MaTriks

5/27/2018 MaTriks

1/20

Matematika II Page 1

Matriks

Definisi : Susunan elemenelemen yang berbentuk persegi panjang yang diatur

dalam baris dan kolom dan dibatasi oleh sepasang tanda kurung ataupun kurung

siku.

Bentuk Umum : A = ( ) atau A = [ ]Notasi matriks menggunakan huruf besar ( capital )

Ordo matriks / Ukuran matriksm x n

Jumlah baris = m

Jumlah kolom = n

Elemen matriks : aij, dapat berupa susunan bilangan atau fungsi .

Elemenelemen : a11, a22, a33,, amn merupakan elemen diagonal dari suatu

matriks

Kesamaan Matriks.

Matriks disebut sama, bila : Ordoordonya sama dan elemenelemen yang

seletak sama.

Bila matriks A = ( aij ) dan B = ( bij )

Matriks A = B jika aij = bij untuk semua i = 1,2,3,m dan j = 1,2,3,n.

Contoh : A2x2 =

B2x2=

C2x3= *

+Matriks A = B ; Matriks A C ; B C ukuran matriks A C; B C

OPERASI ALJABAR MATRIKS.

1. Jumlah / Selisih Matriks .

5/27/2018 MaTriks

2/20


Berlaku untuk matriks yang berukuran sama

Jika A = ( aij ) dan B = ( bij ) dua matriks mxn ,

maka : A B = ( aij bij ) = C ( cij ) ukuran m x n.

Contoh : Matriks A = ; Matriks B = maka ;A + B = = dan

A- B = = 2.Perkalian Matriks .

Syarat perkalian matriks : Jika matriks A berukuran m x n dan

B berukuran p x q maka :

1. Perkalian matriks AB bisa dibentuk hanya jika n = p.

Sehingga AB = C berordo m x q.

Contoh ; matriks A2x3= * + B3x3= [ ]

Maka : AB = C2x3=

AB= C = * +2.Perkalian matriks BA bisa dibentuk hanya jika q= m.

5/27/2018 MaTriks

3/20


Sehingga BA = C berordo p x n .

Contoh : B3x2=

[

] A2x2=

Maka : BA = C3x2= [ ]Sifat Operasi Matriks

1. A + B = B + A hukum komutatif.

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C hukum asosiatif

3. k ( A B ) = k A k B = ( A B ) k k scalar

4. Terdapat suatu matriks D sedemikian sehingga A + D = B

5. A ( B C ) = AB AC hukum distributive pertama

6. ( A B ) C = AC BC hukum distributive kedua

7. A ( BC ) = ( AB ) C hukum asosiatif

Akan tetapi :

1. AB BA , secara umum

2.Jika AB = 0 ; tidak selalu A= 0 atau B= 0

3.Jika AB = AC tidak selalu B= C.

Matriks Transpose

Matriks berordo n x m yang diperoleh dari penukaran baris dengan kolom matriks

A mx n disebut transpose dari A. Dan dinyatakan olehA ( = A transpose ).

Contoh : A2x3 = * + A3x2= [ ]

5/27/2018 MaTriks

4/20


Sifat Matriks Transpose :

1. ( A + B )

= A

+ B

2. ( A) = A

3. k ( A) = ( k A ) k adalah suatu scalar

4. ( AB ) = BA

Beberapa Jenis Matriks Khusus :

1. Matriks bujur sangkar. Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom

A = ( ) A matriks bujur sangkar ukuran nxn.Diagonal utama matriks A yaitu : a11, a22, , ann.

Contoh : A2x2 = 2. Matriks Diagonal yaitu matrik bujur sangkar yg semua elemen diluar diagonal

utama adalah nol.

Dengan kata lain ; aij adalah matriks diagonal bila aij = 0 untuk i j.

Matriks diagonal sering ditulis sebagai : D = diag ( a11, a22, a33,,ann ).

Jika dalam matriks diagonal D , a11 = a22 = a33== k , maka D disebut matriks

scalar.

Jika k = 1 maka matriks D disebut matriks satuan ( matriks identitas = I ).

5/27/2018 MaTriks

5/20


Contoh : 1.D3x3=[ ] D matriks diagoanal 3x3

2. D3x3= [ ] D matriks scalar dengan nilai k= 3.3.Matriks Satuan ( Matriks Identitas ) yaitu suatu matriks diagonal yang elemen

diagonal utamanya semua = 1sedang elemen yg lain adalah nol.

Matriks Identitas biasa ditulis I atau Indimana n menunjukkan ukuran matriks

bujur sangkar tersebut.

Contoh : 1. I3= [ ]2. D3x3= [ ]= 3 [ ] = 3 I4.Matriks Nol : adalah matriks dimana semua unsurnya nol .

5.Matriks Segitiga Bawah. Matriks bujur sangkar yg semua elemen diatas

diagonal utama = 0.

Contoh : A = [ ]6.Matriks Segitiga Atas. Matriks bujur sangkar yg semua elemen dibawah diagonal

utama = 0.

Contoh : A = [ ]7.Matriks Simetris .

5/27/2018 MaTriks

6/20


Matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri A = A.

Dalam hal ini matriks simetris haruslah matriks bujur sangkar.

Contoh : A = [ ]A = [ ]8. Matriks Idempotent. Bila berlaku : A A = A 2= A. Dikatakan matriks bujur

sangkar A adalah matriks yg idempotent.

Contoh : A = [ ] maka A2

= A. ( Buktikan ).

9. Matriks Nilpotent.Bila Ar= 0 , dikatakan A Nilpotent dengan indeks r.

Dimana r adalah bilangan bulat positif yg terkecil yang memenuhi hubungan

diatas.

Contoh : A = [ ] adalah nilpotent. Buktikan.Soal Seri Buku Schaum Matriks hal 17 no 25.

Determinan Matriks

1.Permutasi :

Susunan bilangan bilangan ( j1,j2,.jn ) dimana berlaku ji jk untuk i k ( i

dan k = 1,2,n ) serta jisalah satu dari bilangan asli disebut suatu permutasi.

Contoh : 1. Untuk n buah bilangan asli 1, 2, 3,,n banyaknya permutasi yg

dapat di bentuk yaitu n ! = n ( n-1 )(n-2)(n-3).2.1.

5/27/2018 MaTriks

7/20


Misal n= 3, terdapat 3! = 3.2.1= 6 permutasi yaitu : ( 1,2,3 ), ( 1,3,2), ( 2,1,3), (

2,3,1 ), ( 3,1,2), ( 3,2,1 ).

2. Inversi . Yang dimaksud dengan sebuah inverse pada suatu permutasi (

j1,j2,jn) ialah adanya jk< ji ( jkmendahului ji ) padahal j1< jk ( i dan k = 1,2,n

).

Contoh : 1.Untuk permutasi ( 2134 ) ; mempunyai 1 inversi.

j1 = 2 mendahului j2= 1 , padahal 1 < 2.

Contoh : 2. Untuk permutasi ( 3 4 1 2 ) . Berapa banyaknya inversi ? ( 4 )

2.Permutasi Genap dan Ganjil

Jika banyakanya inverse suatu permutasi adalah bilangan ganjil maka

disebut permutasi ganjil dan sebaliknya disebut permutasi genap.

Pada contoh 1 jumlah inversi 1 maka dinyatakan memiliki permutasi ganjil.

Dan contoh 2 jumlah inversi 4 maka dinyatakan memiliki permutasi genap.

Misalkan ( j1,j2,,jn) suatu permutasi, maka tanda ( sign ) dari permutasi

tersebut ditulis ( j1,j2,jn ) adalah : ( j1,j2,jn ) = +1 bila ( j1,j2,jn ) genap

. Dan -1 bila ( j1,j2,jn ) ganjil.

3.Determinan

Defenisi : Determinan dari matriks bujur sangkar A berordo n , dinyatakan oleh

||adalah jumlah semua n ! hasil kali bertanda yang berlainan dari elemen

elemen matriks A tersebut.

Det.( A ) = ||= (j1j2jn) a1j1 a2j2.anjn.Contoh : 1. Hitung determinan dari matriks ordo 2 dan ordo 3.

5/27/2018 MaTriks

8/20


Jawab :

Determinan matriks ordo 2 atau n = 2 ( 2! = 2 )

= 12a11a22 +21a12 a21 = a11 a22 a12 a21Determinan matriks ordo 3 atau n = 3 ( 3! = 6 ) = 123a11a22 a33 + 132a11a23 a32 + 213a12a21 a33 +

231a12a23 a31 +312a13a21 a32 + 321a13 a22 a31

= (+) a11a22 a33 - a11a23 a32 - a12a21 a33 + a12a23 a31 +

a13a21 a32 - a13 a22 a31.

= a11 ( a22 a33 - a23 a32 ) - a12 ( a21 a33 - a23 a31) +

a13( a21 a32 - a22 a31 ).

= a11 - a12 + a13 Contoh : 2. Hitung Determinan Matriks

= 2 { 0.(-6) (-2)(-5) } (-3) { 1.(-6) (-2).0} + (-4) { 1.(-5) 0.0 }= 2 ( -10 ) (-3) ( -6 ) + (-4) (-5 ) = -20-18 + 20 = -18

Ada beberapa cara untuk menghitung nilai determinan matriks.

1. Cara Sarrus. Hanya berlaku untuk matriks ukuran 3 x 3.

Contoh : 1.Hitung ||= .

5/27/2018 MaTriks

9/20


= ptx + quv + rsw rtv puw qsx.

Contoh : 2. Hitung ||= = Jawab : ||= 0

2. Dengan Metode Kofaktor

Matriks kwadrat A ukuran nxn, dihilangkan baris ke- i dan kolom j, maka

determinan dari matrik kwadrat dengan ( n- 1) baris dan ( n- 1 ) kolom atau sisa

matriks yg tersedia disebut Minor Matriks dari elemen aij. Dilambangkan

dengan ||Kofaktor dari elemen aij suatu matriks dilambangkan dengan Kij.

Dan Kij = (-1) i+j||Determinan dari matriks A = Jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang

baris/ kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

a) Dengan penguraian baris ke -i

Det.(A) = ai1. Ki1 + ai2.Ki2 + + ain Kin = b) Dengan penguraian kolom ke-j

Det.(A) = a1i. K1i + a2i.K2i + + ani Kni =

Contoh : 1. Hitung determinant dari matriks A = = ..Jawab : Kita uraikan menurut baris 1 .

a11 = 1 ; a12 = 2 ; a13 = 3

5/27/2018 MaTriks

10/20


K11 = (-1 ) 1+1 = (-1)2{ 3.7 -5.4 } = + { 21 20 } = 1K12 = (-1 ) 1+2

= (-1)3{ 2.7 1.4 } = - { 14 4 } = -10

K13 = (-1 ) 1+3 = (-1)4{ 2.5 1.3 } = { 10 3 } = 7Det.(A) = a11.K11 + a12 . K12 + a13. K13 = 1.1 + 2 . (-10 ) + 3 . 7 = 2

Contoh : 2. Hitung ||= = .Uraikan menurut baris 1 dan kolom 1.

||= 39

3.Ekspansi Laplace

Digunakan untuk menghitung determinan suatu matriks ordo n, untuk n > 3.

Dalam hal ini kita menggunakan ekspansi Laplace terhadap beberapa baris /

kolom.

Misal akan diekspansikan m buah baris, maka :

Det (A) = { Ai1,i2,.ir,j1,...jr} { l Mir+1,ir+2,in,jr+1,jr+2,,jnl }Dimana { l Mir+1,ir+2,in,jr+1,jr+2,,jnl } adalah minor- minor yang mungkindibentuk tanpa mengikut sertakan r baris baris yg diekspansikan ( jadi ordo

matriks minor- minor tersebut n-r ).

Dan Ai1,i2,.ir,j1,...jr = ( -1 )i1+i2+.+j1+j2++jr l Mir+1,ir+2,in,jr+1,jr+2,,jnl

Dimana l Mir+1,ir+2,in,jr+1,jr+2,,jnl adalah minor minor yang mungkin

dibentuk oleh baris yg diekspansikan ( jadinya ordonya r ). Untuk ekspansi

kolom dapat diterangkan dengan cara yg sama.

Contoh 1. Gunakan Ekspansi Laplace pada baris ke-2 dan baris ke -4 untuk

menghitung determinan matriks A berikut :

5/27/2018 MaTriks

11/20


A =

=

Jawab : Hitung nilai Ai1,i2,ji,j2 ( i = 2,4 ; j =1,2,3,4 )

A2,4 ;1,2 = (-1) 2+4+1+2 = -3A2,4 ;1,3 = (-1) 2+4+1+3

= -2

A2,4 ;1,4 = (-1) 2+4+1+4 = 3A2,4 ;2,3 = (-1) 2+4+2+3 = 6A2,4 ;2,4 = (-1) 2+4+2+4

= -15

A2,4 ;3,4 = (-1) 2+4+3+4 = - 4Selanjutnya dihitung nilai l Mi3,i4 ; j3,j4l ( i= 1, 3 ; j =1,2,3,4 )

l M1,3 ; 1,2l = = 0l M1,3 ; 1,3l =

= -4

l M1,3 ; 1,4 l = = 4l M1,3 ; 2,3 l = = - 2l M1,3 ; 2,4 l = = 2

5/27/2018 MaTriks

12/20


l M1,3 ; 3,4 l = = 8Untuk menghitung nilai determinan kita lakukan penjumlahan atas perkalian

pasangan pasangan Ai1,i2,ji,j2 dan l Mi3,i4 ; j3,j4l .

Dan perhatikan bahwa j1, j2dan j3, j4harus berbeda supaya pasangan pasangan

tidak salah. Contoh pasangan dari A2,4; 1 2 adalah l M 1,3 ; 3,4l ; pasangan dari

A2,4; 2, 4 adalah l M 1,3 ; 1,3l dan seterusnya.

Det ( A ) = ( -3 ) .8 + (-2).2 + 3.(-2) + 6. 4 + ( -15 ) . ( -4) + ( -4 ).0 = 50.

Contoh : 2. Gunakan Ekspansi Laplace untuk menghitung determinan matriks

B berikut :

B =

= 38

Sifat Sifat Determinan

1.Jika setiap elemen suatu baris ( kolom ) suatu matriks bujursangkar A bernilai

nol , maka Det.(A) = 0.

Contoh : 1. Hitung determinan matriks A = =..Jawab : Det. ( A ) = 0. Buktikan.

5/27/2018 MaTriks

13/20


Contoh : 2. Hitung determinan matriks B = = ..Jawab : Det. ( B ) = 0. Buktikan.

2. Det. ( A ) = Det.( Ar).

Contoh : 1. Det. ( A ) = = 21. Maka Det. ( At) = 21. Buktkan.3.Harga determinan menjadi k kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan k

( suatu scalar ).

Contoh : 1. Det.(A) = = -2. Baris 1 dari matriks A kita kalikandengan 2 diperoleh matriks baru, B = .Maka Det. (B ) = 2 . Det.( A ) atau Det.(B) = 2 = 2. (-2) = -4.Buktikan.

4.Jika matriks B diperoleh dari A dengan cara mempertukarkan dua baris /

kolom maka Det. (B) = - Det.(A).

Contoh : 1. Matriks A =

baris 1 kita tukar menjadi baris 3 dan baris

3 menjadi baris 1. Diperoleh matriks baru B = Det. ( A ) = -4 makaDet. (B) = - Det.( A ) = - ( -4 ) = 4. Buktikan.

5/27/2018 MaTriks

14/20


5.Jika dua baris / kolom dari matriks A identik , maka Det.(A) = 0

Contoh : 1. Det.(A ) =

= 0 . Buktikan.

6.Harga determinan tidak berubah apabila baris / kolom ke-i ditambah dengan

suatu kelipatan scalar k baris/ kolom ke-j. ( k bilangan scalar ).

Contoh : 1. Matriks A = baris 1 matriks Aditambah dengan 3 xbaris ke 2 matriks A, diperoleh matriks baru B =

Det.( A ) = - 5. Dan Det.(B) = - 5. Det.( A ) = Det. (B ) = -5. Buktikan.

Akibatnya bila terdapat baris / kolom nilainya berkelipatan maka harga

determinan = 0

Contoh : 1. Det.( A ) =

= 0. Baris 3 dari matriks A merupakankelipatan 2 dari baris 2.

7. Det. (AB) =Det.( A) . Det.(B) Atau | |= || ||Contoh : 1. Matriks A = [ ] ; matriks B = [

]Dan matriks A.B =

[ ]

.

[ ]

=

[ ]

maka Det.(AB) = = - 42.

5/27/2018 MaTriks

15/20


Matriks A = = 21 dan Matriks B = = -2

|| || = 21. (-2 ) = -42. Jadi

| |=

|| ||

Kesetaraan Matriks

1.Transformasi Elementer

Operasi - operasi berikut, disebut transformasi elementer pada suatu matriks

tanpa mengubah ordo atau rang matriks.

Pertukaran baris ke i dengan baris ke j dinyatakan oleh Hij. Baris ke idijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i.

Contoh : Matriks [ ]H23 [ ]. Elemen Baris ke 2

ditukar dengan baris ke 3.

Pertukaran kolom ke i dengan kolom ke j dinyatakan oleh Kij.Kolomke i dijadikan kolom ke j dan kolom ke j dijadikan kolom ke i.

Contoh : Matriks [ ]K12[ ]Elemen kolom ke 1

ditukar dengan kolom ke 2.

Perkalian setiap elemen baris ke i dengan suatu scalar k yg tidak nol,dinyatakan oleh Hi (k).

Contoh : Matriks [ ]H2 (3) [ ]Elemen baris ke 2

dikali dengan 3.

5/27/2018 MaTriks

16/20


Perkalian setiap elemen kolom ke i dengan suatu scalar k yg tidak nol,dinyatakan oleh Ki (k).

Contoh : Matriks [ ]K3(-2) [ ]Elemen kolom3 dikali dengan (-2).

Menambah baris ke i dengan k kali baris ke j, ditulis Hij (k) .

Contoh : Matriks [

]H12(-2) jadi A1 = [

]H12(-2) : Baris 2 matriks A di kali (-2 ) lalu ditambahkan ke baris 1 ;

hasilnya menjadi elemen baris 1 pada matriks A1.

Atau : (-2) b2(A ) + b1(A) = b1( A1)

(-2) kali 1 + 2 = 0 ; (-2 ) kali -3 + 1 = 7 ; (-2 ) kali 4 + 1 = -7.

Menambah kolom ke i dengan k kali kolom ke j, ditulis Kij (k) .

Contoh : Matriks B = [ ]K23(1) jadi B1= [ ]K23(1) : Kolom 3 matriks B di kali (1) lalu ditambahkan ke kolom 2 ; hasilnya

menjadi elemen kolom 2 pada matriks B1.

Atau : (1) k3( B ) + k2( B ) = k2(B1).

(1) kali (-7) + 7 = 0 ; (1) kali 4 + (-3) = 1 ; (1) kali (-2) + 5 = 3

Catatan : 1. Transformasi H = transformasi elementer baris

2. Transformasi K = transformasi elementer kolom.

5/27/2018 MaTriks

17/20


2. Rang Matriks ( r ). Matriks tak-nol A dikatakan mempunyai rang r jika

paling sedikit satu dari minor bujur sangkar r x r tidak sama dengan nol.

Atau Rang ( r ) dari matriks menyatakan jumlah maksimum vector-vektor baris

/ kolom yg bebas linier ( elemennya tidak sama dengan nol ).

Matriks nol disebut mempunyai rang 0.

Contoh : 1. Rang dari A = [ ] adalah r = 2 karena = - 1 0Sedangkan Det.(A) = 0.Maka matriks A disebut matriks singular.

Matriks Singulir , jika Det.(A) = 0 dan r (A) < n.

Matriks Singulir tidak mempunyai invers.

Matriks Non- Singulir , jika Det.(A) 0, dan r = n.Mempunyai invers.

Contoh : 2. A = [

]H21(-2) [

]H31(1)[ ]H32(-1) [ ] = BDet.(A) = 0 dan semua minor 3 x 3 dari B = 0. Tetapi minor 2 x 2 tidak nol,

yaitu : = -17 0. Matriks A mempunyai rang = 2.Dari | |= || || dapat diturunkan :Hasil kali dua atau lebih matriks matriks bujur sangkar n x n yang tak

singular adalah tak singular.

Hasil kali dua atau lebih matriks bujur sangkar n x n adalah singular jika paling

sedikit satu diantara matriks itu adalah singular.

5/27/2018 MaTriks

18/20


3. Matriks Setara

Dua matriks A dan B disebut setara, A ~ B, jika yang satu diperoleh dari yang

lainnya melalui serangkaian transformasi elementer.

Matriks setara mempunyai rang sama.

Contoh : 1. Dengan serangkaian transformasi elementer terhadap matriks A,

tentukan matriks setara B (A ~ B ). Tentukan juga rang nya.

(a). A = [

]A = [ ]H21(-2) [ ]H31(1)[ ]H32(-1) [

] = BDet.(A) = 0 dan semua minor 3 x 3 dari B = 0. Tetapi minor 2 x 2 tidak nol,

yaitu :

= -17 0. Maka rang B = 2 ; karenanya rang A = 2.

Dalam hal ini rang diperiksa secara jelas, harus dibandingkan dengan

perhitungan berbagai minor dari A.

(b) A = [ ]H21(-2) ; H31(-3) [ ]H2(-1/3) ; H3(-1/4) [

]H32(-1)

[ ] = B.

Rang B = 3. Maka rang A = 3.

5/27/2018 MaTriks

19/20


6.Seutas tali yg panjangnya 116 cm, direntangkan mendatar. Salah satu ujungnya

digetarkan dan yg satunya lagi terikat. Frekuensi getaran 1/6 Hz, amplitude 10 cm.

Akibat getaran terbentuk gelombang berjalan dengan kecepatan 5 cm/s.

Tentukan :

a). Amplitudo gelombang hasil interferensi dititik yang berjarak 108 cm dititik

asal getaran.

b). Letak perut dan simpul ke 3 dari titik asal getaran.

7.Sebuah pengeras suara pada suatu konser rock menghasilkan 10-2

W/ m2

pada

jarak 40 m dengan frekuensi 1 KHz. Anggap bahwa pengeras suara menyebarkan

energinya secara seragam pada setengah bola bagian muka dan tak ada energy yg

terpantulkan dari tanah atau dari manapun sehingga Intensitas dinyatakan

dengan I = P / 2 r2

.

a).Berapakah tingkat intensitas pada jarak 40 m ?

b). Berapakah keluaran daya akustik total dari pengeras suara ?

c).Pada jarak berapa tingkat intensitas akan berada pada ambang sakit 120 dB.

d). Berapakah tingkat intensitas pada jarak 60 m ?

5/27/2018 MaTriks

20/20


8. Sumber bergerak dengan laju 60 m /s relative terhadap udara tenang menuju

pendengar diam.

a). Hitung gelombang bunyi antara sumber dan pendengar.

b). Carilah frekuensi yg di dengar oleh pendengar.

MaTriks

Documents

Transcript of MaTriks