MÓDULO 3 DE: MATEMÁTICA
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1 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 2
3 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
FICHA TEacuteCNICA
Consultoria
CEMOQE MOCcedilAMBIQUE
Direcccedilatildeo
Manuel Joseacute Simbine (Director do IEDA)
Coordenaccedilatildeo
Nelson Casimiro Zavale
Belmiro Bento Novele
Elaborador
Constantino Matsinhe
Revisatildeo Instrucional
Nilsa Cherindza
Lina do Rosaacuterio
Constacircncia Alda Madime
Deacutercio Langa
Revisatildeo Cientiacutefica
Teresa Macie
Revisatildeo linguiacutestica
Beniacutecio Armindo
Maquetizaccedilatildeo e Ilustraccedilatildeo
Eliacutesio Bajone
Osvaldo Companhia
Rufus Maculuve
Impressatildeo
CEMOQE Moccedilambique
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 4
Iacutendice
INTRODUCcedilAtildeO 7
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO 9
Liccedilatildeo nordm1 REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA
RECTA GRADUADA 10
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 16
Liccedilatildeo nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 20
Liccedilatildeo nordm4 EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES 24
Liccedilatildeo nordm5 CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q 27
Liccedilatildeo nordm6 CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS NAtildeO PERFEITOS USANDO O
ALGORITMO 32
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS 38
Liccedilatildeo nordm8 CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
41
Liccedilatildeo nordm9 REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA GRADUADA 45
Liccedilatildeo nordm10 RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS DE NUacuteMEROS PERFEITOS 50
Liccedilatildeo nordm 11 POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO 53
Liccedilatildeo nordm12 PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO RADICAL 56
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS 60
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS 62
Liccedilatildeo nordm13 OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE RADICAIS 65
Liccedilatildeo nordm14 MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 68
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE 71
Unidade2 INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 76
Liccedilatildeo nordm1 77
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS 77
Liccedilatildeo nordm2 REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO 83
Liccedilatildeo nordm3 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 86
LICcedilAtildeO Nordm4 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL 90
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS 96
LICcedilAtildeO Nordm1 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO 97
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS 101
LICcedilAtildeO Nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS 104
Liccedilatildeo nordm4 POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS 107
Liccedilatildeo nordm5 NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO 109
Liccedilatildeo nordm6 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS 112
Liccedilatildeo nordm7 MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO 116
Liatildeo nordm 8 MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES 119
Liccedilatildeo nordm9 DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES RECORRENDO A PROPRIEDADE
DISTRIBUTIVA (FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS119938 plusmn 119939120784 E 119938+ 119939119938minus 119939 122
Liccedilatildeo nordm10 DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO 127
5 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 133
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 134
Liccedilatildeo nordm2 LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 138
Liccedilatildeo nordm3 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 141
Liccedilatildeo nordm4 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 145
Liccedilatildeo nordm5 FOacuteRMULA RESOLVENTE 149
LICcedilAtildeO Nordm6 SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO QUADRAacuteTICA 153
Liccedilatildeo nordm7 FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+ 119939119961 + 119940 = 119938119961 minus 119961120783119961minus 119961120784 157
Liccedilatildeo nordm8 PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 160
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 6
MENSAGEM DA INSTITUICcedilAtildeO DIRIGIDA AOS ALUNOS
7 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO
Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica
O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar
claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos
Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e
especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema
desta classe
ESTRUTURA DO MOacuteDULO
Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas
nomeadamente
Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo
unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares
unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios
unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz
de
- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais
inteiros racionais irracionais e reais
- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas
ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO
Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto
aconselhamos o seguinte
-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos
- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no
Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa
- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos
importantes sobre o tema em estudo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 2
3 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
FICHA TEacuteCNICA
Consultoria
CEMOQE MOCcedilAMBIQUE
Direcccedilatildeo
Manuel Joseacute Simbine (Director do IEDA)
Coordenaccedilatildeo
Nelson Casimiro Zavale
Belmiro Bento Novele
Elaborador
Constantino Matsinhe
Revisatildeo Instrucional
Nilsa Cherindza
Lina do Rosaacuterio
Constacircncia Alda Madime
Deacutercio Langa
Revisatildeo Cientiacutefica
Teresa Macie
Revisatildeo linguiacutestica
Beniacutecio Armindo
Maquetizaccedilatildeo e Ilustraccedilatildeo
Eliacutesio Bajone
Osvaldo Companhia
Rufus Maculuve
Impressatildeo
CEMOQE Moccedilambique
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 4
Iacutendice
INTRODUCcedilAtildeO 7
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO 9
Liccedilatildeo nordm1 REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA
RECTA GRADUADA 10
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 16
Liccedilatildeo nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 20
Liccedilatildeo nordm4 EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES 24
Liccedilatildeo nordm5 CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q 27
Liccedilatildeo nordm6 CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS NAtildeO PERFEITOS USANDO O
ALGORITMO 32
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS 38
Liccedilatildeo nordm8 CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
41
Liccedilatildeo nordm9 REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA GRADUADA 45
Liccedilatildeo nordm10 RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS DE NUacuteMEROS PERFEITOS 50
Liccedilatildeo nordm 11 POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO 53
Liccedilatildeo nordm12 PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO RADICAL 56
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS 60
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS 62
Liccedilatildeo nordm13 OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE RADICAIS 65
Liccedilatildeo nordm14 MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 68
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE 71
Unidade2 INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 76
Liccedilatildeo nordm1 77
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS 77
Liccedilatildeo nordm2 REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO 83
Liccedilatildeo nordm3 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 86
LICcedilAtildeO Nordm4 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL 90
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS 96
LICcedilAtildeO Nordm1 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO 97
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS 101
LICcedilAtildeO Nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS 104
Liccedilatildeo nordm4 POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS 107
Liccedilatildeo nordm5 NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO 109
Liccedilatildeo nordm6 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS 112
Liccedilatildeo nordm7 MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO 116
Liatildeo nordm 8 MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES 119
Liccedilatildeo nordm9 DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES RECORRENDO A PROPRIEDADE
DISTRIBUTIVA (FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS119938 plusmn 119939120784 E 119938+ 119939119938minus 119939 122
Liccedilatildeo nordm10 DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO 127
5 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 133
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 134
Liccedilatildeo nordm2 LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 138
Liccedilatildeo nordm3 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 141
Liccedilatildeo nordm4 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 145
Liccedilatildeo nordm5 FOacuteRMULA RESOLVENTE 149
LICcedilAtildeO Nordm6 SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO QUADRAacuteTICA 153
Liccedilatildeo nordm7 FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+ 119939119961 + 119940 = 119938119961 minus 119961120783119961minus 119961120784 157
Liccedilatildeo nordm8 PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 160
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 6
MENSAGEM DA INSTITUICcedilAtildeO DIRIGIDA AOS ALUNOS
7 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO
Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica
O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar
claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos
Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e
especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema
desta classe
ESTRUTURA DO MOacuteDULO
Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas
nomeadamente
Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo
unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares
unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios
unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz
de
- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais
inteiros racionais irracionais e reais
- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas
ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO
Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto
aconselhamos o seguinte
-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos
- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no
Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa
- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos
importantes sobre o tema em estudo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
3 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
FICHA TEacuteCNICA
Consultoria
CEMOQE MOCcedilAMBIQUE
Direcccedilatildeo
Manuel Joseacute Simbine (Director do IEDA)
Coordenaccedilatildeo
Nelson Casimiro Zavale
Belmiro Bento Novele
Elaborador
Constantino Matsinhe
Revisatildeo Instrucional
Nilsa Cherindza
Lina do Rosaacuterio
Constacircncia Alda Madime
Deacutercio Langa
Revisatildeo Cientiacutefica
Teresa Macie
Revisatildeo linguiacutestica
Beniacutecio Armindo
Maquetizaccedilatildeo e Ilustraccedilatildeo
Eliacutesio Bajone
Osvaldo Companhia
Rufus Maculuve
Impressatildeo
CEMOQE Moccedilambique
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 4
Iacutendice
INTRODUCcedilAtildeO 7
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO 9
Liccedilatildeo nordm1 REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA
RECTA GRADUADA 10
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 16
Liccedilatildeo nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 20
Liccedilatildeo nordm4 EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES 24
Liccedilatildeo nordm5 CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q 27
Liccedilatildeo nordm6 CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS NAtildeO PERFEITOS USANDO O
ALGORITMO 32
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS 38
Liccedilatildeo nordm8 CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
41
Liccedilatildeo nordm9 REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA GRADUADA 45
Liccedilatildeo nordm10 RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS DE NUacuteMEROS PERFEITOS 50
Liccedilatildeo nordm 11 POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO 53
Liccedilatildeo nordm12 PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO RADICAL 56
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS 60
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS 62
Liccedilatildeo nordm13 OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE RADICAIS 65
Liccedilatildeo nordm14 MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 68
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE 71
Unidade2 INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 76
Liccedilatildeo nordm1 77
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS 77
Liccedilatildeo nordm2 REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO 83
Liccedilatildeo nordm3 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 86
LICcedilAtildeO Nordm4 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL 90
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS 96
LICcedilAtildeO Nordm1 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO 97
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS 101
LICcedilAtildeO Nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS 104
Liccedilatildeo nordm4 POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS 107
Liccedilatildeo nordm5 NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO 109
Liccedilatildeo nordm6 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS 112
Liccedilatildeo nordm7 MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO 116
Liatildeo nordm 8 MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES 119
Liccedilatildeo nordm9 DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES RECORRENDO A PROPRIEDADE
DISTRIBUTIVA (FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS119938 plusmn 119939120784 E 119938+ 119939119938minus 119939 122
Liccedilatildeo nordm10 DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO 127
5 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 133
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 134
Liccedilatildeo nordm2 LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 138
Liccedilatildeo nordm3 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 141
Liccedilatildeo nordm4 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 145
Liccedilatildeo nordm5 FOacuteRMULA RESOLVENTE 149
LICcedilAtildeO Nordm6 SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO QUADRAacuteTICA 153
Liccedilatildeo nordm7 FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+ 119939119961 + 119940 = 119938119961 minus 119961120783119961minus 119961120784 157
Liccedilatildeo nordm8 PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 160
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 6
MENSAGEM DA INSTITUICcedilAtildeO DIRIGIDA AOS ALUNOS
7 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO
Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica
O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar
claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos
Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e
especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema
desta classe
ESTRUTURA DO MOacuteDULO
Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas
nomeadamente
Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo
unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares
unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios
unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz
de
- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais
inteiros racionais irracionais e reais
- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas
ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO
Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto
aconselhamos o seguinte
-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos
- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no
Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa
- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos
importantes sobre o tema em estudo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 4
Iacutendice
INTRODUCcedilAtildeO 7
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO 9
Liccedilatildeo nordm1 REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA
RECTA GRADUADA 10
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 16
Liccedilatildeo nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 20
Liccedilatildeo nordm4 EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES 24
Liccedilatildeo nordm5 CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q 27
Liccedilatildeo nordm6 CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS NAtildeO PERFEITOS USANDO O
ALGORITMO 32
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS 38
Liccedilatildeo nordm8 CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
41
Liccedilatildeo nordm9 REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA GRADUADA 45
Liccedilatildeo nordm10 RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS DE NUacuteMEROS PERFEITOS 50
Liccedilatildeo nordm 11 POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO 53
Liccedilatildeo nordm12 PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO RADICAL 56
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS 60
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS 62
Liccedilatildeo nordm13 OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE RADICAIS 65
Liccedilatildeo nordm14 MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 68
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE 71
Unidade2 INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 76
Liccedilatildeo nordm1 77
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS 77
Liccedilatildeo nordm2 REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO 83
Liccedilatildeo nordm3 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 86
LICcedilAtildeO Nordm4 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL 90
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS 96
LICcedilAtildeO Nordm1 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO 97
Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS 101
LICcedilAtildeO Nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS 104
Liccedilatildeo nordm4 POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS 107
Liccedilatildeo nordm5 NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO 109
Liccedilatildeo nordm6 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS 112
Liccedilatildeo nordm7 MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO 116
Liatildeo nordm 8 MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES 119
Liccedilatildeo nordm9 DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES RECORRENDO A PROPRIEDADE
DISTRIBUTIVA (FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS119938 plusmn 119939120784 E 119938+ 119939119938minus 119939 122
Liccedilatildeo nordm10 DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO 127
5 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 133
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 134
Liccedilatildeo nordm2 LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 138
Liccedilatildeo nordm3 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 141
Liccedilatildeo nordm4 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 145
Liccedilatildeo nordm5 FOacuteRMULA RESOLVENTE 149
LICcedilAtildeO Nordm6 SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO QUADRAacuteTICA 153
Liccedilatildeo nordm7 FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+ 119939119961 + 119940 = 119938119961 minus 119961120783119961minus 119961120784 157
Liccedilatildeo nordm8 PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 160
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 6
MENSAGEM DA INSTITUICcedilAtildeO DIRIGIDA AOS ALUNOS
7 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO
Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica
O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar
claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos
Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e
especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema
desta classe
ESTRUTURA DO MOacuteDULO
Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas
nomeadamente
Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo
unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares
unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios
unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz
de
- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais
inteiros racionais irracionais e reais
- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas
ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO
Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto
aconselhamos o seguinte
-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos
- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no
Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa
- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos
importantes sobre o tema em estudo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
5 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 133
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 134
Liccedilatildeo nordm2 LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 138
Liccedilatildeo nordm3 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 141
Liccedilatildeo nordm4 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 145
Liccedilatildeo nordm5 FOacuteRMULA RESOLVENTE 149
LICcedilAtildeO Nordm6 SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO QUADRAacuteTICA 153
Liccedilatildeo nordm7 FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+ 119939119961 + 119940 = 119938119961 minus 119961120783119961minus 119961120784 157
Liccedilatildeo nordm8 PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 160
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 6
MENSAGEM DA INSTITUICcedilAtildeO DIRIGIDA AOS ALUNOS
7 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO
Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica
O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar
claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos
Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e
especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema
desta classe
ESTRUTURA DO MOacuteDULO
Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas
nomeadamente
Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo
unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares
unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios
unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz
de
- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais
inteiros racionais irracionais e reais
- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas
ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO
Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto
aconselhamos o seguinte
-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos
- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no
Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa
- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos
importantes sobre o tema em estudo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 6
MENSAGEM DA INSTITUICcedilAtildeO DIRIGIDA AOS ALUNOS
7 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO
Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica
O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar
claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos
Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e
especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema
desta classe
ESTRUTURA DO MOacuteDULO
Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas
nomeadamente
Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo
unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares
unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios
unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz
de
- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais
inteiros racionais irracionais e reais
- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas
ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO
Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto
aconselhamos o seguinte
-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos
- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no
Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa
- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos
importantes sobre o tema em estudo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
7 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO
Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica
O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar
claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos
Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e
especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema
desta classe
ESTRUTURA DO MOacuteDULO
Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas
nomeadamente
Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo
unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares
unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios
unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz
de
- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais
inteiros racionais irracionais e reais
- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas
ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO
Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto
aconselhamos o seguinte
-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos
- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no
Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa
- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos
importantes sobre o tema em estudo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 8
- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem
esclarecidas
- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas
- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha
respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu
conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo
seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees
Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem
CONTEUacuteDOS
EXEMPLOS
REFLEXAtildeO
TOME NOTA
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO
Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de
reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem
No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas
tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-
avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder
as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das
perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso
9 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA
Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
- Operar os nuacutemeros reais
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc
- Identifica os nuacutemeros irracionais
-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada
- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R
- Opera os nuacutemeros reais
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 10
Liccedilatildeo nordm1
REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA
GRADUADA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros
A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)
A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada
-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas
111 Nuacutemeros racionais
Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q
Ex Conjunto de nuacutemeros naturais
119873 = 1234567891011hellip
2 Conjunto de nuacutemeros inteiros
119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip
3 Conjunto de nuacutemeros racionais
119876 =
hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1 +
4
3 +375+
21
4 hellip
112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada
Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo
Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada
11 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10
A B D E C F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10
Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada
119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4
E F B A C D
minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin
Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada
119860 +1
2 119861 minus
1
2 119862 +
7
3 119863 minus 4 119864 +
10
5 119865 minus 625
Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo
119860 +1
2
119860 +1
2= +05 Logo
0 119860 1 2
119861 minus1
2
119861 minus1
2= minus05 Logo
-2 -1 119861 0
-
10
10
2
05
00
-
10
10
2
05
00
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 12
119862 +7
3
119862 +7
3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo
usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade
119862
0 +1 +2 +3
Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada
Ex B A
C
minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin
Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica
Ex hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais
Ex O nuacutemero minus3
4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5
Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa
decimal repete-se infinitamente (sem terminar)
Ex O nuacutemero +7
3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem
terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3
Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)
113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)
Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin
( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)
Ex Considere o conjunto 119882 abaixo
119882 = hellip minus20
3 minus5minus35minus3minus
3
2 minus125minus1 0+025+
1
2 +
4
5 +1+
4
3 +375+
21
4 hellip
Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)
-
-
700
6
3
233hellip
10
09
01
13 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 0 isin 119873 (119865) e) +1
2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850
minus(119881)
b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2
3notin 1198760
+(119881)
c) minus3
2isin 119876 (119881) g) +
21
4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)
d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)
114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)
Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos
Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)
b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)
c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)
d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)
e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)
O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos
Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)
b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)
c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)
d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)
No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub
(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)
Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850
minus)
b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)
c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760
+ natildeo contem 119876minus)
d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760
minus natildeo contem N)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 14
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo
1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)
a) minus3
2isin 1198850
+ ( ) e) minus1
2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )
b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2
3isin 1198760
+( )
c) minus3
2isin 1198760
minus ( ) g) +21
4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )
d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada
a) A minus3
2 e) 119864 minus 2
1
2 i) 119868 035
b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2
3
c) 119862 minus3
4 g) 119866 +
21
4 l) 119871 minus 1
d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375
3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus
b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760
+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+
c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91
4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876
d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876
15 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )
b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )
c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )
d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )
2 H E A L C B I F D G
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
3
a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus
b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760
+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+
c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4isin 119876 l) +825 isin 119876
d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 16
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se
A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica
Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =
Primeiro vocecirc deve recordar que
A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e
(+) times (+) = +
A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus
Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim
minus(+7) + (+8)mdash18 =
= minus7 + 8minus 18 =
A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim
= minus7 + 8 minus 18 =
= +1 minus 18 = minus17˶
b) (+3
4) minus (minus
4
3) + (minus
1
2) minus (+
1
6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros
fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de
- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim
17 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim
+3
4+4
3minus1
2minus1
6=
(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo
multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos
+3 times 3
4 times 3+4 times 4
3 times 4minus1 times 6
2 times 6minus1 times 2
6 times 2=
=+9+ 16 minus 6 minus 2
12=
=+25minus6minus2
12=
+19minus2
12= +
17
12˶
c) (minus05) + (minus03) minus (minus2
5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se
- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim
minus05 minus 03 +2
5minus 025 =
- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees
Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais
corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05
10= minus
5
10 Entatildeo a
expressatildeo fica
= minus120787
120783120782minus
3
10+
2
5minus
25
100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos
(10)(10)(20)(1)
= minus5 times 10
100minus3 times 10
100+2 times 20
100minus25 times 1
100=
=minus50 minus 30 + 40 minus 25
100=
=minus80 + 40 minus 25
100=minus40 minus 25
100= minus
65
100˶
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 18
ACTIVIDADE Ndeg 2
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =
b) (+1
2) minus (+
3
4) + (+
14
3) =
c) minus(minus6
7) minus
5
14minus (
1
2) =
d) (06 + 0 minus 05) minus1
10=
e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66
10) + (minus203) =
19 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a) 20 b) 53
12 c) 0 d) 0 d) minus
547
100 e)minus
91
12
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 20
Liccedilatildeo nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo
Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais
Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo
Ex a) minus(+2
3) times (minus
6
8) times (minus
2
3) times (minus
1
2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar
parecircnteses Assim = +2
3times6
8times2
3times1
2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os
denominadores Assim = +2times6times2times1
3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim
Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1
3times8times3times2=
2times2times3times2times1
3times23times3times2=
Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1
3times23times3times2=
1
2times3=
1
6˶
132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais
Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo
fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938
119939divide
119940
119941=
119938
119939times119941
119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne
120782 119942 119941 ne 120782
6
3
1
2
3
6 = 2 times 3
21 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex a) (minus5
15) divide (+
10
45) = primeiro mantemos o dividendo (minus
5
15) e multiplicamos pelo inverso do
divisor (+10
45) o seu inverso seraacute (+
45
10) entatildeo fica (minus
5
15) times (+
45
10) = passo seguinte
multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5
15times45
10= multiplicamos os
numeradores e denominadores fica minus5times45
15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim
Entatildeo jaacute podemos substituir
na expressatildeominus5times45
15times10=
fica minus5times32times5
3times5times2times5=
simplificamos fica minus5times32times5
3times5times2times5= minus
3
2˶
Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938
119939119940
119941
a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938
119939119940
119941
=119938
119939times119941
119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876
Ex b) (minus
36
12)
(minus24
64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim
(minus36
12)
24
64
= (minus36
12) times
(minus64
24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+
36times64
12times24=
decompomos os factores 122436 119890 64
Em seguida substituiacutemos os
factores na expressatildeo+ 36times64
12times24=
+25times26
22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica
+25times26
22times3times23times3 = +
26
3times3=
64
9 ˶
10
5
1
2
5
10 = 2 times 5
45
15
5
1
3
3
5
6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5
15
5
1
3
5
15 = 3 times 5
8
4
2
1
2
2
2
8 = 2 times 2 times 2 = 23
12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 times 3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
12 = 23 times 3
36
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
36 = 25
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 = 26
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 22
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) minus(minus8
9) times (minus
18
4) =
b) (minus7
28) times (+
27
21) =
c) minus(+144) times (minus3
12) times (minus
1
9) =
d) 03 times10
9times (minus
81
4) times 02 =
e) 29
3times (minus
21
30) times 001 =
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus12
5) divide (+
3
25) =
b) minus(minus2) divide (minus18
5) =
c) +025 divide (+75
100) =
d) +(minus31
3) divide (03) =
e) minus033 divide 099 =
23 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) minus4 b)minus9
28 c) minus4 d) minus
27
20 e) minus
35
3000
2 a) minus20 b)minus5
9 5c)
1
3 d) minus
100
9 e) minus
1
3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 24
Liccedilatildeo nordm4
EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os nuacutemeros racionais
- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas
141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema
Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo
Ex a) minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(
3
4) times (minus02) = que seraacute
minus(3
4) times (minus02) = minus(
3
4) times (minus
2
10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +
3
4times
2
10=
Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2
4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica
3times2
4times10=
3
2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)
minus(3
4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =
3
2times10minus (7 + 2) =
3
20minus 9 = passo seguinte calculamos o
119898119898119888 fica 320(1)
minus91
(20)
= Fica (3times1)minus(9times20)
20=
3minus180
20=
Logo 3minus180
20= minus
177
20 ˶
b) (2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a
multiplicaccedilatildeo assim 2
5divide
3
2=
2
5times2
3=
4
15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais
Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13
5 o valor 1
25 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +
3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8
5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (
2
5divide
3
2minus 1
3
5) times 5 +
20
3= (
4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= passo seguinte
calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)
minus85(3)
=(4times1)minus(8times3)
15=
4minus24
15= minus
20
15= minus
4times5
3times5= minus
4
3
Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4
15minus
8
5) times 5 +
20
3= (minus
4
3) times 5 +
20
3 comeccedilaacutemos com a
multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4
3) times 5 +
20
3= minus
4times5
3+
20
3= minus
20
3+
20
3 as parcelas satildeo
simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20
3+
20
3= 0˶
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Calcule o valor das expressotildees seguintes
a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15
b) minus2
3times3
4divide (minus
3
2) =
c) 3 divide (minus4
5) times (minus
2
3) divide (minus2) =
d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =
e) minus1minus(
1
3minus3
4)
2minus(minus1
2)times(minus
1
2)=
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 26
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a) 2 b)1
3 c) minus
5
4 d) minus1 e) minus
1
3
27 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas
151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais
Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades
Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925
Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2
Ex 02 12 (1
2)2
22 (3
4)2
32 42 (110
378)2
(2017
5)2
1002 119890119905119888
Determinemos os resultados dos quadrados acima
a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria
b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria
c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria
d) (3
4)2
= (3
4) times (
3
4) =
3times3
4times4=
9
16 Multiplicamos a base
3
4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o
restante dos valores tambeacutem
e) 32 = 3 times 3 = 9
f) 42 = 4 times 4 = 16
g) (110
378)2
= (110
378) times (
110
378) =
12100
142884
h) (2017
5)2
= (2017
5) times (
2017
5) =
4068289
25
i) 1002 = 100 times 100 = 10000
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 28
Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo
Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros
inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925
Ex
a) 02 = 0 times 0 = 0
b) 12 = 1 times 1 = 1
c) 22 = 2 times 2 = 4
d) 32 = 3 times 3 = 9
e) 42 = 4 times 4 = 16
f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000
152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional
No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma
radic119938119951
Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic
chama-se 119877119886119889119894119888119886119897
Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784
=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute
necessaacuterio colocar o iacutendice 120784
Ex
a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero
b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um
c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois
d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs
e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil
153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos
Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por
si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+
Ex
a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4
b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9
c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16
d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100
Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro
29 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex
a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5
b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito
porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira
a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5
b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11
Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36
Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62
Portanto 60 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 49 119890 64
Isto significa que 49 lt 60 lt 64 isto eacute 72 lt 30 lt 82
Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex
a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5
b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7
Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica
Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos
radic534 asymp 23108
b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic30 asymp 54772
c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos
radic60 asymp 77460
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 30
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯
b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯
f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo
a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros
a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017
4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17
31 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1
a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9
b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25
c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36
d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81
e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144
f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600
2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566
3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11
g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81
4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13
e)196 radic196 = 14
5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 32
Liccedilatildeo nordm6
CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS
NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo
161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo
Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo
Ex radic2017
radic2017
1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais
Assim radic20170000
2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua
raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20
3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim
radic20170000 4
33 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute
radic20170000 4
16
04
5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim
radic20170000 120786
16 8
04
6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789
radic20170000 120786 16 8 0417
7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para
obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786
radic20170000 120786 16 8120786
0417 times 120786
336
8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no
nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 34
radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786
336
9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica
radic20170000 120786 120786
16 8120786 0417 times 120786
336 336
0081
10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim
radic20170000 44 16 84 88
0417 times 4
336 336
0081
11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88
0417 times 4
336 336
008100
12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9
35 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889
0417 times 4 times 120791
336 336 8001
008100
8001
13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute
radic20170000 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
000099
14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889
0417 times 4 times 9
336 336 8001
008100
8001
00009900
15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898
0417 times 4 times 9
336 336 8001
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 36
008100
8001
00009900
16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos
um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981
radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 1
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando
4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute
radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que
pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas
consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo
teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4
9 1hellip
37 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981
0417 times 4 times 9 times 120783
336 336 8001 8981
008100
8001
00009900
8981 00000919
Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783
Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789
O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em
algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto
teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919
Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de
numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079
b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684
c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016
d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564
e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 38
Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros irracionais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
171 Nuacutemeros irracionais
O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de
nuacutemeros irracionais
Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada
a) radic2
Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos
radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423
100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3
96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269
0400
281
011900
11296 00060400
56564 0000383600
0000282841 000010075900
000008485269
000001590631
39 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute
radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip
O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo
diferentes
Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica
Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute
casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes
Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo
Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo
perioacutedicas
Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =
1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip
Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores
120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)
119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo
1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais
a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo
a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625
9 g) radic119890
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 40
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) 325 - Nuacutemero racional
b) 44 (33) -Nuacutemero racional
c) 91234hellip -Nuacutemero irracional
d) 2017 -Nuacutemero racional
e) 120587 Nuacutemero irracional
f) 1968258 -Nuacutemero racional
f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional
2 a)radic4 -Nuacutemero racional
b) radic3-Nuacutemero irracional
c)radic100 -Nuacutemero racional
c) radic22 -Nuacutemero irracional
d) radic016 -Nuacutemero racional
f) radic625
9 - Nuacutemero racional
g) radic119890-Nuacutemero irracional
41 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm8
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE
CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos
introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os nuacutemeros reais
- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais
- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
181Conjunto de nuacutemeros reais
Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de
nuacutemeros irracionais I
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
Ex ℝ =
hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 42
Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute
abordados nas liccedilotildees 1 e 2
Ex
R
Q I
N
Z
182 Subconjuntos de nuacutemeros reais
Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo
ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos
ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos
Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo
ℝ
= hellip minus120783120782120782
120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784120645hellip
Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais
ℝ120782+ = 120782 +
120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ+ = hellip +120783
120784 +120783+radic120784
radic120783120788
120784 120645hellip
ℝ120782minus = hellip minus
120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782
ℝminus = hellip minus120783120782120782
120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip
43 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus
elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2
Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus
119887) 1198760minus nsub 1198770
+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770
+
119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91
4 isin 119877 l) +825 isin 1198770
+
119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
Considere o conjunto
119860 = hellip minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0 124radic
17
4 119890 radic20217hellip
Determine
a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus
119887) 1198760+helliphellip1198770
+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877
119888) 119877minushellipminus1minus120587
2 g)minus
91
4helliphellip1198770
+ l) +119890helliphellip 1198770+
119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 44
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8
119886) 217 Os nuacutemeros naturais
b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros
c) minus2017minus1000minus528
3 minus
1
1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais
d) 124radic17
4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos
e) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 Os nuacutemeros reais negativos
f) 0 124radic17
4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero
g) minus2017minus1000minus528
3 minus120587minusradic8minus017hellip minus
1
1000 0Os nuacutemeros reais negativos
incluindo o zero
Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter
proposiccedilotildees verdadeiras
119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus
119887) 1198760+ sub 1198770
+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877
119888) 119877minus sup minus1minus120587
2 g)minus
91
4 notin 1198770
+ l) +119890 isin 1198770+
119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877
45 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm9
REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA
GRADUADA
Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada
Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua
Ex
-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin
O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ
A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os
nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1
Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real
Consideremos o problema
Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa
B
X 1cm
A 1cm C
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 46
Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo
Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa
Entatildeo se considerarmos
AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma
119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784
120784
Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica
1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982
Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees
quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de
1˚- Traccedilamos a recta graduada
Ex
-2 -1 0 1 2
2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 2
3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate
tocar no eixo real ou recta real E fica
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic2 2
O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2
Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2
47 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de
compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute
minusradic2 Assim
B
X 1cm
A 1cm C
minusradic2 -1 0 1 radic2 2
Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3
Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos
um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai
encontrado seraacute radic3 Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2 -1 0 1 radic3 2
Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de
compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real
Assim
D
B
X 1cm
A 1cm C
-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2
Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao
segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 48
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Represente os nuacutemeros reais seguintes
a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14
4
49 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
D
B
X 1cm
A 1cm C
minus14
4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 50
Liccedilatildeo nordm10
RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS
DE NUacuteMEROS PERFEITOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros
perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos
- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886
2 =
radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886
3 119900119899119889119890 119886 isin 119877
Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a
Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886
Ex a) radic83
= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273
= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27
c) radic3433
= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343
Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433
= radic733
=7
e) radicminus27
8
3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim
343
49
7
1
7
7
7
343 = 73
51 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Substituiacutemos no radicando radicminus33
23
3= colocamos o sinal negativo fora do
radical minusradic33
23
3= minus
3
2
Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo
Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro
Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic125
3 d) radic2197
3 e) radic
125
27
3 f) radic
1
216
3 g) radic729
3
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 52
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5
3 f)
1
6 g) 9
53 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm 11
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente
fraccionaria
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria
- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio
Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899
119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873
Podemos transformar a raiz radic119886119898119899
na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim
radic119886119898119899
= 119886119898
119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898
119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890
Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar
radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21
2
b) radic(minus13
2)147
= (minus13
2)
14
7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus
13
2)147
= (minus13
2)2
=
(minus13
2) times (minus
13
2) = +
169
4
Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) (5
9)
1
3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =
5
9 119890119899119905atilde119900 (
5
9)
1
3= radic(
5
9)13
= radic5
9
3
b) (119910
2)
8
5=119899 = 5119898 = 8 119886 =
119910
2 119890119899119905atilde119900 (
119910
2)
8
5= radic(
119910
2)85
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 11
Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia
a) radicminus13
b)radic64
8
3 c) minusradic1256
3 d) radic(
13
2197)217
e) radic(125
27)25100
f) radic(1
216)1199016
g) radic7293
2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes
a) 51
4 b) 21
2 c) 081
3 d) (120587
2)
3
6e) 25025 f) 0008
1
3 g)0012
4
55 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 11
1a) (minus1)1
3 b) 2 c) -5 d) (1
169)2
e) (125
27)
1
4 f) (
1
216)
119901
6g) 729
1
3=[(9)3]1
3=9
2119886) radic54
b) radic2 c) radic8
10
3 d)radic
120587
2 e) radic25
4= radic5 f)radic
8
1000
3= radic(
2
10)33
=1
5 g)
1
10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 56
Liccedilatildeo nordm12
PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO
RADICAL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos
abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Introduzir os factores no radical
- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os
factores em certos momentos
1121 Passagem de factor para dentro do radical
Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951
= 119938radic119939119951
o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938
pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra
Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a
multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951
= radic119938119951 times 119939119951
= radic119938119951119939119951
Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de
radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45
c) 7
12times radic(
144
14)23
= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7
12 no radical e elevamo-
lo por 3 e multiplica por (144
14)2
fica
7
12times radic(
144
14)23
= radic(7
12)3
times (144
14)23
= radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3 o 144 eacute o produto de
factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute
14 = 7 times 2
Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7
12times12times12times144times144
14times14
3= radic
7times7times7
12times12times12times12times12times12times12
7times2times7times2
3=
57 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
= radic7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3 Simplificamos fica = radic
7times7times7times12times12times12times12
12times12times12times7times2times7times2
3= radic
7times12
2times2
3= factorizamos
o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica
radic7times12
2times2
3= radic
7times4times3
4
3= radic7 times 3
3= radic21
3
1122 Passagem de factor para fora do radical
Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951
soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente
maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o
expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899
Obedece-se a seguinte regra
Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo
119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo
Assim
119898 119899
119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951
= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951
= 119938119954radic119938119955119939119951
Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic39 times 25
= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute
9 5
5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica
4 radic39 times 25
= 31 times radic34 times 25
= 3 times radic81 times 25
= 3 times radic1625
= 3radic1625
b) radic128
27
3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim
128
64
32
16
2
2
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 58
radic128
27
3= radic
27
33
3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica
por 3 Assim
7 3 3 3
6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3
1 0
Fica radic27
33
3=
22
31radic21
30
3=
4
3radic2
1
3=
4
3radic23
ACTIVIDADE Ndeg 12
Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical
a) 4radic3 b) 2radic23
c) 1
2radic30
60
3 d)
5
9radic
18
125
5 e) 7radic7
7 f)
1199092
3radic119910119909
119909
3
2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical
a) radic27 b) radic2243
c) radic(7
3)145
d) 119909119910radic1
(119909119910)103
e)radic1314
2620
7 f) radic1000
8
4
2
1
2
2
2
2
128 = 27
27
9
3
1
3
3
3
27 = 33
59 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 12
1 radic48 b) radic163
c) radic1
4
3 d) radic
50
6561
5 e) radic78
7 f) radic
1199101199094
27
3
2 119886) 3radic3 b) 22radic223
c) 49
9radic(
7
3)45
d) 1
(119909)2radic
1
119909119910
3 e)
13
262radic
1
266
7 f) 100radic10
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 60
Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar as propriedades dos radicais
- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131 Propriedades de radicais
Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que
satildeo
- Quadrado de uma raiz quadrada
- Potecircncia de um radical
- Radical em que o radicando eacute um radical
1132 Quadrado de uma raiz quadrada
O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute
(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782
+
Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)
2= (3
1
2)2
= 31times2
2 = 32
2 = 31 = 3
1133 Potecircncia de um radical
A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia
Isto eacute ( radic119886119898 )
119899= radic119886119899
119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex (radic5)9= radic59
1134 Radical em que o radicando eacute um radical
61 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e
mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899
= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770
+119898 119890 119899 isin 119873
Ex radicradic243
= radic23times4
= radic212
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1 Simplifique os seguintes radicais
a) radic724
b) radic2515
c) radic750100
d) radicradic4 e) radicradicradic234
f) (radic23)3 g) (radicradic4
3)6
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
a) radic7 b) radic23
c) radic7 d) radic4 4
e) radic224
f) 2 g) 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 62
Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS
Comparaccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade
de radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Comparar os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
Comparaccedilatildeo de radicais
1121Comparaccedilatildeo de radicais
Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo
1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando
Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2
b) radic5020
lt radic10020
Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50
c) radic1
50
20gt radic
1
100
20 Porque os iacutendices satildeo iguais e
1
50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890
1
100
2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice
a) radic93
gt radic94
Porque 3 eacute menor que 4
b) radic10
2017
10lt radic
10
2017 Porque 2 eacute menor que 10
3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo
comum (mmc) dos iacutendices
Ex a) radic73
____radic54
para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste
caso eacute 12 isto eacute (4) (3)
radic73
___radic54
Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-
mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim
63 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
radic743times4
___ radic534times3
Entatildeo teremos radic240112
___ radic12512
agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos
comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112
eacute maior que radic12512
Entao
radic73
__gt__radic54
portanto radic73
eacute maior que radic54
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12
Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =
a)radic1
2__radic
2
4 b)radic414
7 __radic33
7 c)radic2
3__radic12
3 d) radic3
4__ radic
1
3
3 e) radic26
16__radic22
3 f)radic
1
4
3__radic
1
2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 64
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12
1 a)radic1
2_=_radic
2
4 b)radic414
7 _gt_radic33
7 c)radic2
3_ gt _radic12
3 d) radic3
4_gt_ radic
1
3
3 e) radic26
16_ lt _radic22
3 f)radic
1
4
3_ lt
_radic1
2
5
65 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm13
OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO
DE RADICAIS
Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os radicais
- Subtrair os radicais
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1131Radicais semelhantes
Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes
Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando
Ex 3radic5radic5minus1
3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5
Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em
evidecircncia os radicais semelhantes
Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais
Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1
3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus
1
3 119890 minus 17
Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo
Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia
isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os
coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2
b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes
Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 66
Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais
Assim
Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =
extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim
3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os
coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos
colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos
e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2
ACTIVIDADE Ndeg 13
Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Calcule as seguintes expressotildees
a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =
b) minus13radic233
+1
2radic233
=
c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =
d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125
e) radic65
+ 3radic65
minus 2radic65
=
f) 3
2radic18
5+
7
3radic
2
125minus
1
15radic98
5=
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 23 times 32
8
4
2
1
2
2
2
8 = 23
18
9
3
1
2
3
3
18 = 2 times 32
67 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 13
1 a)3radic5 b) minus25
2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)
37
15radic2
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 68
Liccedilatildeo nordm14
MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES
NUMEacuteRICAS
Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os radicais
- Dividir os radicais
- Simplificar expressotildees numeacutericas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas
Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo
1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais
Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute
radic119886119899 times radic119887
119899= radic119886 times 119887
119899 Onde 119886 119887 isin 1198770
+ e 119899 isin 119873
Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no
mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6
b)radic13
5
3 times radic
15
26
3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical
Assim radic13
5
3 times radic
15
23
3= radic
13
5times15
26
3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos
radic13
5times15
26
3= radic
13times5times3
5times13times2
3= radic
3
2
3
69 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
c) radic275
divide radic35
= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical
Assim radic275
divide radic35
= radic27 divide 35
= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35
= radic27
3
5= Decompomos o
27 fica radic27
3
5= radic
3times3times3
3
5= Simplificamos radic
3times3times3
3
5= radic3 times 3
5= radic9
5
2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes
Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos
radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice
(4) (3)
Ex a) radic23
times radic54
= radic24(4times3)
times radic53(3times4)
= radic1612
times radic12512
= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo
podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612
times radic12512
= radic16 times 12512
=
radic200012
b)radic27
radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim
radic27(2)
radic2(7) =
radic222times7
radic277times2 =
radic2214
radic2714 = Dividimos os
radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22
27
14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias
com a mesma base temos radic22
27
14= radic2(2minus7)
14= radic2minus5
14= Invertemos a base e teremos =
radic(1
2)514
= radic1
32
14
b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que
aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3
Exradic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo
a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic
1
3minusradic7divideradic
1
49
radic1253
divide radic83 =
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3= simplificamos
os factores 3 e 1
3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor
1
49
decompomos o radicando 49 125
8 assim
radic7+radic3times1
3minusradic7divide
1
49
radic125
8
3=
radic7+1minusradic7times49
1
radic(5
2)33
=radic7+1minusradic7times72
5
2
=
radic7+1minusradic73
5
2
= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73
5
2
=radic7+1minus7radic7
5
2
subtraiacutemos os
radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7
5
2
=(1minus7)radic7+1
5
2
=minus6radic7+1
5
2
= aplicamos a
propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor
assim minus6radic7+1
5
2
=2times(minus6radic7+1)
5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a
adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)
5=
2times(minus6radic7)+2times1
5=
minus12radic7+2
5= Aplicando a propriedade comutativa para
organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2
5=
2minus12radic7
5
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 70
ACTIVIDADE Ndeg 14
Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees
a)7radic5 times radic5 =
b) minus13radic7
2
3times
1
26radic1
7
3=
c) 3radic2 times 7radic2 times radic1
4=
d) radic16 divide radic8 =
e) radic65
divide radic125
=
f) 3
2radic5 + radic8
3divide radic64
3minus
3
2radic5 =
g) 3radic8times13radic5
7radic16times10radic10=
h) (3+7)radic2times5(radic3)
2
7times7radic32
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 14
1 a)35 b) minus1
2radic1
2 c) 21 d) radic2 e) radic
1
2
5 f)
1
2 g)
39
140 h)
75
98
71 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade
1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V
a) 1
2 eacute um numero natural( )
b) 355 eacute um numero irracional ( )
c) 120587 eacute um numero real ( )
d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )
e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )
f) radic13 eacute um numero irracional ( )
g) radic13 eacute um numero real ( )
2 Calcule as seguintes expressotildees
a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =
b) minus2017 + 2000 minus (+17) =
c) minus(2
3) + (minus
1
2) minus 1
d) 7
3+ 8 minus
1
3+
9
2=
e) 1minus3
2+
3
6minus
5
3minus (minus
5
9+ 7) =
f) (+077) + (minus9
2) minus (minus7) minus (+
77
100) +
(minus203) =
g) 4 minus1
2minus [2 + (minus
7
3+
1
4)] + 7 =
3 Simplifique e calcule
a) minus6 times (minus9) divide (18) =
b) (minus5) + (minus1
2) times (minus
8
3) minus 9 =
c) minus3(minus2 + 8) minus7
10times20
3divide (minus
2
10) =
d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =
e) 24
6times1
2+ 23 minus
2
3divide
8
9=
f) (2 divide 3 +2
3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =
1
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 72
4 Calcule os seguintes quadrados
a) 162 b) (minus13)2 c) (1
10)2
d) 0032 e) (1
5)2
f) 0222
5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede
a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898
6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua
a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555
7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto
a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459
8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada
a)minus14
5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7
9 Determine o valor das seguintes raiacutezes
a) radic643
b) radicminus83
c) radic27
125
3 d) radicminus729
3 e) radic2197
3 f) radic0008
3 g) radic0125
3
10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria
a)radic1
2 b) radic2
3 c) radic255
10 d) radic(
1
15)217
e) radic11990923
f) radic(minus2017
17)66
g)radic(58)4
11 Determine o valor das seguintes potecircncias
a)1441
2 b) 251
2 c)(minus125
8)
2
6d) 27
1
3 e) radic4
3
4
f) 1961
4 g)radic2
3
36
12 Passe os factores para dentro dos radicais
a) 7radic2 b) 1
3radic9
2 c) 12radic2119909 d)9radic
2
81
3 e)3radic31199102
3 f) 1198862119887radic
119887
119886
3 g) minus2radic
1
7
13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical
a) radic33 b)radic453
c) radic(5
3)147
d) radic543
e)radic3 times 1253
f) radic200 g)radic64
27
3
73 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
14 Simplifique os seguintes radicais
a) radic14515
b) radic(7
14)28
c) radic(1
2017)1001000
d)radicradic(3
8)4
e) radicradicradic3184
3
f) (radicradic(27
8)
35
)
25
15 Compare os seguintes radicais
a) radic7----radic18
2 b) radic
1
8
3 ---radic0002
3 c)radic10----radic10
5 d)radic
8
9
7----radic
8
9
3 e) radic8----radic5
3 f) radic
5
3
3 ----radic
1
2
5
16 Simplifique as seguintes expressotildees
a) 3radic2 + 7radic2 +1
2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus
1
3radic1
5
3+
7
3radic1
5
3minus 7radic
1
5
3
d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216
17 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) 5radic7times6radic6
6radic16times10radic7 b)
(17+2)radic3times5(radic5)2
6times19radic150 c)
radic5minusradic20
radic5+ radic5 minus radic(
5
3)63
d) radic1199095
times radic11991125
divide radic11990921199115
radic1199091199115 119909 ne 0
e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1
2radic7 f)
(1
3radic33
)3minus radic1253
1
2( radic63 )
6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 74
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783
1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V
2a) 8 b)-34c)minus13
6 d)
87
6 e)minus
155
18 f)
47
100 g)
127
12
3 a) 3 b) minus38
3 c) minus
16
3 d)minus110 e)
97
4f)
4
9
4 a) 256 b) 169 c) 1
100 d)
9
10000 e)
1
25f)
484
10000
5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982
6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498
7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724
e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898
8 radic3 minus 4
A
minus14
5 minusradic2 0 035 radic7
radic1 radic3 radic9
9 a) 4 b) -2 c) 3
5 d) -9 e) 13 f)
1
5 g)
1
2
10a) (1
2)
1
2 b) 2
1
3 c) 251
2 d) (1
15)3
e) 1199092
3 f) 2017
17 g) 582
11 a) 12 b) 5 c) minus5
2 d) 3 e)
16
9 f) radic14 g)
4
9
75 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
12a) radic98 b) radic1
2 c) radic288119909 d)radic18
3 e) radic811199102
3 f) radic11988631198877 g) minusradic
4
7
13a) 3radic3 b) 4radic43
c) 25
9 d) 3radic2
3 e) 5radic3
3 f) 10radic2 g)
4
3
14a) radic143
b) radic1
2
4 c) radic
1
2017
10 d)
3
8 e) radic3 f) radic(
27
8)53
15 a) radic7 lt radic18
2 b) radic
1
8
3 gt radic0002
3 c)radic10 gt radic10
5 d)radic
8
9
7lt radic
8
9
3 e) radic8 gt radic5
3 f) radic
5
3
3 gt radic
1
2
5
16a) 21
2radic2 b) radic20 c) minus5radic
1
5
3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6
17 a) radic6
8 b)
5
6radic1
2c)minus
34
9+ radic5 d) radic
1
1199092
5 e) minus
65
2radic14 f)minus
7
27
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 76
Unidade2
INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que
ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir os intervalos nume ricos
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e
intersecccedilatildeo
- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees
Vocecirc
- Define os intervalos nume ricos
- Identifica os intervalos limitados e ilimitados
Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo
- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees
- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos
numeacutericos
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de
- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
2
77 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm1
INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar os intervalos limitados e ilimitados
- Representar os intervalos no eixo real
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados
Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um
conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente
usar intervalos numeacutericos
Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587
-15-0250+12+10
8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos
contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos
Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo
]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou
]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 78
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 +2
Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2
Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -
3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2
No eixo real representa-se de seguinte forma
-3 0 -2
Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados
212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo
]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x
e x eacute menor que b
12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo
[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou
igual a x e x eacute menor ou igual a b
213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo
pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto
79 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +2
Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto
215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute
infinito
Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
216 Semi-intervalo fechado agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito
Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2 +infin
217Semi-intervalo aberto agrave esquerda
Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo
natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito
Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo
-3 0 +infin
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 80
218 Semi-intervalo aberto agrave direita
Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute
infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto
Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo
minusinfin 0 +2
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Represente no eixo real os seguintes intervalos
a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1
2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin
10
7]
e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5
3 +infin[
2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos
a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7
3le 119909 lt +11
d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13
3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras
a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17
3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)
1
8----[minus1 1]
81 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
a) b)
-5 0 +1 minus1
2 0
c) d)
minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10
7
e) f)
-4 0 +infin 0 5
3 infin
2
a) [minus4+infin[
-4 0
b) [minusradic3+infin[
minusradic3 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 82
c)
[minus7
3 +11[
minus7
3 0 +11
d)
[6+infin[
0 6 +infin
e) [minus14 0[
-14 0
f) ]1213[
0 12 13
3
a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17
3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)
1
8isin [minus1 1]
83 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e
intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo
- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo
- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do
siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB
A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real
Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
Graficamente representa-se de seguinte modo B
A
-5 0 4 5
AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[
222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem
ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute
representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 84
Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura
0 4
Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de
intervalos
Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11
2[ B=[03[ e C=[minus
1
2 4]
Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos
-2 -1 0 1
2 1 2 3
Entatildeo AcapB=[01
2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos
calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01
2[ e reuniatildeo com C=[minus
1
2 4] no eixo real
teremos
-3 -2 -1 minus1
2 0
1
2 1 2 3 4
Portanto AcapBcupC=[01
2[ cup [minus
1
2 4] = [minus
1
2 4]
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere os conjuntos abaixo
119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10
7] e C=]minus
15
2 +
1
2[ Determine
a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860
85 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
a)]minus15
2 1] b) [minus5
10
7] c) ]minus
15
21
2[ d)]minus
15
210
7]
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 86
Liccedilatildeo nordm3
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE
INEQUACcedilOtildeES LINEARES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar
inequaccedilotildees lineares
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Identificar uma inequaccedilatildeo linear
-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares
-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares
Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)
Exemplos de inequaccedilotildees lineares
a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1
2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)
2119911+2+119911
9ge 1
Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro
Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782
Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim
Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel
119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909
3119909 + 1 le1
2119909
3119909 + 1 1
2119909 3119909 1
1
2119909
119909
3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910
87 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
2119911 + 2 + 119911
9ge 1
2119911 + 2 + 119911
9
1 1
9 2119911 2 119911 1
119911
232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares
Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte
1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que
estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1
21199093y22y2zz
2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles
que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61
92
3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes
4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no
primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa
5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real
Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6
1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes
no primeiro membro e os independentes no segundo membro
2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do
primeiro membro e de segundo membro
minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y
para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de
uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera
Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)
Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de
desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo
(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y
assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783
120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim
0 1
19 +infin
Soluccedilatildeo 119910 isin ]1
19 +infin[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 88
b)3(3minus119909)
3+
3119909minus1
4lt 1 minus
119909minus1
2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim
3(3 minus 119909)
3(4)
+3119909 minus 1
4(3)
lt1
1(12)
minus119909 minus 1
2(6)
Teremos 4times3(3minus119909)
12+
3times(3119909minus1)
12lt
12
12minus
6times(119909minus1)
12 aplicamos a propriedade distributiva Fica
harr 12(3minus119909)
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12harr
36minus12119909
12+
9119909minus3
12lt
12
12minus
6119909minus6
12 podemos eliminar o denominador
aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses
Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6
agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo
membro e os dependentes no primeiro membro Fica
36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos
adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este
caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo
Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15
3harr 119909 lt minus5 podemos
representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real
minusinfin -5 0
Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[
89 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo
a) 2119909 +6
2lt 119909 minus 4
b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909
c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2
d)1
2(2119909 minus 1) + 1 ge
3
2(119909 minus
1
2)
e) 8 minus119909
3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3
2 c)119909 lt 0 d) 119909 le
5
2 e)119909 lt minus6
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 90
LICcedilAtildeO Nordm4
NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES
LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo
obter-se a soluccedilatildeo comum
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel
-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees
Representa-se da seguinte maneira
119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime
onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877
Ex a) 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 b)
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel
1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3
2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real
3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees
Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3
Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1
3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute
91 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119909 minus 3 lt 0
1
3119909 + 7 ge minus3 harr
119909 lt 0 + 31
3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os
termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos
independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3
1
3119909 ge minus7 minus 3 harr
119909 lt 31
3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida
resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1
3 para o segundo membro e passa a dividir
porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3
1
3119909 ge minus10 harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
aplicamos
as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1
3 o
inverso eacute 3
1 entatildeo teremos harr
119909 lt 3
119909 geminus101
3
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times3
1
harr 119909 lt 3
119909 ge minus10 times 3harr
119909 lt 3119909 ge minus30
Assim
jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real
Teremos
-30 0 3 +infin
Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[
Ex2
119909minus2
4minus
2119909minus1
2gt
119909
53minus5119909
2ge 5 minus
2119909+3
9
para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos
denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr
119909minus24(5)
minus2119909minus12
(10)
gt1199095(4)
3minus511990929
ge5118
minus2119909+392
harr
5(119909minus2)
20minus
10(2119909minus1)
20gt
4119909
209(3minus5119909)
18ge
18times5
18minus
2(2119909+3)
18
Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e
teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909
9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos
harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6
agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro
membro e os independentes no segundo membro assim
harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27
adicionamos os termos semelhantes e teremos
harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57
multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -
19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 92
harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)
harr 19119909 lt 041119909 le minus57
passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no
segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57
harr119909 lt
0
19
119909 leminus57
41
harr119909 lt 0
119909 leminus57
41
vamos representar as soluccedilotildees
no eixo real Assim
minusinfin minus57
41 0 +infin
Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789
120786120783]
Ex3
(119909+3)
2le minus9
119909 minus 3 gt1
3(119909 minus 2)
calculamos o mmc em ambos os membrosharr
(119909+3)2(1)
le minus91(2)
119909minus31(3)
gt13(1)
(119909 minus 2)harr
1(119909 + 3) le minus18
3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr
119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2
agrupamos
os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim
harr 119909 le minus18 minus 3
3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr
119909 le minus212119909 gt 7
harr 119909 le minus21
119909 gt7
2
representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim
-21 0 120789
120784
Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica
119930119952119949 119961 120656 empty
93 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel
vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares
a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2
b) 119909
2+ 3119909 ge 3
minus2119909 gt 2 minus 3119909
c)119909 minus
119909minus2
2le 2
2119909 le7119909
2minus
1
2
d)
2(119909minus2)
2minus
3(119909+2)
3lt
119909+1
6
2 minus3(119909+2)
2lt 119909 +
119909minus1
4
e) 1 minus
2
3(119909 + 3) ge
7(1minus2119909)
41
2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2
3 2[ c)[
2
3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [
33
347
5[
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 94
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-2 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 2 pode prestar a seguinte actividade
1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos
a) 119909 gt 0 b) 119909 le1
2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus
radic2
2le 119909 le +
radic2
2 e) minus025 gt 119909 ge minus
1
3
2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37
2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine
a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860
3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees
a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1
2lt
4119909minus1
4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (
1
3119909 + 9)
e) 119910minus1
2minus
(2119910+3)
3gt
119910
6 f) minus4119909 + 6 ge
3
4119909 +
2minus119909
3
4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes
a)119909 minus 4 gt 5 minus
2
3119909
3
2(119909 minus 3) le 119909 + 1
b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0
9
2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6
c)
119909minus7
5lt 119909 minus
1
21minus(2119909minus2)
3minus 119909 gt minus1
d) 4 minus 7119909 +
3minus119909
5gt 2
7minus(6119909minus2)
3minus (2119909 minus 1) lt minus119909
95 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120784
1a)
]0+infin[
0 +infin
]minusinfin1
2]
b)
0 1
2
c) ]minus4 8]
-4 0 8
d)
[minusradic2
2radic2
2]
minusradic2
2 0
radic2
2
d) [minus1
3 minus025[
minus1
3 minus025 0
2a) [minus3 5[ b)[07
2[c)[minus3 5[ d)[minus2
7
2]
3 a) ]minusinfin8
3[ b) ]minusinfinminus
5
2[ c) ]
3
4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus
9
2]f) ]minusinfin
64
53[
4 a) 119909120598 ]27
5 11] b) [1+infin[ c) ]minus
9
86
5[d)119909120598empty
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 96
UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚3
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar
monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar monoacutemios e polinoacutemios
- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Operar os monoacutemios e polinoacutemios
RESULTADOS DE APRENDIZAGEM
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios
Vocecirc
- Identifica monoacutemios e polinoacutemios
- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios
- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios
- Opera os monoacutemios e polinoacutemios
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 45horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua
3
97 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm1
NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir monoacutemios
- Identificar os componentes de monoacutemios
- Determinar o grau de um monoacutemio
- Identificar os monoacutemios semelhantes
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
311Noccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a
introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis
Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785
120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos
minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do
sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785
120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus
radic120785
120784119935119936120784119937120783120782
Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785
120784 com as respectivas
letras 119935119936120784119937120783120782
Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1
51199052 minus
11989611989711990320
2 minus24 +1001198861199092
etc
312 Componentes de monoacutemios
Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal
Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus
radic120785
120784
b) 3119909- Coeficiente eacute 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 98
c) 1
51199052- Coeficiente eacute
1
5
d) minus11989611989711990320
2 - Coeficiente eacute minus
1
2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que
multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320
2= minus
1times(11989611989711990320)
2 logo coeficiente eacute
minus1
2
e) minus24- Coeficiente eacute -24
f) +100 - Coeficiente eacute +100
g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1
Parte literal eacute a parte composta pelas letras
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782
b) 3119909- Parte literal eacute 119961
c) 1
51199052- Parte literal eacute 119957120784
d) minus119896119897r20
2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782
e) minus24- Natildeo tem a parte literal
f) +100 - Natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784
Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal
Ex a) minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1
de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13
Logo o grau de monoacutemio minusradic120785
120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13
b) 3119909- O grau eacute 1
c) 1
51199052- O grau eacute 2
d) minus11989611989711990320
2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22
e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal
g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3
313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal
Ex radic5020
3119909119910 1199111199051198962 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 20171198962119905119911 1980
Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo
99 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) 3119909119910 minusradic3
3119910119909
119909119910
20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar
da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3
3119910119909
119909119910
20
b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras
c) radic5020
1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os
coeficientes e partes literais
a) 119909119892119896 b) minus10
7119911 + 119889 c)
2017
25 d)
ℎ1199111199055
4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2
3 h) 45119905 + 0
2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo
a) 541199093 b) 1199091199051198968
8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus
1
71198861199031199058
3 Complete a tabela abaixo
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911
minus1
31199091199052119896
-1980
81199091199054119910
5
11989641199101199111199052
(1
13)3
11990931199117
4 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus1199091199112 119909119911119911 2
31199092119911
1
41199112119909 minus181199111199092
b) radic3
21198871198863 minus119886119887
1198871198863
2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886
radic3
21198861198873
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 100
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1
Monoacutemios Coeficiente Parte literal
a) 119909119892119896 1 119909119892119896
119888)2017
25
2017
25
Natildeo existe
d) ℎ1199111199055
4
1
4
ℎ1199111199055
f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911
g) radic23
1 Natildeo existe
h) 45119905 + 0 45 119905
2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968
8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus
1
71198861199031199058
3
4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1
41199112119909)
b) (radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus119886119887+119887119886) (
radic3
21198871198863
1198871198863
2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
31199097119910119911 3 1199097119910119911 9
minus1
31199091199052119896 minus
1
3
1199091199052119896 4
minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0
81199091199054119910
5
8
5
1199091199054119910 6
11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8
(1
13)3
11990931199117 (1
13)3
11990931199117 10
101 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm2
ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a
definiccedilatildeo de polinoacutemios
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os monoacutemios
- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios
Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto
de nuacutemeros reais
Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes
Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes
deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal
Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo
semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim
120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte
literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos
= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962
b) minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo
(minus120785
120784119938119939119961 119942
120789
120786119938119939119961) (
120783
120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e
manter a parte literal Assim
minus120785
120784119938119939119961 +
120783
120785119961119962120785 +
120789
120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus
120785
120784+
120789
120786) 119938119939119961 + (
120783
120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos
determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim
= (minus120785120784(120784)
+120789120786(120783)
)119938119939119961 + (120783120785(120783)
minus120787120783(120785)
)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789
120786) 119938119939119961 + (
120783times120783minus120787times120785
120785) 119961y120785 =
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 102
= (minus120788+120789
120786) 119938119939119961 + (
120783minus120783120787
120785) 119961119962120785 = (
minus120783
120786) 119938119939119961 + (
minus120783120786
120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica
= minus120783
120786119938119939119961 minus
120783120786
120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos
por aqui
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo
a) 2119909 minus 5119909 + 4119909
b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909
c) minus1
2119909119910 + 119911119905 minus
9
4119909119910 minus
7
10z119905
d) 1199091199116
2minus
21199116119909
3+ 2
e) 1198861199051199034
5+ 25 minus
111198861199051199034
10minus 50
f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910
g) 8
3119908 minus 8119908 + 4119906 minus
1
3119906
103 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a)119909
b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909
c)minus11
4119909119910 +
3
10119911119905
d)minus1199116119909
6+ 2
e)minus9
101198861199051199034 minus 25
f) minus35119909 minus 9119910
g)11
3119906 minus
16
3119908
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 104
LICcedilAtildeO Nordm3
MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as
propriedades
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar os monoacutemios
- Dividir os monoacutemios
- simplificar expressotildees com monoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios
Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de
monoacutemios
332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios
A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio
Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais
aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo
Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788
120787119961120784119963120785 e minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784 Teremos
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes
120788
120787 minus
120783120782
120783120784 e as partes
literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim
( 120788
120787119961120784119963120785) times (minus
120783120782
120783120784119961120784119963120784) = [
120788
120787times (minus
120783120782
120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12
para simplificar os coeficientes Assim
minus6times5times2
5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as
bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115
105 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
333 Divisatildeo de monoacutemios
Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si
tambeacutem
Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789
120787119961120788119962120785119963 e minus
120784120783
120784120782119961120786119962 Fica
(minus120789
120787119961120788119962120785119963) divide (minus
120784120783
120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
(minus120784120783
120784120782119961120786119962)
=
Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789
120787
minus120784120783
120784120782
) times (119961120788119962120785119963
119961120786119962) = neste caso
vamos manter o dividendo minus120789
120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus
120784120782
120784120783 Assim
= (minus120789
120787 ) times (minus
120784120782
120784120783) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o
maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5
5times7times3) times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte
literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim
= +120786
120785times (
119961120788119962120785119963
119961120786119962) = +
120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim
= +120786
120785times119961120786119961120784119962120784119962119963
119961120786119962= +
120786
120785times 119961120784119962120784119963 =
120786
120785119961120784119962120784119963
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 106
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar
os exerciacutecios propostos abaixa
1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes
a) (minus2119909) times (minus31199093)
b) (8
31199094119910) times (minus311990931199102)
c) (minus3119886119909119887) times (minus1
911990931198871199102)
d) 1711991051199096 times (2
34119886511991021199097)
2 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees
a) (minus21199093) divide (minus3119909)
b) (8
311990941199102) divide (minus31199093119910)
c) (minus4
311988611990931198871199102) divide (minus
1
91198871199091199102)
d) 1
171199105119909611988610 divide (
1
34119886511991021199093)
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1
3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865
2 a)2
31199092 b)minus
8
9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093
107 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
aplicando as propriedades de potencias
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Operar as potecircncias de monoacutemios
- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo
341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios
Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de
monoacutemios
A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a
potecircncia de coeficiente e da parte literal
Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
significa que devemos elevar
todos os factores pelo expoente 2 Assim
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= (minus120789
120787)120784
times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma
potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7
5)2
Multiplicamos por si duas vezes
assim (minus120789
120787)120784
= (minus120789
120787) times (minus
120789
120787) = +
120786120791
120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim
(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute
(minus120789
120787119961120788119962120785119963)
120784
= +120786120791
120784120787119961120783120784119962120788119963120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 108
ACTIVIDADE Ndeg 4
Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1Efectue as seguintes potecircncia
a) (minus31199093)2
b) (8
31199094119910)
3
c) (minus1
911990931198871199102)
7
d) (2
34119886511991021199097)
2
e) (minus4
311988611990931198871199102)
3
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 4
1 a)91199096 b)512
27119909121199103 c)minus(
1
9)7
11990921119887711991014 d)(1
17)2
11988610119910411990914
e) minus64
271198863119909911988731199106
109 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo
abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Definir um polinomial
- Determinar o grau de um polinoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
351 Noccedilatildeo de polinoacutemio
Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes
Ex Consideremos os monoacutemios 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785
Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte
120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os
termos satildeo 120783
120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785
Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910
d)1199092 minus 5119909 + 6
352 Grau de um polinoacutemio
O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios
Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios
O monoacutemio 120783
120784119961120784 tem grau 2
O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 110
O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo
o grau de polinoacutemio 120783
120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3
Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo
a)minus5
31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus
120787
120785119962120784119961
b)minus21199093 +radic2
21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785
c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093
d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios
a) 3
21199094 minus 31199094 + 1199094
b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199105 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199092 +
1
21199092 minus 21119909
f)minus251199053 minus 1199053
2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios
a) 3
21199095 minus 31199094 + 1199097
b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115
c) 20171199095 minus 31199102 + 17
d) (minus7
3119909119910119911)
3
+ 1199094 + (15)20
e) 8
31199093 +
1
21199092119910119911 minus 21119909
f)318 minus 251199052 minus 1199103
111 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)
2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 112
Liccedilatildeo nordm6
ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as
propriedades da soma algeacutebrica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Adicionar os polinoacutemios
- Subtrair os polinoacutemios
- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios
Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso
existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal
Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784
Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim
119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou
termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784
120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos
adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim
119860 + 119861 = (120785 +120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +
120784
120787)
teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)
+120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1
com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784
continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(
120783120787+120784
120787) =
17
5
Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17
5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos
113 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119860 + 119861 = (120783120787+120784
120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de
120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =
120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos
119860 + 119861 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961+ 120784
Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784
Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre
parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute
minus(120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o
polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos
119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784
120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus
120784
120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus
120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784
120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os
coeficientes dos termos semelhantes Assim
119860 minus 119861 = (120785 minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5
dos coeficientes (120785 minus120784
120787) teremos 119860 minus 119861 = (
120785120783(120787)
minus120784
120787(120783)
)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos
multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica
119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784
120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(
120783120787minus120784
120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus
120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784
120787) =
120783120785
120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784
substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784
Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789
120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=
120783120785
120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +
119861 eacute diferente de 119860 minus 119861
Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim
119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783
Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos
119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=
119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim
119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos
119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 114
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1
21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909
Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861
115 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
a) 119860 + 119861 =3
21199092 minus 2119909 minus 3
b) 119860 minus 119861 =5
21199092 + 4119909 minus 1
c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1
21199092 minus 1
d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3
21199092 + 119909 minus 3
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 116
Liccedilatildeo nordm7
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM
MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio
- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio
- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do
monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio
Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos
(minus120785119961120784) times (120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos
120784
120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio
Assim
minus120785119961120784 times120784
120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar
os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784
120785) 119961120785119961120784 +
[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim
=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois
jaacute natildeo temos termos semelhantes
117 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio
Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de
polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)
Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)
Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para
todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de
polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos
(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =
multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos
= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos
semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute
= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782
ACTIVIDADE Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por
um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa
1 Efectue as seguintes operaccedilotildees
a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)
b) (minus5
3119909) times (minus1199093 +
9
10)
c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)
2 Efectue os seguintes produtos
a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)
d) (1
21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 118
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a)61199092 minus 31199092
b)5
31199094 minus
3
2119909
c)1199091199102 + 1199104
d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910
2 a)21199093 minus 2119909
b)51199092 minus 9119909 + 4
c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4
d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909
119 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liatildeo nordm 8
MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a
multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Multiplicar polinoacutemios
- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades
Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na
multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A
aos termos de polinoacutemio B
Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785
120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus
120785
120784119961120784)
em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim
119912 times 119913 = (minus120785
120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus
120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos
119912 times 119913 = (minus120785
120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus
120785
120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus
120785
120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +
+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=
multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961(120784+120784) +
120783120784
120784119961(120784+120783) +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +
120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 +
120783120784
120784119961120785 +
120788
120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos
os coeficientes120783120784
120784 e 120788
120784 assim
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 120
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos
adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou
subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final
119912 times 119913 = minus120783120787
120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784
ACTIVIDADE Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixa
1 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5
21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine
a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860
121 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8
1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909
b)minus51199094 minus25
21199093 minus 31199092 + 119909
c)minus5
21199094 minus
25
21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2
d)61199092 + 13119909 minus 4
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 122
Liccedilatildeo nordm9
DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES
RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E
(119938 + 119939)(119938 minus 119939)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o
desenvolvimento dos casos notaacuteveis
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Decompor um polinoacutemio em factores
- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores
Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio
Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o
factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo
(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos
monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de
parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute
factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)
Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos
colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio
Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim
(120791
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (
120785times120785
120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto
factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora
de parecircnteses Assim temos
120785119961120786119962120785 (120785
120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio
123 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis
Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes
(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784
1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos
multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o
119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)
= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na
expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes
Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute
(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel
(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3
substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os
coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute
desenvolvido
2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo
podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a
propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o
119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos
(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)
= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939
substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos
semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784
Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute
(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784
Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel
Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na
formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do
termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 124
(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25
substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel
estaacute desenvolvido
3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu
desenvolvimento seraacute
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como
resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo
119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim
(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta
= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os
factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa
substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo
simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784
Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula
Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus
(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte
Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os
valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2
obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=
radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a
foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)
125 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
ACTIVIDADE Ndeg 9
Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e
desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios
a) 51199092 minus 25119909
b) minus3 + 61199092
c) 1199102 minus 30119910
d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911
e) 501199092
16minus
11990921199112
16
f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896
2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis
a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 126
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 9
1a) 5119909(119909 minus 5)
b) 3(minus1 + 21199092)
c)119910(119910 minus 30)
d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)
e)1199092
16(50 minus 1199112)
f)71199103119896(119910 + 5)
2 a) 1199092 + 8119909 + 16
b)1199092 minus 14119909 + 49
c)4 + 12119910 + 91199102
d) (119909 + 6)(119909 minus 6)
e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)
f) (119909 + 3)(119909 minus 3)
127 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm10
DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM
POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO
Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio
- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio
Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o
dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)
Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787
120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus
120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio
120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784
120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim
=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)
120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +
120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 128
ACTIVIDADE Ndeg 10
Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um
monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados
a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092
b) (1711991031199095+3411991021199093)
1711991021199093
c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)
d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911
2611990921199105
e) (501199092
16minus
11990921199112
16) divide (
1199092
16)
f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909
141199103119896
129 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 10
1 a)61199094 minus 8119909 + 2
b)1199092119910 + 2
c)119910 minus 30
d)1minus2119896minus119911
2
e)50 minus 1199112
f)3minus119909
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 130
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-3 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Complete a tabela seguinte
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
minus(17)17 11990941199102
216119896141199102
3
2017
2 Identifique os monoacutemios semelhantes
a) minus11989621199103 11990931198962119910318
511991031198962 20119910311989621199093 119896119910
b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905
3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades
a) 5119909 minus 3119909 minus10
2119909 = minus3119909
b) 1
31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103
c) 1198967
5minus
6
511989621198967 + 1198967 = 0
d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911
4 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a) 119860 + 119861
b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861
d) ndash119860 + 3119862 minus 119861
5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados
a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12
41199102)
b) (3
41199093119910) (minus2119909119910 +
1
2119909119905 + 119909)
c) (31199113119896 minus 119911119896 +2
31199111198962) (31199112)
d) (1
41199092 + 119909 minus 3) (41199093)
6 Efectue as seguintes operaccedilotildees
131 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)
c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1
2)
d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)
7 Considere os polinoacutemios seguintes
119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule
a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861
8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis
a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81
9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios
a) 1
5119905 +
4
5
b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112
c) 31199093 minus 91199094119910
d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2
10 Efectue a seguinte divisatildeo
a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)
b)3
21199109+61199106minus1199103
3
41199103
c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)
d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 132
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120785
1
Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau
radic5
2119905311990921199106
radic5
2
119905311990921199106 11
minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6
216119896141199102
3
216
3
119896141199102 16
2017 2017 Natildeo existe 0
2a)(minus1198962119910318
511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)
3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865
4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2
5a) 9
411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)
3
211990941199102 +
3
81199094119910119905 +
3
41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962
d) 1199095 + 41199094 minus 121199093
6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7
21199093 +
1
21199092 minus 12119909 minus 2
d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909
7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14
b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8
c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28
8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)
e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)
9 a) 1
5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)
10 a) 21199053 + 1199052 b) 2
3(31199106 + 121199103 minus 2) c)
1
17(1 + 1199092 + 8119909)
133 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚4
Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a
continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
anulamento de produto
- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando
a foacutermula resolvente
- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
Resultados de aprendizagem
Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas
Vocecirc
-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos
- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto
- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente
- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica
DURACcedilAtildeO DA UNIDADE
Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 24horas
Materiais complementares
Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e
reacutegua
2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 134
Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das
equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de
nuacutemeros reais
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica
- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas
- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em
estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782
Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)
Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais
O 119961 eacute a variaacutevel em estudo
A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de
polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)
4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas
Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas
4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo
diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)
a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo
119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784
Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784
135 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119939 = 120785 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119939119961 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120785119961
Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785
119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787
b) minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +
119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de
igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex
minusradic2
21199092
Este termo estaacute no
1˚ membro
= 7119909 + 100
Estes termos estatildeo no 2˚ membro
Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os
seus sinais vatildeo mudar Assim
minusradic120784
120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus
radic120784
120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores
de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784
120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782
4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre
119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0
Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute
igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute
equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo
radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo
119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789
b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos
coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 136
ACTIVIDADE Ndeg 1
Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0
2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940
a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0
e)minus1
21199092 = minus2 +
3
4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0
137 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1
1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886
2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1
d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1
2 119887 = minus
3
4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2
g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 138
Liccedilatildeo nordm2
LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
Lei de anulamento de produto
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para
resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Enunciar a lei de anulamento de produto
- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
421 Lei de anulamento de produto
Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo
entatildeo pelo menos um deles eacute nulo
Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o
factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute
(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou
Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782
Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser
igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim
(119961 + 120785) = 120782
Portanto ao resolver fica assim
(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo
(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o
termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =
120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784
Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo
independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim
119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos
representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo
139 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2
Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782
Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o
factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos
harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de
anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o
principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos
(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783
para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783
120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo
resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 2
Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os
exerciacutecios propostos abaixo
1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades
a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 140
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 2
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2
3 0
141 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm3
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS
INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei
de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =
120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees
quadraacuteticas incompletas
432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto
eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782
Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
d) minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782
Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou
factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo
119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 142
Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784
120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
minusradic120784
120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus
radic120784
120784 para o segundo membro e passa a dividir porque
no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784
120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =
120782
minusradic120784
120784
portanto 120782
minusradic120784
120784
= 120782 entatildeo
119961120784 =120782
minusradic120784
120784
harr 119961120784 = 120782
Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim
119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla
porque 119961120783 = 119961120784
433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a
zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782
Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783
b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785
c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782
d) radic2
2minus
radic120784
120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
radic2
2 119939 = 120782 119942 119940 =
radic120784
120784
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo
podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute
assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)
120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785
Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782
Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica
(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim
harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos
independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim
harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos
multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo
temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785
143 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
434 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782
Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto
eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0
Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782
b) minus1199092 + 3119909 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120785 119942 119940 = 120782
c) 120785119961120784 +120787
120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =
120787
120784 119942 119940 = 120782
d) radic8119961 minus120783120786
120787119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus
14
5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782
Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo
colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim
119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos
harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939
119938
Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto
Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em
evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a
lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr
119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo
membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos
harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787
Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782
ACTIVIDADE Ndeg 3
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do
tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5
21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0
f) 101199092 + 10 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 144
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 3
1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3
e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty
145 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm4
RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS
DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO
DE PRODUTO
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas
- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto
Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas
Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por
seguir
1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 120782
119938= 120782 entatildeo a
equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782
2˚- Devemos passar o termo independente 119940
119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938= minus
119940
119938
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 146
3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939
119938 que eacute (
119939
120784119938)120784
Assim
119961120784 +119939119961
119938= minus
119940
119938harr 119961120784 +
119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
Agora podemos colocar o primeiro membro na
forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961
119938+ (
119939
120784119938)120784
= minus119940
119938+ (
119939
120784119938)120784
harr (119961+119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 portanto
esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto
Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de
produto
1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim
120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785 simplificando teremos harr
120785119961120784
120785minus
120783120782119961
120785+
120785
120785=
120782
120785harr
harr 119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782
2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr
119961120784 minus120783120782119961
120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783
3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782
120785) a metade de (minus
120783120782
120785) significa
dividi-lo por 120784
Assim minus120783120782
120785
120784=
minus120783120782
120785120784
120783
= multiplicamos o divisor minus120783120782
120785 pelo inverso de dividendo
1
2 assim
minus120783120782
120785120784
120783
=
minus120783120782
120785times120783
120784= minus
120787times120784times120783
120785times120784= minus
120787
120785
Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787
120785)120784
Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus
120783120782119961
120785= minus120783 por (minus
120787
120785)120784
Assim 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
agora podemos construir o
caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim
Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Isto eacute
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787
120785)120784
Partindo de 119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base
do segundo quadrado (minus120787
120785)120784
a base eacute (minus120787
120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim
[119961 + (minus120787
120785)]120784
= (119961 minus120787
120785)120784
Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo
147 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119961120784 minus120783120782119961
120785+ (minus
120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
Calculamos o segundo
membro = minus120783 + (minus120787
120785)120784
= minus120783 +120784120787
120791= minus
120783120783(120791)
+120784120787120791(120783)
=minus120791+120784120787
120791=
120783120788
120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica
(119961 minus120787
120785)120784
= minus120783 + (minus120787
120785)120784
harr (119961 minus120787
120785)120784
=120783120788
120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz
quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= radic120783120788
120791 como estamos a espera de duas
soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787
120785)120784
= plusmnradic120783120788
120791 agora
podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim
119961 minus120787
120785= plusmnradic
120783120788
120791harr 119961minus
120787
120785= plusmn
120786
120785 passamos o termo minus
120787
120785 para o segundo membro Assim
harr 119961 minus120787
120785= plusmn
120786
120785harr 119961 =
120787
120785plusmn
120786
120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim
119961120783 =120787
120785+
120786
120785=
120791
120785= 120785119961120784 =
120787
120785minus
120786
120785=
120783
120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =
120783
120785 120785
AUTO-AVALIACcedilAtildeO
Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do
tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto
a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 148
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
149 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm5
FOacuteRMULA RESOLVENTE
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de
equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Deduzir a foacutermula resolvente
- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
451 Foacutermula resolvente
Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para
equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a
foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica
Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada
tambeacutem na forma (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Isto eacute
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939
120784119938)120784
=119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz
quadrado teremos radic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939
120784119938)120784
= radic119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961+
119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784
passamos o termo +119939
120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus
119939
120784119938 isto eacute
119961 +119939
120784119938= plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr 119961 = minus
119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da
divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939
120784119938plusmnradic
119939120784minus120786119938119940
120786119938120784harr= 119961 = minus
119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938
entatildeo fica 119961 = minus119939
120784119938plusmn
radic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961 =
minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no
maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 150
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940
120784119938
Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877
O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta
Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute
∆= 119939120784 minus 120786119938119940
Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma
Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma
equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo
- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes
- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla
- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais
Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo
119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784)
Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim
119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)
120784times(120784) harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120786120791minus120784120786
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmnradic120784120787
120786harr 119961120783120784 =
+120789plusmn120787
120786 veja que
o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos
duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim
119961120783 =+120789+120787
120786=
120783120784
120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =
+120789minus120787
120786=
120784
120786=
120784times120783
120784times120784=
120783
120784 119930119952119949 119961 =
120783
120784 120785 Satildeo duas
soluccedilotildees
119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆
120784119938
151 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula
resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula
resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)
120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave
∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782
Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute
119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784times(120783)harr 119961120783120784 =
120784radic120784plusmn120782
120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim
119961120783 =120784radic120784+120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120784 =
120784radic120784minus120782
120784=
120784radic120784
120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla
Ex3 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120786119961120784 minus 120784119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente
Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785
120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785
∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero
Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty
ACTIVIDADE Ndeg 5
Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios
propostos abaixo
1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 152
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 5
1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2
3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus
4
5 8
153 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
LICcedilAtildeO Nordm6
SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO
QUADRAacuteTICA
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que
facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica
- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
461 Soma das raiacutezes
Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se
dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim
119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938 simplificando a expressatildeo teremos
119938119961120784
119938+
119939119961
119938+
119940
119938=
120782
119938
harr 119961120784+
119939119961
119938+
119940
119938= 120782 portando o coeficiente
119887
119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como
na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute
dada por 119930 = minus119939
119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus
119939
119938 Portanto
119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939
119938
Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119930 = minus119939
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119930 = minus119939
119938harr 119930 = minus
120787
120785 Assim determinamos o valor da soma das
raiacutezes
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 154
462 Produto das raiacutezes
O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940
119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =
119940
119938
Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940
119938 Portanto
119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940
119938
Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Aplicamos a formula 119927 =119940
119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo
substituindo na formula teremos 119927 =119940
119938harr 119927 =
(minus120784)
120785= minus
120784
120785 Assim determinamos o valor de produto
das raiacutezes
Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939
119938 e 119927 =
119940
119938 podemos substituir na
equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus
119939
119938 multiplicamos ambos os membros por
(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939
119938(minus120783) harr minus119930 =
119939
119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim
119961120784 +119939119961
119938+
119940
119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto
das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT
As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel
envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem
da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5
(cinco)
Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que
a) A soma das raiacutezes seja 120786
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos
a formula da soma 119930 = minus119939
119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4
Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939
119938 e teremos
119930 = minus119939
119938 harr 120786 = minus
[minus(119950+120783)]
120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos
4 = minus[minus(119950+120783)]
1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o
segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro
155 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade
comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785
Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3
b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782
Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim
119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940
119938 Portanto estaacute dito
na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940
119938 e
teremos
119927 =119940
119938harr minus120783120782 =
(120784119950minus120787)
120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica
positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os
membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e
passa a dividir assim
120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787
120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual
agrave ndash120787
120784
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 6
Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc
pode efectuar os exerciacutecios propostos
1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o
produto seja 5 em cada aliacutenea
a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1
2119908 = 0
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 156
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 6
1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5
2
b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5
2
c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10
157 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
Liccedilatildeo nordm7
FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =
119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos
factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)
Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782
Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim
Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula
abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)
120784times120785harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120784120787+120784120786
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmnradic120786120791
120788
119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791
120788harr 119961120783120784 =
minus120787plusmn120789
120788 119961120783 =
minus120787+120789
120788=
120784
120788=
120783
120785119961120784 =
minus120787minus120789
120788=
minus120783120784
120788= minus120784 jaacute determinamos
os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar
Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes
119961120783 =120783
120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes
rectos teremos 120785(119961 minus120783
120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 158
equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus
120783
120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute
120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783
120785) (119961 + 120784) = 120782
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 7
Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =
119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo
1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0
159 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 7
1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)
b) ndash (119909 minus 3)2
c) 3 (119909 +2
3) (119909 minus 1)
d) 5 (119909 +4
5) (119909 minus 8)
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 160
Liccedilatildeo nordm8
PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES
QUADRAacuteTICAS
INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO
Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM
- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
TEMPO DE ESTUDO
Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 horas para o estudo desta liccedilatildeo
481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas
Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas
equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as
foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores
Ex Consideremos o seguinte problema
Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem
alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa
120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961
(120783120784119961 + 120785120788)119950
Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute
161 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao
quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950
120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de
rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento
da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950
isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos
119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si
temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a
aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por
119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950
120784 na igualdade
119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo
numa equaccedilatildeo quadraacutetica
Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos
colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos
harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +
120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr
120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes
Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788
harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim
harr120785120782119961120784
120784+
120783120785120784119961
120784minus
120785120790120786
120784=
120782
120784harr simplificando teremos
harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim
120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim
119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim
119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940
120784119938 harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)
120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmnradic120786120785120787120788+120783120783120787120784120782
120785120782
119961120783120784 =minus120788120788plusmnradic120783120787120790120789120788
120785120782harr 119961120783120784 =
minus120788120788plusmn120783120784120788
120785120782 119961120783 =
minus120788120788+120783120784120788
120785120782= 120784 119961120784 =
minus120788120788minus120783120784120788
120785120782= minus
120791120788
120783120787 portanto a
soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =
120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim
119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950
120784
Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 162
ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 8
Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode
efectuar os exerciacutecios propostos abaixo
1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos
comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)
2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo
120788119950
120790119950120784 119961119950
119961119950
a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa
c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)
163 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 8
1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982
2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909
b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092
c) 119909 = 2
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 164
ACTIVIDADES UNIDADE N˚-4 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE
Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 4 vocecirc pode prestar a seguinte actividade
1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes
a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0
b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0
c) minus1
21199092 = 15119909
d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9
e) 1199092 = 36
f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0
2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto
a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1
2) = 0
b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0
c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0
d) 31199092 + radic3119909 = 0
3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo
a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0
b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0
c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0
d) 3(119909 + 2) = 1199092
5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782
a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784
b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta
c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla
d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5
e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2
6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas
a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0
b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0
c) 1
21199092 + 3119909 + 4 = 0
d) minusradic3119909 =3
2minus 1199092
e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0
165 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os
8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo
MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 166
CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120786
1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16
b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12
c)119886 = minus1
2 119887 = minus15 119888 = 0
d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9
e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0
f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64
2 a) 119878119900119897 119909 = 1
2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus
5
2 1
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0
3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5
27+radic5
2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2
e) 119878119900119897 119909 = minusradic3
3 0 e)
radic2
2 radic2
4 a) 119878 =3
2 119875 = minus
5
2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6
5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3
24minusradic3
2
d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2
6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5
2) (119909 minus
7+radic5
2) = 0 c)
1
2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0
d) (119909 +radic3
3) 119909 = 0 e)(119909 minus
radic2
2) (119909 minus radic2) = 0
7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5
8 119860 = 601198881198982
167 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA
BIBLIOGRAFIA
SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo
LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo