MATRIKS

Matriks ialah susunan bilangan yang berbentuk persegi panjang diatur menurut baris dan kolom (lajur).

1. Pengertian matriks

o Bilangan-bilangan tersebut dinamakan unsur-unsur matriks.o Susunan unsur-unsur matriks itu dibatasi dengan tanda kurung.

Contoh :

963

352

123

A 33 Baris ke 2

Kolom ke 1

o A adalah lambang huruf untuk matriks.o A3x3 artinya matriks berordo 3x3 mempunyai 3 baris dan 3 kolom.o Unsur baris ke-I dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan aixj

Pengertian Notasi dan Ordo Suatu Matriks

a. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris (m) dan diikuti banyaknya kolom (n) = Amxn

b. Contoh : a2x3 = adalah matriks A berordo

a. Matriks persegi (bujur sangkar) matriks yang banyaknya

baris sama dengan banyaknya kolom.

b. Matriks baris adalah matriks yang mempunyai satu baris

(A11xn)

2. Ordo suatu matriks

3. Jenis-jenis matriks

4. Transpose suatu matriks a. Transpose dari matriks (Amxn) dinotasikan dengan A’. b. A = Anxm yaitu matriks yang barisnya menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

Contoh : Tentukan ordo dari matriks berikut ini :

6

3

4

1

5

2

A maka 6

1

3

5

4

2A : Contoh t

2x3

6

4

7

3

8

2

9

1 B b.

569

324

153

A a.Jawab : B2x4

Jawab : A3x3

B. Kesamaan Dua Matrikso Dua buah matriks A dan B dikatakan sama

(A=B), jika dan hanya jika berordo sama dan unsur yang seletak juga sama.

3 y 93y 3;x : Jawab

5392 5x

3y2 jika y danx Hitunglah

: Contoh

C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

4

3

2

1

7

2

3

4 : contoh b.

1. Penjumlahan Matriks (A+B) a. Jika A dan B adalah matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan B (ditulis A+B) adalah matriks baru yang diperoleh dari menjumlahkan setiap unsur A dengan unsur yang seletak pada B

7

5

9

5

43

32

27

14

2. Matriks Nol

a. Matriks nol adalah matriks yang semua unsurnya nol

dan dinotasikan dengan 0.A0AA0 sifat 0 : contoh b. 2x3

000

000

3. Lawan Suatu Matriks• Matriks B disebut lawan (negatif)

dari matriks A, jika setiap unsur matriks B merupakan lawan (negatif) dari unsur matriks A yang seletak, maka B = -A

• Maka berlaku : A – B = A + (-A) = 0

3-2-4-01-3-

(-A) lawannya maka 324-0

13A

: contoh

2x3

4. Pengurangan Matriks• Pengurangan matriks A dengan matriks B = (A-B) dengan menjumlahkan matriks A dengan lawan matriks B

! B-A tentukan 53

24B dan

31

54A Jika

: contoh

2-2-3 0

5-3-2-4-

3154

5324

3154 B - A

: Jawab

5. Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks

• Komutatif : A+B=B+A• Assosiatif : (A+B)+C=A+(B+C)• Terdapat sebuah matriks identitas

penjumlahan yaitu dimana A+0=0+A=A

• Setiap matriks A mempunyai lawan (negatif) yaitu –A dimana A+(-A) = 0D. Perkalian Bilangan Real (skalar)

dengan MatriksoJika k suatu bilangan real dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

d c

b a

d c

b ak kA maka

d c

b a A matriks Misal

2B-5A : Tentukan

1 3

4 2- B dan

5 1-

2 3 A : Contoh

23 11-

2 19

2 6

8 4-

25 5-

10 15

1 3

4 2-2

5 1-

2 3 5 2B-5A

: Jawab

E. Perkalian Matriks

Dua macam perkalian matriks yang kita kenal, yaitu :1. Hasil kali (dot product) dari dua matriks yaitu suatu matriks baris 1 x n dengan suatu matriks kolom n x 1 yang didefinisikan sebagai berikut :

nn221n321 bababa

b

.

.

b

b

b

. aaaa

.......... 1

2. Hasil kali matriks (matriks product) suatu matriks A yang berordo m x p dengan suatu matriks B yang berordo p x n adalah pada matriks C yang berordo m x n.

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matrik A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

F. Invers Matriks Bujur Sangkar

• Jika A dan B ordo n x n, maka B invers A dan B adalah invers dari A. Jika dan hanya jika AB = BA = I I = matriks identitas

• Dengan demikian, B adalah invers dari A ditulis B=A-1

• Oleh karena itu BA=I dan B=A-1, maka A-1.A=I

• Dapat pula dikatakan bahwa A . A -1 = 1

Sehingga : jika A-1 ada, maka kita katakan bahwa A invertibel atau nonsingular.

• Tidak semua matriks bujur sangkar invertibel.

• Oleh karena tidak ada matriks yang jika dikalikan dengan A menghasilkan identitas, maka A tidak invertibel.• Mencari invers matriks bujur sangkar ordo 2 x 2 dapat dilakukan seperti berikut :

1dycx 0dycx

0byax byax

: yaitupeubah, 4 dengan persamaan empat ada demikian Dengan

2211

2211

1

10

01

dycxdycx

byaxbyax

yy

xx

dc

ba

maka ,yy

xx adalah

dc

ba matriks invers Dengan

2211

2211

21

21

21

21

bc-adc-

y bc-adb-

x bc-ad

dx

: hasil diperoleh dapat persamaan keempat Dari

121

bc-ad dc

ba ditulis

dc

ba matriks suatu dari determinan disebut bc-ad Harga

ac-

b-d

bc-addc

ba

ac-

b-d

bc-adbc-ad

abc-adc-

bc-adb-

bc-add

yy

xx

: adalah dc

ba matriks dari invers Jadi

21

21

1

1

1

(singular) invers mempunyaitidak dc

ba matriks maka 0,

dc

ba Jika

0 dc

ba jika hanya dan jika l)(invertibe invers mempunyai

dc

ba Matriks

H. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

SarrusMetode dinamakan tersebut cara dengan detrminan Mencari

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A adalah A matriks Determinan

aaa

aaa

aaa

A

332112322311312213322113312312131211

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

3332

232221

131211

31 + + + - - -

I. Minor dan Kofaktor Jika dalam suatu determinan A elemen-elemen

dari baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan, determinan yang tertinggal disebut minor dan kofaktor dari determinan A dan dinyatakan dengan Mij

131312121111

111111

113332

2322 11

11

333231

232221

131211

MaMaMa A

M M (-1)a bagi kofaktor dan aa

aa M

: ialah a bagi minor maka dihitung, pertama kolom dan pertama baris pada elemen-elemen Jika

aaa

aaa

aaa

A Misalkan

J. Adjoint Matriks Ordo 3 x 3 Jika A = (aij) adalah suatu matriks persegi

ordo 3 x 3 dengan elemen-elemen aij dan kofaktor aij, maka adjoint A ialah :

333231

232221

131211

A Adj.

K. Invers Matriks Ordo 3 x 3

A Adj. A1

A 1