Mecánica del medio continuo - Apuntes 2º IM
-
Upload
ricardo-remache -
Category
Documents
-
view
465 -
download
10
description
Transcript of Mecánica del medio continuo - Apuntes 2º IM
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGEr.IEROS DE MINAS
-.--.- . ---
,
t·
MECANICA
.. ';:;¿.i;~7:::s;:· DEL
.. -' --~- MEDIO CONTINUO
..
JOSE MUNoz RODRIGUEZ
e
'OAPITULO ~
GEf'~ERALIDADES
INTRODUCCION
'La Meoánioa del medio oontinuo, ~iene oomo finalidad
el estudio de las tensiones y deformaoiones que exis-. ten en el aeno de los medios materiales,tanto sólidos
oomo fluídos (liquidos y gases) y los flujos de los
materiales que oonstituyen los medios.
La Meoánioa del medio oontinuo tiene su origen en
GALILEO,qüe en '1638 se ooup6 por primera vez de la me
oánioa de los medios deformables.
Posteriormente,TORRICELLI en 1644 haoe públioo su
éstüdio aeLmóvimiénto de los :fluídos, y JiEWTON en.
1687 ~so de manifiesto la visoósidad de los"flu!dos,
oonsecuencia de ' la fricción. intermolecular,e.1ntrodu
jo el modelo matemátioo para los medios visco~os~aún
utilizado actualmente.
En 1820 son NAVIER y OAUCHY los que aientan las ba
ses de la teoría de la Elastioidad.
A principios de siglo, PRAJ"DTL crea la Mecánica de
Fluídos¡ciencia que permite el estudio de los líqui
dos y los gases de la misma manera.
Posterio~~nte/~on el afan, de simplificar el estu
dio de los Jl'~dios materiales, surge ' la Mecánica del.m,! . dio continur),como una ciencia que permite estudiar a
los fluidos 3 a los sólidos deformables,bajo la misma
base teórica que es la relación entre tensiones y de
.formaciones en un medio deforDL~~le.
1
f
Además,e1 desarrollo tecnológico ha puesto en evide!!.
cia que propiedades viscosas consideradas anteriormen
te como exclusivas de los f1uídos,coexisten simu1tane~
mente con las elásticas de los solidos,10 cual ha sido
otro ~otivo que-.ha conducido a englobar a los fluidos . , .
y a los solidos deformable s en la Mecánica del medio
continuo.
La Mecánica del medio continuo,permite por otra par
te,considerar el efecto simultáneo no sólo de propie
dades mecáh~cas,sino térmicas,eléctricas Y magnéticas
de los materiales.
MEDIO QONTINlTO
Como se sabe los medies materiales considerados des~
de el punto de vista microscópico, poseen una estructu
ra m01ecular,existiendo huecos entre las moléculas.
Si se adopta el punto de vista macroscópico,los me
dios materiales,pueden ser considerados idealmente,co
mo medios en los que los átomos y moléculas se encuen
tran tan próximos,que constituyen un todo,en el que la
materia se halla distribuida de forma continua en to
do su volumen / llenando por completo el espacio que
ocupa.
La hipótesis de continuidad de los medios materiales,
que es básica en la Mecánica del medio·continuo,sirve
desde el Punto de v~sta matemático/para que las magni
tudes que caracterizan a los medios materia1es:mecáni
cas , térmicas , e1éctricas y magnéticss/puedan expresarse
.como funciones continuas de punto y del tiempo con de-
2
" '
t
rivadascóntinuas.
El estudi"o de los medios materiales,se hace conside
rando elementos infinitesimales de volumen que sean s~
ficientemente grandes con respecto a las dimensiones
moleculares,para que sea cierta la hipótesis de conti
nuidad.Este procedimiento,de suficiente exactitud en . . ~a práctic~,es la base ·para estudiar de un modo seme-
jante el comportamiento de sólidos, líquidos y gases.
HOMOGENEIDAD E ISOTROPIA
Se dice'que Un medio material es homogéneo, sí sus
propiedades no vartan de un punto a otro • • Se dice que un medio material es isotropo con respec-
to a una propiedad,CU~ldo ésta varía de i~al manera en
todas las direcciones.No existen por lo tanto,direccio
nes preferenciales para dicha propiedad.En el caso de
que existan direcciones preferenciales en algún punto
del ~edio,éste se denomina anisótropo.
Como puede deducirse de las.definiciones de homoge
neidad e isotrop:!a,un medio material pUede no ser hom.2,
géneo ~or variar eus propiedades de un punto a otro,p~
ro si isótropo por ser tales variaciones independien
tes de la direcci6n,es decir,las mismas variaciones
en todas las direcciones.
Tambien se deduce de las definiciones citadas~que un
medio anisótropo con respecto a alguna o varias de sus
propiedades , puede ser homogéneo,si en todos BUS puntos
les propiedades direccionales poseen el mismo valor en
~odos los·puntos del· medio.
3
En el estudio presente,se consideraran medios homogé
neos e isótropos,caracterlsticas a las que se aproxi
man de entre todos los medios materiales eX1stentes en
la naturaleza únicamente los fluIdos.
D:::NSIDAD
Si ee con~idéra un volumen AV en el aeno de-un me
dio material y es Am la masa contenida en 41,8e defi-
ne la densidad media en el interior de AV ~or al esca-
3:ár que.resulta del cociente
Teniendo en cuenta la hipótesis de continuidad de
los medios mat eriales/Be define la densidad en un pun
to P interior a AV por la expresi6n
f ·· l' Am • c · ·· ... m-A~O AV
f '" ~ dV
Físicament e la densidad representa la masa por uni
·dad de volumen .
----- --_ ._- ----- -----. .
t
Si se considera el escalar que representa el peso de
un volumen del medio material, se define el peso especí
fico medio en el volumen y el peso específico en un
punto de Un medio materia1,de la misma manera que la
densidad.
La relación entre el peso específico ~y la densidad
f es
FUERZAS EN UJ! MEDIO cor-:TIrmO
Las· fuerzas que actúan en un medio continuo son de .'
dos ti'pos:fuerzas de volumen o másicas y fuerzas su
perficiales .
Las fuerzas de volumen o másicas,acWan en el inte:..:'
rior de los elementos de volumen de un medio continuo.
Si ·se representa mediante _ F _a este .. tipo de fuerzas por
unidad de masa,la fuerza que actúa en un elemehto de
volumen dV es
siendo f la densidad del medio continuo. Como puede
observarse ·es un infinitésimo de tercer orden.
Son eje~plos de fuerzas de volumen:las gravitatorias}
las de inEIcia y las electromagnéticas. - .
Las fuelzas superficiales actuan en los elementos de
superficie de un medio continuo,pudiendo dichos elemen
tos estar situados bien en la superficie limite del me
5
"dio o en cualquier superficie interior arbitraria.Si •
se representa mediante f a este tipo de fuerzas por
unidad de área~la fuerza que actúa en un elemento de
superficie de á rea ds es
fds
Como puede observarse estas fuerzas son infinitési
mas de segundo orden .
Son ejemplo s de fuerzas de superficie,las fuerzas de
contacto entre sÓlidos,y la f uerza que se debe a la
presión de un fluido sobre un sólido impermeable , por
ejemplo una compuerta .
6
t
es decir que
a cero en P.
t:. 'i d' lim -~ = ~-B lIB"O As a.
tiende a cuando !J. B tiende
Fig 2
El vector obtenido,que ee denomina vector tensión en
\ un punto P,tiene dimeneión de fUerza por unidad de
área. :! c'irecci6!'l cete!'~incd2 ro!' 12 del vector t:.F, !'eprese~t~r.~oee nor T
- dI' T = --de
Puesto que el vector tensión está referido a una de
terminada. euperficie,no se pueden sumar vectorialmen
te vectores tensi6n que no esten referidos a la misma
superficie. Por lo tanto su comportamiento difiere del
de una fUerza.
COMPONE}'TES II\TRINSECAS DEL VECTOR TENSICIN
Considerando el vector: tensión T, correspomiiente a
un punto P de un elemento de superficie de,lI~ puede
descomponer el vector tensión en dos direcc~ones ; una~
la de la normal a da en P, dada por el yector unitario
8
n)y otra) contenida en el plano tangente a ds en p.
teniéndose
o bien
2 ~.
ya que las direcciones de ¡;. y 'E son perpendiculares.
La componente 'ü se denomina tensión normal y la com
ponente ~tensión tangencial,Ambas, se denominan compo
nentes intrínsecas del vector tensión T.
NOTACIOt1ES y CONVENIO DE SIGNOS PARA LA TENSION
~araestablecer el criterio de signos de las tensio
nes,se considera un paralelepípedo de aristas paralelas
a los ejes coordenados,en cuyas caras actúan los co
rrespondientes vectores tensión.
En la f'ig 3 ,se represen.tan los vectores tensión en
las caras vistas, junto con los vectores uni tario.~' nor- .
males correspondientes, que son ñl
= 1 , ñ2
= j , D)= k X¡
Fig 3
9
f ·
, Las expresiones de los vectores tensi6n seran
T2= ~21 1 ~ ~22 j ~ ~23 k
T3= ~31 1 ~ ~32 j ~ ~33 k
siendo t: ij , la
tor tensión,que
xi'
, componente segun el eje xj,del vec-
actua en la superficie normal al eje
10
Sobre las caras no vistas actuar{an los correspond1en-
ten vectores tensión,que no han sido dibujados.
El convenio de signos que se adopta/considera como
posi ti vas, las componentes -c: ijque actuando en una
vista, tienen los sentidos positivos de los ejes,Y /
ne~ativos,cuando actúan en una cara no vista.
cara
los
En la fig 4 ,se muestran las componentes del vector
tensi6n en todas las caras.Las componentes representa
das,son todas e l las positivas,de acuerdo con el conve
nio de signos adoptado,
'fu r,~ I t,;' ... _-(~'J
-f . I e,Z .... " . --Go,,' ~f, "." "t,Z· -r
" I
"lO
Fig 4
1
¡
, Las componentes 1: 11' 't22' t:33 ,que actuan en
direcciones normales a las caras"se denominan tensio-"
nes normales. Las componentes 1: 12' 1:"21' "1: 13 , "31' "L23'
~32,que actúan en direcciones contenidas en las caras,
se denominan componentes tangenciales cortantes o· de
cizallamiento .
ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO. TENSOR TE1'~SION
Mediante el principio de tensión de CAUCHY,se aso
cia en un punto P de un medio continuo,un vector ten
sión a cada vector unitario normal,a todas las posi
bles superficies infinitesimales ds que contengan al ,
punto P.Como consecuencia de ello,se tendran dos con-
juntos;uno el de vectores unitarios normales,Y otro
el de vectores tensión, ambos en P,los cuales definen
el estado de tensión en el citado punto.
Se demuestra a continuación,que para tener determi
nado el estado de tensión en un punto, basta conocer
los vectores tensión correspondientes a· tres planos
perpendiculares entre s! , que se corten en el punto,
es decir , asociados con las tres direcciones normales
a dichos planos .
Para demos t rarlo , se considera un tetraedro elemen-
tal del medio ~ontinuo . representado en la figura
5 , de vértice el punto :P, coincidente con el origen
de coordenadas , Y tres de cuyas caras estan situadas
en· los planos coordenados . Las áreas de dichas caras
son
11
ds = r.da = ads 1
ds = J.da == bds 2
ds == k.de == cds 3
siendo ds el área de la cara ABC,cuyo vector represen
tativo es
da == n ds
y a.b.c los cosenos .directores de la direcci6n del vec
tor ñ.·
e
Fig 5
Para estudiar el movimiento del tetraedro, dadas sus
pequeñas dimensiones 1 se aplica el segundo axioma de
NEWTON .En dicho estUdio, se han de conside:~;lr las fUer-,
zas másicas y de superficie,que actuan so~re el tetrae-
dro .
Puesto que las fUerzas másicas o de volumen y 1a,ma_
~a del tetraedro , son infinitesimos de tercer orden se
12
.'
t
tiene
= O
'23bds - t:33 ods = O
para cada uno de los ejes coorde~ados.
Las ecuaciones que se obtienen son
que en notación indicia1 Bon
Puee 1.0 qUB el vector tension T ye1 vector ñ • no tie
nen er' general la -misma dirección, 'tij no puede repre
sentar a una magnitud esca1ar,sino que ha de ser una
magnitud tensorial/denominada tensor tensión.Este ten
sor,cuyo conocimiento proporciona el estado tensional
13
en el nunto P,e s un tensor cartesiano de segundo orden.
como se demuestra anlicando la ley del cocienteCcrite
rio general de tensorialidad).
El conocimiento del tensor tensión ,es decir,el cono
cer sus componentes en un sistema de referencia,propor
ciona el conocimiento del estado tensional en cualquie
ra de los puntos d e un medio continuo.
La expresi6n obtenida,denominada formula de CAUCHY,
proporciona el vector tensión en un punto de una su
perficie,en el que la dirección normal está dada por
el vector unitario nJsi se conoce en dicho punto el
tensor tensión ~¡.i'
La f6rmula de CAUCHY puede tambien escribirse como el
producto contraido
T = t ·ñ
o bien matricialmente
TI 1: L2l ""(31 a 11
T2 = 1: 12 "C 22 '1:32
b
T3 'l:13 '1:23 '1:33
c
ECUACIONES DE EQUILIBRIO.SIMETRIA DEL TENSOR TENSION
El estudio del equilibrio de un elemento de volumen ,
localizado en el seno de un medio continuo,requiere que
la fUerza resultante Y, el momento resultante que actúan
sobre ~l,sean nulos.
14
, le ,
Si bien las condiciones de equilibrio pueden ser ob
tenidas de forma ~ntr{nseca,mediante la consideración
de un elemento de volumen cualquiera, su obtención sin
perder generalidad, se va a efectuar considerando co~o
elemento de volumen,un paralelepipedo de aristas dxl ,
dx2
,dx3
paralelas a los ejes coordenados.
eLe3
J----~- )(2
, "'C33 Fig 6
• En la figura 6, se muestran las tensiones que actuan
en las caras del paral elepipedo.La!!- tene~ónes""en .1as:: ·'
caras v::j.stas , s e' 'obtienen a partir de los valores de
las tensiones en las caras no vistas,suponiendo la .
continuidad de l as tensiones .
Expresando l a anulación de la resultante de fnarzas
de superficie y de volumen , se tiene segÚn el eje x
15
- - - ---------- ---
Efectuando las operaciones indicadas y dividiendo
por dxl dx2dx
3 ee tiene
De l mismo modo,se obti enen las ecuaciones segÚn los
los ejes x2
y x3
•que" son
Las ecuaciones obtenidas escritas en notación indi
cial son
l a s cual es expre"san _ la primera condición de equili
brio,en la que Fi representa a las comp onentes de la
16
fuerza por unidad de masa. -__ .
La segunda condición de equilibrio, se obtiene al anu
lar el momento resultante de todas las fuerzas que ac
túan sobre ·el paralelepipedo con respecto a un punto
cualquiera. Efectuado esto con respecto al centro de ma-,
sas, se obtiene segun el eje. xl
= O
resultando
"1: 23 = "t: 32
Del mismo mOdo,segttn los ejes x2
y x3
se obtiene
t 12 = T 21
El resultado obtenido en notacion indicial es
Lij = L. ji
y muestra que el tensor tensión es simétrico.Este re
sultado,ha sido obtenido suponiendo,como es muy co
rriente,que no hay momentos másicos . Si tales momen
tos existieran , el tensor tensión no seria simétrico .
17
\.
CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA
Si se consideran dos sistemas de referencia X(xl~x2'
x3 ) y X' (xí ,x2, x3) ,las componentes del vector tensión
en ambos sistemas están relacionadas mediante la ex
presión
o bien matricialmente
siendo
la matriz
(T') ~ CA) (T)
a n a 12 a13
(A) ~ a 21 a22
a23
, de los cosenos de los angulos 1 qu.e forman los
ejes de ambos sistemas de referencia . El origen de los
sistemas se cosidera común.
Puesto que el tensor tensión es de segundo orden,las
componentes en los dos sistemas cartesianos considera
dos están relacionadas por la expresión
o bien matricialmente
siendo (A)t la matriz traspuesta de 1.8. matriz (A).
TE~TSI(\NES y DIRECCIONES PRINCIPALES
Como se ha visto, el vector tensión que corresponde
a una direcci ón definida por el vector unitario ñ,se
obtiene median te la expresión
. -T = ·'t·n
no coincidiendo, en_general,las direcciones de T Y' n .
En el caso de que ambas direcciones coincidan,se de
nomina a la di"rección común, dirección principal de
tensión .
Si se tienen en cuenta las componentes lntrínsecas
del vector tenSión, se deduce que en los planos per
pendi culares a l as direcciones principales , los vec
tor es te~si6n t ienen únicamente componente normal ,
carec i endo de la t angencial.
En las dir ecciones principales se tendrá
- \ -n T - A
luego podrá" e s cribirse
(:r ':' ,Ar ) .ñ = O
matricialmente se t iene
19
(T-}I)(n)=O
Esta expresión o la anterior,da lugar a un sistema ho"'"'
mogéneo de tres ecuaciones con tres inco'gni tas nl ,n2 ,
n3'cuy~ .obte·nción resuelve el problema.
El problema de obtención .de tensiones y direcciones
principales,como se ve,se reduce al problema matemáti
co de la determinación de valores propios y vectores
propios.
Si se considera un sistema de referencia,constitui
do por las direcciones principales en un punto,Y cr l'
~2' 0-3
son los valores principales de la tensión en
dicho punto}la expresión del tensor tensión después
de efectuar el cambio de sistema de referencia sería
1: = (JI
O
O
o •
INVARIAJ"TES DE TENSION
o O
cr 3
Puesto que los valores principales de tensión,carac
terizan el estado físico de tensión en un punto,dichos
valores no dependen del sistEma de referencia.Debido
a esto,los coeficfentes de In ecuación característica
que da los valorespropios,ell decir,los valores prin
cipales de tensión en un pun-':",han de ser invariantes
en una transformacion de coordenadas .
Por lo tanto los invariantes de tensión son
20
._-'-' -_. ,' - - - . -_ .~~~'.==='~~' ,'~~~-_ • . ~,-,-
\
11= 1:"11 + 'l22 + "1:"33
. 222 1 2= 1:111:22 +t22 t:33 "'~3"S.1 -tÚ ·- 'r23 -"t¡3
. . 2 2 2 2 13= L n't:22 l)3 - t:11 S2 - t:Ú 'r13 - r 33 \2 + r12 '23 L13
y se denominan invariante lineal o tensión cúbica,in
variante cuadrático e invariante cúbico respectivamen
te.
En el caso particular,del sistema de referencia cu
yas direcciones sean ~aralelas a las principales,los
invariantes son
. 1 = '(1" + (J" .¡. (J" 1 1 2 3
ELIPSOIDE DE TENSIOJl'ES DE LAME
. Es el lugar geométrico .de los extremos de los vecto
res tensión,que corresponden a todos los planos que ~
pasan por un punto.
La determinación, se efectúa considerando un sistema
de referencia} cuyas direcciones coinciden con las
princinales en el punto.
Si se considera una dirección cuyos cosenos directo
res son a,b ,c) y a la que corresponde un vector ten-
>
21
sión cuyo extremo tiene por coordenadas x,y,z,se tiene
a partir de
y como
se obtiene
- ,.. -T = . t;'n
x = u1
a
y = 6""2 b
z = ir C 3
2 2 x
.,.~ .¡. .¡. Z =1 -~
1
ecuación que representa un elipsoide~llamado de ten-
siones de LAME y da idea
dlil módulo del vectorT en
de la distribución espacial
un punto,pero no lo~detérmina
de forma un!voca,ni tampoco se puede conocer el plano
al que corresponde el vector tensión.
Para resolver la situación,es necesario recurrir a
la cuadrica indicatriz de tensiones Q cuadrica de
CAUCHY o bien a' la cuadrica directriz de tensiones ,las , d ' cuales no seran estu iadas aqui,resolviendose el pro-
blema mediante la.representación gráfica de MOHR.
22
•
REPRESENTACION GRAFICA DE MOHR
Mediante esta representaci6n/es posible estudiar el
estado tensional en un punto. Para ellO,se consideran
las componentes intrínsecas del vector tensi6n.
Puesto que el vector tensión en un punto,asociado a
una dirección.de cosenos directores a,b,c,respecto de
las direcciones principales en un punto es
siendo cr 1 1 6""2 1 6""3 las tensiones principales en el
punto . ta!!.ee que 0'"1 > G'"2 > 1r3 ,se tiene
T2 = ~ 2 2 cr 2b2 ~ 2 2
1 a + 2 + 3 c
Teniendo en cuenta las componentes intrinsecas de
2 2 2 2 2 2 Ü. 2 2 (1) CT + ! = CTl a + CT2
b r 3 c
Además
CT= T.ñ luego
(J"= 0'"1a2+ 2 2 CT"2b r 0""3c (2)
También a.e sabe que
2 b2 + 2
1 (3) a + c =
A partir de las ecuaciones (1)(2)(3) se tiene
T
23
\
_ _ ._0 _ ". _ ; .. -
(6)
Como
tiene
, , re l acion que en un ¡¡rafico (<:r, t:) re presenta puntos
, de. tensi6n. situados en el exterior de la ciréunfe~ -
rencia Cl
o·en ella y cuya ecuación eé
Como de (5 )71!e
tiene
relación que en un gráfic' (cr, 1:) representa puntosl .de. ten~i6n si.tuados en el ~.nterior de lacircunferen
cisC2
o en elle: y cuya eCT).6ci6n es
24
Como c2~O y C"3 -(jl<O, CT"3 - C"2<'O de (6) se
tiene
relación que en un gráfico (D'", t: ), representa puntos
de tensión situados en ele.;l:terior de- la circunfe~
rencia C3
o en_ella y cuya ecuación es
Fig 7
Por tantollos extremoe de -los vectores tensi-ón que
corresponden a las infinitas direcciones que pueden
considerarse en un punto han de estar ·situados en la - -
zona sombreada del gráfico llamado de MOHR, Figura 7.
Sise considera la expresión (6) en la que c tome un de
terminado valor n.o nulo se tiene entonces
25
. ,
• ecuación que representa una circunferencia concentri-
ca conO) y de radio mayor,en un punto de la cual esta
rá situado el vector tensión,correspondiente a una di-o , •
reccion que forma un angulo con la direccion principal
j.cuyo coseno es c.
Para la determinaci6n de esta circunferencia)basta
conocer un punto de ellaJPor ejemplo el M,de inter~
sección con la circunferencia el' Figura 8 .
f /1.""" .-"
Fig 8
. Aplicando el teorema de l coseno al triangulo OAM se
tiene.
OM2 = OA2 -4- AM2_ 20A AM cos(rr/2 Pt)
2 . 2 2 OM = OA -4- AM .J. 20A AM sen &)
y puesto que
26
l
OA = 0'"3
ee tiene
o bien
De (1) con a=O ee tiene
o bien
Luego
e = coe 9 3
qued2~do demostrado que el punto M pertene~e a la cir
cunferencia en la que se halla ei tuado el, (,:r.:tremo del
vector tensión citado .
Tambiert_se puede demostrar que
27
,
a = cos el
b = cos 92
'.
Luego el vector tensión, correspondiente a una di" ·,
recci6n dada por BUS cosenos directores a,b,c}respecto
a las direcciones principales en un. puntoJtiene el ex
tremo en el punto P,de intersecci6n de las circunfe-. .
rencias punteadas concéntricas con las Cl y C3
,Además,
dicho extremo ha de estar también en la circunferen
cia punteada concéntrica con la C2•
Por tanto,se tiene resuelto gráfica~ente el proble
ma de conocer el vector tensi6n en un punto,que corres
ponde a una dirección dada por el vector unitario ñ y
viceversa,dado ñ en un punto,hallar el vector tensión
T que le corresponde. ,
Como puede observarse,la aplicacion del procedimiento
gráf~co de obtenci6n del vector tensión,precisa tener
referidos el tensor tensión ~ el vector ñ a las di
reccionesprincipales en el punto,los cuales están re
lacionados mediante la formula de CAUCHY
T = ~·ñ
obtenida anteriormente .
Una construcci6n que .ofrece interás es,1'a obtenida
alconeiderár los vectores tensi6n/que corresponden
a los planos que pasando ror un punto de un medio con
.tinuo,son paralelos a una direcci6n~pr1ncipal .
Si la direcci6n principal considerada es la 3, uno de
28
los planos paralelos a ella es el de la figura 9.
Fig 9
El vector tensi6n que corresponde al plano represen
tado es
T = = -. t:.n
Las componentes intrinsecas son
siendo
IT = T.ñ "C= T.t
n = cos El u1
.¡. senS u2 t = sene u
1 ... cose U2
los vectores unitarios normal al plano considerado y
paralelo a á1 respectivamente,estando t contenido en
el plano definido por T y ñ. Las componentes intrínsecas del vector tensi6n que
resultan son
u= ~lcos29. + ~2sen2e 1: = CJ,cos9 sene -" Cl"_sen,Q COSA
29
las cuales toman la forma
cos 29
1: = sen 2 & (8)
La eliminaci6n del ángulo B,entre las ecuaciones (7)
y (8), conduce a la ecuaci6n
que representa el lugar geométrico del extremo del
vector tensi6n T , ~que como puede verse coincIde con··
la ecuaci6n de la circunferencia C3
de la representa
ci6n gráfica de Mohr. Este lugar es .la figura 10.
Fig 10
Las coordenadas del punto P vienen dadas por las ex-.
presiones (7) y (8).
30
TEl'~ SORESTEl'~SION ESFERICO y DESVIADOR
El tensor tensi6n esférico está definido por
o bien matricialmente
o
e :) p = . ~ -p
o -p
siendo p la presión,definida como la tensi6n normal
media en un punto,dáda por la expresión
p = l( 1: ~ 1:) '3 11-+ 22~ 33
o en forma indicial
1 p= __ "t 3 ii
La' ~resión se considera positiva si es de compresi6n.
Como puede verse¡la traza del tensor tensión será por
tanto
'Z: 11 = -3p
por lo que el primer invariante de tensilín valdrá en
fUnción de la presión
El tensor tensi6n desviador está dado por
31
.' " .,
· .. --------- ---------~-------
Sij = ~ij + P ~ij
o matricialmente
-S= T2NP
~2
~23
L.33+p
Las direcciones principales del tensor desviador
coinctiden con las del tensor tensi6n,y sus valores
propios están relacionados con los del tensor tensi6n
mediante la expresi6n
T !::~SIOJ;ES OCTAEDRICAS
Se denominan tensiones octaédricas,a las tensiones I
normal y tangencial, que actuan en planos que forman __ ,
angulos iguales con los ejes del sistema de referencia
que ee haya tomado. Como estos planos definen un cctae
dro,las tensiones citadas reciben el nombre de octaé
dricas. -
En el caso de que el sitema de referencia tenga ejes
de direcciones paralelE;f; a las principales, se tendran
como cosenos directore~' de las nomales a los planos
citados
a = b = c - + 1//3
32
El vector tensi6n en un punto perteneciente a uno
de los citados planos y situado en el primer octant~
aplicando la formula de CAUCHY es
La tensión normal octaédrica será
(J'" - = T.ñ oci
<í l .¡. 17 2 .¡. (J'"3 -• -----3---~-
Fig 11
La tensión tangencial octaédrica vale
luego
Si el sistema de referencia es uno cartesiano cual-
33
".
quiera la tensión octaédrica normal es la misma ya que
el valor obtenido antes
o- = oct
es decir invariante.
es
La tensión octaédrica tangencial sería en este caso
ESTADO DE TD~SION PLANO
Se define como estado de tensión plano,en un medio
continuo,~quel en el que una de las tensiones princi-:o,
pales es nula .
El estado de tensi6n plano o casi plano, se da en
placas delgadas de espesor constante , sobre las que ac
tl1an en su con torno,fuerzas paralelas al plano de las
placas . En la' figura 12,se muestra tal si tuaci6n .
Fig 12
34
•
t
Si se considera que la tensión principal nula es ~3' .
el tensor tensión referido a las direcciones principa
les es
Si el tensor tensión está referido a direcciones no
principales , su expresión es
_(\1 E - 't 12
~12) 22
(9)
Sea una placa plana delgada,de espesor constante,si
tuada en el plano XY de un sistema cartesiano ortogo
nal ·OXYZ,la cual se hella sometida al estado de ten
sión plano que se muestra en la figura 1:> Este estado
~e.tensión,referido a dos direcciones no principales
como las de los ejes X e Y7queda definido mediante el
tensor (9) .
y
x Fig 13
35
La representaci6n plana del estado de tensi6n plano
dado en la figura 13es la de la figura 14
"tu 1:-/2 ,(:
1:~2 T~l
't;{~
t:~z
"t"/~ Fig 14 "tzz
El vector tensi6n que corresponde a un plano parale
lo al eje Z(direcci6n principal de tensi6n nula) cuyo
ve.ctor uni tario normal es
ñ = cosS 1 .¡. senS j
se obtiene mediante la expresi6n
T =-t.ñ.
luego
Las componentes intrínsecas de T Bon
() = T.ñ
L:=!.t
siendo t el vector unitario tangente al plano citado y
que tiene por expresi6n
)6
--- ------_._- ~ ~ - - - _:.-.-_.-- ~~-~- -~--«~--~--~~=. __ ._-~-------------~~-~-~~~--
t = sen 9 1 - cose j
Efectuando las operaciones se tiene
o bien
(10)
-¡;= (11)
Los valores extremos eH! la tensión <T vi-enen dados
a partir de la expresión
2t12
tg 29 = ---==--1:11- "C22
(12)
~e_-'la que se obt ienen dos valores 91 y 62
= 91
.J. 17'/2.
Estos valores de S,son _tales que el ...-ector_tensión que
correspondE! a las direcciones dadas por ellos , sÓlo tie
ne componente normal, por 10 que se denominan direccio
nes principales,y a las tensiones cor-respondientes ten
siones principales .
La expresión (12) puede obtenerse tambien haciendo
37
..
I
"l: = O en (1 J).
Los valores extremos de la tensión "l: vienen dados
a partir de la expresión
I tg 26 =
de la que se obtienen dos valores e~ y a; = e~ + ~/2. Estos valores de e', son tales que el vector tensi6n/ que
, corresponde a las direcciones dadas por e110s,so10 tie-
ne componente tangencia1.E1 valor que se obtiene para
~ es el mismo para lés dos valores del ángulo e' y es
máximo.
Puesto que
, tg 2S.tg 29 = -1
los ángulos 29 y 2S' difieren en ~/2,Y sus mitades en
11'/4, luego
9 = S' + '11'/4
10 cual. indica que las tensiones tangenciales máximas
en un estado de terlE'ión plano I están asociadas a planos
cuyas normales forlJ'm ángulos de 11/4 radianes con las
direcciones princi~a1es,es decir,bisectrices de los án
gulos que determinrn estas.
Las tensiones principales se obtienen de la ecuación
caracteristice.
38
resul tando.
Si los ejes X e Y del sistema cartesiano de referen
cia antes menc ionado/se toman coincidiendo con las di
recciones ~rincipales.el estado ~e-tensi6n plano es el
que se muestra en la figura l5,Y viene dado pomo se sa
be por el tensor
x Fig 15
39
La representación plana del estado de tensi6n de la
fi¡ru.ra 15 es la de la figura 16.
Fig 16
11'2
El vector tensión que corresponde a un plano parale
lo al eje Z(direcci6n principal de tension nula) cuyo
vector unitario normal es
es
T=f.n
siendo ul
YU2
vectores unitarios según las direccio
nes pl'incipales .
. Las componentes intrínsecas de T son
CT = T.ñ
1:= T.t
s.iendo t el vector unitario tangente al plano ei tado y
que tiene por expresi6n
40
"
----- -----~~
resultando
1: =
C1 - CT 1 2 2
cos 2E1
een 28
(13)
(14)
Como ee observa,este resultado es el mismo que el ob
tenido en un estado de tensi6n no plano,cuando se ha
llan las tensiones normal y tangencial correspondien
tes a planos paralelos a una direcci6n principal.
REFRESB'TACION GRAFICA DE MOER DEL ESTADO DE TENSION
PLANO
En el estado tensional plano,sigue siendo válida la
zona rayada del gráfico de Mohr obtenido para un esta
do de tensi6n no plano,pero en el caso presente,como
se considera nula la tensi6n principal ~3,la circunfe
rencia G2 es tangente al eje 1: en el origen.
" Si se consideran las expresiones (]i y (IÚ,que dan
las c"omponentes del vector tensi6n,en el caso en que
el" tensor del e~tado de tensi6n plano está referido a
direcciones no ~:)("incipales ,Y ee elimina el ángulo g ee
tiene
{c ~ 11"'"t:22)2 2 ("1:- -: t: )2 () _ "'" t: = 1.1 22 "
? "?"
¡ 2 , "t: "
'T 1? (15)
41
"
La ecuación obtenida, define la representaci6n gráfi
ca de Mohr del estado de tensi6n plano"" es el
lugar geométrico del extremo de los vectores tensión,
que corresponden a los planos que pasando por un punto,
son tales que las normales a ellos,son paralelas al
plano en el que se halla definido el estado tensional .
Para 'obtener la representación gráfica de Mohr de un
estado tensional plano,se adopta el siguiente criterio
de signos:
- El ángulo e que forma la normal a un plano, con el
eje X,se considera positivo si se mide en sentido
an ti'horario.
- Las tensione s normales,se consideran positivas si
son de'traéción.
- Las tensiones tangenciales,se consideran positi
vas,si su momento con respecto a un punto interior
al elemento que representa al estado de teneión
plano objeto de estudio , produce un giro de sentido
horario.
El criterio adoptado queda reflejado en el elemento
de la figura 17
+
y
+
• x Fi
42
Este criterio de signos,difiere con el' establecido
con anterioridad, en que la tensi6n tangencial para
lela al eje Y en la cara vista,era positiva en el sen
tido positivo de dicho eje, mientras que ahora es nega
tiva.
Teniendo en cuenta que el estado tensiona1 viene de
finido por el elemento de la figura 18,la ap1icaci6n
Fig 18
del criterio de signos adoptado a las caras 1 y 2 del
elemento proporciona los puntos A y B en el gr~fico . .
(cr,'t) de la figura 19.
. ~ ¡ r' I .-,\ J, • t \. ....... I
~ t'.\ I
~~~5--_""-~'-\~\~\:4: 0 1
/' el I l' I I I
I I I
I .;.,, ____ "tu ____ -+_ ...... _--I ., .. ----t:.,f -------,1-
Fig 19
43
Si se traza una circunferencia que tenga al segmento·
AB como uno de sus diametros,se obtiene la representa
cion gráfica de Mohr del estado de tensión plano.La.
ecuaciÓn de dicha circunferencia es la (15).
Para obtener a partir de este gráfico las componen
tes intrinsecas del vector tensión,oorrespondiente a
un plano cuya normal forma un ángulo e- con el eje X,
medido en sentido horario e antihorario,se lleva un
ángulo 26 en el centro ce la circunferencia a partir
del radio CA y en el mismo sentido en el que se ha me
dido el ángulo 6 a partir del eje X. En la figura lB,Q
se ha medido en seritido antihorario,Y por ello en el
gráfico de tensiones, figura 19,se medirá un ángulo 29
a partir del radio CA y en el mismo sentido que el S.
Como resultad o de esto,se obtiene el punto S,cuyas
coordenadas vienen dadas por las ecuaciones (~ y (LQ. Las direcciones principales vendran dadas en el grá
fico de Mohr por los ángulos 2 ~ Y 241'+ n, que fOI'1:lan los
radios CM y CN con el radio CA respectivamente,ya que
los puntos M y N son representativos de planos en los I .
que solo existe la componente normal del vector ten-
sión,es decir , que las normales a ellos son direcciones
principales .Los valores de las tensiones principales
son por lo tar.to ~l = OM Y ~2 = ON si se supone que
0"1)~2·
Las direccic·nes principales en el elemento, se .!len
·por los ángulc '.1 'f y f-l- Ir /2 con respecto a la direcci6n
del eje X y en el mismo sentido en el que se han medi
do los ángulos que forman los radios CM y eN con el r a
44
_. - ----- _ .. _-- -_ .. _==-=====:=-:-:~:-=:-=-:-::-:-;~--:-:----~ .____ •• o '· _ _ _ • __ _ • • • _.' - ,. .
dio CA.El resultado de esto,se muestra en la figura2~
y-
"'4.
\
"C:f1 ./ . .,.
t"Clt "Cf2.
\ '" .... --;;¡;:¡::::\~ '.
1:.f1 \
T.2L
Fig 20
Otra forma de proceder está basada en el punto P de-
nominado polo, que como puede comprobarse varía con el
sistema de referencia.Es.te punto,posee la propiedad _ s~
gún la cual, la-' paralela tI'azada · por ál a un plano,
corta a la circunferencia del gráfico de Mohr en un
punto/cuyas coordenadas son las'tensiones normal y tan
gencial que corresponden a ese plano.
La obtenci6n del polo P,se logra hallando la inter
secci6n con la circunferencia de las rectas trazadas
por los puntos A o B,que son paralelas a las caras del
elemento en las que actúan las tensiones tangenciales
~ll y ~22 respectiv~ente.
Si por el polo P.se traza una recta paralela a un
plano .que forma un ~gulo Ocon el eje Y,es decir,que
la normal a' dicho plano forma un ángulo e con el eje X
y se halla la intersecci6n con la circunferencia de
Mohr se obtiene el punto S figura 19.Las coordenadas
del punto S- representan las componentes intrínsecas .' ~
del vector tensión que corresponden al plano en cues
tión ,y anal {tic amente vienen dadas por las ecuaciones
(JO) y (lJ) .
45
--- - - ------------
Puesto que los puntos M y N corresponden a las ten
siones principales ~l y .~2 respectivamente,las direc
ciones principales son perpendiculares a las rectas
que trazadas por el polo P,pasan por dichos puntos,ya
que estas últimas rectas son paralelas a los planos de
las tensiones principales.
Si el estado tensional viene definido mediante valo
res principales,es decir,por el elemento de la figura
2l.1a eliminació~ del ángulo e entre las ecuaciones CIJ)
y (M) proporciona la ecuaci6n
y
Fig 21 x.
"2-Siguiendo el mismo procedimiento que el empleado an-
teriormente , ee obtiene el gráfico de Mohr.Para ello,
se consideran lae caras A y B del elemento,que dan loe
puntoe M y ~,los cuales determinan uno de los diámetros
de la circunferencia, figura 22.
Las componentes intrfneecas del vector tensi6n,que
corresponden a un plano cuya normal forma un ángulo 6,
medido en sentido antihorario,con el. eje 1(direcci6n
principal l) , se obtienen llevando un ángulo 26 en el
centro de la circunferencia a partir del radio CM,Y en
46
(
sentido antihorario.El punto S obtenido determina las
citadas componentes intrínsecas de tensión,cuyos valo- "
res vienen dados por las ecuaciones (13) y U4).
"Fig 22
Si se utiliza la construcción basada en el polo(que
en este caso es el punto )I~ el punto S,se obtiene ha
llando la intersección con la circunferencia de la re~
ta que trazada por el polo M,es paralelá al plano en
cuestión,es decir,el de normal formando un ángulo e con
el eje l,figura,22.
Esta última repre~entación.coincide con la que se
eftctúa en un estado de tensión no plano I cuando se con
sidera el estado tensional que corresponde a planos
paralelos a una dirección principal.
ELIPSE DE TENSIONES
'La elipse de tensiones,es el lugar geom~trico de los
extremos de los vectores tensión, correspondiimt'l3 a to
das las direcciones que se pueden considerar en un pun-
47
to y paralelas al plano del estado de tensi6n.
La determinaci6n ana1itica,se efectúa a partir del
vector tensi6n correspondiente a una direccion que fo~
ma un ·ángu10 9 con~a dirección principal 1. Se tiene
= ,;.n .
Si x e y son las coordenadas del extremo del vector
tensi6n,se tiene
x = a"lcos e y = a"2sen 9
y eliminando & se obtiene la ecuaci6n
2 ....!.... .¡. (j2
1
2 -L - l (j" 2 -2
que representa una elipse de semiejes ~l y a2
•
El conocimiento de la elipse de tensiones,proporcio
na la representaci6n del estado tensional en un punto.
En efecto,si se quiere obtener el vector tensión,ello
es posible a partir de la elipse de tensiones.Para
" ello se coz:¡sidera la figura 23.en la. que ademas de la
elipse se hnn trazado las circunferencias de radios 0'1
y (T .... ,siendo 0-, > CT ....
48
, Si se considera una dirección que forma un angulo e
con la direcci6n del eje principal l,medido en sentido
antihorario,cuyo unitario es ñ,el extremo del vector
tensión correspondiente es el punto 1 de la elipse de
tensiones.La obtención de este punto,se efectúa hall~
do la intersecci6n con la elipse de paralelas a los e
jes principales 1 o 2 , trazadas por los puntos A y B,
de intersección de la recta que pasa por el centro de
la elipse y tiene la dirección de ñ. 2
:i'ig 23
~ el 'PuntO '-l,O"¡>o. ~·>o·; es decir que las tensiones
~l y ~2' son de tracción.En el caso ~1<0'~2~0 se obtie
ne el punto 2,en el caso'~1<0,u2<0,ss obtiene el punto
3 y si u 1>0,0-2<0 se obtiene el punto 4.Todos ellos co
rresponden a la misma direcci6n dada por el vector uni
tario ñ .
En esta r epresentaci6n gráfica , el vector tensión se
halla situado en su posición real cosa que no ocurre
49
en la representaci6n gráfica de Mohr.
La poeici6n real del vector T,en el elemento que da
e'l estado tensiona1 mediante valores principales, se o:!!
tiene a partir de la elipse de tensiones trazando el
vector equipolente en dicho elemento tal como se ob-,
serva en ¡a figura 24.Además,si ee efectuan las pro-
yecciones de T s egdn las direcciones de ñ y t,se ob
tienen las componentes intrinsecas,que corresponden al
plano cuya normal forma un ángulo e, medido en sentido
antihorario ,con e l eje principal 1 .
t---t ... ~
. Fig 24
"2 Si se cons i dera la representaci6n gráfica de Mohr,
figura . 25,y en e lla el vector tensi6n T, cuyo extremo-o
o
Fig 25
50
• __ • _ _____________ •• _. __ .~- - _ ._. _-- - _ _ o
S'na sido'obtenido--~t- la intersecci6n con la circ~
ferencia,de la recta paralela al plano en cuesti6n tr!
zada por el polo M,la proyecci6n del vector T sobre el
eje-D','que es la componente intrÍnéecanormal,ha de ser
la m!sma que la proyección del vector T sobre ñ en la
figura 24.Esto,muestra que el vector tensi6n aparece . . l' '. •
en el grafico de Mohr en una situaci6n simétrica con
respecto al eje Ir a la que tiene en la elipse de ten
siones (que es l a real) si el eje Ir se hace coincidir
con n.
51
. ¡. '.
,
tAPITULO 3
ANALISIS DE DEFOR!l~ACIONES
DEFOR!l!ACION EN UN MEDIO CONTINUO
.- .. ---.., Se considera ~ medio continu? que en un instante_
cualquiera/tiene-un volumen y una superficie que lo
limita,el cual ocupa una cierta región del espacio •
Se denomina deformación de un medio continuo,a la
variación de configuración del medio entre una ini
cial no deformada y una nosterior deformada.no consi
derandose las configuraciones intermedias entre ellas.
Esta deformaci6n,es producida por las fuerzas que ac
túan sobre el medio continuo.
Para determinar la posici6n de cualquier punto del
medio continuo y con ello su configuraci6n en un ins
tante determinado,se considera un sistema de re~eren
cia.En el estudio presente,se adopta un sistema car
tesiano rectangular.
En la fig 1 se muestran las configuraciones de un
Fig 1
52
a diferencia del que se hace de los sistemas rígidos,
no se considera el intervalo de tiempo que transcurre
. entre las configuraciones inicial y final.
En el estudi o presenterse consideraran únicamente
las deformaciones muy pequeñas.Esto,se traduce en el
requisi to de que los gradientes d.e desplazamiento,han
de ser ·muy pequeños comparados con la unidad.Matemá
ticamente s e escribe
U i , j <.< 1
Además , serán despreciables los productos de las com-
ponentes de los gradientes de desplazamiento.
ESTUDIO DE LA DEFORN.ACION EN EL ENTORNO DE UN PUNTO
Sea A.un puntD perteneciente a un medio continuo y B
un punto del en t orno de A, cuyas posiciones después de
la deformaci6n s on A' y B' respectivamente . Si se re
fie·ren l as posiciones de A. B, A' ,B' al sistema carte
siano rectangular de la fig 2 ., la expresi6n del vector
AB es
)'i::::::=...---- )ez Fig 2
54
y la de loe desplazamientos de A y B
Ü, = ulI +.U2J + U3k
u + dü = (ul+dul)I+(u2+dU2)J+(u3+dU3)k
Como
ee tiene
d'r = dr + dü
, Graficamente ee tiene
s"
8 _ ___ ~~~.7! / ;( ¿~ (r ., ¡
-r <ir\ i \ /
.'--_....!u!!..-__ ..i'., A A'
Fig 3
eiendo dü ei vector'desplazamiento relativo del punto
B con respecto al punto A,después de la deformación.
Teniendo en cuenta la continuidad de los desplaza
mientos , y queéstos,son muy pequeños,el de.Elplazamien
to relativo de un punto respecto de otro pUllde expre
sarse como
dü {)ii 'O ü Uü
= ---dx + ---dx + ---dx ox, 1 OX~ 2 "',;,x't 3 (1)
55
7 en forma desarrollada
Las expresiones (1)0 (2)se pueden poner en la forma
de producto contraído
dü e grad ü·dr
oü - - ')ü .; u son las componentes del gra-ya que --- , --- , oXl "",-,X
2 'Ox
3 diente del vector desplazamiento - tensor. u,que es un
En forma abreviada se escribe
dU1 e Ui,j dXj
Matricialmente se tendría
'3u . '()ul 'Oul i
dU1 1 dX1 'O xl
--~X3 -ox' 2
dU2" '?)u
2 oU
2 'Ou2
:::J e
~XI i"i; OX2
du) ~~J ()U3
OU3
DXl ~; 'di"" 1
56
. -. ' === . ::= .- . -=--
Teniendo en cuenta que un tensor puede descomponerse
en la suma de dos tensores,uno simétrico y otro bemi
simétrico,se. tiene en forma indicia1
siendo
U t: 1::
i J
c.J 1(", ) ij = 2 Ui'j - uj'i
Matricialmente en forma desarrollada se tiene
O . 1 "'uI 'VIli? 1 ~ul . 'llu3 -(--- - 1"--) 2 Coi; - 'Zi~) 2 '()x2 Xl
.. 1 vU2 (}u
1 11u2 llu
3 ¡¡) = 2~i~ ---) O -(--- ---) x 2
2 í)x3
oX2
?lu 1>u . lou2 ')u
l 1 3 1, 2i-i;: - i"i;' -(--- - --) O 2 ')x
1 oX2 "
...., 1 IU3 -C----2 ;x.,
57
=- "- ... :.-,........%. .• - "'-~ . .. _- ---------_._-----------~~
Por lo tanto
, Como puede observarse,el vector que da la posicion
del punto Bcon resp~cto al punto A,drJse ha conver
tido después de la deformación en el vector d'r.Es te
vector,puede ser obtenido a partir de dr,mediante las
(É. di")
v (~ di') B ~--!:!---;B;";.t---+--L.~ 8"
ü
Fig 4
~ransformaciones siguientes:
a)Una traslación,definida por el vector desplazamien
to ü del punto A.En esta transformación,el vector
dr no sufre variación alguna,ya que permanece para
lelo a sI mismo y conserva su m6dulo •
. b)Una rotación/definida por el tensor c:: • . c)Una deformación,definida por el tensor ~ •
En la fig.· 4;se detallan cada una de las transforma
ciones.
TENSOR ROTACION
Se va a demostrar que el efecto nroducido en el vec-
58
tor dr por el tensor W es el mismo que producir{a u-'"' na rotaci6n.Por ello al tensor w se le denomina ten-
sor rotaci6n.
En efeoto,como puede comprobarse,se verifioa que el
veotor que resulta del produoto contraído (~dr ) es
idéntico .al vector que se obtiene en el produoto veo
torial .fi xdr , siendo -
- 1 -.5l- = '2 rot u
es decir,la mitad del rotacional del . veotor desplaza
miento.
El veotor Ji se denomina veotor dual del tensor he
mieimétrico w y se expresa en fUnci6n de él en la for-
ma
de modo que
Jl.1
=ul )2-
.J2 2 = ¡,J13
.513 = c.il21
. . . Puesto que en la Meoanica del sólido rígido el ter-
mino .i2 xdr representaba una rote.oi6n, B8 conoluye que
la segunda transformaci6n menOiOlH1d·a anteriormente es
efectivamente una rotaoi6n alredH-1odor del punto A de
la figura y cuyo vector es ji .Mediante ella,el punto B
pasa a la posici6n B" , no habi~ndo variado el módulo
del vector dr.
· -=:?C . • _
59
,"
~Er'SOR DEFORMACION
En la expresi6n que da el transformado d'r del vector
..:~ _. + t·dr
los dos primeros términos son comUnes a lc's que se ,ob
tienen en el movimiento del sólido r{gido~por lo que
el tercer término de esta expresi6n será el que de la
deformaci6n del medio continuo.
El tensor E se denomina tensor deformaci6n y su co
nocimiento determina el estado de deformaci6n de un
medio continuo .
A continuaci6n se analiza el significado de las com
ponentes del tensor deformaci6n.
Sea el vector
CA = dxt
su transformado será
ds ! E', ~2 é13 \
dx 1 11
dS2!= E: 2l ~2 ~3 :) ds I E3l E32 E33 3 •
que dará la posici6n del punto A' respecto del punto A
después de la deformaci6n . Fig 5.
La componente del transformado sobre OX será
60
· -r. -- .
dSl e de.1
dSl
= éll dx
. .. _. - . = ._._ - _ .. == -
La deformación unitaria segun OX será
E 11
A resultados equivalentes se llega para los otros dos
ejes.
Por lo tanto los. terminas de la diagonal principal
del tensor de deformaci6n representan las 'deformacio
nes longitudinales unitarias en las direcciones de los
ejes coordenados.Se llaman tambien deformaciones norma
les.
F1g 5
La componente del transformado del ve=tor CA sobre
Oy será
61
"
luego
, como los angu10s son muy oequeffos
luego
Sea el vector :
su transformado será
dS2
tg (cioc)= di""
oB = dy j
, y. 1e'componente segun el eje OX será
ds' 1 = de'.1
ds' 1 = E12 dy
luego
Al ser las deformaciones pequeñas se tiene
d~ = tg(dP) = C.12
I " Puesto que la deformaci6n de+ an~10 , ,recto XOY es .
dd.. + JI3 se tiene puesto que el tensor deformación es
62
simétrico
Por 10 tanto/las componentes no situadas en la diago
nal principal del tensor de deformación~representan las
distorsiones angulares .Se denominan deformaciones
tangenciales o cortantes. Cada una de ellas,representa
la mitad de la disminución de los ángulos rectos que
tienen sus lados paralelos a los ejes coordenados.
El signo de las deformaciones es positivo si disminu
ye el ángulo recto que forman los sentidos positivos de
los ejes coordenados.
De igual modo se pOdría analizar el significado de
las componentes del tensor rotaci6n.En el caso del an
gulo XOY se tiene que
1 = -(do<- d(3) 2 .
que representa el angulo girado por la bisectriz del , angulo XOY,deformado con respecto a la bisectriz de
dicho ángulo ~tes de la deformación que era rect~.
VEC~OR DEFORMACION U~ITARIA.COMPONENTES INTRINSECAS
La deformación de un vector dr viene dada por el pro
ducto contraído del tensor de deformación 'por dicho
vector
Como resultado se obtiene otro vector que en general
63
no tiene la direcci6n de dr.
En la figura 6 se considera el plano normal a dr
por su extremo.
Fig 6
Se define como vector deformaci6n unitaria en la di
recci6n determinada por dr en A al vector e dado por
la expresi6n
e =
siendo n el vector unitario segun dr.
Las componentes intrínsecas del vector deformaci6n
unitaria se obtienen efectuando las proyecciones so
bre la normal al plano. rr y sobre él. Por lo tanto la
componente normal del vector deformaci6n unitaria lla
~ada deformaci6n longitudinal unitaria es
e = s.n n
La componente tangencial o cortante unitaria también
64 .
llamada deformacion transversal unitaria viene dada
por la expresi6n
Jt 2 2 = e e
n
ya que se verifica
... e = e + e t n
El convenio de signos que se sigue para e es el n mismo que para ola tensión normal~esto esJPositivo
en alargamientos y~negativo en acortamientos.
CAMBIO DE SIST~A DE REFERENCIA
DEFORMACIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
ELIPSOIDE DE DEFOR.1IfACIO~'ES
REPRESENTACION GRAFICA DE MOHR
DEFORJ'JlACIONES OCTAEDRI CAS
ESTADO PLANO DE DEFORI,jACION
Estos epigrafes son ana1ogos~en su desarrollo~a lo
visto en el análisis de tensiones.
"
65
'.
I~~ARIANTES DE DEFORMACION
Al igual que para las tensiones existen tres inva
riantes de deformaci6n~es decirJinvariante lineal o
dilataci6n cJbica , invariante cuadrático e invariante
c~bico.Formalmente Bon análogos a los de tensi6n y es
interesante analizar el invariante'lineal •.
Se va a demostrar que dicho invariante representa
la variaci6n unitaria de volumen~que experimenta el
entorno de un punto a causa de la deformación.
Sea un paraleiep~pedo ae_~ristasdxl,dx2.dX3 parale
las a los ejes coordenados cuyo volumen antes de la
es por tanto
Despú¡s de l a deformaci~~ las aristas son dxí,dX2 ,
dx} dadas 'por l as-expresiones
dx' 1 = (l. en )dXl
dX~ = (l. EÚ )dx2
dx' 3 = (1-4- (33) dx 3
. El volumen del paralele pipe do despues de la defor
mR.ci 6n es
dV' = dx ' dx' dx' 1 23
dV' = (1-+ En) (1+ E22
) (1+ E33
) dX~ dX;dx;
, La variaci on unitaria de volumen es
66
dV'- dV 9 = --iiv---
, , despues de haber despreciado los productos de unas
deformaciones por otras.
Tambie~ se escribe
e = Eif
e = ui'i
En notación vectorial
e = div Ü
Por 10 tanto si
div Ü = O
es deci~ si ,el campo de desplazamientos es solenoidal,
no habrá cambio de volumen en la deformaci6n.
TENSORES DEFORMACIOJll ESFERICO y DESVIADOR
, Al igual que en el analisis de tensiones,es conve~
niente descomponer ' el tensor deform'acion en la forma
en-ella el primer término representa el tensor esféri-
67
co,también llamado isotropo o hidrostático de carácter
volum~trico)dado en !Uncion de la dilatacion cubica u
nitaria e }y el segundo término representa al tensor
desviador dado por la expresion
Puesto que el tensor deformación desviador tiene el
invariante líne.al nulo.dicho tensor da lugar a cam
bios de. forma pero no de volumen.
COMPATIBILIDAD DE LAS DEFOR~ACIONES
Si se conoce la expresi¿n del desplazamiento u de
los puntos de un medio continuo,en un sistema de re
ferencia cartesiano,dado como funci¿n continua de las
coordenadas, De determinan mediante derivaci6n las com
poner.tes del tensor de deformaci6n,de acuerdo con las
expresiones que los relacionan.
·Sin embargo si se parte del conocimiento de las
componentes del tensor deformación/las tres compo
nentes del vector desplazamiento han de verificar las
ecuaciones
(1)
(2)
68
(6)
lo que exige que el sistema que forman sea compatible.
Mediante derivaciones e"fectuadas en (1) (2K y (lLee.
J.lega a . elE. 22 + ----
" 2 ·x 1
(7)
y de manera análoga otras dos ecuaciones formalmente
iguales a la anterior
0\.1 ot.
E33 a~
E13 ::a-2 + ---- = 2 -----O 2 ()XOx x3 Xl l 3
(8)
1Jl (22 ?lE]3 '7fé23 ~:--2
... ---- = 2 -----O 2 L)XOx 'X x 2 j 2 3
(9)
De (1) ee tiene
y·como
. 69
"
Ir luego
(iO)
enalogamente se tendr!a
(11)
(12)
Las ecuaciones (7) a'(12) se denominan condiciones
r,e compatibilidad de las componentes del tensor de
farmaci6n.
70
CAPITULO 4 ECUACImlES Cm:STITUTIVAS. ELASTICIDAD
Il'TRODUCCION
El analisia de tensiones . se ·.ha· efectuado en su · tota
lidad independientemente del análisis de deformacio
nes.Ademas tampoco se ha considerado el material que
constituye el medio continuo Siendo por tanto aplica
ble el estudio a todo tipo de materiales.
En la pr~ctica se sabe que como consecuencia de la
anlicaci6n de fuerzas de naturaleza mecánica o térmi
ca a ios medios continuos/estos se deforman . Este hecho
muestra que existen relaciones entre las diversas va~
riables estáti~as cine~~ticas y térmicas que intervie
nen.Estas relaciones expresan 10 que se denomina el
comportamiento constitutivo del medio continuo,es de
cir su comportamiento macroscopico~consecuencia de su
constitucion internaJy las ecuaciones que se obtienen
son las ecuaciones constitutivas .
El comportami ento de los diversos medios continuos
reales al ser sometidos a l a acción de fuerzas es muy
complejo . Por ello las e cuaciones constitutivas no in
tentan abarcar t odos los comportamientos)sino mas
bien definir cier t os modelos ideales . Estos modelos
son muy ú ti les ya que r eflejan con bastante fidelidad
a los medios continuos reales dentro de un r ango de
fuerzas y t emperaturas definido . Entre estos modelos
se hallan e l s ól ido elástico ideal y el fluido visco
so ideal.
71
, , . Si no existe i nteraccion entre los procesos mecan~-
cos y térmicos,el análisis que se
teorfa no acopl ada de los medios
efectúa se denomina , continuos . En esta
teor!a~el campo de temperaturas habitualmente se con
side::a cono.ci do JO bien el problema de conduccion de
calor se resuelve independientemente del problema me
canico .
Las ecuaciones constitutivas en la teoría no aco
plada s on seis)y se denominan relaciones tensión de
formaci on.Di chas ecuaciones relacionan variables está
ticas como s on l as tensiones con variables cinemáti-
caa tales como velocidades,desplazamientos y deforma
ciones .
-B"SAYO DE TRACcTOr SU:HE
En Elastici dad las relaciones entre tensiones y de
formaciones para cualquier material se obtienen en el
laboratori o mediante ensayos ~fectuados con ál .
El ensayo más ampliamente utilizado es el de t racci6n
simple o también de compresi6n de una pieza recta de
·dimensiones normalizadas) denominada probeta y que t ie
ne l a forma de la f i gura 1
Fig 1
La probeta posee dos marcas situadas a la distancia
a , siendo su secc i 6n re cta circular y de area A en la
72
~.
zona entre.marcas.
En el ae·tracci6n se aplica a la probeta una' fuerza F
dirigida segÚn su propio eje. Como consecuencia de °ello
se . produce el alargamiento de la probetal
el cual
es medido en la zona entre marcas mediante un extensó
metro.
La fuerza P, que en el ensayo se aumenta gradualmen
te hasta la rotura de la probeta,produce un estado
tensional en su seno,que es uniforme en cualquiera de
las secciones rectas,en virtud del principio de Saint
Venant.
Si
JI'
A
es la tensión normal y
E. = t1a a
el alargamiento unitario,y se representan los valores
de tT en o:rdenadas y ¡ .en abscisas se obtiene el gr~
fico tensi6n-deformaci6n,que en el' oaso del aoero es el de la Fi'gura 2.
zolJR PLAST/CA
Fig 2
73
En el gráfico se tienen como puntos notables los si..!
guientes:
P: L{mi te de .pr.oporcionalidad
E:L!mite de elasticidad
F :L!mite su~erior de fluencia s
F i :.L{mi te inferior de fluencia
M:Punto de t ensión máxima o de rotura
R:Punto de rotura real de la probeta
En 18. figura 2 se distinguen dos zonas:la elastica o
de deformaciones no perm~~entes y la plastica o de de
formaciones permanentes . En la primera la probeta recu
pera las dimensiones iniciales al cesar l~ aplicaci6n
de la fuerza mientras que en la sel!Ul1da no.
:SI AT!'ICTD/. D LP"EA.L. 1::Y DE RCOKE
En la zona de elasticidad proporcional ol{neal se
verifica la ecuación
c onocida como ley de HOOKE en la que E es una cons
tante que depende del material y que se denomina m6-
dulo de elasticidad o m6dulo de YOU}TG .
DEFORMACIorES TRANSVERSALES
En el ensayo de traccidh
miento de l a probeta en la
, simple) ademas del alarga-
direccion de la :f\i.erza a-
plicada) se produce el acortamiento de las dimensiones
transversales .
74
_._--------------'------------------_ .• . _-_.
Para estudiar el acortamiento de las dimensiones
transversales se considera un prisma rectangular de di-
mensiones a,b y c sobre el que se
en la dirección de la dimension a
. . ejerce una traccion
que se toma como eje
1 Y ~jes 2 ! 3 los paralelos a las direcciones en las
que se miden las dimensiones b y e respectivamente~
En la figura 3 se observan los efectos que produce ,
en el prisma la aplicacion de la fUerza F
t r , e : '-i'n---t ... y , , ~ L.._J .
...... 64-
Fig 3
Las deformacione s unitarias de las dimensiones trans
versales b y c
Ac -c
que son acortamientos,son iguales en el caso de mate- .
riales isotropos,y su relacioh con el alargamiento
longitudinal unitario
es constante dentro de la zona e lástica de cada mate~
rial)como determinó experimentalmente POISSON . Dicha re
lación es
75
;.
•
siendo ~ el coeficiente de POISSON,e1.cua1 es constan
te para cada materia¡.
" Puesto que El es un alargamiento y E2
' E3 son a
aortamientos se tiene
E = -;:,~ 2 E
E = -~~ .3 E
Como la dilatación cúbica unitaria es
se tiene
observándose que g = ° si v =0,5
" El coeficiente de POISSON para materi"a1es isotropos
es aproximadamente igual a 0,25. , .
Si en vez de una "traccion se considera una comp:~(~sion
se produciría un acortamiento de la dimensión longitu
dinal a y un a1arpamiento de las dimensiones tran3ver
salee b y c.
76
,-
t
LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS
Para generalizar la ley de HOOKE se consideran me
dios isotropos)y se tiene en cuenta el principio de
sup~rposición válido en elasticidad 1{nea1.
En los medios isotropos las direcciones principales
de tension y deformaci6n coinciciden.
Si se considera un pistema de referepcia ouyós.ejes
eón paralelos a. las direcciones princinales,en ellos
los tensores tensión y deformaci6n son diagonales.Las
relaciones que se obtienen entre sus componente~a1
considerar un paralelepinedo de aristas naralelas a
las direcciones principales.) son las llamañe.!! leyes de
HOOKE,.,generalizadas en el sistema de refere:'icic ci.ta
do.
Las expresiones de dichas leyes son
El = i r cr 1 v (cr2
.¡. (f3)]
t 2 - i [cr2 - ~(crl'¡' <r 3 )1
E3 = ~ [ 0'3 - H<rl .¡. CT 2)]
,i se considera un sistema de ~eferencia)cuyos ejes
tienen direcciones no coinciden~ds con las principales.)
las leyes de HOOKE generalizadas desnués de efectuar
una transformacion de coordenadas tienen la forma
77
siendo
t. 12 t '" ~ 12 21.7
E G = 2TIP'J'
el mÓdulo de elasticidad transversal o módulo de rigi
dez el cual-depende del material que constituya el me
dio.
-Como puede observarse/las anteriores ecuaciones dan
las comuonentes del tensor deformación en un puntoJen
funci~n de las del tensortensi~n en el mismo punto.
78
ECUACIONES DE LAME
Si a partir de las leyes de HOOKE generalizadas se # obtienen las componentes del tensor tension en fUn~
ción de las del tensor deformacio~ se tiene
1:. JE E En l.l = u:nrn=2ryg .¡. y¡~
~E .¡. .E" E:' 22 t:22 = "TIHJT¡::2J} g In
"C 12 = 2G E.12
t" 13 := 2G 1;.13
~ haciendo
ae obtiene un con junto de seia ecuaciones que se do
minan ecuaciones de LAME y Q ~ Y G coeficientes do LAME o
79
80
--
, En notae10D 1nd1c1al •• •• cr1ben •
. . . , -Si .e determina la pr •• i6n,pueeto que •• ta ••
-p--
1:11
.
T .-
t
c:
• -CO~~'por ~efinic1on .1 m6dulo 4e elasticidad Tolumé-."
t,ieo •• "
¡: .. =E Q
.e tiene
x .. ).o!>~G
en funci6n de 108 ©oef1c1entu {le Loo: o .-,
• •• tJ ...
- -"