri va da pe ro no en su de no mi -na dor. Por ejem plo, la cons tan te k de un re sor te que se elon ga 20 mm ba jo una car ga de 100 N se ex pre sa r co mo

    k 5 000 N/m o k 5 kN/m

    pero nunca como k 5 N/mm.

    Uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos . La ma yo ra delos in ge nie ros prac ti can tes es ta dou ni den ses to da va uti li za un sis te ma enel que las uni da des b si cas son las uni da des de lon gi tud, fuer za y tiem po.Es tas uni da des son, res pec ti va men te, el pie (ft), la li bra (lb) y el se gun do(s). El se gun do es idn ti co a la co rres pon dien te uni dad del SI. El pie sede fi ne co mo 0.3048 m. La li bra se de fi ne co mo el pe so de un pa trn de pla ti no, lla ma do li bra es tn dar, que es t en el Na tio nal Ins ti tu te

    100 N0.020 m

    100 N20 mm

    Tabla 1.2. Principales unidades del SI usadas en mecnicaCantidad Unidad Smbolo FrmulaAceleracin Metro por segundo . . . m/s2

    al cuadradongulo Radin rad

    Aceleracin angular Radin por segundo . . . rad/s2

    al cuadradoVelocidad angular Radin por segundo . . . rad/srea Metro cuadrado . . . m2

    Densidad Kilogramo por . . . kg/m3

    metro cbicoEnerga Joule J N mFuerza Newton N kg m/s2

    Frecuencia Hertz Hz s1

    Impulso Newton-segundo . . . kg m/sLongitud Metro m

    Masa Kilogramo kg

    Momento de una fuerza Newton-metro . . . N mPotencia Watt W J/sPresin Pascal Pa N/m2

    Esfuerzo Pascal Pa N/m2

    Tiempo Segundo s

    Velocidad Metro por segundo . . . m/sVolumen

    Slidos Metro cbico . . . m3

    Lquidos Litro L 103 m3

    Trabajo Joule J N m

    Unidad suplementaria (1 revolucin 2 rad 360).Unidad bsica.

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  • 1.3. Sistemas de unidades 9of Stan dards and Tech no logy en las afue ras de Was hing ton, su ma sa es de 0.453 592 43 kg. Co mo el pe so de un cuer po de pen de de la atrac cingra vi ta cio nal de la Tie rra, la cual va ra con la ubi ca cin, se es pe ci fi ca que la li bra es tn dar de be es tar lo ca li za da al ni vel del mar y a una la- ti tud de 45 pa ra de fi nir en for ma apro pia da una fuer za de una li bra. Es cla ro que las uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos no for man un sis te ma de uni da des ab so lu to. Por su de pen den cia de la atrac cin gra vi ta cio nal de la Tie rra cons ti tu yen un sis te ma de uni da des gra vi ta- cio nal.

    Aun cuan do la li bra es tn dar se em plea tam bin co mo uni dad dema sa en tran sac cio nes co mer cia les en Es ta dos Uni dos, no pue de usar -se as en cl cu los de in ge nie ra, de bi do a que no se ra con sis ten te conlas uni da des b si cas de fi ni das en el apar ta do an te rior. De he cho, cuan -do una fuer za de 1 lb ac ta so bre la li bra es tn dar, es de cir, cu an do es -t su je ta a la gra ve dad, re ci be la ace le ra cin de la gra ve dad, g 32.2ft/s2 (fi gu ra 1.4), s ta no es la uni dad de ace le ra cin que se re quie rese gn la ecua cin (1.1). La uni dad de ma sa con sis ten te con el pie, lali bra y el se gun do es la ma sa que re ci be una ace le ra cin de 1 ft/s2 alapli cr se le una fuer za de 1 lb (fi gu ra 1.5). Es ta uni dad, al gu nas ve ceslla ma da slug, pue de de ri var se de la ecua cin F ma des pus de sus -ti tuir 1 lb y 1 ft/s2 pa ra F y a, res pec ti va men te. Se es cri be (1 slug 32.216).

    F ma 1 lb (1 slug)(1 ft/s2)

    y se obtiene

    1 slug 1 lb s2/ft (1.6)

    Com pa ran do las fi gu ras 1.4 y 1.5 se con clu ye que el slug es una ma sa32.2 ve ces ma yor que la ma sa de la li bra es tn dar.

    El he cho de que en el sis te ma de uso co mn en Es ta dos Uni dos,los cuer pos se ca rac te ri cen por su pe so en li bras en lu gar de por su ma -sa en slugs, se r ven ta jo so en el es tu dio de la es t ti ca, en don de se tra -ta r en for ma con ti nua con pe sos u otras fuer zas, y s lo en oca sio nescon ma sas. Sin em bar go, en el es tu dio de la di n mi ca, don de in ter vie -nen fuer zas, ma sas y ace le ra cio nes, la ma sa m de un cuer po se ex pre -sa r en slugs cuan do su pe so W es t da do en li bras. Re cor dan do laecua cin (1.4) se es cri be

    m (1.7)

    donde g es la aceleracin de la gravedad (g 32.2 ft/s2).Otras uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos que se pre sen -

    tan en for ma fre cuen te en pro ble mas de in ge nie ra son la mi lla (mi),igual a 5 280 ft; la pul ga da (in.), igual a 112 ft, y la ki lo li bra (kip), iguala una fuer za de 1 000 lb. La to ne la da se usa con fre cuen cia pa ra re -pre sen tar una ma sa de 2 000 lb pe ro, al igual que la li bra, de be con -ver tir se a slugs en los cl cu los de in ge nie ra.

    La con ver sin en pies, li bras y se gun dos de can ti da des ex pre sa dasen otras uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos, en for ma ge ne ra les ms com pli ca da y re quie re ma yor aten cin que la ope ra cin co rres -pon dien te en las uni da des del SI. Por ejem plo, si se da la mag ni tud de

    Wg

    1 lb1 ft/s2

    Figura 1.4

    Figura 1.5

    a = 1 ft /s2

    m = 1 slug(= 1 lb s2/ft)

    F = 1 lb

    a = 32.2 ft /s2

    m = 1 lb

    F = 1 lb

    En este caso se alude a la tonelada corta, ya que la tonelada larga equivale a 2 240 lb.

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  • 10 Introduccin una ve lo ci dad co mo v 30 mi/h, se con vier te en ft/s de la si guien tema ne ra. Pri me ro se es cri be

    v 30

    Pues to que se quie ren con ver tir mi llas en pies, se de be mul ti pli car elmiem bro de re cho de la ecua cin por una ex pre sin que con ten ga mi -llas en el de no mi na dor y pies en el nu me ra dor. Pe ro, co mo no se quie -re cam biar el va lor del miem bro de re cho, la ex pre sin im pli ca da de bete ner un va lor igual a uno; el co cien te (5 280 ft)(1 mi) es una ex pre -sin de es te ti po. Ha cien do una ope ra cin se me jan te pa ra trans for marla uni dad ho ra en se gun dos, se es cri be

    v 30 Rea li zan do los cl cu los nu m ri cos y can ce lan do las uni da des que apa -re cen tan to en el nu me ra dor co mo en el de no mi na dor, se ob tie ne

    v 44 44 ft/s

    1.4. CONVERSIN DE UN SISTEMA DE UNIDADES A OTROExis ten mu chas si tua cio nes en las que un in ge nie ro ne ce si ta con ver tiren uni da des del SI un re sul ta do nu m ri co ob te ni do en uni da des de usoco mn en Es ta dos Uni dos o vi ce ver sa. Co mo la uni dad de tiem po esla mis ma en am bos sis te mas, s lo se ne ce si ta con ver tir dos uni da desci n ti cas b si cas y, pues to que to das las otras uni da des ci n ti cas pue -den de ri var se de es tas uni da des b si cas, s lo se re quie re re cor dar dosfac to res de con ver sin.

    Uni da des de lon gi tud . Por de fi ni cin, la uni dad de lon gi tud deuso co mn en Es ta dos Uni dos es

    1 ft 0.3048 m (1.8)

    De aqu se tiene que

    1 mi 5 280 ft 5 280(0.3048 m) 1 609 m

    o bien

    1 mi 1.609 km (1.9)

    Tambin

    1 in. 112 ft 112(0.3048 m) 0.0254 m

    o bien

    1 in. 25.4 mm (1.10)

    Uni da des de fuer za . Re cor dan do que la uni dad de fuer za deuso co mn en Es ta dos Uni dos (la li bra) se de fi ne co mo el pe so de unali bra es tn dar (de ma sa 0.4536 kg) al ni vel del mar y a una la ti tud de45 (don de g 9.807 m/s2) y usan do la ecua cin (1.4), se es cri be

    W mg1 lb (0.4536 kg)(9.807 m/s2) 4.448 kg m/s2

    mih

    fts

    1 h3 600 s

    5 280 ft

    1 mimih

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  • 1.5. Mtodo para la solucin de problemas 11o, recordando la ecuacin (1.5),1 lb 4.448 N (1.11)

    Uni da des de ma sa . La uni dad de ma sa de uso co mn en Es -ta dos Uni dos (el slug) es una uni dad de ri va da. As, con el uso de lasecua cio nes (1.6), (1.8) y (1.11), se pue de es cri bir

    1 slug 1 lb s2/ft 14.59 N s2/m

    y por medio de la ecuacin (1.5),

    1 slug 1 lb s2/ft 14.59 kg (1.12)

    Aun que no pue de usar se co mo uni dad con sis ten te de ma sa, re cor dan -do que la ma sa de la li bra es tn dar es, por de fi ni cin,

    1 libra masa 0.4536 kg (1.13)

    Es ta cons tan te se pue de usar pa ra de ter mi nar la ma sa en uni da des delSI (ki lo gra mos) de un cuer po que es t ca rac te ri za do por su pe so enuni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos (li bras).

    Pa ra con ver tir una uni dad de ri va da de uso co mn en Es ta dos Uni -dos en uni da des del SI, sim ple men te se mul ti pli ca o se di vi de por losfac to res de con ver sin apro pia dos. Por ejem plo, pa ra con ver tir la mag-nitud del mo men to de una fuer za que ha si do en con tra da co mo M 47lb in. en uni da des del SI, se usan las fr mu las (1.10) y (1.11) y se es -cri be

    M 47 lb in. 47(4.448 N)(25.4 mm) 5 310 N mm 5.31 N m

    Los fac to res de con ver sin da dos en es ta sec cin se pue den usartam bin pa ra con ver tir un re sul ta do nu m ri co ob te ni do en las uni da -des del SI a uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos. Por ejem plo,si la magnitud del mo men to de una fuer za se en con tr co mo M 40N m, con el pro ce di mien to usa do en el l ti mo p rra fo de la sec cin1.3, se es cri be

    M 40 N m (40 N m) Al rea li zar los cl cu los nu m ri cos y can ce lar las uni da des que apa re -cen tan to en el nu me ra dor co mo en el deno mi na dor, se ob tie ne

    M 29.5 lb ft

    Las uni da des de uso co mn en Es ta dos Uni dos que se em pleancon ma yor fre cuen cia en la me c ni ca, y sus equi va len tes en las uni da -des del SI, se en lis tan en la ta bla 1.3.

    1.5. MTODO PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMASUn pro ble ma en me c ni ca de be abor dar se de la mis ma ma ne ra en que seplan tea ra un pro ble ma real de in ge nie ra. Si se to ma co mo ba se la ex pe rien cia y la in tui cin pro pias, se r ms f cil en ten der y for mu lar elpro ble ma. Sin em bar go, una vez que el pro ble ma se ha es ta ble ci do en for -ma cla ra, no hay si tio pa ra su po si cio nes par ti cu la res. La so lu cin se de beba sar en los seis prin ci pios fun da men ta les es ta ble ci dos en la sec cin 1.2 o

    1 ft0.3048 m

    1 lb4.448 N

    4.448 N0.3048 m/s2

    1 lb1 ft/s2

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  • 12 Introduccin

    en los teo re mas de ri va dos de s tos. Ca da pa so de be es tar jus ti fi ca do cones tas ba ses. De ben se guir se re glas es tric tas que con duz can a la so lu cinde una ma ne ra ca si au to m ti ca, sin de jar lu gar pa ra la in tui cin o sen ti -mien tos par ti cu la res. Des pus de ob te ner una res pues ta, s ta de be ve ri -fi car se. Aqu, de nue vo, se pue de uti li zar el sen ti do co mn y la ex pe rien -cia per so nal. Si el re sul ta do ob te ni do no es com ple ta men te sa tis fac to rio,de be ve ri fi car se en for ma cui da do sa la for mu la cin del pro ble ma, la va li -dez del m to do uti li za do pa ra su so lu cin y la exac ti tud de los cl cu los.

    El plan tea mien to de un pro ble ma de be ser cla ro y pre ci so y con -te ner los da tos pro por cio na dos, as co mo in di car la in for ma cin que sere quie re. De be in cluir se un di bu jo cla ro que mues tre to das las can ti -da des involu cra das, as co mo un dia gra ma pa ra ca da uno de los cuer -pos que par ti ci pan, que in di que en for ma cla ra las fuer zas que ac tanso bre ellos. A es tos dia gra mas se les co no ce co mo dia gra mas de cuer -po li bre y se des cri bi rn en de ta lle en las sec cio nes 2.11 y 4.2.

    Los prin ci pios fun da men ta les de la me c ni ca que se en lis tan en lasec cin 1.2 se em plean pa ra es cri bir ecua cio nes que ex pre sen las con -

    Tabla 1.3. Unidades de uso comn en Estados Unidos y sus equivalencias en unidades del SI

    Cantidad Unidad de uso comn en EU Equivalente del SIAceleracin ft/s2 0.3048 m/s2

    in./s2 0.0254 m/s2

    rea ft2 0.0929 m2

    in.2 645.2 mm2

    Energa ft lb 1.356 JFuerza kip 4.448 kN

    lb 4.448 Noz 0.2780 N

    Impulso lb s 4.448 N sLongitud ft 0.3048 m

    in. 25.40 mmmi 1.609 km

    Masa oz masa 28.35 glb masa 0.4536 kgslug 14.59 kgshort ton (tonelada corta) 907.2 kg

    Momento de una fuerza lb ft 1.356 N mlb in. 0.1130 N m

    Momento de inerciade un rea in.4 0.4162 106 mm4

    de una masa lb ft s2 1.356 kg m2

    Cantidad de movimiento lb s 4.448 kg m/sPotencia ft lb/s 1.356 W

    hp 745.7 WPresin o esfuerzo lb/ft2 47.88 Pa

    lb/in.2 (psi) 6.895 kPaVelocidad ft/s 0.3048 m/s

    in./s 0.0254 m/smi/h (mph) 0.4470 m/smi/h (mph) 1.609 km/h

    Volumen ft3 0.02832 m3

    in.3 16.39 cm3

    Lquidos gal 3.785 Lqt 0.9464 L

    Trabajo ft lb 1.356 J

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  • 1.6. Exactitud numrica 13di cio nes de re po so o mo vi mien to de los cuer pos con si de ra dos. Ca daecua cin de be es tar re la cio na da en for ma cla ra con uno de los dia gra -mas de cuer po li bre. Des pus se pro ce de r a re sol ver el pro ble ma, ob -ser van do en for ma es tric ta las re glas usua les de l ge bra y con el re gis -tro mi nu cio so de los di fe ren tes pa sos da dos.

    Des pus de ha ber ob te ni do la res pues ta, s ta de be com pro bar secon to do cui da do. Con fre cuen cia se pue den de tec tar erro res en el ra -zo na mien to me dian te la ve ri fi ca cin de las uni da des. Por ejem plo, pa -ra de ter mi nar la magnitud del mo men to de una fuer za de 50 N so breun pun to a 0.60 m de su l nea de ac cin, se es cri bi ra (sec cin 3.12)

    M Fd (50 N)(0.60 m) 30 N m

    La uni dad N m que se ob tie ne al mul ti pli car new tons por me tros esla uni dad co rrec ta pa ra el mo men to de una fuer za; si se hu bie ra ob te -ni do al gu na otra uni dad, se sa bra que se co me ti un error.

    Los erro res de cl cu lo por lo ge ne ral se en con tra rn al sus ti tuir losva lo res nu m ri cos en una ecua cin que no ha ya si do usa da y ve ri fi carsi la ecua cin es co rrec ta. No es po si ble exa ge rar la im por tan cia de loscl cu los co rrec tos en in ge nie ra.

    1.6. EXACTITUD NUMRICALa exactitud en la solucin de un problema depende de dos factores:1) la exactitud de los datos proporcionados y 2) la de los clculos de-sarrollados.

    La so lu cin no pue de ser ms exac ta que el me nos exac to de es -tos dos fac to res; por ejem plo, si se sa be que la car ga de un puen te es de 75 000 lb con un po si ble error de 100 lb, el error re la ti vo quemi de el gra do de pre ci sin del da to es

    75

    100000

    lblb

    0.0013 0.13 por ciento

    En ton ces, al cal cu lar la reac cin en uno de los so por tes del puen te noten dra sen ti do ano tar la co mo 14 322 lb. La exac ti tud de la so lu cin no pue de ser ma yor de 0.13 por cien to, sin im por tar con qu exac ti -tud se rea li cen los cl cu los, y el error po si ble en la res pues ta pue de sertan gran de co mo (0.13100)(14 322 lb) 20 lb. La res pues ta de be raes cri bir se co mo 14 320 20 lb.

    En los pro ble mas de in ge nie ra los da tos ra ra vez se co no cen conuna exac ti tud ma yor a 0.2 por cien to, por lo que ca si nun ca se jus ti fi -ca es cri bir las res pues tas a di chos pro ble mas con una exac ti tud ma yora 0.2 por cien to. Un cri te rio prc ti co es utilizar cuatro ci fras pa ra re -gis trar n me ros que ini cien con un 1 y tres ci fras en to dos los otrosca sos. A me nos que se in di que otra co sa, los da tos pro por cio na dos enun pro ble ma de ben asu mir se co mo co no ci dos con un gra do de exac ti -tud com pa ra ble. Por ejem plo, una fuer za de 40 lb se de be ra leer 40.0lb, y una fuer za de 15 lb se de be ra leer 15.00 lb.

    Los in ge nie ros y es tu dian tes de in ge nie ra co mn men te usan lascal cu la do ras elec tr ni cas de bol si llo. La exac ti tud y ve lo ci dad de s tasfa ci li ta los cl cu los nu m ri cos en la so lu cin de mu chos pro ble mas. Sinem bar go, los es tu dian tes no de ben re gis trar ms ci fras sig ni fi ca ti vas delas que se pue den jus ti fi car, s lo por que s tas se pue den ob te ner f cil -men te. Co mo se men cio n con an te rio ri dad, una exac ti tud ma yor que0.2 por cien to ra ra vez es ne ce sa ria o sig ni fi ca ti va en la so lu cin de pro -ble mas prc ti cos de in ge nie ra.

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  • Muchos problemas de ingeniera seresuelven al tomar en cuenta el equilibriode una partcula. En el caso de estaexcavadora, que se estiba en un barco,puede obtenerse una relacin entre lastensiones de los diferentes cablesempleados, al considerar el equilibrio delgancho con el que se unen los cables.

    14

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  • 2CAP TULO

    15

    Esttica de partculas

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  • 16

    2.1. INTRODUCCINEn es te ca p tu lo se es tu dia r el efec to de las fuer zas que ac tan so-bre las par t cu las. Pri me ro se apren de r a sus ti tuir dos o ms fuer zasque ac tan so bre una par t cu la por una so la fuer za que ten ga el mis -mo efec to que ellas. Es ta fuer za equi va len te so la es la re sul tante de lasfuer zas va rias que ac tan so bre la par t cu la. Des pus se de ri va rn lasre la cio nes que exis ten en tre las dis tin tas fuer zas que ac tan so bre unapar t cu la en un es ta do de equi li brio y se usa rn pa ra de ter mi nar al gu -nas de las fuer zas que ac tan so bre di cha part cu la.

    El uso de la pa la bra par t cu la no sig ni fi ca que es te ca p tu lo se li -mi te al es tu dio de pe que os cor ps cu los. Quie re de cir que el ta ma oy la for ma de los cuer pos en con si de ra cin no afec ta r en la so lu cinde los pro ble mas tra ta dos en es te ca p tu lo, y que to das las fuer zas ejer ci das so bre un cuer po da do se su pon drn apli ca das en un mis mopun to. Pues to que tal su po si cin se ve ri fi ca en mu chas apli ca cio nesprc ti cas, se po drn re sol ver un buen n me ro de pro ble mas de in ge -nie ra.

    La pri me ra par te de es te ca p tu lo es t de di ca da al es tu dio de lasfuer zas ob te ni das en un mis mo pla no y la se gun da al an li sis de las fuer- zas en el es pa cio tri di men sio nal.

    FUERZAS EN UN PLANO

    2.2. FUERZA SOBRE UNA PARTCULA. RESULTANTE DE DOS FUERZASUna fuer za re pre sen ta la ac cin de un cuer po so bre otro y se ca rac te -ri za por su pun to de apli ca cin, mag ni tud o m du lo y di rec cin. Pe rolas fuer zas so bre una par t cu la tie nen el mis mo pun to de apli ca cin.Por tan to, ca da fuer za con si de ra da en es te ca p tu lo es ta r com ple ta -men te de fi ni da por su mag ni tud o m du lo y di rec cin.

    La mag ni tud o m du lo de una fuer za se ca rac te ri za por cier to n -me ro de uni da des. Co mo se in di c en el ca p tu lo 1, las uni da des delSI usa das por los in ge nie ros pa ra me dir la mag ni tud de una fuer za sonel new ton (N) y su ml ti plo el ki lo new ton (kN), igual a 1 000 N, mien -tras que las uni da des del sis te ma de uso co mn en Es ta dos Uni dos,em plea das con el mis mo fin, son la li bra (lb) y su ml ti plo la ki lo li bra(kip), igual a 1 000 lb. La di rec cin de una fuer za se de fi ne por la l -nea de ac cin y el sen ti do de la fuer za. La l nea de ac cin es la l nearec ta in fi ni ta a lo lar go de la cual ac ta la fuer za; se ca rac te ri za por eln gu lo que for ma con al gn eje fi jo (fi gu ra 2.1).

    CAPTULO 2 ESTTICA DEPARTCULAS

    2.1 Introduccin2.2 Fuerza sobre una partcula.

    Resultante de dos fuerzas2.3 Vectores2.4 Adicin o suma de vectores2.5 Resultante de varias fuerzas

    concurrentes2.6 Descomposicin de una fuerza en

    sus componentes2.7 Componentes rectangulares de

    una fuerza. Vectores unitarios2.8 Adicin de fuerzas sumando sus

    componentes X y Y2.9 Equilibrio de una partcula

    2.10 Primera ley del movimiento deNewton

    2.11 Problemas relacionados con elequilibrio de una partcula.Diagramas de cuerpo libre

    2.12 Componentes rectangulares deuna fuerza en el espacio

    2.13 Fuerza definida en trminos de sumagnitud y dos puntos sobre sulnea de accin

    2.14 Adicin de fuerzas concurrentesen el espacio

    2.15 Equilibrio de una partcula en elespacio

    Figura 2.1 a)

    A 3010

    lb

    b)

    A 3010

    lb

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  • 2.3. Vectores 17

    Figura 2.2

    La fuer za en s se re pre sen ta por un seg men to de esa l nea; me -dian te el uso de una es ca la apro pia da, pue de es co ger se la lon gi tud dees te seg men to pa ra re pre sen tar la mag ni tud de la fuer za. Fi nal men te,el sen ti do de la fuer za de be in di car se por una pun ta de fle cha. En lade fi ni cin de una fuer za es im por tan te in di car su sen ti do. Dos fuer zasco mo las mos tra das en las fi gu ras 2.1a y b, que tie nen la mis ma mag -ni tud y la mis ma l nea de ac cin pe ro di fe ren te sen ti do, ten drn efec -tos opues tos so bre una par t cu la.

    La evi den cia ex pe ri men tal mues tra que dos fuer zas P y Q que ac tan so bre una par t cu la A (fi gu ra 2.2a) pue den sus ti tuir se por una so la fuer za R que pro du ce el mis mo efec to so bre la par t cu la (fi gu ra 2.2c). A es ta fuer za se le lla ma re sul tan te de las fuer zas Py Q y pue de ob te ner se, co mo se mues tra en la fi gu ra 2.2b, cons tru -yen do un pa ra le lo gra mo con P y Q co mo la dos. La dia go nal que pa sa por A re pre sen ta la re sul tan te. Es to se co no ce co mo la ley del pa ra le lo gra mo pa ra la adi cin de dos fuer zas, y se ba sa en la evi den- cia ex pe ri men tal; no pue de pro bar se ni de ri var se de ma ne ra ma te m -ti ca.

    2.3. VECTORESEn apa rien cia las fuer zas no obe de cen las re glas de la adi cin de fi ni -das en la arit m ti ca o en el l ge bra or di na ria. Por ejem plo, dos fuer -zas que ac tan for man do un n gu lo rec to, una de 4 lb y otra de 3 lb,su man una fuer za de 5 lb y no una de 7 lb. La fuer zas no son las ni -cas can ti da des que si guen la ley del pa ra le lo gra mo pa ra la adi cin. Co -mo se ve r ms ade lan te, los des pla za mien tos, ve lo ci da des, ace le ra cio -nes y mo men tos son otros ejem plos de can ti da des f si cas que po seenmag ni tud y di rec cin y que se su man si guien do la ley del pa ra le lo gra -mo. Es tas can ti da des pue den re pre sen tar se ma te m ti ca men te por vec -to res, mien tras que aque llas can ti da des f si cas que no tie nen di rec -cin, co mo vo lu men, ma sa o ener ga se re pre sen tan por n me ros or di -na rios o es ca la res.

    Los vec to res se de fi nen co mo ex pre sio nes ma te m ti cas que po -seen mag ni tud, di rec cin y sen ti do, los cua les se su man de acuer docon la ley del pa ra le lo gra mo. Los vec to res se re pre sen tan por fle- chas en las ilus tra cio nes y se dis tin guen de las can ti da des es ca la res en es te tex to me dian te el uso de ne gri tas (P). En la es cri tu ra a ma no,un vec tor pue de ca rac te ri zar se di bu jan do una pe que a fle cha arri ba dela le tra usa da pa ra re pre sen tar lo (P) o su bra yan do la le tra (P

    ). El l-

    timo mtodo es preferible puesto que el subrayado tambin puede usarse en una mquina de escribir o computadora. La mag ni tud de unvec tor de ter mi na la lon gi tud de la fle cha co rres pon dien te. En es te li -bro se usa rn le tras cur si vas pa ra re pre sen tar la mag ni tud de un vec -tor. As, la mag ni tud del vec tor P se re pre sen ta co mo P.

    Un vec tor con el que se re pre sen ta una fuer za que ac ta so bre unapar t cu la tie ne un pun to de apli ca cin bien de fi ni do, a sa ber, la par t -cu la mis ma. A tal vec tor se le lla ma vec tor fi jo o li ga do, y no pue decam biar se su po si cin sin mo di fi car las con di cio nes del pro ble ma. Sinem bar go, otras can ti da des f si cas, co mo los pa res (va se ca p tu lo 3), sepue den re pre sen tar por vec to res que pue den mo ver se li bre men te enel es pa cio; a es tos vec to res se les conoce como li bres. Exis ten otras can -ti da des f si cas, co mo las fuer zas so bre un cuer po r gi do (va se ca p tu -

    A

    P

    Q

    a)

    A

    PR

    Q

    b)

    A

    R

    c)

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  • 18 Esttica de partculas lo 3), que es tn re pre sen ta das por vec to res que pue den mo ver se o res -ba lar a lo lar go de su l nea d