MECÂNICA - ESTÁTICA Atrito Cap. 8. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2013 Curotto, C.L. -...
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MECÂNICA - ESTÁTICA
Atrito
Cap. 8
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8.1 Características do Atrito Seco - Definição de Atrito
• Atrito é uma força de resistência
que atua em um corpo impedindo
ou retardando seu movimento.
• Esta força atua sempre tangente a
superfície nos pontos de contato e
em sentido oposto ao possível
movimento.
Forças de Atrito
Direção do movimento
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Existem dois tipos de atrito:
• Atrito fluído: existe quando as superficies de contato
estão separadas por um fluído (gás ou líquido).
• Atrito seco (atrito de Coulomb): ocorre entre duas
superficíes sem a presença de um fluído lubrificante
8.1 Características do Atrito Seco - Tipos de Atrito
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Considere o bloco abaixo apoiado em uma superfície
rugosa.
Assuma:
A superfície de contato e não-rígida ou deformável
O restante do bloco é rígido
8.1 Características do Atrito Seco - Teoria do Atrito Seco
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Atrito Fn atua em sentido contrário a P
Resultante normal N atua para suportar o peso W
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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Olhando um detalhe da superfície de contato:
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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No equilíbrio:• F atua oposta a P e tangente a
superfície de contato• N atua de baixo para cima para
suportar W• N atua a uma distância x, a
direita do centróide para
balancear o momento causado
por P
8.1 * - do Atrito Seco
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W
Phx
PhWx
M
WN
WN
F
O
y
0
0
0
0
Balanceando o momento:
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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Balanceando o momento:
x=Ph/W
Assim o bloco estará na
iminência de tombamento se N
atuar na borda do bloco em
x = a/2
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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Movimento iminente:
P F até que F Fs (força limite de atrito estática)
se F = Fs o bloco está numa situação de equilíbrio
instável
o bloco poderá se mover
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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sss
s
ss
N
N
N
F
NF
111 tantantan
Onde:s: coeficiente de atrito estáticos: ângulo de atrito estático
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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Valores típicos de s:
1.1-1.7Alumínio sobre alumínio
0.3-0.6Couro sobre metal
0.2-0.5Couro sobre madeira
0.3-0.7Madeira sobre madeira
0.03-0.05Metal sobre gelo
Coeficiente de Atrito Estático (s)
Materiais em contato
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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Movimento:
Se P > Fs e F = Fk (força de atrito cinética)
onde P > Fk e Fk < Fs
o bloco se move em velocidade crescente
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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kkk
k
kk
N
N
N
F
NF
111 tantantan
Onde:k: coeficiente de atrito cinéticok: ângulo de atrito cinético
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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ksks
kk
ss
FF
N
F
N
F
1
1
tan
tan
kkk
k
kk
N
N
N
F
NF
111 tantantan
Onde:k: coeficiente de atrito cinéticok: ângulo de atrito cinético
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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F é classificado em 3 diferentes formas:
F = Fs no valor máximo para manter o equilíbrio
F é uma força estática quando o equilíbrio é mantido
F = Fk quando ocorre deslizamento
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
v elevadaefeito
aerodinâmico
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Características do atrito seco (F):
• F é tangente à superfície de contato com sentido oposto
ao movimento relativo
• Fs é independente da área de contato
• Fs Fk s k e s k
• Quando o tombamento é iminente Fs = sN
• Quando ocorre deslizamento Fk = kN
8.1 * - Teoria do Atrito Seco
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Existem 3 tipos de problemas de atrito:
( # de incógnitas = Nu,
# de equações de equilíbrio = Ne
e # de equações de atrito = Nf)
• Equilíbrio: Nu = Ne
• Movimento Iminente em todos Pontos: Nu= Ne+Nf
• Movimento Iminente em alguns Pontos: Nu< Ne+Nf
8.2 Problemas Envolvendo Atrito Seco - Tipos de Problemas
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• Equilíbrio: Nu = Ne
• Para o pórtico abaixo o equilíbrio pode ser mantido porque:
Nu=6 pode ser determinado das seis equações de equilíbrio.
• Os elementos permanecerão em equilíbrio se: FA 0.3NA e FC
0.5NC forem satisfeitas
8.2 * - Tipos de Problemas com Atrito
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8.2 * - Soluções para a estrutura
Treliça simétrica:
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8.2 * - Soluções para a estrutura
Pórtico simétrico total:
N V M
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8.2 * - Soluções para a estrutura
Pórtico simétrico, somente metade:
N V M
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• Momento iminente em todos pontos: Nu = Ne + Nf
• Encontre para o qual o elemento de 100-N não deslizará.
• Nu= 5: NA, NB, FA, FB e
• Ne=3: Fx=0, Fy=0 e M=0
• Nf=2: FA=0.3NA e FC=0.4NC
8.2 * - Tipos de Problemas com Atrito
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• Movimento iminente em alguns pontos: Nu < Ne + Nf
• Determine P necessário para causar o movimento.
8.2 * - Tipos de Problemas com Atrito
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• Nu= 7: NA, FA, NC, FC, Bx, By e P
• Ne=6: {Fx=0 e Fy=0) para cada nó
• Nf=1: {FA=0.3NA & FC0.5NC} (deslizando em A P1)
ou {FA 0.3NA & FC=0.5NC} (deslizando em C P2)
• Calcule P para cada caso e escolha Pmínimo
• Se P1 = P2 deslizamento ocorre simultaneamente
8.2 * - Tipos de Problemas com Atrito
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As tubulações de concreto estão empilhadas conforme mostra a
figura. Determine o coeficiente estático de atrito mínimo em cada
ponto de contato para que a pilha não se desmanche.
Exemplo 8.4
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Diagrama de corpo livre:
Nu=6; NA, NB, NC, FA, FB e FC
No colapso a força normal em D=0Ne=6: {Fx=0, Fy=0, and M=0} para cada tubo
Tubo 1 Tubo 2
Tubo 1
Tubo 2
Exemplo 8.4 - Solução
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Tubo 1
Tubo 2
Tubo 1:
0
( ) ( ) 0
0
sin 30 cos30 sin 30 cos30 0
0
2 cos30 2 sin 30 0 (1)
A B
A B
O
A B
x
A B
y
M
F r F r
F
N F N
F F F
N
N
N
F W
N
F
F
Q
Exemplo 8.4 - Solução
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'
Tubo 2 :
usando
0
( ) ( ) 0
0
sin 30 cos30 0
sin 30 (2)
1 cos30
0
cos30
0
sin 30 0 (3)
.26795
A A
O
C
x
y
C
C
F F N N
M
F r F r
F
N F F
NF
F
N W N
F F
N
F
F
QTubo 1
Tubo 2
Exemplo 8.4 - Solução
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min
min min
( )
Mas da equação (2) 0.26795
0.26795( ) ( ) 0.26795 (4)
Lembrando a equação (1):
2 cos30 2 sin 30 0
Substituindo (4) em (
0.5
1):
Substituindo em (2):
0.13397
s
s s
N W
F
NF N
N
N
N F
F
W
W
Tubo 1
Tubo 2
Exemplo 8.4 - Solução
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Lembrando a equação (3)
cos30 sin 30 0
Substituindo N 0.5W na equação (3)
(0.5 )cos30 0
0.5
0.13
.26795(0.5 )si
397
1
n 3
.5
0 0
C
C
A B
A B C
C
N N N W
F F F F W
N W N F
N W W W
N W
Tubo 1
Tubo 2
Exemplo 8.4 - Solução
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m minin
0.13397
1.5
0.13
( )( )
1.5( ) 0.0
9
8
3 7
93
C
s sC
F W
N W
N W
F W
Tubo 1
Tubo 2
Entre os dois tubos: s = 0.268
No solo, ,o menor coeficiente estático de atrito requerido será:
Assim, s entre os tubos > s no solo
Se ocorrer deslizamento, a parte inferior dos dois
tubos rolará afastando-se uma da outra sem ocorrer
deslizamento do tubo superior que tenderá a cair.
Exemplo 8.4 - Solução
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A escada uniforme de 20 lb repousa no solo rugoso de coeficiente
de atrito estático s=0.8 e se apoia na parede lisa em B.
Determine a força horizontal P que um homem deve exercer
sobre a escada para causar o seu movimento.
Problema 8.5
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Assumindo que a escada gira em torno de A
Diagrama de corpo livre:
NA
NB
FA
20 lb
Problema 8.5 - Solução
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0
0
20 lb
0
0
20 0
A
A
B
x
A
y
A
P
N
F
P
F
N
F
N
F
Assumindo que a escada gira em torno de A:
Problema 8.5 - Solução
NA
NB
FA
20 lb
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max
max
0
20(3) (4) 0
( ) (0.8)(20) 16 lb
16 lb 15 lb
Assim o giro da escada foi comprovado.
P 15lb
15 lb
OK!
15 lb
A
A
A s
A
A
A
M
P
F P
F N
F
F
P
Q
Problema 8.5 - Solução
NA
NB
FA
20 lb
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A escada uniforme de 20 lb repousa no solo rugoso de coeficiente
de atrito estático s=0.4 e se apoia na parede lisa em B.
Determine a força horizontal P que um homem deve exercer
sobre a escada para causar o seu movimento.
Problema 8.6
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Assumindo que a escada gira em torno de A
Diagrama de corpo livre:
NA
NB
FA
20 lb
Problema 8.6 - Solução
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0
0
20 lb
0
0
20 0
A
A
B
x
A
y
A
P
N
F
P
F
N
F
N
F
Assumindo que a escada gira em torno de A:
Problema 8.6 - Solução
NA
NB
FA
20 lb
TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 40
max
max
0
20(3) (4) 0
( ) (0.4)(20) 8 lb
8
15 lb
15 lb
hipótese errada! lb 15 lb
Assim o giro da escada NÃO foi comprovado.
A
A
s A
A
A
A
M
P
F P
N
F
F
F
P
Q
Problema 8.6 - Solução
NA
NB
FA
20 lb
TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 41
max
0
8 lb
0
0
8 (1)
20 lb
0
20 0
B
A A
x
B A
B
y
AA
N
F F
F
P N F
P N
N
F
N
Assumindo que a escada desliza em A:
Problema 8.6 - Solução
NA
NB
FA
20 lb
TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 42
0
8 20(3) 6 (4) 0
8 8 20(3) 20 6 (4) 0
Substituindo em 1:
7 lb hipóte
1 lb
se c
8 1
0 lb
Assim a escada realmente
orreta
desli a.
!
z
B
A
B
A
B
P
N
M
F N P
P
N
Q
Problema 8.6 - Solução
NA
NB
FA
20 lb