Maturski Rad Ende

Gimnazija Kru evac

Primena prvog izvodamaturski rad iz matematikeu enik: Nikoli Jovan 4-6 profesor: Dragan Petrovi maj 2011

Primena prvog izvoda

maj 2011

Sadr aj:

1. Uvod 2. Izvod. Geometrijska interpretacija izvoda 3. Primena izvoda pri odre ivanju monotonosti i ekstremnih vrednosti funkcije 3.1. Rolova teorema 3.2. Lagran eova teorema 3.3. Dokaz i odre ivanje monotonosti 3.4. Ekstremne vrednosti 4. Primena izvoda pri odre ivanju grani ne vrednosti. Lopitalovo pravilo 5. Primena prvog izvoda u prirodnim naukama 5.1. Problem srednje i trenutne brzine. Problem ubrzanja 5.2. Ostale primene 5.3. Primeri 6. Zaklju ak 7. Literatura

2 3

6 6 9 11 12

14 17

17 19 21 24 25Poglavlje: Sadr aj

1


maj 2011

UvodPojam izvoda nastao je iz problema tangente krive linije i problema brzine kretanja; prvi problem doveo je Lajbnica (Gottfried Wilhelm Freiherr (baron) von Leibniz, 1646-1716), a drugi problem doveo je Njutna (Isaac Newton, 1642-1727), istovremeno do istog pojma, ali nezavisno od Lajbnica. Mnogi matemati ari pre Lajbnica su poku avali da re e problem tangente. Ono to je bilo karakteristi no za njih je to da su sadr ali takve analiti ke i geometrijske postupke koji su vodili do pojma izvoda. U tim poku ajima se esto tangenta shvatala kao grani na se ica kojoj te i se ica te krive, kada se druga prese na ta ka pribli ava prvoj po datoj krivoj. Me utim, ti matemati ari su nailazili na problem ra una sa beskrajno malim veli inama, koji nisu umeli da re e, ili su ga re ili samo delimi no kao Dekart za algebarske krive. Dekart (Descartes 1596 1650) je zasnovao metodu koordinata, omogu iv i time da se krive linije izra avaju jedna inama, odnosno da se funkcija definisana jedna inom shvati kao kriva u ravni xOy. Ovakvo prikazivanje krivih je bio va an preduslov za dalji razvoj pojma izvoda. Lajbnic je, koriste i Dekartovu metodu koordinata i predhodno savladav i osnove prirodnog ra una sa beskona no malim veli inama, re io problem tangente, shvativ i je na na in koji je gore naveden. Do revolucionarnog otkri a je do lo, prema njegovim bele kama 11. novembra 1675 godine, kada je prvi put koristio diferencijalni ra un za tra enje domena funkcije y = x. Svoj rad je objavio tek 1684 godine pod nazivom: Nova metoda za maksimume i minimume, kao i za tangente, gde razlomljene i iracionalne koli ine nisu prepreka, i naro iti vid izra unavanja toga (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus quae nec fractas nec irrationales quantitates, et singulare pro illis calculi genus). U svojoj raspravi Metod fluxia i beskrajnih redova, Njutn najpre re ava problem trenutne brzine, ako je pre eni put dat u obliku funkcije u zavisnosti od vremena. Veli inu koja, za njega, neprekidno zavisi od vremena, Njutn naziva fluentom (fluere=te i) a brzinu kojom se menja fluent u toku vremena fluxia (fluxio=strujanje, te enje). Kao tipi an primer, Njutn je naveo put pokretne ta ke. Dakle, Njutn je do ao do pojma fluksije, odnosno izvoda, studiraju i problem kretanja, to je odgovaralo razvoju mehanike tokom XVII i XVIII veka.

2

Poglavlje: Uvod


maj 2011

Izvod. Geometrijska interpretacija izvoda

Kada je prona en, pojam izvoda je predstavljao re enje problema tangente neke krive linije. Me utim, definicija tangente kakva je data u elementarnoj geometriji, nije bila dovoljna. Tangenta je tu data kao prava koja sa krivom ima jednu zajedni ku ta ku (pod krivom se obi no podrazumevao krug). Pogledajmo sada, grafike funkcija y=x2 i y=x3 (slika 1. i 2.). U koordinatnom po etku parabole y=x2, po datoj definiciji tangente, i apcisna i oordinatna osa zadovoljavaju uslov tangente (imaju samo jednu zajedni ku ta ku sa krivom), ali jasno je da samo apcisna osa predstavlja tangentu. Opet, u koordinatnom po etku krive y=x3 i apcisna i oordinatna osa zadovoljavaju uslov tangente, ali sada ni jedna ni druga ne predstavljaju tangentu.

slika 1.

slika 2.

Dakle, moralo se do i do nove definicije. Neka je u koordinatnom sistemu data kriva kao funkcija y = (x), i neka je ona definisana u intervalu . Povucimo se icu MM1. Pod tangentom danas podrazumevamo grani an polo aj se ice MM1 kada se prese na ta ka se ice i krive M1 pribli ava po krivoj prese noj ta ki M. Pribli avanjem, se ica menja svoj polo aj. Tako e, kada se M1 pribli ava M, ugao koji se ica zaklapa sa pozitivnim delom x-ose se smanjuje i te i nuli, kako se ica MM1 te i nuli. Posmatrajmo sada dva razli ita polo aja se ice. Neka ta ka M1 ima koordinate x1 i y1, a ta ka M koordinate x0 i y0. Sada je x = x1 x0 , a y = y1 y0. Veli inu x nazivamo prira tajem nezavisne promenljive, a y prira tajem funkcije. Za uvedeni prira taj nezavisno promenljive va i da je razli it od nule, ali da zbir x0 + x ostane u definisanom intervalu . Dalje je tangens ugla koji se ica zaklapa sa x-osom jednak koli niku prira taja funkcije i prira taja nezavisno promenljive.

3

Poglavlje: Izvod. Geometrijska interpretacija izvoda


maj 2011

slika 3.

1

0

'

Sada mo emo dati definiciju izvoda. Prvi izvod funkcije u nekoj ta ki predstavlja grani nu vrednost koli nika prira taja funkcije i prira taja nezavisno promenljive kada prira taj nezavisno promenljive te i nuli. Prvi izvod funkcije naj e e se obele ava onako kako ga je obele avao Lagran e koriste i znak (prim), odnosno y . Lajbnic je pak izvod obele avao ovako . Da bi tra ili prvi izvod u nekoj ta ki funkcije potrebno je da je u toj ta ki funkcija definisana i neprekidna. Proces kojim se dolazi do izvoda y naziva se diferenciranje. Za

4

Poglavlje: Izvod. Geometrijska interpretacija izvoda

Vidimo dakle da je koeficijent pravca tangente odre en prira tajima funkcije i nezavisne promenljive. Me utim, pribli avaju i se ta ki M, x te i x0 ( x x0 ) odnosno x 0. Po to govorimo o grani nom polo aju se ice, uve emo pojam limesa. Dalje sledi:

Primena prvog izvoda maj 2011 funkciju y = (x) koja u ta ki x ima izvod y , ka emo da je diferencijabilna u toj ta ki. Funkcija u nekoj ta ki za koju je definisana ima prvi izvod ako je vrednost izvoda ista kada joj se pribli avamo sa leve odnosno desne strane, odnosno kada ona ima jedinstvenu tangentu. Dalje, funkcija je diferencijabilna u intervalu ako je diferencijabilna u svakoj ta ki tog intervala. Dakle, da bi funkcija bila diferencijabilna neophodno je da ona bude neprekidna, ali to ne zna i da je svaka neprekidna funkcija ujedno i diferencijabilna. Zaklju ujemo, svaka diferencijabilna funkcija je neprekidna ali nije svaka neprekidna funkcija diferencijabilna. Uzmimo kao primer funkciju y = (x) = |x|. Za vrednost x = 0 imamo da je = (0 + Za > 0: = pa je

)

(0) = (

) = |

|

Za

< 0:

=-

pa je

Dakle, funkcija nije neprekidna u ta ki 0, i u toj ta ki nema izvod. Ova funkcija nije diferencijabilna u ta ki 0, tj nema jedinstvenu tangentu u toj ta ki. (Na grafiku je ova funkcija predstavljena kao izlomljena linija. Mesto preloma je u koordinatnom po etku.)Poglavlje: Izvod. Geometrijska interpretacija izvoda

slika 4.

5


maj 2011

Primena prvog izvoda pri odre ivanju monotonosti i ekstremnih vrednosti funkcije

Rolova teorema

Rolova teorema glasi: Neka je funkcija definisana i neprekidna u zatvorenom intervalu [a,b], neka postoji izvod funkcije bar u otvorenom intervalu (a,b), i neka na krajevima intervala vrednost funkcije bude ista (a) = (b). Pod ovim uslovima, izme u a i b mo e se na i ta ka c (a < c < b) takva da je izvod u toj ta ki nula (c) = 0. (slika 5.) Dokaz: Kako je funkcija u zatvorenom intervalu neprekidna, ona u tom intervalu dosti e svoju najvi u vrednost M i najni u vrednost m. Razmatramo 2 slu aja: 1. Ako je M = m. U zatvorenom intervalu [a,b] funkcija je konstantna. To dalje zna i da je (x) = M za svako x, odnosno da je (x) = 0. Dakle, za c mo emo uzeti bilo koju vrednost u intervalu za koju je prvi izvod nula. 2. Ako je M > m. Po to na krajevima intervala funkcija ima istu vrednost, a tokom intervala je menja, zasigurno znamo da e funkcija dosti i bar jednu od ove dve vrednosti (ili najvi u ili najni u vrednost) za neku vrednost c koja je u intervalu (a,b). Sada je ostalo samo da doka emo da je za maksimalnu ili minimalnu vrednost prvi izvod jednak nuli (x) = 0 (Fermatova teorema) Dokaza emo tvr enje za maksimalnu vrednost. Tada je:

6

Poglavlje: Primena prvog izvoda pri odre ivanju monotonosti i ekstremnih vrednosti

Jedna od najva nijih primena prvog izvoda funkcije jeste pri odre ivanju monotonosti funkcije, tj odre ivanja intervala vrednosti nezavisno promenljive za koje funkcija raste, a za koje opada. Tako e, taj interval mora biti u okviru domena date funkcije. Postoji tesna veza izme u znaka prvog izvoda i monotonosti funkcije. Po definiciji, funkcija je rastu a onda kada se sa pove anjem nezavisno promenljive x, pove ava i zavisna promenljiva y; obrnuto, funkcija je monotono opadaju a ako sa pove anjem nezavisno promenljive x opada vrednost zavisno promenljive y. Da bi ovo dokazali, uve emo 2 teoreme o prvom izvodu.

Primena prvog izvoda a po definiciji izvoda:

maj 2011

Dalje, x mo e da se pribli ava ta ki c sa leve, odnosno sa desne strane, pa razlikujemo dva slu aja koja se me usobno isklju uju: 1. kada je 2. kada je razlomak razlomak je negativan pa je prvi izvod negativan je pozitivan pa je i prvi izvod pozitivan

Jedina relacija koja zadovoljava disjunkciju je . Ovime je dokaz zavr en. Analogno se dobija isti rezultat i za minimalnu vrednost. Dakle, za vrednost c izme u a i b za koju funkcija dosti e najvi u ili najni u vrednost, prvi izvod je jednak nuli. Ovime je dokaz Rolove teoreme zavr en. Geometrijska interpretacija Rolove teoreme je slede a: Ako funkcija na krajevima intervala ima istu vrednost, a tokom intervala je menja, mo e se na i ta ka u tom intervalu u kojoj je tangenta paralelna x-osi (kako je , to zna i da je k=0, tj a to je samo za .)Poglavlje: Primena prvog izvoda pri odre ivanju monotonosti i ekstremnih vrednosti

slika 5.

7

Primena prvog izvoda Primer 1: Jedna ina re enja ove jedna ine.

ima re enje

maj 2011 . Primenom Rolove teoreme na i druga

Imamo da je . Neka postoji drugo re enje . Tada je: .U intervalu ili ako je broj pozitivan odnosno negativan, funkcija je neprekidna, i na krajevima intervala ima istu vrednost. Sada mo emo primeniti Rolovu teoremu, po kojoj izme u tih ta aka mora postojati ta ka u kojoj je prvi izvod nula. Prvi izvod funkcije je: a u ta ki je: to ne odgovara uslovu Rolove teoreme da se ta ka nalazi u intervalu Jedna ina nema drugih re enja. odnosno .

a)

na intervalu

Proveravamo da li na krajevima intervala funkcija ima istu vrednost.

Po to ima, tra imo prvi izvod. Prvi izvod je:

Vidimo da izvod nije definisan za b) na intervalu

. Rolova teorema se ne mo e primeniti.

Funkcija je neprekidna u nekoj ta ki ako je grani na vrednost funkcije u toj ta ki jednaka vrednosti funkcije u toj ta ki, odnosno kada je Vidimo da je:

pa je funkcija prekidna u ta ki 1, a analogno dobijamo da je neprekidna i u ta ki 0. Rolova teorema se ne mo e primeniti.

8


Primer 2: Utvrditi uslove za mogu nost primene Rolove teoreme za slede e funkcije:


maj 2011

Lagran eova teorema

Lagran eova teorema je direktna posledica Rolove teoreme. Lagran eova teorema glasi: Neka je funkcija definisana i neprekidna u zatvorenom intervalu [a,b] i neka postoji izvod funkcije bar u otvorenom intervalu (a,b). Onda izme u a i b postoji ta ka c, takva da za nju va i relacija:

Dokaz: Uve emo pomo nu funkciju koja je definisana u istom zatvorenom intervaluPoglavlje: Primena prvog izvoda pri odre ivanju monotonosti i ekstremnih vrednosti

[a,b]:

Ona zadovoljava sve uslove Rolove teoreme, neprekidna je u intervalu [a,b] jer predstavlja neprekidna funkcije i linearne funkcije. A direktnom zamenom vidi se da je . Prvi izvod ove funkcije je:

Ako primenimo Rolovu teoremu (u ta ki c u kojoj je prvi izvod nula) imamo da je:

Ovime je dokaz zavr en. Geometrijska interpretacija Lagran eove teoreme je slede a: Neka je data kriva AB u zatvorenom intervalu [a,b]. Razlomak je to predstavlja tangens ugla pod kojim je postavljena du AB. A predstavlja tangens ugla pod kojim je postavljena tangenta u ta ki c. Dakle, na krivoj AB uvek postoji bar jedna ta ka M u kojoj je tangenta paralelna du i AB.

9


maj 2011

slika 6.

Primer 1: Na krivoj ta ke A(-1,-1) i B(2,8).

odrediti ta ku u kojoj je ta ka paralelna se ici koja prolazi kroz

Funkcija je neprekidna u intervalu i diferencijabilna u ta kama intervala po to je mo emo primeniti Lagran eovu teoremu:

,a

a kako je prvi izvod funkcije

imamo da je:

U ta ki

je tangenta paralelna datoj se ici.

Primer 2: Dokazati nejednakost, ako je Primeni emo Lagran eovu teoremu na funkciju u intervalu

1 0



maj 2011

Kako je brojilac desne strane negativan, a

, sledi tra ena nejednakost.

Dokaz i odre ivanje monotonosti

Po to smo dokazali Rolovu i Lagran eovu teoremu, pristupi emo dokazivanju veze izme u znaka prvog izvoda i monotonosti funkcije. Dakle, neka je data funkcija definisana u skupu , neka ima prvi izvod koji nije nula u tom skupu, i neka je neprekidna na krajevima intervala (ako te ta ke pripadaju intervalu). Izaberimo dve ta ke x1 i x2 takve da je x1 < x2 i da pripadaju skupu . Primeni emo Lagran eovu teoremu na intervalu [a,b].

)

je pozitivan. Ako se Izraz je pozitivan. Za izraz , vidimo da podsetimo geometrijskog zna enja Lagran eove teoreme, a kako je du AB (slika 6.) zaklapa o tar ugao sa pozitivnim pravcem x-ose., kao i tangenta. Za . To dalje zna i da du AB zaklapa tup je negativan, odnosno izraz ugao sa pozitivnim delom x-ose, kao i tangenta. Shodno tome monotono rastu u funkciju obele avamo a monotono opadaju u . Zaklju ujemo, funkcija je monotono rastu a za sve definisane vrednosti nezavisno promenljive za koje je prvi izvod pozitivan, odnosno monotono opadaju a za koje je negativan.

1 1



maj 2011

Ekstremne vrednosti

Direktna posledica monotonosti jesu ekstremne vrednosti funkcije. Definisa emo pojam ekstremne vrednosti. Neka je data funkcija definisana u intervalu [a,b] i koja nije monotono rastu a (opadaju a) u celom intervalu. Za ta ku x0 u ovom intervalu [a,b] ka emo da je maksimum ako ona mo e biti okru ena susednim ta kama koje tako e pripadaju interval [a,b], takve da za sve vrednosti nezavisno promenljive x intervala va i nejednakost:Poglavlje: Primena prvog izvoda pri odre ivanju monotonosti i ekstremnih vrednosti

Obrnuto, pod istim uslovima za ta ku x0 ka emo da je minimum ako va i nejednakost

Dalje prime ujemo da, ako funkcija dosti e maksimume u ta kama x1 i x2, izme u njih se mora na i minimum u ta ki x3 i obrnuto, ako funkcija dosti e minimume u ta kama x i x , izme u njih se mo e na i maksimum u ta ki x . Dakle, u kona nom broju ekstrema, maksimumi i minimumi se moraju smenjivati. Kako se odre uju ekstremne vrednosti? Pri dokazivanju Rolove teoreme dokazali smo tvr enje: Vrednost prvog izvoda u ta kama u kojima funkcija dosti e ekstremnu vrednost je nula. To je neophodan ali ne i dovoljan uslov. O igledan primer je funkcija . Prvi izvod ove funkcije je nula u ta ki , ali sa grafika mo emo videti da to nije ni maksimum ni minimum. Funkcija je zapravo monotono rastu a. Neka je data funkcija definisana u . Neka je ta ka okru ena ta kama u intervalu i neka prvi izvod funkcije ima konstantan znak sa leve i sa desne strane ta ke u okviru tog intervala. Mogu a su tri slu aja: 1. da je za a za tj da prvi izvod funkcije menja znak iz funkcija da monotono plusa u minus prolaze i kroz , odnosno, sa leve strane raste, a sa desne strane funkcija da monotono opada. Dakle imamo maksimum. 2. da je za a za tj da prvi izvod funkcije menja znak iz funkcija da monotono minusa u plus prolaze i kroz , odnosno, sa leve strane opada, a sa desne strane funkcija da monotono raste. Dakle imamo minimum. 3. da je za i , odnosno za i . Dakle, prvi izvod ne menja znak prolaze i kroz ta ku , pa nemamo ekstremne vrednosti. Funkcija je ili rastu a ili opadaju a. Ipak, funkcija ne mora biti konstantno rastu a u nekom intervalu, ona

1 2

Primena prvog izvoda maj 2011 mo e imati ta ke stagnacije. Opet, ona ne mora da raste istom brzinom . To odre uje konveksnost, odnosno prevojne ta ke. Zaklju ujemo, u ta ki govorimo o maksimumu onda kada je prvi izvod u toj ta ki nula i kada funkcija pre nje raste, a posle nje opada. Obrnuto, u ta ki govorimo o minimumu ako je izvod u toj ta ki jednak nuli i ako funkcija pre nje opada, a posle nje raste. Napomena: Postoji i druga metoda odre ivanja ekstremnih vrednosti, odnosno proveravanja da li u ta ki u kojoj je , imamo maksimum ili minimum. Re je o drugom izvodu. Ako je drugi izvod u toj ta ki negativan, imamo maksimum, a ako je pozitivan imamo minimum. Ovu teoremu ovde ne emo dokazivati.

slika 7.

slika 8.

slika 9.

1 3


Primena prvog izvoda Primer 1: Ispitati monotonost funkcije vrednosti Prvi izvod je:

maj 2011 i odrediti ekstremne

Vidimo da su nule funkcije

i

. Nacrta emo grafik te funkcije:

slika 10.

Sa grafika vidimo da je funkcija rastu a u intervalu , a da je opadaju a u intervalu . Po to do -1 funkcija raste a posle -1 opada, u ta ki -1 imamo maksimum. Analognom analizom, vidimo da u ta ki 3 imamo minimum. Zamenom u po etnu jedna inu imamo da je vrednost maksimuma u ta ki -1, 17, a da je minimum -11 u ta ki 3. Primer 2: Ispitati monotonost i ekstremne vrednosti funkcije

Funkcija je definisana za sve pozitivne vrednosti nezavisno promenljive. Prvi izvod funkcije je:

Re avanjem jedna ine odnosno imamo da je funkcija rastu a za a opadaju a za . Po to funkcija do opada, a od raste, u toj ta ki imamo minimum. Zamenom u datu jedna inu vidimo da je vrednost minimuma .

1 4



maj 2011

Primena prvog izvoda pri odre ivanju grani ne vrednosti. Lopitalovo pravilo.

Onda imamo i da je: Dakle, Lopitalovo pravilo glasi: Grani na vrednost koli nika dve funkcije koje, kada te e istoj vrednosti nezavisno promenljive imaju vrednost 0 ili (istovremeno su obe jednake nuli ili beskona nosti), mo e se svesti na grani nu vrednost koli nika njihovih prvih izvoda. Zaklju ujemo da se Lopitalovo pravilo primenjuje samo kada imamo koli nik i kada je taj koli nik jedan od dva nedefinisana izraza ili . Me utim, ako se posle primene Lopitalovog pravila, za vrednost nezavisno promenljive kojoj koli nik te i, opet dobiju izrazi nula sa nulom ili beskona no sa beskona no, Lopitalovo pravilo se primenjuje jo onoliko puta dok se ne do e do nekog definisanog izraza. Dalje, nedefinisan oblik se tako e mo e svesti na neki od pomenutih oblika, tako to funkciju ija je vrednost nula napi emo kao 1/0 to te i beskona nosti, ili pak funkciju ija je vrednost beskona no, napi emo kao to te i nuli. Nedefinisan oblik naj e e svodimo na jedan razlomak, pa zavisno od vrednosti imenioca i brojioca, prvo svodimo na izraze ili (ako je potrebno), pa onda primenjujemo Lopitalovo pravilo.

15

Poglavlje: Primena prvog izvoda pri odre ivanju grani ne vrednosti. Lopitalovo pravilo

Prvi izvod nalazi primenu pri odre ivanju grani nih vrednosti, onda kada dolazi do nedefinisanih formi kao to su izraz i . Prvi je prvi izvod i limese povezao John Bernoulli, ali se teorema koja ih povezuje naj e e naziva Lopitalovo pravilo (Guillaume de l'Hpital ju je prvi put objavio u svojoj knjizi doslovnog prevoda Analiza beskona no malog kako bi se razumele krive). Lopitalovo pravilo se sastoji u slede em: Neka je vrednost funkcija i kada te e istoj vrednosti nezavisno promenljive (a za koju su obe definisane) ili nula , ili beskona no , ,i ako je grani na vrednost koli nika:

Primena prvog izvoda Primer: Primenom Lopitalovog pravila odrediti grani nu vrednost:

maj 2011

Zamenom vidimo da je u pitanju neodre en izraz nula sa nulom. Ako primenimo Lopitalovo pravilo imamo da je: Me utim, vidimo da zamenom za ponavljamo Lopitalovo pravilo jo jednom: imamo opet neodre en izraz nula sa nulom, pa

Primer: Primenom Lopitalovog pravila odrediti grani nu vrednost: Zamenom za jedan razlomak. vidimo da imamo neodre eni izraz . Prvo emo svesti izraz na

Sada smo dobili izraz nula sa nulom i primenjujemo Lopitalovo pravilo.

16

Poglavlje: Primena prvog izvoda pri odre ivanju grani ne vrednosti. Lopitalovo pravilo


maj 2011

Primena prvog izvoda u prirodnim naukama

Napomenuli smo da je Njutn do ao do pojma prvog izvoda pri re avanju problema brzine kretanja. Ovde emo razmotriti povezanost prvog izvoda i brzine i ubrzanja, dati razliku izme u srednje i trenutne brzine. Tako e, razmotri emo i neke druge primene u matematici i fizici.

Problem srednje i trenutne brzine. Problem ubrzanja

gde je i predstavlja ubrzanje zemljine te e. Neka se posle tog vremena t telo na lo u ta ki M. Posle vremena telo e se na i u ta ki M1 i do nje pre i put . Sada za interval vremena od po etka kretanja do ta ke M1 va i: Zamenom za s predhodnu formulu dobijamo da je: A ako ovo podelimo sa :slika 11.

17

Poglavlje: Primena prvog izvoda u prirodnim naukama

Problem srednje i trenutne brzine razmotri emo na primeru slobodnog pada. Neka telo odre ene mase slobodno pada u vakuumu (tako zanemarujemo silu trenja vazduha i idealizujemo slu aj). Ako je t vreme od po etka padanja do odre enog trenutka u toku leta , a s pre eni put za to vreme, onda je:


maj 2011

Ovo je srednja brzina tokom kretanja tela od ta ke M do M1. Prime ujemo da srednja brzina zavisi od vremena . Tako e vidimo da, to je manji interval vremena to ta vrednost srednje brzine bolje opisuje trenutno stanje tela. Pod trenutnom brzinom podrazumevamo grani nu vrednost srednje brzine kada te i nuli. Dakle: Zaklju ujemo, trenutna brzina je prvi izvod pre enog puta za odre eno vreme. Pojam prvog izvoda mo emo shvatiti kao neku vrstu brzine. Ako je x nezavisna promenljiva a y vrednost funkcije, onda prvi izvod mo emo definisati i kao brzinu promene vrednosti funkcije u odnosu na vrednost nezavisno promenljive. Ako pove anje proizvodi promenu , a u pore enju sa formulom za srednju brzinu imamo:

te i nuli:

To dalje zna i da trenutnu brzinu promene dobijamo kada

to predstavlja prvi izvod, i u dokazivanju izvoda po Lajbnicu, koeficijent pravca tangente odnosno tangens ugla pod kojim je postavljena u odnosu na pozitivan pravac x-ose. Dalje, name e se pitanje ta ako brzina nije konstantna tokom vremena, pa se i ona menja po zakonu . Dakle imamo pojam brzina promene brzine odnosno ubrzanja. Analogno predhodnom, za vreme brzina se promeni za , pa je srednja vrednost ubrzanja

pa je trenutno ubrzanje ono kada

te i nuli:

Zaklju ujemo, trenutno ubrzanje je prvi izvod brzine za odre eni period vremena.

18



maj 2011

Ostale primene prvog izvoda

Druge primene prvog izvoda se tako e zasnivaju na promenama nezavisne promenljive (kao to su vreme, du ina i sli no) i posledi noj promeni zavisno promenljive. Slede i primeri se ti u fizi kih veli ina. 1. Gustina Neka je dato u e, iju emo irinu i debljinu zanemariti, odnosno uzeti u obzir samo njegovu du inu i masu koja je nehomogeno raspore ena du u eta po funkciji gde je x udaljenost ta ke od po etka u eta. Kada se polo aj du u eta promeni za i masa se promeni za (drugim re ima, masa du ine u eta je ). Dakle srednja gustina je:m

te i nuli, govorimo oPoglavlje: Primena prvog izvoda u prirodnim naukama

Kada posmatramo beskona no malu promenu du ine, odnosno kada grani noj vrednosti tog koli nika, odnosno o gustini u nekoj ta ki x: m

Zaklju ujemo, gustina je prvi izvod mase u zavisnosti od du ine. 2. Struja Neka je dat metalan provodnik i neka kroz njega proti e naelektrisanje, tako da se koli ina naelektrisanja menja sa vremenom, tj . Dakle, za vreme protekne koli ina naelektrisanja . Imamo da je srednja vrednost ja ine struje:m

te i nuli imamo:m

Ako posmatramo beskona no mali interval vremena, odnosno kada

Zaklju ujemo, trenutna ja ina struje je prvi izvod koli ine naelektrisanja u zavisnosti od vremena. Prime ujemo i sli nost sa brzinom, pa ja inu struje mo emo smatrati brzinom naelektrisanja.

19

Primena prvog izvoda 3. Temperaturni kapacitet

maj 2011

Neka je temperatura , a koli ina energije koje telo primi pri zagrevanju od do (u kalorijama ili d ulima). Jasno je da koli ina energije zavisi od temperature na kojoj se telo nalazi i na koju se zagreva. Dakle, srednji temperaturni kapacitet je:m

Me utim, temperaturni kapacitet na odre enoj temperaturi je onaj za koji m

te i nuli:

Zaklju ujemo, toplotni kapacitet na odre enoj temperaturi je prvi izvod koli ine energije u zavisnosti od temperature. 4. Primena u geometriji Prvi izvod primenu u geometriji nalazi pri odre ivanju ekstrema, odnosno, maksimalnih i minimalnih povr ina, zapremina, visina, radijusa itd. Postupak se zasniva na tome da se problem svede na funkciju jedne nepoznate, i tra e i prvi izvod, odre ujemo za koje vrednosti nepoznate imamo tra eni minimum ili maksimum.

20


Primena prvog izvoda Primer: Telo se kre e pravolinijski po zakonu kretanja. U kom trenutku telo menja smer kretanja?

maj 2011 . Odrediti brzinu i ubrzanje

Rekli smo da je brzina prvi izvod puta u zavisnosti od vremena. Dakle: Ubrzanje je prvi izvod brzine u zavisnosti od vremena: Da bi telo promenilo smer, ono mora da se u jednom trenutku zaustavi. Tada je Re avanjem ove kvadratne jedna ine dobijamo re enja . .

Primer: Koli ina naelektrisanja , koja proti e kroz metalni provodnik, menja se u zavisnosti od vremena t po zakonu . Odrediti ja inu struje posle 8 sekundi. Ve smo ranije izveli da je ja ina struje prvi izvod koli ine naelektrisanja u zavisnosti od vremena. Jedna ina ja ine struje je:

Posle 8 sekundi ja ina struje je

.

Kako je toplotni kapacitet na nekoj temperaturi jednak prvom izvodu koli ine energije u zavisnosti od temperature, imamo da je: Na temperaturi toplotni kapacitet iznosi 1204 .

Primer: Broj 64 rastaviti na pozitivne inioce tako da zbir njihovih kvadrata bude najmanji. Neka je . Sledi da zbir jedna ine i zamenimo u drugu imamo: treba da mude minimalan. Ako izrazimo iz prve

Da bi na li minimum, prvo emo na i prvi izvod ove funkcije:

21


Primer: Koli ina energije koju telo prima menja se u zavisnosti od temperature po zakonu . Koliki je temperaturni kapacitet tela na temperaturi ?


maj 2011

Znak prvog izvoda zavisi od minimum imamo samo za . Dakle

i od

. Analiziranjem znaka prvog izvoda vidimo da .

Primer: Oko sfere polupre nika bude minimalna.

opisana je kupa. Na i njenu visinu tako da zapremina kupe

Obrazac za zapreminu kupe je:

Kako ovde imamo dve nepoznate, cilj je celu jedna inu svesti na jednu. Kako nam se tra i visina pri kojoj je ta zapremina minimalna, izrazi emo polupre nik osnove . Prime ujemo da su trouglovi Iz sli nosti imamo: i sli ni.

Sada je , teoremom iz trougla jedna inu, dobijamo da je:

slika 12.

Zamenom za

u jedna ini za zapreminu dobijamo:

Proizvod smatramo konstantom, kao i . Ako ovu jedna inu posmatramo kao , tra e i prvi izvod mo emo da odredimo kada e ona biti minimalna.

22


,a . Pitagorinom imamo da je . Zamenom u gornju


maj 2011

Vidimo i da znak prvog izvoda zavisi samo od , jer je imenilac uvek pozitivan, a visina ne mo e da bude negativan broj. Kako je pre funkcija opadaju a, a posle rastu a, imamo minimum. Dakle, kupa e imati najmanju zapreminu za .

slika 13.

Primer: Dokazati da od svih pravougaonika upisanih u krug polupre nika ima kvadrat.

najve u povr inu

Neka je to pravougaonik, sa stranicama i . Njegova dijagonala je pre nik kruga . Povr ina pravougaonika je . Primenom Pitagorine teoreme, izra avamo jednu stranicu preko druge. Dakle:

pa je povr ina pravougaonika:Poglavlje: Primena prvog izvoda u prirodnim naukama

slika 14.

Da bi nashli maksimalnu povr inu, mo emo je posmatrati kao izvod:

, pa tra imo prvi

Kako je imenilac pozitivan, znak prvog izvoda zavisi samo od . Kako je pre funkcija rastu a, a posle opadaju a, govorimo o , zamenom u jedna inu za maksimumu. Za stranicu dobijamo da je i . Dakle, najve u povr inu od svih pravougaonika ima kvadrat.slika 15.

23


maj 2011

Zaklju ak

..........

24

Poglavlje: Zaklju ak


maj 2011

Literatura

1. The fundamentals of mathematical analysis, Volume I; G.M. Fikhtengol ts; Pergamon Press Ltd. 1965 2. Matemati ki priru nik; Bron tejn, Semendjajev, Musiol, Milig; Beograd 2004; SOHO GRAPH 3. Matematika 4, zbirka zadataka i testova za IV razred gimnazija i tehni kih kola; ivorad Ivanovi , Sr an Ognjanovi ; Krug 2005 4. Zbirka re enih zadataka iz matematike 4; mr Vene T. Bogoslavov; Zavod za ud benike i nastavna sredstva Beograd 2007 5. Online enciklopedia www.wikipedia.com

25

Poglavlje: Literatura


maj 2011

26

Poglavlje: Literatura

Maturski Rad Ende

Documents

Transcript of Maturski Rad Ende