MDF CHAP 3 Dynamique Des Fluides Incompressibles Parfaits
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8/20/2019 MDF CHAP 3 Dynamique Des Fluides Incompressibles Parfaits
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CHAPITRE 3:
DYNAMIQUE DES
FLUIDES
PARFAITSPréparé par : SAGGAI SofianeDépartement d’Hydraulique et de Génie civilFaculté des Sciences et Technologie et Sciences de la Matières
Université Kasdi Merbah OuarglaAnnée universitaire 2011/2012
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1. INTRODUCTIONDans ce chapitre, nous allons étudier les fluides enmouvement. Les éléments d’un fluide enmouvement peuvent se déplacer à des vitessesdifférentes. L’écoulement des fluides est un
phénomène complexe.On s’intéresse aux équations fondamentales quirégissent la dynamique des fluides incompressibles
parfaits, en particulier :- L’équation de continuité (conservation de lamasse),
- Le théorème de Bernoulli (conservation del’énergie) et,- Le théorème d’Euler (conservation de la quantité
de mouvement)
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2 EQUATION DE CONTINUITE
Considérons un écoulement permanent d’un fluideincompressible de masse volumique ρ dans une conduite(voir figure suivante).
dm2
dm1M
s1 s’1
s’2s2
dx1
dx2
v1 v2
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Nous avons:
- S1 et S2 respectivement la section d’entrée et lasection de sortie du fluide à l’instant t,
- S’1 et S’2 respectivement les sections d’entrée et
de sortie du fluide à l’instant t’=(t+dt),- V1 et V2 les vecteurs vitesse d’écoulement
respec vemen ravers es sec ons e ela veine.
- dx1 et dx2 respectivement les déplacements des
sections S1 et S2 pendant l’intervalle de temps dt,- M : masse comprise entre S1 et S2,
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- dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre
les sections S1 et S’1,- dm2 : masse élémentaire sortante comprise entreles sections S2 et S’2,
- dV1 : volume élémentaire entrant compris entreles sections S1 et S’1,
- 2 : vo ume men a re sor an compr s en reles sections S2 et S’2,
A l’instant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une
masse égale à (dm1+ M)A l’instant t+dt : le fluide compris entre S’1 et S’2 a
une masse égale à (M+ dm2).
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Par conservation de masse: dm1+M=dm2+M
d’où dm1=dm2...... (1) mais ρ=dm/dVDonc dm= ρ.dV. En remplaçant en (1) on
aura: ρ1.dV1= ρ2.dV2….(2). Si dV=dx.S (2)devient: ρ1.dx1.S1= ρ2.dx2.S2….(3)
= = ’dans la conduite dans un intervalle detemps dt, donc (3) sera:
(dx1 /dt).S1= (dx2 /dt).S2 et v=dx/dt , parconséquence: v1.S1=v2.S2….(*)qui l’équation de continuité
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3 NOTION DE DEBIT
3.1 Débit massique:C’est la masse de fluide par unité de temps
qui traverse une section droite quelconquede la conduite. Donc qm=dm/dt maisd’a rès 1 et 2 dm= .dx.S
d’où qm= ρ.(dx/dt).S= ρ.v.SDonc:
qm=ρ.v.S
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3.2 Débit volumique:
C’est le volume de fluide par unité de temps quitraverse une section droite quelconque de laconduite. Donc qV=dV/dt en remplaçant par
dV=dm/ ρ qv=dm/dt/ ρ=qm / ρ soit
=v.S3.3 Relation entre le débit massique et débit
volumique:
qm= ρ.v.S donc:
qm= ρ. qv
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4. Théorème de BERNOULLI
4.1 - Le phénomèneObservations
• Une balle de ping-pong peut rester ensuspension dans un jet d'air incliné.
• ne eu e e pap er es asp r e orsqu onsouffle dessus.
Conclusion : La pression d'un fluide diminuelorsque sa vitesse augmente.
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4.2 - Théorème de Bernoulli pour un écoulement
permanent d’un fluide parfait incompressible
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On considère un écoulement permanent iso-
volume d’un fluide parfait, entre les sectionsS1 et S2, entre lesquelles il n’y a aucune
machine hydraulique, (pas de pompe, ni de
turbine).
Soit m la masse et V le volume du fluide ui
passe à travers la section S1 entre les instants tet t+∆t. Pendant ce temps la même masse et le
même volume de fluide passe à travers lasection S2. Tout se passe comme si ce fluide
était passé de la position (1) à la position (2).
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• On applique le théorème de l’énergie mécanique
au fluide entre t et t+∆t : « La variation del’énergie mécanique est égale à la somme destravaux des forces extérieures. »
• On a Emec=Epot+Ecin=dm.g.z+(dm/2).v2• E2mec- E1mec= Wforces de pression= F1 .dx1- F2 .dx2⇔⇔⇔⇔
2mec
-1mec 1
.1.
1-
2.
2.
2
1.
1-
2.
2On a dV=dm/ ρ, par conservation de masse:dm1=dm2=dm et puisque le fluide est parfait:
ρ1=ρ2=ρen simplifiant on obtient l’équation de BERNOULLI:
(V22-V12)/2+(P2-P1)/ ρ+g(z2-z1)=0
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On a: ρ.(V22-V12)/2+(P2-P1)+ ρ g(z2-z1)=0
Donc: P+(ρ /2).V2 + ρ.g.z= constantP est la pression statique, ρ.g.z est la pression
de pesanteur, (ρ /2).V2
est la pression cinétique.Tous les termes s’expriment en pascal.
n v san ous es ermes e a re a onprécédente par le produit ρ.g, on écrit tous lestermes dans la dimension d'une hauteur
(pressions exprimées en mètres de colonne de
fluide).
P/ ρ.g +V2 /2.g + z=H
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H est la Hauteur totale, P/ ρ.g est la Hauteur
de Pression, z est la cote, V2 /2.g est laHauteur cinétique, P/ ρ.g+z est la Hauteurpiézomètrique.
4. 3Cas d'un écoulement (1)vers(2) sanséchan e de travail
Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait,
il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine)
entre les points (1) et (2) d'une même ligne decourant, la relation de Bernoulli peut s’écrire
sous l'une ou l'autre des formes suivantes :
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ou4.4 - Cas d'un écoulement (2)vers(1) avec
échange d’énergieLorsque le fluide traverse une machine
’,
machine sous forme de travail ∆W pendant
une durée ∆t. La puissance P échangée est:
Unités : P en watt (W), W en joule (J), t en
seconde (s).
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• P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. :
pompe) ;• P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. :
turbine).
Si le débit-volume est qv la relation de Bernoulli
’
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5 APPLICATION DU THÉORÈME DE
BERNOULLI :5.1 Phénomène de Venturi
Un conduit de section principale SA subit unétranglement en B où sa section est SB. La
’
l’étranglement, donc sa pression y diminue :
vB > vA donc pB < pA
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D'après l'équation de continuité,et donc
La différence de pression aux bornes auxextrémités du tube de Venturi est
proportionnelle au carré du débit ; application
à la mesure des débits (organes déprimogènes)
On peut citer aussi la trompe à eau, le
pulvérisateur...
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5.2 Écoulement d'un liquide contenu dans un
réservoir - Théorème de TorricelliConsidérons un réservoir muni d'un petit orifice
à sa base, de section s et une ligne de courant
partant de la surface au point (1) et arrivant à
l'orifice au oint (2).
En appliquant le théorème de Bernoulli entre les
points (1) et (2),
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Or p1 = p2 = pression atmosphérique ett v1
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6.THEOREME D’EULER :
Une application directe du théorème d’Euler estl’évaluation des forces exercées par les jets
d’eau. Celles-ci sont exploitées dans divers
domaines : production de l’énergie électrique à
artir de l’éner ie h drauli ue râce aux
turbines, coupe des matériaux, etc.
Le théorème d’Euler résulte de l’application du
théorème de quantité de mouvement àl’écoulement d’un fluide : Σ F ext =dP/ dt ; avec
P = mV : quantité de mouvement.
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Ce théorème permet de déterminer les efforts
exercés par le fluide en mouvement sur lesobjets qui les environnent.
• Enoncé
La résultante (ΣFext ) des actions mécaniques
(fluide contenu dans l’enveloppe limitée parS1 et S2 ) est égale à la variation de la
quantité de mouvement du fluide qui entreen S1 à une vitesse V1 et sort par S2 à unevitesse V
2
. ΣFext
=qm
(V2
−V1
)
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7.CONCLUSIONLes lois et les équations établies dans ce chapitre en particulier
l’équation de Bernoulli ont un intérêt pratique considérable
du moment ou elles permettent de comprendre le principe
de fonctionnement de beaucoup d’instruments de mesure de
débits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le
diaphragme…etc.
serv es aux u es ncompress es, ces o s e qua ons
peuvent être employées dans certains cas particulier pour les
fluides compressibles à faible variation de pression.
Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques.Cependant, lorsqu’on veut prendre en considération la
compressibilité dans les calculs, il est nécessaire d’employer
les formules appropriées.
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Références bibliographiques
• BEN HAMOUDA R.; NOTIONS DEMECANIQUE DES FLUIDES, Cours et
Exercices Corrigés.
Centre de PublicationUniversitaire, Tunis.• Liens : Expériences de mécanique des fluides
Cours de Mécanique des Fluides (BTS Industriels) http://www.ac-nancy- metz.fr/ enseign/ physique /
phys/term/mecaflu/Poly-mecaflu.htm