Mecánica Cuántica

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

Dada una variable dinámica :

ˆa) Se le asocia el operador

ˆb) es un

conjunto ortonormal completo de

funciones

k k k k

A

A

x A x A x

El estado del sistema a 0 es

tal que

ˆ

Es decir, a 0 el sistema está en

ˆun estado propio de .

n

n n n

t

x

A x A x

t

A

Al tiempo el sistema está en el estado

,

ˆLa variable dinámica está "indeterminada"

n mn mm

t t

x t c t x

A

El estado del sistema a 0 es

ˆtal que

n

n n n

t x

A x A x

Al tiempo el sistema está en el estado

,n mn mm

t t

x t c t x

1 1

2 2

3 3

Al tiempo se mide la variable dinámica

A se mide

... ...

y se obtiene el valor

n n

n n

n n

m

t A

A A

A At A

A A

A

Se ha realizado una transición del es

A 0 la variable dinámica v

¿Cuál es la probabilidad de obtener una

dad

ale

A la var

tado

a

ia

otro est

ble dinámica val

o

a?

a

e

d

n

m

n m

m

t A A

A

A

A A

t

A

A

t A

2

2

El valor medio del operador es

ˆ ˆ

Resumiendo:

m n m n n nn

n nn

A

A A dx c c A dx c A

A c A

ˆ es un conjunto ortonormal completo de

funciones. Por tanto, para cualquier tenemos,

k k k k

n nn

x A x A x

x c x

2

La condición de normalización

1

implica que

1nn

dx

c

ˆ es un conjunto ortonormal completo de

funciones. Por tanto, para cualquier tenemos,

k k k k

n nn

x A x A x

x c x

2

Sea la probabilidad de obtener el estado .

Tenemos

y desde luego

=1

así que

n n

n nn

nn

n n

w A A

A w A A

w A

w A c

2ˆn n

n

A A dx c A

2 =1 n n n n n

n n

A w A A w A w A c

Si al tiempo 0 tenemos al sistema en el estado

propio , y al tiempo efectuamos una

medición de la variable dinámica , la probabilidad

de encontrar al sistema en el estado es

n

m

mn

t

x t

A

x

P t c

2

Es la probabilidad de transición del estado

al estado en el tiempo .

mn t

n

m t

0, ˆ ,x t

i H x x tt

0ˆSi no depende del tiempo, es decir , ,

el sistema es estacionario, y si tenemos al sistema en un

estado propio de la variable dinámica , ahí permanecerá

para siempre.

En particular, eso suceder

H x V x t V x

A

0 0

á para los estados propios de la

energía

ˆk k kH x E x

0, ˆ ,x t

i H x x tt

0

0

0

0 0

La solución formal es

ˆ, exp , 0

Si , 0 ,

ˆ, exp

ˆ! !

exp

n

n

k k

k k

n n nk k

n n

ix t tH x x t

x t x

ix t tH x x

i it t

H x E xk k

itE x

0

Necesitamos, por tanto, una perturbación

que dependa del tiempo, o sea

, ˆ ˆ, , ,x t

i H x x t W x t x tt

0, ˆ ,x t

i H x x tt

0 0

0

Tenemos resuelto el problema no perturbado

ˆ

y queremos resolver el problema perturbado

, ˆ , ,ˆ ,

k k kH x E x

x ti H x x t x tx t

tW

0

0

Proponemos una solución del tipo

ˆ, exp ,

ˆComo las funciones propias de constituyen

un conjunto ortonormal completo, tenemos

, k kk

ix t H t x t

H

x t c t x

0 0 0,ˆ ˆ ˆ , , ,k k k

x tH x E x i H x x t W x t x t

t

0ˆ, exp k kk

ix t H t c t x

0

0 0

0

, êxp

ˆ êxp

êxp

k kk

k kk

k kk

x t ii i H t c t x

t t

iH H t c t x

ii H t c t x

0 0

0 0 0

,

ˆ êxp

ˆ ˆ êxp exp

exp exp

k k k kk k

k k k kk k

k k k k k k kk k

x ti

t

iH t H c t x i c t x

i ic t H t H x i c t H t x

i ic t E t E x i c t E t x

0 0 0, ˆ ˆ êxp expk k k kk k

x t i ii H H t c t x i H t c t x

t

0

0 0

0

ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆexp

ˆ ˆ, exp

k kk

k kk

H x x t W x t x t

iH H t c t x

iW x t H t c t x

0 00 ,ˆ ˆ ˆ, , , k k k

x tH xH x E x i t x t

tx W x t

0

0 0

0

ˆ ˆ, , ,

ˆ ˆexp

ˆ ˆ, exp

k kk

k kk

H x x t W x t x t

ic t H t H x

iW x t c t H t x

0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆexp , expk k k kk k

i iH H t c t x W x t H t c t x

0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆexp , expk k k kk k

i ic t H t H x W x t c t H t x

0ˆ ˆ, , ,

exp

ˆexp ,

k k k kk

k k kk

H x x t W x t x t

ic t E t E x

ic t E t W x t x

0

0

, ˆ ˆ, , ,

ˆ, exp k kk

x ti H x x t W x t x t

t

ix t H t c t x

0

,

exp exp

ˆ ˆ, , ,

ˆexp exp ,

k k k k k k kk k

k k k k k k kk k

x ti

ti i

c t E t E x i c t E t x

H x x t W x t x t

i ic t E t E x c t E t W x t x

exp exp

ˆexp exp ,

k k k k k k kk k

k k k k k k kk k

i ic t E t E x i c t E t x


0

,

exp exp

ˆ ˆ, , ,

ˆexp exp ,

k k k k k k kk k

k k k k k k kk k

x ti

ti i


H x x t W x t x t


exp

ˆex

exp

exp p ,

k k kk

k k

k k k kk

k kk

k k kk

ic t E t E x

ic

ii c t E t x

ic tt E t E x E t W x t x

0

,

exp exp

ˆ ˆ, , ,

ˆexp exp ,

k k k k k k kk k

k k k k k k kk k

x ti

ti i


H x x t W x t x t


exp

ˆ exp ,

k k kk

k k kk

ii c t E t x

ic t E t W x t x

0

0

, ˆ ˆ, , ,

ˆ, exp k kk


t

ix t H t c t x

êxp exp ,

êxp exp ,

exp

êxp ,

k k k k k kk k

m k k k m k k kk k

m k k kk

m k k kk

i ii c t E t x c t E t W x t x

i ix i c t E t x x c t E t W x t x

ix i c t E t x dx

ix c t E t W x t x dx

i c

exp

êxp ,

k k m kk

k k m kk

it E t x x dx

ic t E t W x t x x dx

ˆexp exp ,k k k k k kk k

i ii c t E t x c t E t W x t x

exp

ˆexp ,

k k m kk

k k m kk

ii c t E t dx x x

ic t E t dx x W x t x

exp expk k mk k k mkk k

i ii c t E t c t E t W t

exp expm m k k mkk


exp expm m k k mkk


exp

con

mmk mk k

k

m kmk

dc ti W t i t c t

dt

E E

Es importante notar que

ˆ ,mk m kW t x W x t x dx

0

0

, ˆ ˆ, , ,

ˆ, exp

exp

k kk

m m kmk mk k mk

k


t

ix t H t c t x

dc t E Ei W t i t c t

dt

Condiciones iniciales:

0

que implican que originalmente el sistema

estaba en el estado , o sea que

k kn

n n

c

E E

0

0

, ˆ ˆ, , ,

ˆ, exp

exp

k kk

m m kmk mk k mk

k


t

ix t H t c t x

dc t E Ei W t i t c t

dt

exp ; 0

con

ˆy ,

mmk mk k k kn

k

m kmk

mk m k

dc ti W t i t c t c

dt

E E

W t x W x t x dx

0, ˆ ˆ, , ,x t

i H x x t W x t x tt

exp ; 0mmk mk k k kn

k

dc ti W t i t c t c

dt

Notese que si 0,

entonces las son

constantes.

W

c

0

Si la perturbación es "pequeña",

podemos hacer una primera

aproximación poniendo

k nkc t


k

dc ti W t i t c t c

dt

0k nkc t

1

0exp expmmk mk k mk mk nk

k k

dc ti W t i t c W t i t

dt

1

expmmn mn

dc ti W t i t

dt


k

dc ti W t i t c t c

dt

1

1

exp

0

mmn mn

m mn

dc ti W t i t

dt

c

1

0

1exp

t

m mn mn mnc t d W ii


k

dc ti W t i t c t c

dt

2

1expmmk mk k

k

dc ti W t i t c t

dt

1

0

1exp

t


y así sucesivamente .....


k

dc ti W t i t c t c

dt

, 0 0,,

0 0,

W x t t TW x t

t T

1

0

1exp

t


1

0

1exp

, 0 0,,

0 0,

t


W x t t TW x t

t T

1

0

1

Para tenemos

1exp

1exp

T

m mn mn

m mn mn

t T

c W i di

c W i d m ni

1 1exp

con

,

m mn mn

mn m n

c W i d m ni

W t x W x t x dx

1

0

1exp

, 0 0,,

0 0,

t


W x t t TW x t

t T

, , exp

1, , exp

2

W x t W x i t d

W x W x t i t dt

exp

donde

1exp

2

mn mn

mn mn

W t d i t W

W W t i t dt

1

Por tanto, tenemos que

2m mn mnc W

i

1 1exp

1exp

2

m mn mn

mn mn

c W i d m ni

W W t i t dt

2 =1 n n n n n

n n

A w A A w A w A c





n

m

mn

t

x t

A

x

P t c

2



mn t

n

m t

2

2

2

La probabilidad de transición del

nivel al es entonces

4mn mn mn

n m

P W

1

1

1exp

1exp

2

2

m mn mn

mn mn

m mn mn

c W i d m ni

W W t i t dt

c Wi

2

2

2

4mn mn mnP W

0 si y sólo si 0

El espectro de perturbación debe incluir la frecuencia mn mn mn

mn

P W

Las transiciones tienen un carácter resonante. El sistema cuántico se comporta como si estuviera constituido por un conjunto de osciladores armónicos con frecuencias propias iguales a la frecuencia de Bohr

0

0

Tenemos un sistema no perturbado que tiene

espectro discreto y espectro continuo

ˆ ( ) ( )

y

ˆ ( ) ( )

k k kH x E x

H x E x

Las funciones de onda son ortonormales

0

n m nm

n

0 0



ˆ ˆ( ) ( ) y ( ) ( )k k kH x E x H x E x

Las funciones de onda constituyen

un conjunto completo para el

espacio de Hilbert correspondiente.

0 0



ˆ ˆ( ) ( ) y ( ) ( )k k kH x E x H x E x

* x x dx

( )

Al tiempo la función de onda del

sistema será

( , ) ( ) ( )

( ) ( )

kEi t

k kk

Ei t

t

x t c t x e

c t x e d

0 0ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )k k kH x E x H x E x

( )

( )

( )

,( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

k

k

k

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

kk k

k

x ti i c t x e c t x e d

t t

i c t x e i c t x e d

E Ei i c t x e i i c t x e d

0ˆ ˆ, ,,

,Hx t

i x x tt

t W x t x

( )

( )

( )

0 0

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) ( ) ( ) ( )

k

k

k

k

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k k kk

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k kk

i c t x e c t x e d

E c t x e E c t x e d

H x c t x e c t x e d x

W x t c t x e c t x e d

0 x

( )

( )

( )

0 0 0

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( ) ( ) , ( )

k

k

k

k

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k k kk

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k kk

i c t x e c t x e d


c t e H x c t e H x d x

c t e W x t x c t e W x t x

0d x

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( ) ( ) , ( )

k

k

k

k

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k k kk

E Ei t i t

k k kk

E Ei t i t

k kk

i c t x e c t x e d



c t W x t x e c t W x t x e

0d

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( ) ,

)

( ) (

(

( )

)

)

k

k

k

k

Ei t

E

Ei t

k k kk

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k kk

Ei t

k k kk

i t

E c t x e d

E c t

i c t x e c t x e d

c t W x t x e c t W x t x e

E c t x e

E dc e et xx

0d

( )

( )

Tenemos entonces el sistema

( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( ) ( ) , ( )

con la condición inicial

, 0

k

k

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k kk

n

i c t x e c t x e d

c t W x t x e c t W x t x e d

x t x

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) , ( ) ( ) ,

( ) ( )

( ) ( ) ( )

k

k

E Ei t i t

kk

k

E Ei t i t

k kk

dc t dc ti x e x ex x

x

ddt dt

c t W x t x e cx t W x t x e d

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( ) ( ) , ( )

k

k

E Ei t i t

k kk

E Ei t i t

k kk

i c t x e c t x e d

c t W x t x e c t W x t x e d

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )

k

k

E Ei t i t

kk

k

E Ei t i t

k kk

dc t dc ti dx x x e dx x x e d

dt dt

dx x c t W x t x e dx x c t W x t x e d

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )

k

k

E Ei t i t

kk

k

E Ei t i t

k kk

dc t dc ti x x e x x e d

dt dt

x c t W x t x e x c t W x t x e d

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )

k

k

E Ei t i t

kk

k

E Ei t i t

k kk

dc t dc ti e dx x x d e dx x x

dt dt

c t e dx x W x t x d c t e dx x W x t x d

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( ) ( )

0

, ( )

k

k

E Ei t i t

k

k

E Ei t i t

k kk

dc t dc ti e d e

dt dt


( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )

k

k

E Ei t i t

kk

k

E Ei t i t

k kk

dc t dc ti e dx x x d e dx x x

dt dt


( )

( )

( )

( ) ( )k

Ei t

E Ei t i

kk

t

k W t

dc ti d e

dt

c t e Wd c t e t

( ) ( )( )

( ) ( )kEE E

i t i t i t

k kk

dc ti e c t e W t d c t e W t

dt

( )

( )

( )

( ) ( )k

Ei t

E Ei t i t

k kk

dc ti d e

dt

c t e W t d c t e W t

( )

( )


( )( ) ( )


, 0

y donde

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

k

E E E Ei t i t

k kk

n

E Ei t i t

k kk

dc ti c t e W t d c t e W t

dt

x t x

x t c t x e c t x e d

( )


( )( ) ( )


, 0

que implica

0 0 0

kE E E Ei t i t

k kk

n

k kn


dt

x t x

c c

( )( )( ) ( )

con la condición inicial 0 0 0

kE E E Ei t i t

k kk

k kn


dt

c c

0 0

1 ( )

Usando ahora que el potencial es una perturbación, ponemos

0

así que

0k

k kn

E E E Ei t i tk

kn kk

c t c t

dc ti e W t d e W t

dt

( )( )( ) ( )

con la condición inicial 0 0 0

kE Ei t i t

k kk

k kn


dt

c c

1 ( )

1

0

( )

k

n

E E E Ei t i tk

kn kk

E Ei t

n

dc ti e W t d e W t

dt

dc ti e W t

dt

1

0

Cuya solución es

1exp

donde

,

tn

n

n n

E Ec W i d

i

W t x W x t x dx

1 ( ) nE E

i t

n

dc ti e W t

dt

Suponiendo ahora un potencial perturbativo

monocromático (que dependa únicamente de

la frecuencia ) tenemos

, exp expW x t W x i t W x i t

1

0

1exp

donde ,

tn

n

n n

E Ec W i d

i

W t x W x t x dx

* *

Los elementos de matriz del potencial serán:

exp exp

donde

y

n n n

n n

n n

W t W i t W i t

W x W x x dx

W x W x x dx

1

0

1exp donde ,

, exp exp

tn

n n n

E Ec W i d W t x W x t x dx

i

W x t W x i t W x i t

1

0

0

0

1exp exp exp

exp exp

exp exp

tn

n n

tnn

tnn

E Ec W i t W i t i d

i

E EWi t i d

i

E EWi t i d

i

1

0

1exp

exp exp

tn

n

n n n

E Ec W i d

i

W t W i t W i t

1

exp 1

exp 1

nn

n

nn

n

iE E t

Wc

ii E E

iE E t

Wii E E

1

Como 0, 0, 0 en general

y el primer término es pequeño en relación al segun

exp 1

do,

exp 1

n

n n

n

n

n

n

n

n

iE E t

Wii E E

E E

E E E E

c

iE E t

Wii E E

1

Sobre todo en la frecuencia resonante,

0

donde el segundo término se hace muy grande

exp 1

e 1

xp nn

n

nn

n

n

iE E t

Wii E

E E

c

iE E

E

tW

ii E E

2

22

1

2

Despreciando entonces el primer término, tenemos

exp 1nn

n

iE E t

Wc d d

iE E

2 =1 n n n n n

n n

A w A A w A w A c





n

m

mn

t

x t

A

x

P t c

2



mn t

n

m t

2

22

1

2

exp 1nn

n

iE E t

Wc d d

iE E

21

2

La probabilidad de transición por unidad de tiempo

del estado al intervalo del continuo , es

por tanto igual a

sin2

n

n nn

n d

E Et

d cp d d W d

dt E E

sin

lim

x

xx

2

sin2

n

n nn

E Et

p d W dE E

Cuando el tiempo tiende a infinito, , el término

sin

y por tanto,

n

nn

t

E Et

E EE E

22n n np d W E E d

2

sin2

n

n nn

E Et

p d W dE E

En caso en que los estados del espectro continuo

estén caracterizados por tres parámetros , , ,

se encuentra, haciendo los mismos, cálculos que

la probabilidad de transición por unida de tiempo

del est

2

,

ado a una región + , ,

está dada como

, ,

2, ,

n

n n

n d d d

p d d d

W E E d d d

En el caso de las transiciones entre estados del continuo,

se encuentra, nuevamente con el mismo procedimiento,

pero sustituyendo las sumas por integrales y las deltas de

Kronecker por deltas de Dirac,

p

0 0 0

0 0 0

2

, 0 0 0

, ,

2, , , ,

d d d

W E E d d d

En los dos casos que hemos estudiado,

discreto continuo y continuo continuo

la probabilidad de transición refleja el caracter

resonante. Efectivamente las probabilidades

son diferentes de cero sólo si

E

0 0 0

,

0 0 0 ,

, ,

ó

, , , ,

La frecuencia de la acción aplicada es igual a la

frecuencia de Bohr de la transición deseada.

n nE

E E

Mecánica Cuántica

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