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Astrid lvarez C.1

Algebra lineal

Matrices

Una matrizA un arreglo rectangular de nmeros dispuestos en m renglones (filas) y ncolumnas.

Nota: Los vectores son matrices de un rengln o una columna.

A= es una matriz 2x2B= [

]es una matriz 3x3

[ ] es una matriz 3x2

es la matriz cero de 2x4

Ej1:Encuentre la componente (1,2) y (2,1) de cada una de las cuatro matrices anteriores.

Igualdad de matricesDos matrices son iguales si:

1) Son del mismo tamao.2) Las componentes correspondientes son iguales.

Ej2:

[ ] [ ]

Suma de matrices

Nota: La suma de dos matrices se define nicamente cuando las matrices son del mismo tamao.

Fila 1

Columna 1

La componente o elemento ijde A, denotado por es elnmero que aparece en la fila iy la columnajdeA=.NOTACIN: Las matrices se denotarn con letrasmaysculas A, B, C,etc.

SeanA=yB= dos matrices , la suma deA yBes la matriz ,A+B, dada por:A+B=

La matrizA+Bde tamao se obtiene al sumar las componentes correspondientes deAyB.

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Ej3:

Multiplicacin de una matriz por un escalar

Ej4:

Propiedades de la suma y producto por escalar de matrices: SeanA, By Ctres matrices y seany dos escalares. Entonces:

1) A+0 =A

2) 0A=0

3) A+B=B+A4) (A+B)+C=A+(B+C)

5) (A+B)=A+B6) 1A=A

SiA=es una matriz y si kes un escalar, entonces la matriz , kA, est dada por:kA=

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Producto de matricesDos matricesAyBse dicen multiplicables si el nmero de columnas deAcoincide con el nmero de filasdeB.

El elemento de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila ide la

matrizApor cada elemento de la columnajde la matrizBy sumndolos.

Ej5:Para un caso de matrices 4x4:

Ej6: [

] y B=

[ ]

Propiedades del producto de matrices

Sean A, B Y C matrices. Siempre que sea posible efectuar los productos indicados, de acuerdo con la

condicin anterior, se verifica:

1. (AB)C = A(BC )2. A(B + C ) = AB + AC3. AB BA

Ejr: Consultar al respecto del producto de matrices por bloques.

3x2 2x2

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Tipos especiales de matrices

Matriz fila:Est constituida por una sola fila.

Ej7:

Matriz columna:Est constituida por una sola columna.

Ej8: Matriz rectangular:Tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su dimensin mxn.

Ej9: [

] Matriz cuadrada: Tiene el mismo nmero de filas que de columnas. LaDiagonal principalde

una matriz cuadrada es la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquinainferior derecha, esto es, todos los elementos de la forma aii.

Ej10: [ ] Matriz nula: Todos los elementos son ceros.

Ej11:

Matriz triangular superior:todos los elementos ubicados por debajo de la diagonal principalson ceros.

Ej12: [ ] Matriz triangular inferior:Todos los elementos sobre la diagonal principal son ceros.

Ej13:

[ ]

Matriz diagonal:Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principalson ceros.

Ej14: Matriz escalar:Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal son iguales.

Ej15: [ ]

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Matriz identidad (I):Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principalson iguales a 1.

Ej16: I = [

] Matriz traspuesta:Dada una matriz A, se denomina Matriz Traspuesta de A (A t) a la matriz

que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Ej17: [ ] [ ]

Matriz simtrica: Es una matriz que verifica: A=At.

Ej18:

Matriz antisimtrica: Es una matriz que verifica: A=-At.

Ej19: [ ] Matriz ortogonal:Es una matriz que verifica: AA t=I.

Ej20:

[

] Matriz idempotente:Es una matriz que verifica: A2=A.

Ej21: [ ] Matriz involutiva: Es una matriz que verifica: A2=I.

Ej22: Matriz nilpotente: Es una matriz que verifica: Ak=0. Para algn

. (k: ndice de

nilpotencia).

Ej23: [ ] La matriz Ej23 es nilpontente de orden 2, es decir k=2.

Inversa de una matriz

Sean A yB dos matrices denxn. Suponga que

, entoncesB se llama la inversa de A y se

denota porA-1, esto es:

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SiA tiene inversa, entonces se dice queA es invertible.

Ej24:

Una matriz cuadrada que no es invertible se le denomina singular y una matriz invertible se llama nosingular.

Observacin 1. A partir de esta definicin se deduce inmediatamente que si A esinvertible.

Observacin 2. No toda matriz cuadrada tiene inversa.

Observacin 3.La inversa de una matriz es nica.

Matrices Elementales

Operaciones Elementales

Sea A una matriz de mxn, se pueden realizar operaciones elementales con renglones en A

multiplicandoApor la izquierda por una matriz adecuada. Las operaciones elementales son:

i. Multiplicar la fila ipor un nmero cdistinto de cero. ii. Sumar un mltiplo del rengln ial renglnj.

iii. Intercambiar los renglones i yj. Definicin: Una matriz cuadrada E de nxn se denomina una matriz elementalsi se puedeobtener a partir de la matriz identidad In, de nxn mediante una sola operacin elemental confilas.

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Ej25: Obtener tres matrices elementales 3x3a partir deI3.

i. [

] [

]ii.

[ ] [ ]iii. [ ] [

]Teorema: Toda matriz elemental es invertible, es decir es posible retornar a la matrizinicial haciendo otra operacin elemental. En general

Operacin Elemental Operacin inversa correspondiente

() Ej26: Clculo de la inversa de una matriz haciendo uso de la matriz Icon operacioneselementales.

Sea

Sol:// Se pone la matrizAseguida deI(Aas representada se denomina como matrizaumentada).

De ah que