matris deplasaman yöntemi
Transcript of matris deplasaman yöntemi
![Page 1: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin
Matris Metotları
2010-2011 Bahar Yarıyılı
Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞENDoç.Dr. Ercan YÜKSEL
![Page 2: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/2.jpg)
2
BÖLÜM III
DİREKT MATRİS YERDEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
![Page 3: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
![Page 4: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
![Page 5: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
![Page 6: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
![Page 7: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/7.jpg)
7
10
0 50 60
50 60
P
P cos β P sinβ
P sinβ P cos βix
P
20
0 30 40
30 40
P
P cos β P sinβ
P sinβ P cos βjx
P
[k]jxix = [k]Tixjx
Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi
![Page 8: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/8.jpg)
8
• Malzeme doğrusal-elastik davranmaktadır.• Yerdeğiştirmeler, sistem geometrisi ilekarşılaştırıldığında küçüktür. (1. Mertebe Teorisi)
Malzeme ve geometri değişimi bakımından doğrusal davranış sergilemeyen sistemler ilerleyen bölümlerde incelenecektir.
Önce rijit düğüm noktalı ve ankastre mesnetli sistemler çalışılacaktır.
Varsayımlar
![Page 9: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Çözümün Sağlaması Gerekli Koşullar:
1.Denge Denklemleri• Düğüm noktası denge denklemleri• Çubuk denge denklemleri
2.Geometrik Süreklilik Koşulları• Rijit düğüm noktalarında birleşen elemanların uç
yerdeğiştirmelerinin eşitliği• Mesnetlerdeki geometrik koşullar
3.Bünye Denklemleri (İç kuvvet-şekildeğiştirme ilişkileri)
![Page 10: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Uç Kuvvetleri İle Uç Yerdeğiştirmeleri Arasındaki Bağıntılar
Ortak eksen sisteminde, i-j çubuğunun uç kuvvetleri ile uç yerdeğiştirmeleri arasındaki bağıntılar
[p]ix = [k]ixix [d]ix + [k]ixjx [d]jx + [p0]ix
[p]jx = [k]jxix [d]ix + [k]jxjx [d]jx + [p0]jx
![Page 11: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Bilinmeyenler
Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir. n düğüm noktası sayısını göstermek üzere, düzlem çubuk sistemlerde 3×n, düzlem kafes sistemlerde ise 2×n adet bilinmeyen vardır.
Ortak eksen sisteminde düğüm noktalarındaki bilinmeyenler;D1
D2
D3
![Page 12: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Bilinmeyenler :
Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir.
D1D2
D3
![Page 13: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Eleman Eksen Takımlarındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri
![Page 14: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Sistem Ortak Eksen Takımındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri
D1D2
D3
![Page 15: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Dolu Gövdeli Sistemler Kafes Sistemler
Bilinmeyenler
D1D2
D3
D1D2
D3 D1
D2
![Page 16: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Bilinmeyenlerin Hesabında Kullanılan Denklemler(Düğüm noktalarının denge denklemleri)i sayılı düğüm noktasına ait denge denkleminin yazılması
00 ix
ij
ixjjx
ij
ixjxjj
ijixixix qPdkkd_
![Page 17: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/17.jpg)
17
qPdS 0
[S] : Sistem rijitlik matrisi[d] : Bilinmeyenler vektörü[P0] : Yükleme vektörü[q] : Düğüm noktaları yük vektörü
Denge denklemleri sistemin tüm düğüm noktaları için yazılırsa
![Page 18: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/18.jpg)
18
1
2
...
i
..
j
n
1 2 ....... i . ..... j ........... n
For Beam Elements [S]3nx3n [d]3nx1 [p0]3nx1 [q]3nx1
For Truss Elements [S]2nx2n [d]2nx1 [p0]2nx1 [q]2nx1
[k]ixix [k]ixjx
[k]jxix [k]jxjx
[d]ix [p0]ix [q]ix
[d]jx [p0]jx [q]jx
x + =
[S] [d] [P0] [q]
Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi
![Page 19: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi (Genel Yöntem)
1.Ankastre mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında denge denklemleri yazılmaz.2.Mafsallı mesnetlerde;
• Mafsallı mesnete birleşen çubukta, özel eleman rijitlik matrisi tanımlanır ve mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında denge denklemi yazılmaz.
• Mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmelere ait 2 adet satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Bu durumda mafsallı mesnette birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.
3.Kayıcı mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmeye ait satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Kayıcı mesnete birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.
![Page 20: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Kod parametreleri Yöntemi ile [S] Matrisinin Kurulması
Çubuk 1
Çubuk 2
Çubuk 3
12
3
4 5
6
7
8
Her çubukta, elemana ait yerdeğiştirme numaralarından oluşan kod parametreleri dizileri oluşturulur.
![Page 21: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/21.jpg)
21
[S] Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
Elemanların kod parametreleri dizileri
Sıra Uç. Kuv. 1 2 3
1 1 1 2 5
2 5 2 5 8
3 6 3 6 0
4 2 4 7 0
5 3 0 3 6
6 4 0 4 7
Çubuklar
![Page 22: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/22.jpg)
22
l m n
I
I
I
l m n
l kii kij kik kii kij kik
m kji kjj kjk kji kjj kjk
n kki kkj kkk kki kkj kkk
l I kii kij kik
m I kji kjj kjk
n I kki kkj kkk
Eleman Eksen Takımının Sistem Ortak Eksen Takımı İle Aynı Olduğu Sistemler
l
m
n
![Page 23: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Eleman Özellikleri
Çubuk I[m4] F[m2] L[m]
3-1 0.040 0.280 9.434
1-2 0.020 0.222 8.000
2-4 0.040 0.280 9.434
Örnek #1 : Dış yük etkisindeki 2D sistem
![Page 24: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu
![Page 25: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/25.jpg)
25
1 5 6
4EI/L 0 6EI/L2 16.960 0 2.697
[k]33 = 0 EF/L 0 = 0 29.680 0
6EI/L2 0 12EI/L3 2.697 0 0.572
1 0 0 1 0 0
[T2]3 = 0 -cos sin = 0 -0.848 -0.530
0 -sin -cos 0 0.530 -0.848
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu
![Page 26: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/26.jpg)
26
1 0 0
0 -0.848 0.53 [0]
0 -0.53 -0.848
1 0 0
[0] 0 0.848 -0.53
0 0.53 0.848
16.96 0 2.697 8.48 0 2.697
0 29.68 0 0 29.68 0
2.697 0 0.572 2.697 0 0.572
16.96 0 2.697
0 29.68 0
2.697 0 0.572
1 0 0 16.96 -1.429 -2.287 8.481 1.429 2.287
0 -0.848 0.53 [0] 21.504 -13.083 -1.429 -21.504 13.083
0 0.53 -0.848 8.748 -2.287 13.083 -8.748
1 0 0 16.96 1.429 2.287
[0] 0 0.848 0.53 21.504 -13.083
0 -0.53 0.848 8.748
[k]3x3x
[k]1x3x
[k]3x1x
[k]1x1x
![Page 27: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/27.jpg)
27
1 0 0 1 0 0
[T2]1 = 0 -1 0 [T2]2 = 0 1 0
0 0 -1 0 0 1
10 0 -1.875 5 0 1.875
0 27.75 0 0 -27.75 0
0.469 -1.875 0 -0.469
10 0 1.875
27.75 0
0.469
[k]1x1x [k]1x2x
[k]2x1x [k]2x2x
=
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (1-2) Çubuğu
![Page 28: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/28.jpg)
28
1 0 0
0 0.848 -0.53 [0]
0 -0.53 0.848
1 0 0
[0] 0 0.848 0.53
0 -0.53 0.848
16.96 0 2.697 8.48 0 2.697
0 29.68 0 0 29.68 0
2.697 0 0.572 2.697 0 0.572
16.96 0 2.697
0 29.68 0
2.697 0 0.572
1 0 0 16.96 1.429 -2.287 8.481 -1.429 2.287
0 -0.848 0.53 [0] 21.504 13.083 1.429 -21.504 -13.083
0 -0.53 -0.848 8.748 -2.287 -13.083 -8.748
1 0 0 16.96 -1.429 2.287
[0] 0 0.848 -0.53 21.504 13.083
0 0.53 0.848 8.748
[k]3x3x
[k]1x3x
[k]3x1x
[k]1x1x
Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (2-4) Çubuğu
![Page 29: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/29.jpg)
29
1 2 3 4 1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden
Sonra
Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
![Page 30: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/30.jpg)
30
1 2 3 4 1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden
Sonra
3-1, 1-2 ve 2-4 Çubuklarının Yerleştirilmesinden Sonra
Mesnetlere Karşılık Gelen 3 ve 4 Ayrıldıktan Sonra
Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
1 2
1
2
![Page 31: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/31.jpg)
31
1 2
26.960 1.429 0.412 5 0 1.875
1 49.254 -13.083 0 -27.750 0
9.217 -1.875 0 -0.469
26.960 1.429 -0.412
2 49.254 13.083
9.217
Sistem Rijitlik Matrisi
Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması
![Page 32: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/32.jpg)
32
1.042 1.042
[p0]3x = -1.250 [p0]1x = -1.250
0 0
Dış Yükler İçin Yük Vektörünün Elde Edilmesi
![Page 33: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/33.jpg)
33
-1.042
-1.250
[p0]1x 0
[p0]2x 0
0
0
=[p0]=
Dış Yükler İçin [P0] Yük Vektörünün Elde Edilmesi
![Page 34: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/34.jpg)
34
0.0416
0.1748
[d]1x 0.2345
[d]2x -0.0031
0.1568
-0.2198
=[d]=
Dış Yükler İçin Hesap
Yerdeğiştirmelerin Hesabı
qPdS 0
![Page 35: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Çubuk 3-1 1-2 2-4
2.181 -0.45 0.673
[P]3 1.77 [P]1 -0.50 [P]2 -0.497
0.941 -0.141 0.145
0.450 -0.674 0.699
[P]1 -0.350 [P]2 -0.500 [P]4 -0.497
-0.384 -0.141 0.145
= = =
= = =
Dış Yükler İçin Çubuk Kuvvetleri
![Page 36: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Örnek #2 ye ait PDF dosyası ....
![Page 37: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/37.jpg)
37 11 mxmxmxm qdS
n = 4 3n = 12 degrees of static freedom
m = 4 < 3n = 12 degrees of static freedom
n = 4 ; 3n = 12 statik serbestlik derecesi
m = 4 statik serbestlik derecesi
131333 nxnxnnx qdS
Yatay Rijitlik Matrisi(İndirgenmiş Sistem Rijitlik Matrisi)
![Page 38: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/38.jpg)
38
The stiffness matrix
1 2 3 4
1
2
3
4
[S] Sistem Rijitlik Matrisi
D1D2
D3
![Page 39: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/39.jpg)
39
The stiffness matrix
1 2 3 4
1
2
3
4
Mome
nt Dü
şey İzd
üşüm
Yatay
İzdüşü
m
[S]r Yeniden Dizilmiş Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)
Nasıl Yapılıyor?
![Page 40: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/40.jpg)
40
The stiffness matrix
1 2 3 4
1
2
3
4
[ 0 ]
[ S ]
[S]r Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)
Gauss Eleme
Yöntemi İle
İndirgeme
![Page 41: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/41.jpg)
41
The stiffness matrix
Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması
![Page 42: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/42.jpg)
42
The stiffness matrix
Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması
Kod Parametreleri
Sıra UçKuv. 1 2 3 4 5 6 1 1 0 5 1 5 2 6 2 5 5 1 2 6 6 0 3 6 10 9 9 10 10 0 4 2 7 3 4 8 8 0 5 3 0 10 9 10 9 10 6 4 0 7 3 7 4 8
![Page 43: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması
![Page 44: matris deplasaman yöntemi](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081504/5571fa764979599169924333/html5/thumbnails/44.jpg)
44
f11 f12
f12 f22 [F]= 1 FS
Yatay Rijitlik Matrisinin Bir Diğer Yolla Elde Edilmesi