Mecánica vectorial para ingenieros Dinámica Beer 9 ed.

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Momentos de inercia de formas geomtricas comunes

Rectngulo

Tringulo

Crculo

Semicrculo

Cuarto de crculo

Elipse

JO14 ab1a

2 b2 2Iy

14 a

3bIx

14 ab

3

JO18 r

4Ix Iy

116 r

4

JO14 r

4Ix Iy

18 r

4

JO12 r

4Ix Iy

14 r

4

Ix 112bh3Ix 136bh3

JC112bh1b

2 h2 2Iy

13b

3hIx

13bh

3Iy

112b

3hIx

112bh

3

h

b

x'

x

y'y

C

h

b

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x

h3

C

x

y

r

O

x

y

Or

C

x

y

Or

C

xb

y

O

a

Momentos de inercia de formas geomtricas comunes

Barra delgada

Placa rectangular delgada

Prisma rectangular

Disco delgado

Cilindro circular

Cono circular

Esfera

Ix Iy Iz25ma

2

14a

2 h2 2Iy Iz35m1

Ix3

10ma2

Iy Iz1

12m13a2 L2 2Ix

12ma

2

Iy Iz14mr

2Ix

12mr

2

Iz1

12m1a2 b2 2

Iy1

12m1c2 a2 2

Ix1

12m1b2 c2 2

Iz1

12mb2

Iy1

12mc2

Ix1

12m1b2 c2 2

Iy Iz1

12mL2

G

Lz

y

x

xz

y

c

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b

x

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y

r

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y

La

x

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a

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y

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MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS

Dinmica

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REVISIN TCNICAARGENTINA

Ricardo Bosco Universidad Tecnolgica Nacional, Buenos Aires

COLOMBIA

Carlos Eduardo Muoz Rodrguez Pontificia Universidad Javeriana, BogotJaime Guillermo Guerrero Casadiego Universidad Nacional de ColombiaRubn Daro Arboleda Vlez Universidad Pontificia Bolivariana, MedellnWilson Rodrguez Caldern Universidad de la Salle, Bogot

MXICO

Antonio Rubn Bentez Gasca Universidad VeracruzanaDanelia Hernndez Surez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,

campus Ciudad ObregnCarlos Mellado Osuna Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,

campus La MarinaEduardo Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus SinaloaEnrique Zamora Gallardo Universidad Anhuac, campus NorteFrancisco Tern Arvalo Instituto Tecnolgico Regional de ChihuahuaGladys Karina Ruiz Vargas Universidad Anhuac, campus NorteIgnacio Arrioja Crdenas Instituto Tecnolgico de Tuxtla Gutirrez, Chis.Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,

campus HidalgoJos Antonio Corona Lpez Instituto Tecnolgico de VeracruzJos Luis Carranza Santana Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,

Instituto Politcnico NacionalJuan Abugaber Francis Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,

Instituto Politcnico NacionalJuan Ocriz Castelazo Universidad Nacional Autnoma de MxicoLuis Adolfo Torres Gonzlez Universidad Iberoamericana, campus LenLuis G. Cabral Rosetti Centro Interdisciplinario de Investigacin y Docencia en Educacin Tcnica,

Santiago de QuertaroMartn Daro Castillo Snchez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica,

Instituto Politcnico NacionalRal Escalante Rosas Universidad Nacional Autnoma de MxicoRal Soto Lpez Universidad de Occidente, campus Culiacn

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Novena edicinMECNICA VECTORIAL

PARA INGENIEROSDinmica

FERDINAND P. BEER (finado)Late of Lehigh University

E. RUSSELL JOHNSTON, JR.University of Connecticut

PHILLIP J. CORNWELLRose-Hulman Institute of Technology

Revisin tcnica:

Miguel ngel Ros SnchezInstituto Tecnolgico y de Estudios

Superiores de Monterrey, campus Estado de Mxico

Felipe de Jess Hidalgo CavazosInstituto Tecnolgico y de Estudios

Superiores de Monterrey, campus Monterrey

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULOAUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI

SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha M.Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga GutirrezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traductores: Jess Elmer Murrieta MurrietaGabriel Nagore Cazares

MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROSDINMICANovena edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2010 respecto a la novena edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-13: 978-607-15-0261-2(ISBN: 970-10-6102-0 edicin anterior)

Traducido de la novena edicin en ingls de: Vector mechanics for engineers. Dynamics. Copyright 2010 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN: 0-07-724916-8

1234567890 109876543210

Impreso en Mxico Printed in Mexico

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Acerca de los autores

Los autores de esta obra con frecuencia son cuestionados acerca de c-mo fue que, estando uno en Lehigh y otro en la University of Connec-ticut, empezaron a escribir sus libros juntos.

La respuesta a esta pregunta es sencilla. Russ Johnston inici su ca-rrera acadmica en el departamento de ingeniera civil y mecnica deLehigh University y all conoci a Ferd Beer, quien haba comenzado atrabajar en ese departamento dos aos antes y estaba a cargo de los cur-sos de mecnica.

Ferd se sinti muy complacido al descubrir que el joven contrata-do para impartir cursos de ingeniera estructural en posgrado no sloestaba dispuesto, sino tambin ansioso por ayudarlo a reorganizar loscursos de mecnica. Ambos crean que dichos cursos deberan ensear-se a partir de unos cuantos principios bsicos, y que los distintos con-ceptos involucrados seran mejor comprendidos y recordados por losestudiantes si les eran presentados en forma grfica. Juntos escribieronapuntes para las clases de esttica y dinmica, a los cuales posterior-mente les agregaron problemas que supusieron interesantes para losfuturos ingenieros, y poco despus produjeron el manuscrito de la pri-mera edicin de Mecnica para ingenieros, el cual se public en juniode 1956.

Al publicarse la segunda edicin de Mecnica para ingenieros y laprimera de Mecnica vectorial para ingenieros, Russ Johnston estabaen el Worcester Polytechnic Institute, y en las ediciones subsecuentes enla University of Connecticut. Mientras tanto, Ferd y Russ haban asu-mido funciones administrativas en sus respectivos departamentos y ambos se dedicaban a la investigacin, la consultora, y a asesorar estu-diantes de posgrado Ferd en el rea de procesos estocsticos y vibra-ciones aleatorias, y Russ en el rea de estabilidad elstica y en diseo yanlisis estructurales. Sin embargo, su inters por mejorar la ense-anza de los cursos bsicos de mecnica no haba disminuido, y conti-nuaron impartindolos mientras revisaban sus libros y comenzaban apreparar el manuscrito de la primera edicin de Mecnica de materiales.

La colaboracin entre estos dos autores ha abarcado muchos aos ymuchas revisiones exitosas de todos sus libros, y las contribuciones de Ferdy Russ a la educacin en ingeniera los han hecho acreedores de numero-sas distinciones y reconocimientos. Recibieron el Western Electric FundAward por parte de sus respectivas secciones regionales de la American So-ciety for Engineering Education por su excelencia en la instruccin de es-tudiantes de ingeniera y, adems, el Distinguished Educator Award de la

vii

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divisin de mecnica de esa misma asociacin. A partir de 2001, el recono-cimiento denominado New Mechanics Educator Award de la divisin demecnica ha sido nombrado en honor de Beer y Johnston.

Ferdinand P. Beer. Nacido en Francia y educado en Francia y Sui-za, Ferd obtuvo una maestra en la Sorbona y un doctorado en cien-cias en el rea de mecnica terica en la Universidad de Ginebra.Emigr a Estados Unidos despus de servir en el ejrcito francs du-rante la primera parte de la Segunda Guerra Mundial e imparti cla-ses por cuatro aos en el Williams College en el programa conjuntode ingeniera y artes Williams-MIT. Despus de su servicio en estainstitucin, Ferd ingres al profesorado de Lehigh University, dondeense durante treinta y siete aos. Ocup varios puestos, incluyen-do el de profesor distinguido de la universidad y director del departa-mento de Mecnica e Ingeniera Mecnica. En 1995 recibi el gradode Doctor honoris causa en Ingeniera por la Lehigh University.

E. Russell Johnston, Jr. Nacido en Filadelfia, Russ posee un ttulo deingeniero civil de la Universidad de Delaware y un doctorado en cien-cias en el rea de ingeniera estructural del Instituto Tecnolgico deMassachussets (MIT). Imparti clases en Lehigh University y en elWorcester Polytechnic Institute antes de ingresar al profesorado de laUniversidad de Connecticut, donde ocup el puesto de director del de-partamento de Ingeniera Civil y ense durante veintisis aos. En1991 recibi el Outstanding Civil Engineer Award, seccin Connecti-cut, que otorga la American Society of Civil Engineers.

Phillip J. Cornwell. Phil posee un ttulo en Ingeniera Mecnica de laTexas Tech University, y grados de maestra y doctorado en IngenieraMecnica y aeroespacial por la Universidad de Princeton. En la actua-lidad es profesor de Ingeniera Mecnica en el Instituto Rose-Hulmande Tecnologa, donde ha impartido clases desde 1989. Sus intereses ac-tuales incluyen dinmica estructural, monitoreo de la salud estructural,y educacin en ingeniera a nivel de licenciatura. En los veranos, Philtrabaja en el Laboratorio Nacional de Los lamos, donde es responsa-ble de la escuela de verano de dinmica, y realiza investigacin en elrea de monitoreo de la salud estructural. Recibi un premio en edu-cacin SAE Ralph R. Teetor en 1992, el premio escolar por imparticinde clases en Rose-Hulman en 2000, y el premio por imparticin de cla-ses del profesorado de Rose-Hulman en 2001.

viii Acerca de los autores

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Contenido

Prefacio xivAgradecimientos xxLista de smbolos xxi

11CINEMTICA DE PARTCULAS

60111.1 Introduccin a la dinmica 602

Movimiento rectilneo de partculas 60311.2 Posicin, velocidad y aceleracin 60311.3 Determinacin del movimiento de una partcula 60711.4 Movimiento rectilneo uniforme 61611.5 Movimiento rectilneo uniformemente acelerado 61711.6 Movimiento de varias partculas 618

*11.7 Solucin grfica de problemas de movimiento rectilneo 630*11.8 Otros mtodos grficos 631

Movimiento curvilneo de partculas 64111.9 Vector de posicin, velocidad y aceleracin 64111.10 Derivadas de funciones vectoriales 64311.11 Componentes rectangulares de la velocidad

y la aceleracin 64511.12 Movimiento relativo a un sistema de referencia

en traslacin 64611.13 Componentes tangencial y normal 66511.14 Componentes radial y transversal 668Repaso y resumen del captulo 11 682Problemas de repaso 686Problemas de computadora 688

12CINTICA DE PARTCULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON

69112.1 Introduccin 69212.2 Segunda ley de movimiento de Newton 69312.3 Cantidad de movimiento lineal de una partcula.

Razn de cambio de la cantidad de movimiento lineal 694ix

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12.4 Sistemas de unidades 69512.5 Ecuaciones de movimiento 69712.6 Equilibrio dinmico 69912.7 Cantidad de movimiento angular de una partcula.

Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular 72112.8 Ecuaciones de movimiento en trminos de las

componentes radial y transversal 72312.9 Movimiento bajo una fuerza central. Conservacin de la

cantidad de movimiento angular 72412.10 Ley de gravitacin de Newton 725

*12.11 Trayectoria de una partcula bajo la accin de una fuerza central 736

*12.12 Aplicacin en mecnica celeste 737*12.13 Leyes de Kepler del movimiento planetario 740

Repaso y resumen del captulo 12 749Problemas de repaso 753Problemas de computadora 756

13CINTICA DE PARTCULAS:

MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

75913.1 Introduccin 76013.2 Trabajo de una fuerza 76013.3 Energa cintica de una partcula. Principio del trabajo y la

energa 76413.4 Aplicaciones del principio del trabajo y la energa 76613.5 Potencia y eficiencia 76713.6 Energa potencial 786

*13.7 Fuerzas conservativas 78813.8 Conservacin de la energa 78913.9 Movimiento bajo una fuerza central conservativa.

Aplicacin a la mecnica celeste 79113.10 Principio del impulso y la cantidad

de movimiento 81013.11 Movimiento impulsivo 81313.12 Impacto 82513.13 Impacto central directo 82513.14 Impacto central oblicuo 82813.15 Problemas en los que interviene la energa y la cantidad

de movimiento 831


14SISTEMAS DE PARTCULAS

85914.1 Introduccin 86014.2 Aplicacin de las leyes de Newton al movimiento de un sistema

de partculas. Fuerzas efectivas 86014.3 Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de

partculas 863

x Contenido

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14.4 Movimiento del centro de masa de un sistema de partculas 864

14.5 Cantidad de movimiento angular de un sistema de partculasalrededor de su centro de masa 866

14.6 Conservacin de la cantidad de movimiento para sistemas de partculas 868

14.7 Energa cintica de un sistema de partculas 87714.8 Principio del trabajo y la energa. Conservacin de la energa

para un sistema de partculas 87914.9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento de un sistema

de partculas 879*14.10 Sistemas variables de partculas 890*14.11 Corriente estacionaria de partculas 890*14.12 Sistemas que ganan o pierden masa 893Repaso y resumen del captulo 14 908Problemas de repaso 912Problemas de computadora 916

15CINEMTICA DE CUERPOS RGIDOS

91915.1 Introduccin 92015.2 Traslacin 92215.3 Rotacin alrededor de un eje fijo 92315.4 Ecuaciones que definen la rotacin de un cuerpo rgido

alrededor de un eje fijo 92615.5 Movimiento plano general 93615.6 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento

plano 93815.7 Centro instantneo de rotacin en el movimiento plano 95015.8 Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano 961

*15.9 Anlisis del movimiento plano en trminos de un parmetro 963

15.10 Razn de cambio de un vector con respecto a un sistema dereferencia en rotacin 975

15.11 Movimiento plano de una partcula relativa a un sistema de referencia en rotacin. Aceleracin de Coriolis 977

*15.12 Movimiento alrededor de un punto fijo 988*15.13 Movimiento general 991*15.14 Movimiento tridimensional de una partcula con respecto

a un sistema de referencia en rotacin. Aceleracin de Coriolis 1002

*15.15 Sistema de referencia en movimiento general 1003Repaso y resumen del captulo 15 1015Problemas de repaso 1022Problemas de computadora 1025

16MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS:

FUERZAS Y ACELERACIONES1029

16.1 Introduccin 103016.2 Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido 1031

xiContenido

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16.3 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido enmovimiento plano 1032

16.4 Movimiento plano de un cuerpo rgido. Principio dedAlembert 1033

*16.5 Observacin acerca de los axiomas de la mecnica de cuerposrgidos 1034

16.6 Solucin de problemas que implican el movimiento de un cuerporgido 1035

16.7 Sistemas de cuerpos rgidos 103616.8 Movimiento plano restringido o vinculado 1055Repaso y resumen del captulo 16 1077Problemas de repaso 1079Problemas de computadora 1082

17MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS:

MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO1085

17.1 Introduccin 108617.2 Principio del trabajo y la energa para un cuerpo rgido 108617.3 Trabajo de las fuerzas que actan sobre un cuerpo

rgido 108717.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en movimiento

plano 108817.5 Sistemas de cuerpos rgidos 108917.6 Conservacin de la energa 109017.7 Potencia 109117.8 Principio del impulso y la cantidad de movimiento para el

movimiento plano de un cuerpo rgido 110717.9 Sistemas de cuerpos rgidos 111017.10 Conservacin de la cantidad de movimiento angular 111017.11 Movimiento impulsivo 112417.12 Impacto excntrico 1124


18CINTICA DE CUERPOS RGIDOS EN TRES DIMENSIONES

1149*18.1 Introduccin 1150*18.2 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido en tres

dimensiones 1151*18.3 Aplicacin del principio del impulso y la cantidad de movimiento al

movimiento tridimensional de un cuerpo rgido 1155*18.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1156*18.5 Movimiento de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1169*18.6 Ecuaciones de movimiento de Euler. Extensin del principio

de dAlembert al movimiento de un cuerpo rgido en tresdimensiones 1170

*18.7 Movimiento de un cuerpo rgido alrededor de un punto fijo 1171

*18.8 Rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo 1172*18.9 Movimiento de un giroscopio. ngulos de Euler 1187*18.10 Precesin estable de un giroscopio 1189

xii Contenido

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*18.11 Movimiento de un cuerpo simtrico con respecto a un eje y queno se somete a ninguna fuerza 1190


19VIBRACIONES MECNICAS

121519.1 Introduccin 1216

Vibraciones sin amortiguamiento 121619.2 Vibraciones libres de partculas.

Movimiento armnico simple 121619.3 Pndulo simple (solucin aproximada) 1220

*19.4 Pndulo simple (solucin exacta) 122119.5 Vibraciones libres de cuerpos rgidos 123019.6 Aplicacin del principio de la conservacin de la energa 124219.7 Vibraciones forzadas 1253

Vibraciones amortiguadas 1263*19.8 Vibraciones libres amortiguadas 1263*19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas 1266*19.10 Analogas elctricas 1267Repaso y resumen del captulo 19 1279Problemas de repaso 1284Problemas de computadora 1288

Apndice AALGUNAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES TILES

DEL LGEBRA VECTORIAL1291

Apndice BMOMENTOS DE INERCIA DE MASAS

1297

Apndice CFUNDAMENTOS PARA LA CERTIFICACIN

EN INGENIERA EN ESTADOS UNIDOS1337

Crditos de fotografas 1339ndice analtico 1341Respuestas a problemas 1351

xiiiContenido

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Prefacio

OBJETIVOSEl objetivo principal de un primer curso de mecnica debe ser desa-rrollar en el estudiante de ingeniera la capacidad de analizar cualquierproblema en forma lgica y sencilla, y la de aplicar para su solucinunos cuantos principios bsicos perfectamente comprendidos. Se es-pera que este texto y el tomo complementario, Mecnica vectorial pa-ra ingenieros: Esttica, permitirn que el profesor alcance este objetivo.

ENFOQUE GENERALEn la parte inicial del primer tomo se introdujo el anlisis vectorial, elcual se utiliza en la presentacin y exposicin de los principios funda-mentales de la esttica, as como en la solucin de muchos problemas.De manera similar, el concepto de diferenciacin vectorial se introdu-ce al inicio de este volumen, y el anlisis vectorial se utiliza a lo largode la presentacin de la dinmica. Este planteamiento conduce a unaespecificacin ms concisa de los principios fundamentales de la me-cnica. Tambin hace posible analizar muchos problemas en cinemti-ca y cintica que no podran resolverse mediante mtodos escalares.Sin embargo, se mantiene el nfasis en el correcto aprendizaje de losprincipios de la mecnica y en su aplicacin para resolver problemasde ingeniera, por lo que el anlisis vectorial se presenta, primordial-mente, como una herramienta til.

Se introducen aplicaciones prcticas desde una etapa inicial.Una de las caractersticas del enfoque usado en estos tomos es que lamecnica de partculas se ha separado en forma clara de la mecnicade cuerpos rgidos. Este enfoque hace posible considerar aplicacionesprcticas simples en una etapa inicial y posponer la introduccin de losconceptos ms avanzados. Por ejemplo:

En Esttica, la esttica de partculas se estudia primero, y el prin-cipio de equilibrio de una partcula se aplica inmediatamente a si-tuaciones prcticas que involucran slo fuerzas concurrentes. Laesttica de cuerpos rgidos se considera posteriormente, cuando yase ha hecho la presentacin de los productos escalar y vectorial dedos vectores; estos conceptos se utilizan para definir el momentode una fuerza con respecto a un punto y a un eje.

xiv

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En Dinmica se observa la misma divisin. Se introducen los con-ceptos bsicos de fuerza, masa y aceleracin, de trabajo y energa,y de impulso y cantidad de movimiento, y se aplican en primerainstancia a la solucin de problemas que involucran slo partcu-las. De esta forma, los estudiantes pueden familiarizarse por s mis-mos con los tres mtodos bsicos utilizados en dinmica y apren-der sus respectivas ventajas antes de enfrentar las dificultadesasociadas con el movimiento de cuerpos rgidos.

Los conceptos nuevos se presentan en trminos simples.Como este texto est diseado para un primer curso sobre dinmica,los conceptos nuevos se presentan en trminos simples y cada paso seexplica en forma detallada. Por otro lado, este enfoque alcanza una ma-durez definitiva al analizar los aspectos ms relevantes de los proble-mas considerados, y al ampliar los mtodos de aplicabilidad general.Por ejemplo, el concepto de energa potencial se analiza para el casogeneral de una fuerza conservativa. Adems, el estudio del movimien-to plano de cuerpos rgidos est ideado para conducir de manera na-tural al estudio de su movimiento general en el espacio. Lo anterior secumple tanto en cinemtica como en cintica, donde el principio deequivalencia de fuerzas externas y efectivas se aplica de manera direc-ta al anlisis de movimiento plano, lo que facilita la transicin al estu-dio del movimiento tridimensional.

Los principios fundamentales se utilizan en el contexto deaplicaciones simples. Se enfatiza el hecho de que la mecnica es,esencialmente, una ciencia deductiva que se basa en algunos principiosfundamentales. Las derivaciones se presentan siguiendo su secuencialgica y con todo el rigor requerido a este nivel. Sin embargo, en vir-tud de que el proceso de aprendizaje es primordialmente inductivo, seconsideran primero las aplicaciones ms simples. Por ejemplo:

La cinemtica de partculas (captulo 11) antecede a la cinemticade cuerpos rgidos (captulo 15).

Los principios fundamentales de la cintica de cuerpos rgidos seaplican primero a la solucin de problemas bidimensionales (cap-tulos 16 y 17), los cuales pueden ser visualizados con mayor faci-lidad por los estudiantes, mientras que los problemas tridimensio-nales se posponen hasta el captulo 18.

La presentacin de los principios de la cintica se unifica.La octava edicin de Mecnica vectorial para ingenieros tiene la pre-sentacin unificada de los principios de la cintica que caracterizarona las siete ediciones anteriores. Los conceptos de cantidad de movi-miento lineal y angular se presentan en el captulo 12, de modo que lasegunda ley de Newton para el movimiento pueda presentarse no s-lo en su forma convencional F ma, sino tambin como una ley querelaciona, respectivamente, la suma de fuerzas que actan sobre unapartcula y la suma de sus momentos con las razones de cambio de lacantidad de movimiento lineal y angular de la partcula. Esto hace po-sible una introduccin temprana del principio de conservacin de lacantidad de movimiento angular, y un anlisis ms lgico del movimien-to de una partcula bajo una fuerza central (seccin 12.9). An msimportante, este planteamiento puede extenderse sin dificultad al mo-vimiento de un sistema de partculas (captulo 14) y efectuar un trata-

xvPrefacio

bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xv

miento ms conciso y unificado de la cintica de cuerpos rgidos en dosy tres dimensiones (captulos 16 a 18).

Se emplean diagramas de cuerpo libre para resolverproblemas de equilibrio y expresar la equivalencia de sistemasde fuerzas. Los diagramas de cuerpo libre se introdujeron al prin-cipio del libro de esttica, y su importancia se enfatiz a lo largo de to-do el texto. Estos diagramas se emplean no slo para resolver proble-mas de equilibrio, sino tambin para expresar la equivalencia de dossistemas de fuerzas o, de modo ms general, de dos sistemas de vec-tores. La ventaja de este enfoque se vuelve evidente en el estudio dela dinmica de cuerpos rgidos, donde se utiliza para resolver proble-mas tridimensionales y bidimensionales. Se pudo lograr una compren-sin ms intuitiva y completa de los principios fundamentales de la di-nmica al poner mayor nfasis en las ecuaciones de los diagramas decuerpo libre en lugar de en las ecuaciones algebraicas estndar de mo-vimiento. Este enfoque, introducido en 1962 en la primera edicin deMecnica vectorial para ingenieros, ha obtenido a la fecha una ampliaaceptacin en Estados Unidos entre los profesores de mecnica. Porlo tanto, en la resolucin de todos los problemas resueltos de este li-bro, se prefiere su utilizacin en lugar del mtodo de equilibrio din-mico y de las ecuaciones de movimiento.

Se utilizan presentaciones en cuatro colores para distinguirlos vectores. El color se ha usado no slo para mejorar la calidadde las ilustraciones, sino tambin para ayudar a los estudiantes a dis-tinguir entre los diversos tipos de vectores que pueden encontrar. Envirtud de que no haba intencin de colorear por completo este texto,en un captulo dado se utiliza el mismo color para representar el mis-mo tipo de vector. Por ejemplo, a lo largo del tomo de esttica, el ro-jo se utiliza en forma exclusiva para representar fuerzas y pares, mien-tras que los vectores de posicin se muestran en azul y las dimensionesen negro. Esto vuelve ms fcil para los estudiantes la identificacinde las fuerzas que actan sobre una partcula o un cuerpo rgido dadoy la comprensin de los problemas resueltos y de otros ejemplos pro-porcionados en el libro. En Dinmica, para los captulos de cintica, elrojo se usa de nuevo para fuerzas y pares, as como para fuerzas efec-tivas. El rojo tambin se utiliza para representar impulsos y cantidadesde movimiento en ecuaciones de diagramas de cuerpo libre, mientrasque el verde es utilizado para velocidades, y el azul en aceleraciones.En los dos captulos de cinemtica, donde no se involucra ninguna fuer-za, se usan azul, verde y rojo, respectivamente, para indicar desplaza-mientos, velocidades y aceleraciones.

Se mantiene, en forma consistente, un cuidadoso balanceentre las unidades del SI y las unidades del sistema ingls. De-bido a la tendencia que existe en la actualidad en el gobierno y la indus-tria estadounidenses de adoptar el Sistema Internacional de unidades(unidades mtricas SI), las unidades SI que se usan con mayor frecuen-cia en mecnica se introducen en el captulo 1 y se emplean en todo ellibro. Aproximadamente la mitad de los problemas resueltos y un 60 porciento de los problemas de tarea estn planteados en este sistema de uni-dades, mientras que el resto se proporciona en las unidades de uso co-mn en Estados Unidos. Los autores creen que este enfoque es el que

xvi Prefacio

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xviiPrefaciose adecuar mejor a las necesidades de los estudiantes, quienes, comoingenieros, tendrn que dominar los dos sistemas de unidades.

Tambin se debe reconocer que el uso de ambos sistemas de uni-dades significa algo ms que aplicar factores de conversin. Como el sis-tema de unidades SI es absoluto basado en el tiempo, la longitud y lamasa, mientras el sistema ingls es gravitacional basado en el tiempo,la longitud y la fuerza, se requieren diferentes enfoques en la solucinde muchos problemas. Por ejemplo, cuando se usan las unidades SI, porlo general, un cuerpo se especifica mediante su masa expresada en kilo-gramos; en la mayora de los problemas de esttica ser necesario deter-minar el peso del cuerpo en newtons, para lo cual se requiere un clcu-lo adicional. Por otro lado, cuando se aplican las unidades del sistemaingls, un cuerpo se especifica mediante su peso en libras y, en pro-blemas de dinmica, se requerir un clculo adicional para determinarsu masa en slugs (o lbs2/ft). Por tanto, los autores creen que los pro-blemas asignados a los estudiantes deben incluir ambos sistemas deunidades.

En las secciones opcionales se tratan temas avanzados oespecializados. En el libro se incluye un gran nmero de seccio-nes opcionales identificadas mediante asteriscos y, por tanto, se distin-guen fcilmente de aquellas que constituyen la parte fundamental deun curso bsico de dinmica. Estas secciones pueden omitirse sin per-judicar la comprensin del resto del texto.

Entre los temas cubiertos en las secciones opcionales se encuen-tran los mtodos grficos para la resolucin de problemas de movi-miento rectilneo, trayectoria de una partcula bajo una fuerza central,desviacin de corrientes de fluido, problemas que implican propulsina chorro y cohetes, la cinemtica y la cintica de cuerpos rgidos en tresdimensiones, vibraciones mecnicas amortiguadas, y analogas elctri-cas. Estos temas adquirirn un inters particular cuando el curso de di-nmica se imparta durante el primer ao de estudios.

El material presentado en el libro y la mayor parte de los proble-mas no requieren conocimiento matemtico previo superior al lgebra,la trigonometra y el clculo elementales; todos los conocimientos de l-gebra elemental necesarios para comprender el texto se presentan condetalle en los captulos 2 y 3 del volumen de esttica. Sin embargo, seincluyen problemas especiales que requieren un conocimiento msavanzado de clculo, y ciertas secciones, como las 19.8 y 19.9 sobre vi-braciones amortiguadas, slo deben asignarse cuando los estudiantesposean los fundamentos matemticos adecuados. En las partes del tex-to que utilizan el clculo elemental, se pone mayor nfasis en la apro-piada comprensin de los conceptos matemticos bsicos incluidos queen la manipulacin de las frmulas matemticas. Al respecto, se debemencionar que la determinacin de los centroides de reas compuestasprecede al clculo de centroides por integracin, lo cual posibilita esta-blecer firmemente el concepto de momento de un rea antes de intro-ducir el uso de integrales.

Algunas definiciones y propiedades tiles de lgebra se resumen en el apndice A al fi-nal del libro, para comodidad del lector. Asimismo, las secciones 9.11 a 9.18 del volumende esttica, donde se estudian los momentos de inercia de masas, se reproducen en el apn-dice B.

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ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOS Y CARACTERSTICASPEDAGGICAS

Introduccin del captulo. Cada captulo comienza con una in-troduccin que establece el propsito y los objetivos del mismo, y enla que se describe en trminos sencillos el material que ser cubiertoy sus aplicaciones en la resolucin de problemas de ingeniera. Los nue-vos lineamientos del captulo proporcionan a los estudiantes una visinprevia de los temas que ste incluye.

Lecciones en el captulo. El cuerpo del texto est dividido enunidades, cada una de las cuales consiste en una o ms secciones deteora, uno o varios problemas resueltos, y una gran cantidad de pro-blemas de tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien definidoque, por lo general, puede ser cubierto en una leccin. Sin embargo,en ciertos casos el profesor encontrar que es deseable dedicar ms deuna leccin a un tema en particular.

Problemas resueltos. Los problemas resueltos se plantean demanera muy similar a la que usarn los estudiantes cuando resuelvanlos problemas que se les asignen. Por tanto, estos problemas cumplenel doble propsito de ampliar el texto y demostrar la forma de trabajoclara y ordenada que los estudiantes deben cultivar en sus propias so-luciones.

Resolucin de problemas en forma independiente. Entre losproblemas resueltos y los de tarea, cada leccin incluye una seccin ti-tulada Resolucin de problemas en forma independiente. El propsitode estas secciones es ayudar a los estudiantes a organizar mentalmen-te la teora ya cubierta en el texto y los mtodos de resolucin de losproblemas resueltos, de manera que puedan resolver con mayor xitolos problemas de tarea. Adems, en estas secciones tambin se inclu-yen sugerencias y estrategias especficas que les permitirn enfrentarde manera ms eficiente cualquier problema asignado.

Series de problemas de tarea. La mayora de los problemasson de naturaleza prctica y deben llamar la atencin del estudiante deingeniera. Sin embargo, estn diseados para ilustrar el material presen-tado en el texto y ayudar a los estudiantes a comprender los principios dela mecnica. Los problemas se han agrupado de acuerdo con las partesdel material que ilustran y se presentan en orden de dificultad creciente.Los problemas que requieren atencin especial estn sealados median-te asteriscos. Al final del texto se proporcionan las respuestas correspon-dientes a 70 por ciento de los problemas propuestos; y aquellos paralos cuales no se da respuesta se indican en el libro escribiendo su n-mero en cursivas.

Repaso y resumen del captulo. Cada captulo finaliza con unrepaso y un resumen del material cubierto en el mismo. Las notas almargen se utilizan para ayudar al estudiante a organizar su trabajo derevisin, adems se han incluido referencias cruzadas para ayudarlos aencontrar las partes de material que requieren atencin especial.

Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye ungrupo de problemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los es-tudiantes una oportunidad adicional de aplicar los conceptos ms im-portantes presentados en el captulo.

xviii Prefacio

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xixPrefacioProblemas de computadora. Cada captulo incluye un grupode problemas diseados para ser resueltos mediante programas decomputadora. Muchos de estos problemas son importantes para el pro-ceso de diseo. Por ejemplo, pueden involucrar la determinacin delmovimiento de una partcula bajo condiciones iniciales, el anlisis ci-nemtico o cintico de mecanismos en posiciones sucesivas, o la inte-gracin numrica de diferentes ecuaciones de movimiento. El desarro-llo del algoritmo requerido para resolver un problema de mecnicadado beneficiar a los estudiantes en dos formas diferentes: 1) les ayu-dar a lograr una mejor comprensin de los principios de la mecnicainvolucrados; 2) les proporcionar la oportunidad de aplicar sus habi-lidades con la computadora a la resolucin de un problema relevantede ingeniera.

MATERIALES DE APOYOEsta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen losprocesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de los mis-mos, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para suscursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entregade estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill o enveun correo electrnico a [email protected].

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xx Prefacio AGRADECIMIENTOSLos autores desean agradecer de manera especial a Dean Updike, deLehigh University, quien verific completamente las soluciones y res-puestas de todos los problemas de esta edicin, y despus prepar lassoluciones del Manual para el instructor y de soluciones adicional altexto.

Es un placer reconocer el trabajo de Dennis Ormond de Fine LineIllustrations por las artsticas ilustraciones que contribuyen en granmedida a la efectividad del texto.

Los autores agradecen a las diferentes empresas que proporcionaronfotografas para esta edicin. Tambin desean reconocer el esfuerzo de-terminado y la paciencia de Sabina Dowell, quien seleccion las fotogra-fas.

Un agradecimiento adicional para los miembros de la organizacinMcGraw-Hill por su apoyo y dedicacin en preparar esta nueva edicin.

Por ltimo, los autores expresan su gratitud por los numerosos co-mentarios y sugerencias proporcionados por los usuarios de las edicionesanteriores de Mecnica vectorial para ingenieros.

E. Russell Johnston, Jr.Phillip J. Cornwell

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xxi

Lista de smbolos

a, a Aceleracina Constante; radio; distancia; eje semimayor de la elipse

a, a Aceleracin del centro de masaaBA Aceleracin de B relativa al sistema de referencia en traslacin con AaP Aceleracin de P relativa al sistema de referencia en rotacin

ac Aceleracin de CoriolisA, B, C, . . . Reacciones en soportes y conexionesA, B, C, . . . Puntos

A reab Ancho; distancia; eje semimenor de la elipsec Constante; coeficiente de amortiguamiento viscoso

C Centroide; centro instantneo de rotacin; capacitanciad Distancia

en, et Vectores unitarios a lo largo de la normal y la tangenteer, e Vectores unitarios en las direcciones radial y transversal

e Coeficiente de restitucin; base de los logaritmos naturalesE Energa mecnica total; voltajef Funcin escalarff Frecuencia de vibracin forzadafn Frecuencia naturalF Fuerza; fuerza de friccing Aceleracin de la gravedad

G Centro de gravedad; centro de masa; constante de gravitacinh Momento angular por masa unitaria

HO Momento angular alrededor del punto OHG Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a un

sistema de referencia de orientacin fija(HG)Gxyz Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a un

sistema de referencia en rotacin Gxyzi, j, k Vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas

i CorrienteI, Ix, . . . Momentos de inercia

I Momento centroidal de inerciaIxy, . . . Productos de inercia

J Momento polar de inerciak Constante de resorte

kx, ky, kO Radio de girok Radio de giro centroidall Longitud

L Cantidad de movimiento linealL Longitud; inductanciam Masa

m Masa por unidad de longitudM Par; momento

MO Momento alrededor del punto OMRO Momento resultante alrededor del punto O

M Magnitud de par o momento; masa de la TierraMOL Momento alrededor del eje OL

n Direccin normal

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N Componente normal de la reaccinO Origen de coordenadasP Fuerza; vectorP Razn de cambio del vector P con respecto a un sistema de referencia de

orientacin fijaq Razn de flujo de masa; carga elctricaQ Fuerza; vectorQ Razn de cambio del vector Q con respecto a un sistema de referencia de

orientacin fija(Q)Oxyz Razn de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia Oxyz

r Vector de posicinrBA Vector de posicin de B relativo a A

r Radio; distancia; coordenada polarR Fuerza resultante; vector resultante; reaccinR Radio de la Tierra; resistencias Vector de posicins Longitud de arcot Tiempo; espesor; direccin tangencial

T FuerzaT Tensin; energa cinticau Velocidadu VariableU Trabajo

v, v Velocidadv Rapidez

v, v Velocidad del centro de masavBA Velocidad de B relativa al sistema de transferencia en traslacin con AvP Velocidad de P relativa al sistema de referencia en rotacin

V Producto vectorialV Volumen; energa potencialw Carga por unidad de longitud

W, W Peso; cargax, y, z Coordenadas rectangulares; distanciasx, y, z Derivadas temporales de las coordenadas x, y, zx, y, z Coordenadas rectangulares del centroide, centro de gravedad o centro de masa

, Aceleracin angular, , ngulos

Peso especfico Elongacin Excentricidad de seccin cnica o de rbita Vector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia Coordenada angular; ngulo euleriano; ngulo; coordenada polar Coeficiente de friccin

Densidad; radio de curvatura Periodo

n Periodo de vibracin libre ngulo de friccin; ngulo euleriano; ngulo de fase; ngulo

Diferencia de fase ngulo euleriano

, Velocidad angularf Frecuencia circular de vibracin forzadan Frecuencia circular natural Velocidad angular del sistema de referencia

xxii Lista de smbolos

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bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xxiii

El movimiento del transbordador espacial

se describe en trminos de su posicin,

velocidad y aceleracin. Al aterrizar,

el piloto debe considerar la velocidad

del viento y el movimiento relativo del

transbordador con respecto al viento. El

estudio del movimiento se conoce como

cinemtica y es el objeto de estudio en este

captulo.

600

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Cinemtica de partculas

CAPTULO11

601


602

11.1. INTRODUCCIN A LA DINMICALos captulos 1 al 10 se dedicaron a la esttica, esto es, al anlisis de loscuerpos en reposo. Ahora se inicia el estudio de la dinmica, parte de lamecnica que se refiere al anlisis de los cuerpos en movimiento.

En tanto que el estudio de la esttica se remonta al tiempo de losfilsofos griegos, la primera contribucin importante a la dinmica la realiz Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en cuerpos uniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a formular susleyes de movimiento fundamentales.

La dinmica incluye:

1. La cinemtica, la cual corresponde al estudio de la geometradel movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia ala causa del movimiento.

2. La cintica, que es el estudio de la relacin que existe entrelas fuerzas que actan sobre un cuerpo, su masa y el movi-miento de este mismo. La cintica se utiliza para predecir elmovimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinarlas fuerzas que se requieren para producir un movimiento es-pecfico.

Los captulos 11 al 14 abordan la dinmica de partculas; en el ca-ptulo 11 se considera la cinemtica de partculas. El uso de la pala-bra partculas no significa que el estudio se restringir a pequeoscorpsculos, sino que en estos primeros captulos el movimiento decuerpos posiblemente tan grandes como automviles, cohetes oaviones ser considerado sin tomar en cuenta su tamao. Al afirmarque los cuerpos se analizan como partculas, se entiende que slo se vaa considerar su movimiento como una unidad completa, y se ignoracualquier rotacin alrededor de su propio centro de masa. Sin embar-go, hay casos en los que dicha rotacin no es despreciable; entonces nopueden considerarse como partculas. Este tipo de movimiento se ana-liza en los captulos finales, en los que se trata la dinmica de cuerposrgidos.

En la primera parte del captulo 11 se estudia el movimiento rectilneo de una partcula; esto es, se determina la posicin, velocidady aceleracin de una partcula en todo instante conforme sta se muevea lo largo de una lnea recta. Primero, se emplean mtodos generalesde anlisis para estudiar el movimiento de una partcula; despus seconsideran dos casos particulares importantes, a saber, el movimientouniforme y el movimiento uniformemente acelerado de una partcula(secciones 11.4 y 11.5). En la seccin 11.6, se aborda el movimientosimultneo de varias partculas, y se presenta el concepto de movi-miento relativo de una partcula con respecto a otra. La primera partede este captulo concluye con un estudio de mtodos grficos de anli-sis y su aplicacin en la solucin de diversos problemas que implican elmovimiento rectilneo de partculas (secciones 11.7 y 11.8).

En la segunda parte de este captulo se analiza el movimiento deuna partcula cuando sta se mueve a lo largo de una trayectoriacurva. Puesto que la posicin, velocidad y aceleracin de una par-tcula se definen como cantidades vectoriales, el concepto de la deri-vada de una funcin vectorial se presenta en la seccin 11.10 y seaade a las herramientas matemticas. Despus se estudian las apli-

CAPTULO 11 CINEMTICA DE PARTCULAS

11.1 Introduccin a la dinmica11.2 Posicin, velocidad y aceleracin11.3 Determinacin del movimiento

de una partcula11.4 Movimiento rectilneo uniforme11.5 Movimiento rectilneo

uniformemente acelerado11.6 Movimiento de varias partculas11.7 Solucin grfica de problemas

de movimiento rectilneo11.8 Otros mtodos grficos11.9 Vector de posicin, velocidad

y aceleracin11.10 Derivadas de funciones

vectoriales11.11 Componentes rectangulares de la

velocidad y la aceleracin11.12 Movimiento relativo a un sistema

de referencia en traslacin11.13 Componentes tangencial

y normal11.14 Componentes radial y transversal


60311.2. Posicin, velocidad y aceleracincaciones en las que el movimiento de una partcula se define median-te las componentes rectangulares de su velocidad y aceleracin; eneste punto se analiza el movimiento de un proyectil (seccin 11.11).

En la seccin 11.12 se estudia el movimiento de una partcula enrelacin con el sistema de referencia en traslacin. Por ltimo, se ana-liza el movimiento curvilneo de una partcula en trminos de com-ponentes que no sean las rectangulares. Las componentes tangencialy normal de la velocidad y la aceleracin de una partcula se presen-tan en la seccin 11.13 y las componentes radial y transversal de suvelocidad y aceleracin en la seccin 11.14.

MOVIMIENTO RECTILNEO DE PARTCULAS11.2. POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACINUna partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta se dice quese encuentra en movimiento rectilneo. En cualquier instante dado t,la partcula ocupar cierta posicin sobre la lnea recta. Para definir laposicin P de la partcula se elige un origen fijo O sobre la direccinpositiva a lo largo de la lnea. Se mide la distancia x desde O hasta P,y se marca con un signo ms o menos, dependiendo de si P se alcanzadesde O al moverse a lo largo de la lnea en la direccin positiva o enla negativa, respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, de-fine por completo la posicin de la partcula, y se denomina como lacoordenada de la posicin de la partcula. Por ejemplo, la coordenadade la posicin correspondiente a P en la figura 11.1a) es x 5 m; lacoordenada correspondiente a P en la figura 11.1b) es x 2 m.

Cuando se conoce la coordenada de la posicin x de una partculapara cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movi-miento de la partcula. El itinerario del movimiento puede expresar-se en forma de una ecuacin en x y t, tal como x 6t2 t3, o en unagrfica de x en funcin de t, como se indica en la figura 11.6. Las uni-dades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada dela posicin x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft)en el sistema de unidades ingls. El tiempo t suele medirse en segun-dos (s).

Considere la posicin P ocupada por la partcula en el tiempo t yla coordenada correspondiente x (figura 11.2). Considere tambin laposicin P ocupada por la partcula en un tiempo posterior t t; lacoordenada de la posicin P puede obtenerse sumando a la coorde-nada x de P el pequeo desplazamiento x, el cual ser positivo onegativo segn si P est a la derecha o a la izquierda de P. La veloci-dad promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se defi-ne como el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo detiempo t:

Velocidad promedio xt

Cf. Seccin 1.3.

Figura 11.1

Figura 11.2

O

O

P

x

x

a)

b)1 m

P

x

x

1 m

O

Px

x(t) (t + t)

P'x

Fotografa 11.1 El movimiento de este vehculosolar se describe mediante su posicin, velocidady aceleracin.


604 Cinemtica de partculas Si se usan unidades del SI, x se expresa en metros y t en segundos,la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros porsegundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso comn en EstadosUnidos, x se expresa en pies y t en segundos; la velocidad promediose expresar entonces en pies por segundo (ft/s).

La velocidad instantnea v de la partcula en el instante t se obtie-ne de la velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientosx cada vez ms cortos:

Velocidad instantnea v lmty0

La velocidad instantnea se expresa tambin en m/s o ft/s. Observandoque el lmite del cociente es igual, por definicin, a la derivada de x conrespecto a t, se escribe

v (11.1)

La velocidad v se representa mediante un nmero algebraico quepuede ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que xaumenta, esto es, que la partcula se mueve en la direccin positiva(figura 11.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir,que la partcula se mueve en direccin negativa (figura 11.3b). La mag-nitud de v se conoce como la rapidez de la partcula.

Considere la velocidad v de la partcula en el tiempo t y tambinsu velocidad v v en un tiempo posterior t t (figura 11.4). Laaceleracin promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t serefiere como el cociente de v y t:

Aceleracin promedio

Si se utilizan las unidades del SI, v se expresa en m/s y t en segun-dos; la aceleracin promedio se expresar entonces en m/s2. Si serecurre a las unidades de uso comn en Estados Unidos, v se expre-sa en ft/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresa enton-ces en ft/s2.

La aceleracin instantnea a de la partcula en el instante t seobtiene de la aceleracin promedio al escoger valores de t y v cadavez ms pequeos:

Aceleracin instantnea a lmty0

vt

vt

dxdt

xt

Figura 11.3

Figura 11.4

Como se ver en la seccin 11.9, la velocidad es en realidad una cantidad vectorial. Sinembargo, puesto que aqu se considera el movimiento rectilneo de una partcula, en elcual la velocidad de la misma tiene una direccin conocida y fija, slo es necesario espe-cificar el sentido y la magnitud de la velocidad; esto puede llevarse a cabo de manera con-veniente utilizando una cantidad escalar con un signo ms o menos. Lo mismo se cumplepara la aceleracin de una partcula en movimiento rectilneo.

a)

b)

P

P

x

x

v > 0

v < 0

(t) (t + t)

v + vP'P

x

v


60511.2. Posicin, velocidad y aceleracinLa aceleracin instantnea se expresa tambin en m/s2 o ft/s2. El lmi-te del cociente, el cual es por definicin la derivada de v con respectoa t, mide la razn de cambio de la velocidad. Se escribe

a (11.2)

o, con la sustitucin de v de (11.1),

a (11.3)

La aceleracin a se representa mediante un nmero algebraico quepuede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que lavelocidad (es decir, el nmero algebraico v) aumenta. Esto puedesignificar que la partcula se est moviendo ms rpido en la direc-cin positiva (figura 11.5a) o que se mueve ms lentamente en ladireccin negativa (figura 11.5b); en ambos casos, v es positiva. Unvalor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya sea que lapartcula se est moviendo ms lentamente en la direccin positiva(figura 11.5c) o que se est moviendo ms rpido en la direccinnegativa (figura 11.5d).

d2xdt2

dvdt

Figura 11.5

El trmino desaceleracin se utiliza en algunas ocasiones para re-ferirse a a cuando la rapidez de la partcula (esto es, la magnitud dev) disminuye; la partcula se mueve entonces con mayor lentitud. Porejemplo, la partcula de la figura 11.5 se desacelera en las partes b yc; en verdad se acelera (es decir, se mueve ms rpido) en las partesa y d.

Es posible obtener otra expresin para la aceleracin eliminando ladiferencial dt en las ecuaciones (11.1) y (11.2). Al resolver (11.1) paradt, se obtiene dt dxv; al sustituir en (11.2), se escribe

a v (11.4)dvdx

Vase la nota al pie, pgina 604.

v

Px

P'

v'

a > 0a)

x

v

PP'

v'

a > 0b)

x

v

P P'

v'

a < 0c)

x

v

PP'

v'

a < 0

d)


606 Cinemtica de partculas Ejemplo. Considere la partcula que se mueve en una lnea rectay suponga que su posicin est definida por la ecuacin

x 6t2 t3

donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v encualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x con respecto a t

v 12t 3t2

La aceleracin a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t:

a 12 6t

La coordenada de la posicin, la velocidad y la aceleracin se hangraficado contra t en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se cono-cen como curvas de movimiento. Recurdese, sin embargo, que lapartcula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la par-tcula se mueve en una lnea recta. Puesto que la derivada de unafuncin mide la pendiente de la curva correspondiente, la pendientede la curva x-t en cualquier tiempo dado es igual al valor de v enese tiempo y la pendiente de la curva v-t es igual al valor de a. Puestoque a 0 en t 2 s, la pendiente de la curva v-t debe ser cero ent 2 s; la velocidad alcanza un mximo en este instante. Adems,puesto que v 0 en t 0 y t 4 s la tangente a la curva x-t debeser horizontal para ambos de estos valores de t.

Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 11.6muestra que el movimiento de la partcula desde t 0 hasta t puede dividirse en cuatro etapas:

1. La partcula inicia desde el origen, x 0, sin velocidad perocon una aceleracin positiva. Bajo esta aceleracin, gana unavelocidad positiva y se mueve en la direccin positiva. De t 0 a t 2 s, x, v y a son todas positivas.

2. En t 2 s, la aceleracin es cero; la velocidad ha alcanzadosu valor mximo. De t 2 s a t 4 s, v es positiva, pero a esnegativa. La partcula an se mueve en direccin positiva, perocada vez ms lentamente; la partcula se est desacelerando.

3. En t 4 s, la velocidad es cero; la coordenada de la posicinx ha alcanzado su valor mximo. A partir de ah, tanto v comoa son negativas; la partcula se est acelerando y se mueve enla direccin negativa con rapidez creciente.

4. En t 6 s, la partcula pasa por el origen; su coordenada x esen ese caso cero, en tanto que la distancia total recorrida desdeel principio del movimiento es de 64 m. Para valores mayoresde t que 6 s, x, v y a sern todas negativas. La partcula con-tina movindose en la direccin negativa, alejndose de O,cada vez ms rpido.

dvdt

dxdt

Figura 11.6

x (m)

v (m/s)

t (s)

t (s)

t (s)

32

24

16

8

0

12

2

2

4

4

6

6

0

12

a (m/s2)

12

0

24

12

24

36

2 4 6


60711.3. Determinacin del movimiento de una partcula

11.3. DETERMINACIN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTCULAEn la seccin anterior se afirma que el movimiento de una partculaes conocido si se sabe la posicin de la partcula para todo valor deltiempo t. En la prctica, sin embargo, un movimiento rara vez se de-fine por medio de una relacin entre x y t. Con mayor frecuencia, lascondiciones del movimiento se especificarn por el tipo de acelera-cin que posee la partcula. Por ejemplo, un cuerpo en cada libretendr una aceleracin constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81m/s2, o 32.2 ft/s2; una masa unida a un resorte que se ha estirado ten-dr una aceleracin proporcional a la elongacin instantnea del resorte, medida desde la posicin de equilibrio, etc. En general, laaceleracin de la partcula puede expresarse como una funcin deuna o ms de las variables x, v y t. Para determinar la coordenada dela posicin x en trminos de t, ser necesario efectuar dos integracio-nes sucesivas.

Se considerarn tres clases comunes de movimiento:

1. a f(t). La aceleracin es una funcin dada de t. Al resolver(11.2) para dv y sustituir f(t) por a, se escribe

dv a dtdv f(t) dt

Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuacin

dv f(t) dt

que define v en trminos de t. Sin embargo, debe notarseque una constante arbitraria se introducir como resultadode la integracin. Esto se debe al hecho de que hay muchosmovimientos que corresponden a la aceleracin dada a f(t). Para definir en forma nica el movimiento de la partcu-la, es necesario especificar las condiciones iniciales del movi-miento, esto es, el valor de v0 de la velocidad y el valor x0 dela coordenada de la posicin en t 0. Al sustituir las inte-grales indefinidas por integrales definidas con los lmitesinferiores correspondientes a las condiciones iniciales t 0 yv v0 y los lmites superiores correspondientes a t t y v v, se escribe

vv0

dv t0

f(t) dt

v v0 t0

f(t) dt

lo cual produce v en trminos de t.La ecuacin (11.1) puede resolverse ahora para dx,

dx v dt

y la expresin que se acaba de obtener sea sustituida por v.Ambos miembros se integran despus, el miembro izquierdocon respecto a x desde x x0 hasta x x, y el miembro de-


608 Cinemtica de partculas recho respecto a t desde t 0 hasta t t. La coordenada dela posicin x se obtiene de ese modo en trminos de t; el mo-vimiento est completamente determinado.

Dos casos particulares importantes se estudiarn con grandetalle en las secciones 11.4 y 11.5: el caso en el que a 0,que corresponde a un movimiento uniforme, y en el que a constante, que corresponde a un movimiento uniformementeacelerado.

2. a f(x). La aceleracin se da en funcin de x. Al reordenar laecuacin (11.4) y sustituir f(x) para a, se escribe

v dv a dxv dv f(x) dx

Puesto que cada miembro contiene slo una variable, se puedeintegrar la ecuacin. Denotando de nuevo mediante v0 y x0,respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la co-ordenada de la posicin, se obtiene

vv0

v dv xx0

f(x) dx

12v

2 12v20 x

x0

f(x) dx

la cual produce v en trminos de x. A continuacin se resuel-ve (11.1) para dt,

dt

y se sustituye por v la expresin que acaba de obtenerse. Ambosmiembros pueden integrarse entonces para obtener la relacindeseada entre x y t. Sin embargo, en muchos casos esta ltimaintegracin no puede llevarse a cabo de manera analtica y deberecurrirse a un mtodo de integracin numrico.

3. a f(v). La aceleracin es una funcin dada de v. Es posiblesustituir f(v) por a en (11.2) u (11.4) para obtener cualquierade las relaciones siguientes:

f(v) ddvt f(v) v

dd

vx

dt fd(vv)

dx vf(

dv)

v

La integracin de la primera ecuacin producir una rela-cin entre v y t; la integracin de la segunda ecuacin ori-ginar una relacin entre v y x. Cualquiera de estas relacionespuede utilizarse junto con la ecuacin (11.1) para obtenerla relacin entre x y t que caracteriza el movimiento de lapartcula.

dxv


PROBLEMA RESUELTO 11.1La posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta estdefinida por la relacin x t3 6t2 15t 40, donde x se expresa en piesy t en segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad ser cero, b) laposicin y la distancia recorrida por la partcula en ese tiempo, c) la acelera-cin de la partcula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partculadesde t 4 s hasta t 6 s.

SOLUCINLas ecuaciones de movimiento son

x t3 6t2 15t 40 (1)

v ddxt 3t2 12t 15 (2)

a ddvt 6t 12 (3)

a) Tiempo en el cual v 0. Se fija v 0 en (2):

3t2 12t 15 0 t 1 s y t 5 s

Slo la raz t 5 s corresponde a un tiempo despus de que el movimientose ha iniciado: para t 5 s, v 0, la partcula se mueve en direccin nega-tiva; para t 5 s, v 0, la partcula se mueve en direccin positiva.

b) Posicin y distancia recorrida cuando v 0. Al sustituir t 5 s en (1), se tiene

x5 (5)3 6(5)2 15(5) 40 x5 60 ft

La posicin inicial en t 0 fue x0 40 ft. Puesto que v 0 durante el in-tervalo t 0 a t 5 s se tiene

Distancia recorrida x5 x0 60 ft 40 ft 100 ftDistancia recorrida 100 ft en la direccin negativa

c) Aceleracin cuando v 0. Se sustituye t 5 s en (3):

a5 6(5) 12 a5 18 ft/s2

d) Distancia recorrida desde t 4 s hasta t 6 s. La partcula semueve en la direccin negativa desde t 4 s hasta t 5 s y en direccinpositiva desde t 5 s hasta t 6 s; por lo tanto, la distancia recorrida du-rante cada uno de estos intervalos de tiempo se calcular por separado.

De t 4 s a t 5 s: x5 60 ft

x4 (4)3 6(4)2 15(4) 40 52 ftDistancia recorrida x5 x4 60 ft (52 ft) 8 ft

8 ft en la direccin negativa

De t 5 s a t 6 s: x5 60 ft

x6 (6)3 6(6)2 15(6) 40 50 ftDistancia recorrida x6 x5 50 ft (60 ft) 10 ft

10 ft en la direccin positiva

La distancia total recorrida desde t 4 s hasta t 6 s es de 8 ft 10 ft 18 ft

609

x (ft)

v (ft/s)

t (s)

t (s)

t (s)

18

0

0

0

a (ft/s2)

40

60

+5

+5

+2 +5


PROBLEMA RESUELTO 11.2Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente haciaarriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la ace-leracin de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determinea) la velocidad v y la elevacin y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiem-po t, b) la elevacin ms alta que alcanza la pelota y el valor correspondientede t, c) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la velocidad corres-pondiente. Dibuje las curvas v-t y y-t.

SOLUCINa) Velocidad y elevacin. El eje y que mide la coordenada de la po-

sicin (o elevacin) se elige con su origen O sobre el suelo y su sentido po-sitivo hacia arriba. El valor de la aceleracin y los valores iniciales de v y yson como se indica. Al sustituir a en a dvdt y observar que en t 0, v0 10 m/s, se tiene

ddvt a 9.81 m/s2

vv

010

dv t0

9.81 dt

[v]v10 [9.81t]t0v 10 9.81t

v 10 9.81t (1)

Al sustituir v en v dydt y observar que en t 0, y0 20 m, se tiene

ddyt v 10 9.81t

yy

020

dy t0

(10 9.81t) dt

[y]y20 [10t 4.905t2]t0

y 20 10t 4.905t2

y 20 10t 4.905t2 (2)

b) Mxima elevacin. Cuando la pelota alcanza su mxima eleva-cin, se tiene v 0. Al sustituir en (1), se obtiene

10 9.81t 0 t 1.019 s

Al sustituir t 1.019 s en (2), se tiene

y 20 10(1.019) 4.905(1.019)2 y 25.1 m

c) La pelota golpea el suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, setiene y 0. Al sustituir en (2), se obtiene

20 10t 4.905t2 0 t 1.243 s y t 3.28 s

Slo la raz t 3.28 s corresponde a un tiempo despus de que el movi-miento se ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene

v 10 9.81(3.28) 22.2 m/s v 22.2 m/sw

610

y

O

a = 9.81 m/s2

v0 = +10 m/s

y0 = +20 m

v(m/s)

t(s)

y(m)

3.28

3.28

22.2

25.1

1.019

1.019

Curva velocidad-tiempo

Curvaposicin-tiempo

10

20

0

0

t(s)

Pendiente = a = 9.81 m/s 2

Pend

iente

= v 0

= 1

0 m

/s

Pendiente = v = 22.2 m /s


PROBLEMA RESUELTO 11.3El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso en ciertos tiposde caones consiste esencialmente en un mbolo unido a un can que semueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el can retrocede con unavelocidad inicial v0, el mbolo se mueve y el aceite es forzado a travs de losorificios en el mbolo, provocando que este ltimo y el can se desacelerena una razn proporcional a su velocidad; esto es, a kv. Exprese a) v entrminos de t, b) x en trminos de t, c) v en trminos de x. Dibuje las curvasdel movimiento correspondiente.

SOLUCINa) v trminos de t. Al sustituir kv por a en la expresin fundamen-

tal que define a la aceleracin, a dvdt, se escribe

kv ddvt

dvv k dt v

v0

dvv k t

0dt

ln vv0 kt v v0e

kt

b) x en trminos de t. Al sustituir la expresin que acaba de obte-nerse para v en v dxdt, se escribe

v0ekt

ddxt

x0

dx v0 t0

ekt dt

x vk0[ekt]t0

vk0(ekt 1)

x vk0(1 ekt)

c) v en trminos de x. Mediante la sustitucin kv para a en a vdv/dx, se escribe

kv vdd

vx

dv k dx

vv

0

dv k x0

dx

v v0 kx v v0 kx

Comprobacin. La parte c) podra haberse resuelto al eliminar t delas respuestas obtenidas para las partes a) y b). Este mtodo alternativo puedeutilizarse como una comprobacin. De la parte a) se obtiene ekt vv0; alsustituir en la respuesta de la parte b), se obtiene

x (1 ekt) 1 v v0 kx (comprobacin)vv0v0k

v0k

611

mbolo

Aceite

v

O t

x

O t

v0

v0k

v

O x

v0

v0k


R E S O L U C I N D E P R O B L E M A SE N F O R M A I N D E P E N D I E N T E

En los problemas de esta leccin se pide determinar la posicin, la velocidad o laaceleracin de una partcula en movimiento rectilneo. En cada problema, es impor-tante identificar tanto la variable independiente (por lo comn t o x) y qu es lo quese pide (por ejemplo, la necesidad de expresar v como una funcin de x). Se reco-mienda empezar cada problema escribiendo tanto la informacin dada como un enun-ciado simple de lo que se va a determinar.

1. Obtencin de v(t) y a(t) para una x(t) dada. Como se explic en la seccin11.2, la primera y segunda derivadas de x con respecto a t son respectivamente igua-les a la velocidad y a la aceleracin de la partcula [ecuaciones (11.1) y (11.2)]. Si lavelocidad y la aceleracin tienen signos opuestos, la partcula puede llegar al reposoy despus moverse en la direccin opuesta [problema resuelto 11.1]. As, cuando secalcula la distancia total recorrida por una partcula, se debe determinar primero sila partcula lleg al reposo durante el intervalo de tiempo especificado. Al construirun diagrama similar al del problema resuelto 11.1 que muestra la posicin y la velo-cidad de la partcula y cada instante crtico (v vmx, v 0, etc.), se contar conuna ayuda para visualizar el movimiento.

2. Obtencin de v(t) y x(t) para una a(t) dada. La solucin de problemas deeste tipo se analiz en la primera parte de la seccin 11.3. Se recurre a las condicio-nes iniciales, t 0 y v v0, como los lmites inferiores de las integrales en t y v,pero es posible utilizar cualquier otro estado conocido (por ejemplo, t t1, v v1).Adems, si la funcin a(t) contiene una constante desconocida (por ejemplo, la cons-tante k si a kt), primero se debe determinar la constante al sustituir un conjuntode valores conocidos de t y a en la ecuacin que define a a(t).

3. Obtencin de v(x) y x(t) para una a(x) dada. ste es el segundo caso con-siderado en la seccin 11.3. Los lmites inferiores de integracin pueden ser los decualquier estado conocido (por ejemplo, x x1, v v1). Adems, puesto que v vmx cuando a 0, las posiciones donde ocurren los valores mximos de la veloci-dad se determinan con facilidad al escribir a(x) 0 y al resolver para x.

4. Obtencin de v(x), v(t) y x(t) para una a(v) dada. ste es el ltimo casoque se abord en la seccin 11.3; las tcnicas de solucin apropiadas para problemasde este tipo se ilustran en el problema resuelto 11.3. Todos los comentarios genera-les correspondientes a los casos anteriores tambin se aplican en esta situacin. Elproblema resuelto 11.3 proporciona un resumen de cmo y cundo utilizar las ecua-ciones v dxdt, a dvdt y a v dvdx.

612


613

Problemas

11.1 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x 1.5t4 30t2 5t 10, donde x y t se expresan en metros y segundos,respectivamente. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de lapartcula cuando t = 4 s.

11.2 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx = 12t3 18 t2 2t 5, donde x y t se expresan en metros y segundos, res-pectivamente. Determine la posicin y la velocidad cuando la aceleracin dela partcula es igual a cero.

11.3 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx = 53 t3 52 t2 30t 8x, donde x y t se expresan en pies y segundos, res-pectivamente. Determine el tiempo, la posicin y la aceleracin cuandov 0.

11.4 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x 6t2 8 40 cos t, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, res-pectivamente. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de la par-tcula cuando t 6 s.

11.5 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx 6t4 2t3 12t2 3t 3, donde x y t se expresan en metros y segun-dos, respectivamente. Determine el tiempo, la posicin y la velocidad cuandoa 0.

11.6 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx 2t3 15t2 24t 4, donde x se expresa en metros y t en segundos.Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la posicin y la distancia totalviajada hasta ese momento cuando la aceleracin es cero.

11.7 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx t3 6t2 36t 40, donde x y t se expresan en pies y segundos, res-pectivamente. Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la velocidad, laaceleracin y la distancia total viajada cuando x 0.

11.8 El movimiento de una partcula est definido por la relacinx t3 9t2 24t 8, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, res-pectivamente. Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la posicin y ladistancia total recorrida cuando la aceleracin es cero.

11.9 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin a 8 m/s2. Si se sabe que x 20 m cuando t 4 s y x 4 m cuando v 16 m/s, determine a) el tiempo cuando la velocidad es cero, b) la velo-cidad y la distancia total recorrida cuando t 11 s.

Las respuestas a todos los problemas cuyo nmero est en tipo recto (como en 11.1)se presentan al final del libro. No se dan las respuestas a los problemas con nmeros enitlicas (como en 11.7).


614 Cinemtica de partculas 11.10 La aceleracin de una partcula es directamente proporcionalal cuadrado del tiempo t. Cuando t 0, la partcula est en x 24 m. Si se sabe que en t 6 s, x 96 m y v 18 m/s, exprese x y v en trminosde t.

11.11 La aceleracin de una partcula es directamente proporcionalal tiempo t. Cuando t 0, la velocidad de la partcula es v 16 in./s. Si sesabe que v 15 in./s, y que x 20 in. cuando t 1 s, determine la velo-cidad, la posicin y la distancia total recorrida cuando t 7 s.

11.12 La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a kt2. a) Si se sabe que v 32 ft/s cuando t 0 y que v 32 ft/scuando t 4 s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de mo-vimiento, sabiendo tambin que x 0 cuando t 4 s.

11.13 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacina A 6t2, donde A es constante. En t 0, la partcula inicia en x 8 mcon v 0. Si se sabe que t 1 s y v 30 m/s, determine a) los tiempos enlos que la velocidad es cero, b) la distancia total recorrida por la partculacuando t 5 s.

11.14 Se sabe que desde t 2 s hasta t 10 s, la aceleracin de unapartcula es inversamente proporcional al cubo del tiempo t. Cuando t 2 s, v 15 m/s y cuando t 10 s, v 0.36 m/s. Si se sabe que la partcu-la est dos veces ms lejos del origen cuando t 2 s que cuando t 10 s, determine a) la posicin de la partcula cuando t 2 s y cuandot 10 s, b) la distancia total recorrida por la partcula desde t 2 s has-ta t 10 s.

11.15 La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a k/x. Se ha determinado experimentalmente que v 15 ft/s cuando x 0.6 ft y que v 9 ft/s cuando x 1.2 ft. Determine a) la velocidad de lapartcula cuando x 1.5 ft, b) la posicin de la partcula en la que su velo-cidad es cero.

11.16 Una partcula que inicia desde el reposo en x 1 ft se acelerade forma que la magnitud de su velocidad se duplica entre x 2 ft y x 8 ft.Si se sabe que la aceleracin de la partcula est definida por la relacin a k[x (A/x)], determine los valores de las constantes A y k si la partculatiene una velocidad de 29 ft/s cuando x 16 ft.

11.17 Una partcula oscila entre los puntos x 40 mm y x 160 mmcon una aceleracin a k(100 x), donde a y x se expresan en mm/s2 y mm,respectivamente, y k es una constante. La velocidad de la partcula es de 18 mm/s cuando x 100 mm y es cero cuando x 40 mm y cuandox 160 mm. Determine a) el valor de k, b) la velocidad cuando x 120 mm.

11.18 Una partcula parte desde el reposo en el origen y recibe unaaceleracin a k(x 4)2, donde a y x se expresan en m/s2 y m, respectiva-mente, y k es una constante. Si se sabe que la velocidad de la partcula esde 4 m/s cuando x 8 m, determine a) el valor de k, b) la posicin de lapartcula cuando v 4.5 m/s, c) la velocidad mxima de la partcula.

11.19 Una pieza de equipo electrnico que est rodeada por materialde empaque se deja caer de manera que golpea el suelo con una velocidadde 4 m/s. Despus del impacto, el equipo experimenta una aceleracin de a kx, donde k es una constante y x es la compresin del material de em-paque. Si dicho material experimenta una compresin mxima de 20 mm,determine la aceleracin mxima del equipo.Figura P11.19

v


11.20 Con base en observaciones experimentales, la aceleracin deuna partcula est definida por la relacin a (0.1 sen x/b), donde a yx se expresan en m/s2 y metros, respectivamente. Si se sabe que b 0.8 my que v 1 m/s cuando x 0, determine a) la velocidad de la partculacuando x 1 m, b) la posicin de la partcula en la que su velocidad esmxima, c) la velocidad mxima.

11.21 A partir de x 0, sin velocidad inicial, la aceleracin de unapartcula est definida por la relacin a 0.8 v2 49, donde a y v se expresan en m/s2 y m/s, respectivamente. Determine a) la posicin de la par-tcula cuando v 24 m/s, b) la rapidez de la partcula cuando x 40 m.

11.22 La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a kv, donde k es una constante. Si se sabe que en t 0, x 0 y v 81 m/s y que v 36 m/s cuando x 18 m, determine a) la velocidadde la partcula cuando x 20 m, b) el tiempo requerido para que la partculaquede en reposo.

11.23 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacina 0.8v, donde a se expresa en in./s2 y v en in./s. Si se sabe que cuandot 0 la velocidad es de 40 in./s, determine a) la distancia que recorrer lapartcula antes de quedar en reposo, b) el tiempo requerido para que la par-tcula quede en reposo, c) el tiempo requerido para que la velocidad de lapartcula se reduzca a 50 por ciento de su valor inicial.

11.24 Una bola de boliche se deja caer desde una lancha, de maneraque golpea la superficie del lago con una rapidez de 25 ft/s. Si se supone quela bola experimenta una aceleracin hacia abajo a 10 0.9v2 cuando esten el agua, determine la velocidad de la bola cuando golpea el fondo dellago.

11.25 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacina 0.4(1 kv), donde k es una constante. Si se sabe que en t 0 la partculaparte desde el reposo con x 4 m, y que cuando t 15 s, v 4 m/s, determine a) la constante k, b) la posicin de la partcula cuando v 6 m/s,c) la velocidad mxima de la partcula.

11.26 Una partcula se proyecta hacia la derecha desde la posicinx 0 con una velocidad inicial de 9 m/s. Si la aceleracin de la partcula sedefine mediante la relacin a 0.6v3/2, donde a y v se expresan en m/s2

y m/s, respectivamente, determine a) la distancia que habr recorrido la partcula cuando su velocidad sea de 4 m/s, b) el tiempo cuando v 1 m/s,c) el tiempo requerido para que la partcula recorra 6 m.

11.27 Con base en observaciones, la velocidad de un atleta puedeaproximarse por medio de la relacin v 7.5(1 0.04x)0.3, donde v y x seexpresan en mi/h y millas, respectivamente. Si se sabe que x 0 cuandot 0, determine a) la distancia que ha recorrido el atleta cuando t 1 h,b) la aceleracin del atleta en ft/s2 cuando t 0, c) el tiempo requerido paraque el atleta recorra 6 mi.

11.28 Datos experimentales indican que en una regin de la corrientede aire que sale por una rejilla de ventilacin, la velocidad del aire emitidoest definido por v 0.18v0/x, donde v y x se expresan en m/s y metros, res-pectivamente, y v0 es la velocidad de descarga inicial del aire. Para v0 3.6m/s, determine a) la aceleracin del aire cuando x 2 m, b) el tiempo re-querido para que el aire fluya de x 1 a x 3 m.

615Problemas

30 ft

Figura P11.24

v

Figura P11.27

v

x

Figura P11.28


616 Cinemtica de partculas 11.29 La aceleracin debida a la gravedad a una altura y sobre la su-perficie de la Tierra puede expresarse como

a

donde a y y se expresan en ft/s2 y pies, respectivamente. Utilice esta expresinpara calcular la altura que alcanza un proyectil lanzado verticalmente haciaarriba desde la superficie terrestre si su velocidad inicial es a) 1 800 ft/s,b) 3 000 ft/s, c) 36 700 ft/s.

11.30 La aceleracin debida a la gravedad de una partcula que caehacia la Tierra es a gR2/r2, donde r es la distancia desde el centro de la Tierra a la partcula, R es el radio terrestre y g es la aceleracin de la gra-vedad en la superficie de la Tierra. Si R 3 960 mi, calcule la velocidad deescape, esto es, la velocidad mnima con la cual una partcula debe proyec-tarse hacia arriba desde la superficie terrestre para no regresar a la Tierra.(Sugerencia: v 0 para r .)

11.31 La velocidad de una partcula es v v0[1 sen(t/T)]. Si se sabe que la partcula parte desde el origen con una velocidad inicial v0, determine a) su posicin y su aceleracin en t 3T, b) su velocidad promediodurante el intervalo de t 0 a t T.

11.32 La velocidad de una corredera se define mediante la relacin v vsen(wnt ). Si se denota la velocidad y la posicin de la correderaen t 0 con v0 y x0, respectivamente, y se sabe que el desplazamiento m-ximo de la corredera es 2x0, demuestre que a) v (v20 x

20

2n)2x0n, b) el

valor mximo de la velocidad ocurre cuando x x0[3 (v0x0n)2]2.

11.4. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEEl movimiento rectilneo uniforme es un tipo de movimiento en lnearecta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prcticas. En estemovimiento, la aceleracin a de una partcula es cero para todo valorde t. En consecuencia, la velocidad v es constante, y la ecuacin (11.1)se transforma en

v constante

La coordenada de posicin x se obtiene cuando se integra esta ecua-cin. Al denotar mediante x0 el valor inicial de x, se escribe

xx0

dx v t0

dt

x x0 vt

x x0 vt (11.5)

Esta ecuacin puede utilizarse slo si la velocidad de la partcula esconstante.

dxdt

32.2[1 (y20.9 106)]2

Figura P11.29

Figura P11.30

P

y

R

P

r


11.5. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTEACELERADOEl movimiento rectilneo uniformemente acelerado es otro tipo comnde movimiento. En ste, la aceleracin a de la partcula es constante, yla ecuacin (11.2) se convierte en

ddvt a constante

La velocidad v de la partcula se obtiene al integrar esta ecuacin:

vv0

dv a t0

dt

v v0 at

v v0 at (11.6)

donde v0 es la velocidad inicial. Al sustituir por v en (11.1), se escribe

ddxt v0 at

Al denotar mediante x0 el valor inicial de x e integrar, se tiene

xx0

dx t0

(v0 at) dt

x x0 v0t 12at

2

x x0 v0t 12at

2 (11.7)

Tambin se puede recurrir a la ecuacin (11.4) y escribir

vdd

vx a constante

v dv a dx

Al integrar ambos lados, se obtiene

vv0

v dv a xx0

dx

12(v

2 v20) a(x x0)

v2 v20 2a(x x0) (11.8)

Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones tilesentre la coordenada de posicin, la velocidad y el tiempo en el casodel movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores apro-piados de a, v0 y x0. El origen O del eje x debe definirse primero y es-cogerse una direccin positiva a lo largo del eje; esta direccin se usarpara determinar los signos de a, v0 y x0. La ecuacin (11.6) relacionav y t y debe utilizarse cuando se desee que el valor de v correspondaa un valor determinado de t, o de manera inversa. La ecuacin (11.7)

61711.5. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado


618 Cinemtica de partculas relaciona a x y t; la ecuacin (11.8) relaciona a v y x. Una aplicacinimportante del movimiento uniformemente acelerado es el movimientode un cuerpo en cada libre. La aceleracin de un cuerpo en cada li-bre (usualmente denotada mediante g) es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2.

Es importante recordar que las tres ecuaciones anteriores puedenutilizarse slo cuando se sabe que la aceleracin de la partcula es cons-tante. Si la aceleracin de la partcula es variable, su movimiento sedebe determinar a partir de las ecuaciones fundamentales (11.1) a(11.4) segn los mtodos sealados en la seccin 11.3.

11.6. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTCULASCuando varias partculas se mueven de manera independiente a lolargo de la misma lnea, es posible escribir ecuaciones de movimientoindependientes para cada partcula. Siempre que sea factible, el tiem-po debe registrarse a partir del mismo instante inicial para todas laspartculas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismoorigen y en la misma direccin. En otras palabras, deben usarse un soloreloj y una sola cinta mtrica.

Movimiento relativo de dos partculas. Considere dos partcu-las A y B que se mueven a lo largo de la misma lnea recta (figura 11.7).Si las coordenadas de posicin xA y xB se miden desde el mismo ori-gen, la diferencia xB xA define la coordenada de posicin relativa deB con respecto a A y se denota por medio de xBA. Se escribe

xBA xB xA o xB xA xBA (11.9)

De manera independiente de las posiciones de A y B con respecto alorigen, un signo positivo para xBA significa que B est a la derecha deA, y un signo negativo indica que B se encuentra a la izquierda de A.

La razn de cambio xBA se conoce como la velocidad relativa deB con respecto a A y se denota por medio de vBA. Al diferenciar (11.9),se escribe

vBA vB vA o vB vA vBA (11.10)

Un signo positivo de vBA significa que a partir de A se observa que Bse mueve en direccin positiva; un signo negativo indica, segn seobserva, que sta se mueve en direccin negativa.

La razn de cambio de vBA se conoce como la aceleracin relati-va de B con respecto a A y se denota mediante aBA. Al diferenciar(11.10), se obtiene

aBA aB aA o aB aA aBA (11.11)

Movimientos dependientes. Algunas veces, la posicin de unapartcula depender de la posicin de otra o de varias partculas. En ese

Advierta que el producto de los subndices A y BA que se usa en el miembro izquierdode las ecuaciones (11.9), (11.10) y (11.11) es igual al subndice B utilizado en el miembrodel lado izquierdo.

x xA

AO B

xB/A xB

Figura 11.7

Fotografa 11.2 En esta gra de embarcaderose utilizan mltiples cables y poleas.


caso se dice que los movimientos son dependientes. Por ejemplo, laposicin del bloque B en la figura 11.8 depende de la posicin del blo-que A. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud constante, ypuesto que las longitudes de las porciones de cuerda CD y EF alre-dedor de las poleas permanecen constantes, se concluye que la suma delas longitudes de los segmentos AC, DE y FG es constante. Al observarque la longitud del segmento AC difiere de xA slo por una constante yque, de manera similar, las longitudes de los segmentos DE y FG difieren de xB nicamente por una constante, se escribe

xA 2xB constante

la cual recibe el nombre de ecuacin de ligadura. Puesto que slo una de las dos coordenadas xA y xB pueden elegir-

se de manera arbitraria, se afirma que el sistema que se presenta en lafigura 11.8 tiene un grado de libertad. De la relacin entre las coorde-nadas de posicin xA y xB se deduce que xA presenta un incrementoxA, esto es, si el bloque A desciende una cantidad xA, la coordenadaxB recibir un incremento xB

12xA. En otras palabras, el bloque

B ascender la mitad de la misma cantidad; lo anterior puede verificar-se con facilidad de modo directo de la figura 11.8.

En el caso de los tres bloques de la figura 11.9, se puede observarde nuevo que la longitud de la cuerda que pasa por las poleas es cons-tante y, en consecuencia, las coordenadas de posicin de los tres blo-ques deben satisfacer la siguiente relacin:

2xA 2xB xC constante

Puesto que es posible elegir de manera arbitraria dos de las coordena-das, se afirma que el sistema que se muestra en la figura 11.9 tiene dosgrados de libertad.

Cuando la relacin que existe entre las coordenadas de posicin devarias partculas es lineal, se cumple una relacin similar entre las velo-cidades y entre las aceleraciones de las partculas. En el caso de los blo-ques de la figura 11.9, por ejemplo, se diferencia dos veces la ecuacinobtenida y se escribe

2ddxtA 2d

dxtB

ddxtC 0 o 2vA 2vB vC 0

2ddvtA 2d

dvtB

ddvtC 0 o 2aA 2aB aC 0

A

B

C xB

xC xA

xA

xB

A

B

C D

E F

G

Figura 11.8

Figura 11.9

61911.6. Movimiento de varias partculas


PROBLEMA RESUELTO 11.4Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 metrosen el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismoinstante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m, movin-dose hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s.

Mecánica vectorial para ingenieros Dinámica Beer 9 ed.

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